《不等式》专题(2004~2007年高考文科试题汇编)

2007届高三文科数学第二轮复习资料——《不等式》专题1．有一批DVD 机原销售价为每台800元，在甲、乙两家商场均有销售．甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台每台单价都为760元，依此类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低不能低于440元；乙商场一律都按原价的75％销售．某单位需购买一批此类DVD 机，问去哪家商场购买花费较少？2．某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台，每批都购入x 台（x 是自然数），且每批均需付运费400元，贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元，现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用，请问：能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由．3． 某公司承担了每天至少搬运280吨水泥的任务，已知该公司有6辆A 型卡车和4辆B 型卡车，又知A型卡车每天每辆的运输量为30吨，成本费为0.9千元，B 型卡车每天每辆的运输量为40吨，成本费为1千元．设每天派出A 型卡车x 辆，B 型卡车y 辆，公司每天所花成本费z 千元，求z 的最小值，并求此时y x ,的值．4. 已知函数bax x x f +=2)(（a ，b 为常数）且方程f (x )－x +12=0有两个实根为x 1=3, x 2=4.（1）求函数f (x )的解析式；（2）设k>1，解关于x 的不等式；xkx k x f --+<2)1()(.5．已知32()31f x ax x x =+-+，R a ∈．（Ⅰ）当3-=a 时，求证：()f x 在R 上是减函数；（Ⅱ）如果对R x ∈∀不等式()4f x x '≤恒成立，求实数a 的取值范围6．已知)(x f 是奇函数，且在定义域（－1，1）内可导，并满足0)(<'x f ，解关于m 的不等式0)1()1(2>-+-m f m f .7．设32()f x ax bx cx =++的极小值为8-，其导函数()y f x '=的图像经过点(2,0)-，2(,0)3，如图所示.（Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）若对[-3,3]x ∈都有2()14f x m m ≥-恒成立，求实数m 的取值范围.8．已知定义在R 上的函数d c b a d cx bx ax x f ,,,,)(23其中+++=是实数.（Ⅰ）若函数)(x f 在区间),3()1,(+∞--∞和上都是增函数，在区间（－1，3）上是减函数，并且,18)0(,7)0(-='-=f f 求函数)(x f 的表达式；（Ⅱ）若03,,2<-ac b c b a 满足，求证：函数)(x f 是单调函数．9．命题p ：方程0622=-+-a a x x 有一正根和一负根． 命题q ：函数 轴有公共点．若命题“ ”为真命题，而命题“ ”为假命题，求实数 的取值范围10．已知二次函数)(x f 满足0)1(=-f ，且)1(4)(82+≤≤x x f x 对于R x ∈恒成立．（Ⅰ）求)1(f 的值； （Ⅱ）求)(x f 的解析式；（Ⅲ）设)(1)(2x f x x g -=，定义域D x ∈，现给出一个数字运算程序：→=→→=→=→-)()()(123121n n x g x x g x x g x x ，若D x x x x n ∈、、、、 321，运算继续下去；若D x n ∉，则停止运算．现给出371=x ，请写出满足上述条件的集合},,,,{321n x x x x D =．x x a x y 的图象与1)3(2+-+=a q p ∧q p ∨参考答案1． 解：设某单位购买x 台DVD 机，甲、乙两商场的购货款的差价为y 元，则去甲商场购买总花费x x )20800(-，据题意，44020800≥-x ，∴181≤≤x ，去乙商场购买总花费x 600，*N x ∈，∴)(18,600440181,600)20800(*N x x x x x x x x y ∈⎩⎨⎧>-≤≤--=)(18,160181,20200*2N x x x x x x ∈⎩⎨⎧>-≤≤-=得)(10,010,0101,0*N x x y x y x y ∈⎪⎩⎪⎨⎧><==≤≤>∴买少于10台，去乙商场花费较少；若买10台，去甲、乙商场花费一样；若买超过10台，去甲商场花费较少．2． 解：设每批购入x 台，需进货x3600次，每批进货总价值x 2000，全年保管费xk 2000， 依题意：4004003600400200043600⨯+⨯=k ，∴201=k ， 24000100144000021001440000=⋅≥+=x xx x y ， 当且仅当x1440000＝x 100，24000min =y ，即120=x 台， 答：每批进货的数量为120台时能使资金够用．3． 解：由题意得：约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+40602804030y x y x ，目标函数y x z +=9.0，作图得：当4,4==y x 时，6.7min =z ．4. （1）将0124,3221=+-+==x bax x x x 分别代入方程得).2(2)(,21,84169392≠-=⎩⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+x x x x f b a ba ba 所以解得 （2）不等式即为02)1(,2)1(222<-++---+<-xkx k x x k x k x x 可化为 即.0))(1)(2(>---k x x x①当).,2(),1(,21+∞⋃∈<<k x k 解集为②当);,2()2,1(0)1()2(,22+∞⋃∈>--=x x x k 解集为不等式为时 ③),()2,1(,2+∞⋃∈>k x k 解集为时当.5. 解：（Ⅰ）当3-=a 时，32()331f x x x x =-+-+∵/2()961f x x x =-+-2(31)0x =--≤∴()f x 在R 上是减函数Ⅱ）∵R x ∈∀不等式()4f x x '≤恒成立即R x ∈∀不等式23614ax x x +-≤恒成立 ∴R x ∈∀不等式23210ax x +-≤恒成立 当0=a 时，R x ∈∀ 210x -≤不恒成立当0a <时，R x ∈∀不等式23210ax x +-≤恒成立即4120a ∆=+≤ ∴13a ≤-综上所述，a 的取值范围是1(]3-∞-，．6.解：.0)()1,1()(<'-x f x f 内可导并满足在定义域内在)1,1()(-∴x f 是减函数.)1()1(0)1()1(22m f m f m f m f -->->-+-有由又由是奇函数)(x f),1()1(2->-∴m f m f21,1111111122<<⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-∴m m m m m 解得 )2,1(原不等式的解集为∴7. 解：（1）2'()32f x ax bx c =++ ，且'()y f x =的图象过点2(2,0),(,0)3-⎩⎨⎧-==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯--=+-∴a c a b a cab 42332232322∴32()24f x ax ax ax =+-，由图象可知函数()y f x =在(,2)-∞-上单调递减， 在 2(2,)3-上单调递增，在),32(+∞上单调递减，∴()(2)f x f =-极小值，即32(2)2(2)4(2)8a a a -+---=-，解得1a =- ∴32()24f x x x x =--+（2）要使对[3,3]x ∈-都有2()14f x m m ≥-成立，只需2min ()14f x m m ≥-由（1）可知函数()y f x =在[3,2)-上单调递减，在2(2,)3-上单调递增，在2(,3]3上单调递减，且(2)8f -=-，32(3)32343338f =--⨯+⨯=-<-33)3()(min -==∴f x f∴11314332≤≤⇒-≥-m m m故所求的实数m 的取值范围为}.113|{≤≤m m8.解（1）.23)(2c bx ax x f ++='由.1823)(,1818)0(2-+='-=-='bx ax x f c f 即得又由于)(x f 在区间),3()1,(+∞--∞和上是增函数，在区间（－1，3）上是减函数，所以－1和3必是0)(='x f 的两个根.从而⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-+=--.6,2.018627,01823b a b a b a 解得 又根据.71862)(,77)0(23---=-=-=x x x x f d f 所以得 （2）.0,0,03.23)(22≠≠<-++='c a ac b c bx ax x f 可知由条件因为)(x f '为二次三项式，并且0)3(4)3(4)2(22<-=-=∆ac b ac b ， 所以，当0)(,0>'>x f a 时恒成立，此时函数)(x f 是单调递增函数； 当0)(,0<'<x f a 时恒成立，此时函数)(x f 是单调递减函数. 因此，对任意给定的实数a ，函数)(x f 总是单调函数.9.解：()⎪⎩⎪⎨⎧<-=--=∆064412212a a x x aa ，p 有真命题时当命题为 60<<∴a()51,0432≥≤≥--=∆a a a q 或得为真命题时，当命题“q p ∨”为真命题，而命题“q p ∧”为假命题，∴“p 真q 假”或“p 假q 真”当“p 真q 假”时，⎩⎨⎧<<<<5160a a 得1< a <5当“p 假q 真”时，⎩⎨⎧≥≤≥≤5160a a a a 或或得60≥≤a a 或综上，a 的取值范围是：](()[)+∞⋃⋃∞-,65,10,10．解：（Ⅰ）依题意，有)1(4)(82+≤≤x x f x ⇒)11(4)1(8+≤≤f ⇒8)1(=f ．（Ⅱ）设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，则⎩⎨⎧=+-=-=++=0)1(8)1(c b a f c b a f ⇒⎩⎨⎧=+=44c a b ，又因为04822≥+-⇒≥++c x ax x c bx ax 对任意的R x ∈恒成立，故220)2(041602=⇒=⇒≤-⇒⎩⎨⎧≤-=∆>c a a ac a ，即)(x f 的解析式为2)1(2)(+=x x f ． （Ⅲ）由（Ⅱ）得1121)1(21)1(21)(1)(222+-=+-=+-=-=x x x x x x f x x g ． 依题意，当371=x 时，有51)(12==x g x ，31)(23-==x g x ，1)(34-==x g x ，5x 无意义， 故}1,31,51,37{--=D ．。