大一上数学实验报告

西安交通大学实验报告
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课程实 验 日 期 2012年12月25日
系 别实 验 报 告 日 期 2012年12月 28日 专业班级_报 告 退 发( 订正 、 重做 ) 姓 名______学号___教 师 审 批 签 字
实验I 一、实验问题
单位球面被柱面所截以及单位球面里挖掉柱面
1222=++z y x 222)2
1()21(=+-y x
二、问题分析
该问题应分解为单位球面被柱面所截和单位球面里挖掉柱面两部分考虑，两者的相同之处在于均需要绘制单位球面，区别在于前者需要将柱面显示出来，而后者需要将柱面隐去，且需要用到find 和nan 指令对图像实现精确绘制。

三、程序设计
1.单位球面被柱面所截
x1=-1:0.01:1; y1=-1:0.01:1;
[X1,Y1]=meshgrid(x1,y1); Z1=sqrt(1-(X1.^2+Y1.^2)); i1=find(X1.^2+ Y1.^2> 1 ); Z1(i1)= nan; x2=0:0.01:1; z2=-1:0.01:1;
[X2,Z2]=meshgrid(x2,z2); Y2=sqrt(-X2.^2+X2); mesh(X1,Y1,Z1) hold on
mesh(X1,Y1,-Z1) mesh(X2,Y2,Z2) mesh(X2,-Y2,Z2)
x=-1:0.01:1;
y=-1:0.01:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=sqrt(1-(X.^2+Y.^2));
i1=find(X.^2+ Y.^2> 1 );
Z(i1)= nan;
i2=find(X.^2-X+Y.^2<=0);
Z(i2)=nan;
mesh(X,Y,Z)
hold on
mesh(X,Y,-Z)
四、问题求解结果与结论
1.单位球面被柱面所截
五、问题的进一步拓展与实验
本实验中最显著的问题在于单位球面的绘制：步长大，运算快，但图像缺陷多；步长小，图像细腻，但运算太慢。

于是需要寻找一种既运算快又图像细腻的单位球面程序设计方法。

百度并作部分修改后得到利用参数方程的方法，程序和结果如下：
1.单位球面被柱面所截
r=1;
theta=0:0.01:pi;
phi=0:0.01:2*pi;
[u,v]=meshgrid(theta,phi);
x1=r.*sin(u).*cos(v);
y1=r.*sin(u).*sin(v);
z1=r.*cos(u);
x2=0:0.01:1;
z2=-1:0.01:1;
[X2,Z2]=meshgrid(x2,z2);
Y2=sqrt(-X2.^2+X2);
mesh(x1,y1,z1)
hold on
mesh(X2,Y2,Z2)
mesh(X2,-Y2,Z2)
2.单位球面里挖掉柱面
r=1;
theta=0:0.01:pi;
phi=0:0.01:2*pi;
[u,v]=meshgrid(theta,phi);
x=r.*sin(u).*cos(v);
y=r.*sin(u).*sin(v);
z=r.*cos(u);
i=find(x.^2-y+y.^2<=0);
z(i)=nan;
mesh(x,y,z)
六、实验总结与体会
第三、四部分中呈现的程序和结果较为容易实现，但在改进过程中，发现各种各样、各不相同的方法均能绘制出球体，其中使用的函数指令更是五花八门，十分令人费解。

实验方法改进过程中最大的收获就是学会了利用参数方程绘制曲面图形。

并且，由于这是第一个实验，在此过程中对Matlab的操作方法、文件命名规则和存储方法的熟悉程度也在摸索中有了较大的提高，操作方面障碍的解除，为接下来的几个实验提供了极大的便利，也节省了许多时间。

实验II
一、实验问题
水仙花数若一个三位自然数的各位数字的立方和等于该数本身，则称该自然数为水仙花数，例如153=13+53+33，所以153就是一个水仙花数，编程计算出所有的水仙花数
二、问题分析
首先需要利用三重循环语句表示出所有的三位数，再验证是否满足各位数字的立方和等于该数本身的条件，满足者输出，不满足者跳过。

三、程序设计
for a=1:1:9
for b=0:1:9
for c=0:1:9
D=a^3+b^3+c^3;
E=100*a+10*b+c;
if D==E
D
end
end
end
end
四、问题求解结果与结论
所以共有4个水仙花数：153、370、371、407
五、问题的进一步拓展与实验
在实验结果的显示方面，4个数字纵向排列，改进目标是改为横向排列。

六、实验总结与体会
本实验的思路比较清晰，程序也很简单，关键在于三个for循环和条件语句的使用。

另外，由于最初没有注意到条件语句中“等于”应该写为“==”，而误写为“=”，造成一些错误和麻烦。

实验III
一、实验问题
利用rand产生10个随机数，利用for循环对从大大小排序
二、问题分析
根据冒泡排序原理：比较开头两个数字的大小，选出较大的一个，再与第三个比较，选出较大的一个，依次比较下去，这样就选出最大的一个。

然后再从剩下的数字中选出最大的一个，依此类推，经过多轮冒泡后就产生了排序数列。

三、程序设计
A=rand(1,10)
for i=1:1:9
k=i;
for j=i+1:1:10
if A(j)>A(k)
k=j;
end
end
if i~=k
a=A(i);
A(i)=A(k);
A(k)=a;
end
end
for i=1:1:10
AA=A(i)
end
四、问题求解结果与结论
五、问题的进一步拓展与实验
同实验II相似，在实验结果的显示方面，10个数字纵向排列，给排序结果的查看带来不便，改进目标是改为横向排列。

六、实验总结与体会
本程序的设计思路较为明了，但将思路转化为Matlab程序设计语言却有很大的困难。

本程序的关键仍在于双重的for循环和两个条件语句的使用，程序语言在理解上也有一定的难度。

实验IV
一、实验问题
验证哥德巴赫猜想：任何一个正偶数（n≥6）可以表示成两个质数的和二、问题分析
先输入一个不小于6的正偶数，再找到所有小于这个正偶数的质数，从第一个质数开始检索是否存在另外一个质数使这两个质数的和等于原正偶数，若存在，则输出两者；若不存在，则跳过。

三、程序设计
a=input('请输入正偶数')
A=(primes(a));
[m,n]=size(A);
for i=1:1:n-1
for j=i+1:1:n
b=A(i);
c=A(j);
if b+c==a
b
c
end
end
end
四、问题求解结果与结论
五、问题的进一步拓展与实验
实验结果的输出一直缠绕着本次实验的各个问题，当输入的正偶数较大的时，会有很多满足的条件的质数组被输出，相邻的b和c即为满足条件的质数，虽然能够验证哥德巴赫猜想的正确性，但却不能很方便的找出共有多少组满足条件的质数，改进目标是使质数横向排列或成组显示。

六、实验总结与体会
本问题的综合性较强，不仅需要用到for循环、条件语句，还需要input 指令和size指令。

但是本问题的思路较为简单，只要掌握了上述语句和指令，程序设计也很容易实现。