高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 . 定积分与微积分基本定理练习 理讲解
高考数学一轮复习 第2章 基本初等函数、导数及其应用
第14讲 定积分与微积分基本定理1．求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝∫10(x 2－x)dxB ．S ＝∫10(x －x 2)dxC ．S ＝∫10(y 2－y)dyD ．S ＝∫10(y －y)dy解析：选B .两函数图像的交点坐标是(0，0)，(1，1)，故积分上限是1，下限是0.由于在[0，1]上，x ≥x 2，故曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝∫10(x －x 2)d x.2．(2016·开封诊断考试)若⎠⎛01(x 2＋mx)d x ＝0，则实数m 的值为( )A ．－13B ．－23C ．－1D ．－2解析：选B.由题意知，⎠⎛01(x 2＋mx)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33＋mx 22⎪⎪⎪1＝13＋m 2＝0，得m ＝－23. 3．(2016·太原八校联考)已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1e ln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1解析：选A .由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x)′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1e lnx d x ＝(x ln x －x)⎪⎪⎪e1＝(eln e －e )－(1×ln 1－1)＝1.4．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt(g 为常数)，则电视塔高为( ) A.12g B ．g C.32g D ．2g解析：选C .由题意知电视塔高为∫21gt d t ＝12gt 2|21＝2g －12g ＝32g.5．(2016·金华十校联考)设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈（1，2]，则⎠⎛02f(x)d x 等于( )A.34 B.45C.56 D ．不存在解析：选C .如图，⎠⎛02f(x)d x＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x)d x＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21＝13＋⎝⎛⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56.6．如图，由曲线y ＝x 2和直线y ＝t 2(0<t<1)，x ＝1，x ＝0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是( )A.14B.12 C ．1D ．2解析：选A .设图中阴影部分的面积为S(t)，则S(t)＝∫t 0(t 2－x 2)d x ＋∫1t (x 2－t 2)d x ＝43t 3－t 2＋13，由S ′(t)＝2t(2t －1)＝0，得t ＝0(舍去)或t ＝12为S(t)在区间(0，1)上的最小值点，此时S(t)min ＝S ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14.7．(2016·江西省八校联考)计算⎠⎛－33(x 3cos x)d x ＝________．解析：令f(x)＝x 3cos x ，则f(x)是奇函数，所以，由定积分的几何意义知∫3－3(x 3cos x)d x ＝0. 答案：08．若m>1，则f(m)＝⎠⎛1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4x 2d x 的最小值为________． 解析：f(m)＝⎠⎛1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ⎪⎪⎪m1＝m ＋4m －5≥4－5＝－1，当且仅当m ＝2时等号成立．答案：－19．(2016·南昌调研测试卷)直线y ＝13x 与抛物线y ＝x －x 2所围图形的面积等于________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ，y ＝x －x 2，解得x ＝0或23，所以所求面积为∫230⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2－13x d x ＝∫230⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －x 2d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－13x 3⎪⎪⎪⎪230＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233－0＝481.答案：48110.⎠⎛－11(1－x 2＋x)d x ＝________．解析：⎠⎛－11(1－x 2＋x)d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11x d x ，根据定积分的几何意义可知⎠⎛－111－x 2d x等于半径为1的半圆的面积，即⎠⎛－111－x 2d x ＝π2，⎠⎛－11x d x ＝12x 2⎪⎪⎪1－1＝0，所以⎠⎛－11(1－x 2＋x)d x ＝π2.答案：π211．求下列定积分： (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ； (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x)d x.解：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121xd x ＝x 22|21－x 33|21＋ln x|21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x)d x ＝⎠⎛－π0cos x d x ＋⎠⎛－π0e xd x＝sin x|0－π＋e x |0－π＝1－1e π.12．求曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 围成的图形的面积．解：作出曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 的图像，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得交点(1，1)，(0，0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝3x ，得交点(3，9)，(0，0)，因此，所求图形的面积为 S ＝⎠⎛01(3x －x)d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x＝x 2⎪⎪⎪ 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2－13x 3⎪⎪⎪31＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32×32－13×33－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×12－13×13＝133.。
(新课标)高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第12讲 定积分与微积分基本定理(理)习题-
2017高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第12讲 定积分与微积分基本定理(理)习题A 组 基础巩固一、选择题1．下列值等于1的是导学号 25400536( ) A ．⎠⎛01x d xB ．⎠⎛01(x ＋1)d xC ．⎠⎛011d x D ．⎠⎛0112d x [答案] C[解析] ⎠⎛011d x ＝x |10＝1.2．(2015·某某某某一中期末)曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积为导学号 25400537( )A ．⎠⎜⎛0π2 (sin x －cos x )d x B ．2⎠⎜⎛0π4 (sin x －cos x )d xC ．⎠⎜⎛0π2 (cos x －sin x )d x D ．2⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x[答案] D[解析] 当x ∈[0，π2]时，y ＝sin x 与y ＝cos x 的图象的交点坐标为(π4，22)，作图可知曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积可分为两部分；一部分是曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π4所围成的平面区域的面积；另一部分是曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝π4，x ＝π2所围成的平面区域的面积．且这两部分的面积相等，结合定积分定义可知选D ．3．若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是导学号 25400538( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b[答案] D[解析] a ＝⎠⎛02x 2d x ＝13x 3|20＝83，b ＝⎠⎛02x 3d x ＝14x 4|20＝4，c ＝⎠⎛02sin x d x ＝－cos x |20＝1－cos2＜2，∴c ＜a ＜b .4．(2015·某某某某一模)如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为导学号 25400539( )A ．⎠⎛02|x 2－1|d x B ．|⎠⎛02(x 2－1)d x |C ．⎠⎛02(x 2－1)d x D ．⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x[答案] A[解析] 由曲线y ＝|x 2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即⎠⎛02|x 2－1|d x ，选A ．5．(2015·某某某某教学质量检查)已知复数z ＝a ＋(a －2)i(a ∈R ，i 为虚数单位)为实数，则⎠⎛0a (4－x 2＋x )d x 的值为导学号 25400540( )A ．2＋πB ．2＋π2C ．4＋2πD ．4＋4π[答案] A[解析] 因为复数z ＝a ＋(a －2)i(a ∈R ，i 为虚数单位)为实数，所以a －2＝0，a ＝2.⎠⎛02(4－x 2＋x )d x ＝⎠⎛024－x 2d x ＋⎠⎛02x d x ＝π＋12x 2|20＝π＋2，故选A ． 6．(2015·某某某某模拟)如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线f (x )＝sin x (x ∈(0，π))及直线x ＝a (a ∈(0，π))与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是导学号 25400541( )A ．7π12B ．2π3C ．3π4D ．5π6[答案] B[解析] 由题意知，构成试验的全部区域是矩形OACB ，面积为ax ·6a＝6.记“向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分”为事件A ，则构成事件A 的区域即为阴影部分面积，S ＝⎠⎛0a sin x d x ＝－cos x |a 0＝1－cos a ，由几何概型的概率计算公式得P (A )＝1－cos a 6＝14，所以cos a ＝－12.又a ∈(0，π)，所以a ＝2π3.二、填空题7.⎠⎛01(e x＋x )d x ＝________.导学号 25400542[答案] e －12[解析] ⎠⎛01(e x ＋x )d x ＝(e x＋12x 2)|10＝e ＋12－1＝e －12.8．(2015·某某某某质检)⎠⎛01－x 2＋2x d x ＝________.导学号 25400543[答案]π4[解析] ⎠⎛01－x 2＋2x d x 表示y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积．由y ＝－x 2＋2x 得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)． 又∵0≤x ≤1，∴y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形为14个圆，其面积为π4.∴⎠⎛01－x 2＋2x d x ＝π4.9．设a ＝⎠⎛0πsin x d x ，则曲线y ＝f (x )＝xa x＋ax －2在点(1，f (1))处的切线的斜率为________.导学号 25400544[答案] 4＋2ln2[解析] ∵a ＝⎠⎛0πsin x d x ＝(－cos x )|π0＝2，∴f (x )＝x ·2x＋2x －2. ∴f ′(x )＝2x＋x ·2xln2＋2.∴曲线在点(1，f (1))处的切线的斜率k ＝f ′(1)＝4＋2ln2.10．如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________.导学号 25400545[答案]2e2 [解析] 因为函数y ＝e x与函数y ＝ln x 互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，又函数y ＝e x与直线y ＝e 的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2(e×1－⎠⎛01e xd x )＝2e －2e x |10＝2e －(2e －2)＝2，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率P ＝S 阴影S 正方形＝2e 2. 三、解答题11．(1)A ，B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站．电车行驶t s 后到达途中C 点，这一段速度为1.2t m/s ，到C 点的速度达24 m/s ，从C 点到B 点站前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t )m/s ，在B 点恰好停车，试求：①A ，C 间的距离；②B ，D 间的距离．(2)设力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且和x 轴正向相同，求力F (x )对质点M 所作的功.导学号 25400546[答案] (1)①240 m ②240 m (2)342 J[解析] (1)①设A 到C 经过t 1 s ，由1.2t 1＝24， 得t 1＝20 s ．所以AC ＝∫2001.2t d t ＝0.6t 2|200＝240(m)． ②设从D 到B 经过t 2 s ，由24－1.2t 2＝0，得t 2＝20 s. 所以DB ＝∫200(24－1.2t )d t ＝240 m. (2)W ＝∫101F (x )d x ＝∫101(x 2＋1)d x ＝(13x 3＋x )|101＝342. ∴力对质点M 所作的功为342 J.12．定义一个对应法则：P (m ，n )→P ′(m ，n )(m ≥0，n ≥0)．现有直角坐标平面内的点A (1,9)与点B (9,1)，点M 是线段AB 上的动点，按定义的对应法则：M →M ′，当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 时，求由点M 的对应点M ′的轨迹与圆(x －2)2＋(y －5)2＝17所围成的曲线M ′下方部分的面积.导学号 25400547[答案] 43＋17π2[解析] 由题意知点M 所在直线的方程为x ＋y ＝10(1≤x ≤9)，设点M (t,10－t )(1≤t ≤9)，M ′(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝ty ＝10－t，即点M ′的轨迹方程为y ＝10－x 2(1≤x ≤3)．因为过(1,9)，(3,1)两点的直线方程为y ＝－4x ＋13，由题意知，所求面积由曲线y ＝10－x 2(1≤x ≤3)与直线y ＝－4x ＋13围成的面积加半圆的面积组成，即所求面积S ＝⎠⎛13[(10－x 2)－(－4x ＋13)]d x ＋π2×17＝⎠⎛13(－x 2＋4x －3)d x ＋17π2＝43＋17π2.B 组 能力提升1．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝8，则实数a 的值为导学号 25400548( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2[答案] B[解析] 因为f (1)＝ln1＝0，f (0)＝0＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3|a0＝a 3，所以由f (f (1))＝8得，a3＝8，解得a ＝2.2．设a ＝∫π2－π22cos(x ＋π4)d x ，则二项式(a x －1x)6的展开式中x 的系数为导学号 25400549( )A ．240B ．193C ．－6D ．7[答案] A [解析] 由于∫π2－π22cos(x ＋π4)d x ＝∫π2－π2(cos x －sin x )d x ＝∫π2－π2cos x d x ＝－∫π2－π2sin xdx ＝2，则a ＝2，(a x －1x )6＝(2x －1x )6的展开式中x 的系数为C 2624(－1)2＝240，故选A ．3．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AC ＝2，O 为AC 的中点，抛物线的一部分在矩形内，点O 为抛物线的顶点，点B ，D 在抛物线上，在矩形内随机地投一点，则此点落在阴影部分的概率为________.导学号 25400550[答案] 13[解析] 取BD 的中点E ，以O 为坐标原点，OE 所在直线为x 轴，OA 所在直线为y 轴建立直角坐标系，则抛物线方程为y 2＝x ，曲边三角形AOB 的面积为1－⎠⎛01x d x ＝1－23x 32|10＝13，又矩形ABDC 的面积为2，根据几何概型的概率计算公式得，此点落在阴影部分的概率为13×22＝13. 4．(2015·某某某某二中模考)已知函数f (x )＝ln|x |(x ≠0)，函数g (x )＝1f ′x＋af ′(x )(x ≠0).导学号 25400551(1)当x ≠0时，求函数y ＝g (x )的表达式；(2)若a ＞0，函数y ＝g (x )在(0，＋∞)上的最小值是2，求a 的值；(3)在(2)的条件下，求直线y ＝23x ＋76与函数y ＝g (x )的图象所围成图形的面积．[答案] (1)g (x )＝x ＋a x(2)a ＝1 (3)724＋ln3－2ln2 [解析] (1)∵f (x )＝ln|x |，∴当x ＞0时，f (x )＝ln x ，f ′(x )＝1x，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )，f ′(x )＝1－x ·(－1)＝1x .∴当x ≠0时，函数y ＝g (x )＝x ＋ax. (2)由(1)知当x ＞0时，g (x )＝x ＋a x，∴当a ＞0，x ＞0时，g (x )≥2a ，当且仅当x ＝a 时取等号． ∴函数y ＝g (x )在(0，＋∞)上的最小值是2a . ∴依题意得2a ＝2.∴a ＝1. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝23x ＋76，y ＝x ＋1x，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝32y 1＝136，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2y 2＝52.∴直线y ＝23x ＋76与函数y ＝g (x )的图象所围成图形的面积S ＝⎠⎛232[(23x ＋76)－(x ＋1x )]d x＝724＋ln3－2ln2. 5．(2014·某某联考)学校操场边有一条小沟，沟沿是两条长150米的平行线段，沟宽AB 为2米，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为O ，对称轴与地面垂直，沟深2米，沟中水深1米.导学号 25400552(1)求水面宽；(2)如图①所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，求沟中的水有多少立方米？(3)现在学校要把这条水沟改挖(不准填土)成截面为等腰梯形的沟，使沟的底面与地面平行，沟深不变，两腰分别与抛物线相切，(如图②所示)，问改挖后的沟底宽为多少米时，所挖的土最少？[答案] (1)2米 (2)1002立方米 (3)22米 [解析] (1)建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为y ＝ax 2，－1≤x ≤1.则由抛物线过点B (1,2)，可得a ＝2.于是抛物线方程为y ＝2x 2，－1≤x ≤1.当y ＝1时，x ＝±22，由此知水面宽为2米． (2)V ＝2×150⎠⎜⎛022 (1－2x 2)d x ＝300[22－23(22)3]＝1002(立方米)．(3)为使挖的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切． 设切点P (t,2t 2)(0＜t ≤1)是抛物线弧OB 上的一点，过点P 作抛物线的切线得到如图所示的直角梯形OCDE ，则切线CD 的方程为y －2t 2＝4t (x －t )，于是C (12t,0)，D (12t ＋12t，2)．记梯形OCDE 的面积为S ，则S ＝(t 2＋t 2＋12t)≥2，当且仅当t ＝12t ，t ＝22时，等号成立，所以改挖后的沟底宽为22米时，所挖的土最少．。
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时作业19 定积分与微积分基本定理课件 理
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课时(kèshí)作业(十九)
内容 总结 (nèiróng)
No
Image
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4．如图所示，曲线 y＝x2－1，x＝2，x＝0，y＝0 围成的阴影部分的面 积为( )
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答案 A
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答案 B
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答案 C
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能力提升组
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答案 A
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答案 B
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答案 1
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答案
4 3
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课时(kèshí)作业(十九)
定积分与微积分基本定理
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一、选择题 1．下列积分值为 1 的是(
基础过关组 )
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解析
答案 B
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答案 D
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答案 D
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答案 A
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.12 定积分与微积分基本定理习题课件 理
A．1 22
C. 3
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π B.4 D．2 2－2
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二、填空题 2
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12．(2017·南开区二模)由曲线 y＝x2，y＝ x围成的封闭
1 图形的面积为___3_____．
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e 1
x＋1x
dx
＝
12x2＋ln
x
|
e 1
＝
12e2＋1 －
12＋0
＝
e2＋2 1，故选 B.
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3．(2017·抚州期中)曲线 y＝2x与直线 y＝x－1 及直线 x ＝1 所围成的封闭图形的面积为( )
A.34 B.52 C．4－2ln 2 D．2ln 2－12
7．设 a＝0πsinxdx，则a
x－
1
6
x
的展开式中常数项是
()
A．－160 B．160 C．－20 D．20
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解析 依题意得，a＝－cosx|π0＝－(cosπ－cos0)＝2，源自ax－ 1x6＝2
x－
1
6
x
的展开式的通项
Tr＋1＝
C
r 6
·(2
x)6－
解
(1)f′(x)＝ 2
44x－8＝
x1－2，
∴切线 l 的斜率 k＝f′(6)＝12，
∴切线 l 的方程为 y－4＝12(x－6)，即 x－2y＋2＝0.
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 . 定积分与微积分基本定理练习 理创新
第二章 函数、导数及其应用 2.12 定积分与微积分基本定理练习 理[A 组·基础达标练]1．与定积分∫3π1－cos x d x 相等的是( )A .2∫3π0sin x 2d x B .2∫3π0⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2d x C .⎪⎪⎪⎪⎪⎪2∫3π0sin x2d x D ．以上结论都不对答案 B解析 ∵1－cos x ＝2sin 2x2，∴∫3π1－cos x d x ＝∫3π2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2d x ＝2·∫3π0⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2d x. 2．[2016·开封考试]若∫10(x 2＋mx)d x ＝0，则实数m 的值为( )A ．－13B ．－23C ．－1D ．－2答案 B解析 由题意知，∫1(x 2＋mx)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33＋mx 22| 10＝13＋m 2＝0，得m ＝－23.3．[2015·山西四校联考]定积分⎠⎛－22|x 2－2x|d x ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 D解析 |x 2－2x|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，－2≤x<0，－x 2＋2x ，0≤x≤2，⎠⎛－22|x 2－2x|d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x)d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2⎪⎪⎪2＝8.4．[2015·洛阳统考]利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“⎠⎛a 0x 2d x>181”发生的概率为( )A .89B .19C .23D .13答案 C解析 ∵⎠⎛0a x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪a＝13a 3>181，∴a>13， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a>13＝1－131＝23.5．[2015·淄博一模] 如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )A .⎠⎛02|x 2－1|d xB .⎪⎪⎪⎪⎠⎛02 x 2－1 d xC .⎠⎛02(x 2－1)d xD .⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x答案 A解析 由曲线y ＝|x 2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如右图所示的面积相等，即⎠⎛02|x 2－1|d x. 6．[2015·贵阳期末]若任取x ，y∈[0,1]，则点P(x ，y)满足y≤x 12的概率为( )A .22B .13C .12D .23答案 D解析 如图，∵满足题意的图形的面积S 1＝⎠⎛01x12 d x ＝23x 32⎪⎪⎪1＝23，∴所求概率P ＝S 11×1＝23.7. [2015·衡中三模]由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是( )A .92B .423＋76 C .76D .2＋1答案 B解析 把阴影部分分成两部分求面积． S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛－2(2－x 2)d x ＋⎠⎛01(2－x 2－x)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －x 33⎪⎪⎪0－2＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －x 33－x 22⎪⎪⎪1＝22－ 2 33＋2－13－12＝423＋76. 8．[2014·湖北高考]若函数f(x)，g(x)满足⎠⎛－11 f(x)g(x)d x ＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sin 12x ，g(x)＝cos 12x ；②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1； ③f(x)＝x ，g(x)＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析 对于①，⎠⎛－11sin 12x cos 12x d x ＝⎠⎛－1112sin x d x ＝0，所以①是一组正交函数；对于②，⎠⎛－11 (x ＋1)(x －1)d x ＝⎠⎛－11 (x 2－1)d x≠0，所以②不是一组正交函数； 对于③，⎠⎛－11x·x 2d x ＝⎠⎛－11x 3d x ＝0，所以③是一组正交函数．选C .9．[2015·合肥模拟]设函数f(x)＝(x －1)x(x ＋1)，则满足⎠⎛0a f′(x)d x ＝0的实数a ＝________.答案 1解析 ⎠⎛0a f′(x)d x ＝f(a)＝0，得a ＝0或1或－1，又由积分性质知a>0，故a ＝1.10．⎠⎜⎛0π22sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4d x ＝________.答案 2解析 依题意得⎠⎜⎛0π22sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4d x ＝⎠⎜⎛0π2 (sin x ＋cos x)d x ＝(sin x －cos x)⎪⎪⎪⎪π20＝⎝⎛⎭⎪⎫sin π2－cos π2－(sin 0－cos 0)＝2.11．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，⎠⎛01f(x)d x ＝－2，(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．解 (1)设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)， 则f′(x)＝2ax ＋b. 由f(－1)＝2，f′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2，b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a ，b ＝0，∴f(x)＝ax 2＋2－a.又⎠⎛01f(x)d x ＝⎠⎛01(ax 2＋2－a)d x＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13ax 3＋ 2－a x ⎪⎪⎪1＝2－23a ＝－2，∴a＝6，从而f(x)＝6x 2－4. (2)∵f(x)＝6x 2－4，x∈[－1,1]． ∴当x ＝0时，[f(x)]min ＝－4； 当x ＝±1时，[f(x)]max ＝2.12. 在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．解 S 1面积等于边长分别为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3.S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t 2,1－t 面积，即S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t)＝23t 3－t 2＋13.所以阴影部分的面积S(t)＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t≤1)．令S′(t)＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12＝0，得t ＝0或t ＝12.t ＝0时，S(t)＝13；t ＝12时，S(t)＝14；t ＝1时，S(t)＝23.所以当t ＝12时，S(t)最小，且最小值为14.[B 组·能力提升练]1．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为()A.14B.15C.16D.17答案 C解析 根据题意，正方形OABC 的面积为1×1＝1，而阴影部分由函数y ＝x 与y ＝x 围成，其面积为⎠⎛01(x －x)d x ＝⎝ ⎛⎪⎪⎪⎪23x 32－ ⎭⎪⎫x 221＝16，则在正方形OABC 中任取一点P ，点P 恰好取自阴影部分的概率为161＝16.故应选C .2．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形(如图中的阴影部分所示)的面积是()A ．1B .π4C .223 D ．22－2答案 D解析 解法一：由sin x ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得x ＝π4.故所求阴影部分的面积S ＝⎠⎜⎛0π4(cos x －sin x)d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2 (sin x －cos x)d x＝(sin x ＋cos x)⎪⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x)⎪⎪⎪⎪π2π4＝sinπ4＋cos π4－sin 0－cos 0＋⎣⎢⎡ ⎝⎛⎭⎪⎫－cos π2－sin π2－⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π4－sin π4＝22－2.故选D .解法二：由sin x ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得x ＝π4.根据图象的对称性，可知所求阴影部分的面积S ＝2⎠⎜⎛0 π4 (cos x －sin x)d x ＝2(sin x ＋cos x)⎪⎪⎪⎪π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π4＋cos π4－sin 0－cos 0＝22－2.故选D .3．设函数f(x)＝ax 2＋c(a≠0)，若⎠⎛01f(x)d x ＝f(x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．答案33解析 因为f(x)＝ax 2＋c(a≠0)，且⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋cx ′＝ax 2＋c ，所以⎠⎛01f(x)d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋cx | 1 0＝a 3＋c ＝ax 20＋c ，解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)．4．[2016·重庆模拟] 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，直线l 1：x ＝2，直线l 2：y ＝－t 2＋8t(其中0≤t≤2，t 为常数)．若直线l 1，l 2与函数f(x)的图象以及l 2，y 轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图阴影所示．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求阴影面积S 关于t 的函数S(t)的解析式．解 (1)由题图可知二次函数的图象过点(0,0)，(8,0)，并且f(x)的最大值为16， 则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a×82＋b×8＋c ＝0，4ac －b 24a ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝8，c ＝0.(2)由(1)得f(x)＝－x 2＋8x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－t 2＋8t ，y ＝－x 2＋8x ，得x 2－8x －t(t －8)＝0，所以x 1＝t ，x 2＝8－t. 因为0≤t≤2，所以直线l 2与f(x)的图象的交点坐标为(t ，－t 2＋8t)． 由定积分的几何意义知S(t)＝⎠⎛0t [(－t 2＋8t)－(－x 2＋8x)]d x ＋⎠⎛t2[(－x 2＋8x)－(－t 2＋8t)]d x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －t 2＋8t x－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋4x 2⎪⎪⎪t＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋4x 2－ －t 2＋8t x ⎪⎪⎪2t＝－43t 3＋10t 2－16t ＋403.所以S(t)＝－43t 3＋10t 2－16t ＋403(0≤t≤2)．。
高考数学大一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.12 定积分与微积分基本定理课件 理 北师大版
x2)dx＝12x2－13x3|
10＝61。
4．(2016·阜阳模拟)已知 t>1，若t (2x＋1)dx＝t2，则 t＝__2______。 1
解析
t (2x＋1)dx＝(x2＋
1
x)|
t1＝t2＋
t－2，
从而得方程 t2＋t－2＝t2，解得 t＝2。
π 5. －1 1－x2dx＝__2______。
④S＝bf(x)dx－bg(x)dx
a
a
＝b[f(x)－g(x)]dx。 a
(2)定积分在物理中的应用
①变速直线运动的路程公式
做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v＝v(t)(v(t)≥0) bv(t)dt
在时间区间[a，b]上的定积分，即 s＝_____a________。
②变力做功问题
物体在变力 F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与力 F(x)相同的 bF(x)dx
方向从 x＝a 移动到 x＝b(a<b)，则变力 F(x)所做的功为 W＝__a______。
基础自测
[判一判]
(1)设函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则bf(x)dx＝bf(t)dt。( √ )
a
a
(4)如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于 0，S 与 s 的差也趋于 0，
此时，S 与 s 同时趋于某一个固定的常数 A，我们就称 A 是函数 y＝f(x)在区
bf(x)dx
bf(x)dx
间[a，b]上的定积分，记作___a________，即_____a__________＝A。
其中__∫____叫作积分号，__a___叫作积分的下限，___b__叫作积分的上 限，____f(_x_) __叫作被积函数。
高考数学Ι轮教案及其练习精析《定积分与微积分的基本定理
高考数学Ι轮精品教案及其练习精析《定积分与微积分的基本定理》教案章节：第一章定积分的概念教学目标：1. 理解定积分的概念，掌握定积分的定义和性质。
2. 学会计算简单的定积分，并能应用定积分解决实际问题。
教学内容：1. 定积分的定义2. 定积分的性质3. 定积分的计算方法4. 定积分的应用教学步骤：1. 引入定积分的概念，引导学生思考如何求解曲线下的面积。
2. 讲解定积分的定义，解释定积分的几何意义和物理意义。
3. 引导学生通过图形和实例理解定积分的性质，如线性性、保号性等。
4. 教授定积分的计算方法，如牛顿-莱布尼茨公式、分部积分法等。
5. 提供实际问题，让学生应用定积分解决实际问题，如计算曲线下的面积、求解弯曲线路的距离等。
教学练习：a. 定积分表示曲线下的面积。
b. 定积分具有线性性。
c. 定积分可以大于曲线下的面积。
a. 定积分的几何意义是曲线下的面积。
b. 定积分的物理意义是曲线下的质量。
c. 定积分的计算方法有牛顿-莱布尼茨公式和分部积分法。
a. ∫(从0到1) x^2 dxb. ∫(从1到2) e^x dx教学评价：1. 学生能够理解定积分的概念和性质。
2. 学生能够掌握定积分的计算方法。
3. 学生能够应用定积分解决实际问题。
教案章节：第二章微积分的基本定理教学目标：1. 理解微积分的基本定理，掌握微积分的基本定理的内容和应用。
2. 学会计算不定积分和定积分，并能应用微积分的基本定理解决实际问题。
教学内容：1. 微积分的基本定理的定义2. 微积分的基本定理的内容3. 微积分的基本定理的应用教学步骤：1. 引入微积分的基本定理，引导学生思考如何求解曲线的原函数。
2. 讲解微积分的基本定理，解释微积分的基本定理的意义和应用。
3. 引导学生通过图形和实例理解微积分的基本定理的应用，如计算曲线的面积、求解曲线与坐标轴的交点等。
4. 教授不定积分和定积分的计算方法，如基本积分表、换元积分法等。
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.12 定
2．12 定积分与微积分基本定理[知识梳理]1．定积分的概念2．定积分的几何意义3．定积分的性质4．微积分基本定理5．定积分的应用(1)定积分与曲边梯形面积的关系设阴影部分的面积为S.6．定积分应用的两条常用结论(1)当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．(2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是路程．[诊断自测]1．概念思辨(1)在区间[a，b]上连续的曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0所围成的曲边b|f(x)|d x.( )梯形的面积S＝⎠⎛ab f(x)d x<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下(2)若⎠⎛a方．( )答案(1)√(2)×(3)√(4)√2．教材衍化答案 D(2)(选修A2－2P67T7)直线y＝3x与曲线y＝x2围成图形的面积为( )A.272 B ．9 C.92 D.274答案 C解析 由已知，联立直线与曲线方程得到⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝9，则围成图形的面积为⎠⎛03(3x －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2－13x 3|3＝32×3×3－13×3×3×3 ＝16×3×3×3＝92.故选C. 3．小题热身答案 B答案 D题型1 定积分的计算典例1 (2017·广州质检)定积分⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8被积函数中含有绝对值，可表示为分段函数后再求积分．答案 D解析 ∵|x 2－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，－2≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2，∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|0－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2|20＝8.故选D.典例2求和的积分，可转化为求积分的和．答案 23典例3本题应用转化法．答案π2方法技巧求定积分的常用方法1．微积分基本定理法：其一般步骤为：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的和、差、积或商．(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分．(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值．(5)计算原始定积分的值．2．用定积分的几何意义求：将待求定积分转化为一个易求平面图形的面积，进而求值．如典例3.3．用定积分的基本性质求：对绝对值函数，分段函数，可利用定积分的基本性质将积分区间分解为若干部分求解．冲关针对训练1．(2014·江西高考)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( ) A ．－1 B ．－13 C.13 D ．1答案 B解析 令⎠⎛01f (x )d x ＝m ，则f (x )＝x 2＋2m ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛1(x 2＋2m )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2mx |10＝13＋2m ＝m ，解得m ＝－13，故选B. 2．若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1 答案 B题型2 利用定积分求平面图形的面积角度1 求平面图形的面积典例 (2017·葫芦岛模拟)如图所示，正弦曲线y ＝sin x ，余弦曲线y ＝cos x 与两直线x ＝0，x ＝π所围成的阴影部分的面积为( )A．1 B. 2 C．2 D．2 2本题采用割补转化法．答案 D角度2 已知曲边梯形面积求参数典例(2017·北京东城区检测)如图，已知点A⎝⎛⎭⎪⎫0，14，点P(x0，y0)(x0>0)在曲线y＝x2上，若阴影部分的面积与△OAP的面积相等，则x0＝________.本题应用方程思想．答案6 4角度3 与其他知识的交汇命题典例(2014·辽宁高考)正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．本题应用数形结合思想方法．答案 23方法技巧1．利用定积分求平面图形面积的步骤 (1)根据题意画出图形．(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限． (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和． (4)计算定积分，求出平面图形的面积．2．知图形的面积求参数．求解此类题的突破口是画图，一般是先画出它的草图，然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值．见角度2典例．3．与概率相交汇问题．解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算．见角度3典例．冲关针对训练1．(2018·河北衡水中学三模)由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是( )A.92 B.423＋76C.76D.2＋1答案 B2．(2018·洛阳统考)若⎠⎛0n |x －5|d x ＝25，则(2x －1)n的二项展开式中x 2的系数为________．答案 180①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C答案 A3．(2017·和平区期末)物体A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后物体A追上物体B所用的时间t(s)为( )A．3 B．4 C．5 D．6答案 C4．(2017·江西联考)⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝________.答案 1＋π4解析 ⎠⎛011－x 2d x 表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的14，∴⎠⎛011－x 2d x ＝π4.又∵⎠⎛012x d x ＝x 210＝1，∴⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛011－x 2d x ＝1＋π4.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2017·凉山州模拟)⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x ＝( )A ．e 2B.e 2＋12 C.e 2－12 D.e 2＋32答案 B解析 ⎠⎛1e⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋ln x |e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12e 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋0＝e 2＋12，故选B.答案 C3．(2017·抚州期中)曲线y ＝2x与直线y ＝x －1及直线x ＝1所围成的封闭图形的面积为( )A.34B.52 C ．4－2ln 2 D ．2ln 2－12 答案 D解析 画图得三个交点分别为(1,0)，(1,2)，(2,1)，故曲线y ＝2x与直线y ＝x －1及直线x ＝1所围成的封闭图形的面积为S ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2ln x －12x 2＋x |21＝2ln 2－2＋2＋12－1＝2ln 2－12，故选D.4．(2018·南昌一模)若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6 答案 A解析 由题意可知⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，解得a ＝2.故选A.5．(2017·郑州质检)已知等比数列{a n }，且a 6＋a 8＝⎠⎛0416－x 2d x ，则a 8(a 4＋2a 6＋a 8)的值为( ) A ．π2 B ．4π2 C ．8π2 D ．16π2答案 D解析 因为a 6＋a 8＝⎠⎛0416－x 2d x ＝14×π×42＝4π，所以a 8(a 4＋2a 6＋a 8)＝a 8a 4＋2a 6a 8＋a 28＝a 26＋2a 6a 8＋a 28＝(a 6＋a 8)2＝16π2，故选D.6．(2017·河南模拟)已知1sin φ＋1cos φ＝22，若φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则⎠⎛－1tan φ(x 2－2x )d x ＝( )A.13 B ．－13 C.23 D ．－23 答案 C7．设a ＝⎠⎛0πsin x d x ，则⎝⎛⎭⎪⎫a x －1x 6的展开式中常数项是( )A ．－160B ．160C ．－20D ．20 答案 A解析 依题意得，a ＝－cos x|π＝－(cos π－cos0)＝2，⎝⎛⎭⎪⎫a x －1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式的通项T r ＋1＝C r6·(2x )6－r·⎝⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 6·26－r ·(－1)r ·x 3－r.令3－r ＝0，得r ＝3.因此⎝⎛⎭⎪⎫a x －1x 6的展开式中的常数项为C 36·23·(－1)3＝－160，故选A. 8．如图，设抛物线y ＝－x 2＋1的顶点为A ，与x 轴正半轴的交点为B ，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M ，随机往M 内投一点P ，则点P 落在△AOB 内的概率是( )A.56B.45C.34D.23 答案 C解析 因为第一象限内抛物线与坐标轴所围区域的面积为⎠⎛01(－x 2＋1)d x ＝(－13x 3＋x )|10＝23，△AOB 的面积为S ＝12×1×1＝12，所以P 点落在△AOB 内的概率为1223＝34.故选C.9．(2018·枣庄模拟)一辆汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝2＋sin t (t 的单位：h ，v 的单位：km/h)，那么它在0≤t ≤1这段时间内行驶的路程s (单位：km)是( )A ．3－cos1B ．3＋cos1C ．1＋cos1D ．1－cos1答案 A解析 由v (t )＝2＋sin t >0，故这辆车行驶的路程s ＝⎠⎛01v (t )d t ＝⎠⎛01(2＋sin t )d t ＝(2t－cos t )10＝(2－cos1)－(－cos0)＝3－cos1，故选A.10．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形(如图中的阴影部分所示)的面积是()A ．1 B.π4 C.223D ．22－2 答案 D二、填空题答案212．(2017·南开区二模)由曲线y ＝x 2，y ＝x 围成的封闭图形的面积为________． 答案 1313．(2017·金版原创)若m >1，则f (m )＝⎠⎛1m ⎝⎛⎭⎪⎫1－4x 2d x 的最小值为________．答案 －1解析 f (m )＝⎠⎛1m ⎝⎛⎭⎪⎫1－4x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x|m1＝m ＋4m－5≥4－5＝－1，当且仅当m ＝2时等号成立．14．(2017·山西大学附中模拟)曲线y ＝2sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积为________．答案 23－2π3三、解答题15．(2017·阳东县校级月考)如图，过点A (6,4)作曲线f (x )＝4x －8的切线l .(1)求切线l 的方程；(2)求切线l ，x 轴及曲线f (x )＝4x －8所围成的封闭图形的面积S . 解 (1)f ′(x )＝424x －8＝1x －2，∴切线l 的斜率k ＝f ′(6)＝12，∴切线l 的方程为y －4＝12(x －6)，即x －2y ＋2＝0.(2)令f (x )＝0得x ＝2，把y ＝0代入x －2y ＋2＝0得x ＝－2， ∴封闭图形的面积16.(2017·信阳调研)在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．解 面积S 1等于边长为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3. S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t 2,1－t .即S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13.所以阴影部分面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12＝0时，得t ＝0或t ＝12.t ＝0时，S ＝13；t ＝12时，S ＝14；t ＝1时，S ＝23.所以当t ＝12时，S 最小，且最小值为14.。
2020届高考一轮复习数学(理科) 第二章 函数、导数及其应用第十二节 定积分与微积分基本定理
第十二节 定积分与微积分基本定理
最新考纲
考情索引
1.了解定积分的实际 2015·天津卷，
背景，了解定积分的 T11
基本思想，了解定积 2015·福建卷，
分的概念．
T8
2.了解微积分基本定 2015·陕西卷，
理的含义.
T16
核心素养
1.数学运算 2.直观想象
1．定积分的概念与几何意义
利用定积分求解曲边图形的面积，关键把握住两点： 一是准确确定被积函数，一般的原则是“上”－“下”， 即根据曲边图形的结构特征，用上方曲线对应的函数解 析式减去下方曲线对应的函数解析式；二是准确确定定 积分的上下限，应为曲线图形左右两边对应的点的横坐 标，上下限的顺序不能颠倒．
[变式训练]
1．(2019·衡水中学六调)曲线 y＝x3－3x 和直线 y＝x
(1)定积分的定义．
如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，
b]等分成 n 个小区间，在每个小区间上任取一点 ξi(i＝1，
n
2，…，n)，作和式
i＝1
n
f（ξi）Δx＝
i＝1
b－n af(ξi)，当
n→
∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数
f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作∫__Leabharlann a_f(_x_)_d_x_，即∫ab
10t，则从 t＝0 到 t＝t0 质点所经过的路程是( )
A．10t20 B．5t20
C.130t20
D.53t20
解析：(1)1 |x|dx＝0 (－x)dx＋1xdx＝21xdx＝x2|10＝1.
近年高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课时达标17定积分与微积分基本定理理(2021年整理)
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课时达标 第17讲［解密考纲］本考点主要考查利用微积分基本定理以及积分的性质求定积分、曲边梯形的面积，常与导数、概率相结合命题，通常以选择题的形式呈现，题目难度中等．一、选择题1．⎠⎛01e xd x 的值等于( C ）A ．eB ．1－eC ．e －1D ．错误!（e －1)解析 ⎠⎛01e xd x ＝e x|错误!＝e 1－e 0＝e －1，故选C ．2．错误!错误!d x ＝( C ） A ．e 2－2 B ．e －1 C ．e 2D ．e ＋1解析 错误!错误!d x ＝(x 2＋ln x ）｜错误!＝e 2.故选C ．3．求曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( A ） A ．S ＝错误!（x －x 2)d x B ．S ＝错误!（x 2－x ）d x C ．S ＝错误!(y 2－y )d yD ．S ＝错误!(y －错误!）d y解析 由图象可得S ＝错误!（x －x 2)d x 。
第3题图 第4题图4．曲线y ＝错误!与直线y ＝x －1及直线x ＝4所围成的封闭图形的面积为（ D ）A ．2ln 2B ．2－ln 2C ．4－ln 2D ．4－2ln 2解析 由曲线y ＝错误!与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭图形,如图中阴影部分所示,故所求图形的面积为S＝错误!错误!d x＝(错误!x2－x－2ln x)|错误!＝4－2ln 2。
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第二章 函数、导数及其应用 2.12 定积分与微积分基本定理练习 理[A 组·基础达标练]1．与定积分∫3π1－cos x d x 相等的是( )A .2∫3π0sin x 2d x B .2∫3π0⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2d x C .⎪⎪⎪⎪⎪⎪2∫3π0sin x2d x D ．以上结论都不对答案 B解析 ∵1－cos x ＝2sin 2x2，∴∫3π1－cos x d x ＝∫3π2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2d x ＝2·∫3π0⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2d x. 2．[2016·开封考试]若∫10(x 2＋mx)d x ＝0，则实数m 的值为( )A ．－13B ．－23C ．－1D ．－2答案 B解析 由题意知，∫1(x 2＋mx)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33＋mx 22| 10＝13＋m 2＝0，得m ＝－23.3．[2015·山西四校联考]定积分⎠⎛－22|x 2－2x|d x ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 D解析 |x 2－2x|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，－2≤x<0，－x 2＋2x ，0≤x≤2，⎠⎛－22|x 2－2x|d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x)d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2⎪⎪⎪2＝8.4．[2015·洛阳统考]利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“⎠⎛a 0x 2d x>181”发生的概率为( )A .89B .19C .23D .13答案 C解析 ∵⎠⎛0a x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪a＝13a 3>181，∴a>13， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a>13＝1－131＝23.5．[2015·淄博一模] 如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )A .⎠⎛02|x 2－1|d xB .⎪⎪⎪⎪⎠⎛02 x 2－1 d xC .⎠⎛02(x 2－1)d xD .⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x答案 A解析 由曲线y ＝|x 2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如右图所示的面积相等，即⎠⎛02|x 2－1|d x. 6．[2015·贵阳期末]若任取x ，y∈[0,1]，则点P(x ，y)满足y≤x 12的概率为( )A .22B .13C .12D .23答案 D解析 如图，∵满足题意的图形的面积S 1＝⎠⎛01x12 d x ＝23x 32⎪⎪⎪1＝23，∴所求概率P ＝S 11×1＝23.7. [2015·衡中三模]由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是( )A .92B .423＋76 C .76D .2＋1答案 B解析 把阴影部分分成两部分求面积． S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛－2(2－x 2)d x ＋⎠⎛01(2－x 2－x)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －x 33⎪⎪⎪0－2＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －x 33－x 22⎪⎪⎪1＝22－ 2 33＋2－13－12＝423＋76. 8．[2014·湖北高考]若函数f(x)，g(x)满足⎠⎛－11 f(x)g(x)d x ＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sin 12x ，g(x)＝cos 12x ；②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1； ③f(x)＝x ，g(x)＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析 对于①，⎠⎛－11sin 12x cos 12x d x ＝⎠⎛－1112sin x d x ＝0，所以①是一组正交函数；对于②，⎠⎛－11 (x ＋1)(x －1)d x ＝⎠⎛－11 (x 2－1)d x≠0，所以②不是一组正交函数； 对于③，⎠⎛－11x·x 2d x ＝⎠⎛－11x 3d x ＝0，所以③是一组正交函数．选C .9．[2015·合肥模拟]设函数f(x)＝(x －1)x(x ＋1)，则满足⎠⎛0a f′(x)d x ＝0的实数a ＝________.答案 1解析 ⎠⎛0a f′(x)d x ＝f(a)＝0，得a ＝0或1或－1，又由积分性质知a>0，故a ＝1.10．⎠⎜⎛0π22sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4d x ＝________.答案 2解析 依题意得⎠⎜⎛0π22sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4d x ＝⎠⎜⎛0π2 (sin x ＋cos x)d x ＝(sin x －cos x)⎪⎪⎪⎪π20＝⎝⎛⎭⎪⎫sin π2－cos π2－(sin 0－cos 0)＝2.11．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，⎠⎛01f(x)d x ＝－2，(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．解 (1)设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)， 则f′(x)＝2ax ＋b. 由f(－1)＝2，f′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2，b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a ，b ＝0，∴f(x)＝ax 2＋2－a.又⎠⎛01f(x)d x ＝⎠⎛01(ax 2＋2－a)d x＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13ax 3＋ 2－a x ⎪⎪⎪1＝2－23a ＝－2，∴a＝6，从而f(x)＝6x 2－4. (2)∵f(x)＝6x 2－4，x∈[－1,1]． ∴当x ＝0时，[f(x)]min ＝－4； 当x ＝±1时，[f(x)]max ＝2.12. 在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．解 S 1面积等于边长分别为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3.S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t 2,1－t 面积，即S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t)＝23t 3－t 2＋13.所以阴影部分的面积S(t)＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t≤1)．令S′(t)＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12＝0，得t ＝0或t ＝12.t ＝0时，S(t)＝13；t ＝12时，S(t)＝14；t ＝1时，S(t)＝23.所以当t ＝12时，S(t)最小，且最小值为14.[B 组·能力提升练]1．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为()A.14B.15C.16D.17答案 C解析 根据题意，正方形OABC 的面积为1×1＝1，而阴影部分由函数y ＝x 与y ＝x 围成，其面积为⎠⎛01(x －x)d x ＝⎝ ⎛⎪⎪⎪⎪23x 32－ ⎭⎪⎫x 221＝16，则在正方形OABC 中任取一点P ，点P 恰好取自阴影部分的概率为161＝16.故应选C .2．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形(如图中的阴影部分所示)的面积是()A ．1B .π4C .223 D ．22－2答案 D解析 解法一：由sin x ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得x ＝π4.故所求阴影部分的面积S ＝⎠⎜⎛0π4(cos x －sin x)d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2 (sin x －cos x)d x＝(sin x ＋cos x)⎪⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x)⎪⎪⎪⎪π2π4＝sinπ4＋cos π4－sin 0－cos 0＋⎣⎢⎡ ⎝⎛⎭⎪⎫－cos π2－sin π2－⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π4－sin π4＝22－2.故选D .解法二：由sin x ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得x ＝π4.根据图象的对称性，可知所求阴影部分的面积S ＝2⎠⎜⎛0 π4 (cos x －sin x)d x ＝2(sin x ＋cos x)⎪⎪⎪⎪π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π4＋cos π4－sin 0－cos 0＝22－2.故选D .3．设函数f(x)＝ax 2＋c(a≠0)，若⎠⎛01f(x)d x ＝f(x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．答案33解析 因为f(x)＝ax 2＋c(a≠0)，且⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋cx ′＝ax 2＋c ，所以⎠⎛01f(x)d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋cx | 1 0＝a 3＋c ＝ax 20＋c ，解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)．4．[2016·重庆模拟] 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，直线l 1：x ＝2，直线l 2：y ＝－t 2＋8t(其中0≤t≤2，t 为常数)．若直线l 1，l 2与函数f(x)的图象以及l 2，y 轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图阴影所示．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求阴影面积S 关于t 的函数S(t)的解析式．解 (1)由题图可知二次函数的图象过点(0,0)，(8,0)，并且f(x)的最大值为16， 则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a×82＋b×8＋c ＝0，4ac －b 24a ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝8，c ＝0.(2)由(1)得f(x)＝－x 2＋8x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－t 2＋8t ，y ＝－x 2＋8x ，得x 2－8x －t(t －8)＝0，所以x 1＝t ，x 2＝8－t. 因为0≤t≤2，所以直线l 2与f(x)的图象的交点坐标为(t ，－t 2＋8t)． 由定积分的几何意义知S(t)＝⎠⎛0t [(－t 2＋8t)－(－x 2＋8x)]d x ＋⎠⎛t2[(－x 2＋8x)－(－t 2＋8t)]d x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －t 2＋8t x－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋4x 2⎪⎪⎪t＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋4x 2－ －t 2＋8t x ⎪⎪⎪2t＝－43t 3＋10t 2－16t ＋403.所以S(t)＝－43t 3＋10t 2－16t ＋403(0≤t≤2)．。