数列知识点归纳及习题总结

等差与等比数列知识与方法总结一、知识结构与要点

N

2

c

a

b

+ =

定义:

n

n n n n n a a

a a q a a 1121+++-=→= N n ∈ 通项 →?=-11n n q a a 等比中项：a

b

c 成等比数列ac b =?2

基本概念

推广m n m n q a a -?=

前n 项和=n S )

1(11)1()

1(11

1≠--=--=q q

q

a a q

q a q n a n n 等比数列

与首末两端等距离的两项之积相等 1121......+--?===i n i n n a a a a a a q p n m a a a a q p n m ?=??+=+

}{n a 成等比，若k n n n ,...,21 成等差则nk n a a a ,...,21

成等比

基本性质 当

1

01>>q a 或

1

001<<

当

1

01>

1

001<<>q a 时 {}n a 为递减数列

当 q<0时 {}n a 为摆动数列 当 q=1时 {}n a 为常数数列

二、等差数列、等比数列基础知识与方法概括 （一）．一般数列

数列的定义及表示方法；数列的项与项数；有穷数列与无穷数列；递增（减）、摆动、循环数列；数列{a n }的通项公式a n ；数列的前n 项和公式S n ；

一般数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：??

?≥-===-)2()

1(111n S S n S a a n n

n

（二）等差数列

1．等差数列的概念

[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。 即：成等比数列}{)0,0,2(1n n n n a q a n d a a ?≠≠≥=--

2．等差数列的判定方法

（1）定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。 （2）等差中项法：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。 3．等差数列的通项公式

如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。 [说明]：该公式整理后是关于n 的一次函数。 4．等差数列的前n 项和 （1）．2)(1n n a a n S +=

（ 2.） d n n na S n 2

)

1(1-+

= [说明]对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。

5．等差中项

如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。即：2

b

a A +=

或b a A +=2 [说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 6．等差数列的性质

（1）．等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=

（2）.对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+。

也就是：ΛΛ=+=+=+--23121n n n

a a a a a a ，如图所示：444484444764443

44421Λn

n a a n a a n n a a a a a a ++---11

2,,,,,,12321

（3）．若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，

k k S S -2，k k S S 23-成等差数列。如下图所示：

444444444448

4444444444476443

4421Λ4434421Λ444344421Λk k

k k

k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k

31221S 321-+-+++++++++++ （4）．设数列{}n a 是等差数列，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和，则有如下性质：①奇数项d a a a 2,,,531成等差数列，公差为? ②偶数项d a a a 2,,,642成等差数列，公差为?

③)1()1(2

1211

21+?=+?+=+++n a n a a S n n n 奇项，则若有奇数项 n a n a a S n n

?=?+=

+1222

偶所以有?

??==-?

+=+?=+++中偶奇中偶奇a a S S a n n a S S n n 11)12()12(

n n 1

S S +=偶奇；12S S S S S S S n +=-+=-n 偶

奇偶奇偶奇 n n a n n a a S n ?=?+=

-221

21奇项，则若有偶数项 122

2

+?=?+=n n

a n n a a S 偶 所以有()()()nd a a a a a a S S n n =-+?+-+-=--1223412奇偶

（5）．若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}n b 的前12-n 项的和为

'12-n S ，则

'

1

2

1

2--=n n n n S S b a 。 （三）．等比数列 1．等比数列的概念 [定义]：

成等比数列}{)0,0,2(1

n n n n

a q a n q a a ?≠≠≥=- [等比中项]

如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。也就是，如果是的等比中项，那么G

b a G =，即ab G =2

。

2．等比数列的判定方法 （1）定义法：对于数列{}n a ，若

)0(1

≠=+q q a a n

n ，则数列{}n a 是等比数列。 （2）等比中项：对于数列{}n a ，若2

12++=n n n a a a )0(≠n a ，则数列{}n a 是等比数列。

3.等比数列的通项公式

如果等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则等比数列的通项为1

1-=n n q a a 。

4.等比数列的前n 项和

??

?

??

≠--=--==)1(11)1()1(111q q q

a a q q a q na S n n n 5.等比数列的性质

（1）等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且

n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -=

（2）.对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ?=?

也就是：Λ

Λ=?=?=?--23121n n n a a a a a a 。如图所示：444484444764443

44421Λn

n a a n a a n n a a a a a a ??---11

2,,,,,,12321

（3）若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成

等比数列。如下图所示：

4444444444484444444444476443

4421Λ4434421Λ444344421Λk k

k k

k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k

31221S 321-+-+++++++++++ 三、数列的通项求法

1.等差，等比数列的通项；

2.???≥-==→-)2(,)

1(,11n S S n a a S n n

n n

3.迭加累加 ，迭乘累乘

)2(),(1

≥=--n n f a a n n 若， )(1

n g a a n n

=-若

)2(12f a a =-则， )2(12

g a a =则

)3(23f a a =-， )3(23g a a

=

………， ………，

)(1n f a a n n =--，

)(1n g a a n n

=- )()3()2(1n f f f a a n ?++=-， )()2(1

n g g a a

n ?=

注：呢？若)(),(1

1n g a a n f a a n

n n n ==-++ 4. 数列间的关系

(1){}{}成等比数列成等差数列n

a n b

a ?

{}Bn An S B An a a n n n +=?+=?2

成等差数列 (2){}{}

成等比数列成等比数列k

n n a a ?

{}{}成等差数列成等比数列n b a n a a n log 0

?>

（3）递推数列]

①能根据递推公式写出数列的前n 项

②由n n n n S a a S f ,,0),(求= 解题思路：利用??

?

≥-==-)2(,)

1(,11n S S n a a n n n

变化（ⅰ）已知0),(11=--n n a S f （ⅱ）已知0),(1=--n n n S S S f

③若一阶线性递归数列a n =ka n －1+b （k ≠0,k ≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式:)1

(11-+=-+-k b a k k b a n n (n ≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；

四、数列的求和方法（详细讲解见六） 1.等差与等比数列求和公式

2.裂项相消法： )1

1(1))((1C

An B An B C C An B An a n +-+-=++=

如：a n =1/n(n+1)

3.错位相减法：n n n c b a ?=, {}{}成等比数列成等差数列，

n n c b n n n n n c b c b c b c b S ++?++=--112211 1121+-++??+=n n n n n c b c b c b qS 则

所以有13211)()1(+-??+++=-n n n n c b d c c c c b S q 如：a n =(2n-1)2n

4.倒序相加法：如已知函数1()()42x f x x R =

∈+求：12()()()m

m S f f f m m m

=+++L 。 5.通项分解法：n n n c b a ±=如：a n =2n+3n 五、其它方面

1、在等差数列{}n a 中,有关S n 的最值问题——常用邻项变号法求解：

(1)当01>a ,d<0时，满足???≤≥+0

1m m a a 的项数m 使得

取最大值.

(2)当01>a ,d>0时，满足??

?≥≤+0

1m m a a 的项数m 使得

取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

2、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d ；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d

3、三个数成等比的设法：a/q,a,aq ；

四个数成等比的错误设法：a/q 3,a/q,aq,aq 3 (为什么？) 4、求数列{a n }的最大、最小项的方法：

① a n+1-a n =……???

??<=>000 如a n = -2n 2+29n-3

② ??

?

??<=>=+1

11

1Λn n a a (a n >0) 如a n =n n n 10)1(9+ ③ a n =f(n) 研究函数f(n)的增减性 如a n =156

2+n n

六、专题讲座一 《数列求和题的基本思路和常用方法》

一、利用常用求和公式求和

1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)

1(11)1()1(111

q q q a a q

q a q na S n n

n

3、 )1(211+==∑=n n k S n

k n 4、)12)(1(611

2

++==∑=n n n k S n

k n

5、 21

3

)]1(2

1

[+==∑=n n k

S n k n

[例1] 已知数列{},n n n a a x =，

（x ≠0），n s 数列的前n 项和，求n s 。 解：当x=1时，n s n = 当x ≠1时，{}n

a 为等比数列，公比为x

由等比数列求和公式得 n

n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）

＝x

x x n --1)

1(

【巩固练习】1：已知数列{}n a 的通项公式为314n a n =-，n s 为{}n a 的前n 项和，

（1）求n s ； （2）求{}

n a 的前20项和。

解：

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.

[例2] 求和：1

32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………（0x ≠）

当x=1时，2312

1315171(21)1135(21)n n S n n n -=+?+?+?+???+-?=++++-=L

当x ≠1时， 1

32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………. ①

两边同乘以x 得n xS = 231135(23)(21)n n

x x x n x n x -+++???+-+-… ② （设制错

位）

①－②得 n

n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1

----?

+=-- ∴ 2

1)

1()

1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+

【巩固练习】2：求数列??????,22,,26,24,

2232n

n

前n 项的和. 解：由题可知，{

n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积 设n n n

S 2

226242232+???+++=…………………………………①

1

2

n S = 231242(1)22222n n n n +-++???+

+……………② （设制错位） ①－②得14322

22222222222)211(+-+???++++=-n n n n

S （错位相减）

1122212+---=n n n

∴ 12

2

4-+-=n n n S

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.

[例3] 求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++

证明： 设n

n n n n n C n C C C S )12(53210++???+++=………………………….. ①

把①式右边倒转过来得

113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=- （反序）

又由m

n n m n C C -=可得

n

n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=-1103)12()12(…………..…….. ② ①+②得 n

n n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110?+=++???+++=- （反

序相加）

∴ n

n n S 2)1(?+=

【巩固练习】3：求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值

解：设ο

οοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++=S …………. ①

将①式右边反序得

ο

οοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++???++=S ……② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 2

2

=+-=x x x x ο

①+②得 （反序相加）

)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222οοοοοο++???++++=S ＝89

∴ S ＝44.5

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.形如：{}n n a b ±的形式，其中{ a n }、

{ b n }是等差数列、等比数列或常见的数列. [例4] 求数列的前n 项和：231

,,71,41,

1112-+???+++-n a a a n ，… 解：设)231

()71()41()11(12-++???++++++=-n a

a a S n n

将其每一项拆开再重新组合得

)23741()1

111(12-+???+++++???+++

=-n a

a a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(n

n + （分组求和）

当1≠a 时，2)13(1111n n a

a S n

n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- 【巩固练习】4：求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.

解：设k k k k k k a k ++=++=2

332)12)(1(

∴ ∑=++=

n k n k k k S 1

)12)(1(＝)32(23

1

k k k

n

k ++∑=

将其每一项拆开再重新组合得

S n ＝k k k n

k n k n

k ∑∑∑

===++1

2

1

3

132

（分组）

＝)21()21(3)21(22

2

2

3

3

3

n n n +???++++???++++???++

＝2)

1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2

)

2()1(2++n n n

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）)()1(n f n f a n -+= （2）οοο

οο

n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）1

1

1)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=

n n n n n a n