2021年中考数学复习重点题型(2)——网格作图
中考数学网格作图题复习教案
《网格作图题》复习专题教学设计一、教材分析网格作图题是对图形变换的综合考查，在网格中可以同时考察平移、旋转、轴对称、中心对称等几种图形变换。
这类题目属于图形的操作问题，在网格中进行图形变换的操作时，图形的每一个顶点都是关键点，可以将图形的变换操作转化为点的变换操作。
本节课，知识点较多，但应该抓住关键点，分清变换类型，用变换的性质来解决实际问题，以训练为主。
2．考标要求：（1）应用平移、旋转、轴对称、中心对称等几种图形变换的性质解决数学问题。
（2）培养学生几何空间思维能力。
二、教学目标：(1).知识与技能：回忆所学的平移、旋转、轴对称、中心对称等几种图形变换的基础知识，理解掌握运用基础知识解决相关问题，提高解决问题的能力。
(2).数学思考：建立几何空间思维能力。
(3).过程与方法：学生自查遗忘的知识点，通过讨论、交流，教师答疑、解惑、指导，经历例题、习题的解答，提高技能，(4).情感态度：经历对所学的平移、旋转、轴对称、中心对称等几种图形变换的基础知识的复习，用所学知识解决相关问题，提高解决问题的能力。
三、教学重、难点：教学重点：对面积的计算。
教学难点：教学准备：多媒体课件、导学案、四、教学过程教学内容与教师活动学生活动设计意图一、知识梳理加强理解（1）中考题型（2）考点1.对称图形的计算和运用;2.平移图形的计算和运用;3.旋转图形的计算和运用;4.在网格中求面积;（3）准备知识1.对称作图的方法：轴对称（或中心对称）图形的作法：先找出原图形的各顶点，作出它们关于对称轴的对称点，然后根据原图连接各对称点。
2.平移作图的方法：（1）确定平移的方向和平移的距离；（2）找出原图形的关键点；（3）按平移方向和平移距离，平移各个关键点，得到关键点的对应点；（4）按原图形依次连接各关键点的对应点，即的平移后的图形。
3.旋转作图的方法：（1）确定旋转中心及旋转方向、旋转角；（2）找出原图的关键点；（3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角旋转，得到个关键点的对应点；（4）按按原图形依次连接各关键点的对应点，即的旋转后的图形。
2021中考数学 中档题型训练七 网格中的图形变换
网格中的图形变换纵观5年贵阳中考试题，图形的轴对称、平移、旋转是中考的热点，尤其网格中的图形变换，主要考查利用图形变换的性质，在网格中作图以及相关计算．网格中的平移、旋转【例1】(2021龙东地区中考)如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A(－2，2)，B(0，5)，C(0，2)．(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形；(2)平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为(－2，－6)，请画出平移后对应的△A2B2C2的图形；(3)若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．【解析】(1)分别画出点A、B以点C为旋转中心的对称点A1、B1，再顺次连接A1、B1、C即得到所求作为△A1B1C.(2)根据平移后点A对应的点A2坐标确定出△ABC平移的距离和方向，按此画出B、C平移后的对应点B2、C2，顺次连接A2、B2、C2即可．(3)由图可知，△A1B1C绕点(0，－2)旋转180°得到△A2B2C2.【学生解答】1．(2021眉山中考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(－3，2)，B(－1，4)，C(0，2)．(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；(2)平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为(－5，－2)，画出平移后的△A2B2C2；(3)若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C，请直接写出旋转中心的坐标．网格中的位似【例2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点均在格点上，A(－1，3)，B(－3，1)，C(0，1)．(1)画出在网格内把△AB C向右平移3个单位，再向上平移1个单位所得到的图形△A1B1C1；(2)在网格内把△ABC以原点O为位似中心放大，使放大前后对应边的比为1∶2，画出放大后的图形△A2B2C2.【解析】(1)把△ABC的三个顶点分别向右平移3个单位，再向上平移1个单位，找到对应的点，即可画出平移后的三角形．(2)把△ABC以原点O为位似中心放大，使放大前后对应边的比为1∶2，连接AO并延长到A2，使OA2＝2OA，得到A的对应点A2，同理得到B2与C2，然后顺次连接即得△A2B2C2.【学生解答】2．如图，△ABC的顶点坐标分别为A(1，3)、B(4，2)、C(2，1)．(1)作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；(2)以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△A2B2C2，使ABA2B2＝12，并写出点A2的坐标．网格中的对称【例3】(2012梅州中考)如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB 的顶点均在格点上，点A 、B 的坐标分别是A(3，2)、B(1，3)．△AOB 绕点O 逆时针旋转90°后得到△A 1OB 1.(直接填写答案)(1)点A 关于点O 中心对称的点的坐标为________；(2)点A 1的坐标为________；(3)在旋转过程中，点B 经过的路径为BB 1︵，那么BB 1︵的长为________．【解析】(1)根据关于中心对称坐标特点解答．(2)运用勾股定理先求出OB ，再根据弧长公式求．【学生解答】3．(2021丹东中考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A(1，4)，B(4，2)，C(3，5)(每个方格的边长均为1个单位长度)．(1)请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称；(2)将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点B旋转到点B2所经过的路径长．4．(2021聊城中考)在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是(－3，－1)．(1)将△ABC沿y轴正方向平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．。
备战中考数学二轮专题归纳提升真题格点图问题(解析版)
专题10 格点图问题【题型一：格点中的作图问题】【例1】（2021·宁波）如图是由边长为1的小正方形构成的6×4的网格，点A，B均在格点上.（1）在图1中画出以AB为边且周长为无理数的▱ABCD，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）.（2）在图2中画出以AB为对角线的正方形AEBF，且点E和点F均在格点上.【答案】（1）解：如图四边形ABCD即为所作，答案不唯一.（2）解：如图，四边形AEBF即为所求作的正方形.【解析】（1）根据两边对边相等的四边形是平行四边形作图，注意根据勾股定理，结合无理数的定义作出AD和BC；（2）以AB为斜边分别作等腰直角△AFB和等腰直角△AEB，即可得出正方形AEBF.【例2】（2021温州）如图4×4与6×6的方格都是由边长为1的小正方形组成.图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）.（1）选一个四边形画在图2中，使点P为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形.（2）选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的√5倍，画在图3中.【答案】（1）解：画法不唯一，当选四边形为正方形时可以是如图1或图2；当四边形式平行四边形时可以是图3或图4.（2）解：画法不唯一，当直角边长为√2时，扩大√5即直角边长为√10利用勾股定理画出直角边长为√10直角三角形可以是如图5或图6当直角边长为2√2时，扩大√5即直角边长为2√10利用勾股定理画出直角边长为2 √10直角三角形可以是如图7或图8等.【解析】（1）任选一个四边形，根据平移的性质分别得出对应点位置，然后将各点顺次连接起来即可；（2）先任选一个三角形，然后根据各边长扩大到原来的用勾股定理在方格图中画出边长扩大后的三角形即可.【练1】如图①,②,③都是3×3的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点.A,B,C均为格点.在给定的网格中,按下列要求画图:(1)在图①中,画一条不与AB重合的线段MN,使MN与AB关于某条直线对称,且M,N为格点.(2)在图②中,画一条不与AC重合的线段PQ,使PQ与AC关于某条直线对称,且P,Q为格点.(3)在图③中,画一个△DEF,使△DEF与△ABC关于某条直线对称,且D,E,F为格点.【答案】(1)如图①,MN即为所求(答案不唯一).(2)如图②,PQ即为所求(答案不唯一).(3)如图③,△DEF即为所求(答案不唯一).【练2】如图,在所给的方格纸中,每个小正方形的边长都是1,点A,B,C位于格点处,请按要求画出格点四边形.(1)在图①中画出格点P,使AC=CP,且以点A,B,C,P为顶点的四边形面积为3;(2)在图②中画出一个以点A,B,C,P为顶点的格点四边形,使AP2+CP2=15.【答案】(1)如图①中,四边形即为所求(答案不唯一).(2)如图②中,四边形即为所求(答案不唯一)【练3】如图，由5个大小完全相同的小正方形摆成如图形状，现移动其中的一个小正方形，请在图（1），图（2），图（3）中分别画出满足以下各要求的图形．（用阴影表示）（1）使得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．（2）使得图形成为轴对称图形，而不是中心对称图形；（3）使得图形成为中心对称图形，而不是轴对称图形．【答案】【题型二：格点中的计算问题】【例】如图,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长为1,点A,B,C都在格点上,则cos∠BAC的值为.【答案】√55【解析】如图,找出格点D,E,连接CD,AD,易知△ACD是直角三角形,A,C,E三点共线,连结BE,由勾股定理可知:AB 2=1+9=10,AE 2=1+1=2,BE 2=4+4=8,∴AB 2=AE 2+BE 2,∴△ABE 是直角三角形,∴cos ∠BAC =AE AB =√2√10=√55, 故答案为√55.【练1】如图,将正三角形ABC 分割成m 个边长为1的小正三角形和1个黑色菱形,这个黑色菱形可分割成n 个边长为1的小正三角形.若m n =4725,则正三角形ABC 的边长是 .【答案】12【解析】设正三角形ABC 的边长为x ,则高为√32x ,∴S △ABC =12x ·√32x =√34x 2, ∵所分成的都是边长为1的正三角形, ∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线长为√32x -√3,较短的对角线长为√32x -√3√33=12x -1, ∴黑色菱形的面积=12√32x -√312x -1=√38(x -2)2, ∴m n =√34x 2-√38(x -2)2√38(x -2)2=4725, 整理得11x 2-144x +144=0,解得x 1=1211(不符合题意,舍去),x 2=12,所以,△ABC 的边长是12.【练2】如图,在△ABC 中,AB ,BC ,AC 三边的长分别为√2,√13,√17,求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点△ABC (即△ABC 的三个顶点都在小正方形的顶点处),如图W5-9①所示.这样不需求△ABC 的高,而借用网格就能计算出它的面积.(1)请你将△ABC 的面积直接填写在横线上: .(2)我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法.若△ABC 三边的长分别为2√2a ,√10a ,√26a ( >0),请利用图②的正方形网格(每个小正方形的边长为 )画出相应的△ABC ,并求出它的面积.(3)若△ABC 三边的长分别为√m 2+4n 2 ,√m 2+16n 2 ,2√m 2+n 2 (m>0,n>0,m ≠n ),请运用构图法在图③指定区域内画出示意图,并求出△ABC 的面积.【答案】（1）2.5（2）图见解析，S=4 2（3）图见解析，S=3mn【解析】（1）S △ABC =2×4-12×1×1-12×3×2-12×1×4=2.5,(2)如图,∵AB =2√2 ,BC =√10 ,AC =√26 ,∴S △ABC =2 ×5 -12×2 ×2 -12×3 × -12× ×5 =4 2.（3）如图,AB =√m 2+4n 2,AC =√m 2+16n 2,BC =2√m 2+n 2,∴S △ABC =2m ×4n -12×2m ×2n -12×m ×4n -12×m ×2n =3mn.【练3】如图,在5×5的正方形方格纸中,每个小正方形的边长为单位1,点A,B,C,P都在格点处.(1)请在图中作△BCD,使△BCD是以CD为底的等腰三角形,且点D为格点.(2)在(1)的条件下,连结AD,则四边形ABCD的面积为,再连结AC,则tan∠ACD=.(3)请仅使用无刻度直尺在线段BC上作一点Q,使点Q满足∠PQB=45°.(温馨提示:点Q可以是非格点哦!)【答案】（1）图见解析（2）10，13（3）图见解析【解析】（1）（2）如图，连接AD、AC四边形ABCD的面积=正方形ABMN的面积-三角形BMC的面积-三角形DNC的面积=4×4−12×2×4−12×2×2=16−4−2=10由图可得，AC=BC （3）【题型三：格点中的计数问题】【例】如图,A ,B 是4×5网格中的格点,网格中的每个小正方形的边长是1,图中使以A ,B ,C 为顶点的三角形是等腰三角形的格点C 有几个？【答案】3个【解析】如图，∵A ,B 是4×5网格中的格点,∴AB =√22+32=√13,同理可得AC =AE =BD =√13.∴所求三角形有:△ABD ,△ABC ,△ABE.【练1】如图,点A 是5×5网格图形中的一个格点(小正方形的顶点),图中每个小正方形的边长为1,以A 为其中的一个顶点,面积等于52的格点等腰直角三角形(三角形的三个顶点都是格点)的个数为【答案】16个的格点等腰直角三角形,所以就要求直角边长为√5,如图,【解析】因为是面积等于52因为√5=√12+22,所以以点A为圆心,√5为半径画圆,与格点的交点就是三角形的另一顶点,①当A位于直角顶点时,存在8种情况,如图①②.②当A位于斜边的一个顶点时,同样存在8种情况,如图③④.的格点等腰直角三角形共有16个.∴以A为顶点且面积等于52【练2】在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形(即顶点恰好是正方形的顶点)，则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是．【答案】4个【解析】如图所示，以BC为公共边的三角形有3个，以AB为公共边的三角形有0个，以AC为公共边的三角形有1个，总计个.。
2024年中考数学复习重难点题型训练—网格作图(含答案解析)
2024年中考数学复习重难点题型训练—网格作图（含答案解析）类型一平移1.如图，在9×7的小正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C在网格的格点上．将△ABC 向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到△A′B′C′.再将△ABC按一定规律依次旋转：第1次，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A1BC1；第2次，将△A1BC1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B1C2；第3次，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转90°得到△A2B2C2；第4次，将△A2B2C2绕点B2顺时针旋转90°得到△A3B2C3，依次旋转下去．(1)在网格中画出△A′B′C′和△A2B2C2；(2)请直接写出至少在第几次旋转后所得的三角形刚好为△A′B′C′.【答案】解：(1)△A′B′C′和△A2B2C2的图象如图所示.(2)通过画图可知，△ABC至少在第8次旋转后得到△A′B′C′.2.已知梯形ABCD，请使用无刻度直尺画图．(1)在图①中画一个与梯形ABCD面积相等，且以CD为边的三角形；(2)在图②中画一个与梯形ABCD面积相等，且以AB为边的平行四边形．【解析】(1)如解图①所示，△CDE即为所求．(2)如解图②所示，▱ABFG即为所求．3.如图，在边上为1个单位长度的小正方形网格中：（1）画出△ABC向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度后的△A1B1C1；（2）以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2；（3）求△CC1C2的面积．【答案】（1）如图所示：；（2）如图所示：；（3）如图所示：△CC1C2的面积=12×3×6=9．【考点定位】：作图-位似变换；作图-平移变换．属基础题.【试题解析】解：（1）根据平移的性质画出图形即可；（2）根据位似的性质画出图形即可；（3）根据三角形的面积公式求出即可．；△CC1C2的面积=12×3×6=9．【命题意图】本题主要考查位似变换与平移变换，得出变换后的对应点的位置是解题的关键.【方法、技巧、规律】网格问题就是在网格中研究格点问题，这类问题现在在中考中比较常见，成为中考中的热点问题，具有很强的操作性，考查的类型问题有：点与有序数对的一一对应问题、平移问题、旋转问题、轴对称问题、勾股定理问题、分类思想的运用等. 4.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．将△ABC向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到△A1B1C1．（1）写出△ABC的顶点坐标；（2）请在图中画出△A1B1C1．【答案】（1）A（1，0），B（0，-1），C（2，-2）；（2）参见解析．【解析】（1）由观察得知：A（1，0），B（0，-1），C（2，-2）；（2）将A，B，C三点坐标横坐标分别减3，纵坐标分别减2得A1（-2，-2），B1（-3，-3），C1（-1，-4）．三点连线即可．如下图：5.作图题：（1）把△ABC向右平移5个方格;CBA（2）绕点B的对应点顺时针方向旋转90°CBA【答案】见解析【解析】（1）如图所示：（2）如图所示：6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（-3，4），B（-4，2），C（-2，1），且△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称．（1）画出△A 1B 1C 1，并写出A 1的坐标；（2）P （a ，b ）是△ABC 的AC 边上一点，△ABC 经平移后点P 的对称点P′（a+3，b+1），请画出平移后的△A 2B 2C 2．【答案】（1）作图见解析，A 1的坐标是（3，-4）；（2）作图见解析．【解析】（1）如图所示：A 1的坐标是（3，-4）；（2）△A 2B 2C 2是所求的三角形．类型二旋转7.（2021·湖北黄石·中考真题）如图，ABC 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A 点的坐标是()1,0-，现将ABC 绕A 点按逆时针方向旋转90︒，则旋转后点C 的坐标是（）A ．()2,3-B ．()2,3-C ．()2,2-D ．()3,2-【答案】B【分析】在网格中绘制出CA 旋转后的图形，得到点C 旋转后对应点．【解析】如图，绘制出CA 绕点A 逆时针旋转90°的图形，由图可得：点C 对应点C '的坐标为(-2，3)．故选B ．【点睛】本题考查旋转，需要注意题干中要求顺时针旋转还是逆时针旋转．8.如图，已知O 是坐标原点，B 、C 两点的坐标分别为（3，-1），（2，1），将△BOC 绕点O 逆时针旋转90度，得到△B 1OC 1，画出△B 1OC 1，并写出B 、C 两点的对应点B 1、C 1的坐标，【解析】解：如图，△B1OC1为所作，点B1，C1的坐标分别为（1，3），（-1，2）．9.在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B在x轴上，将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O、B的对应点分别是点E、F．（1）若点B的坐标是（﹣4，0），请在图中画出△AEF，并写出点E、F的坐标．（2）当点F落在x轴的上方时，试写出一个符合条件的点B的坐标．【答案】（1）E（3，3），F（3，﹣1）；（2）答案不唯一，如：（﹣2，0）．【解析】（1）∵△AOB绕点A逆时针旋转90°后得到△AEF，∴AO⊥AE，AB⊥AF，BO⊥EF，AO=AE，AB=AF，BO=EF，∴△AEF在图中表示为：∵AO⊥AE，AO=AE，∴点E的坐标是（3，3），∵EF=OB=4，∴点F的坐标是（3，﹣1）；（2）∵点F落在x轴的上方，∴EF＜AO，又∵EF=OB，∴OB＜AO，AO=3，∴OB＜3，∴一个符合条件的点B的坐标是：答案不唯一，如：（﹣2，0）．10.方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上，点C的坐标为（-3，-1）．（1）试作出△ABC以C为旋转中心，沿逆时针方向旋转90°后的图形△A1B1C；（2）以原点O为对称中心，再画出与△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．【解析】解：根据旋转中心为点C，旋转方向为逆时针，旋转角度为90°，所作图形如下：．（2）所作图形如下：结合图形可得点C2坐标为（3，1）．11.如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且点A(－1，3)，B(－3，－1)，C(－3，3)，已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的．(1)旋转中心的坐标是________，旋转角的度数是________．(2)以(1)中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°，180°的三角形．(3)设Rt△ABC的两直角边BC＝a，AC＝b，斜边AB＝c，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理．【解析】(1)O(0，0)，90°.(2)如解图．(3)由旋转可知，四边形CC 1C 2C 3和四边形AA 1A 2B 都是正方形．∵S 正方形CC 1C 2C 3＝S 正方形AA 1A 2B ＋4S △ABC ，∴(a ＋b)2＝c 2＋4×12ab ，即a 2＋2ab ＋b 2＝c 2＋2ab ，∴a 2＋b 2＝c 2.12.在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：（1）分别写出A 、B 两点的坐标；（2）将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB 1C 1．【解析】解：（1）由点A 、B 在坐标系中的位置可知：A （2，0），B （-1，-4）；（2）如图所示：13.如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，3)，B(－1，0)，C(4，0)．(1)经过平移，可使△ABC的顶点A与坐标原点O重合，请直接写出此时点C的对应点C1坐标；(不必画出平移后的三角形)(2)将△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到△A′BC′，画出△A′BC′并写出A′点的坐标；(3)以点A为位似中心放大△ABC，得到△AB2C2，使放大前后的面积之比为1∶4，请你在网格内画出△AB2C2.【答案】解：(1)∵经过平移，可使△ABC的顶点A与坐标原点O重合，∴A点向下平移3个单位再向左平移3个单位，故C1坐标为(1，－3)．(2)如图所示，△A′BC′即为所求，A′点的坐标为(－4，4)．(3)如图所示，△AB2C2即为所示．14.如图,已知坐标平面内的三个点A(3,5),B(3,1),O(0,0),把△ABO向下平移3个单位,再向右平移2个单位后得到△DEF.(1)直接写出A,B,O三个对应点D、E、F的坐标;(2)画出将△AOB绕O点逆时针方向旋转90∘后得到的△A'OB';(3)求△DEF的面积.【解析】解：(1)点D、E、F的坐标分别为(5,2)、(5,-2)、(2,-3).(2)如图,△A'OB'即为所求作.(3)△DEF的面积=12×4×3=6.15.在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形（画出一个即可）；（2）将图2中的△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的三角形．【解析】解：（1）如图所示；（2）如图所示．16.如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1．（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．（3）判断△A2B2C2是否可由△AB1C1绕某点M旋转得到；若是，请画出旋转中心M，并直接写出旋转中心M的坐标．【解析】解：（1）如图所示，△AB1C1即为所求．（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．（3）如图所示，△A2B2C2可由△AB1C1绕点M，顺时针旋转90°得到，其中点M坐标为（0，-1）．17.如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，3），（-4，1），（-2，1），△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，△A2B2C2是由△ABC绕着原点O顺时针旋转90°后得到的．（1）画出△A1B1C1，并写出点A的对称点A1的坐标；（2）画出△A2B2C2，并写出点A的对称点A2的坐标；（3）求出点B到达点B2的路径长度．【解析】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，A1（1，-3）；（2）如图，△A2B2C2为所作，A2（3，1）；（3）∵OB=42+12=17，∴B到达点B2的路径长度．18.下面是小明关于“对称与旋转的关系”的探究过程，请你补充完整．（1）三角形在平面直角坐标系中的位置如图1所示，简称G ，G 关于y 轴的对称图形为1G ，关于x 轴的对称图形为2G ．则将图形1G 绕____点顺时针旋转____度，可以得到图形2G ．（2）在图2中分别画出．．．．G 关于y 轴和直线1y x =+的对称图形1G ，2G ．将图形1G 绕____点（用坐标表示）顺时针旋转______度，可以得到图形2G ．（3）综上，如图3，直线1:22l y x =-+和2:l y x =所夹锐角为α，如果图形G 关于直线1l 的对称图形为1G ，关于直线2l 的对称图形为2G ，那么将图形1G 绕____点（用坐标表示）顺时针旋转_____度（用α表示），可以得到图形2G ．【答案】（1）O ，180；（2）图见解析，()0,1，90；（3）22,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，2α【分析】（1）根据图形可以直接得到答案；（2）根据题意画出图形，观察图形，利用图形旋转的性质得到结论；（3）从（1）（2）问的结论中得到解题的规律，求出两个函数的交点坐标，即可得出答案．【解析】解：（1）由图象可得，图形1G 与图形2G 关于原点成中心对称，则将图形1G 绕O 点顺时针旋转180度，可以得到图形2G ；故答案为：O ，180；（2）1G ，2G 如图；由图形可得，将图形1G 绕()0,1点（用坐标表示）顺时针旋转90度，可以得到图形2G ，故答案为：()0,1，90；（3）∵当G 关于y 轴的对称图形为1G ，关于x 轴的对称图形为2G 时，1G 与2G 关于原点（0,0）对称，即图形1G 绕O 点顺时针旋转180度，可以得到图形2G ；当G 关于y 轴和直线1y x =+的对称图形1G ，2G 时，图形1G 绕()0,1点（用坐标表示）顺时针旋转90度，可以得到图形2G ，点（0,1）为直线1y x =+与y 轴的交点，90度角为直线1y x =+与y 轴夹角的两倍；又∵直线1:22l y x =-+和2:l y x =的交点为22,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，夹角为α，∴当直线1:22l y x =-+和2:l y x =所夹锐角为α，图形G 关于直线1l 的对称图形为1G ，关于直线2l 的对称图形为2G ，那么将图形1G 绕22,33⎛⎫ ⎪⎝⎭点（用坐标表示）顺时针旋转2α度（用α表示），可以得到图形2G ．故答案为：22,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，2α．【点睛】本题主要考查了图形的对称性与旋转的性质，关键在于根据题意正确的画出图形，得出规律．类型三对称19.如图，在边长为1个单位长度的小正方形格中，给出了△ABC(顶点是格线的交点)．(1)请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；(2)将线段AC向左平移3个单位，再向下平移5个单位，画出平移得到的线段A2C2，并以它为一边作一个格点△A2B2C2，使A2B2＝C2B2.【答案】(1)如图：△A1B1C1即为所求．(2)如图：△A2B2C2即为所求．20.在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，△ABC和△A1B1C1成中心对称．(1)请在图中画出对称中心O；(2)在图中画出将△A1B1C1沿直线DE平移5格得到的△A2B2C2；(3)要使△A2B2C2与△CC1C2重合，需将△A2B2C2绕点C2顺时针旋转，则至少要旋转________度．【答案】(1)如图：点O即为所求．(2)如图：△A2B2C2即为所求．(3)9021.如图，在正方形网格中，△ABC 各顶点都在格点上，点A 、C 的坐标分别为(－5，1)、(－1，4)，结合所给的平面直角坐标系，解答下列问题：(1)画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；(2)画出△ABC 关于原点O 对称的△A 2B 2C 2；(3)点C 1的坐标是________；点C 2的坐标是________；过C ，C 1，C 2三点的圆的圆弧的长是________(保留π)．【答案】(1)如图：△A 1B 1C 1即为所求．(2)如图：△A 2B 2C 2即为所求．(3)(1，4)(1，－4)17π22.（2022年陕西中考）如图，ABC ∆的顶点坐标分别为(2,3)A -，(3,0)B -，(1,1)C --．将ABC ∆平移后得到△A B C '''，且点A 的对应点是(2,3)A '，点B 、C 的对应点分别是B '、C '．（1）点A 、A '之间的距离是；（2）请在图中画出△A B C '''．【解答】解：（1）(2,3)--=。
中考数学专题复习格点作图题
中考数学专题复习格点作图题学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、解答题1．图①，图①，图①都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，图①中已画出线段AB，在图①中已画出点A．按下列要求画图：（1）在图①中，以格点为顶点，AB为一边画一个等腰三角形；（2）在图①中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形；（3）在图①中，以点A为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．2．图①、图①、图①都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点．线段AB的端点在格点上．（1）在图①、图2中，以AB为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点上；（所画图形不全等）（2）在图①中，以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．3．图①、图①均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段OM、ON 的端点均在格点上．在图①、图①给定的网格中以OM、ON为邻边各画一个四边形，使第四个顶点在格点上．要求：（1）所画的两个四边形均是轴对称图形．（2）所画的两个四边形不全等．4．如图是由边长为1的小正方形组成的8×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动：第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1；第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2；第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D．（1）请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径；（2）所画图形是什么对称图形；（3）求所画图形的周长（结果保留π）．5．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A B C D E F、、、、、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．（1）在图①中以线段AB为边画一个ABM∆，使其面积为6．（2）在图②中以线段CD为边画一个CDN∆，使其面积为6．（3）在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且090EFG∠=．6．图①，图①均为44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB ，在图①中已画出线段CD ，其中A B C D 、、、均为格点，按下列要求画图：①在图①中，以AB 为对角线画一个菱形AEBF ，且,E F 为格点；①在图①中，以CD 为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH ，且,G H 为格点，090CGD CHD ∠=∠=.7．如图①、图①、图①都是33⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A ，B ，C 均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画一条不与AB 重合的线段MN ，使MN 与AB 关于某条直线对称，且M ，N 为格点．（2）在图①中，画一条不与AC 重合的线段PQ ，使PQ 与AC 关于某条直线对称，且P ，Q 为格点．（3）在图①中，画一个DEF ∆，使DEF ∆与ABC ∆关于某条直线对称，且D ，E ，F 为格点．8．图①、图①、图①均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画ABC．要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图①中画一个直角三角形，在图①中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．9．图①、图①、图①均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：（1）在图①中，连结MA、MB，使MA MB=．（2）在图①中，连结MA、MB、MC，使MA MB MC==．（3）在图①中，连结MA、MC，使2AMC ABC∠=∠．10．图①、图2均是44的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．（1）在图①中，以点A，B，C为顶点画一个等腰三角形；（2）在图①中，以点A，B，D，E为顶点画一个面积为3的平行四边形．参考答案：1．（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）根据勾股定理，结合网格结构，作出两边分别为5的等腰三角形即可；（2）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出边长为5的正方形；（3）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出最长的线段作为正方形的边长即可．试题解析：（1）如图①，符合条件的C点有5个：；（2）如图①，正方形ABCD即为满足条件的图形：；（3）如图①，边长为10的正方形ABCD的面积最大．．考点：作图—应用与设计作图．2．（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的定义作图可得；（2）根据平行四边形的判定作图可得．【详解】（1）如图①、①所示，①ABC和①ABD即为所求；（2）如图①所示，①ABCD即为所求．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、等边三角形的性质、平行四边形的判定，正确分析网格特点是解题的关键．3．作图见解析.【解析】【详解】【分析】结合网格特点以及轴对称图形的定义进行作图，然后用全等四边形的定义判断即可得符合题意的图形．【详解】如图所示：【点睛】本题考查了作图﹣轴对称变换，以及全等形的判定，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．4．（1）点D→D1→D2→D经过的路径如图所示见解析；（2）轴对称；（3）周长为8π．【解析】【分析】(1)利用旋转变换的性质画出图象即可；(2)根据轴对称图形的定义即可判断；(3)利用弧长公式计算即可.【详解】解：(1)点D→D1→D2→D经过的路径如图所示：(2)观察图象可知图象是轴对称图形，(3)周长=4×904180π⨯⨯=8π．故答案为(1)点D→D1→D2→D经过的路径如图所示见解析；(2)轴对称；(3)8π．【点睛】本题考查作图——旋转变换、轴对称图形等知识，解题的关键是理解题意，正确画出图形. 5．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）直接利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形；（2）直接利用三角形面积求法得出答案；（3）根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案．【详解】解：（1）如图①所示，ABM∆即为所求；（2）如图①所示，CDN∆即为所求；（3）如图①所示，四边形EFGH即为所求；【点睛】考核知识点：作三角形和四边形.利用三角形面积公式求解是关键.6．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据菱形的定义画出图形即可（答案不唯一）．（2）利用数形结合的思想解决问题即可．【详解】解：（1）如图，菱形AEBF即为所求．（2）如图，四边形CGDH即为所求．【点睛】本题考查作图-应用与设计，菱形的判定和性质，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．（1）图见解析；（2）图见解析；（3）图见解析．【解析】【分析】⨯的正方形网格的对称轴，根据对称性即可在图①中，描出点AB的对（1）先画出一条33称点MN，它们一定在格点上，再连接MN即可．（2）同（1）方法可解；（3）同（1）方法可解；【详解】⨯的正方形网格的对称轴l，描出点AB关于直线l的对称点MN，连解：（1）如图①，33接MN即为所求；（2）如图①，同理（1）可得，PQ即为所求；（3）如图①，同理（1）可得，DEF∆即为所求．【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，解决本题的关键是找到图形对称轴的位置．8．见详解（答案不唯一）【解析】【分析】因为点C在格点上，故可将直尺的一角与线段AB点A重合，直尺边长所在直线经过33⨯正方形网格左上角第一个格点，继而以点A为旋转中心，逆时针旋转直尺，当直尺边长所在直线与正方形格点相交时，确定点C的可能位置，顺次连接A、B、C三点，按照题目要求排除不符合条件的C点，作图完毕后可根据三角形面积公式判断其面积是否相等．【详解】经计算可得下图中：图①面积为12；图①面积为1；图①面积为32，面积不等符合题目要求（2），且符合题目要求（1）以及要求（3）．故本题答案如下：【点睛】本题考查三角形的分类及其作图，难度较低，按照题目要求作图即可．9．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）由勾股定理可求得AM=BM=5，即可得点M的位置；（2）由勾股定理可求得AB=BC=10，AC=25，即可得22220AB BC AC+==，再由勾股定理的逆定理可判定①ABC为等腰直角三角形，点M即为斜边AC的中点，由此可得点M的位置；（3）作出AB、AC的垂直平分线，交点即为M，M即为①ABC外接圆的圆心，连接AM，CM，根据圆周角定理可得2AMC ABC∠=∠，由此即可确定点M的位置．【详解】（1）如图①所示，点M即为所求．（2）如图①所示，点M即为所求．（3）如图①所示，点M即为所求．【点睛】本题考查了基本作图，解决第（3）题时，确定①ABC外接圆的圆心是解决问题的关键．10．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可：如以B为顶点，AC为底边，即可做出等腰三角形；（2）作底为1，高为3的平行四边形即可．【详解】解：（1）如图①中，此时以B为顶点，AC为底边，该ABC即为所求（答案不唯一）．（2）如图①中，此时底1AE=，高3h=，因此四边形ABDE即为所求．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和平行四边形的性质，解题的关键掌握等腰三角形和平行四边形的基本性质．。
第32课时 几何(网格、尺规)作图 课件 2025年中考数学一轮总复习
∴BF＝④ ，∴BF＝BA.
解：（1）如答案图所
示，BF即为所求作.（答案图）
∠BFC＝∠D
CD
90°
6
考点三 尺规作图的综合运用例4 在学习了平行四边形的相关知识
后，小虹进行了拓展性研究.她发现，如
果作平行四边形一条对角线的垂直平分
线，那么这条垂直平分线在该四边形内
部的线段被这条对角线平分.其解决问题
的思路为通过证明对应线段所在两个三
角形全等即可得出结论.请根据她的思路完成以下作图和填空：
用直尺和圆规作平行四边形ABCD的对
求作.
（3）求△ABC的面积.
[答案] 解：（3）
S△ABC＝4×3－
×1×3－ ×4×1－
×2×3＝5.5.
例2 （2024·安徽）如图，在由边长为1
个单位长度的小正方形组成的网格中建
立平面直角坐标系xOy，格点（网格线
的交点）A，B，C，D的坐标分别为
（7，8），（2，8），（10，4），
（5，4）.
（1）以点D为旋转中心，将△ABC旋转
180°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
[答案] 解：
（1）如图，
△A1B1C1即为所
求作.
（2）直接写出以B，C1，B1，C为顶点
的四边形的面积；
[答案] 解：（2）易知DB＝DB1，DC＝
DC1，∴四边形BC1B1C是平行四边形，∴ ＝2 ＝2× ×10×4
基本作图
图示
作法
经过一点作已知直线的垂线
过直线外一点作已知直线的垂线
①任意取一点K，使点K和点C在AB的两侧；②以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D，E；③分别以点D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；④作直线CF，直线CF就是所求作的垂线
2021年全国中考数学真题分类汇编： 尺规作图+网格作图+创新作图(含解析)
一、选择题7．（2021·鄂尔多斯）已知：▱AOCD的顶点O（0，0），点C在x轴的正半轴上，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点M，交OC于点N．②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOC内相交于点E．③画射线OE，交AD于点F（2，3），则点A的坐标为（）A．（，3）B．（3﹣，3）C．（﹣，3）D．（2﹣，3）A【解析】由作法得OE平分∠AOC，则∠AOF＝∠COF，∵四边形AOCD为平行四边形，∴AD∥OC，∴∠AFO＝∠COF，∴∠AOF＝∠AFO，∴OA＝AF，设AF交y轴于M，如图，∵F（2，3），∴MF＝2，OM＝3，设A（t，3），∴AM＝﹣t，AO＝AF＝﹣t+2，在Rt△OAM中，t2+32＝（﹣t+2）2，解得t＝﹣，∴A（﹣，3）．故选：A．8．（2021·益阳）如图，在△ABC中，AC＞BC，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E，经过D，E作直线分别交AB，AC于点M，N，连接BN，下列结论正确的是（）A．AN＝NC B．AN＝BN C．MN＝BC D．BN平分∠ABCB7．(2021·安顺、贵阳) 如图，已知线段AB ＝6，利用尺规作AB 的垂直平分线，步骤如下： ①分别以点A ，B 为圆心，以b 的长为半径作弧，两弧相交于点C 和D ． ②作直线CD ，直线CD 就是线段AB 的垂直平分线． 则b 的长可能是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4D {解析}垂直平分线的作图过程：分别以线段的端点A ，B 为圆心，大于21AB 的长度为半径作弧，交于点C ，D ，连接CD ，直线CD 就是线段AB 的垂直平分线，∴b ＞21AB ，∵AB =6，∴b ＞3，∴b 取4，因此本题选D ．9．(2021·铜仁)如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，10AB =，8BC =，按下列步骤作图：步骤1：以点A 为圆心，小于AC 的长为半径作弧分别交AC 、AB 于点D 、E ．步骤2：分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧交于点M ．步骤3：作射线AM 交BC 于点F ．则AF 的长为（ ）A ．6B ．C ．D ．B {解析}过点F 作FG ⊥AB 于点G ，由尺规作图可知，AF 平分∠BAC ，∵90C ∠=︒，∴FC ⊥AC ，∴FC ＝FG ，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，10AB =，8BC =，∴6AC ==，∵ABCACFABFSSS=+，∴111222AC BC AC FC AB FG ⋅=⋅+⋅，即11168610222FC FG ⨯⨯=⨯⋅+⨯⋅，解得3=FC ，在Rt AFC ∆中，由勾股定理得AF =9．(2021·济宁) 如图，已知△ABC．（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N．（2）分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P．（3）作射线AP交BC于点D．（4）分别以A，D为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．（5）作直线GH，交AC，AB分别于点E，F．依据以上作图，若AF＝2，CE＝3，BD＝，则CD的长是（）A．B．1C．D．4{答案}C{解析}由作法得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，∴∠EAD＝∠F AD，EA＝ED，F A＝FD，∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∴∠F AD＝∠EDA，∴DE∥AF，同理可得AE∥DF，∴四边形AEDF为平行四边形，而EA＝ED，∴四边形AEDF为菱形，∴AE＝AF＝2，∵DE∥AB，∴＝，即＝，∴CD＝．7．（2021·永州）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 分别交BC 、AB 于点D 和点E ，若∠B ＝50°，则∠CAD 的度数是（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°{答案}A{解析}由作法得MN 垂直平分AB ，∴DA ＝DB ，∴∠DAB ＝∠B ＝50°，∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠B ＝50°， ∴∠BAC ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴∠CAD ＝∠BAC ﹣∠DAB ＝80°﹣50°＝30°．7．（2021•怀化）如图，在△ABC 中，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点M 、N ；再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ；连结AP 并延长交BC 于点D ．则下列说法正确的是（ ）A ．AD +BD ＜AB B ．AD 一定经过△ABC 的重心C ．∠BAD ＝∠CAD D ．AD 一定经过△ABC 的外心C8．（2021•湖州）如图，已知在△ABC 中，∠ABC ＜90°，AB ≠BC ，BE 是AC 边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点B ，C 为圆心，大于线段BC 长度一半的长为半径作弧，相交于点M ，N ；②过点M ，N 作直线MN ，分别交BC ，BE 于点D ，O ；③连接CO ，DE ．则下列结论错误的是（ ）A ．OB ＝OC B ．∠BOD ＝∠COD C ．DE ∥AB D ．DB ＝DED 【解析】由作法得MN 垂直平分BC ，∴OB ＝OC ，BD ＝CD ，OD ⊥BC ，所以A 选项正确； ∴OD 平分∠BOC ，∴∠BOD ＝∠COD ，所以B 选项正确；∵AE ＝CE ，DB ＝DC ，∴DE 为△ABC 的中位线，∴DE ∥AB ，所以C 选项正确； DE =12AB ，而BD =12BC ，∵AB ≠BC ，∴BD ≠DE ，所以D 选项错误．故选：D ．16．（2021•河北16题）如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：①以O为圆心，OA为半径画圆；②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F．结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（）A．Ⅰ和Ⅱ都对B．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对Ⅱ对D．Ⅰ对Ⅱ不对D【解析】如图，连接EM，EN，MF．NF．∵OM＝ON，OE＝OF，∴四边形MENF是平行四边形，∵EF＝MN，∴四边形MENF是矩形，故（Ⅰ）正确，观察图象可知当∠MOF＝∠AOB，∴S扇形FOM＝S扇形AOB，观察图象可知，这样的点P不唯一，故（Ⅱ）错误，故选：D．8．（2021•荆州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D，P分别是图中所作直线和射线与AB，CD的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（）A．AD＝CD B．∠ABP＝∠CBP C．∠BPC＝115°D．∠PBC＝∠AD【解析】由作图可知，点D在AC的垂直平分线上，∴DA＝DC，故选项A正确，∴∠A＝∠ACD＝40°，由作图可知，BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，故选项B正确，∵AB ＝AC ，∠A ＝40°，∴∠ABC ＝∠ACB =12（180°﹣40°）＝70°. ∵∠PBC =12∠ABC ＝35°，∠PCB ＝∠ACB ﹣∠ACD ＝30°，∴∠BPC ＝180°﹣35°﹣30°＝115°，故选项C 正确，若∠PBC ＝∠A ，则∠A ＝36°，显然不符合题意． 故选D ．6．（2021•广元）观察下列作图痕迹，所作线段CD 为△ABC 的角平分线的是（ ）A ．B ．C ．D ．C7．(2021·长春) 在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ≠A C ．用无刻度的直尺和圆规在BC 边上找一点D ，使△ACD 为等腰三角形．下列作法不正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．A7．(2021·通辽)如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）A. BDE BAC ∠=∠B. BAD B =∠∠C. DE DC =D. AE AC =B{解析}根据尺规作图的痕迹可得，DE ⊥AB ，AD 是∠BAC 的平分线，∵∠C=90°，∴DE=DC ，∠B+∠BDE=∠B+∠BAC=90°.∵AD=AD ，Rt △AED ≌Rt △ACD （HL ），∴AE=AC.∵DE 不是AB 的垂直平分线，故不能证明∠BAD=∠B.故选B ．5．(2021·鄂州) 已知锐角40AOB ∠=︒，如图，按下列步骤作图：①在OA 边取一点D ，以O 为圆心，OD 长为半径画MN ，交OB 于点C ，连接CD ． ②以D 为圆心，DO 长为半径画GH ，交OB 于点E ，连接DE ．则CDE ∠的度数为（ ）A ．20︒B ．30︒C ．40︒D ．50︒B{解析}由已知得OC=OD ，∴∠ODC=∠OCD=（180°－∠AOB ）÷2=（180°－40°）÷2=70°，∵DE=OD ，∴∠DEO=∠AOB=40°，∴∠ODE=180°－40°×2=100°，∴∠CDE=∠DEO －∠ODC=100°－40°=30°．9．(2021·海南) （2021河北）如图，已知a ∥b ，直线l 与直线a 、b 分别交于点A 、B ，分别以点A 、B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN ，交直线b 于点C ，连接AC ，若∠1＝40°，则∠ACB 的度数是（ ）A ．90°B ．95°C ．100°D ．105°{答案}C 【解析】∵a ∥b ，∴∠ABC=∠1＝40°，∵分别以点A 、B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN ，∴MN 垂直平分AB ，∴AC=BC ，∴∠ABC=∠CAB ＝40°，∴∠ACB =180°-40°-40°=100°. 9．(2021·黄石) 如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，按以下步骤作图：①以B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA 、BC 于M 、N 两点；②分别以M 、N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧相交于点P ；③作射线BP ，交边AC 于D 点．若10AB =，6BC =，则线段CD 的长为（ ）A. 3B.103C.83D.165A【解析】由尺规作图痕迹可知，BD 是∠ABC 的角平分线，过D 点作DH ⊥AB 于H 点，∵∠C=∠DHB=90°，∴DC=DH ，AC 8===，设DC=DH=x ，则AD=AC-DC=8-x ，BC=BH =6，AH=AB-BH =4， 在Rt △ADH 中，由勾股定理：222AD AH DH =+， 代入数据：222(8)4x x -=+，解得3x =，故3CD =．二、填空题15．（2021·营口）如图，40MON ∠=︒，以O 为圆心，4为半径作弧交OM 于点A ，交ON 于点B ，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧在MON ∠的内部相交于点C ，画射线OC 交AB 于点D ，E 为OA上一动点，连接BE ，DE ，则阴影部分周长的最小值为 ．449π+【解析】由作法得OC 平分MON ∠，4OA OB OD ===，11402022BOD AOD MON ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒，∴BD 的长度为20441809ππ⨯⨯=，作B 点关于OM 的对称点F ，连接DF 交OM 于E '，连接OF ，如图，OF OB ∴=，40FOA BOA ∠=∠=︒，OD OF ∴=，ODF ∴∆为等边三角形，4DF OD ∴==，E B E F '='，4E B E D E F E D DF ∴'+'='+'==，∴此时E B E D '+'的值最小，∴阴影部分周长的最小值为449π+．14．（2021•成都）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ；②分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧在∠BAC 内交于点O ；③作射线AO ，交BC 于点D ．若点D 到AB 的距离为1，则BC 的长为 ．1+√2【解析】过点D 作DH ⊥AB ，则DH ＝1， 由题目作图知，AD 是∠CAB 的平分线，则CD ＝DH ＝1，∵△ABC 为等腰直角三角形，故∠B ＝45°， 则△DHB 为等腰直角三角形，故BD =√2HD =√2， 则BC ＝CD +BD ＝1+√2．15．（2021•台州）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＜BC ．分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧交于D ，E 两点，直线DE 交BC 于点F ，连接AF ．以点A 为圆心，AF 为半径画弧，交BC 延长线于点H ，连接AH ．若BC ＝3，则△AFH 的周长为 ．6【解析】由基本作图方法得出：DE 垂直平分AB ,则AF ＝BF ,可得AF ＝AH ,AC ⊥FH ,∴FC ＝CH ,∴AF +FC ＝BF +FC ＝AH +CH ＝BC ＝3, ∴△AFH 的周长为:AF +FC +CH +AH ＝2BC ＝6．17．（2021•自贡）如图，△ABC 的顶点均在正方形网格格点上．只用不带刻度的直尺，作出△ABC 的角平分线BD （不写作法，保留作图痕迹）．如图，射线BD 即为所求作．15．（2021•眉山）如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN ，交AD 于点E ，则DE 的长为 ．78【解析】如图所示：连接EC ,由作图方法可得：MN 垂直平分AC ,则AE ＝EC ,∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ， ∴BD ＝DC ＝3,AD ⊥BC ,在Rt △ABD 中，AD =√AB 2−BD 2=√52−32=4, 设DE ＝x ,则AE ＝EC ＝4﹣x ,在Rt △EDC 中，DE 2+DC 2＝EC 2,即x 2+32＝(4﹣x )2, 解得x =78,故DE 的长为78．14．（2021•新疆）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝70°，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点，作直线MN 交AC 于点D ，连接BD ，则∠BDC ＝ °．80【解析】∵AB ＝AC ，∠C ＝70°，∴∠ABC ＝∠C ＝70°. ∵∠A +∠ABC +∠C ＝180°，∴∠A ＝180°﹣∠ABC ﹣∠C ＝40°. 由作图过程可知：DM 是AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝40°，∴∠BDC ＝∠A +∠ABD ＝40°+40°＝80°.13．（2021•怀化）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣1，1），将△ABC先向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，再绕C1顺时针方向旋转90°得到△A2B2C1，则A2的坐标是．（2,2）【解析】如图，观察图象可知A2(2,2)．故答案为：（2,2）．15．(2021·威海)如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点D，E．作直线DE，交BC于点M．分别以点A，C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧交于点F，G．作直线FG，交BC于点N．连接AM，AN．若∠BAC＝α，则∠MAN＝．2α-180°{解析}由尺规作图可以知道DM、NF分别是AB、AC的垂直平分线，根据中垂线的性质可知AM=BM,AN=CN,利用等边对等角可知两组底角分别相等，根据三角形内角和定理可知，∠B+∠C=180°-α，所以∠MAN ＝α-（180°-α）=2α-180°．13．（2021•黄冈）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点E ，F ；再分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点D ．则CD 与BD 的数量关系是 BD ＝2CD ．BD ＝2CD 【解析】∵∠C ＝90°,∠B ＝30°，∴∠CAB ＝90°﹣30°＝60°， 由作图可知AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝∠BAD ＝30°，∴AD ＝2CD ， ∵∠BAD ＝∠B ＝30°，∴AD ＝DB ，∴BD ＝2CD .18．（2021·南通）如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交AC 延长线于点D ，过点C 作CE ∥AB ，交⌒BD于点E ，连接BE ，则CE BE的值为_______．18解析：过点A 作AF ⊥EF 于点F ，连接AE ，设⊙A 半径为2k ，则AP ＝AE ＝2k ，AF ＝k ，解得EFk ，所以CE ＝EF －FC ＝1)k ，过点E 作EH ⊥AB 于H ，在Rt △BEH 中，BH ＝(2k ，EH ＝k ，根据勾股定理得BE ＝k ，所以CE BE．18．（2021•天津18题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC 的顶点A ，C 均落在格点上，点B在网格线上．（Ⅰ）线段AC 的长等于 ；（Ⅱ）以AB 为直径的半圆的圆心为O ，在线段AB 上有一点P ，满足AP ＝AC ．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P ，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明） ．CA BED F H（Ⅰ）√5（Ⅱ）取BC与网格线的交点D，连接OD延长OD交⊙O于点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的延长线于F，连接FG延长FG交AB于点P，点P即为所求【解析】（Ⅰ）AC=√22+12=√5．故答案为：√5．（Ⅱ）如图，取BC与网格线的交点D，连接OD延长OD交⊙O于点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的延长线于F，连接FG延长FG交AB于点P，点P即为所求．故答案为：取BC与网格线的交点D，连接OD延长OD交⊙O于点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的延长线于F，连接FG延长FG交AB于点P，点P即为所求17．（2021·柳州17题）在x轴，y轴上分别截取OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（a，2），则a的值是__________．{答案}2或－2【解析】由题意可知点P在平面直角坐标系中的某个象限的角平分线上，由角平分线上的点到角的两边距离相等，知点P的横、纵坐标的绝对值相等，从而有2a ，解得a＝±2．11．（2021·吉林）如图，已知线段AB＝2cm，其垂直平分线CD的作法如下：（1）分别以点A和点B为圆心，bcm长为半径画弧，两弧相交于C，D两点；（2）作直线CD．上述作法中b满足的条作为b1．（填“＞”，“＜”或“＝”）＞【解析】分别以点A和点B为圆心，大于二分之一AB长为半径画弧，∵AB＝2cm，则b＞1.9．（2021•本溪）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（）A．√3+1 B．√5+3 C．√5+1 D．4C【解析】由图中的尺规作图得：BE是∠ABC的平分线，∵AB＝BC，∴BE⊥AC，AE＝CE=12AC＝1，∴∠AEC＝90°，∴BC=√BE2+CE2=√22+12=√5.∵点F为BC的中点，∴EF=12BC＝BF＝CF，∴△CEF的周长＝CF+EF+CE＝CF+BF+CE＝BC+CE=√5+1.三、解答题22．（2021·哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，ABC∆的顶点和线段DE的端点均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中将ABC∆向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到MNP∆（点A的对应点是点M，点B的对应点是点N，点C的对应点是点)P，请画出MNP∆；（2）在方格纸中画出以DE为斜边的等腰直角三角形DEF（点F在小正方形的顶点上）．连接FP，请直接写出线段FP的长．解：（1）如图，MNP∆为所作.（2）如图，DEF∆为所作；FP =．18．（2021·仙桃）已知△ABC 和△CDE 都为正三角形，点B ，C ，D 在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（1）如图1，当BC ＝CD 时，作△ABC 的中线BF ； （2）如图2，当BC ≠CD 时，作△ABC 的中线BG ．解：如图1，线段BF 即为所求；（2）如图2，线段BM 即为所求.20．（2021·赤峰）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是斜边AB 上一点，且AC ＝AD ． （1）作∠BAC 的平分线，交BC 于点E ；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接DE ，求证：DE ⊥AB ．F图1DEC B A图2DC B20．（2021·贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知ABC>．∆，且AB AC （1）在AB边上求作点D，使DB DC=；（2）在AC边上求作点E，使ADE ACB∽．∆∆解：（1）如图，点D即为所求．（2）如图，点E即为所求．21．（2021·北部经济区）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，连接AC．（1）求证：△ABC≌△CDA；（2）尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E（不要求写作法，保留作图痕迹）；（3）在（2）的条件下，已知四边形ABCD的面积为20，AB＝5，求CE的长．解：（1）证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠DCA ．在△ABC 和△CDA 中，B DBAC DCA AC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△CDA （AAS ）．（2）如答图所示：（3）∵△ABC ≌△CDA ，∴AB ＝CD ．又∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形． ∵CE ⊥AB ，∴S 平行四边形ABCD ＝AB •CE ，∴CE ＝20÷5＝4． 23．(2021·绥化)（1）如图，已知△ABC ，P 为边AB 上一点，请用尺规作图的方法在边AC 上求作一点E ，使AE ＋EP ＝AC ．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在图中，如果AC ＝6cm ，AP ＝3cm ，则△APE 的周长是 cm ．23．解: (1) 如图，点E 即为所求．(2)9理由：∵MN 垂直平分线段PC ， ∴EP ＝EC ．∴△APE 的周长＝AP ＋AE ＋EP ＝AP ＋AE ＋EC ＝AP ＋AC ＝3＋6＝9 (cm) ．20．（2021•北京20题）《淮南子・天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B，A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆．取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向．（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作CA 的中点D（保留作图痕迹）；（2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明．证明：在△ABC中，BA＝，D是CA的中点，∴CA⊥DB（）（填推理的依据）．∵直线DB表示的方向为东西方向，∴直线CA表示的方向为南北方向．解：（1）如图，点D即为所求．（2）BC三线合一25．（2021•南京）如图，已知P是⊙O外一点．用两种不同的方法过点P作⊙O的一条切线．要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．解：方法一：如图1中，连接OP，以OP为直径作圆交⊙O于D，作直线PD，直线PD即为所求．方法二：如图，作射线PE，作OE⊥PE于E，作△POE的外接圆交⊙O于D，作直线PD，直线PD即为所求．19．（2021·衢州）如图，在6×6的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上.（1）在图1中画出△ACD，使△ACD与△ABC全等，顶点D在格点上；（2）在图2中过点B画出平分△ABC面积的直线l.解：（1）如图1所示，△ACD就是所求作的三角形；（2）如图2所示，直线l就是所求作的直线.图1 图220．（2021•丽水）如图，在5×5的方格纸中，线段AB的端点均在格点上，请按要求画图．（1）如图1，画出一条线段AC，使AC＝AB，C在格点上；（2）如图2，画出一条线段EF，使EF，AB互相平分，E，F均在格点上；（3）如图3，以A，B为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上．解：（1）线段AC即为所作，（2）线段EF即为所作，（3）四边形ABHG即为所作．19．（2021•嘉兴）如图，在7×7的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B在格点上，每一个小正方形的边长为1．（1）以AB为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．（2）计算你所画菱形的面积．解:（1）如下图所示：四边形ABCD即为所画菱形，（答案不唯一，画出一个即可）．（2）图1菱形面积S2×6＝6，图2菱形面积S248，图3菱形面积S＝（）2＝10．20．（2021•温州）如图中4×4与6×6的方格都是由边长为1的小正方形组成．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．（1）选一个四边形画在图2中，使点P为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形．（2）选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的倍，画在图3中．解：（1）如图2所示，即为所求；（2）如图3所示，即为所求．18．（2021•宁波）如图是由边长为1的小正方形构成的6×4的网格，点A，B均在格点上．（1）在图1中画出以AB为边且周长为无理数的▱ABCD，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）．（2）在图2中画出以AB为对角线的正方形AEBF，且点E和点F均在格点上．解：(1)如图1中，四边形ABCD即为所求（答案不唯一）．（2）如图2中，四边形AEBF即为所求．16．（2021•安徽16题）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．（1）将△ABC向右平移5个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）将（1）中的△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C1，画出△A2B2C1．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．（2）如图，△A2B2C1即为所求作．20．（2021•武汉）如图是由小正方形组成的5×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形ABCD的四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．（1）在图（1）中，先在边AB上画点E，使AE＝2BE，再过点E画直线EF，使EF平分矩形ABCD的面积；（2）在图（2）中，先画△BCD的高CG，再在边AB上画点H，使BH＝DH．解：（1)如图，直线EF即为所求．（2）如图，线段CG,点H即为所求．16．（2021•江西16题）已知正方形ABCD的边长为4个单位长度，点E是CD的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，将直线AC绕着正方形ABCD的中心顺时针旋转45°；（2）在图2中，将直线AC向上平移1个单位长度．解：（1）如图1，直线l即为所求；（2）如图2中，直线a即为所求．18．（2021•宜昌）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°．（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的，射线AE是∠DAC的；（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．解：（1）垂直平分线角平分线（2）∵DF垂直平分线段AB，∴DA＝DB，∴∠BAD＝B＝40°，∵∠B＝40°，∠C＝50°，∴∠BAC＝90°，∴∠CAD＝50°，∵AE平分∠CAD，∴∠DAE=12∠CAD＝25°．21．（2021•重庆A卷）如图，在▱ABCD中，AB＞AD．（1）用尺规完成以下基本作图：在AB上截取AE，使AE＝AD；作∠BCD的平分线交AB于点F．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，连接DE交CF于点P，猜想△CDP按角分类的类型，并证明你的结论．解：（1）如图，AE、CF为所作；（2）△CDP为直角三角形．理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠CDE＝∠AED，∠ADC+∠BCD＝180°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠CDE＝∠ADE=12∠ADC，∵CF平分∠BCD，∴∠FCD=12∠BCD，∴∠CDE+∠FCD＝90°，∴∠CPD＝90°，∴△CDP为直角三角形．21．（2021•重庆B卷）如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且AC＝2AB．请用尺规完成基本作图：作出∠BAC的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）解：如图：猜想：DF＝3BF．证明：∵四边形ABCD为平行四边形．∴OA＝OC，OD＝OB．∵AC＝2AB．∴AO＝AB．∵∠BAC的角平分线与BC交于点E．∴BF＝FO．∴DF＝3BF．23．(2021·常州)如图，B、F、C、E是直线l上的四点，AB∥DE，AB=DE，BF=CE.（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）将ABC沿直线l翻折得到△A′BC.①用直尺和圆规在图中作出△A′BC（保留作图痕迹，不要求写作法）；②连接A′D，则直线A′D与l的位置关系是.{答案}解：（1）∵AB∥DE，∴∠ABC=∠D EF，∵BF=CE，∴BF+CF=CE+CF，即BC=EF，又∵AB=DE，∴△ABC≌△DEF；（2）①如图所示:②AD∥l，理由：设DF与CA′交于点O，由翻折可得：△ABC≌△A′BC，∴∠BCA＝∠BCA′，CA=CA′，∵△ABC≌△DEF，∴∠DFE＝∠BCA′，CA=DF，∴DF=CA′，∠DFE＝∠BCA′，∴OF=OC，∴CA′-OC=DF-OF，即OA′=OD，∴∠OA′D＝∠ODA′，∵∠A′OD＝∠COF，∴∠OA′D＝∠OCF，∴AD∥l.21．（2021•甘肃省卷21题）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆̂，C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．的一个引理．如图，已知AB（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；̂于点D，AC于点E，连接AD，CD；①作线段AC的垂直平分线DE，分别交AB̂于点F（F，A两点不重合），连接DF，BD，BF．②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交AB（2）直接写出引理的结论：线段BC，BF的数量关系．解：（1）①如图，直线DE，线段AD,线段CD即为所求．②如图，点F，线段CD,BD,BF即为所求作．(2)结论：BF ＝BC ．理由：∵DE 垂直平分线段AC ,∴DA ＝DC ,∴∠DAC ＝∠DCA ,∵AD ＝DF ,∴DF ＝DC ,AD̂=DF ̂,∴∠DBC ＝∠DBF , ∵∠DFB +∠DAC ＝180°．∠DCB +∠DCA ＝180°,∴∠DFB ＝∠DCB , 在△DFB 和△DCB 中，{∠DFB =∠DCB ∠DBF =∠DBC DF =DC ,∴△DFB ≌△DCB (AAS ),∴BF ＝BC ．17．（2021•陕西）如图，已知直线l 1∥l 2，直线l 3分别与l 1、l 2交于点A 、B ．请用尺规作图法，在线段AB 上求作一点P ，使点P 到l 1、l 2的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）解：如图，点P 为所作．24．（2021•广安）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段AB 的端点都在格点上．要求以AB 为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．请在下面的网格图中画出4种不同的设计图形.解：如图，四边形ABCD即为所求．19．（2021•荆州）如图，在5×5的正方形网格图形中，小正方形的边长都为1，线段ED与AD的端点都在网格小正方形的顶点（称为格点）上．请在网格图形中画图：（1）以线段AD为边画正方形ABCD，再以线段DE为斜边画等腰直角三角形DEF，其中顶点F在正方形ABCD 外；（2）在（1）中所画图形基础上，以点B为其中一个顶点画一个新正方形，使新正方形的面积为正方形ABCD 和△DEF面积之和，其它顶点也在格点上．解：（1）如图，正方形ABCD，△DEF即为所求．（2）如图，正方形BKFG即为所求．22．（2021•青海）如图，DB是▱ABCD的对角线．（1）尺规作图（请用2B铅笔）：作线段BD的垂直平分线EF，交AB，DB，DC分别于E，O，F，连接DE，BF（保留作图痕迹，不写作法）．（2）试判断四边形DEBF的形状并说明理由．解：（1）如图，DE、BF为所作；（2）四边形DEBF为菱形．理由如下：如图，∵EF垂直平分BD，∴EB＝ED，FB＝FD，OB＝OD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴∠FDB＝∠EBD.在△ODF和△OBE中，{∠FDO=∠EBO OD=OB∠DOF=∠BOE，∴△ODF≌△OBE（ASA），∴DF＝BE，∴DE＝EB＝BF＝DF，∴四边形DEBF为菱形．{题目}24．(2021·无锡) 如图，已知锐角△ABC中，AC＝BC．（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD；作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若AB＝485，⊙O的半径为5，则sin B＝．（如需画草图，请使用图2）{答案}解：（1）如图1，作图如下：作法：作角平分线，根据尺规作图作角平分线的步骤作图；作外接圆，先找圆心，已知△ABC中AC=BC，由等腰三角形三线合一可知∠ACB的角平分线即是底边AB的垂直平分线，故再作一条腰的垂直平分线，与角平分线的交点O即为外接圆圆心．（2）如图2，由（1）知CD ⊥AB ，由垂径定理可得AD=BD=21AB ＝524，OA=OC=5，在Rt △OAD 中，由勾股定理可得OD=57，在Rt △CDB 中，CD=OC+OD=532由勾股定理可得BC=8，则sinB=54．22．(2021·福建) 如图，已知线段MN ＝a ，AR ⊥AK ，垂足为A ．（1）求作四边形ABCD ，使得点B ，D 分别在射线AK ，AR 上，且AB ＝BC ＝a ，∠ABC ＝60°，CD ∥AB ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设P ，Q 分别为（1）中四边形ABCD 的边AB ，CD 的中点，求证：直线AD ，BC ，PQ 相交于同一点．{解析}本题考查考查尺规作图、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等基础知识,考查推理能力、空间观念与几何直观,考查化归与转化思想.{答案}解：(1)四边形ABCD是所求作的四边形.(2)设直线BC与AD相交于点S, ∵DC∥AB,∴△SBA∽△SCD，∴SA AB SD DC=设直线PQ与AD相交于点S′, 同理S PA S D QD=′A′∵P.Q分别为AB,CD的中点,PA=12AB, QD=12DC, ∴PA ABQD DC=, ∴S SAS D SD=′A′,即S SD ADS D SD+=′D+AD′, ∴ADS D SD=AD′∴S′D=SD,故点S与S′重合,即三条直线AD,BC,PQ相交于同一点.说明:本参考答案仅给出一种解法供参考.23．(2021河南)下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．任务：（1）小明得出Rt △P G O ≌R t △P H O 的依据是（填．①SSS ②SAS ③AAS ④ASA ⑤HL（2）小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由．（3）如图3，已知∠AOB=60°，点E，F分别在射线OA，OB上，且OE=OF=13 ，点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且OC=OD，连接DE，CF，交点为P，当∠CPE=30°时，直接写出线段OC的长. {答案}解：（1）⑤；（2）是.理由如下：由作图可知，OC=OD，OF=OE，又∵∠COF=∠DOE，∴△COF≌△DOE，∴∠OFC=∠OED，连接EF，∵OF=OE，∴∠OFE=∠OEF.∴∠PFE=∠PEF.∴PF=PE，又∵OP=OP，OF=OE，∴△FOP≌△EOP，∴∠FOP=∠EOP，即射线OP是∠AOB的平分线.2 .（3）2或320．（2021·长春）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：（1）在图①中，连接MA、MB，使MA＝MB；（2）在图②中，连接MA、MB、MC，使MA＝MB＝MC；（3）在图③中，连接MA、MC，使∠AMC＝2∠AB C．解：如图所示：20．（2021·襄阳）如图，BD为平行四边形ABCD的对角线．（1）作对角线BD的垂直平分线，分别交AD、BC、BD于点E、F、O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接BE、DF，求证：四边形BEDF为菱形．解：（1）如答图所示：（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OED＝∠OFB，∠ODE＝∠OBF．∵EF垂直平分BD，∴OB＝OD，EB＝ED．∴△EOD≌△FOB，∴DE＝BF，∴四边形BEDF是平行四边形．又∵EB＝ED，∴平行四边形BEDF是菱形．23．（2021·烟台）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．①作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D；②作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点O；③以点O为圆心，以OD长为半径画圆，交边AB于点M．（2）在（1）的条件下，求证：BC是⊙O的切线；（3）若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O的半径．23．解：（1）如图所示，①以A 为圆心，以任意长度为半径画弧，与AC 、AB 相交，再以两个交点为圆心，以大于两点之间距离的一半为半径画弧相交于∠BAC 内部一点，将点A 与它连接并延长，与BC 交于点D ，则AD 为∠BAC 的平分线； ②分别以点A 、点D 为圆心，以大于12AD 长度为半径画圆，将两圆交点连接，则EF 为AD 的垂直平分线，EF 与AB 交于点O ；③如图，⊙O 与AB 交于点M ；（2）证明：∵EF 是AD 的垂直平分线，且点O 在AD 上，∴OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠OAD ＝∠CAD ，∴∠ODA ＝∠CAD ，∴OD ∥AC ，∵AC ⊥BC ，∴OD ⊥BC ，故BC 是⊙O 的切线．（3）根据题意可知OM ＝OA ＝OD =12AM ，AM ＝4BM ，∴OM ＝2BM ，BO ＝3BM ，AB ＝5BM ，∴BOAB =3BM5BM =35， 由（2）可知Rt △BOD 与Rt △BAC 有公共角∠B ，∴Rt △BOD ∽Rt △BAC ，∴DOCA =BOBA ，即DO10=35，解得DO ＝6， 故⊙O 的半径为6．19．（2021•吉林）图①、图2均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，。
专题02 网格类作图题中考题型训练(解析版)
专题2 网格类作图题中考题型训练1．（2022•荆州）如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．（1）在图1中，作出与△ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边，且不与△ABC重叠；（2）在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．【分析】（1）根据全等三角形的判定画出图形即可；（2）根据菱形的定义画出图形即可．【解答】解：（1）如图1中，△ABD1，△ABD2，△ACD3，△ACD4，△CBD5即为所求；（2）如图2中，菱形ABDC，菱形BECF即为所求．2．（2022•宁波）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，分别按要求画出图形．（1）在图1中画出等腰三角形ABC，且点C在格点上．（画出一个即可）（2）在图2中画出以AB为边的菱形ABDE，且点D，E均在格点上．【分析】（1）结合等腰三角形的性质，找出点C的位置，再连线即可．（2）结合菱形的性质，找出点D，E的位置，再连线即可．【解答】解：（1）如图所示：（答案不唯一）．（2）如图所示：3．（2022•丽水）如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形．（1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；（2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；（3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．【分析】（1）把点B、A向右作平移1个单位得到CD；（2）作A点关于BC的对称点D即可；（3）延长CB到D使CD＝2CB，延长CA到E点使CE＝2CA，则△EDC满足条件．【解答】解：（1）如图1，CD为所作；（2）如图2，（3）如图3，△EDC为所作．4．（2022•衢州）如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论．（1）在图1中画一条线段垂直AB．（2）在图2中画一条线段平分AB．【分析】（1）利用数形结合的思想作出图形即可；（2）利用矩形的对角线互相平分解决问题即可．【解答】解：（1）如图1中，线段EF即为所求（答案不唯一）；（2）如图2中，线段EF即为所求（答案不唯一）．5．（2022•长春）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）网格中△ABC的形状是 直角三角形 ；（2）在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等；（3）在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；（4）在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1：2．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可；（2）根据全等三角形的判定，作出图形即可；（3）根据相似三角形的判定作出图形即可；（4）作出AB，BC的中点P，Q即可．【解答】解：（1）∵AC＝＝，AB＝＝2，BC＝5，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形；故答案为：直角三角形；（2）如图①中，点D，点D′，点D″即为所求；（3）如图②中，点E即为所求；（4）如图③，点P，点Q即为所求．6．（2022•湖北）已知四边形ABCD为矩形，点E是边AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（1）在图1中作出矩形ABCD的对称轴m，使m∥AB；（2）在图2中作出矩形ABCD的对称轴n，使n∥AD．【分析】（1）如图1中，连接AC，BD交于点O，作直线OE即可；（2）如图2中，同法作出点O，连接BE交AC于点T，连接DT，延长TD交AB于点R，作直线OR即可．【解答】解：（1）如图1中，直线m即为所求；（2）如图2中，直线n即为所求；7．（2022•江西）如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中作∠ABC的角平分线；（2）在图2中过点C作一条直线l，使点A，B到直线l的距离相等．【分析】（1）连接AC，取AC的中点P，作射线BP即可；（2）利用数形结合的射线画出图形即可．【解答】解：（1）如图1中，射线BP即为所求；（2）如图2中，直线l或直线l′即为所求．8．（2023•锡山区校级模拟）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上．（Ⅰ）线段AC的长等于 ；（Ⅱ）以AB为直径的半圆的圆心为O，在线段AB上有一点P，满足AP＝AC．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P．【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可；（Ⅱ）①取BC与网格线的交点D，②连接OD延长OD交⊙O于点E，③连接AE交BC于点G，④连接BE，延长AC交BE的延长线于F，⑤连接FG延长FG交AB于点P，点P即为所求．【解答】解：（Ⅰ）AC＝＝．故答案为：；（Ⅱ）如图，①取BC与网格线的交点D，②连接OD延长OD交⊙O于点E，③连接AE交BC于点G，④连接BE，延长AC交BE的延长线于F，⑤连接FG延长FG交AB于点P，点P即为所求．9．（2023•鄞州区校级一模）如图，在6×6的方格纸中，每个小正方形的边长为1，点A，B均在格点上，在图1和图2中分别画出一个以点A，B为顶点且另两个顶点均在格点上的正方形，并分别求出其周长．【分析】分别根据“四条边相等且四个角相等的四边形是正方形”，“对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形“作图．【解答】解：如下图：正方形ABCD，正方形ACBD即为所求．10．（2023•衢州模拟）如图在7×7的方格中，有两个格点A、B．请用无刻度的直尺按要求画图．（1）在图1中画线段AB中点C；（2）在图2中在线段AB上找一点D，使AD：DB＝1：2．【分析】（1）取格点E，F，连接EF交AB于点C，点C即为所求；（2）取格点J，K，连接JK交AB于点D，点D即为所求．【解答】解：（1）如图，点C即为所求；（2）如图，点D即为所求．理由：∵AJ∥BK，∴△ADJ∽△BDK，∴＝＝．11．（2023•宁波模拟）作图题（1）填空：如果长方形的长为3，宽为2，那么对角线的长为 ．（2）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点（端点），分别按下列要求画图（不要求写画法和证明，但要标注顶点）．①在图1中，画一个面积为4的菱形，且邻边不垂直．②在图2中，画平行四边形ABCD，使∠A＝45°，且面积为6．【分析】（1）根据勾股定理即可得到答案；（2）①根据正方形的性质得到MP和NQ互相平分，MP⊥NQ，则四边形MNPQ是菱形，再用勾股定理和菱形面积等于对角线乘积的一半，即可验证满足题意；②利用网格的特点构造一条边长为3，此边上的高为2，∠BAD＝45°的平行四边形即可．【解答】JIE：（1）∵长方形的长为3，宽为2，∴对角线的长为＝，故答案为：；（2）①如图，四边形MNPQ即为所求的菱形，由网格知，MP和NQ互相平分，∴四边形MNPQ是平行四边形，∵MP⊥NQ，∴四边形MNPQ是菱形，∵，NQ＝＝，∴菱形MNPQ的面积是MP×NQ＝×4×＝4，故菱形MNPQ满足题意；②如图2，平行四边形ABCD满足题意，由图可知，AB ∥CD ，AB ＝CD ＝3，∴四边形ABCD 是平行四边形，则平行四边形ABCD 的面积＝AB •DH ＝3×2＝6，∵∠BAD ＝45°，∴平行四边形ABCD 满足题意．12．（2023•杨浦区一模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在5×5的网格图形中，△ABC 的顶点A 、B 、C 都在格点上．请按要求完成下列问题：（1）S △ABC ＝ 4 ；sin ∠ABC ＝ ；（2）请仅用无刻度的直尺在线段AB 上求作一点P ，使S △ACP ＝S △ABC ．（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论）【分析】（1）由正方形面积减去三个直角三角形面积可求S △ABC ，过A 作AD ⊥BC 于D ，用面积法可求AD 的长，在Rt △ABD 中可得sin ∠ABC ；（2）取格点E ，F ，连接EF 交AB 于P ，由AE ＝BF 可知AP ＝BP ，从而AP ＝AB ，即可得S △ACP＝S △ABC ，故P 是满足条件的点．【解答】解：（1）由图可得：S △ABC ＝3×3﹣×1×3﹣×3×1﹣×2×2＝4，过A 作AD ⊥BC 于D ，如图：∵וAD＝4，∴AD＝，∴sin∠ABC＝＝＝，故答案为：4，；（2）如图：点P即为所求点．13．（2023•武汉模拟）如图是由小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（1）在图（1）中，A，B，C三点是格点，画经过这三点的圆的圆心O，并在该圆上画点D，使AD＝BC；（2）在图（2）中，A，E，F三点是格点，⊙I经过点A．先过点F画AE的平行线交⊙I于M，N两点，再画弦MN的中点G．【分析】（1）根据90°的圆周角所对的弦是直径；（2）根据网格线的特征或平行线，再根据平行弦所夹的弧相等，再根据等腰梯形的性质作图．【解答】解：如下图：（1）点D，O即为所求；（2）线段MN，点G即为所求．14．（2023•乌鲁木齐一模）请仅用无刻度的直尺在网格中完成下列作图，保留作图痕迹，不写作法．（1）图①是由边长为1的小等边三角形构成的网格，△ABC为格点三角形．在图①中，画出△ABC 中AB边上的中线CM；（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n．【分析】（1）作出AB的中点M，连接CM即可；（2）连接AC，BD交于点O，延长BA交CD的延长线于点S，作直线SO即可．【解答】解：（1）如图1中，线段CM即为所求．（2）如图2中，直线n即为所求．15．（2023•靖江市校级模拟）如图是由小正方形组成的9×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C三个格点都在圆上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．（1）画出该圆的圆心O，并画出劣弧的中点D；（2）画出格点E，使EA为⊙O的一条切线，并画出过点E的另一条切线EF，切点为F．【分析】（1）连接AC，AC的中点O即为所，取格点M，N，连接MN交格线于等J，连接OJ，延长OJ 交⊙O于点D，点D即为所求；（2）取格点E，作直线AE即可，取格点P，Q交格线于点K，连接AK交⊙O于点F，作直线EF，直线EF即为所求．【解答】解：（1）如图，点O，点D即为所求；（2）如图，直线AE，EF即为所求．16．（2023•九台区模拟）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按照要求作图（保留作图痕迹）．（1）在图①中作△ABC的中线BD．（2）在图②中作△ABC的高BE．（3）在图③中作△ABC的角平分线BF．【分析】（1）利用网格特征作出AC的中点D，连接BD即可；（2）取格点T，连接BT交AC于点E，线段BE即为所求；（3）取格点W，连接BW交AC于点F，线段BF即为所求．【解答】解：（1）如图①中，线段BD即为所求；（2）如图②中，线段BE即为所求；（3）如图③中，线段BF即为所求．17．（2023•迁安市模拟）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．（1）在图（1）中画△ABC的高CH；（2）在图（1）的线段AC上画一点D，使得S△ABD ：S△CBD＝2：3；（3）在图（2）中C点的右侧画一点F，使∠FCA＝∠BCA且CF＝2．【分析】（1）取格点P，连接CP交AB于点H，线段CH即为所求作．（2）取格点M，N，连接MN交AC于点D，点D即为所求作．（3）取格线的中点R，连接CR，取格点K，格线的中点J，连接KJ交CR于点F，线段CF即为所求作．【解答】解：（1）如图1中，线段CH即为所求作．（2）如图2中，点D即为所求作．（3）如图2中，线段CF即为所求作．18．（2022•碧江区校级一模）操作理解，解答问题．（1）如图1：已知△ABC，AB＝AC，直线CD∥AB；①完成作图：以点A为圆心，AB长为半径画弧，交直线CD于点P，连接PB．②试判断①中∠ABP与∠BAC的数量关系，并证明你的结论．（2）如图2：已知△ABC是格点三角形，点C在直线n上，且n∥AB；在直线n上画出点P，连接PB，使得∠PBA＝∠CAB．（不用尺规作图）【分析】（1）①根据要求作出图形即可；②结论：∠APB＝∠BAC．利用平行线的性质，圆周角定理证明即可．【解答】解：（1）①图形如图所示：②结论：∠APB＝∠BAC．理由：∵CP∥AB，∴∠ABP＝∠BPC，∵AB＝AC＝AP，∴∠BPC＝∠BAC，∴∠ABP＝∠BAC．（2）如图2中，∠APB＝∠CAB．19．（2022•丽水模拟）图1，图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．（1）在图1中画出一个以AC为底边的等腰△ABC，使点B落在格点上．（2）在图2中画出一个以AC为对角线且面积为6的格点矩形ABCD（顶点均在格点上）．【分析】（1）根据等腰直角三角形的判定与性质，结合网格特点作图即可得；（2）根据矩形的判定与性质，结合网格特点作图即可得．【解答】解：（1）如图所示，等腰△ABC即为所求；（2）如图所示，矩形ABCD即为所求．20．（2022•婺城区校级模拟）如图，在4×4的方格中，点A，B，C为格点，利用无刻度的直尺画出满足以下条件的图形（保留必要的辅助线）．（1）在图1中画△ABC的中线BE．（2）在图2中标注△ABC的外心O并画出其外接圆的切线CP．【分析】（1）根据中线的定义作图；（2）根据三角形的外心的定义和切线的判定定理作图．【解答】解：（1）如图所示，BE即为所求的△ABC的中线；（2）如图所示，点O即为所求的△ABC的外心，PC即为所求的外接圆的切线．21．（2022•海陵区校级三模）如图（1）（2），在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均落在格点上，以AB为直径的半圆的圆心为O，请用无刻度的直尺，在如图（1）图（2）所示的网格中，在半圆O上画出点P，连接AP，使AP平分∠CAB．【分析】如图（1）中，取格点T，连接OT交⊙O于点P，连接AP，点P即为所求．如图（2）中取BC 的中点J，连接OJ，延长OJ交⊙O于点P，连接AP，点P即为所求．【解答】解：如图（1）（2）中，点P即为所求．22．（2022•吉安模拟）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）（1）在图1中作△ABC的重心．（2）在图2中作∠AGB＝∠ACB，且G是格点．【分析】（1）根据重心是三角形的中线的交点，画出图形即可；（2）利用圆周角定理，画出图形即可．【解答】解：（1）如图1，点D即为所求作的的；（2）如图2，∠AG1B，∠AG2B，∠AG3B，∠AG4B即为所求作．23．（2022•绿园区校级模拟）如图①，②，③中每个小正方形的边长均为1．△ABC的顶点A，B均落在小正方形的顶点上，点C在小正方形的边上，以AC为直径的半圆的圆心为O．请用无刻度的直尺按要求画图．（1）如图①，在半圆上确定点D，使OD∥AB．（2）如图②，在线段AB的延长线上确定点E，使AE＝AC．（3）如图③，在线段AC上确定点F，使AF＝AB．【分析】（1）取B长度中点D，连接OD即可；（2）延长OD交⊙O于点J，连接CJ，延长CJ交AB的延长线于点E，点E即为所求；（3）在图②的基础上，连接AJ交BC于点K，连接EK，延长EK交AC于点F，点F即为所求．【解答】解：（1）如图①中，点D即为所求；（2）如图②中，点E 即为所求；（3）如图③中，点F 即为所求．24．（2022•南关区校级模拟）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，ABC 的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图．（不写作法，保留画图痕迹）（1）在图①中，在BC 上画一点D ，使S △ABD ＝S △ACD ．（2）在图②中，在BC 上画一点E ，使S △ABE ：S △ACE ＝2：3．（3）在图③中，在ABC 内画一点F ，使S △ACF ：S △ABF ：S △BCF ＝2：3：3.【分析】（1）取BC 的中点D 即可；（2）取格点M ，N ，连接MN 交BC 于点E ，点E 即为所求；（3）利用数形结合的思想，判断出点F 到AC 的距离为1，到AB 的距离为，取格点P ，Q ，连接PQ 交直线m 于点F ，点F 即为所求．【解答】解：（1）在图①中，点D 即为所求；（2）在图②中，点E 即为所求；（3）在图③中，点F 即为所求．25．（2022•长春模拟）图①、图②分别是10×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，A、B两点在小正方形的格点上，请在图①、图②中各取一点（点C必须在小正方形的格点上），使以A、B、C为顶点的三角形分别满足下列要求．（1）在图①中画一个△ABC，使∠ACB＝90°，面积为5；（2）在图②中画一个△ABC，使BA＝BC，∠ABC为钝角，并求△ABC的周长．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）利用数形结合的思想作出图形，利用勾股定理求出AC，可得结论．【解答】解：（1）如图①中，△ABC即为所求；（2）如图②中，△ABC即为所求．∵AB＝BC＝5，AC＝＝4，∴△ABC的周长为10+4．26．（2022•二道区校级二模）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB、EF、MN的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图．（1）在图①中，画∠ADB＝45°；（2）在图②中，画∠APB＝45°，且点P在线段EF上；（3）在图③中，画∠AQB＝45°，且点Q在线段MN上.【分析】（1）构造等腰直角三角形，可得结论；（2）构造等腰直角三角形，可得结论；（3）取格点R，T，连接RT交MN于点Q，连接QB，QA，点Q即为所求．【解答】解：（1）如图①中，点D即为所求；（2）如图②中，点P即为所求；（3）如图③中，点Q即为所求．27．（2022•香坊区校级三模）如图1、2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．（1）在图1中画出以AC为底边的等腰直角三角形ABC，点B在小正方顶点上；（2）在图2中画出以AC为腰的等腰三角形ACD，点D在小正方形的顶点上，且△ACD的面积为8，并直接写出tan A的值．【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义画出图形即可；（2）利用数形结合的思想作出图形即可．【解答】解：（1）如图1中，△ABC即为所求；（2）如图2中，△ADC即为所求，tan A＝＝2．28．（2022•瑞安市校级三模）如图是由边长为1的小正六边形构成的网格图，网格上的点称为格点．已知格点线段AB，利用网格图，仅用无刻度的直尺来完成下面几何作图．（1）请在图①中作一个格点等腰三角形△ABC；（2）请在图②在线段AB上求作点P，使得AP：BP＝3：4．（要求：不写作法但保留作图痕迹）【分析】（1）画出如图中所示的线段AC，再连接BC即可；（2）如图②，作△ADP∽△BCP即可得出结论．【解答】解：（1）如图所示，△ABC即为所求作的等腰三角形：（2）如图②，点P即为所求作；29．（2022•江夏区模拟）用无刻度直尺作图：（1）如图1，在AB上作点E，使∠ACE＝45°；（2）如图1，点F为AC与网格的交点，在AB上作点D，使∠ADF＝∠ACB；（3）如图2，在AB上作点N，使＝．（4）如图2，在AB上作点M，使∠ACM＝∠ABC.【分析】（1）取格点Q，连接CQ交AB于点E，点E即为所求；（2）取AQ是中点P，连接FP交AB于点D，点D即为所求；（3）利用网格特征作出点N即可；（4）把∠ABC考查45°+∠CBK，∠ACE＝45°，∠ECF＝∠CBK，可得结论．【解答】解：（1）如图1中，点E即为所求；（2）如图1中，点D即为所求；（3）如图2中，点N即为所求；（4）如图2中，点M即为所求．30．（2022•阿城区模拟）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，线段AB和线段DE，点A、B、D、E均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中画出以AB为底边的等腰三角形ABC，使△ABC的面积为10，点C在小正方形的顶点上，直接写出tan∠ABC的值；（2）在方格纸中画出钝角三角形DEF，使∠DEF＝45°，点F在小正方形的顶点上．【分析】（1）利用数形结合的思想画出图形即可；（2）根据要求作出图形即可．【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求，tan∠ABC＝2；（2）如图，△DEF即为所求．31．（2022•长春模拟）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上．（1）在图①中，画等腰三角形ABC，使其面积为3．（2）在图②中，画等腰直角三角形ABD，使其面积为5．（3）在图③中，画平行四边形ABEF，使其面积为9．【分析】（1）根据等腰三角形的定义，利用数形结合的思想解决问题即可；（2）作一个腰为的等腰直角三角形即可；（3）根据平行四边形的判定，利用数形结合的思想解决问题．【解答】解：（1）如图①中，△ABC即为所求；（2）如图②中，△ABD即为所求；（3）如图③中，平行四边形ABEF即为所求．32．（2022•朝阳区校级模拟）如图在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点在格点上，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留必要的作图痕迹，不要求说明理由．（1）如图1，过点A作线段AF，使AF∥DC，且AF＝DC．（2）如图2，在四边形ABCD边上求作一点E，使点E与四边形ABCD某一顶点连线，能把该四边形分成的两部分恰好拼成一个无缝隙、不重叠的三角形．（画一个即可）（3）如图3，在边AB上求作一点G，使∠AGD＝∠BGC．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）取CD的中点E，连接AE即可；（3）取格点T，连接CT交AB于点G，连接DG，点G即为所求．【解答】解：（1）如图，线段AF即为所求；（2）如图，点E即为所求（答案不唯一）；（3）如图，点G即为所求．。
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重点题型(2)——网格作图
杭州温州宁波绍兴嘉兴、
舟山
湖州台州金华丽水衢州
2019年
第20题第20
题
第20
题
第20
题
第19
题
8分8分8分8分6分2020
年
第20题第18
题
第19
题
8分8分6分
点分别按下列要求画三角形．
(1)在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
(2)在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
(3)在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
解：(1)如图①中，△ABC即为所求．
(2)如图②中，△ABC即为所求．
(3)△ABC即为所求．
2．(温州一模)如图，点A，B，C是5×5的方格纸中的三个格点，按下列要求作出格点四边形(顶点在格点上).
(1)在图1中画出一个以A，C为顶点的菱形(非正方形)，使点B在该图形内部(不包括在边界上).
(2)在图2中画出一个以A，C为顶点的平行四边形，使该图形的一边所在直线与AB夹角为45°.
解：(1)如图1，即为以A，C为顶点的菱形；
(2)如图2，即为以A，C为顶点的平行四边形．
3．在6×6的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图：
(1)在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．
(2)在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分(保留画图痕迹，不写画法).
解：(1)由勾股定理得：CD＝AB＝CD′＝5，BD＝AC＝BD′′＝13，AD′＝BC＝AD′′＝10；画出图形如图1所示；
(2)如图2所示．
4．如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均在格点上．试按要求画出线段EF(E，F 均为格点)，各画出一条即可．
解：①如图：从图中可得到AC边的中点在格点上设为E，过E作AB的平行线即可在格点上找到F，则EF平分BC；②EC＝5，EF＝5，FC＝10，借助勾股定理确定F 点，则EF⊥AC；③借助圆规作AB的垂直平分线即可；
5．(2020·吉林)图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：
(1)在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点．
(2)在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点．
(3)在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点．
解：(1)如图①，MN即为所求；(2)如图②，PQ即为所求；(3)如图③，△DEF即为所求．。