浅谈函数的凹凸性与泛函分析中重要不等式的证明
凸函数在证明不等式中的应用
摘要凸性是一种重要的几何性质，凸函数在泛函分析，最优化理论，数理经济学等领域都有着广泛的应用.本文首先给出了凸函数的定义和判定定理，同时讨论了凸函数的几条常用性质，最后重点展示了凸函数在证明不等式中的应用.关键词: 凸函数，凸性，判定定理，Jensen不等式AbstractConvexity is an important geometric property. Convex function have extensive applications in functional analysis, optimal theory and mathematical economy. This article first has given the definition of convex function and its decision theorem, meanwhile discussed convex function several commonly used nature，lastly has demonstrated the convex function in inequality proof application.Keywords：convex function，convexity, decision theorem, Jensen inequality1 引言在数学思想方法中，函数思想是一种很重要的思想方法，其精髓在于利用函数的相关性质对讨论的问题进行推理和论证，进而寻求解决问题的途径.凸函数是一类重要的函数，它的概念最早由Jensen 给出.它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具.应用研究方面，凸函数作为一类特殊函数，在现代优化学、运筹学、管理学和工程测绘学等多个学科有着重要的意义和很好的应用.在数理经济学中, 对风险厌恶的度量, 也可以表现为对效用函数凸性的选择，函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态，把握函数在区间上的整体性态，不仅可以更加科学、准确地描绘出函数的图象，而且有助于对函数的定性分析.由于凸函数具有较好的几何和代数性质，一些常见的不等式都可以从函数的凸性中导出，对不等式的证明最终归结为研究函数的特性，所以研究凸函数的凸性就显得十分必要了，同时利用凸函数的凸性证明不等式，很容易证明不等式的正确性.因此，正确理解凸函数的定义、性质及其它在证明不等式中的应用，更对有关学术问题进行推广研究起着举足轻重的作用.2 凸函数的基本知识2.1 凸函数的定义大家都熟悉函数2()f x x =的图像，它的特点是：曲线2y x =上任意两点间的弧总在这两点连线的下方.我们可以下这样一个定义：设()f x 在[,]a b 上有定义，假设曲线()y f x =上任意两点间的弧总位于连接该两点的线段之下，则称函数()f x 是凸函数.定义[1] 假设函数()f x 对于区间(,)a b 内的任意12,x x 以及任意实数(0,1)λ∈，恒有[]1212(1)()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-， 〔1〕则称()f x 为区间(,)a b 上的凸函数.如果〔1〕中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数.常见的凸函数有：① ()(0)k f x x k =≠,x x x f ln )(=均为(0,)+∞内的严格凸函数；②()ln(1),()0)x f x e f x c =+=≠均为(,)-∞+∞内的严格凸函数.2.2 凸函数的判定定理及其性质引理[1] 假设()f x 为区间I 上的凸函数，则对I 上的任意1x <2x <3x ,有()()()()()()213132213132f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤≤--- 〔2〕 定理1[1] 设f 为区间I 上的可导函数，则以下论断互相等价：1 f 为I 上凸函数；2 'f 为I 上的增函数；3 对I 上的任意两点12,x x ，有()()()()'21121f x f x f x x x ≥+-.定理2[1] 设f 为区间I 上的二阶可导函数，则f 在I 上为凸函数的充要条件是''()0f x ≥〔x I ∈〕.用定义来直接判断一个函数是不是凸函数，往往是很困难的，但用定理2来判断一个光滑函数是否为凸函数，则是相当简便的.在实际应用中常常先用导数来肯定函数的凸性，再反过来利用凸性证明不等式.性质1[2] 假设()f x 是区间I 上的凸函数，则对I 上的任一内点x ,单侧导数(),()f x f x +-''皆存在，且()()f x f x -+''≤0()x I ∀∈，这里0I 表示I 的全体内点组成之集合.证明 因x 为内点,故12,,x x I ∃∈使得12x x x <<,,因为()f x 是区间I 上的凸函数，故1212()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--，当1x 递增时,11()()f x f x x x--也递增. 故由单调有界原理知,下极限存在且'f -(x)= 11212()()()()limx xf x f x f x f x x x x x→--≤--. 同理,在此式中，令2x x →时,也可知'()f x +存在,且''()()f x f x -+≤. 性质2[2] 假设()f x 在区间I 上为凸函数，则f 在任一内点x ∈0I 上连续. 证明 事实上由性质1知：f +'与f -'存在，所以f 在x 处左右都连续.性质3[2] 设函数()f x 在区间I 上为凸函数，则()f x 在I 上的任一闭子区间上有界. 证明 设[,]a b I ⊂为任一闭子区间，于是有 ①[,],x a b ∀∈取[0,1],x ab aλ-=∈-则(1)x b a λλ=+-，因()f x 为凸函数,所以 ()[(1)]()(1)()(1)f x f b a f b f a M M M λλλλλλ=+-≤+-≤+-=，其中max{(),()}M f a f b =，故()f x 在[,]a b 上有上界M ；②记2a bc +=为,a b 的中点，则[,]x a b ∀∈，有关于c 的对称点x '，因()f x 为凸函数，所以'()()11()()()2222x x f x f x f c f f x M '++=≤≤+，从而 ()2()f x f c M m ≥-≡，即m 为()f x 在[,]a b 上的下界.综上，()f x 在I 上的任一闭子区间上有界.3 凸函数在证明不等式中的应用在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凸函数的性质定理来证明可以非常简洁、巧妙，但关键是构造能够解决问题的凸函数，运用函数的凸性及几个等价论断，使不等式简化进而得以证明.Jensen 不等式[1]()f x 是区间I 上的凸函数，12,,...,n x x x I ∀∈，对于满足11ni i λ==∑ 的任意12,,...,0n λλλ> ，有：11()()nni i i i i i f x f x λλ==≤∑∑ 〔3〕凸函数在不等式证明中的应用很大程度上是由Jensen 不等式来表达的，每个凸函数都有一个Jensen 不等式，因而它在一些不等式证明中有着广泛的应用.利用它可以推出常用的一些重要公式，为证明不等式开辟了一条新路.它还可以有如下两种形式：〔1〕Jensen 总和不等式[2] 设()f x 是(,)a b 内的凸函数，则对(,)a b 内的任意一组值12,,...,n x x x 及任意正数12,,...,n p p p 必有不等式：112211221212...()()...()()......n n n n n np x p x p x p f x p f x p f x f p p p p p p ++++++≤++++++ 〔4〕当且仅当i x 都相等时等式成立.〔2〕Jensen 积分不等式[2] 设(),()f x p x 为[,]a b 上的可积函数，而(),()0,()0bam f x M p x p x dx ≤≤≥>⎰，则当()()t m t M ϕ≤≤为凸函数时有()()()[()]()()()bbaabbaap x f x dxp x f x dxp x dxp x dxϕϕ≤⎰⎰⎰⎰〔5〕3.1 凸函数在证明一般不等式中的应用一、利用凸函数的定义证明不等式例1 求证：对任意实数,a b ，有()212a ba bee e +≤+。
函数的凹凸性在不等式证明中的应用
函数的凹凸性在不等式证明中的应用函数的凹凸性是高等数学中的一个重要概念，它描述了函数图像的形状。
具体来说，如果函数的图像在一些区间上是向上凸起的，我们称之为凸函数；如果函数的图像在一些区间上是向下凹陷的，我们称之为凹函数。
在不等式证明中，函数的凹凸性具有很重要的应用。
首先，函数的凹凸性可以帮助我们证明不等式的性质。
假设我们要证明一个不等式，例如a + b ≥ 2√(ab)，其中a、b为非负实数。
我们可以考虑定义函数f(x) = x²，则f(x)是一个凸函数。
由凸函数性质可知，对于任意的实数x₁、x₂，有f(λx₁ + (1 - λ)x₂) ≤ λf(x₁) + (1 -λ)f(x₂)，其中0 ≤ λ ≤ 1、将x₁ = a，x₂ = b代入上述不等式，可得2ab ≤ a² + b²。
再将a² + b²除以2，即可得到a + b ≥ 2√(ab)。
因此，通过证明函数的凹凸性，我们可以得到不等式的性质。
其次，函数的凹凸性还可以帮助我们求解优化问题。
假设我们要在非负实数集合中找到满足一些条件的最大值或最小值。
我们可以先通过求导得到函数的极值点，然后通过函数的凹凸性判断这个极值点是最大值还是最小值。
具体来说，如果函数是凸函数，那么极值点就是最小值；如果函数是凹函数，那么极值点就是最大值。
通过函数的凹凸性，我们可以在优化问题中确定最优解。
此外，函数的凹凸性还可以帮助我们证明不等式的反面。
例如，我们要证明a + b ≥ 2√(ab)，其中a、b为非负实数。
假设我们采用反证法，假设不等式不成立，即a + b < 2√(ab)。
我们可以定义函数f(x) = x - 2√(x)，其中x为非负实数。
我们可以证明函数f(x)是一个凹函数，然后通过证明f(a) + f(b) < 0，来推出假设的不等式不成立。
通过函数的凹凸性，我们可以证明不等式的反面。
总的来说，函数的凹凸性在不等式证明中具有重要的应用。
凹凸性与积分不等式
凹凸性与积分不等式利用函数的凹凸性证明不等式是不等式证明中的一个重要方法，本论文通过选择适当的例题总结出如何利用函数的凹凸性来证明不等式的一般方法与思路。
引言在数学中我们所遇到的不等式已经很多，且个别的不等式证明比较复杂，而不等式的证明方法是我们必须掌握的一个重要部分。
不等式的证明方法有很多种，其中利用函数的凹凸性证明不等式的方法是数学研究中常用的，也是我们重点要掌握的方法。
本文将通过具体的例题详细地总结归纳出如何利用函数的凹凸性证明不等式的具体方法、步骤及思路。
定义：设函数f(x)为定义在区间I上的函数，若对I上任意两点x1、x2和任意实数λ∈(0，1)总有：f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，则称f为I上的凸函数，反之，如果总有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，则称f为I上的凹函数。
凸函数的特征引理：f为I上的凸函数对于I上任意三点总有x1＜x2＜x3：f(x2)-(x1)/x2-x1≤f(x3)-(x2)/x3-x2严格凸函数上式严格不等式成立。
证明见文献[1].定理3 设为f(x)区间l上的可导函数，则以下论断等价：1.f(x)为l上的凸函数；2.f(x)为l上的增函数；3.对l上的任意两点x1，x2，有f(x2)≥(x1)+f′(x1)(x2-x1)。
定理4 设f为区间l上的二阶可导函数，则在l上f为凸（凹）函数的的充要条件是f″(x)≥0(f″(x)≤0)，x∈l。
证明：f″(x)≥0、f′(x)为增函数，f(x)为l上的增函数f(x)为l上的凸函数(根据定理3)，同理f为l上的凹函数f″(x)≤0。
詹森(Jensen)不等式：若f为［a，b］上的凸函数，则对任意的x2∈［a，b］，λ2∈(1，2…n)，∑λ2=1有f(∑λ2x2)≤∑λ2(f2)；若f为严格凸函数，不全相等，x2(ī=1，2…n)则上式严格不等式成立。
证明见文献[1]。
利用凹凸函数证明不等式
利用凹凸函数证明不等式凹凸函数在数学中是一类非常特殊的函数，它是用有极大重要意义的。
凹凸函数定义为：当不等式有复数解时，存在符合凹凸函数定义的函数，它可以将不等式转化为一个凸空间，并且以动态平衡的方式证明不等式。
本文将重点介绍如何利用凹凸函数证明不等式。
第二段：凹凸函数的核心思想是利用不等式来构建一个凸凹空间，通过不断对不等式内变量的取值范围的变换，使得凸凹空间内的元素按照一定的规律动态地平衡。
凹凸函数的特点在于，它使得不等式的解可以通过函数的平衡状态被求出。
换句话说，不等式的解可以被凹凸函数所描述，而这种描述法可以很好地证明不等式。
第三段：具体到如何利用凹凸函数证明不等式，我们首先利用凹凸函数将不等式转换成凸空间。
把不等式中的变量代入凹凸函数，得到一个凸凹平衡的函数，并且确定该函数的最大值和最小值的取值之间的范围。
如果不等式是有复数解的，那么就可以得出不等式的解；如果不等式是无解的，则可以通过对函数作减小变量值的取值范围来确定它是无解的。
第四段：除了上述方法外，还可以用重新定义空间的方法证明不等式。
首先，将不等式中的变量作为新定义的空间的坐标，然后用凹凸函数来构造新定义的空间，以及新定义的空间的凹凸平衡性。
在此基础上，若不等式有复解，则可以通过对凹凸函数作减小变量值的取值范围来确定复数解；若不等式是无解的，则可以通过找出不等式解空间的最小取值和最大取值，以及找出变量的取值范围，来证明不等式是无解的。
第五段：凹凸函数是一种极为重要的数学技术，它可以用来证明不等式，并且可以更有效地求出不等式的解。
凹凸函数的使用技巧有很多，但是最重要的是要理解凹凸函数的核心思想，以及如何利用它来证明不等式。
只有当理解了这一点，才能够明确凹凸函数在证明不等式上的重要作用。
第六段：综上所述，凹凸函数对证明不等式具有重要作用，它可以使我们更加清晰地求出不等式的解。
它的使用技巧也有很多，如将不等式变换成凸空间，以及使用重新定义空间的方法。
利用函数的凹凸性证明不等式
利用函数的凹凸性证明不等式使用函数的凹凸性证明不等式的方法，通常分为以下三个步骤：1.确定使用的函数是凸函数还是凹函数，以及其定义域。
2.利用函数的凹凸性得出基本不等式或者推导得到不等式。
3.根据不等式左右两边的定义域，进一步讨论如何得出不等式的证明。
以下是一个示例：要证明不等式$(a+b)^2\\leq 2(a^2+b^2)$。
1.确定使用的函数是凸函数还是凹函数，以及其定义域。
函数$f(x)=x^2$在实数域上是凸函数。
我们可以令$a,b$为实数。
2.利用函数的凹凸性得出基本不等式或者推导得到不等式。
由$f(x)$的凸性可得，对于任意两个实数$a,b$和$\\lambda\\in(0,1)$，有：$$f(\\lambda a+(1-\\lambda)b)\\leq\\lambda f(a)+(1-\\lambda)f(b)$$将$\\lambda$取为$\\dfrac12$，$a,b$代入，得到：$$f\\left(\\dfrac{a+b}{2}\\right)\\leq\\dfrac{f(a)+f(b)}{2}$$即：$$\\left(\\dfrac{a+b}{2}\\right)^2\\leq\\dfrac{a^2+b^2} {2}$$化简可得：$$a^2+2ab+b^2\\leq 2a^2+2b^2$$即：$$(a+b)^2\\leq 2(a^2+b^2)$$3.根据不等式左右两边的定义域，进一步讨论如何得出不等式的证明。
由于$a$和$b$都是实数，所以$(a+b)^2$和$2(a^2+b^2)$都存在并且有意义。
因此，不等式成立。
综上所述，我们使用函数的凸性证明了不等式$(a+b)^2\\leq 2(a^2+b^2)$。
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March凸函数的性质及其在证明不等式中的应用数学计算机科学学院摘要：凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.本篇文章论述了凸函数、对数凸函数的定义、引理、定理和性质及其常用的一些判别方法（根据凸函数，对数凸函数的已知的定理、定义、性质，Jensen不等式等一些方法来判断函数是否是凸函数）；本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用；并浅谈了一下凸函数在不等式证明中的一些应用（如上述利用凸函数以及对数凸函数的定理，定义，性质，Jensen不等式来证明一些不等式），推广并证明了一些不等式（三角不等式，Jensen不等式等），得到了新的结果.关键词：凸函数；对数凸函数；Jensen不等式；Hadamard不等式；应用Nature of Convex Function and its Application in ProvingInequalitiesChen Huifei, College of Mathematics and Computer ScienceAbstract : Convex function is a kind of important function. Convex function is particularly important in the study of the inequality, and the study of the inequality is reduced to study the characteristics of the convex function，which makes it necessary to study convex functions.We discuss definition, lemma, theorem and the nature of some commonly used discriminant methods of the convex function and the logarithmic convex function in this paper(According to known theorems, definitions, nature, Jensen inequality and other methods of convex function and the logarithmic convex function to recognize whether the function is a convex function); In this paper we also try to discuss the equivalent definition and nature of the convex function and the issue of its application in demonstration inequalities of convex function in order to have a better understanding of the nature and role of the convex function in proving inequalities; we also try to discuss some applications of convex function in proving inequalities(Convex function and the use of these convex function theorem, definition, nature, Jensen inequality to prove Inequality).We also have promoted and proved some inequality (Triangle inequality, Jensen inequality) and reached new results.Key words : Convex function;Logarithmic convex function ; Jensen inequality; Hadamard Inequality;Application1 引言在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸函数，例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中.凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数,即曲线位于每一点切线的下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数.本文试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其作用.2 概念2.1 凸函数的定义上面对凸函数作了直观的描述，我们用分析式子给出其精确定义.定义[1]2.1设函数()f x 在区间[,]a b 上有定义，若对[,]a b 上任意两点12,x x 和正数λ∈（0,1）,总有1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+- (A)则f 为区间[,]a b 上的凸函数.（同时也称为上凸函数，若是不等号反向则称为下凸函.）定义[1]2.2 若函数()f x 在D 上是正的,且ln ()f x 在D 上是下凸函数,则称()f x 是D 上的对数下凸函数这时, 对于任意,x y D ∈ 和(0,1)λ∈,有ln [(1)]ln ()(1)ln ()f x y f x f y λλλλ+-≤+-. 即(1)[(1)]()()f x y f x f y λλλλ-+-≤ (B)如果(2) 中的不等号反向,则称()f x 是D 上的对数上凸函数.2.2 对数凸函数的性质我们已经有了凸函数以及对数凸函数的定义，现在我们来看一下对数的一些引理，定理及其性质等.定理 2.1[2] (对数下(上) 凸函数的判定定理) 设()f x 是D 上的正值函数,且在D 上有二阶导数,则()f x 在D 上为对数下(上) 凸函数的充要条件为对于任意x ∈D ,有2()()(())0(0)f x f x f x '''-≥≤先证下引理引理 2.1[2] （1) 若()g x 是[,]a b 上的下(上) 凸函数,则()()g x f x e = 为[,]a b e e 上的对数下(上) 凸函数.（2) 若()f x 是[,]c d 上的对数下(上) 凸函数,则()ln ()g x f x =为[ln ,ln ]c d 上的下(上) 凸数.证明（1) 任取12,[,]c d x x e e ∈,由()g x 在[,]c d 上是下凸函数,对任意01λ<<有()()121212[(1)]()(1)()121()()112[(1)][][]()()g x x g x g x g x g x f x x e e e e f x f x λλλλλλλλλλ+-+---+-=≤==（2）任取12,[ln ,ln ]x x c d ∈ ,由()f x 是[,]c d 上的对数下凸函数,对任意01λ<<有11212121212[(1)]ln [(1)]ln[()][()]ln ()(1)ln ()()(1)()g x x f x x f x f x f x f x g x g x λλλλλλλλλλ-+-=+-≤=+-=+-所以()g x 为区间[ln ,ln ]c d 上的下凸函数. (用类似方法可证上凸的情形)下证定理2.1[2] “⇐” 设[,]D c d =，()ln ()g x f x =，则 ()()[ln ()]()f xg x f x f x '''==，22()()[()]()()f x f x f x g x f x '''-''= 所以()g x 是为区间[ln ,ln ]c d 上的下凸函数,根据引理1 得()ln ()()g x f x e e f x ==为[ c ,d] 上的对数下凸函数“⇒” 若()f x 为[,]c d 上的对数下凸函数,由引理1 得()ln ()g x f x =为区间[ln ,ln ]c d 上的下凸函数,从而()0g x ''≥ ,对()ln ()g x f x =求二阶导数即得2()()(())0f x f x f x '''-≥. (用类似方法可证上凸的情形) .推论2.1[2] 设12(),()f x f x 是D 上的对数下(上) 凸函数,则1212()(),()()f x f x f x f x +也是D 上的对数下(上) 凸函数证明：设1212()()(),,,(0,1)g x f x f x x x D λ=+∀∈∈121122121111112221221121122212((1))((1))((1))()()()()[()()][()()]()()g x x f x x f x x f x f x f x fx f x f x f x f x g x g x λλλλλλλλλλλλλλ----+-=+-++-≤+≤+⨯+= 其中(A) 由..H older 不等式得到根据定义 2.2 得出1121()()f x f x +是D 上的对数下凸函数.122112[()()]()()()()f x f x f x f x f x f x '''=+12211212[()()]()()2()()()()f x f x f x f x f x f x f x f x ''''''''=++2121212222221111222[()()][()()]{[()()]}(){()()[()]}(){()()[()]}0f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x '''-=''''''-+-≥根据定理2.1 得12(),()f x f x 是D 上的对数下凸函数. (用类似方法可证上凸的情形)用数学归纳法可将推论1 推广到有限情形.推论 2.2[2] 设()f x 是定义在D 上的正值函数,1) 若()f x 是对数下凸函数,则1()f x 在区间D 上是对数上凸函数. 2) 若()f x 是对数上凸函数,则1()f x 在区间D 上是对数下凸函数. 证明 1) 设1()()x f x φ=22322224241()()()2(())()(),()[]()()()()()2(())()()()(())()()[()][][][]()()()f x f x f x f x x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x x x f x f x f x φφφφφ''''-''''==-=-'''''''--'''-=--=-显然是小于0的，所以1()()x f x φ=是对数上凸函数，同理可证2) . 定理 2.2[2] (Jensen 型不等式) 设()f x 是D 上的正值对数下凸函数, 12,01, (1)i i n x D λλλλ∈<<+++=12112212(...)()()...()n n n n f x x x f x f x f x λλλλλλ+++≤ （*）若()f x 是D 上的正值对数上凸函数,则(*) 中不等号反向.证明 (用数学归纳法) 当2n =时，由定义2.2 知不等式(*) 成立. 假设n k =时不等式(*) 成立,即121122121(...)()()...()(1,0)kkk k k i i i f x x x f x f x f x λλλλλλλλ=+++≤=>∑ ,(1,2,...,1),i x D i k ∈=+设1(1,0)ki i i λλ==>∑111211121111221111111121111211[...()()]()()...()()()()...()()()k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x f x x x x x f x f x f x f f x f x f x f x f x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-+-+++--++++++-++-+++++++++≤+≤++ 所以当1n k =+时,不等式(*) 成立,从而对于一切自然数(2)n n ≥ 不等式(*) 成立. 用同样方法可证明上凸情形.当然这里的定理对凸函数也是成立的.在下面的运算性质中有介绍.也就是下面的Jensen 不等式 1,Jensen 不等式 2.引理 2.2[2] (凸函数的Hadamard 不等式) 设()x φ是区间D 上的下凸函数则对于任意,.a b D a b ∈≤有11()[()()]22b a a b x dx a b b aφφφφ+⎛⎫≤≤+ ⎪-⎝⎭⎰ （#） 若()x φ是区间D 上的上凸函数,则对于任意,.a b D a b ∈≤,(#)中不等号反向.定理 2.3[2] ( Hadamard 型不等式) 设():[,](0,)f x a b →+∞对数下凸函数,则11()()[()()]2ln ()ln ()b a a b f f x dx f b f a b a f a f b +≤≤---⎰ （@） 若():[,](0,)f x a b →+∞对数下凸函数,则(5) 中不等号反向. 证明 由引理2.1 和引理2.2有1ln ()ln ()11ln ()()lim lim lim n f a bbf x naan i f a nn n b a f x dx edx e n +∆→∞=+∆→∞→∞-==≥=∑⎰⎰nn 由平均值i=1（b-a ）e（b-a ）11(ln ())()2lim ()ln ()()()()2ni b aif a bnn b aan a blmf b a ef x dxa bb a eb a f =-+∆-→∞+∑==-+≥-=-⎰1b-a （b-a)e（其中b a ∆=-）又令()ln ()x f x φ=，根据定义2.1，对于a x b <<，有()()()()()a b x b x a x b aφφφ-+-≤-()()()()()()ln ()()()()()()()()()()()exp()|()()[]()()ln ()ln (b a x b a a b x b x a bbbbf x x b aaaaa b a a b b a a b bbb ab aa ab a f x dx edx edx edxb a b a eedx ex b a b a b a b a e e b a f b f a φφφφφφφφφφφφφφφφφ-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦-+------==≤--⎡⎤==⎢⎥--⎣⎦--=-=--⎰⎰⎰⎰⎰[()()])f b f a - 定理得证.2．3[3] 凸函数的性质 在讨论了一些对数凸函数的定理，引理，我们来看一看凸函数的运算性质以及它们实用的定理：（1) 若()f x 与()g x 均为区间[,]a b 上的凸函数，则()f x +()g x 也是区间[,]a b 上的凸函数.（2）若()f x 与()g x 为区间[,]a b 上的凸函数，则ⅰ）0λ≥，则()f x λ是[,]a b 上的凸函数；ⅱ）0λ<，则()f x λ是[,]a b 上的凹函数.(3) 设()f x 与()g x 都是[,]a b 上的非负单调递增的凸函数，则()()()h x f x g x =也是[,]a b 上的凸函数.证明：对任意12,x x ∈[,]a b 且12x x <和任意λ∈(0,1)，因()f x 与()g x 在[,]a b 上单调递增，故 ：1212[()()][()()]0f x f x g x g x --≥即： 12211122()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x +≤+ (1) 又因为()f x 与()g x 在[,]a b 上的凸函数，故1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，2121g(x +(1-)x )g(x )+(1-)g(x )λλλλ≤而()0,()0f x g x ≥≥，设将上面两个不等式相乘，可得2122222211211[(1)][(1)]()()(1)[()()()()](1)()()f x xg x g x f x f x g x f x g x f x g x λλλλλλλλ+-+-≤+-++-又由⑴知21212222211211[(1)][(1)]()()(1)[()()()()(1)()()]f x x g x x g x f x f x g x f x g x f x g x λλλλλλλ+-+-≤+-++-=1122(1)()()()()f x g x f x g x λλ-+由凸函数的定义知：()()()h x f x g x =是[,]a b 上的凸函数. 注：1°()f x 与()g x 非负不能少,2°(),()f x g x 单调递增不能少.(4)[4][5] 设()u ϕ是单调递增的凸函数，()u f x =是凸函数，则复合函数[()]f x ϕ也是凸函数.对于其他情况也有类似的情况的命题，如下列：我们也可以看一下单值有反函数的函数的反函数与自身的凸凹性的关系. 如下表：(5) 若()f x 为区间I 内的凸函数，且()f x 不是常数，则()f x 在I 内部不能达到最大值.2.4[3] 凸函数的等价定义和判定设函数f 在区间(,)a b 上有定义，则下列命题彼此互相等价：（1）对任意12,x x ∈(,)a b 及任意恒有1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-（2）对任意i x ∈(,)a b 及任意i p >0. 1,2,...,i n =. 11ni i p -=∑ 恒有11()n ni i i i i i f p x p f x ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑ （3）对任意1,2,(,)x x x a b ∈, 12x x x <<,恒有12121212()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x---≤≤---（4）在(,)a b 上曲线在其每一点处具有不垂直于x 轴的左、右切线，并且曲线在左、右切线之上.（5）若在(,)a b 内存在单调递增的函数()x ϕ.以及0x ∈(,)a b ，使得对任意(,)x a b ∈，恒有00()()()xx f x f x t dt ϕ-=⎰，（6）对任意12,x x ∈(,)a b ，12x x <，恒有21121221()()1()22x x x x f x f x f f t dt x x ++⎛⎫≤≤ ⎪-⎝⎭⎰（7）对任意12,(,)x x a b ∈，恒有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于凸函数定义等价性的证明，可参看[4]及[5].对于等价定义（5）事实上，我们也有类似的这样一个定理：定理 2.4 设函数f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，则f 在[,]a b 上为上(下)凸函数（严格上（下）凸函数）的一个必要充分条件f '是在(,)a b 上递增（减）（严格递增（减））.证明 先证条件是必要的.设()12,(,)x x a b ⊂.只要x x '与满足12x x x x '<<<，由于等价定义（3）可知12121212()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x '---≤≤'---在上式中令12,x x x x +-'→→，得211221()()()()f x f x f x f x x x -''≤≤-.在是严格上凸函数的情形，我们取一点*x 满足*12x x x <<，从而得出**1212**12()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x --''≤<≤--. 这样就得出了严格的不等式12()()f x f x ''<，必要性得证.再证充分性.设f '是在(,)a b 上递增.对任何()12,x x x ∈，由Lagrange 中值定理，可只存在()12,x x ξ∈与()12,x x η∈，使得11()()()f x f x f x x ξ-'=-，22()()()f x f x f x xη-'=-因为x ξη<<，所以()()f f ξη''≤.从而有1212()()()()f x f x f x f x x x x x--≤--所以，可知函数f 在[,]a b 上为上凸函数.容易看出，当f '严格递增时，()()f f ξη''<.上述不等式中成立着严格的不等号，从而函数f 在[,]a b 上是严格的上凸函数.同理可以证明下凸时的情景.当函数f 在[,]a b 内有二阶导数时，我们有下列应用起来就会更方便的定理 定理 2.5 设函数f 在[,]a b 上连续，f 在(,)a b 内有二阶导数，则f 在[,]a b 上为上凸函数（下凸函数）的充分条件0(0)f f ''''≥≤在(,)a b 内成立；而f 在[,]a b 上为严格上（下）凸函数的充分必要条件是0(0)f f ''''≥≤在(,)a b 内成立并且在(,)a b 的任何开的子区间内f ''不恒等于0.证明 第一个结论，由于0f ''≥得出f '在(,)a b 上递增再由定理4可得出.同理可证明下凸时的情景； 第二个结论，先证充分性 由于0f ''≥在(,)a b 内成立并且在(,)a b 的任何开的子区间内f ''不恒等于0.对任意12,(,)x x a b ∈，12x x <，又由于2121()()()x x f x f x f x dx ''''=+⎰，所以21()()f x f x ''>.所以函数f 在[,]a b 上为严格的凸函数.充分性得证. 再证必要性（反证法） 因为函数f 在[,]a b 上为严格凸函数，对任意12,(,)x x a b ∈，12x x <，则21()()f x f x ''>，而由于2121()()()x x f x f x f x dx ''''=+⎰，若是有一个(,)a b 的子区间恒等于0.不妨设为(,)(,)a b ξη⊂，对任意(,)x ξη∈，()0f x ''=.则由于21()()()x x f f f x dx ηξ''''=+⎰，()()f f ξη''=，这与已知条件相矛盾.所以，必要性得证.同理可证明下凸时的情景. 所以，定理得证.关于凸函数的判定有很多，应用范围最广的是Jensen 不等式.Jensen 不等式 1 设()f x 在区间I 上有定义，()f x 为凸函数，当且仅当12,,...,n x x x I∀∈1212...()()...()n n x x x f x f x f x f n n ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭（J1） 此外，当且仅当12...n x x x === 时，上式等号成立（证明略请参考附[1]）. Jensen 不等式 2 12,,...,[,]n x x x a b ∀∈，12,,...,0n λλλ>，且11ni i λ==∑，1.则()f x 为凸函数的充要条件为：11()()n ni i i i i i f x f x λλ==≤∑∑ （J2）此外，上式当且仅当12...n x x x === 时，等号成立.（证明略请参考附[1]）. 这里对任意12,,...,0n βββ>，若是令1ii nii βλβ==∑，那么就有1111()nni i i i i i n n i i i i x f x f ββββ====⎛⎫ ⎪ ⎪≤⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑ (J3) 每个凸函数都有一个Jensen 不等式，Jensen 不等式的应用范围甚广，既可用于求解不等式问题，又可用于证明不等式定理，应用Jensen 不等式解题的关键有两条：一是必须先判明函数的上(下)凸性，二是直接应用Jensen 不等式有困难时，可以根据命题的特点，选择恰当的上凸函数和下凸函数，然后再进行解答.3 凸函数以及对数凸函数的应用在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凸函数的性质来证明可以非常简洁、巧妙.证明不等式是凸函数的一个重要应用领域，但关键是构造能够解决问题的凸函数.例 1[1] 利用凸函数证明调和平均值H ≤几何平均值G ≤对数平均值L ≤指数平均值E ≤算术平均值A.证明：事实上，我们可以用凸函数理论证明，对任意0(1,2,...,)ix i n 有1212...111...nnx x x n nx x x +++≤≤+++ （2）只要将不等式各部分同时取对数，这时左边的不等式可变为121111...1111ln (ln ln ...ln )n nx x x n n x x x +++-≤----.从而由函数()ln f x x =-在(0,)+∞上的（严格）凸性可得；右边的不等式可直接由()ln g x x =上的(0,)+∞（严格）下凸性可得.（具体证明可参看[2]）为了证明例1 中的连不等式，我们先来看下面两个小题：（1） 设0(1,2,...,)i a i n >=且不全相等，0(1,2,...,)i p i n >=有不等式链11111ln ln exp exp n n nii i i i i i i i i nn n ii i i i n i i p a p a p a a p p p a ======⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪≤≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑ （3） 证：凸函数()ln f x x =-的Jensen 不等式：取0i q >，11ni i q ==∑，0(1,2,...,).i a i n >=得11ln ln n n i i i i i i q a q a ==-≤-∑∑ [4] 111ln ln nni i i i i i q q a a ==-≤-∑∑ （5）在[4]中令1iini ii ip a q p a ==∑得 1111exp ln nn niiii ni i i i iii ip p p a p a a a ====⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑∑∑ （6）又由（4），(5)可得 1111in nq i i i n i i i i ia q a q a ===≤≤∑∏∑ （7）在此令1ini i i p q p ==∑，可得111111ln exp nn ni i i i ii i i n n n ii i i i i ip p a p a p p p a ======⎛⎫ ⎪≤≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑ （8）联立(6),(8)既得证 (3).（2） 设()()f x p x 与在[,]a b 上正的连续函数且()f x ≠常数，在⑻中作代换i b a p p a i n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，i b a a f a i n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭并在“∑”号后均乘b a n -，由0b a ->，不改变原不等号方向.令n →∞ 便得(3)的积分形式：ln ln exp exp b bb ba aa ab b bba aa ap fdx pdxp fdx pfdx f p p pdx pdxdx dx f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪≤≤≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)'在(3)'中令()1,()p x f x x ==()11ln ln ln ln 2b ab a b a b ab a e ----+⎛⎫≤≤≤⎪-⎝⎭再联立(2)，得出H G L E A ≤≤≤≤.例 2 （1）在锐角ABC ∆中，证明1cos cos cos 2A B C ++≤， （2）12,,...,n a a a 设为正数，证明恒成立12...n a a a n +++≥证明 （1）令()cos()f x x =-，(0,)x π∈.由于()cos()0f x x ''=>，(0,)2x π∈.所以()f x 在(0,)2x π∈上凸函数，所以由于（J1）()()()()33f A f B f C A B C f ++++≥，即cos()cos()cos()s()33A B C A B C co ---++≥-1()2=-即1cos cos cos 2A B C ++≤；（2） 令()ln ,(0,)g x x x =-∈+∞，所以21()0,(0,)g x x x''=>∈+∞，故()g x 是在(0,)+∞上的上凸函数.也是根据（J1）121212121212()()...()...()ln ln ...ln ...ln()ln ln ...ln ...ln()n nn nn n g a g a g a a a a g n n a a a a a a n na a a a a a n n++++++≥++++++-≥-++++++≤即即从而，有12...n a a a n+++≥下面我们再看一个用对数凸函数证明的不等式题. 例 3[2]10,0,12ni i i πλλ=<<>=∑i 设x ，则12112212sin(...)sin sin ...sin n n n n x x x x x x λλλλλλ+++≥ （&）12112212cos(...)cos cos ...cos n n n n x x x x x x λλλλλλ+++≥ (%)证明 设()sin()f x x =，由于2()()[()]10f x f x f x '''-=-<，故sin()x 是(0,)2π上的对数凸函数，同理cos()x 也是(0,)2π上对数凸函数.根据定理2即可得（&），(%).例 4 设()f x 在[,]a b 上可积，且()m f x M ≤≤，()t ϕ是在[,]m M 上的连续下凸函数，则11()(())b b a af x dx f x dx b a b a ϕϕ⎛⎫≥ ⎪--⎝⎭⎰⎰. 证明 令,()k n k f f a b a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，,1()k n x b a n ∆=-.由于()t ϕ是凸函数，故有1,2,,1,2,,...()()...()n n n n n n n n f f f f f f n n ϕϕϕϕ++++++⎛⎫≥⎪⎝⎭. 由定积分的定义，上式就相当于,,,,11()n ni n i n i n i ni i f f b a b a ϕϕ==⎛⎫∆∆ ⎪ ⎪≥-- ⎪⎪⎝⎭∑∑，,1()k n x b a n ∆=-在上式中令n →∞时， 则有11()(())b b a a f x dx f x dx b a b a ϕϕ⎛⎫≥ ⎪--⎝⎭⎰⎰. 命题得证.例 5[7]设,i i a b R +∈，111,2,...,,,n n i i i i i n a b ====∑∑则21112nni i i i i ia a ab ==≥+∑∑.证明 记1ni i s a ==∑，11ni i a s ==∑，将21112nni i i i i i a a a b ==≥+∑∑变为11121n ii i ia b s a =≥+∑，那么取11i ib a +作为函数1()1f x x=+，则由于3()2(1)0f x x -''=+>，再令i i i b x a =，ii a sλ=所以根据凸函数性质和（J3）得出11111211ni n i i i ii i a b s x a λ==≥=++∑∑结论本文主要讨论了凸函数以及对数凸函数一类重要的函数的概念，包括它们的一些定义，性质，定理，引理和它们在证明一些不等式的重要应用.本文介绍了Jensen 不等式，Hadamard 不等式，叙述了一些定理，引理，性质并给出了它们的证明，并指出它们在判断凸函数的应用.本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用.最后举出了一些例题来具体的来体现凸函数以及对数凸函数在不等式证明的应用.参考文献：[1]汪文珑.数学分析选讲[M].绍兴文理学院数学系，2001[2]刘琼.对数凸函数的Jensen型和Hadamard型不等式[J].邵阳学报,邵阳,2005,3[3]查良凇.凸函数及其在不等式证明中的应用[J].浙江工贸职业技术学院学报,绍兴,2005,3[4]燕建梁,张喜善.凸函数的性质及其在不等式证明中的应用[J].太原教育学院学报,太原,2002,4[5]T.M菲赫金哥尔茨普.微积分教程[M].1965: 290-300[6]常庚哲,史济怀.数学分析教程（上册）(M).高等教育出版社，2003:167-176[7]李碧荣.凸函数及其性质在不等式证明中的应用[J].广西师范学院学报,南宁,2004,2[8]白景华.图函数的性质、等价定义及应用[J].开封大学学报,开封,2003,2[9]Satish Shirali, Harkrishan L. Vasudeva. Mathematical analysis[M]. Alpha Science International Ltd., c2006.[10]Tom M. Apostol.Mathematical analysis[M].China Machine Press, 2004.致谢这是本人的第一篇论文，所以在多方面没有指导老师张金洪老师的指导是很难进行下去的.张老师从我的选题开始便给予了很大帮助，在以后的开题，开题报告，初稿的资料搜索，初稿出来后的校正，进一步的改进都给予了极大帮助，使我在论文的完成进程中得以较为平坦地进行下去.在论文的写作的进行中，我同组等同学也给了我很多帮助.在此表示感谢.也在此对我们的学校安徽师范大学以及我校资料室提供这样一个学习环境和帮助，表示感谢.也感谢那在身后的帮助.。
凸函数的性质及其在不等式证明中的应用
凸函数的性质及其在不等式证明中的应用凸函数是数学中一个重要的概念，广泛应用于优化理论、经济学、物理学等领域。
在不等式证明中，凸函数可以帮助我们简化证明过程，并且提供了一些常用的不等式。
1. 定义：对于定义在实数域上的函数f(x)，如果对于任意的x1、x2，以及0≤t≤1，都有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f(x)是凸函数。
如果不等式方向反过来，即f(tx1+(1-t)x2)≥tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f(x)是凹函数。
2.一阶导数判别法：如果函数f(x)在区间(a,b)上二次可导，且f''(x)≥0，则f(x)是凸函数；如果f''(x)≤0，则f(x)是凹函数。
3. Jensen不等式：如果函数f(x)是凸函数，则对于任意的实数x1，x2，…，xn，以及任意的正实数λ1，λ2，…，λn，满足λ1+λ2+…+λn=1，有f(λ1x1+λ2x2+…+λnxn)≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)。
在不等式证明中，凸函数可以用来简化证明过程，常用的应用有：1. 平均值不等式：对于任意的正实数x1，x2，…，xn，有(x₁+x₂+⋯+xₙ)/n ≥ √(x₁x₂⋯xₙ)。
这个不等式可以通过使用以函数f(x)=ln(x)为代表的凸函数来证明。
由于ln(x)在定义域(0,+∞)上是凸函数，我们可以使用Jensen不等式来证明平均值不等式。
2. Cauchy-Schwarz不等式：对于任意的实数a1，a2，…，an以及b1，b2，…，bn，有(a₁²+a₂²+⋯+aₙ²)(b₁²+b₂²+⋯+bₙ²) ≥(a₁b₁+a₂b₂+⋯+aₙbₙ)²。
这个不等式也可以通过使用凸函数来证明，常用的方法是构造凸函数f(x)=x²，然后应用Jensen不等式。
浅谈函数的凹凸性与泛函分析中重要不等式的证明
学年论文题目：浅谈函数的凹凸性与泛函分析中重要不等式的证明姓名所在学院专业班级学号指导教师日期浅谈函数的凹凸性与泛函分析中重要不等式的证明摘要：本文从函数的凹凸性质出发，推证了几个在泛函分析中应用特别广泛的不等式. 关键词：凹凸性 泛函分析 不等式 证明函数在数学的学习中占有重要的地位，其精髓在于利用函数的性质讨论和解决实际问题，函数的凹凸性就是函数的一种特殊性质，利用此性质我们可以证明一些较为复杂的不等式，同时可以降低证明的难度。
在学习泛函分析过程中，我们遇到了几个特别复杂的不等式，而且应用特别广泛，本文试用凸函数方法推证之。
1.凹凸函数的定义与性质1.1定义设()f x 是在区间I 上有定义的连续的函数，如果对I 中的任意两点1x 与2x 和非负实数1q 与2q ，且 121q q +=，成立不等式11221122()()()f q x q x q f x q f x +≤+. （1）则称函数()f x 区间I 上的凸函数；反之若有11221122()()()f q x q x q f x q f x +≥+. （2）则称函数()f x 区间I 上的凹函数。
注：1。
若将（1）式中的“≤”改为“<”,则称函数()f x 区间I 上的严格凸函数；2。
若将（2）式中的“≥”改为“>”,则称函数()f x 区间I 上的严格凹函数.显然，若()f x 是凸（凹）的，则()f x -是凹（凸）的，这一说明可使我们在许多情下只讨论凸函数就够了.1.2 几何图像上的直观反映（图1.2a ） （图1.2b ）图1.2a 就是凸函数的几何形状；图1.2b 是凹函数的几何形状.1.3 性质性质1 ：若()f x 为凸函数，则有：1212()()()22x x f x f x f ++≤ . （3）若()f x 为凹函数，则有：1212()()()22x x f x f x f ++≥. （4） 很显然，我们分别在（1），（2）式中令1212q q ==，就可得到上述性质。
用函数的凸凹性证明不等式
已知 x i > 0( i = 1, 2, ,, n ) , x 1 +
A A
x 2 + ,+ x n \x 1 x 2 ,x n ( n \2) , 且 1 [ A[ n .
A - 1 x 1 + x 2 + ,+ x n \nn - 1 . 求证 : x 1 x 2 ,x n
证明 : 由 x > 0, nx = x , 则 x = n n- 1 . ( 1) 当 x 1 x 2 ,x n \ n n- 1 时, 因 x A( A\1) 是( 0, + ] ) 的凸函数 , 于是 , 由式 ¹ 有 A A A x 1 + x 2 + ,+ x n x 1 x 2 ,x n n \ x 1 + x 2 + ,+ x n n x 1 x 2 ,x n
E
n
q i x i ) [ ( \)
i=1
E qf ( x ) .
i i
n
1 2 + x ( 0< x < 1) , 则 x 3 x - 2 f c( x ) = 4 , x + x 6 3 - x + 10 x + 2 f d( x ) = 4 2 ( x + x) 设 f ( x ) = ln
收稿日期 : 2006- 05- 10
2006 年第 11 期
13
用函数的凸凹性证明不等式
雷动良
( 湖南省东江师范学校 , 423400)
如果 f d ( x ) > 0( a < x < b ) , 则曲线 y = f ( x ) 在[ a , b ] 上, 文 [ 1] 说是凸的, 文 [ 2] 说是 凹的, 教辅书[ 3] 说是下凸的, 因此, 导致三难, 用起来很不方便. 在拜读了叶彦谦老先生译 5微积分学教程6 ( 人民教育出版社 1956 年新 1 版) 后, 并思索看图习惯, 函数的凸凹性应是 : 定义 设 f ( x ) 在 [ a , b ] 连续 , a [ x 1 < x 2 [ b , 正数 q 1 、 q 2 满足 q 1 + q 2 = 1. 若 f ( q 1 x 1+ q 2 x 2 ) [ ( \) q 1 f ( x 1) + q 2f ( x 2 ) , 则称 f ( x ) 是[ a , b ] 上的凸 ( 凹 ) 函数 . 定理 1 设 f ( x ) 在 [ a , b ] 内二阶可导. 则 f ( x ) 是 [ a , b ] 上的凸 ( 凹 ) 函数的充要条 件是 f d( x ) \( [ ) 0( a < x < b ) . 定理 2 设 f ( x ) 是[ a , b ] 上的凸 ( 凹 ) 函 数. 若 x 1 , x 2 , ,, x n I [ a , b ] , 正数 q 1 , q 2 , ,, q n 满足 q 1 + q 2 + ,+ q n = 1. 则 f(
利用函数的凹凸性证明不等式
ｎ
即有 入１１ ２２… ＾ｎｎ ａ １ ａ＋ ａ＋ ａ≥
ａ ｌ ａ ２… ａ
意 三 点 总有 ｘ ｘ ＜ Ｘ ： ＜ 。 例 ２ 用 凸 函数 的概 念 证 明不 等 式：对 综 上 ，若 证 明 的 不等 式 的 两 边 或一 边 ｆ ｘ） （１／ ２Ｘ ≤ ｆ ｘ） （２／ ３ｘ 任意实数 ａ ，有 ｅ ｍ／≤ １ ２ ｅ ｅ） （２一 ｘ ｘ－ １ （３一 ｘ） ｘ一 ２ ） ，ｂ ／ （ａ 十 是 同 一 函数 在 不 同 点 处 函数 值 的 叠加 ， 则 分 析 ：再 仔 细观 察 此 不 等 式 ，可变 形 严格 凸函数上式严格不等式成立。 般 需通过将不等式适 当变形构造辅助 函 证明见文献 ［］ １． 为 ｅ ／ （ ）≤ １ ２ １ １ ２ ｅ：与 数 ，利用 凹 凸 性证 明之 。 ／ｂ ／ ｅ＋（— ／ ） 一 定理 ３ 设 为 ｆ ｘ 区 间 １ 的可 导 函 凸函数的定义式 ｆ ＾ｘ＋ 卜 ＾） ≤ 入ｆ （） 上 （ ．（ ｘ） 总 之 ，在 掌 握 函 数 的 凹 凸性 定 理反 映
引 言 ｘ ｎ ＋ ｌ ｙ＞ （ ＋ ） ｎ ｘ ｙ ２。 １ｘ ｙ ｎ ｘ ｙ ｉ ＋ ／ 型 与 前 面 几 道 例 题 有 明显 的 区 别 ， 即 不 在数学中我们所遇到的不等式 已经很 分析：这是一个 函数不等式 ，但其含 等 式左 边 是 １个代 数 式 相 加 的形 式 ，且 ∑ ３ 多 ，且个 别 的不 等式证 明比较复杂 ，而 有两个变量 ，对不等式作简单变形，不等 ＝１ 由此 我 们 自然 想 到 了 凸 函数 定 ， 不 等 式 的证 明 方法 是 我们 必 须 掌握 的一 个 式等价于：ｘ ｎ ＋ １ ｙ ２＞ （＋ ） ２ ｎ 义 的 一 般 情 况 ， 即詹 森 不 等 式 ， 其 应 用 ｌｘ ｙ ｎ／ ｘ ｙ ／ Ｉ 重 要 部 分 。不 等 式 的 证 明方 法 有 很 多 ｘ ／ ，不等式两边含有相 同 “ ｙ ２ 形式 ” ： 相 当 广 泛 。 但 本 题 的 辅 助 函数 不 象 上 题 种 ，其 中利用 函数的 凹凸性证明不等 式 ｔ ｎ ， 可 设辅 助 函数 ｆ ｔ ＝ ｌ ｔ ｔ ） 那 么 容 易 构 造 ，将 原 不 等 式 两 边 取 对 数 ｌｔ故 （） ｔ ｎ （＞０ 。 的方 法是数 学研 究 中常用的 ，也是我 们 因此原不等式可化为 ｆ ｘ ＋ （） ２ （） ｆ Ｙ ／ ＞ 变形 为 ： ｉ １１ ｉｉ…＋ ａ） ｎ（ ａ ＋ ａ＋
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学年论文题目：浅谈函数的凹凸性与泛函分析中重要不等式的证明姓名所在学院专业班级学号指导教师日期浅谈函数的凹凸性与泛函分析中重要不等式的证明摘要：本文从函数的凹凸性质出发，推证了几个在泛函分析中应用特别广泛的不等式. 关键词：凹凸性 泛函分析 不等式 证明函数在数学的学习中占有重要的地位，其精髓在于利用函数的性质讨论和解决实际问题，函数的凹凸性就是函数的一种特殊性质，利用此性质我们可以证明一些较为复杂的不等式，同时可以降低证明的难度。
在学习泛函分析过程中，我们遇到了几个特别复杂的不等式，而且应用特别广泛，本文试用凸函数方法推证之。
1.凹凸函数的定义与性质1.1定义设()f x 是在区间I 上有定义的连续的函数，如果对I 中的任意两点1x 与2x 和非负实数1q 与2q ，且 121q q +=，成立不等式11221122()()()f q x q x q f x q f x +≤+. （1）则称函数()f x 区间I 上的凸函数；反之若有11221122()()()f q x q x q f x q f x +≥+. （2）则称函数()f x 区间I 上的凹函数。
注：1。
若将（1）式中的“≤”改为“<”,则称函数()f x 区间I 上的严格凸函数；2。
若将（2）式中的“≥”改为“>”,则称函数()f x 区间I 上的严格凹函数.显然，若()f x 是凸（凹）的，则()f x -是凹（凸）的，这一说明可使我们在许多情下只讨论凸函数就够了.1.2 几何图像上的直观反映（图1.2a ） （图1.2b ）图1.2a 就是凸函数的几何形状；图1.2b 是凹函数的几何形状.1.3 性质性质1 ：若()f x 为凸函数，则有：1212()()()22x x f x f x f ++≤ . （3）若()f x 为凹函数，则有：1212()()()22x x f x f x f ++≥. （4） 很显然，我们分别在（1），（2）式中令1212q q ==，就可得到上述性质。
性质2：若()f x 为凸函数，则如下不等式成立11()()n ni i i i i i f q x q f x ==≤∑∑ （5）此不等式被称为詹森不等式。
依照凸函数定义[参看（1）式]，显然（5）式是（1）的更一般情形，我们用数学归纳法即可证明，由于现行的数学分析教材中都有其（5）式的证明，在此省略证明。
1.4 凹凸函数的判定定理引理：()f x 为区间I 上的凸函数的充要条件是：对于123,,x x x I ∀∈，若123x x x <<，总有21322132()()f x x f x x x x x x --≤--. （6）此引理在书目[1]中有详细的证明，在此不予重复。
定理1：设()f x 是区间I 上的可导函数，()f x 为凸函数的充要条件是：对于12,x x I ∀∈ ，若12x x ≤，有12()()f x f x ''≤.证明：必要性 假定()f x 是凸的，对于12,x x I ∀∈，设12x x x <<，由（6）式得：1212()()f x x f x x x x x x--≤--. （7） 令x 趋向于1x 或2x 并且求极限，我们将分别得到 21121()()()f x f x f x x x -'≤-和21221()()()f x f x f x x x -'≥-.由此得12()()f x f x ''≤.充分性 假定后面的条件被满足即()f x '是常增的，为了证明（7）式成立，我们对它两边应用有限增量公式，即111()()()f x f x f x x ξ-'=-， 21221()()()f x f x f x x ξ-'=-.其中1122x x x ξξ<<<<，由于依照假定12()()f f ξξ''≤，则（7）式成立，有引理得()f x 是凸的.定理2：设()f x 为区间I 上的二阶可导函数，则()f x 为凸（凹）函数的充要条件是()0f x ''≥（()0f x ''≤），x I∈.证明略。
特别指出：如果指的是狭义（严格）的凹凸性，那么把等号出去即可。
2. 利用函数凹凸性质证明泛函分析中的重要不等式例1 ：证明不等式：.111,0,,=+>+<qp b a q b p a ab q p证明：令()ln ,(0)f x x x =>由于21()0f x x ''=-<，则()f x 在区间(0,)+∞上为凹函数，直线AB 的方程为)(ln ln ln 112121x x x x x x x y ---=- .取)1,0('),,()'1('2121∈∈-+=p x x x p x p x则212112121ln )'1(ln '))'1()1'((ln ln ln x p x p x p x p x x x x x y -+=-+---+=如取.111'1,1',,21qp p p p b x a x qp=-=-=== 由（4）式得 q p q p b qa pb q a p ln 1ln 1)11ln(+>+ .即11ln()ln p qa b ab p q+> 又因为x ln 在定义域上为严格增函数，所以有p qa b ab p q<+. 特别的，此不等式在泛函分析一些证明中经常用到，有时也会用它的积分形式：11()()|()||()|b b p b q a a a f x g x dx f x dx g x dx p q⎰≤⎰+⎰. 11(0,0,1,1,1)a b p q p q>>>>+=且例2： Holder 不等式设 11,0(1,2),1k k a b k n p q≥=+= ，若1p > 则11111()()nnnp q p q k kkk k k k a ba b ===≤∑∑∑证明：设(),(0,1)p f x x x p =>>由于()0f x ''>，故()f x 在区间(0,)+∞上是凸的；令11(0,1,0)nnk k k k k k k x x x λλλ===>=≥∑∑.由性质2得，詹森不等式成立：11()()n nk k k k k k f x f x λλ==≤∑∑. （8）对于0(1,2)k w k n ∀>= ，令1kk nkk w wλ==∑.代入（8）式得1111()()nnkkkk k k n nkkk k wx wf x f w w====≤∑∑∑∑. （9）把（9）式代入(),(0,1)pf x x x p =>>中可得1111()nnp k kk kp k k n n kkk k wx wx ww====≤∑∑∑∑ .即：1111()()()nnnp p pk kk k k k k k w x w w x -===≤∑∑∑. 将k w 换成1pp kb-，k x 换成1k p p ka b- 可得111111()()p p nnnp p p p k kkk k k k a ba b--===≤∑∑∑.令111p q+= 得 11111()()nnnp q p q k kkk k k k a ba b ===≤∑∑∑. （10）证毕.注意：在（10）式中，令2p q == 得112222111()()nnnk kkk k k k a ba b ===≤∑∑∑.这就是我们在数学分析中学的柯西不等式。
其实（10）式是Holder 不等式的离散形式，运用很广，好多复杂不等式就是通过它得到的；在泛函分析中我们通常用到它的积分（范数）形式来讨论和研究问题。
Holder 不等式的积分形式为： 设111,1p p q>+=，[,]p f L a b ∈，[,]q g L a b ∈，则有： |()()|||||||||bp q af tg t dt f g ≤⎰.例3 设0,0,a b a b >>≠，证明下列不等式：（1）当01p <<时，成立：12()p p p pa b a b -+<+. （2）当 1p > 时， 成立：12()p p p pa b a b -+>+.证明：设(),0pf x x x =>，由于12(),()(1)p p f x px f x p p x --'''==-（1） 当01p <<时，0x ∀>，则有()0f x ''<，有定理2知：()f x 在区间(0,)+∞上是凹的.则当0,0,a b a b >>≠时，有不等式（4）得 ()()()22a b f a f b f ++>. 即1()()22p pp a b a b +>+. 可写做 12()p p p p a b a b -+<+.（2） 当1p >，对于0x ∀>，则有()0f x ''>，有定理2知：()f x 在区间(0,)+∞上是凸的.则当0,0,a b a b >>≠时，有不等式（3）得 1()()22p pp a b a b +<+. 即12()p p p p a b a b -+>+. 证毕.注：利用函数凹凸性证明的此不等式在泛函分析中也有一定的用处. 例4 Minkowski 不等式设0,0,(1,2)k k a b k n >>= ，当1p >，成立不等式：111111[()]()()nnnp p p pp p k k kk k k k a b a b ===+≤∑∑∑.证明：由于11111()()()n n np p p k k k k k k k k k k k a b a a b b a b --===+=+++∑∑∑ （11） 例2中的Holder 不等式可得：11(1)1(1)111()()[(+)]p p nnnp p p pp pk k k k k k k k k a a b a a b ----===+≤∑∑∑ （12）11(1)1(1)111()()[(+)]p p n nnp p p pp pk k k k k k k k k b a b b a b ----===+≤∑∑∑ （13）把（12），（13）代入（11）式中得11(1)(1)111()()[(+)]p p n nnp pp pp pk k k k k k k k a b a a b ---===+≤∑∑∑11(1)(1)11()[(+)]p p nnp p pp pk k k k k b a b ---==+∑∑111111[()]()()nnnp p p pp p k k kk k k k a b a b ====+≤∑∑∑.证毕.特别的，以上不等式为Minkowski 不等式的离散形式，后来将其推广到积分（范数）形式：设1p ≥，,[,]p f g L a b ∈，则成立不等式||||||||||||p p p f g f g +≤+.总之Minkowski 不等式现已成为建立泛函分析中pL 空间的基本理论工具，在泛函分析学习过程中随处可见，其意义深远，影响广泛，而且在许多领域成为最常用的不等式.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析.第三版.高等教育出版社. [2]菲赫金哥尔茨.微积分学教程.第一卷第8版.高等教育出版社. [3]匡继昌.常用不等式.第三版.山东科学技术出版社.[4]程其襄等.实变函数与泛函分析基础.第二版. 高等教育出版社.。