封闭型数阵图1
封闭型及辐射形数阵图
1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11
• 7.将1—8这八个数分别填入图中的空格内， 使横行、竖列上的的三个数之和都相等。
例1：将1—5这五个数分别填入图中的 圆圈内，使三角形每条边上的数之和都 所给数之和：1+2+3+4+5=15 相等。
最小：1+2+3=6 最大：3+4+5=12 15+重叠数的和=3的倍数 经尝试： 15+6=21 15+9=24 15+12=27 每条边上数之和为8 每条边上数之和为9
有趣的数阵图
数阵基本类型： 辐射型数阵 封闭型数阵
复合型数阵
• 例1：将1—5这五个数分别填入图中的空
格内，使两条直线上的三个数之和相等， 若中间数为5，该怎样填？Biblioteka 51 23
4
5
• 例2：将1—5这五个数分别填入图 中的空格内，使每横行，竖列三个 数之和都等于9.
1．把4、5、6、7、8这四个数字填在 右面的空格里，使横行、竖行三个数 相加的和是17。
5
6 5
① =④ ② =⑤ ③ =⑥ 6=⑤ ③=5
④ +⑤ +⑥ =⑤ +⑥ +⑦
④ =⑦
• 6.在下图的空格内填上适当的数，使任意四 个相邻的数的和都等于22.
7 1 3 11 7 1 3
11
• 【例6】将1—11这11个数分别填入图 中的空格内，使横行、竖列斜排上的 几个数之和都等于14. 14×5=70 10 4 1+2+3+4+· · · +11=66
幻和（k）
中心数 （ a）
第29讲数阵图
第29讲、数阵图----初级版数阵是比较常见的填数问题，是一种老少都为之着迷的数学游戏。
无论数阵怎么变化，也都有规律可循，解题的关键就是求出重叠数。
只要你细心观察、分析，相信你一定能够解决更复杂的数阵问题。
一、数阵图的分类：1、数阵图分辐射型数阵图2、封闭型数阵图3、复合型数阵图。
二、解题方法1、去头、去尾、去中间。
2、求已知数总和，3、求数阵图中的总和，也就是图和－数和＝“公用数”的总和。
1、1、将1、2、3、4、5填入下图的方格中，使横行、竖列的和都是10。
2、将1、3、5、7、9、11填入下图的圈内，使得对两个正方形，各自顶点上的数的和都等于22。
知识导引金典例题3、将1～7这七个数填入下图的圈内，使每一个正方形的四个数的和相等。
4、将1～9这九个数填在下图的圈中，使得横行的5个数，和是24.竖列的5个数，和也是24。
5、将1～8填入图中的圈内，使每条线上3个数的和都是12。
6、将3—9这七个数分别填入右图中的○里（其中9已填好），使每条直线上的三个数之和都相等。
9基础入门1、将1到9这九个数填入下图，使得从中心出发的每条线段上的三个数的和相等。
2、将1—7这7个自然数填入下图的7个○内，使得每条边上的3个数之和都等于10。
4623、将1—6这6个自然数分别填入右图的6个○内，使每条边上的3个数之和都等于10。
4、将2—9这8个数分别填入下图的○里，使每条边上的3个数之和等于18。
5、 右图中三个圆圈两两相交形成七个部分，分别填上自然数1~7，在一些部分中，自然数2、4、6三个数已经填好，请填上其余各数，使每个圆圈中四个数的和都是14.6、请将1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数分别填入下图的九个小圆圈里，使每个三角形上三个数的和都等于15。
10658714102030每列、每条对角线上各数和都等于27。
2、在有图中的空格内填入适当的数，使每行、每列、每条对角线上各数的和都等于33。
3、在空格中填入不同的数，使每一横行、竖行、斜行三个数的和等于75。
奥数第三讲 数阵图
第三讲数阵图
把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图，即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。
数阵图分为三类：辐射型、封闭型、复合型（辐射和封闭均有）。
辐射型：从一个点出发向外发射很多条线，每条线上的空格都相同。
封闭型：多边型或圆形的封闭图形中有很多空格去填写。
复合型：辐射型和封闭型均有。
辐射型数阵图封闭型数阵图复合型
【数阵图解题方法】
一、整体分析法
1.求给出所空格中的数和（也就是题目给出的数的和）；“总和”
2.求出所有线上的和，这里称为“线和”。
你会发现线和总是比总和大，去找原因：某些空在线和中算了多次，也就是重复了。
(这个可以通过画线的办法去知道哪些重复了，重复了几次！)
3.初步判断重复位置填的数。
再去填空（这里最好能知道一条线的和“幻和”）
二、局部分析法
往往有些数阵图，明确目标后只要知道除了目标以外的几条线的和就立即可以知道答案了！
走美2011年第11道题1+2+3+4+5+6+7=28
有“/”两条线正好把“nt”空出来了，正好：28-11-11=6，所有“nt”填6.
【小技巧】
辐射型数阵图：对于一直线上有奇数个空格的辐射型数阵图，往往中心位置填写：“首数、末数、中间数”，再去配对，题目就特别容易了。
小学奥数 数论 数字谜综合 数阵图(一).题库版
1.了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】2010年，学而思杯，3年级，第6题 【解析】例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-1.数阵图87654321【答案】87654321【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？（1）【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：（2）h gf ed c baa+b+c=14（1）c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8， 又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行.若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行. 若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行. 若g=1，则a=8，c=4，e=7.说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数阵的解题突破口.【答案】【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是 。
数阵图
数阵图
一、数阵图定义及分类：
定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.
数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.
二、解题方法：
解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：
第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；
第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；
第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．
简单数阵图
一、辐射型数阵图
从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和是一个不变的数。
突破关键：确定中心数，多算的次数，公共的和
数和+中心数×重复次数＝公共的和×线数
数和：指所有要填的数字加起来的和
中心数：指中间那数字，即重复计算那数字
重复次数：中心数多算的次数，一般比线数少1
公共的和：指每条直线上几个数的和
线数：指算公共和的线条数
二、封闭型数阵图
多边形的每条边放同样多的数，使它们的和都等于一个不变的数。
突破关键：确定顶点上的数字，公共的和
数和+重叠数的和＝公共的和×边数
数和、公共的和跟辐射型数阵图一样的意思
重叠数的和：指数阵图顶角重复算的数全加起来的和
边数：指封闭图形的边数。
第三讲 数阵图(一)doc
第三讲 数阵图（一）教室 姓名 学号【知识要点】数阵图是将一些数按照一定的要求排列而成的某种图形。
数阵图根据图形的形状特点，可以分为辐射型数阵图和封闭型数阵图。
辐射型：（1）仔细观察图形，找出关键位置。
关键位置通常是重叠数，也可叫做中间数；（2）把题目中提供的数字和所要填的空格和图形关系联系起来看，注意倍数关系；（3）计算方法：已知各数之和+重叠数×重叠次数＝直线上各数之和×直线条数。
封闭型：（1）仔细观察图形，找出关键数（即重叠数）。
在封闭型数阵图中，关键数往往有几个；（2）把题目提供的数字和所要填的空格和图形联系起来看，注意总和的倍数关系；（3）计算方法：已知各数之和+重叠数之和＝每边各数之和×边数；【经典例题】★例1：将1——5这五个数分别填入图中的空格内，使两条直线上的三个数之和相等，若中间数为5，该怎么填？★例2：将1——5这五个数分别填入图中的空格内，使横行、竖列三个数之和都等于9.★例3：将1——6分别填在图中，使每条边上三个圆圈内的数的和等于9.★★例4：把1——7填入下图中，使每条线段上的三个○内的数的和相等。
★★例5：将1~8个数分别填入图中,使每个圆圈上五个数和分别为20,21,22.★★★例6：在下图中填入合适的数，使三行、三列和两条对角线上的三个数的和都相等。
【池中戏水】★1、将1~9这九个数分别填入图中○内,使每条线段五个数的和等于23.★2、将1——5这五个数分别填入图中的圆圈内，使三角形每条边上的数之和都相等。
★3、把1~8个数分别填入○中,使每条边上三个数的和相等.★4、把1~11填入图中,使每条线上三个数的和相等.★5、把1~10填入图中,【江中畅游】★★1、将1——11这11个数分别填入图中的空格内，使横行、竖行、斜排上的几个数之和都等于14.★★2、在下图的空格内填上适当的数，使任意四个相邻格中的数的和等于22.【海中冲浪】★★★1、把0~9填入10个小三角形中,使每4个小三角形组成的大三角形的和相等.【温馨提示】下节课我们将学习鸡兔同笼（一），请作好预习。
二年级第九讲简单的数阵图
第九讲简单的数阵图●知识导引一、数阵图数：连续，大小，奇偶性。
图：辐射型，封闭型，混合型。
二、突破口的选择1.数比较多的地方。
2.重叠部分：考虑第一个数，中间数，最后一个数。
三、方法1.尝试法（有序枚举）。
2.计算法：线和，数和，重叠部分。
●例题精讲例题1将数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9按照要求填入下图的圆圈中，使得每边上的和为12（同一个数只能使用一次）。
★找数最多的部分作为突破口，有序的枚举，尝试进行填空。
练习1在下面的圆圈中填上适当的数，使每条直线上的三个数之和都是12。
例题2将1~16这十六个数分别填入下面的方框，使横行、竖列、斜对角的四个数的和都相等。
★先观察横行、数列、斜对角，寻找出题目的突破口，再从数多的部分入手，逐一填数，各个击破。
练习2将数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入下面的圆圈中，使得每边上的和为10，同一个数只能使用一次。
例题3把2，3，4，5，6这五个数分别填入空格中，使每行、每列上三个数相加的和都等于11，每个数只能是一次。
★找突破口（重叠部分），条件中要填的数是连续的，选择第一个、中间的、最后一个数进行重叠数的尝试，最后小数配大数。
练习3把5，6，7，8，9这五个数分别填入空格中，使每行、每列上三个数相加的和都等于22，每个数只能使用一次。
例题4将1~9这九个数分别填入下列圆圈内，使每条横线、竖线、斜线连接起来的三个圆圈内的数相加之和等于12，每个数只能使用一次。
★找突破口（重叠部分），条件给出的数是连续的，选择第一个、中间的、最后一个进行尝试。
练习4将1，2，3，4，5，6，7这7个数分别填入下列圆圈内，使每条横线、竖线、斜线连接起来的三个圆圈内的数相加之和等于14，每个数只能使用一次。
例题5把1，2，3，5，7，9，11这七个数分别填入圆圈里，使每条直线上的三个数相加的和都为14，每个数只能使用一次。
★找突破口（重叠部分），条件给出的数不是连续的，奇偶性尝试或者计算的方法。
第9讲-封闭型数阵图
第九讲：观察与发现（十）——封闭型数阵图一、训练目标知识传递：填写封闭性数阵图的方法。
能力强化：观察能力、分析能力、计算能力。
思想方法：观察思想、分析思想。
二、知识与方法归纳数阵图就是将一些数，按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
它的类型一般分为三种：辐射型数阵图；封闭型数阵图；复合型数阵图。
辐射型数阵图：从一个中心出发，向外作了一些射线，我们把这种数阵图叫做辐射型数阵图。
一般地，有M条射线，每条射线有N个数的图形称为M—N图。
辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“射线条数”-1，即M-1.对于辐射型数阵图，有：已知各数之和+重叠数×重叠次数=射线上各数之和×射线条数。
封闭型数阵图：一个数阵图，如果它的各边之间相互连接，形成封闭图形，我们称它们为封闭型数阵图。
封闭型M—N图有M个重叠数，重叠次数都是1次。
对于封闭型数阵图因为重叠数只重叠一次，所以：已知各数之和+重叠数之和=每边各数之和×边数。
（主要是顶点数字，抓住条件提供的关系式，进行分析，用试验的方法确定顶点数以及各边上的数字只和，最后填出数阵图。
）解答数阵图问题的关键在于找到重叠数和每条线上和。
三、经典例题例1、把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
解：例2、把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。
解：例3、把1～5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等。
解：例4、将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。
解：例5、将1～6这六个自然数分别填入下图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。
解：例6、将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等。
解：例7、将2～9这八个数分别填入下图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。
数学思维能力提升暑假四升五03 封闭性数阵图
第3讲封闭性数阵图封闭型数阵图：一个数阵图，如果它的各边之间相互连接，形成封闭图形，我们称它们为封闭型数阵图。
对于封闭型数阵图因为重叠数只重叠一次，所以已知各数之和+重叠数之和=每边各数之和×边数。
数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线上的数的和相等，解答数阵图问题的关键在于找到重叠数和每条线上的和。
解题步骤：（1）求出所有数的和（2）计算所有线上的总和（3）计算重叠数（或重叠数之和）（4）根据要求依次填出数阵图典型题讲解例1、把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
例2、把1～5这五个数填入下图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等。
练习1、把3～7这五个数填入图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。
例3、将1、2、3、4、5、9、10这7个数填入图中的○里，使两个大圆上的五个数之和都等于16。
例4、将1～8这八个数分别填入下图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。
练习2、将1-10这10个数分别填入图中的圆圈内，使每个大圆圈上的6个数之和都等于33。
例5、将1～6这六个自然数分别填入下图的六个○中，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。
例6、将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等。
巩固提升（训练时间：训练得分：）1、填空题。
（1）将1～7这七个数分别填入下图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12。
（2）将1～9这九个数分别填入下图中的○里(其中9已填好)，使每条直线上的三个数之和都相等。
（3）将10、11、12、13、14这5个数分别填入下图的小方格里，使横行和竖列上3个数之和相等。
（4）把1～8填入下图的八个○里，使每个圆圈上的五个数之和都等于20。
（5）某数加7，乘以5，再减去9，得51，这个数是（）2、解答题。
（1）设a、b都是自然数，规定a□b表示a□b=5×a－3×b。
数阵图
练习：将1，2，3,4,5,6，7这7个数分别填在 下面的圆圈里，使每条线上的3个数的和语每 个三角形的3顶点上的数的和都等于12。
2，把1~8这8个数填入下图的圆圈内，使每个面上 的4个数的和等于18.
想做就做
怪味豆
1、数学奥运会设计了一个会标(如下图)， 你能在下图空白的区域内分别填上1、2、4、6四个数， 使每个圆中的四个数的和都是15吗？ 1、先观察每个空白部分计算次数 2、边上三个数使用一次，重叠三个数字使用两次， 中间数字使用三次 3、三圈之和—（3+5+7）—所有数字之和=中间数的 两倍 15×3-（3+5+7）-（1+2+3+4+5+6+7）=2 2 ÷ 2=1 4、中间填1，其余数字配对填入
真棒！
不论是封闭型数阵、辐射型数阵还是复合型 数阵解题的要点都是先确定公共部分的数。
十字迷宫：将1~9这九个数分别填入十字图中的 ○内,使每条线段六个数的和相等。
。
先确定中间数 其余数字首位配对填入
花形幻方：把2、6、10、14、18、22、26七个数 填入图中七朵花里，使每条直线上的三个数的和都等于50。
封闭型数阵图 数字精灵 哭闹着说：“我应该站在中间的， 你抢了我的座位……”。小朋友你能帮帮他吗？ 他的座位究竟应在哪儿？ 告 示 赛区座位安排表：数字精灵 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 六个人必须坐 在圆圈里，使每个大圆上四个 数的和都是20。赶快找到自己 的座位吧！ 想一想： 公共的部分 在哪里？
填一填： ①这7个数字精灵的和是（ 28）。 36 ） ②每条线上三个数的和是12，那么三条线上数的总和是（ ③三条线上三个数的总和比7个数的和多（ 8 ） ④中心圆圈内的数共被算了（ 3）次，多算了（2）次，即中心圆圈内应该填（ 4 ） ⑤先填上中心圆圈内的数，再填出其余各数。
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例1：将1—6分别填在图中，使每条边上
三个圆圈内的数的和等于9。 三条线上3
个9的和
1
9×3=27
6
ห้องสมุดไป่ตู้
5 1+2+3+4+5+6=21
所给数 1~6的和
2
4
3 27-21=6 重叠数之和
1+2+3=6
1~6中和为6的三个数：1，2，3
练习：
1.将1、2、3、4、5、6填在下图中，使 每条边上的三个数的和等于12.
4
3
2
12×3=36 1+2+3+4+5+6=21 36-21=15
5
1
所给数中和为15的三个数： 6 4，5，6
例2：将1—6分别填在与例1相同的图中， 使每条边上三个圆圈内的数的和等于10.
1
10×3=30
1+2+3+4+5+6=21
6
4
30-21=9
1+3+5=9 或 2+3+4=9
3
2
5
或1+2+6=9
3
6
4 1+10=11或2+9=11
1
2
或3+8=11或4+7=11
或5+6=11
所给数中和为11的两个数：1和10；2和9；
3和8；4和7；5和6
所给数1~6中和为9的三个数：1，3，5或2，3，4 或1，2，6
评注：在找到重叠数之后 还要把它们填入图形中看看 能不能成立，并不是每组重 叠数都能成功的。
【例3】将1—6这六个数分别填入下图中
的小圆圈内，使每个大圆圈上的四个数之
和都等于13.
13×2=26
2
1
3
1+2+3+4+5+6=21
26-21=5
2个数的和为5有：
6 4
5
1和4，2和3
尝试：①1和4 尝试：②2和3
1，2，3，4，5，6 √ 1，2，3，4，5，6 ×
•【思考3】将1—10这十个数分别填入
图中的圆圈内，使每个大圆圈上的六
个数之和都等于33.
33×2=66
10
9
8
5
7 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55
66-55=11