高中数学第三章三角恒等变形3二倍角的三角函数(二)课件北师大版必修

题型二
利用半角公式化简
α α sin －cos 1＋cos 2 2
【例 2】
化简
α＋sin α3π

2＋2cos α
2
＜α＜2π.
解
3π 3π α ∵ 2 ＜α＜2π，∴ 4 ＜2＜π，
∴原式
α α α α 2α sin －cos 2cos ＋2sin cos 2 2 2 2 2
)
解析
π π x x x ∵f(x)＝2sin 2sin 3cos 2－cos 3sin 2
1－cos x 3 3 2x ＝ 2 sin x－sin 2＝ 2 sin x－ 2 3 1 1 ＝ 2 sin x＋2cos x－2
π 1 ＝sinx＋6－2.
1 ∴f(x)max＝2.
sin 2x cos x 2sin xcos x cos x ＝ · ＝ 2cos2x · 1＋cos 2x 1＋cos x 1＋cos x x x 2sin 2cos 2 sin x ＝ ＝ 1＋cos x 2x 2cos 2 x ＝tan 2＝右边． 所以原等式成立．
方向 2
三角恒等变形的综合应用 已知函数 f(x)＝
• 答案 A
tan 12° － 3 3．计算： ＝________. 2 4cos 12° －2sin 12°
sin 12° － 3cos 12° 2sin12° －60° 解析 原式＝2sin 12° ＝ 1 ＝－4. cos 12° cos 24° 2sin 48°
• 答案 －4
θ 1 θ 4．设5π＜θ＜6π，cos2＝3，则sin4＝________.
•§3 二倍角的三角函数(二)
•内容要求 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换 的基本思想方法(重点).2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以 及三角恒等式的证明和一些简单的应用(难点)．
知识点
半角公式
± α (1)Sα：sin 2＝ 2 ± α (2)Cα：cos 2＝ 2
课堂小结 1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对 思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后 继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式． 2．辅助角公式asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)，其中φ满足：① b b φ与点(a，b)同象限；②tan φ＝a(或sin φ＝ 2 2，cos φ＝ a ＋b a 2 2). a ＋b
•规律方法 1.为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化 为余弦型(正弦型)函数，这是解决问题的前提． •2．解决有关三角函数的实际问题，应首先设定主变量角α以及相关的常 量与变量，建立含有角α的三角函数关系式，再利用三角函数的变换、性 质等进行求解．求三角函数最值的问题，一般需利用三角函数的有界性 来解决.
解
α α2 sin 2＋cos 2 原式＝ α α 2|cos 2|－ 2|sin 2|
α α2 sin 2－cos 2 ＋ α α， 2|cos 2|＋ 2|sin 2| 3π π α 3π ∵π<α< 2 ，∴2<2< 4 ， α α ∴cos 2<0，sin 2>0.
α α2 α α2 sin 2＋cos 2 sin 2－cos 2 ∴原式＝ α α＋ α α － 2sin 2＋cos 2 2sin 2－cos 2 α α α α sin 2＋cos 2 sin 2－cos 2 ＝－ ＋ 2 2 α ＝－ 2cos 2.
解 在Rt△OBC中，OB＝cos α，BC＝sin α. 在Rt△OAD中，OA＝AD＝BC＝sin α， ∴AB＝OB－OA＝cos α－sin α. 设矩形ABCD的面积为S， 则S＝AB· BC＝(cos α－sin α)sin α ＝cos αsin α－sin2α 1－cos 2α 1 ＝2sin 2α－ 2
规律方法
在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能
θ 确定时，根号前应保持正、负两个符号，而对于 tan 2，还要注意 1－cos θ sin θ θ 运用公式 tan 2＝ ＝ sin θ 来求值． 1＋cos θ
【训练 1】
4 5π θ θ 已知 sin θ＝5，且 2 <θ<3π，求 cos 2和 tan 2.
1 1 α 2－2cos α＝sin2，
α 即原式＝sin2.
方向1
三角恒等式的证明
sin 4x cos 2x cos x x 【例3－1】 证明： · · ＝tan 2. 1＋cos 4x 1＋cos 2x 1＋cos x
证明
2sin 2xcos 2x cos 2x cos x 左边＝ 2cos22x · · 1＋cos 2x 1＋cos x
解析
5π θ 3π θ ∵ 4 ＜4＜ 2 ，∴sin4＜0. θ 1－cos2 2 ＝－ 1 1－3 3 2 ＝－ 3 .
θ ∴sin4＝－
答案 3 －3
1＋sin α 3π 5．已知π<α< 2 ，化简 ＋ 1＋cos α－ 1－cos α 1－sin α . 1＋cos α＋ 1－cos α
解
4 5π ∵sin θ＝5， 2 <θ<3π，
2
3 ∴cos θ＝－ 1－sin θ＝－5. 1＋cos θ 1 由 cos θ＝2cos 2－1 得 cos 2＝ ＝5. 2
2θ 2θ
5π θ 3 ∵ 4 <2<2π. θ ∴cos 2＝－ 1＋cos θ 5 ＝－ 5 . 2
θ θ θ sin 2 2cos 2sin 2 sin θ θ tan 2＝ ＝ ＝2. θ＝ θ 1 ＋ cos θ cos 2 2cos22
【训练 2】
化简：
1 1 2－2
3π 1 1 ，2π. 2＋2cos 2α，α∈ 2
解
3π ∵α∈ 2 ，2π， ∴cos
α＞0， 则由半角公式得
1 1 2＋2cos 2αLeabharlann ＝cos α，∴原式＝ 而
1 1 α 3π α ，π ，∴sin ＞0，从 2－2cos α.又2∈ 4 2
1 2 2 2 ＝ 2 sin 2α＋ cos 2α －2 2 2
π 1 2 ＝ 2 sin2α＋4－2.
π π π 3π 由0＜α＜4，得4＜2α＋4＜ 4 . π π ∴当2α＋4＝2， 2－1 π 即α＝8时，S最大＝ 2 . 2－1 π 因此，当α＝8时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为 2 .
α 解 sin 2＝± α cos 2＝± α tan 2＝±
1－cos α ＝± 2
1 1－3 3 2 ＝± 3 ， 1 1＋3 6 2 ＝± 3 ， 1 1－3 2 1＝± 2 . 1＋3
1＋cos α ＝± 2 1－cos α ＝± 1＋cos α
α ∵α 为第四象限角，∴2为第二、四象限角． α 当2为第二象限角时， 3 6 2 α α α sin2＝ 3 ，cos2＝－ 3 ，tan2＝－ 2 ； α 当2为第四象限角时， 3 6 2 α α α sin2＝－ 3 ，cos2＝ 3 ，tan2＝－ 2 .
1－cos α 2 1＋cos α 2
； ；
± α (3)Tα：tan 2＝ 2 1－cos α (有理形式)． sin α
1－cos α 1＋cos α
sin α (无理形式)＝ 1＋cos α ＝
【预习评价】 1 α 1．若 cos α＝3，且 α∈(0，π)，则 sin2的值为( 3 A．－ 3 6 C. 3
课堂达标 1 α 1．若cos α＝3，α∈(0，π)，则cos 2的值为( 6 A. 3 6 C．± 3 6 B．－ 3 3 D．± 3 )
解析 6 3.
•
π α α α 由题意知 2 ∈(0， 2 )，∴cos 2 >0，cos 2 ＝
1＋cos α ＝ 2
答案 A
x π x 2．函数f(x)＝2sin 2sin3－2的最大值等于( 1 A.2 C．1 3 B.2 D．2
• 答案 B
)
3 B. 3 6 D．－ 3
π π 2 α 2．已知 cos α＝3，α∈ －2，2 ，则 cos2的值为(
)
6 A. 6 6 C．－ 6
30 B. 6 30 D．－ 6
答案 B
题型一 【例1】 α tan 2.
应用半角公式求值 1 α α 已知 cos α＝3，α 为第四象限角，求 sin 2、cos 2、
＝
4cos 2
2α
α α α α α 2cos2sin2－cos2cos2＋sin2 ＝ α －2cos2 ＝cos 2－sin 2＝cos α.
2α 2α
• • • • • •
规律方法 对于三角函数式的化简有下面的要求： (1)能求出值的应求出值； (2)使三角函数种数尽量少； (3)使三角函数式中的项数尽量少； (4)尽量使分母不含有三角函数； (5)尽量使被开方数不含三角函数．
π 3cos2x－3－2sin
【例 3－2】
xcos x.
(1)求 f(x)的最小正周期； π π 1 (2)求证：当 x∈ －4，4 时，f(x)≥－2.
(1)解
f(x)＝
π 3cos2x－3－2sin
3 3 xcos x＝ 2 cos 2x＋2sin 2x－sin 2x
π 1 3 ＝ sin 2x＋ cos 2x＝sin2x＋3， 2 2 2π 所以 f(x)的最小正周期 T＝ ＝π. 2
(2)证明 由(1)知 f(x)＝sin
π 2x＋ . 3
π π π π 5π ∵x∈－4，4，∴2x＋3∈－6， 6 ，