布莱克-斯科尔斯-默顿方程推导
布莱克斯科尔斯模型计算公式
布莱克斯科尔斯模型计算公式【原创版】目录1.布莱克斯科尔斯模型简介2.布莱克斯科尔斯模型计算公式概述3.布莱克斯科尔斯模型计算公式详解4.布莱克斯科尔斯模型计算公式的应用实例5.总结正文【1.布莱克斯科尔斯模型简介】布莱克斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）是一种用于估算欧式期权价格的数学模型，由 Fisher Black 和 Myron Scholes 于 1973 年提出。
该模型基于假设：标的资产价格符合对数正态分布、市场无风险利率和波动率恒定等。
布莱克斯科尔斯模型为金融市场提供了一种较为准确的期权定价方法，被广泛应用于金融领域。
【2.布莱克斯科尔斯模型计算公式概述】布莱克斯科尔斯模型的计算公式较为复杂，包含多个变量和数学函数。
公式主要包括以下几个部分：标的资产价格、无风险利率、行权价格、到期时间、波动率和正态分布函数。
通过这些变量和函数的组合，可以计算出期权的理论价格。
【3.布莱克斯科尔斯模型计算公式详解】布莱克斯科尔斯模型的计算公式如下：C = S * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)P = X * e^(-r * T) * N(-d2) - S * N(-d1)其中，C 表示看涨期权的价格，P 表示看跌期权的价格，S 为标的资产价格，X 为行权价格，T 为到期时间，r 为无风险利率，e 为自然对数的底数，约等于 2.71828，N(d) 为正态分布函数，d1 和 d2 为中间变量，计算公式如下：d1 = (ln(S / X) + (r + σ^2 / 2) * T) / (σ * sqrt(T))d2 = d1 - σ * sqrt(T)其中，σ表示波动率，ln 表示自然对数函数。
【4.布莱克斯科尔斯模型计算公式的应用实例】假设某股票的当前价格为 100 元，行权价格为 105 元，无风险利率为 5%，波动率为 20%，到期时间为 1 年。
金融风险管理_南京大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
金融风险管理_南京大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.（风险类型的判断）一从业人员正在评估某资产管理公司现有的风险管理系统。
她被要求将以下事件与相应的风险类型相匹配。
请将每个编号的事件识别为市场风险、信用风险、操作风险或流动性风险。
Ⅰ利率之间并不完全相关，息差可能会随着时间的推移而变化，这导致三个月期美国国债与三个月期欧洲美元存款的对冲不完善。
Ⅱ期权卖方没有为履行合同所需的资源。
Ⅲ机构将无法以现行市场价格执行交易，因为交易对手暂时没有对该交易的兴趣。
Ⅳ交易者故意伪造交易资料参考答案:市场风险，信用风险，流动性风险，操作风险2.（久期和凸度性质）以下说法中不正确的是参考答案:风险控制策略思想是指调整资产权重，使得组合的久期和凸度同时为0 3.（平行移动）以下每一项债券风险指标都假设收益率曲线发生平行变化，除了：参考答案:关键利率久期4.（久期和凸度的计算）一个债券的价格为100，其修正久期D*为6，凸度C为268，假设市场利率Y提高20个基点，估计债券价格变化后为多少？参考答案:98.865.一个交易组合由两个债券组成，A和B两者的修正久期为3年，面值为1000美元，但A为零息债券，其当前价格为900美元，债券B支付年度息票并按票面价格计价。
如果无风险收益率曲线上升1个基点，你预计A 和B的市场价格会发生什么变化？参考答案:两种债券价格都将下跌，但债券B的损失将超过债券A6.（关键利率久期）关键利率变动1bp前、后，面值为100美元的30年期债券的价值如下初始价值2yearshift(变动后的价值)5yearshift(变动后的价值)10yearshift(变动后的价值)30yearshift(变动后的价值)25.1158425.1168125.1198425.1398425.0125430年期利率变动时，利率每变动1bp带来的美元价值变动Key Rate01为（）参考答案:0.10337.接第4题，关键利率修正久期为（）参考答案:41.12948.（再定价模型）假设某金融机构的利率敏感性资产和负债如下表所示：某金融机构的资产负债（单位：人民币万元）期限资产负债1天10302天-3个月50403个月-6个月70906个月-1年8570求该金融机构一年期的累计再定价缺口参考答案:-15万元9.接第7题，若短期利率上升2个百分点，那么未来1年净利息收入累计变动为参考答案:净利息收入减少3000元10.给定以下信息，A银行的流动性覆盖率是多少？①高质量流动资产：100美元②未来30天稳定现金流出量：130美元③未来30天现金净流出：90美元④可用稳定融资金额：210美元⑤各主要货币的高质量流动资产：75美元参考答案:111%11.接上题，你估计操作风险造成的预期损失是多少？参考答案:USD 70,25012.接上题，你估计损失强度的均值是多少？参考答案:USD 140,50013.你们银行的首席风险官让你负责操作风险管理。
期权定价公式的一般推导方法
(11)
这时方程 (7) 变为 :
1 2
a2
52 V 5u2
=
5V 5τ
(12)
边界条件为 :
·55 ·
V0 = e - B (0 ,uT)φ (euT) 而方程 (12) 即为标准的热传导方程 , 解为 (见 ⑥, p . 69)
V (τ, u) = 如果
1 2πτa
∞
∫e
-∞
-
B
(0
S)
= rf
(t , S)
(25)
其中 S = S ( t ) , 边界条件与 (23) 式相同 。方程 ( 25) 的推导过程可参见 ① (p . 288 -
289) 。在 (21) 式中 , 令 x = S , 取 a =σ, b = r - q , c = r , 则立即得到支付红利股票期权定
,u T)φ
(euT)
e-
(u -
u
)
T
2
2a2τ du T
φ (x) = max {0 , x - k}
其中 k 为常数 , 则 (14) 式变为
V (τ, u) 其中
=
1 2πτa
∞
∫e
-∞
-
B
(0
,u
)
T
max
{0 ,
euT -
k}
e-
(u -
u
)
T
2
2a2τ du T
=
1 2πτa
∞
率 r 加上单位时间商品的单位货币储存费用减去便利收益 。如果标的资产是金融资产 , 则α
就是无风险利率减去该资产的收益率 。由 Ito 引理 (见 ①, p . 262 , (10A. 9) 式)
全面风险管理
全面风险管理尽管面对不确定性的理性决策不是人类面临的新问题，[2]近期发生的一些事件有助于更新和提高人们对风险管理的兴趣。
特别是两个力量形成了这一趋势：金融技术的进步（衍生工具定价模型和电脑高效算法）和对新的独特金融工程产品日益增长的需求（也许是因为不断增强的市场波动性或者仅仅是因为全球金融体系不断增长的复杂性）。
这些力量与近年来发生的那些灾难——例如橘郡、吉布森贺卡公司、德国金属公司、宝洁公司和巴林证券事件产生耦合反应，极大地刺激了风险管理行业的发展。
目前的风险管理实践几乎完全聚焦于风险的统计方面。
例如，最常用到的风险管理工具VaR，在摩根大通（J.P.Morgen）的风险指标系统（Risk Metrics）中是这样定义的：VaR是估算在预先确定的置信区间中，一段时间内持有头寸可能的最大损失金额。
时间段可以是典型交易活动的一天或者投资组合的一个月或更久。
我们在文件中描述的方法采用了历史回报数据来预测波幅和相关系数，然后再用它们估算市场风险。
这些统计指标可用于金融机构、企业和机构投资者使用的各类资产类别的产品。
（摩根担保信托公司，1995，p.2）尽管VaR这类指标在量化风险敞口时起到了重要作用，它们只关注到风险管理难题中的一个方面——概率。
概率虽然是风险管理流程中的一个不可替代的输入，但是他们无法确定企业应该承担多大的风险，以及应该对冲多少风险。
在本文中，我提出，任何一个全面的风险管理协议可以称为“全面风险管理”（Total Risk Management，TRM），[3]此词借自质量管理理论，必须包含另外两个方面：价格和偏好。
这两个方面和概率一起组成3P，构成了在不确定世界进行系统性理性决策方法的基础。
这3个P是TRM的核心：价格考虑为对冲各种风险需付出什么代价；概率是评估这些风险发生的可能性；而偏好决定了承担和对冲多大风险。
尽管TRM是一个抓人眼球的时髦词汇，其实它早已在经济学、统计学和数学中建立了深厚基础，并且可以追溯到概率理论的基础研究（拉姆齐，1926），统计推断（萨维奇，1954），以及博弈论（冯·诺依曼，摩根斯特恩，1944）。
black-scholes-merton 公式
black-scholes-merton 公式Black-Scholes-Merton公式是一种用于计算欧式期权价格的数学模型，由费希尔·布莱克（Fischer Black）、默顿·斯科尔斯（Myron Scholes）和罗伯特·默顿（Robert C. Merton）于1973年共同发表。
这个公式基于一些基本假设，包括市场是完全有效的、不存在无风险套利机会、股票价格的随机波动是符合几何布朗运动等。
Black-Scholes-Merton公式可以有效地计算欧式期权的理论价格，同时提供了进行风险对冲的指导。
欧式期权是指只能在到期日（欧式期权只有一个到期日）行权的权利，行权价格和到期日都是已知的。
这个公式的一般形式如下：C = S_t × N(d1) - K × e^(-r(T-t)) × N(d2)其中，C是期权的价值（即期权的理论价格）；S_t是标的资产在t时刻的价格；K是期权的行权价格；r是无风险利率；T是期权的到期时间；t是当前时间，t < T；N(d1)和N(d2)是标准正态分布函数，d1和d2的计算公式如下：d1 = (ln(S_t/K) + (r + σ^2/2)(T-t)) / (σ√(T-t))d2 = d1 - σ√(T-t)其中，σ是标的资产年化波动率（即股价的标准差）。
Black-Scholes-Merton公式的准确性与其基本假设的适用性有关。
当这些假设不满足时，公式可能会低估或高估期权价格。
例如，如果市场不是有效的，存在无风险套利机会，或股价的波动性不符合几何布朗运动，那么该公式的应用就会有问题。
尽管如此，Black-Scholes-Merton公式仍然是金融学中一个非常重要的工具，对衍生品定价和交易策略的制定有很大帮助。
它为投资者和交易员提供了一个参考标准，用于评估期权价格的合理水平，并且为制定风险对冲策略提供了指导。
black-scholes 方程的简单推导
Risk-neutral pricing
Let us start by assuming that the correct way to value a call option is by discounting the expected option payoff at expiry, where the expectation is calculated in a risk-neutral world. We will also assume that log share prices follow a normal distribution with mean M and standard deviation √V; hence ln ST ~ N (M,V). Along the way we will define d2 to equal (M-ln(X)) / √V and use a standard normal random variable ZT ~ N (0,1).
The call has a value equal to the discounted expectation of it’s payoff, under the risk-neutral probability measure Q:
c = exp(-rT) EQ [ max (ST – X, 0) ]
The original Black-Scholes paper is littered with stochastic calculus and partial differential equations and, to my mind, this obscures the assumptions made about asset returns and, to a lesser extent, risk-neutrality. We’re going to provide an alternative derivation free from any mention of Ito’s lemma, integral signs and mathematical gobbledygook (such as add the exponents by using the trick known as completing the square). This alternative derivation highlights the key role played by the assumption that asset returns are lognormal and, in so doing, leads on to models that use higher moments such as skewness and kurtosis to reflect the volatility smile.
布莱克-斯科尔斯公式
布莱克-斯科尔斯公式摘要：1.布莱克- 斯科尔斯公式的定义和背景2.布莱克- 斯科尔斯公式的推导过程3.布莱克- 斯科尔斯公式的应用领域4.布莱克- 斯科尔斯公式在我国的发展和影响正文：【1.布莱克- 斯科尔斯公式的定义和背景】布莱克- 斯科尔斯公式，简称BS 公式，是由美国金融学家费舍尔·布莱克和迈克尔·斯科尔斯于1973 年提出的。
该公式主要用于估算欧式期权的理论价格，是现代金融学领域的一项重要成果。
在BS 公式提出之前，期权的定价问题一直是金融界的难题，BS 公式的诞生为金融市场带来了革命性的变革。
【2.布莱克- 斯科尔斯公式的推导过程】布莱克- 斯科尔斯公式的推导过程基于以下几个关键假设：1) 股票价格遵循几何布朗运动；2) 无风险利率为常数；3) 市场无摩擦，即不存在交易成本等影响。
在这些假设下，布莱克和斯科尔斯运用了随机微分方程和风险中性定价原理，最终得到了欧式期权价格的表达式。
【3.布莱克- 斯科尔斯公式的应用领域】布莱克- 斯科尔斯公式在金融领域的应用非常广泛，主要体现在以下几个方面：1) 期权定价：BS 公式为金融机构提供了一种科学、有效的期权定价方法，有助于降低交易成本和风险。
2) 风险管理：BS 公式为投资者提供了一种衡量期权风险的工具，有助于优化投资组合。
3) 金融产品创新：BS 公式为金融市场带来了丰富的衍生品交易，如期权、期货等，为投资者提供了更多的投资机会。
【4.布莱克- 斯科尔斯公式在我国的发展和影响】自20 世纪90 年代以来，我国金融市场取得了快速发展。
布莱克- 斯科尔斯公式在我国也得到了广泛应用，为我国金融市场的繁荣和稳定做出了贡献。
一方面，我国金融机构运用BS 公式进行期权定价和风险管理，提高了金融服务水平；另一方面，我国政府借鉴BS 公式的原则，加强金融市场监管，保障金融市场安全。
BS模型及违约距模型公式
BS模型及违约距模型公式BS模型是迄今为止应用较广且较为成熟的股票定价模型之一，其全名为Black-Scholes-Merton模型，是由费雪-布莱克、默顿-斯科尔斯共同独立发现并推导的，能够用来计算欧式期权（European Option）的理论价格。
BS模型最初应用于股票期权的定价和交易策略，但后来也被广泛应用于其他金融工具的定价和风险管理中。
根据BS模型，欧式期权的理论价格由五个变量决定：标的资产价格（S），行权价格（K），无风险利率（r），标的资产的波动率（σ），以及期权到期时间（t）。
BS模型将期权定价问题转化为一个偏微分方程求解问题，该方程即为著名的Black-Scholes方程，表达式如下：$\frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} + \frac{\partial V}{\partial t}- rV = 0$其中，V为期权的价格。
由于BS模型是个复杂的非线性偏微分方程，并且具有封闭解的限制，因此通常采用数值方法，如有限差分法或蒙特卡洛模拟等，来求解BS方程并计算期权的理论价格。
违约距模型（Distance-to-Default Model）是一种衡量公司违约风险的模型，用于评估公司违约可能性和违约损失的大小。
违约距（distance-to-default）指的是公司当前净资产价值与其违约边界之间的差距。
当违约距小于等于0时，该公司被认为处于违约状态。
违约距模型的公式可以有多种形式，根据不同的内含假设和数据可获得不同的模型。
其中，常见的一种违约距模型公式是基于Merton模型（也称为公司债务默认模型）的基础上建立的。
该模型首次由Robert Merton于1974年提出，主要基于了股票价格和债券价格之间的关系。
Merton模型假设公司负债不可调整，公司价值遵循几何布朗运动的随机过程，违约发生的条件是公司资产价值（V）首次小于债务偿付额（F）。
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Sdz dt dS σμ+=
假定f 为关于S 的看涨期权，或者其他依赖于S 的衍生产品价格。
变量f 必须是S 和t 的函数。
Sdz S f
dt S S f
dt t f
Sdt s f df σσμ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=2222
21
得到离散形式：
z S t S ∆+∆=∆σμ（1）
z
S S f t S S f
t t f
t S S f
f ∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=∆σσμ2222
21（2） 式中S ∆与f ∆为S 和f 在一个短时间区间t ∆内的变化量
适当的股票及期权证券组合为：
-1——衍生产品； +S f
∂∂——股票。
以上证券组合含有一个衍生证券的短头寸，以及S f
∂∂数量的股票。
定义∏为证券组合的价值，有定义：
S S f
f ∂∂+=∏-
证券组合的价格在t ∆时间区间内的变化由下式给出：
S S f
f ∆∂∂+∆=∆∏-（3）
将（1）、（2）代入（3）
t S S f
t t f ∆∂∂-∆∂∂=∆∏2
222
21-σ（4）
因为式（4）的右端不含z ∆项，证券组合在t ∆时间内一定是无风险的。
意味证券组合必须获取与其他短期无风险证券相同的瞬时收益率。
因此
t ∏∆=∆∏r （5）
将式（3）（4）代入式（5）得出：
rf
S S f Sr S f t f t S S f f r t S S f t t f =∂∂+∂∂+∂∂⇒∆∂∂-=∆∂∂+∆∂∂2
2222222
21)(21σσ（
6）（μ=r ）
式（6）就是布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程。
欧式看涨期权的关键边界条件：)0,max(K S f -=，当t=T 时
例子：无股息股票的远期合约是一种依赖于该股票的衍生产品，因此，其价格应满足式（6）。
在t 时刻的远期合约价值与股票价格S 之间关系满足
)(K -t T r e S f --=
式中K 为支付价格。
这意味着
)(-rK t T r e t f
--=∂∂，1=∂∂S f ，022=∂∂S f
代入（6）的左端，得出
rS e rf t T r +=--)(-rK。