九年级数学上册圆中的基本概念及定理讲义新版新人教版

圆中的基本概念及定理（讲义）

课前预习

在小学的时候，我们知道“一中同长”表示的是圆，中心称为，固定的线段长称为，还知道半径为r 的圆的周长为，面积为

．

在七年级我们学习了圆的另外一种说法：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆．固定的端点O 称为圆心，线段OA 称为半径．

A

O

一条弧AB 和经过这条弧的两条半径OA，OB 所组成的图形叫做扇形．顶点在圆心的角叫做圆心角．

知识点睛

1.在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个

端点A 所形成的图形叫做．其固定的端点O叫做，线段OA 叫做．以点O 为圆心的圆，记作

，读作“圆O”．

2.圆中概念：

弧：，弧包括和；

弦：；

圆周角：；

圆心角：；

弦心距：；

等圆：；

等弧：．

3.圆的对称性：

圆是轴对称图形，其对称轴是；

圆是中心对称图形，其对称中心为．4.圆中基本定理：

*（1）垂径定理：

．推论：

．（2）四组量关系定理：在中，如果

、、、

中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

（3）圆周角定理：．推论1：．

推论2：，

．推论3：．

注：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边

形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．

O

O

O

O

圆中处理问题的思路：

①找圆心，连半径，转移边；

②遇弦，作垂线，垂径定理配合勾股定理建等式；

③遇直径，找直角，由直角，找直径；

④由弧找角，由角看弧．

C D

O

A

B

C

D A

R

B

A B

精讲精练

1.

如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB ，垂足为 M ，下列结论不一定成立

的是（ ） ︵ ︵ A ．CM =DM

B ．

C B =B

D C ．∠ACD =∠ADC

D ．OM =MB

A

M

O

B

C

第 1 题图

第 2 题图

2. 如图，⊙O 的弦 AB 垂直平分半径 OC ，若 AB = 的半径为

．

，则⊙O

3.

工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是 10 mm

，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8 mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口 AB 的长度为 mm ．

O

第 3 题图 第 4 题图

4. 如图，圆拱桥桥拱的跨度 AB =12 m ，桥拱高 CD =4 m ，则拱桥的直径为

．

5.

如图，在⊙O 中，直径 CD 垂直于弦 AB ，垂足为 E ，连接 OB ，

CB ．已知⊙O 的半径为 2，AB = 2

，则∠BCD =

．

C

O

E D

6

A

8 mm B

3

E C

D

A

O B

6.

如图，⊙O 的弦 CD 与直径 AB 相交，若∠BAD =50°，则

∠ACD = ．

B

第 6 题图

第 7 题图

7.

一个圆形人工湖如图所示，弦 AB 是湖上的一座桥，已知桥 AB 长 100 m ，测得圆周角∠ACB =45°，则这个人工湖的直径 AD 为 ． 8.

如图，在半径为 3 的⊙O 中，直径 AB 与弦 CD 相交于点 E ， 连接 AC ，BD ，若 AC =3，则∠D = ．

B

9.

如图，∠AOB =100°，点 C 在⊙O 上，且点 C 不与 A ，B 重合， 则∠ACB

的度数为（ ）

A ．50°

B ．80°或 50°

C ．130°

D ．50°或 130°

10. 如图，点 D 为边 AC 上一点，点 O 为边 AB 上一点，AD =DO ．以

O 为圆心，OD 长为半径作半圆，交 AC 于另一点 E ，交 AB

于 F ，G 两点，连接 EF ．若∠BAC =°，则∠EFG =

．

A

F

G B

O D

B

C

E

11. 如图，已知四边形 ABCD 内接于⊙O ，如果它的一个外角

∠DCE =64°，那么∠BOD 的度数为

_．

A

12. 如图，⊙O 的两条弦 AB ，CD 互相垂直，垂足为 E ，且 AB =CD ， 已知 CE =1，

ED =3，则⊙O 的半径是

．

13. 已知⊙O 的半径为 13 cm ，弦 AB ∥CD ，AB =24 cm ，CD =10 cm ，则 AB ，CD 之

间的距离为

．

2 参考答案

课前预习

圆心；半径；2πr ；πr 2

知识点睛

1. 圆；圆心；半径；⊙O ．

2. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧；优弧；劣弧； 连接圆

上任意两点的线段叫做弦；

顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角； 顶点在圆心的角叫做圆心角； 圆心到弦的距离叫做弦心距； 能够重合的两个圆叫做等圆；

在同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫做等弧

3. 任意一条过圆心的直线；圆心．

4. （1）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧； 平分弦（不

是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．

（2）同圆或等圆，两个圆心角，两条弧，两条弦，两个弦心距． （3）圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半； 同弧或

等弧所对的圆周角相等；

直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 圆内接四边形对角互补．

精讲精练

1. D

2.

2 3. 8

4. 13 m

5. 30°

6. 40°

7. 100 cm

8. 60°

9. D 10. 33° 11. 128°

12. 13. 7 cm 或 17 cm

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