第9讲-封闭型数阵图
第9讲 有趣的数阵
第9讲有趣的数阵 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵可分为辐射型和封闭型两种.填数阵时，一般优先考虑正中间的数或顶角上的数.问题9.1 把1～9九个数分别填入图9-1中九个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和都相等. 分析从图9-1中可以看出，中间圆圈所填的数是四条直线上公用的，它是一个用了4次的数.因此，我们在思考时，应先把中间圆圈内的数填出来.怎样确定这个数呢？ 设中间圆圈内的数为x，在计算四条直线上数的总和时，它多加了3次，又因为四条直线上的数的总和是4的倍数，所以 1+2+3+…+7+8+9+3x=45+3x 应能被4整除，这样x只能是1、5、9. 当中间圆圈填1时，每条直线上三个数的和是12；当中间圆圈填5时，每条直线上三个数的和是15；当中间圆圈填9时，每条直线上三个数的和是18.这样就可以正确地填出结果了. 解适合题目要求的填法共有以下三种：问题9.2 图9-2是一个六角星，把1～12这12个数填在六角星的○内(每个数字只许用一次).现在已经填入了六个数，其它六个○内填什么数才能使每条边上四个数的和都相等？ 分析图9-2中共有12个圆圈，每个圆圈都恰好有两条直线通过.因此，在计算六条直线上数的总和时，每个圆圈内的数都计算了两次.而(1+2+3+…+11+12)×2=156，所以每条直线上四个数的和应是156÷6=26.先填出图中A、B、C三个圆圈中的数，其余的三个圆圈内的数就不难填出了. 解见图9-3.问题9.3 在图9-4(1)中，同一个圆圈内四个数的和都是15.请在图(2)中的空白部分填上适当的数(2、3、5、7)，使每个圆圈内四个数的和仍然等于15. 分析根据圆圈已有的数字4、6和1.可以肯定中间空白部分填的数必然大于1而小于5.符合这个条件的只有2和3.如果中间数是2.那么4+1+2+7＜15，不符合题意.所以中间数应是3，这样就可以很快填出其它数了. 解填法如图9-5.问题9.4 把1～8这八个数分别填入图9-6中的八个○内，使每个圆圈上五个数的和都等于21. 分析设两个圆交叉点上的两个○内各填的数是a、b，那么，在计算两个大圆周上10个数的和时，a和b都多加了一次，根据题目的要求，1+2+3+…+7+8+a+b=36+(a+b)除以2应是21，所以a+b=6.但在1～8这8个数中，只有1+5=6、2+4=6两种情况.如果中间两个○内分别填1和5，另外同一圆周上三个○内的数的和应是21-(1+5)=15.在2、3、4、6、7、8这六个数中三个数之和是15的只有2+6+7=15、3+4+8=15两种.如果中间两个○填2和4，其它的数可分为两组1、6、8和3、5、7.因此，可得出如上所述的四种填法. 解略.问题9.5 用1～9这九个数字填入图9-7的○内.使三角形的每条边上四个数的和部等于17，或19、20、21、23.除上述数外，还可能等于其它数吗？ 分析如果三角形每条边上四个数的和是17.那么三条边上的数字的和就是17×3=5l，但1+2+3+…+9=45、51-45=6，这是因为三个顶点上的数字都计算了两次，所以可以肯定.三个顶点的数的和是6.而和为6的三个数只能是1、2、3.各边上另两个数的填法就不难推算了. 至于和为19、20、21、23的填法与上述和为17的分析方法相类似，请同学自己完成. 另：除17、19、20、21、23以外，要使三角形每条边上四个数的和都相等，不能有其它数. 解略问题9.6 请你在图9-8的4×4方格中填上适当的数字，使图中每条直线上的四个数字之和都相等. 分析要使图中每条直线上的四个数字之和都相等，那么每一行、每一列及两对角线上的四个数字只能是1、9、8、3，并且每一个数字在同一直线上只能出现一次.根据这一特点，可以采取尝试推导法，逐步填出图中各空格上的数. 如图9-8(2)，A格中只能填8或3，若A格填8，则B格只能填3或9，尝试B格只能填3，这样C格必须填9，D格只能填1，E、F两格应分别填8、1.至此，剩下的空格便可顺利填出了. 如果A格中填3，仿上采用尝试推导法，也可得到另一填法(略). 解符合条件的一种填法如图9-9.练习 9 1.把1～6六个数字分别填入图9-10中的六个○内，使每条边上三个○内数字和相等. 2.将1～8八个数分别填入图9-11中的八个空格中，使图中四边正好组成加、减、乘、除四种运算. 3.把2～10这九个数分别填入图9-12中的圆圈内，使每条线段上三个数的和都是15. 4.把1～12这十二个数分别填入图9-13中，使每一行、每一列四个数的和都是26，四个正方形、四个△和四个○内的数字之和也都等于26. 5.将1～8这八个数填入图9-14中的八个顶点处的○内，使每个面上的四个○内的数字之和都等于18. 6.试将1～9这九个数字分别填入图9-5中的九个小三角形内.使每条边上的五个小三角形内所填的数之和都相等，问这个和的最小值是多少？最大值是多少？。
第09讲-数阵(教)
学科教师辅导讲义知识梳理一、数阵图把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图。
数阵是一种由幻方演变而来的数字图。
二、数阵图的分类封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。
三、数阵图的解法（1）辐射型数阵图主意一：尝试法，即去掉中间数时剩下的数应该两两一对，每队和相等，因此最中间数只能填最大数、最小数或中间数；主意二：公式法，线和×线数=数字和+重叠数×重叠次数；重叠次数=线数-1（2）封闭型数阵图公式：线和×线数=数字和+重叠数之和（3）复合型数阵图综合了辐射型和封闭型数阵图的特点，要详细情况详细分析。
第 1 页/共11 页典例分析考点一：辐射型数阵图例1、把1～5这五个数分离填在下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
【解析】中间方格中的数很异常，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。
也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，惟独重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。
因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。
重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。
例2、将1～7这七个天然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。
【解析】与例1类似，知道每条边上的三数之和，但不知道重叠数。
因为有3条边，所以中间的重叠数重叠了两次。
于是得到(1+2+…+7)+重叠数×2=10×3。
由此得出重叠数为[10×3-(1+2+…+7)]÷2=1。
剩下的六个数中，两两之和等于9的有2，7；3，6；4，5。
可得右上图的填法。
倘若把例4中“每条边上的三个数之和都等于10”改为“每条边上的三个数之和都相等”，其他不变，那么模仿例3，重叠数可能等于几？怎样填？考点二：封闭型数阵图例1、将1~6六个天然数分离填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于11.【解析】此图是封闭3—3图，因为每条边上的和都为11，那么三条边上的数字之和为11⨯=，而1+2+…+5+6=21.所以三角形的三个数之和等于33-21=12，在1~6中选3个和为12 333的数，且其中随意两个的和不等于11，这样的组合有：12=2+4+6=3+4+5,经实验，填法如图。
封闭型及辐射形数阵图
1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11
• 7.将1—8这八个数分别填入图中的空格内， 使横行、竖列上的的三个数之和都相等。
例1：将1—5这五个数分别填入图中的 圆圈内，使三角形每条边上的数之和都 所给数之和：1+2+3+4+5=15 相等。
最小：1+2+3=6 最大：3+4+5=12 15+重叠数的和=3的倍数 经尝试： 15+6=21 15+9=24 15+12=27 每条边上数之和为8 每条边上数之和为9
有趣的数阵图
数阵基本类型： 辐射型数阵 封闭型数阵
复合型数阵
• 例1：将1—5这五个数分别填入图中的空
格内，使两条直线上的三个数之和相等， 若中间数为5，该怎样填？Biblioteka 51 23
4
5
• 例2：将1—5这五个数分别填入图 中的空格内，使每横行，竖列三个 数之和都等于9.
1．把4、5、6、7、8这四个数字填在 右面的空格里，使横行、竖行三个数 相加的和是17。
5
6 5
① =④ ② =⑤ ③ =⑥ 6=⑤ ③=5
④ +⑤ +⑥ =⑤ +⑥ +⑦
④ =⑦
• 6.在下图的空格内填上适当的数，使任意四 个相邻的数的和都等于22.
7 1 3 11 7 1 3
11
• 【例6】将1—11这11个数分别填入图 中的空格内，使横行、竖列斜排上的 几个数之和都等于14. 14×5=70 10 4 1+2+3+4+· · · +11=66
幻和（k）
中心数 （ a）
三年级奥数第9讲：巧填数阵-课件
子天
是开
梅放
花；
，有
选的
择孩
在子
冬是
天荷
开花
放，
选
择
在
夏
我们，还在路上……
例题五（选讲）
将2、3、4、5、6、7这6个数填入下图的圆圈中，使 得每个三角形的顶点之和都相等。
36到45之间能被3整除的总数有：36 39 42 45
当每个三角形的顶点 之和为：36÷3=12
每个三角形的顶点 之和为：39÷3=13
每个三角形的顶点 每个三角形的顶点之和：45÷3=15 之和：42÷3=14
想要打开宝箱就必须把1、2、3、4、 5这五个数填入小圆圈中，使每条线上 的数字之和与圆周上的数字之和都相等。
巧填数阵
例题一
请你将1—9这九个数字填入下图的小圆圈中，使得每条
线上的数字之和都相等。
1+2+3+4+…+9=45
中心数 如果让你们先确定
一个数，你们会从
中心数被重复计算了3次 哪里着手呢？
中间数多加2次：
x 1+2+3+4+5+6+7+2
总和为3的倍数
28+2x
x
28+2×1=30 28+2×4=36 28+2×7=42
x可以为： x=1、4、7
例题三
将1、2、3、4、5、6、7这七个数字填入小圆圈内，
使每条线上的三个数的和相等。
一条直线上3个数的和为：
中间数为1时： （28+2×1）÷3=10
5
3
4
4
7
6
7
5
学而思三年级奥数第9讲.数阵图进阶
把8，9，10，11，12，14，16这7个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上4个数的和都等于46．把1，2，4，5，6，8，10这7个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上4个数的和都等于20．数阵图进阶第九讲第4级下·提高班·学生版第4级下·提高班·学生版把2，3，4，5，6，7，8这七个数分别填入图中的圆圈中，使两个正方形中四个数之和都等于19． 将5，9，13，14，17，21，25这7个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上3个数的和都等于44．第4级下·提高班·学生版将5，6，9，11，14，15这6个数分别填入图中的圆圈里，使两个大圆上4个数的和都等于40．把1，5，9，10，16，21这6个数分别填入图中的○里，使每一个大圆上的四个数之和都等于36．第4级下·提高班·学生版1． 把5，6，7，8，9这5个数分别填在下图的内，使横行、竖列3个数的和都等于( )中的数．把1，3，4，5，6，8，11，15这8个数分别填入图中的圆圈里，使得每个大圆上5个数的和都等于33．第4级下·提高班·学生版2. 把3，5，7，9，11，13，15这7个数分别填入图中的圆圈内，使每条直线上的3个数的和都等于27．3. 把2，4，6，8，10，12，14，16，18这9个数分别填入下图的圆圈中，使得每条直线上的3个数的和都等于24．4.把2，3，4，5，6，7，8这七个数分别填入图中的圆圈内，使两个正方形中四个数之和都等于21．5.把1，2，4，5，6，11这6个数分别填入图中的○里，使每个圆圈上的四个数之和都等于22．第4级下·提高班·学生版第4级下·提高班·学生版6. 把2，5，6，8，10，12，14，22这8个数分别填入下图中，使得每个大圆上的5个数的和都等于49．思维跳板——剪指甲小华的爸爸1分钟可以剪好5个自己的指甲．那么，他在5分钟内可以剪好几个自己的指甲呢？。
数阵图
数阵图
一、数阵图定义及分类：
定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.
数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.
二、解题方法：
解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：
第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；
第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；
第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．
简单数阵图
一、辐射型数阵图
从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和是一个不变的数。
突破关键：确定中心数，多算的次数，公共的和
数和+中心数×重复次数＝公共的和×线数
数和：指所有要填的数字加起来的和
中心数：指中间那数字，即重复计算那数字
重复次数：中心数多算的次数，一般比线数少1
公共的和：指每条直线上几个数的和
线数：指算公共和的线条数
二、封闭型数阵图
多边形的每条边放同样多的数，使它们的和都等于一个不变的数。
突破关键：确定顶点上的数字，公共的和
数和+重叠数的和＝公共的和×边数
数和、公共的和跟辐射型数阵图一样的意思
重叠数的和：指数阵图顶角重复算的数全加起来的和
边数：指封闭图形的边数。
一年级春季班第9讲“有趣的数阵图”知识点总结
第9讲：有趣的数阵图——学而思 钱国老师知识点 回顾：（第8讲）一、竖式1、进位 “1” ，退位 “.”2、不同图案 代表不同数字。
3、每一位上 只有一个数字第9讲通过在数阵图中填未知数，认识数阵图和掌握简单数阵图解题的方法．知识点一 定义1 每边和相等2 通常数不重复二 关键 确定重叠数1、 等差数列重叠数为首 中 尾其余数 大小搭配 （搭彩虹桥）2 非等差数列万能方法 ：数的拆分例1引入：艾迪他们碰到了陷阱，要用这些石头把洞都填住，我们一起来看吧分析：一般解答这类问题，把同一条边上剩空格最少的先入手。
（1）已经告诉我们中间圈圈的数是2 剩下两边的数字的和应该是9-2=7 左边剩下2个数没填右边也是2个。
7等于两个数字相加7=0+7=1+6=2+5=3+4 因为2已经用过了，所以剩下3组数字可以填（0 7）(1 6) (3 4) 任选2组填入。
（2）0到9数字先写好，用了一个，化掉一个，就不会重复使用了。
首先看已经告诉我们两个圈圈里的数6+4=10 13-10=3 所以右边下面这个圈圈里就可以填上3。
左边第一条线13-6=7 就是7拆成2个数7=0+7=1+6=2+5=3+4 因为3 4 6已经用过了，所以不重复的剩下(0 7) (2 5)这两组。
第三条线13-3=10 10等于两个数相加10=1+9=2+8=3+7=4+6 5+5重复了不用，又因为3 4 6 用过了，所以剩下（1 9）（2 8）这两组。
填入时注意第三条线别和第一条线上的数字重复使用！答案三种。
例2引入：凯奥斯把这个地方装上了密码机关，做正确了才能打开，一起来看看。
.分析：假设法：观察发现中间的这个数是最特殊的，3个数相加，中间的数它在横行上又在竖行上，是一个重叠数可以假设它是2，如果是2 横行剩下两个数的和就要等于12-2=10 除了2剩下34 5 6 这几个数字分成两组和要为10 但是加起来后发现做不到都等于10，所以假设失败，再假设重叠数是3或4或5或6 。
封闭型数阵图
经尝试： 15+6=21
15+9=24
（6~12）
每条边上数之和为7
每条边上数之和为8 每条边上数之和为9
15+12=27
• 例2将1—5这五个数分别填入图中的圆圈内， 使每条直线上各数之和与大圆圈上各数之和 相等。 所给数之和： 1+2+3+4+5=15 1
15+重叠数之和=3个等和
1个等和：（ 15+15 ）÷3=10
253源自1+2+3+4=10
2+3+5
4
1+4+5
将数字1~8填入圆圈内，使每个正方形顶 点上的四个数字之和及每条对角线上的四 个数字的和都相等。
所给数之和： 1+2+3+4+5+6+7+8=36
36+重叠数之和=4个等和
1个等和：（ 36+36 ）÷4=18
1+8+2+7=18 3+6+4+5=18 1+8+3+6=18 2+7+4+5=18
1562115924151227每条边上数之和为7每条边上数之和为8每条边上数之和为9612例2将15这五个数分别填入图中的圆圈内使每条直线上各数之和与大圆圈上各数之和相等
例1：将1—5这五个数分别填入图中的 圆圈内，使三角形每条边上的数之和都 相等。 所给数之和：
1+2+3+4+5=15 最小：1+2+3=6 最大：3+4+5=12 15+重叠数的和=3的倍数
二年级第九讲简单的数阵图
第九讲简单的数阵图●知识导引一、数阵图数：连续，大小，奇偶性。
图：辐射型，封闭型，混合型。
二、突破口的选择1.数比较多的地方。
2.重叠部分：考虑第一个数，中间数，最后一个数。
三、方法1.尝试法（有序枚举）。
2.计算法：线和，数和，重叠部分。
●例题精讲例题1将数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9按照要求填入下图的圆圈中，使得每边上的和为12（同一个数只能使用一次）。
★找数最多的部分作为突破口，有序的枚举，尝试进行填空。
练习1在下面的圆圈中填上适当的数，使每条直线上的三个数之和都是12。
例题2将1~16这十六个数分别填入下面的方框，使横行、竖列、斜对角的四个数的和都相等。
★先观察横行、数列、斜对角，寻找出题目的突破口，再从数多的部分入手，逐一填数，各个击破。
练习2将数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入下面的圆圈中，使得每边上的和为10，同一个数只能使用一次。
例题3把2，3，4，5，6这五个数分别填入空格中，使每行、每列上三个数相加的和都等于11，每个数只能是一次。
★找突破口（重叠部分），条件中要填的数是连续的，选择第一个、中间的、最后一个数进行重叠数的尝试，最后小数配大数。
练习3把5，6，7，8，9这五个数分别填入空格中，使每行、每列上三个数相加的和都等于22，每个数只能使用一次。
例题4将1~9这九个数分别填入下列圆圈内，使每条横线、竖线、斜线连接起来的三个圆圈内的数相加之和等于12，每个数只能使用一次。
★找突破口（重叠部分），条件给出的数是连续的，选择第一个、中间的、最后一个进行尝试。
练习4将1，2，3，4，5，6，7这7个数分别填入下列圆圈内，使每条横线、竖线、斜线连接起来的三个圆圈内的数相加之和等于14，每个数只能使用一次。
例题5把1，2，3，5，7，9，11这七个数分别填入圆圈里，使每条直线上的三个数相加的和都为14，每个数只能使用一次。
★找突破口（重叠部分），条件给出的数不是连续的，奇偶性尝试或者计算的方法。
第9讲-封闭型数阵图
第九讲：观察与发现（十）——封闭型数阵图一、训练目标知识传递：填写封闭性数阵图的方法。
能力强化：观察能力、分析能力、计算能力。
思想方法：观察思想、分析思想。
二、知识与方法归纳数阵图就是将一些数，按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
它的类型一般分为三种：辐射型数阵图；封闭型数阵图；复合型数阵图。
辐射型数阵图：从一个中心出发，向外作了一些射线，我们把这种数阵图叫做辐射型数阵图。
一般地，有M条射线，每条射线有N个数的图形称为M—N图。
辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“射线条数”-1，即M-1.对于辐射型数阵图，有：已知各数之和+重叠数×重叠次数=射线上各数之和×射线条数。
封闭型数阵图：一个数阵图，如果它的各边之间相互连接，形成封闭图形，我们称它们为封闭型数阵图。
封闭型M—N图有M个重叠数，重叠次数都是1次。
对于封闭型数阵图因为重叠数只重叠一次，所以：已知各数之和+重叠数之和=每边各数之和×边数。
（主要是顶点数字，抓住条件提供的关系式，进行分析，用试验的方法确定顶点数以及各边上的数字只和，最后填出数阵图。
）解答数阵图问题的关键在于找到重叠数和每条线上和。
三、经典例题例1、把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
解：例2、把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。
解：例3、把1～5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等。
解：例4、将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。
解：例5、将1～6这六个自然数分别填入下图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。
解：例6、将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等。
解：例7、将2～9这八个数分别填入下图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。
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2011年名师堂小学数学训练讲义——四年级秋季
名师堂黄金数学组
第九讲：观察与发现（十）
——封闭型数阵图
一、训练目标
知识传递：填写封闭性数阵图的方法。
能力强化： 观察能力、分析能力、计算能力。
思想方法：观察思想、分析思想。
二、知识与方法归纳
数阵图就是将一些数，按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
它的类型一般分为三种：
辐射型数阵图；封闭型数阵图；复合型数阵图。
辐射型数阵图：从一个中心出发，向外作了一些射线，我们把这种数阵图叫做辐射型数阵图。
一般
地，有M 条射线，每条射线有N 个数的图形称为M —N 图。
辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“射线条数”-1，即M-1.对于辐射型数阵图，有：已知各数之和+重叠数×重叠次数=射线上各数之和×射线条数。
封闭型数阵图：一个数阵图，如果它的各边之间相互连接，形成封闭图形，我们称它们为封闭型数
阵图。
封闭型M —N 图有M 个重叠数，重叠次数都是1次。
对于封闭型数阵图因为重叠数只重叠一次，所以：已知各数之和+重叠数之和=每边各数之和×边数。
（主要是顶点数字，抓住条件提供的关系式，进行分析，用试验的方法确定顶点数以及各边上的数字只和，最后填出数阵图。
）
解答数阵图问题的关键在于找到重叠数和每条线上和。
三、经典例题
例1、把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
解：
例2、把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。
解：
例3、把1～5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等。
解：
例4、将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。
解：
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名师堂黄金数学组
例5、将1～6这六个自然数分别填入下图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。
解：
例6、将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等。
解：
例7、将2～9这八个数分别填入下图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。
解：
四、内化训练
1.将1～7这七个数分别填入下图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12。
解：
2.将1～9这九个数分别填入下图中的○里(其中9已填好)，使每条直线上的三个数之和都相等。
如果中心数是5，那么又该如何填？
解：
3.将1～9这九个数分别填入下图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。
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解：
4.将3～9这七个数分别填入下图的○里，使每条直线上的三个数之和等于20。
解：
5.将1～11这十一个数分别填入下图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。
解：
6.把1～8填入下图的八个○里，使每个圆圈上的五个数之和都等于20。
解：
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例1、解 （1+2+3+4+5）+ 重叠数 = 9×2 =
重叠数 =
由此可推出其他方格内的数字，具体填法如图所示：
专家点评：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。
也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。
知道每条线上的和，最重要的就是要求出重叠数。
例2、解 （1+2+3+4+5）+ 5 = 每条线上的和×2 = 每条线上的和×2 = 每条线上的和×2
每条线上的和 =
由此可推出其他方格内的数字，具体填法如图所示：
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名师堂黄金数学组
专家点评： 与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于多少。
所以，必须先求出这个“和”。
进而即可求解。
例3、解 （1+2+3+4+5）+ 重叠数 = 每条线上的和×2
15 + 重叠数 = 每条线上的和×2
每条线上的和 =
因为每条直线上的三数之和是整数，所以重叠数只可能是 ， ， 。
若“重叠数”= ，则每条线上的和为： ；
若“重叠数”= ，则每条线上的和为： ；
若“重叠数”= ，则每条线上的和为： .
由此可知，此题共有三种情况，具体填法如下：
专家点评：例1是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例2是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和；本例是这两样什么都不知道。
但由例1、例2的分析知道，重叠数与和的关系：所列数字之和 + 重叠数 = 每条线上的和×2，进而求解此题。
例4、解 （1+2+3+4+5+6+7+8）+ 重叠数 = =
重叠数 =
因为 = =
所以，当重叠数为 和 时，其余各数可分为（ ， ， ）与（ ， ， ）两组，如图（1）。
当重叠数为 和 时，其余各数可分为（ ， ， ）与（ ， ， ）两组，如图（2）。
故此题有两种解。
图（1） 图（2）
专家点评：中间两个数构成了重叠数，重叠次数都是1次，已知两个大圆上的和，关键是求出重叠数，进而即可求解。
例5、解 （1+2+3+4+5+6）+ 重叠数 = 11×3 =
重叠数 =
因为 12 = = =
所以 重叠数可能为（ ， ， ）、或（ ， ， ）、或（ ， ， ）。
当重叠数为 ， ， 时，经试验，不符合题意；
当重叠数为 ， ， 时，经试验，不符合题意；
当重叠数为 ， ， 时，经试验，符合题意，具体填法如图所示：
专家点评： 本题重叠数由三个数组成，即三角形三个顶点○内的数都是重叠数，并且各重叠一次。
且已知每条线上的和，求出重叠数是此题的关键。
例6、解 （1+2++3+4+5+6 ）+ 重叠数 = 每条线上的和×3
21 + 重叠数 = 每条线上的和×
3
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名师堂黄金数学组 每线上的和 = （21+重叠数）÷3
每条线上的和 =
因为每条线上的和应是整数，可得重叠数应为3的倍数，同时重叠数在1～6内，
所以，重叠数可能为 ，或 ，或 ，或 。
当重叠数为 时，每条线上的和为： ，具体填法如图（1）；
当重叠数为 时，每条线上的和为： ，具体填法如图（2）；
当重叠数为 时，每条线上的和为： ，具体填法如图（3）；
当重叠数为 时，每条线上的和为： ，具体填法如图（4）。
故此题有4种填法。
图（1） 图（2） 图（3） 图（4）
专家点评： 与“五阶”不同的是不知道每边的三数之和等于几，也不知道重叠数是多少，且重叠数由三个数组成，都重叠了一次。
同“三阶”一样，需讨论。
例7、解 （2+3+4+5+6+7+8+9）+ 重叠数 = 18×4 =
重叠数 =
因为 28 = =
所以 重叠数可能为（ ， ， ， ，）、或（ ， ， ， ）。
又因为18-9-8 = 1，1不是已知的八个数之一，所以，8和9不能填在一条线上，只能填对角处。
具体填法如图所示：
专家点评： 四个角上的数构成了重叠数，重叠次数都是1次。
求出重叠数，即可求解。