最新人教版高中数学选修4-5《一般形式的柯西不等式》课后导练
人教版高中数学选修4-5《3.2 一般形式的柯西不等式》
五. 当堂检测：
[练1](1)已知2 x 3 y 4z 10, 求x 2 y 2 z 2最小值;
(2)若9 x 2 12 y 2 5z 2 9, 求x 6 y 5z的最大值.
[练2]设x1 , x2 ,..., xn是正数, 求证 : 1 1 1 2 ( x1 x2 ... xn )( ... )n x1 x2 xn
三、归纳推理，形成新知：
3、三维形式的柯西不等式：
(a1b1 a2b2 a3b3 ) (a a a )(b b b )
2 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3
当且仅当 与共线时, 等号成立.
【探究】根据二维、三维形式的柯西不等式， 若 ( a1 , a 2 , a 3 ,...,a n ), (b1 , b2 , b3 ,...,bn )
3.2一般形式的柯西不等式
选修4-5
一、温故知新：
1、柯西不等式的向量形式: 【定理2】设 , 是两个向量, 则| | | | | |
将平面向量的坐标 (a1 , a2 ), (b1 , b2 )代入, 则上述 不等式可化简为:
2、二维形式的柯西不等式： 2 2 2 2 2 (a1b1 a2b2 ) (a1 a2 )(b1 b2 ) 适用范围: 对任意实数都成立.
六.课堂小结: 基础 三维形式 知识：
一般形式
证明不等式
柯西不等式
求最值
基本思想方法： 1.探究方法：从特殊到一般. 2.思维方法：观察→归纳→证明. 七.课后作业: 1.巩固性作业:P41 习题3.2 第1,2, 4,6. 2.探究作业: 小组合作证明一般形式的柯西不等式.
2021年高中数学 3.1柯西不等式练习新人教版选修4-5
2021年高中数学 3.1柯西不等式练习新人教版选修4-5【霸王餐】 一、填空题1、柯西不等式二维公式：2、利用柯西可知：3、已知4、已知5、已知 二、解答题：1、已知、、，，求证2、已知的取值范围。
求、b a b a b a +>=+,0,44三、选择题：1．若3x 2＋2y 2≤1，则3x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0，5]B ．[－5，0]C ．[－5，5]D ．[－5,5]2．若x 、y 、m 、n ∈(0，＋∞)，且m x ＋n y＝1，则x ＋y 的最小值是( )A ．m ＋nB ．4mnC ．(m ＋n )2D.m 2＋n 223．若2x ＋3y ＋4z ＝10，则x 2＋y 2＋z 2取到最小值时的x ，y ，z 的值为( )A.53，109，56B.2029，3029，4029 C ．1，12，13 D ．1，14，194．已知a ，b ，x 1，x 2为互不相等的正数，若y 1＝ax 1＋bx 2a ＋b ，y 2＝bx 1＋ax 2a ＋b，则y 1y 2与x 1x 2的关系为( )A ．y 1y 2＜x 1x 2B ．y 1y 2＝x 1x 2C ．y 1y 2＞x 1x 2D ．不能确定 5．若x 、y 、z ∈R ＋，且1x ＋2y ＋3z ＝1，则x ＋y 2＋z3的最小值是( )A ．5B ．6C ．8D ．96．若a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值是( ) A ．1 B. 3 C ．3 D ．97．若x ＋y ＋z ＝1，则x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2的最小值为( )A. 2B.22C. 3D.338．m 个互不相同的正偶数与n 个互不相同的正奇数的和为117，对所有这样的m 与n,3m ＋2n 的最大值是( )A ．35B ．37C ．38D ．419．已知x 、y 、z 是非负实数，若9x 2＋12y 2＋5z 2＝9，则函数u ＝3x ＋6y ＋5z 的最大值是( )A ．9B ．10C ．14D ．15 【自助餐】1．设x ，y ∈R ＋，则(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y 的最小值是__________．2．若x ＋y ＋z ＝6，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为__________．3．已知x 、y 、z 为正数，且xyz (x ＋y ＋z )＝1，则(x ＋y )(y ＋z )的最小值为__________．4．若x 1、x 2、x 3大于0，且x 1＋x 2＋x 3＝1，则x 1x 22x 3＋x 1x 2x 23的最大值为________．5．已知实数a 、b 、c 满足a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，求证：－23≤c ≤1.6．已知a ＋b ＋c ＝1，且a 、b 、c 是正数，求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a≥9.30346768A 皊29175 71F7 燷365978EF5軵^(21585 5451 呑l6+C37936 9430 鐰lCc。
高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 二 一般形式的柯西不等式练习 新人教A版选修4-5-新人教
二 一般形式的柯西不等式,[学生用书P45])[A 基础达标]1．设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋4c ＝1，则a ＋b ＋2c 的最大值为( ) A ．102B ．10C ．210D ．310解析：选A.由柯西不等式，得(a ＋b ＋2c )2≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222[(a )2＋(b )2＋(4c )2] ＝52×1＝52， 所以a ＋b ＋2c ≤52＝102，当且仅当a ＝b ＝22c 时，等号成立．故选A. 2．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．不确定解析：选A.因为(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1， 当且仅当a i ＝kx i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立， 所以a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1.故选A.3．已知x 2＋3y 2＋4z 2＝2，则|x ＋3y ＋4z |的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选B.由柯西不等式知(x 2＋3y 2＋4z 2)(1＋3＋4)≥(x ＋3y ＋4z )2， 又x 2＋3y 2＋4z 2＝2所以2×8≥(x ＋3y ＋4z )2. 所以|x ＋3y ＋4z |≤4. 当且仅当x ＝3y 3＝2z 2，即x ＝y ＝z ＝12时取等号．4．设a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ＝6，则1a ＋4b ＋9c的最小值为( )A ．1B ．4C ．6D ．9解析：选C.由柯西不等式得(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＋9c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2] ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫4b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫9c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·2b ＋c ·3c 2＝36.即6⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＋9c ≥36.所以1a ＋4b ＋9c≥6.故选C.5．已知实数x ，y ，z 满足2x －y －2z －6＝0，x 2＋y 2＋z 2≤4，则2x ＋y ＋z ＝( ) A ．13 B ．23 C ．53D ．2解析：选B.因为实数x ，y ，z 满足2x －y －2z －6＝0，所以2x －y －2z ＝6. 由柯西不等式可得(x 2＋y 2＋z 2)[22＋(－1)2＋(－2)2]≥(2x －y －2z )2＝36， 所以x 2＋y 2＋z 2≥4.再根据x 2＋y 2＋z 2≤4，可得x 2＋y 2＋z 2＝4.故有x 2＝y －1＝z－2，所以x ＝－2y ，z ＝2y .再把x ＝－2y ，z ＝2y 代入2x －y －2z －6＝0，求得y ＝－23，则2x ＋y ＋z ＝－4y ＋y ＋2y ＝－y ＝23.6．已知a ，b ，c ∈R ＋，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________． 解析：因为a ＋2b ＋3c ＝6，所以1×a ＋1×2b ＋1×3c ＝6.所以(a 2＋4b 2＋9c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋2b ＋3c )2＝36，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12.当且仅当1a＝12b ＝13c ，即a ＝2，b ＝1，c ＝23时取等号． 答案：127．已知2x ＋3y ＋z ＝8，则x 2＋y 2＋z 2取得最小值时，x ，y ，z 形成的点(x ，y ，z )＝________． 解析：由柯西不等式(22＋32＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(2x ＋3y ＋z )2，即x 2＋y 2＋z 2≥8214＝327.当且仅当x 2＝y3＝z 时等号成立．又2x ＋3y ＋z ＝8，解得：x ＝87，y ＝127，z ＝47，所求点为⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47 8．已知x ，y ，z ∈R ＋，x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z的最小值为________．解析：利用柯西不等式，因为(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋y ·2y ＋z ·3z 2＝36，所以1x ＋4y ＋9z ≥36，当且仅当x ＝y 2＝z 3，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立．综上可知，1x ＋4y ＋9z的最小值为36.答案：369．设x ＋y ＋z ＝1，求H ＝2x 2＋3y 2＋z 2的最小值． 解：因为x ＋y ＋z ＝12·2x ＋13·3y ＋1·z ， 所以由柯西不等式得： (x ＋y ＋z )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12·2x ＋13·3y ＋1·z 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋1·(2x 2＋3y 2＋z 2)，即116·H ≥1，解得H ≥611，等号成立的条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝1.2x 12＝3y 13＝z1，解得x ＝ 311，y ＝211，z ＝611.此时，H ＝611. 综上所述，H 的最小值为611.10．已知|x ＋2y ＋3z |≥4(x ，y ，z ∈R )．(1)求x 2＋y 2＋z 2的最小值；(2)若|a ＋2|≤72(x 2＋y 2＋z 2)对满足条件的一切实数x ，y ，z 恒成立，某某数a 的取值X围．解：(1)因为(x ＋2y ＋3z )2≤(12＋22＋32)·(x 2＋y 2＋z 2)，且|x ＋2y ＋3z |≥4(x ，y ，z ∈R )，所以x 2＋y 2＋z 2≥87，当且仅当x 1＝y 2＝z 3时取等号．即x 2＋y 2＋z 2的最小值为87.(2)因为x 2＋y 2＋z 2的最小值为87，所以|a ＋2|≤72×87＝4，所以－4≤a ＋2≤4， 解得－6≤a ≤2，即a 的取值X 围为[－6，2]．[B 能力提升]1．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝( )A ．14B ．13C ．12D ．34解析：选C.由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 2＋14y 2＋14z 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax ＋12by ＋12cz 2，当且仅当a 12x ＝b 12y ＝c12z 时等号成立．因为a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，所以等号成立．所以a 12x ＝b 12y ＝c12z . 所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.故选C.2．边长为a ，b ，c 的三角形ABC ，其面积为14，外接圆半径R 为1，若s ＝a ＋b ＋c ，t ＝1a ＋1b ＋1c，则s 与t 的大小关系是________． 解析：由已知得12ab sin C ＝14，csin C ＝2R ＝2.所以abc ＝1，所以1a ＋1b ＋1c＝ab ＋bc ＋ca ，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (ab ＋bc ＋ca )≥(b ＋c ＋a )2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥(a ＋b ＋c )2.即1a ＋1b ＋1c≥a ＋b ＋c .当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立． 当a ＝b ＝c 时，三角形ABC 的面积为34，不满足题意，所以s <t . 答案：s <t3．设x 1、x 2、…、x n ∈R ＋且x 1＋x 2＋…＋x n ＝1，求证：x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n ≥1n ＋1.证明：(n ＋1)(x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n)＝(1＋x 1＋1＋x 2＋…＋1＋x n )(x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n)＝[(1＋x 1)2＋(1＋x 2)2＋…＋(1＋x n )2]·[(x 11＋x 1)2＋(x 21＋x 2)2＋…＋(x n1＋x n)2]≥(1＋x 1·x 11＋x 1＋1＋x 2·x 21＋x 2＋…＋1＋x n ·x n1＋x n)2＝(x 1＋x 2＋…＋x n )2＝1，所以x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n ≥1n ＋1.4．已知正数x ，y ，z 满足5x ＋4y ＋3z ＝10. (1)求证：25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z 25x ＋4y ≥5.(2)求9x 2＋9y 2＋z 2的最小值．解：(1)证明：根据柯西不等式，得[(4y ＋3z )＋(3z ＋5x )＋(5x ＋4y )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z 25x ＋4y ≥(5x ＋4y ＋3z )2，当且仅当4y ＋3z 5x ＝3z ＋5x 4y ＝5x ＋4y 3z 时，等号成立，因为5x ＋4y ＋3z ＝10，所以25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z 25x ＋4y ≥10220＝5.(2)根据基本不等式，得9x 2＋9y 2＋z 2≥29x 2·9y 2＋z 2＝2·3x 2＋y 2＋z 2，当且仅当x 2＝y 2＋z 2时，等号成立．根据柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)(52＋42＋32)≥(5x ＋4y ＋3z )2＝100，即x 2＋y 2＋z 2≥2，当且仅当x 5＝y 4＝z 3＝15时，等号成立．综上，9x 2＋9y 2＋z 2≥2×32＝18.。
高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.2 一般形
3.2 一般形式的柯西不等式课后训练1．已知x 2＋y 2＋z 2＝1，则x ＋2y ＋2z 的最大值为( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．已知x ，y 是实数，则x 2＋y 2＋(1－x －y )2的最小值是( )． A ．16 B ．13C ．6D ．3 3．设x ，y ，z ∈R ，若x 2＋y 2＋z 2＝4，则x －2y ＋2z 的最小值为________．4．设x ，y ，z ∈R,2x ＋2y ＋z ＋8＝0，则(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2的最小值为________．5．在△ABC 中，设其各边长为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，求证：(a 2＋b 2＋c 2)222211136sin sin sin R A B C ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭＋＋. 6．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，试求a 的最值． 7．设a 1＞a 2＞…＞a n ＞a n ＋1，求证：21112231111()n n n a a n a a a a a a ⎛⎫≥⎪⎝⎭＋＋－＋＋＋－－－.8．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1已知函数f (x )＝(x －a )2＋(x －b )2＋(x －c )2＋23a b c ()＋＋(a ，b ，c ∈R )的最小值为m .若a －b ＋2c ＝3，求m 的最小值．参考答案1. 答案：C解析：由柯西不等式得(x ＋2y ＋2z )2≤(12＋22＋22)(x 2＋y 2＋z 2)＝9，所以－3≤x ＋2y ＋2z ≤3.当且仅当22y z x ＝＝时，右边等号成立． 所以x ＋2y ＋2z 的最大值为3. 2. 答案：B解析：由柯西不等式，得 (12＋12＋12)[x 2＋y 2＋(1－x －y )2]≥[x ＋y ＋(1－x －y )]2， 即x 2＋y 2＋(1－x －y )2≥13， 当且仅当x ＝y ＝1－x －y ，即x ＝y ＝13时，x 2＋y 2＋(1－x －y )2取得最小值13.3. 答案：－6解析：由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)·[12＋(－2)2＋22]≥(x －2y ＋2z )2，∴(x －2y ＋2z )2≤4×9＝36. 当且仅当122x y z k -＝＝＝，2±3k ＝时，上式取得等号，当23k -＝时，x －2y ＋2z 取得最小值－6.4. 答案：9解析：2x ＋2y ＋z ＋8＝2(x －1)＋2(y ＋2)＋(z －3)＝－9. 考虑以下两组向量：u ＝(2,2,1)，v ＝(x －1，y ＋2，z －3)，由柯西不等式，得(u ·v )2≤|u |2·|v |2；即[2(x －1)＋2(y ＋2)＋(z －3)]2≤[(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2]·(22＋22＋12)， 当且仅当x ＝－1，y ＝－4，z ＝2时，等号成立．所以(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥2999(-)＝. 5. 证明：∵2sin sin sin a b c R A B C＝＝＝， ∴222222111()sin sin sin a b c A B C ⎛⎫⎪⎝⎭＋＋＋＋ 2236 sin sin sin a b c R A B C ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭＋＋＝. ∴原不等式成立．6. 解：由柯西不等式，得(2b 2＋3c 2＋6d 2)111236⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＋≥(b ＋c ＋d )2，即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2.由条件可得5－a 2≥(3－a )2，解得1≤a ≤2.即12b ＝，13c ＝，16d ＝时，a max ＝2；b ＝1，23c ＝，13d ＝时，a min ＝1． 7. 证明：∵a 1＞a 2＞…＞a n ＞a n ＋1，∴a 1－a 2＞0，a 2－a 3＞0，…，a n －a n ＋1＞0，据柯西不等式有：(a 1－a 2＋a 2－a 3＋…＋a n －a n ＋1)·12231111n n a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＋＋＋－－－≥(22na n⎤＋－＝.∴原不等式成立．8. 解：由柯西不等式，得22(111＝≤(12＋12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1) ＝3[4(a ＋b ＋c)＋3]＝21． 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号． . 9. 解：因为f (x )＝(x －a )2＋(x －b )2＋(x －c )2＋23a b c ()＋＋＝3x 2－2(a ＋b ＋c )x ＋a 2＋b 2＋c 2＋23a b c ()＋＋＝233a b c x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＋－＋a 2＋b 2＋c 2， 所以3a b c x ＋＋＝时，f (x )取最小值a 2＋b 2＋c 2， 即m ＝a 2＋b 2＋c 2.因为a －b ＋2c ＝3，由柯西不等式，得 [12＋(－1)2＋22]·(a 2＋b 2＋c 2)≥(a －b ＋2c )2＝9，所以m ＝a 2＋b 2＋c 2≥9362＝，当且仅当112a b c -＝＝，即12a ＝，12b -＝，c ＝1时，等号成立． 所以m 的最小值为32.。
秋高中数学人教A版选修4-5课堂演练：第三讲3.1-3.2一般形式的柯西不等式
第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.1 二维形式的柯西不等式 3.2 一般形式的柯西不等式A 级 基础巩固一、选择题1．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是( ) A.3 B. 5 C ．3D ．5解析：根据柯西不等式，知y ＝1·x －5＋2·6－x ≤12＋22·（x －5）2＋（6－x ）2＝ 5. 答案：B2．已知x ，y ，z 均大于0，且x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z 的最小值为( )A ．24B ．30C ．36D ．48解析：(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z ≥⎝ ⎛x ·1x ＋y ·2y ＋z ·⎭⎪⎫3z 2＝36，所以1x ＋4y ＋9z ≥36.答案：C3．已知a，b＞0，且a＋b＝1，则(4a＋1＋4b＋1)2的最大值是()A．2 6 B. 6C．6 D．12解析：(4a＋1＋4b＋1)2＝(1·4a＋1＋1·4b＋1)2≤(12＋12)·(4a ＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2]＝2(4×1＋2)＝12，当且仅当4a＋1＝4b＋1，即a＝b时等号成立．答案：D4．已知a1－b2＋b1－a2＝1，则以下成立的是()A．a2＋b2＞1 B．a2＋b2＝1C．a2＋b2＜1 D．a2b2＝1解析：由柯西不等式，得1＝a1－b2＋b1－a2≤a2＋（1－a2）·（1－b2）＋b2＝1，当且仅当b1－a2＝1－b2a时，上式取等号，所以ab＝1－a21－b2，即a2b2＝(1－a2)(1－b2)，于是a2＋b2＝1.答案：B5．已知a21＋a22＋…＋a2n＝1，x21＋x22＋…＋x2n＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋a n x n的最大值为()A．1 B．2C．－1 D．不确定解析：因为(a1x1＋a2x2＋…＋a n x n)2≤(a21＋a22＋…＋a2n)(x21＋x22＋…＋x2n)＝1×1＝1，当且仅当a i ＝kx i (i ＝1，2，…，n )时等号成立． 所以a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1. 答案：A 二、填空题6．函数y ＝x －1＋5－x 的最大值是________． 解析：因为(x －1＋5－x )2≤(1＋1)(x －1＋5－x )＝8， 当且仅当x －1＝5－x ，即x ＝3时，等号成立，所以x －1＋5－x ≤22，函数y 取得最大值2 2. 答案：227．已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为________．解析：根据柯西不等式，x 2＋y 2＋z 2＝13(12＋12＋12)×(x 2＋y 2＋z 2)≥13(1·x ＋1·y ＋1·z )2＝13(x ＋y ＋z )2＝13，当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．答案：138．设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________．解析：根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5，m 2＋n 2的最小值为 5.答案：5 三、解答题9．已知m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝p ，求证：1m ＋1n ≥4p ，指出等号成立的条件．证明：根据柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n )≥⎝ ⎛⎭⎪⎫ m ·1m＋ n ·1n 2＝4.于是1m ＋1n ≥4m ＋n ＝4p .当m ＝n ＝p2时等号成立．10．设x ＋y ＋z ＝1，求函数u ＝2x 2＋3y 2＋z 2的最小值． 解：由x ＋y ＋z ＝12·2x ＋13·3y ＋1·z .根据柯西不等式，有⎝ ⎛⎭⎪⎫12·2x ＋13·3y ＋1·z 2≤ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋12·(2x 2＋3y 2＋z 2)＝116(2x 2＋3y 2＋z 2)，因此1＝(x＋y ＋z )2≤116(2x 2＋3y 2＋z 2)，所以u ＝2x 2＋3y 2＋z 2≥611，当且仅当2x ＝λ2，3y ＝λ3，z ＝λ时等号成立． 所以x ＝λ2，y ＝λ3，z ＝λ，代入x ＋y ＋z ＝1，得x ＝311，y ＝211，z ＝611时，等号成立．故函数u ＝2x 2＋3y 2＋z 2的最小值是611.B 级 能力提升1．已知2x ＋3y ＋4z ＝10，则x 2＋y 2＋z 2取到最小值时的x ，y ，z 的值为( )A.53，109，56B.2029，3029，4029C ．1，12，13D ．1，14，19解析：当且仅当x 2＝y 3＝z4时，取到最小值，所以联立⎩⎨⎧x 2＝y 3＝z 4，2x ＋3y ＋4z ＝10，可得x ＝2029，y ＝3029，z ＝4029. 答案：B2．已知4x 2＋5y 2＝1，则2x ＋5y 的最大值是________． 解析：因为2x ＋5y ＝2x ·1＋5y ·1≤（2x ）2＋（5y ）2·12＋12＝1·2＝2， 所以2x ＋5y 的最大值为 2. 答案：23．已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1. (1)求证：x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥13；(2)求4x ＋4y ＋4z 2的最小值．(1)证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ·(y ＋2z ＋z ＋2x ＋x ＋2y )≥x y ＋2z ·y ＋2z ＋y z ＋2x ·z ＋2x ＋z x ＋2y·x ＋2y ＝1， 即3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥1，所以x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥13.(2)解：由基本不等式，得4x＋4y＋4z 2≥334x ＋y ＋z 2， 因为x ＋y ＋z ＝1，所以x ＋y ＋z 2＝1－z ＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫z －122＋34≥34，故4x ＋4y ＋4z 2≥33434＝32，当且仅当x ＝y ＝14，z ＝12时等号成立，所以4x ＋4y ＋4z 2的最小值为3 2.。
高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.1 二维形
3.1 二维形式的柯西不等式课后导练基础达标1已知a,b,m,n∈R +,且m+n=1,设T=nb ma +,Q=b n a m +,则( ) A.T>Q B.T≥QC.T<QD.T≤Q解析:T=nb ma +=b n a m b n a m n m nb ma +=+≥++2)())((=Q. 答案:B2设a,b,c,d,n,m∈R +,且P=cd ab +,Q=nd m b nc ma ++,则P,Q 之间的大小关系是…( )A.P≥QB.P≤QC.P=QD.P,Q 大小关系不确定解析:Q=nd m b nc ma +∙+≥cd ab cd ab +=+2)(=P. 答案:B 3a>b>c,则c b b a -+-11与ca -4的大小关系是( ) A.cb b a -+-11>ca -4 B.cb b a -+-11≥ca -4 C.cb b a -+-11<ca -4 D.cb b a -+-11≤c a -4 解析:∵a>b>c,∴a -b,a-c,b-c>0.由于(cb b a -+-11)(a-c) =［(b a -1)2+(cb -1)2］［(b a -)2+(c b -)2］ ≥(1+1)2=4, ∴(cb b a -+-11)(a-c)≥4. ∴c b b a -+-11≥c a -4. 答案:B4用柯西不等式证明(2b a +)2≤222b a +. 证明:∵(12+12)(a 2+b 2)≥(a+b)2,即2(a 2+b 2)≥(a+b)2, 两边同除以4,即得(2b a +)2≤222b a +. 50<x<1,求证:xb x a -+122≥(a+b)2. 证明:∵x+(1-x)=1, ∴x b x a -+122=［x+(1-x)］(xb x a -+122)≥(a+b)2. 综合应用6已知x,y,a,b 为正数,且a+b=10,yb x a +=1,x+y 的最小值为18,求a,b. 解析:∵x+y=(x+y)(yb x a +)≥(b a +)2 =a+b+ab 2=18,又a+b=10,因此a=2,b=8或者a=8,b=2.7x,y,a,b∈R +,x 2+y 2=1,a 2+b 2=1,求证:|ax+by|≤1.证明:1=(a 2+b 2)(x 2+y 2)≥(ax+by)2,∴|ax+by|≤1.8已知a,b,c,d,x,y 均为正数,且x 2=a 2+b 2,y 2=c 2+d 2,求证:xy≥))((bc ad bd ac ++. 证明:x 2y 2=(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd)2,∴xy≥ac+bd.①又x 2y 2=(a 2+b 2)(d 2+c 2)≥(ad+bc)2,∴xy≥ad+bc.②①×②得x 2y 2≥(ac+bd)(ad+bc),即xy≥))((bc ad bd ac ++.9设a,b∈R +,且a+b=1,求证:(a+a 1)2+(b+b 1)2≥225(用柯西不等式证明). 证明:(12+12)［(a+a 1)2+(b+b 1)2］ ≥［(a+a 1)+(b+b1)］2=［1+(a 1+b 1)］2 =(1+ab 1)2≥25(∵ab≤41), ∴(a+a 1)2+(b+b1)2≥225. 拓展探究10求使直线xcos θ+ysin θ=2和椭圆x 2+3y 2=6有公共点的θ的取值范围(0≤θ≤π).解析:由柯西不等式22=(xcos θ+ysin θ)2=(x·cos θ+3y·31sin θ)2 ≤(x 2+3y 2)(cos 2θ+31sin 2θ) =6cos 2θ+2sin 2θ.解得cos 2θ≥21, 即cos θ≥22或cos θ≤22-. 因为0≤θ≤π,所以0≤θ≤4π或43π≤θ≤π. 备选习题 11a,b,c∈R +,且acos 2θ+bsin 2θ<c,求证:a cos 2θ+b sin 2θ<c .证明:a cos 2θ+b sin 2θ =a cos θ·cos θ+b sin θ·sin θ ≤c b a <++)sin cos )(sin (cos 2222θθθθ.12已知x,y∈R ,且3x 2+2y 2≤6,求证:|2x+y|≤11.证明:(2x+y)2=(32·3x+21·2y)2≤(34+21)(3x 2+2y 2) ≤611×6=11, ∴|2x+y|≤11.13设α∈(0,2π),求证:(1+αn 2sin 1)(1+αn 2cos 1)≥(1+2n )2. 证明:∵α∈(0,2π), 故sin 2n α≠0,cos 2n α≠0,sin2α>0,由柯西不等式(1+αn 2sin 1)(1+αn 2cos 1) ≥(1+ααn n cos sin 1∙)2 =(1+α2sin 2n n)2 ≥(1+2n )2.14双曲线9x 2-16y 2=r 2(r>0)与直线x+y=2有公共点,求r 的取值范围.解析:要使直线与曲线有公共点,由柯西不等式x 2=(2-y)2=［r 2·r+(-41)·4y］2 ≤(24r +161)(r 2+16y 2) =(24r +161)·9x 2. 消去非零x,整理得r 2≤7242. 由r>0,那么0<r≤7724. 15求经过x 2+y 2=r 2上一点M(x 0,y 0)的切线方程.解析:由M(x 0,y 0)在圆上,得x 02+y 02=r 2,由柯西不等式r 4=(x 2+y 2)(x 02+y 02)≥(x 0x+y 0y)2.所以x 0x+y 0y=±r 2.因为点M(x 0,y 0)满足x 0x+y 0y=r 2,所以x 0x+y 0y=r 2为要求的切线方程.16已知a 2+b 2=2,则asin θ+bcos θ的最大值是( ) A.1 B.2 C.23 D.2 解析:(sin 2θ+cos 2θ)(a 2+b 2)≥(asin θ+bcos θ)2,∴asin θ+bcos θ≤2.答案:D。
人教版数学高二选修4-5导学案二一般形式的柯西不等式
学习目标 1.理解并掌握三维形式的柯西不等式.2.了解柯西不等式的一般形式，体会从特殊到一般的思维过程.3.会用三维形式及一般形式的柯西不等式解决一些特殊形式的问题．知识点一三维形式的柯西不等式思考1类比平面向量，在空间向量中，如何用|α||β|≥|α·β|，推导三维形式的柯西不等式？思考2三维形式的柯西不等式中，等号成立的条件是什么？梳理三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥__________________________，当且仅当____________或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1,2,3)时等号成立．知识点二一般形式的柯西不等式(1)一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥__________________________________.(2)柯西不等式等号成立的条件当且仅当b i＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得__________________(i＝1,2，…，n)时等号成立．类型一 利用柯西不等式证明不等式 命题角度1 三维柯西不等式的应用 例1 设a ，b ，c 为正数，且不全相等． 求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ＞9a ＋b ＋c.反思与感悟 有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过： (1)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以巧拆常数．(2)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以重新安排各项的次序．(3)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以改变式子的结构，从而达到使用柯西不等式的目的． (4)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以添项．跟踪训练1 已知a ，b ，c ∈R ＋，求证⎝⎛⎭⎫a b ＋b c ＋c a ·⎝⎛⎭⎫b a ＋c b ＋a c ≥9.命题角度2 一般形式的柯西不等式的应用例2 设a 1，a 2，…，a n 为正整数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .反思与感悟 一般形式的柯西不等式看着往往感觉比较复杂，这时一定要注意式子的结构特征，一边一定要出现“方、和、积”的形式．跟踪训练2 已知a 1，a 2，…，a n ∈R ＋，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，求证：a 21a 1＋a 2＋a 22a 2＋a 3＋…＋a 2n －1a n －1＋a n ＋a 2n a n ＋a 1≥12.类型二 利用柯西不等式求函数的最值例3 (1)已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1.求1x ＋4y ＋9z 的最小值；(2)设2x ＋3y ＋5z ＝29.求函数μ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值．反思与感悟 利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．跟踪训练3 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4. (1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．1．已知：x ，y ，z ∈R ＋且x ＋y ＋z ＝2，则x ＋2y ＋3z 的最大值为( ) A ．27 B ．2 3 C ．4D ．52．若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝1，则a ＋2b ＋3c 的最小值为( )A ．9B ．3C.3D ．63．设a ，b ，c ，d 均为正实数，则(a ＋b ＋c ＋d )⎝⎛ 1a ＋1b ＋1c⎭⎫＋1d 的最小值为________． 4．已知大于1的正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝3 3.求证：x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ≥32.1．柯西不等式的一般结构为(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，在利用柯西不等式证明不等式时关键是正确构造左边的两个数组，从而利用题目的条件正确解题． 2．要求ax ＋by ＋z 的最大值，利用柯西不等式(ax ＋by ＋z )2≤(a 2＋b 2＋12)(x 2＋y 2＋z 2)的形式，再结合已知条件进行配凑，是常见的变形技巧．对于许多不等式问题，用柯西不等式来解往往是简明的，正确理解柯西不等式，掌握它的结构特点，就能更灵活地应用它．答案精析问题导学 知识点一思考1 设α＝(a 1，a 2，a 3)，β＝(b 1，b 2，b 3)，则|α|＝a 21＋a 22＋a 23， |β|＝b 21＋b 22＋b 23.∵|α||β|≥|α·β|，∴a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23≥|a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3|， ∴(a 21＋a 22＋a 23)(b 21＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2. 思考2 当且仅当α，β共线时，即β＝0或存在实数k ，使a 1＝kb 1，a 2＝kb 2，a 3＝kb 3时，等号成立．梳理 (a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2 b 1＝b 2＝b 3＝0 知识点二(1)(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2 (2)a i ＝kb i 题型探究例1 证明 构造两组数a ＋b ，b ＋c ，c ＋a ；1a ＋b，1b ＋c ，1c ＋a，则由柯西不等式得(a ＋b ＋b ＋c ＋c ＋a )·⎝⎛ 1a ＋b ＋1b ＋c⎭⎪⎫＋1c ＋a ≥(1＋1＋1)2，① 即2(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥9，于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9a ＋b ＋c.由柯西不等式知，①中有等号成立⇔a ＋b1a ＋b＝b ＋c1b ＋c＝c ＋a1c ＋a⇔a ＋b ＝b ＋c ＝c ＋a ⇔a ＝b ＝c .因题设中a ，b ，c 不全相等，故①中等号不成立，于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ＞9a ＋b ＋c. 跟踪训练1 证明 由柯西不等式知， 左边＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a b 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＋⎝⎛⎭⎫c a 2×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫b a 2＋⎝⎛⎭⎫c b 2＋⎝⎛⎭⎫a c 2 ≥⎝⎛a b×b a＋b c×c b⎭⎫＋c a×a c 2＝(1＋1＋1)2＝9， ∴原不等式成立．例2 证明 由柯西不等式，得⎝⎛⎭⎫a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n a 1(a 2＋a 3＋…＋a 1)≥⎝⎛ a 1a 2·a 2＋a 2a 3·a 3＋…⎭⎫＋a na 1·a 1 2 ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2，故a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n . 跟踪训练2 证明∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a 21a 1＋a 2＋a 22a 2＋a 3＋…＋a 2n a n ＋a 1×2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 21a 1＋a 2＋a 22a 2＋a 3＋…＋a 2n a n ＋a 1≥⎝⎛a 21a 1＋a 2·a 1＋a 2＋a 22a 2＋a 3·a 2＋a 3＋…⎭⎪⎫＋a 2na n ＋a 1·a n ＋a 12＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2＝1， ∴a 21a 1＋a 2＋a 22a 2＋a 3＋…＋a 2na n ＋a 1≥12. 例3 解 (1)∵x ＋y ＋z ＝1， ∴1x ＋4y ＋9z＝⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＋9z (x ＋y ＋z )≥⎝⎛⎭⎪⎫1x ·x ＋2y ·y ＋3z ·z 2＝(1＋2＋3)2＝36. 当且仅当x ＝y 2＝z3，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时取等号．∴1x ＋4y ＋9z 的最小值为36. (2)根据柯西不等式，有 (2x ＋1·1＋3y ＋4·1＋5z ＋6·1)2≤·(1＋1＋1)3×(2x ＋3y ＋5z ＋11) ＝3×40＝120. 故2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230，当且仅当2x ＋1＝3y ＋4＝5z ＋6， 即x ＝376，y ＝289，z ＝2215时等号成立．此时μmax ＝230.跟踪训练3 解 (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ，当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立． 又a ＞0，b ＞0，所以|a ＋b |＝a ＋b ， 所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c ， 又已知f (x )的最小值为4， 所以a ＋b ＋c ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得⎝⎛⎭⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1)≥⎝⎛⎭⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12 ＝(a ＋b ＋c )2＝16， 即14a 2＋19b 2＋c 2≥87， 当且仅当12a 2＝13b 3＝c1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立，故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值为87. 当堂训练 1．C 2.A 3.164．证明 由柯西不等式及题意，得 (x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ) ·≥(x ＋y ＋z )2＝27.又(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )＝6(x ＋y ＋z )＝183， ∴x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ≥27183＝32， 当且仅当x ＝y ＝z ＝3时，等号成立．。
高中数学选修4-5柯西不等式与排序不等式第3讲3人教版
①
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第三讲 柯西不等式与排序不等式
预习学案 课堂学案 课后练习
再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得 a11 b11 c11 a11 b11 c11 ＋ ＋ ≤ ＋ ＋ ， a b c b c c
11 11 11 a b c 即 a10＋b10＋c10≤ ＋ ＋ . b c a
[ 思路点拨]
由于题目中已明确 a≥b≥c， 所以解答本题时
可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．
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第三讲 柯西不等式与排序不等式
预习学案 课堂学案 课后练习
[ 解题过程]
1 1 ∵a≥b>0，于是 ≤ ， a b
1 1 又 c>0，从而 ≥ ， bc ca 1 1 同理 ≥ ， ca ab 1 1 1 从而 ≥ ≥ . bc ca ab
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第三讲 柯西不等式与排序不等式
预习学案 课堂学案 课后练习
1．顺序和、乱序和、反序和的概念 设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数，c1， c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则称ai与bi(i＝
a1b1＋a2b2＋…＋anbn 1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和____________________ a1c1＋a2c2＋…＋ancn 为乱序和，称相反顺序 为顺序和，称_____________________
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第三讲 柯西不等式与排序不等式
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课堂学案
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第三讲 柯西不等式与排序不等式
预习学案 课堂学案 课后练习
字母的大小顺序已确定的不等式的证明
高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.2 一般形式的柯西不等式知识导学案 新人教A版选修45
二 一般形式的柯西不等式知识梳理1.三维形式的柯西不等式设a 1,a 2,a 3,b 1,b 2,b 3是实数，则(a 12+a 22+a 32)（b 12+b 22+b 32）≥__________,当且仅当_______或存在一个数k ，使得a i =kb i (i=1,2,3)时等号成立. 2.一般形式的柯西不等式设a 1,a 2,a 3,…,a n ,b 1,b 2,b 3, …,b n 是实数，则 (a 12+a 22+…+a n 2)(b 12+b 22+…+b n 2)≥_______,当且仅当_______或存在一个数k ，使得a i =kb i (i=1,2, …,n)时，等号成立. 知识导学由二维形式的柯西不等式到一般形式的柯西不等式，是从特殊到一般的认识过程，其中三维形式的柯西不等式是过渡的桥梁，三维形式的柯西不等式可以对比二维形式的柯西不等式来理解和记忆，一般形式的柯西不等式又可以参照三维形式的柯西不等式来理解和推广.这样易于记忆不等式的结构与特征.对不等式成立的条件及等号取到的条件更要对比来研究.一般形式的柯西不等式注意整体的结构特征，因此，要从整体结构上认识这个不等式，形成一定的思维理解模式，在应用其解决问题时才能灵活应用. 疑难突破1.一般形式的柯西不等式的应用我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等一些问题，但往往不能直接应用，需要对数学式子的形式进行变化，拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构，才能应用，因而适当变形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键，也是难点.我们要注意在数学式子中，数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母的顺序，以便能使其形式一致起来，然后应用解题. 2.“1”的利用数字“1”的利用非常重要，为了利用柯西不等式，除了拼凑应该有的结构形式外，对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代表的数或式子所不能起的作用.这要求在理论上认识柯西不等式与实际应用时二者达到一种默契，即不因为“形式”与“面貌”的影响而不会用柯西不等式，教材例1中数字“1”的利用说明了处理问题与变形中的灵活性，因此，不应对“1”视而不见. 典题精讲【例1】 已知a,b,c∈R +，求证：（b a +c b +a c )(a b +b c +ca)≥9. 思路分析：对应三维形式的柯西不等式，a 1=b a ,a 2=c b ,a 3=a c ,b 1=a b ,b 2=b c ,b 3=ca ,而a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3=1，因而得证. 证明：由柯西不等式，知左边=［(b a )2+(c b )2+(a c )2］×［(a b )2+(b c )2+(ca )2］ ≥(a b ×b a +c b ×b c )+a c ×ca )2=(1+1+1)2=9.∴原不等式成立.绿色通道：由a,b,c 构成新的数字，而形成三维形式的柯西不等式，需要有较高的观察能力，从所给的数学式的结构中看出来.【变式训练】 已知a,b,c∈R +，且a+b+c=1，求证：cb a 111++≥9. 思路分析：利用“1”的代换来构造柯西不等式. 证法一：c b a 111++=(a+b+c)(cb a 111++) =［(a )2+(b )2+(c )2］×［(a 1)2+(b 1)2+(c1)2］ ≥(a ×a 1+b ×b 1+c ×c1)2=(1+1+1)2=9. 证法二：a 1+b 1+c 1=(a+b+c)(a 1+b 1+c 1) =1+b a +c a +a b +1+c b +a c +bc +1=3+(b a +c a +c b +a c +b c +ab)≥3+66a b b c a c c b c a b a ⨯⨯⨯⨯⨯=3+6=9.【例2】 已知a 1,a 2, …,a n 都是正实数，且a 1+a 2+…+a n =1.求证：1212132222121a a a a a a a a a a a a n n n n n ++++++++-- ≥21. 思路分析：已知条件中a 1+a 2+…+a n =1,可以看作“1”的代换，而要证的不等式的左侧，“数式”已经可以看出来，为,,322211a a a a a a ++, …,所以a 1+a 2+…+a n =1.应扩大2倍后再利用，本题还可以利用其他的方法证明.证法一：根据柯西不等式，得左边=1212132222121a a a a a a a a a a a a n n n n n ++++++++-- =［(a 1+a 2)+(a 2+a 3)+(a 3+a 4)+ …+(a n-1+a n )+(a n +a 1)］× ［(211a a a +)2+(322a a a +)2+(433a a a +)2+…+(n n n a a a +--11)2+(1a a a n n +)2］×21=［(21a a +)2+(32a a +)2+…+(n n a a +-1)2+(1a a n +)2］×［(211a a a +)2+(322a a a +)2+…+（n n n a a a +--11）2+(1a a a n n +)2］×21≥［(21a a +×211a a a +)+(32a a +×322a a a +)+…+(n n a a +-1×n n n a a a +--11)+(1a a n +×1a a a n n +)］2×21=(a 1+a 2+…+a n )2×21=21=右边.∴原不等式成立.证法二：∵a∈R +,则a+a1≥2, a≥2-a1. 利用上面的结论，知4)22(22221121121112121a a a a a a a a a a a a a +-=+-≥+⨯=+ 同理，有43223222a a a a a a +-≥+,…411121n n n n n n a a a a a a +-≥+----,4121a a a a a a n n n n n +-≥+-. 以上式子相加整理，得1212132222121a a a a a a a a a a a a n n n n n ++++++++-- ≥21（a 1+a 2+…+a n ）=21. 证法三：对于不等式左边的第一个分式2121a a a +,配制辅助式k(a 1+a 2)，k 为待定的正数，这里取k=41,则412121++a a a (a 1+a 2)≥)(412212121a a a a a +⨯+=a 1. 同理，413222++a a a (a 2+a 3)≥a 2.……41121++--n n n a a a (a n-1+a n )≥a n-1，4112++a a a n n (a n +a 1)≥a n .以上式子相加整理，得1212132222121a a a a a a a a a a a a n n n n n ++++++++-- ≥21(a 1+a 2+…+a n ). ∵a 1+a 2+…+a n =1,∴1212132222121a a a a a a a a a a a a n n n n n ++++++++-- ≥21. 绿色通道：通过以上不同的证明方法可以看出，无论用柯西不等式或其他重要不等式来证明，构造出所需要的某种结构是证题的难点，因此，对柯西不等式或其他重要不等式，要熟记公式的特点，能灵活变形，才能灵活应用.【变式训练】 设x 1,x 2,x 3, …,x n 都是正实数，且x 1+x 2+x 3+…+x n =S.求证：12222121-≥-++-+-n Sx S x x S x x S x n n . 思路分析：对比例2及本题要证明的不等式，知需要构造出S-x 1+S-x 2+…+S-x n .证法一：根据柯西不等式，得左边=nn x S x x S x x S x -++-+-2222121=［(S-x 1)+(S-x 2)+ …+(S-x n )］×S n x S x x S x x S x S n n n )1(1][)1(12222121-=-++-+-- nn n x S x x S x x S x x S x S x S -++-+-⨯-++-+- 221122221][])()()[(≥2222111)]()()[()1(1nn n x S x x S x S x x S x S x x S S n -⨯-++-⨯-+-⨯--=S n )1(1-(x 1+x 2+…+x n )2=S n )1(1-×S 2=1-n S =右边.∴原不等式成立. 证法二：∵a∈R +，则a+a1≥2. ∴a≥2-a1. ∴22)1(12])1(2[1)1(1----=---⨯-≥--⨯-=-n x S n x x n x S n x x S x n n x x S x i i i i i i i i i . n 个式子相加，有])1()1()1([12121222221212222121--++--+----++-+-≥-++-+-n x S n x S n x S n x n x n x x S x x S x x S x n n n n =1)1(122-=----n Sn S nS n S .∴原不等式成立. 证法三：22)1(1-+-n x S x i i (S-x i )≥ 12)()1(1222-=--∙-n x x S n x S x i ii i . ∴22)1()1(2----≥-n x S n x x S x i i i i , ∴1)1()1(12)1(12212112-=----=----≥-∑∑∑===n S n S n n S n x S n x x S x ni i n i i ni i i . ∴原不等式成立.问题探究问题：全班同学的体重与年龄有某种关系，如果让每人的体重都去乘所有人的年龄，再求其和，就可以比较得出各班之间体重间的一些问题，问这种值最小是多少？ 导思：设其人数及年龄，利用柯西不等式解答.探究：设全班为60人，年龄设为x 1,x 2, …,x 60,对应的体重为y 1,y 2,…,y 60.则 （x 1+x 2+…+x 60）(y 1+y 2+…+y 60) ≥(60602211y x y x y x +++)2.∴最小值是(60602211y x y x y x +++ )2.。
人教版高中数学选修4-5练习：第三讲3.1-3.2一般形式的柯西不等式
第三讲柯西不等式与排序不等式3.1 二维形式的柯西不等式3.2 一般形式的柯西不等式A级基础巩固一、选择题1．函数y＝x－5＋26－x的最大值是()A.3B. 5C．3 D．5解析：根据柯西不等式，知y＝1·x－5＋2·6－x≤12＋22·（x－5）2＋（6－x）2＝ 5.答案：B2．已知a，b∈R，a2＋b2＝4，则3a＋2b的最大值为()A．4 B．213C．8 D．9解析：(a2＋b2)(32＋22)≥(3a＋2b)2，3a＝2b时取等号，所以(3a＋2b)2≤4×13.当3a＋2b取最大值时为正值所以3a＋2b≤213.答案：B3．已知a，b＞0，且a＋b＝1，则(4a＋1＋4b＋1)2的最大值是()A．2 6 B. 6C．6 D．12解析：(4a＋1＋4b＋1)2＝(1·4a＋1＋1·4b＋1)2≤(12＋12)·(4a ＋1＋4b＋1)＝24(a＋b)＋2]＝2(4×1＋2)＝12，当且仅当4a＋1＝4b＋1，即a＝b时等号成立．答案：D4．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值是() A．1 B. 3C．3 D．9解析：由柯西不等式得(a)2＋(b)2＋(c)2](12＋12＋12)≥(a＋b ＋c)2，所以(a＋b＋c)2≤3×1＝3.当且仅当a＝b＝c＝13时等号成立．所以a＋b＋c的最大值为 3.故选B.答案：B5．已知a21＋a22＋…＋a2n＝1，x21＋x22＋…＋x2n＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋a n x n的最大值为()A．1 B．2C．－1 D．不确定解析：因为(a1x1＋a2x2＋…＋a n x n)2≤(a21＋a22＋…＋a2n)(x21＋x22＋…＋x2n)＝1×1＝1，当且仅当a i＝kx i(i＝1，2，…，n)时等号成立．所以a1x1＋a2x2＋…＋a n x n的最大值是1.答案：A二、填空题6．(2015·重庆卷)设a，b＞0，a＋b＝5，则a＋1＋b＋3的最大值为________．解析：因为a ，b ＞0，a ＋b ＝5，所以(a ＋1)＋(b ＋3)＝9.令x ＝a ＋1，y ＝b ＋3，则x ＋y ＝9(x ＞1，y ＞3)， 于是a ＋1＋b ＋3＝x ＋y ，而(x ＋y )2＝x ＋y ＋2xy ≤x ＋y ＋(x ＋y )＝18， 所以x ＋y ≤3 2.此时x ＝y ，即a ＋1＝b ＋3，结合a ＋b ＝5可得a ＝3.5，b ＝1.5， 故当a ＝3.5，b ＝1.5时，a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2.答案：3 27．已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为________．解析：根据柯西不等式，x 2＋y 2＋z 2＝13(12＋12＋12)×(x 2＋y 2＋z 2)≥13(1·x ＋1·y ＋1·z )2＝13(x ＋y ＋z )2＝13，当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立． 答案：138．已知a ，b ，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1的最大值为________．解析：由柯西不等式得 (4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1)2＝(1·4a ＋1＋1·4b ＋1＋1·4c ＋1)2≤(12＋12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1)＝34(a ＋b ＋c )＋3]＝21，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号． 故4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1的最大值为21. 答案：21三、解答题9．若a ，b ，c ∈R ＋，且满足a ＋b ＋c ＝2.(1)求abc 的最大值；(2)证明：1a ＋1b ＋1c ≥92. (1)解：因为a ，b ，c ∈R ＋，所以2＝a ＋b ＋c ≥33abc ，故abc ≤827. 当且仅当a ＝b ＝c ＝23时等号成立，所以abc 的最大值为827. (2)证明：因为a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝2，所以根据柯西不等式，可得1a ＋1b ＋1c ＝12(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ＝12(a )2＋(b )2＋(c )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 2≥ 12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·1b ＋c ·1c 2＝92. 所以1a ＋1b ＋1c ≥92. 10．已知x ＋y ＝1，求2x 2＋3y 2的最小值．解：由柯西不等式(2x 2＋3y 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ·12＋3y ·132＝(x ＋y )2＝1， 所以2x 2＋3y 2≥65，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝35，y ＝25时，等号成立．所以2x 2＋3y 2的最小值为65. B 级 能力提升1．已知2x ＋3y ＋4z ＝10，则x 2＋y 2＋z 2取到最小值时的x ，y ，z的值为( )A.53，109，56B.2029，3029，4029 C ．1，12，13 D ．1，14，19解析：当且仅当x 2＝y 3＝z 4时，取到最小值，所以联立⎩⎨⎧x 2＝y 3＝z 4，2x ＋3y ＋4z ＝10，可得x ＝2029，y ＝3029，z ＝4029. 答案：B2．已知ω2＋x 2＋y 2＋z 2＋F 2＝16，则F ＝8－ω－x －y －z 的最大值为________．解析：当且仅当x 2＝y 3＝z 4时，取到最小值，所以联立⎩⎨⎧x 2＝y 3＝z 4，2x ＋3y ＋4z ＝10，可得x ＝2029，y ＝3029，z ＝4029. 答案：B3．已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为－1，1]．(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ，且1a ＋12b ＋13c＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9. (1)解：因为f (x ＋2)＝m －|x |，f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m ， 由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }．又f (x ＋2)≥0的解集为－1，1]，故m ＝1.(2)证明：由①知1a ＋12b ＋13c＝1，又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.小课堂：如何培养学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
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课后导练
基础达标
1设A=a 2+b 2+c 2,B=ab+bc+ca(a,b,c ∈R ),则A 、B 的大小关系是( )
A.A>B
B.A<B
C.A≥B
D.A≤B
解析:(a 2+b 2+c 2)(b 2+c 2+a 2)
≥(ab+bc+ca)2,
∴a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca.
答案:C
2若a,b,c>0且ab+bc+ca=1,则a+b+c 的最小值为( )
A.1
B.2
C.3
D.3
解析:(a 2+b 2+c 2)2=(a 2+b 2+c 2)(b 2+c 2+a 2)≥(ab+bc+ca)2=1.
∴a 2+b 2+c 2≥1.
从而(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2(ab+bc+ac)≥1+2=3.
∴a+b+c≥3.
答案:D
3若a≠b,则a 2+3b 2与2b(a+b)的大小关系为( )
A.a 2+3b 2>2b(a+b)
B.a 2+3b 2<2b(a+b)
C.a 2+3b 2≥2b(a+b)
D.a 2+3b 2≤2b(a+b)
解析:(a 2+3b 2)2=(a 2+b 2+2b 2)
(b 2+a 2+2b 2)>(ab+ba+2b 2)2
=4b 2(a+b)2(∵a≠b,∴“=”不取),
∴a 2+3b 2>2b(a+b).
答案:A
4若a,b ，c ＞0，则M=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2),N=9abc 的大小关系为( )
A.M>N
B.M<N
C.M≥N
D.M≤N
解析:∵(a 2+b 2+c 2)(b 2+c 2+a 2)≥(ab+bc+ac)2,
∴a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca.
∴(a+b+c)(a 2+b 2+c 2)
≥(a+b+c)(bc+ac+ab) ≥(ab c ac b bc a ∙+∙+∙)2 =(abc 3)2=9abc.
∴M≥N.
答案:C
5设a,b,c>0，M=ab+bc+ca+c 2,N=ab+a+b+1,
P=16abc,则MN 与P 的大小关系是( )
A.MN>P
B.MN≤P
C.MN≥P
D.MN<P
解析:MN=(ab+bc+ca+c 2)·(ab+a+b+1)
=abc(c 1+a 1+b 1+ab c )(1+a+b+ab)≥abc(c 1+1+1+c )2=abc(c 1+1+1+c )(c +1+1+c 1)≥abc(1+1+1+1)2=16abc.
答案:C
综合运用
6已知A 、B 、C 是三角形三内角的弧度数，则
C B A 111++与π
9的大小关系为( ) A.C B A 111++≥π9 B.C B A 111++≤π
9 C.C B A 111++>π9 D.C B A 111++<π9 解析:∵A ＋B ＋C ＝π,
∴(A+B+C)(C
B A 111++)≥(1+1+1)2=9. ∴
C B A 111++≥π
9. 等号当且仅当A ＝B ＝C=
π3时取得. 答案:A
7a 、b 、c ∈R +，求证：)
(29111c b a a c c b b a ++≥+++++. 证明:2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a), ∴［(a+b)+(b+c)+(c+a)］［
a c c
b b a +++++111］≥(1+1+1)2=9. ∴)
(29111c b a a c c b b a ++≥+++++. 等号当且仅当a=b=c 时取得.
8a ∈R ，求证:(1+a+a 2)2≤3(1+a 2+a 4).
证明:3(1+a 2+a 4)=(1+1+1)(1+a 2+a 4)≥(1+a+a 2)2.
9设a 、b 、c ∈R +，求证：ab c ac b bc a 4
44++≥a 2+b 2+c 2. 证明:(bc+ac+ab)(ab
c ac b bc a 4
44++)≥(a 2+b 2+c 2)2. 又bc+ac+ab≤a 2+b 2+c 2,
∴(a 2+b 2+c 2)(ab c ac b bc a 4
44++)≥(a 2+b 2+c 2)2, 即ab
c ac b bc a 4
44++≥a 2+b 2+c 2.
拓展探究
10设n 是不小于2的正整数，证明
2221211174<+++++≤n n n . 证明:
∵(n
n n 212111+++++ )·［(n+1)+(n+2)+…+2n ］≥(1+1+…+1)2=n 2, n n n 212111+++++ ≥1
322)2()1(2+=+++++n n n n n n 7
42323211=+≥+=--n 由柯西不等式,
n
n n 212111+++++ ≤])
2(1)2(1)1(1)[111(222222n n n ++++++++ 2
2)211(])2)(12(1)2)(1(1)1(1[=-=-++++++∙<n n n n n n n n n n 备选习题
11已知非负数x i (i=1,2,3,…,n)满足x 1+x 2+…+x n =1, 求证：n x x x n ≤+++
21(n ∈N *). 证明:))(1111()(12121n n x x x x x x n n +++++++=+++=∙
221)(n x x x +++≥ =n x x x +++ 21
∴原不等式成立.
12设三角形三边分别为a,b,c,半周长为p. 求证：
p c p b p a p 3≤-+-+-. 解析:设
z c p y b p x a p =-=-=-,,, 记c p b p a p -+-+-=s,则
x+y+z=s,x 2+y 2+z 2=p.
（注:a+b+c=2p ）
由柯西不等式得
s 2=(x+y+z)2
≤(x 2+y 2+z 2)(12+12+12)
=3p ⇒s≤p 3, 即p c p b p a p 3≤-+-+-
13(第18届美国数学奥林匹克试题)
试确定方程组x+y+z=3...(1)x 2+y 2+z 2=3 (2)
x 5+y 5+z 5＝3…（3）的一切实数解.
解析:由已知并根据柯西不等式得
32=(x+y+z)2≤(x 2+y 2+z 2)(12+12+12)=3×3, 上式等号成立的充要条件是1
11z y x ==,代入(1)，得x=y=z=1.显然这是（1）（2）的唯一解，经验证也是（3）的解，所以原方程组的唯一实数解是(1,1,1).
14设x i ∈R +（i=1,2,…,n ），试证(x 1+x 2+…+x n )［
n x x x 11121+++ ］≥n 2. 证明:
［(1x )2+(2x )2+…+(n x )2］
［(11
x )2+(21x )2+…+(n
x 1)2］ ≥［1x ·11
x +2x ·21x +…+n x ·n
x 1］2 =(1+1+…+1)2.
15设a,b,c ∈R +，试证
2
222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++. 证明:
［(c b a
+)2+(a c b +)2+(b
a c +)2］ ［(c
b +)2+(a
c +)2+(b a +)2］≥(a+b+c)2,
即(b
a c a c
b
c b a +++++2
22)(b+c+c+a+a+b)≥(a+b+c)2. 故2
222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++. 16设a,b,c,d ＞1，且log a (bcd)≤9,试证log b a+log c a+log d a≥1.
证明:
［(a b log )2+(a c log )2+(a d log )2］
［(b a log )2+(c a log )2+(d a log )2］ ≥(log b a·log a b+log c a·log a c+log d a·log a d)2=(1+1+1)2=9, log b a+log c a+log d a ≥
)
(log 9log log log 9bcd d c b a a a a =++≥1.。