高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 . 命题及其关系、充分条件与必要条件练习 理-课件
第一章集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件练习理[A组·基础达标练]1．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b答案 D解析命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题为“若|a|＝|b|，则a＝－b”，故选D.2．[2015·洛阳二练]已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2,4}，则“m＝3”是“A∩B＝{4}”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析A∩B＝{4}⇒m2＋1＝4⇒m＝±3，故“m＝3”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．3．[2015·马鞍山一模]已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3答案 A解析否命题是原命题的条件和结论同时否定，故选A.4．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋b i)2＝2i”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析当a＝b＝1时，(a＋b i)2＝(1＋i)2＝2i；若(a＋b i)2＝a2－b2＋2ab i＝2i，则a2－b2＝0,2ab＝2，解得a＝1，b＝1或a＝－1，b＝－1，故“a＝b＝1”是“(a＋b i)2＝2i”的充分不必要条件，故选A.5．[2014·陕西高考]原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假答案 B解析原命题正确，所以逆否命题正确，模相等的两复数不一定互为共轭复数，同时因为逆命题与否命题互为逆否命题，所以逆命题和否命题错误．故选B.6．[2015·沈阳一模]“x <0”是“ln (x ＋1)<0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 设命题p ：x <0，命题q ：ln (x ＋1)<0，由对数函数的定义域和对数函数的单调性可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0x ＋1<1，所以－1<x <0，即命题q 为－1<x <0.可知命题q ⇒p ，而p ⇒/ q .所以p 是q的必要不充分条件，所以选B.7．[2016·青岛模拟]已知直线m 、n 和平面α，在下列给定的四个结论中，m ∥n 的一个必要但不充分条件是( )A ．m ∥α，n ∥αB ．m ⊥α，n ⊥αC ．m ∥α，n ⊂αD ．m 、n 与α所成的角相等答案 D解析 m ∥n ⇒m ，n 与α所成的角相等，反之m ，n 与α所成的角相等不一定推出m ∥n . 8．[2016·贵州七校联考]以下四个命题中，真命题的个数是( ) ①“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题． ②存在正实数a ，b ，使得lg (a ＋b )＝lg a ＋lg b .③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”． ④在△ABC 中，A <B 是sin A <sin B 的充分不必要条件． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析 ①原命题的逆命题为：若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2，而a ＝2，b ＝－2满足条件a ，b 中至少有一个不小于1，但此时a ＋b ＝0，故是假命题；②根据对数的运算性质，知当a ＝b ＝2时，lg (a ＋b )＝lg a ＋lg b ，故是真命题；③“所有奇数都是素数”的否定为“至少有一个奇数不是素数”，③是真命题；④根据题意，结合边角的转换，以及正弦定理，可知A <B ⇔a <b (a ，b 为角A ，B 所对的边)⇔2R sin A <2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔sin A <sin B ，故可知A <B 是sin A <sin B 的充要条件，故是假命题．选C.9．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 解法一：(特殊值法)：由q >1不能推出{a n }是递增数列，如数列－2，－4，－8，－16，…；由{a n }是递增数列也不能推出公比q >1，如数列－16，－8，－4，－2，…. 故“q >1”是“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件．解法二：当数列{a n }的首项a 1<0时，若q >1，则数列{a n }是递减数列；当数列{a n }的首项a 1<0时，要使数列{a n }为递增数列，则0<q <1，所以“q >1”是“数列{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选D.10．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1<0，B ＝{x |(x －b )2<a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则b 的取值范围是________．答案 (－2,2)解析 由A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1<0＝{x |(x －1)·(x ＋1)<0}＝{x |－1<x <1}，当a ＝1时，B ＝{x |(x －b )2<1}＝{x |b －1<x <b ＋1}，此时，A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1>－1，b －1<1，解得－2<b <2.11．[2015·衡水二模]下列四个结论：①命题“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”的逆否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”；②若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题；③若命题p ：∃x 0∈R ，使得x 20＋2x 0＋3<0，则綈p ：∀x ∈R ，都有x 2＋2x ＋3≥0；④设a ，b 为两个非零向量，则“a ·b ＝|a |·|b |”是“a 与b 共线”的充分必要条件．其中正确结论的序号是________．答案 ①③解析 易知①③正确；p ∧q 为假命题等价于p 、q 中至少有一个为假命题，故②是错误的；对于④，若a ·b ＝|a |·|b |，则a 与b 方向相同，若a 与b 共线，则a 与b 方向相同或相反，不一定有a ·b ＝|a |·|b |，故④是错误的．12．已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．解 因为mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，所以m ≠0.又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都要有实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16 1－m ≥0，Δ2＝16m 2－4 4m 2－4m －5 ≥0，解得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.因为两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m ∈Z ，4m ∈Z ，4m 2－4m －5∈Z .所以m 为4的约数．又因为m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1，所以m ＝－1或1.当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数； 而当m ＝1时，两方程的根均为整数， 所以两方程的根都是整数的充要条件是m ＝1.[B 组·能力提升练]1．[2016·河南八校联考]设p ：f (x )＝x 3－2x 2－mx ＋1在(－∞，＋∞)上单调递增；q ：m <－43，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．以上都不对答案 C解析 由题意知，f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x 2－4x －m ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴m ≤3x 2－4x 在(－∞，＋∞)上恒成立．由于3x 2－4x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232－43≥－43，∴m ≤－43，即p ：m ≤－43.又q ：m <－43，∴p ⇒/ q ，但q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．2．[2015·南昌一模]给出下列命题：①若(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝32； ②若α，β，γ是三个不同的平面，则“γ⊥α，γ⊥β”是“α∥β”的充分条件； ③已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝79.其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B解析 对于①，由(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5得a 1<0，a 2>0，a 3<0，a 4>0，a 5<0，取x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝(1＋1)5＝25，再取x ＝0，得a 0＝(1－0)5＝1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝31，所以①不正确；对于②，在如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，令平面ABB 1A 1、平面ADD 1A 1、平面ABCD 分别为α，β，γ，因为平面ABB 1A 1⊥平面ABCD ，平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ，但平面ABB 1A 1与平面ADD 1A 1不平行，所以②不正确；对于③，因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79，所以③正确．3．[2015·长沙模拟]r (x )：已知r (x )＝sin x ＋cos x >m ；s (x )：x 2＋mx ＋1>0.如果∀x ∈R ，r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，－2]∪[－2，2)解析 由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，得sin x ＋cos x 的最小值为－ 2.若∀x ∈R 时，命题r (x )为真命题，则m <－ 2.若命题s (x )为真命题，即∀x ∈R ，不等式x 2＋mx ＋1>0恒成立，则Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2.若命题r (x )为真命题，命题s (x )为假命题，则m ≤－2；若命题r (x )为假命题，命题s (x )为真命题，则－2≤m <2.综上所述，实数m 的取值范围是(－∞，－2]∪[－2，2)．4．已知(x ＋1)(2－x )≥0的解为条件p ，关于x 的不等式x 2＋mx －2m 2－3m －1<0⎝ ⎛⎭⎪⎫m >－23的解为条件q .(1)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围； (2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 解 设条件p 的解集为集合A ， 则A ＝{x |－1≤x ≤2}，设条件q 的解集为集合B ，则B ＝{x |－2m －1<x <m ＋1}． (1)若p 是q 的充分不必要条件，则A 是B 的真子集，故有⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1>2，－2m －1<－1，m >－23，解得m >1.(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则B 是A 的真子集，故有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2，－2m －1≥－1，m >－23m ＋1＝2和－2m －1＝－1等号不能同时取得，解得－23<m ≤0.。
高考数学一轮复习 第1章 集合与常用逻辑用语 第1讲 命题及其关系、充分条件与必要条件课件 文
符号语言 A＝B
Venn 图
子集的个数：若集合 A 中有 n 个元素，则 A 所包含的子集个 数为 2n 个，真子集有 2n－1 个．
12/11/2021
第六页，共四十二页。
3．集合的基本运算 定义
符号语言
由所有属于集合 A 或属于 并集
集合 B 的元素组成的集合 由属于集合 A 且属于集合 交集 B 的所有元素组成的集合 由全集 U 中_不__属__于__集合 补集 A 的所有元素组成的集合
12/11/2021
第一页，共四十二页。
第一章 集合与常用(chánɡ yònɡ)逻辑用
语
第1讲 集合的概念(gàiniàn)与运算
12/11/2021
第二页，共四十二页。
1．集合与元素 (1)集合元素的三个特性：_确__定__性__、_互__异__性__、_无__序__性__． (2)元素与集合的关系有属于、不属于两种，分别用符号_∈__、 _∉__表示． (3)集合的表示法：_列__举__法__、描述法、图示法．
12/11/2021
第三十二页，共四十二页。
解决与集合有关的新定义问题时，首先，要分析新定义的特点 和本质，认清新定义对集合元素的要求，结合题目要求进行转 化，并将其运用到具体的解题过程中；其次，要充分应用集合 的有关性质及一些特殊方法(如特值法、排除法、数形结合法 等)，将新定义问题转化到已学的知识中进行求解．
第十六页，共四十二页。
考点二 集合与集合间的关系 (1)已知集合 A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，则下列
结论正确的是( )
A．A＝B
B．A∩B＝∅
C．A⊆B
D．B⊆A
(2)已知集合 A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|x<a}，若 A⊆B，则实数 a
高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 12 命题及其关系、充分条件与必要条件课件 文
12/11/2021
第十页，共七十四页。
[小题速练] 1．(2017·河北衡水武邑中学考试)命题“若 f(x)是奇函数，则 f(－x)是奇函数”的否命题是( ) A．若 f(x)是偶函数，则 f(－x)是偶函数 B．若 f(x)不是奇函数，则 f(－x)不是奇函数 C．若 f(－x)是奇函数，则 f(x)是奇函数 D．若 f(－x)是奇函数，则 f(x)不是奇函数
第
一
集合与常用逻辑用语
章
12/11/2021
第一页，共七十四页。
第二节
命题及其关系、充分条件与必要条件
12/11/2021
第二页，共七十四页。
高考概览 1.理解命题的概念；2.了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆 命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；3.理解 充分条件、必要条件与充要条件的含义.
12/11/2021
第八页，共七十四页。
[温馨提示] 书写否命题的两种错误： (1)命题的否定与否命题容易混淆，如命题“四边形的内角和 是 360°”的否命题是 若一个多边形不是四边形，则它的内角和不是 360°，命题的否定
是 四边形的内角和不是 360°，即若 p，则綈 q.(2)只注意形式
上的否定，忽视隐含条件导致错误，如命题“若 的否命题是 若 x<2，则x－1 1<1 或 x＝1
[跟踪演练] 1．(2018·河北衡水二中模拟)命题“若 x，y 都是偶数，则 x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( ) A．若 x＋y 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数 B．若 x＋y 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数 C．若 x＋y 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数 D．若 x＋y 不是偶数，则 x 与 y 都不是偶数
18高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第二节命题及其关系、充分条件与必要条件课件文
解析：①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命 题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命 题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命 题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为 真命题；④若ab是正整数，但a，b不一定都是正整数， 例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题． 答案：①③
[由题悟法]
充要条件的3种判断方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断； (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进 行判断； (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把 判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以 否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条 件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．
[小题纠偏]
1．设a，b均为非零向量，则“a∥b”是“a与b的方向相 同”的________条件．
答案：必要不充分 2．“在△ABC中，若∠C＝90° ，则∠A，∠B都是锐角”
的否命题为：________________．
解析：原命题的条件：在△ABC 中，∠C＝90° ， 结论：∠A，∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论．
2．(2017· 衡阳联考)设p：x2－x－20>0，q：log2(x－5)<2，则p 是q的 A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ( )
解析：∵x2－x－20>0，∴x>5或x<－4，∴p：x>5或x< －4．∵log2(x－5)<2，∴0<x－5<4，即5<x<9，∴q： 5<x<9，∵{x|5<x<9} {x|x>5或x<－4}，∴p是q的必要不 充分条件．故选B． 答案：B
高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第2讲命题
• 一
四种命题及其相互关系
• 四种命题关系间的处理策略 • (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意： • ①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写； • ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．
• (2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题
是假命题，只需举出反例． • (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真 同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化 为判断其等价命题的真假．
第一章
集合与常用逻辑用语
第 2讲 命题及概念．
考情分析 2017·全国卷Ⅰ，3
命题趋势 1.判断命题的真假． 2．写出一个命题的逆命题、否 命题、逆否命题等． 3．常以函数、不等式等其他知 识为载体，考查一个命题是 另一个命题的什么条件． 4．考题多以选择题、填空题形
• • • • • • •
4．用集合关系判断充分条件、必要条件 以p：x∈A，q：x∈B的形式出现． (1)若p是q的充分条件，则A________ B. ⊆ ⊆ (2)若p是q的必要条件，则B________ A. (3)若p是q的充分不必要条件，则A________B. (4)若p是q的必要不充分条件，则B________A. ＝ (5)若p是q的充要条件，则A________ B.
• • • •
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)语句x2－3x＋2＝0是命题．( × ) (2)一个命题的逆命题与否命题，它们的真假没有关系．(× ) (3)命题“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成 立”． ( √ ) • (4)“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”表达的意 义相同．( ×)
• 2．四种命题及其相互关系 • (1)四种命题间的相互关系 若q，则p • 若原命题为：若p则q，则逆命题为____________ ，否命题为 若¬ p，则¬ q 若¬ q，则¬ p ____________ ，逆否命题为______________. • (2)四种命题的真假关系 相同 • 两个命题互为逆否命题，它们有_________ 的真假性； • 两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性_________.
高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语1.2命题及其关系充分条件与必要条件习题课件文
1|<a 的必要条件是|x＋1|<b(a，b>0)，则 a，b 之间的关系是
()
A．b≥a2
B．b<a2
C．a≤b2
D．a>b2
解析 ∵f(x)＝2x＋3，且|f(x)－1|<a， ∴|2x＋2|<a.∴－a<2x＋2<a， ∴－22－a<x<－22＋a. ∵|x＋1|<b，∴－b<x＋1<b， ∴－b－1<x<b－1. ∵|f(x)－1|<a 的必要条件是|x＋1|<b(a，b>0)，
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 设命题 a：“若 p，则 q”，可知命题 a 是祖暅 原理的逆否命题，则 a 是真命题．故 p 是 q 的充分条件．设 命题 b：“若 q，则 p”，若 A 比 B 在某些等高处的截面积 小一些，在另一些等高处的截面积大一些，且大的总量与小 的总量相抵，则它们的体积还是一样的．所以命题 b 是假命 题， 即 p 不是 q 的必要条件．综上所述，p 是 q 的充分不 必要条件．故选 A.
16 ． (2017·江 苏 兴 化 月 考 ) 已 知 命 题 ： “ ∃ x∈ {x|－ 1<x<1}，使等式 x2－x－m＝0 成立”是真命题．
(1)求实数 m 的取值集合 M； (2)设不等式(x－a)(x＋a－2)<0 的解集为 N，若 x∈N 是 x∈M 的必要条件，求实数 a 的取值范围．
解析 易得 B＝{x|x≤1 或 x≥2}，且 A＝{x|a－1<x<a ＋1}，由 p 是 q 的充分条件，可知 A⊆B，故 a＋1≤1 或 a －1≥2，即 a≤0 或 a≥3.
高考第一轮复习第二讲命题及其关系、充分条件与必要条件
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
第一章 集合与常用逻辑用语
1．命题
用 语言、符号 、式子 叫做命题，其中判断为真 的语句叫做假命题．
表达的，可以判断语真句假的 的陈述句叫判做断真为命假题，
第一章 集合与常用逻辑用语
2．四种命题及其关系 (1)四种命题
命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题
第一章 集合与常用逻辑用语
1．下列语句是命题的是( )
①求证x是无理数；
②x2＋4x＋4≥0；
③你是高一的学生吗？
④一个正数不是素数就是合数；
⑤若x∈R，则x2＋4x＋7＞0.
A．①②③
B．②③④
C．②④⑤
D．③④⑤
【答案】 C
第一章 集合与常用逻辑用语
2．命题“若x2≥1，则x≥1或x≤－1”的逆否命题是( ) A．若x2＜1，则－1＜x＜1 B．若x≥1或x≤－1，则x2≥1 C．若－1≤x≤1，则x2≤1 D．若－1＜x＜1则x2＜1 【答案】 D
表述形式 若p则q 若q则p
若綈p则綈q 若綈q则綈p
第一章 集合与常用逻辑用语 (2)四种命题间的相互关系
(3)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同 的真假性； ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假 性 不确定 ．
第一章 集合与常用逻辑用语
3．充分条件与必要条件 (1)“若p，则q”为真命题，记p⇒q，则 p是q成立的充分 条件， q是p成立 的必要条件． (2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作：p⇔q， 则 p是q成立 的充要条件，q也是p成立的 充要条件 ．
第一章 集合与常用逻辑用语
(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等 高．真命题．
命题及其关系、充分条件与必要条件课件-高三数学一轮复习
［提醒］ 写一个命题的其他三种命题时，需注意： (1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写； (2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．
返回
考点二 充分必要条件的判定
讲练型
(1)(2021·北京高考)设函数 f(x)的定义域为［0，1］，则“函数 f(x)
在［0，1］上单调递增”是“函数 f(x)在［0，1］上的最大值为 f(1)”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
∴1＋m≤10， 1－m≤1＋m，
解得0≤m≤3， 故0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件． 答案： (1)C (2)［0，3］
返回
根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后 根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解； (2)要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解 参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不 当容易出现漏解或增解的现象．
答案： (1)A (2)B
返回
充分、必要条件的判断方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”，“若q，则p”的真假． (2)集合法：若A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的充分条件或“x∈B”是 “x∈A”的必要条件；若A＝B，则“x∈A”是“x∈B”的充要条件． (3)等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔ 非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． ［提醒］ 正确理解“p的一个充分不必要条件是q”应是“q推出p，而 p不能推出q”．
3.理解充分条件、必要条件与充要 及充分、必要条件的判断考查逻辑
条件的含义．
推理的核心素养．
(旧教材适用)2023高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系充分条件与必要条件
第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以□01判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是□02真命题，判断为假的语句是□03假命题．2．四种命题及其关系3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的□08充分条件，q是p的□09必要条件p是q的□10充分不必要条件p⇒q且q⇒/pp是q的□11必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的□12充要条件p⇔qp是q的□13既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．2．两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．(2)若p是q的充分不必要条件，则¬q是¬p的充分不必要条件．4．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B ，则p 是q 的必要不充分条件；(6)若A ⊆/ B 且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．1．若集合A ＝{2，4}，B ＝{1，m 2}，则“A ∩B ＝{4}”是“m ＝2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 当m ＝2时，有A ∩B ＝{4}；若A ∩B ＝{4}，则m 2＝4，解得m ＝±2，不能推出m B. 2．(2021·吉林长春高三监测(三))已知直线a ，b 与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是( )A ．α⊥γ，β⊥γB ．α∩β＝a ，b ⊥a ，b ⊂βC ．a ∥α，a ∥βD ．a ∥α，a ⊥β 答案 D解析 a ∥α，过直线a 作平面与α交于直线b ，∴a ∥b ，又a ⊥β，∴b ⊥β，又b ⊂α，∴α⊥β.故选D.3．有下列几个命题：①“若a >b ，则1a >1b”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题． 其中真命题的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③答案 C解析 ①原命题的否命题为“若a ≤b ，则1a ≤1b”，假命题；②原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题；③原命题为真命题，故其逆否命题为真命题．所以真命题的序号是②③.4．(2021·河南重点中学高三联考)“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 当x ＝2k π＋π4(k ∈Z )时，tan x ＝1，即充分性成立；当tan x ＝1时，x ＝2k π＋π4(k ∈Z )或x ＝2k π＋5π4(k ∈Z )，即必要性不成立．综上可得，“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”的充分不必要条件．故选A.5．“若x ，y ∈R ，x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0”的否命题是 ．答案 若x ，y ∈R ，x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0解析 根据命题“若p ，则q ”的否命题为“若¬p ，则¬q ”，其原命题的否命题是“若x ，y ∈R ，x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0”．6．(2022·安徽芜湖高三摸底)已知p ：x 2－7x ＋10<0，q ：x 2－4mx ＋3m 2<0，其中m >0.若¬q 是¬p 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为 ．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，2解析 由¬q 是¬p 的充分不必要条件知p 是q 的充分不必要条件，又p ：2<x <5，q ：m <x <3m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，3m ≥5，m >0，即53≤m ≤2.考向一 四种命题及其相互关系例1 写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并分别判断四种命题的真假： (1)末位数字是0的多位数一定是5的倍数； (2)在△ABC 中，若AB >AC ，则∠C >∠B ； (3)若x 2－2x －3>0，则x <－1或x >3.解 (1)原命题：若一个多位数的末位数字是0，则它是5的倍数. 逆命题：若一个多位数是5的倍数，则它的末位数字是0. 否命题：若一个多位数的末位数字不是0，则它不是5的倍数． 逆否命题：若一个多位数不是5的倍数，则它的末位数字不是0. 这里，原命题与逆否命题为真命题，逆命题与否命题是假命题． (2)逆命题：在△ABC 中，若∠C >∠B ，则AB >AC . 否命题：在△ABC 中，若AB ≤AC ，则∠C ≤∠B .逆否命题：在△ABC中，若∠C≤∠B，则AB≤AC.这里，四种命题都是真命题．(3)逆命题：若x<－1或x>3，则x2－2x－3>0.否命题：若x2－2x－3≤0，则－1≤x≤3.逆否命题：若－1≤x≤3，则x2－2x－3≤0.这里，四种命题都是真命题．(1)写一个命题的其他三种命题时，不是“若p，则q”形式的命题，需先改写．若命题有大前提，需保留大前提，本例(2)中，大前提“在△ABC中”需保留．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．1.给出下列命题：①“若a≤b，则a<b”的否命题；②“若a＝1，则ax2－x＋3≥0的解集为R”的逆否命题；③“周长相等的圆面积相等”的逆命题；④“若2x 为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中真命题的序号为( )A．②④B．①②③C．②③④D．①③④答案 B解析对于①，逆命题为真，故否命题为真；对于②，原命题为真，故逆否命题为真；对于③，“面积相等的圆周长相等”为真；对于④，“若2x为有理数，则x为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假．故选B.精准设计考向，多角度探究突破考向二充分、必要条件的判断角度定义法判断充分、必要条件例2 (2021·北京高考)已知f(x)是定义在[0，1]上的函数，那么“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若函数f(x)在[0，1]上单调递增，则f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)，若f(x)在[0，1]上的最大值为f (1)，比如f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132，但f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1上单调递增，故f (x )在[0，1]上的最大值为f (1)推不出f (x )在[0，1]上单调递增，故“函数f (x )在[0，1]上单调递增”是“函数f (x )在[0，1]上的最大值为f (1)”的充分而不必要条件，故选A.角度集合法判断充分、必要条件例3 (2021·天津高考)已知a ∈R ，则“a >6”是“a 2>36”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若a >6，则a 2>36，故充分性成立；若a 2>36，则a >6或a <－6，推不出a >6，故必要性不成立．所以“a >6”是“a 2>36”的充分不必要条件．故选A.角度等价转化法判断充分、必要条件例4 给定两个命题p ，q .若¬p 是q 的必要不充分条件，则p 是¬q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 因为¬p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒¬p 但¬p ⇒/ q ，其逆否命题为p ⇒¬q 但¬q ⇒/p ，所以p 是¬q 的充分不必要条件.充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断．(2)集合法：根据p ，q 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断，这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的何种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的何种条件．2.(2021·四川成都七中二诊)已知x ，y ∈R ，则“x 2＋y 2＜1”是“(x －1)(y－1)＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由x 2＋y 2＜1，可得－1＜x ＜1，且－1＜y ＜1.则可得到(x －1)(y －1)＞0，故充分性成立；反之若(x －1)(y －1)＞0，可取x ＝y ＝2，显然得不到x 2＋y 2＜1，故必要性不成立，∴“x 2＋y 2＜1”是“(x －1)(y －1)＞0”的充分不必要条件．故选A.3．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 由Venn 图易知充分性成立．反之，A ∩B ＝∅时，不妨取C ＝∁U B ，此时A ⊆C ，故必要性成立．故选C.4．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 因为x ＝y ⇒cos x ＝cos y ，而cos x ＝cos y ⇒/ x ＝y ，所以“cos x ＝cos y ”是“x ＝y ”的必要不充分条件，即“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．考向三 充分、必要条件的探求与应用例5 (1)“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( ) A ．m >14 B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1 答案 C解析 不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立⇔1－4m <0，得m >14，在选项中只有“m >0”是“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的必要不充分条件，故选C.(2)(2022·郑州模拟)已知“p ：(x －m )2>3(x －m )”是“q ：x 2＋3x －4<0”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为 ．答案 (－∞，－7]∪[1，＋∞)解析 由p 中的不等式(x －m )2>3(x －m )，得(x －m )(x －m －3)>0，解得x >m ＋3或x <m .由q 中的不等式x 2＋3x －4<0，得(x －1)(x ＋4)<0，解得－4<xp 是q 的必要不充分条件，所以q ⇒p ，即m ＋3≤－4或m ≥1，解得m ≤－7或mm 的取值范围为(－∞，－7]∪[1，＋∞).1．条件、结论的相对性充分条件、必要条件是相对的概念，在进行判断时，一定要注意哪个是“条件”，哪个是“结论”．要注意条件与结论间的推出方向．如“A 是B 的充分不必要条件”是指A ⇒B 但B ⇒/ A ；“A 的充分不必要条件是B ”是指B ⇒A 但A ⇒/ B .以上两种说法在充要条件的推理判断中经常出现且容易混淆．2．根据充分、必要条件求解参数范围的方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．p ：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －21－x ≤0，q ：B ＝{x |x －a <0}，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，1] 答案 D解析 ∵A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －21－x ≤0＝{x |(x －2)(x －1)≥0且x ≠1}＝{x |x <1或x ≥2}，B ＝{x |x－a <0}＝{x |x <a }，又p 是q 的必要不充分条件，∴B A ，由数轴可得a ≤1，故选D.6．一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是( )A ．a <0B ．a >0C ．a <－1D ．a >1答案 C解析 设ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)的两个根分别为x 1，x 2，则一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根等价于⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ＝4－4a >0，x 1x 2＝c a ＝1a <0，解得a <0，这是方程有一个正根和一个负根的充要条件，由题意可知选C.1．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( )A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1答案 D解析原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后，再交换位置，注意“－1<x<1”的否定是“x≥1或x≤－1”．故选D.2．命题“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”的否命题是( )A．若x2＋y2＝0，则x，y中至少有一个不为0B．若x2＋y2≠0，则x，y中至少有一个不为0C．若x2＋y2≠0，则x，y都不为0D．若x2＋y2＝0，则x，y都不为0答案 B解析否命题是既否定条件又否定结论．3．命题“若m>－1，则m>－4”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题“若m>－4，则m>－1”为假命题，故否命题也为假命题，故选B.4．(2021·浙江高考)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析由a·c＝b·c可得(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．故选B.5．(2022·开封模拟)已知直线l，m和平面α，m⊂α，则“l∥m”是“l∥α”的( ) A．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 D解析 若l ∥m ，当l ⊄α时，l ∥α，当l ⊂α时不能得出l ∥α，故充分性不成立；若l ∥α，则l 与m 可能平行，也可能异面，故必要性也不成立．由上可知“l ∥m ”是“l ∥α”的既不充分也不必要条件．故选D.6．(2022·江西上饶六校联考)下面四个条件中，使a >b 成立的充分不必要条件是( ) A ．a >b ＋1 B ．a >b －1 C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3答案 A解析 a >b ＋1⇒a >b ；反之，例如a ＝2，b ＝1满足a >b ，但a ＝b ＋1，即a >b 推不出a >b ＋1，故a >b ＋1是a >b 成立的充分不必要条件．故选A.7．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B ．命题“若x 2≤1，则x ≤1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2－x ＝0”的否命题 D ．命题“若a >b ，则1a <1b”的逆否命题答案 A解析 A 中原命题的逆命题是“若x >|y |，则x >y ”，由x >|y |≥y 可知其是真命题；B 中原命题的否命题是“若x 2>1，则x >1”，是假命题，因为x 2>1⇔x >1或x <－1；C 中原命题的否命题是“若x ≠1，则x 2－x ≠0”，是假命题；D 中原命题是假命题，举例：a ＝1，b ＝－1.所以其逆否命题也是假命题．故选A.8．(2021·成都第一次诊断性检测)已知锐角三角形ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，则“sin A >sin B ”是“tan A >tan B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 在锐角三角形ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝bsin B，知sin A >sin B ⇔a >b ⇔A >B ，而正切函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以A >B ⇔tan A >tan B ．故选C.9．若命题p 的否命题为r ，命题r 的逆命题为s ，p 的逆命题为t ，则s 是p 的逆命题t 的( )A ．逆否命题B ．否命题C ．逆命题D ．原命题答案 B解析 设命题p ：“若x ，则y ”，则命题p 的否命题r 为“若¬x ，则¬y ”；命题r 的逆命题s 为“若¬y ，则¬x ”；又p 的逆命题t 为“若y ，则x ”，所以s 是p 的逆命题t 的否命题．10．(2022·山西吕梁一模)设p ：关于x 的方程4x －2x－a ＝0有解；q ：函数f (x )＝log 2(x ＋a －2)在区间(0，＋∞)上恒为正值，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 由题意知p ：方程a ＝4x －2x有解，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122－14，所以a ≥－14，q ：log 2(x ＋a－2)>0在(0，＋∞)上恒成立，则0＋a －2≥1，解得a ≥3，所以p 是q 的必要不充分条件．故选B.11．(2021·全国甲卷)等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .设甲：q >0，乙：{S n }是递增数列，则( )A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案 B解析 当a 1＝－1，q ＝2时，{S n }是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；当{S n }是递增数列时，有a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝a 1q n >0，若a 1>0，则q n >0(n ∈N *)，即q >0；若a 1<0，则q n <0(n ∈N *)，这样的q 不存在，所以甲是乙的必要条件．故选B.12．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：x >a ，且¬q 的一个充分不必要条件是¬p ，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]答案 A解析 由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，由¬q 的一个充分不必要条件是¬p ，可知¬p 是¬q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件．所以{x |x >a }{x |x <－3或x >1}，所以a ≥1.13．王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的 条件(填“充分”“必要”“既不充分也不必要”中的一个).答案 必要解析 设p ：攻破楼兰，q ：返回家乡，由题意知¬p ⇒¬q ，所以q ⇒p ，故p 是q 的必要条件．14．给出下列不等式：①x <1；②0<x <1；③－1<x <0；④－1<x <1.其中可以作为“x 2<1”的一个充分条件的所有序号为 ．答案 ②③④解析 由于x 2<1即－1<x <1，①显然不能使－1<x <1一定成立，②③④满足题意．15．(2021·云南昆明高三检测)已知p ：12≤x ≤1，q ：(x －a )(x －a －1)>0，若p 是¬q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪0≤a ≤12 解析 ¬q ：(x －a )(x －a －1)≤0⇒a ≤x ≤ap 是¬q 的充分不必要条件，知⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ＋1≥1⇒0≤a ≤12. 16．(2022·河南许昌高三阶段考试)给出下列命题：①已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件； ②“x <0”是“ln (x ＋1)<0”的必要不充分条件；③“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的充要条件；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a ·b <0”．其中正确命题的序号是 (把所有正确命题的序号都填上).答案 ①②解析 因为“a ＝3”可以推出“A ⊆B ”，但“A ⊆B ”不能推出“a ＝3”，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件，故①正确；“x <0”不能推出“ln (x ＋1)<0”，但由ln (x ＋1)<0可得－1<x <0，即“ln (x ＋1)<0”可以推出“x <0”，所以“x <0”是“ln (x ＋1)<0”的必要不充分条件，故②正确；因为f (x )＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos2ax ，所以若其最小正周期为π，则2π2|a |＝π⇒a ＝±1，因此“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的必要不充分条件，故③错误；“平面向量a 与b 的夹角是钝角”可以推出“a ·b <0”，但a ·b <0时，平面向量a 与b 的夹角是钝角或平角，所以“a ·b <0”是“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的必要不充分条件，故④错误．17．已知p ：3－m 2<x <3＋m 2，q ：x (x －3)<0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解 记A ＝x 3－m 2<x <3＋m 2，B ＝{x |x (x －3)<0}＝{x |0<x <3}．若p 是q 的充分不必要条件，则A B .注意到B ＝{x |0<x <3}≠∅，可分两种情况讨论：①若A ＝∅，即3－m 2≥3＋m 2，解得m ≤0，此时A B ，符合题意； ②若A ≠∅，即3－m 2<3＋m 2，解得m >0， 要使A B ，应有⎩⎪⎨⎪⎧3－m 2≥0，3＋m 2<3，m >0或⎩⎪⎨⎪⎧3－m 2>0，3＋m 2≤3，m >0， 解得0<m <3.综上可得，实数m 的取值范围是(－∞，3).18．已知集合A ＝{x |0<ax ＋1≤3}(a ≠0)，集合B ＝{x |－1<x ≤2}．若命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解 因为p 是q 的充分不必要条件，所以p ⇒q ，q ⇒/ p ，所以A B .由集合A 得－1<ax ≤2. (*)①当a >0时，由(*)式得A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1a <x ≤2a ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－1a ≥－1，2a <2或⎩⎪⎨⎪⎧－1a >－1，2a ≤2，解得a >1； ②当a <0时，由(*)式得A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2a ≤x <－1a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a >－1，－1a ≤2，解得a <－2. 综上所述，实数a 的取值范围是{a |a <－2或a >1}．。
2023年高考数学总复习第一章 集合与常用逻辑用语 第2节：命题及其关系(教师版)
2023年高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语第2节命题及其关系、充分条件与必要条件考试要求 1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.1.命题可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题，其中判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题.2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.3.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/pp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p1.否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论.2.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A 且A⇒/B)两者的不同.3.充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.(3)若A＝B，则p是q的充要条件.4.p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题.()(2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.()(3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.()(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.()答案(1)×(2)√(3)√(4)√解析(1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.2.(2021·浙江卷)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析由a·c＝b·c可得(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件.3.(2021·全国甲卷)等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n.设甲：q＞0，乙：{S n}是递增数列，则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B解析当a1＜0，q＞1时，a n＝a1q n－1＜0，此时数列{S n}递减，所以甲不是乙的充分条件.当数列{S n}递增时，有S n＋1－S n＝a n＋1＝a1q n＞0，若a1＞0，则q n＞0(n∈N+)，即q＞0；若a1＜0，则q n＜0(n∈N+)，不存在，所以甲是乙的必要条件.综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件.4.(易错题)命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是________________.答案若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠05.(易错题)若“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________.答案3解析由x2－x－6>0，解得x<－2或x>3.因为“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，所以{x|x>a}是{x|x<－2或x>3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3.6.已知命题“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为________.答案2解析由x≥0，y≥0⇒xy≥0，∴原命题成立，则逆否命题也成立.由xy≥0⇒/x≥0，y≥0，如x＝－1，y＝－2，∴原命题的逆命题不成立，则原命题的否命题也不成立.考点一命题及其关系1.已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列说法正确的是()A.否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”B.逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”C.逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”D.逆否命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”答案B解析由四种命题关系易知B正确.2.给出以下命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③若ab是正整数，则a，b都是正整数；④若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递减.其中为真命题的是________(写出所有真命题的序号).答案①解析①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②的否命题为“不全等三角形的面积不相等”，但不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③若ab是正整数，则a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故③为假命题；④构造函数f(x)＝x，g(x)＝－x，则f(x)－g(x)＝2x，显然f(x)－g(x)单调递增，故④为假命题.综上①为真命题.3.能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________________.答案f(x)＝sin x，x∈[0，2](答案不唯一，再如f(x)x＝0，0<x≤2)解析根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f(x)min＝f(0).感悟提升 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.2.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.3.根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断.考点二充分条件与必要条件的判定例1(1)(2020·浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2020·北京卷)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sinα＝sinβ”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案(1)B(2)C解析(1)由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交.由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内.故选B.(2)若存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，则当k＝2n(n∈Z)，α＝2nπ＋β，有sinα＝sin(2nπ＋β)＝sinβ；当k＝2n＋1(n∈Z)，α＝(2n＋1)π－β，有sinα＝sin[(2n＋1)π－β]＝sinβ.若sinα＝sinβ，则α＝2kπ＋β或α＝2kπ＋π－β(k∈Z)，即α＝kπ＋(－1)kβ(k∈Z).故选C.感悟提升充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.训练1(1)(2022·长春质检)已知m，n是平面α内两条不同的直线，则“直线l⊥m 且l⊥n”是“l⊥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案(1)B(2)A解析(1)若m与n不相交，则由“直线l⊥m且l⊥n”不能推出“l⊥α”，若l⊥α，则l垂直于面内任何一条直线，故选B.(2)若a>2，b>2，则a＋b>4，ab>4成立.当a＝1，b＝5时，满足a＋b>4，ab>4，但不满足a>2，b>2，∴a＋b>4，ab>4⇒/a>2，b>2，故答案为A.考点三充分、必要条件的应用例2(经典母题)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求实数m的取值范围.解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P.1－m≥－2，1＋m≤10，解得m≤3.又∵S为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0.综上，m 的取值范围是[0，3].迁移设p ：P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，q ：非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，且非p 是非q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.解由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}.∵非p 是非q 的必要不充分条件，p 是q 的充分不必要条件.∴p ⇒q 且q ⇒/p ，即P S .－m ≤－2，＋m >10－m <－2，＋m ≥10，∴m ≥9，又因为S 为非空集合，所以1－m ≤1＋m ，解得m ≥0，综上，实数m 的取值范围是[9，＋∞).感悟提升1.根据充分、必要条件求解参数取值范围需抓住“两”关键(1)把充分、必要条件转化为集合之间的关系.(2)根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.2.解题时要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.训练2(1)使2x ≥1成立的一个充分不必要条件是()A.1<x <3B.0<x <2C.x <2D.0<x ≤2(2)若关于x 的不等式|x －1|<a 成立的充分不必要条件是0<x <4，则实数a 的取值范围是________.答案(1)B(2)[3，＋∞)解析(1)由2x≥1得0<x ≤2，依题意由选项组成的集合是(0，2]的真子集，故选B.(2)|x －1|<a ⇒1－a <x <1＋a ，因为不等式|x －1|<a 成立的充分不必要条件是0<x <4，所以(0，4)(1－a ，1＋a )，－a ≤0，＋a >4－a <0，＋a ≥4，解得a ≥3.1.设a ∈R ，则“a ＞1”是“a 2＞a ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析由a 2＞a ，得a 2－a ＞0，解得a ＞1或a ＜0，∴“a ＞1”是“a 2＞a ”的充分不必要条件.2.(2021·全国百校联考)已知命题p ：“任意a >0，且a ≠1，函数y ＝1＋log a (x －1)的图像过点P ”的逆否命题为真，则P 点坐标为()A.(2，1)B.(1，1)C.(1，2)D.(2，2)答案A解析由逆否命题与原命题同真同假，可知命题p 为真命题，由对数函数性质可知，函数y ＝1＋log a (x －1)的图像过定点(2，1)，所以点P 的坐标为(2，1).3.已知命题p ：若a <1，则a 2<1，下列说法正确的是()A.命题p 是真命题B.命题p 的逆命题是真命题C.命题p 的否命题是“若a <1，则a 2≥1”D.命题p 的逆否命题是“若a 2≥1，则a <1”答案B解析p ：若a <1，则a 2<1；如a ＝－2，则(－2)2>1，∴p 为假命题，A 不正确；命题p 的逆命题：若a 2<1，则a <1为真命题，B 正确；命题p的否命题：若a≥1，则a2≥1，C显然不正确；命题p的逆否命题：若a2≥1，则a≥1，D显然不正确.4.王昌龄的《从军行》中的两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，从中可知“攻破楼兰”是“返回家乡”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定“攻破楼兰”，故选B.5.命题若“x2＋y2＝0，则x＝y＝0”的否命题为()A.若x2＋y2＝0，则x，y中至少有一个不为0B.若x2＋y2≠0，则x，y中至少有一个不为0C.若x2＋y2≠0，则x，y都不为0D.若x2＋y2＝0，则x，y都不为0答案B解析否命题既否定条件又否定结论.6.(2022·郑州质检)对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4答案B解析①ac＝bc⇔a＝b或c＝0，∴①为假命题；②a＋5是无理数⇔a是无理数，∴②为真命题；③0>－2推不出02>(－2)2，∴③为假命题；④a<5⇒/a<3，但a<3⇒a<5，∴④为真命题.7.(2021·贵阳模拟)设函数f(x)＝e x2－3x，则使f(x)<1成立的一个充分不必要条件是()A.0<x<1B.0<x<4C.0<x<3D.3<x<4答案A解析f(x)<1⇔e x2－3x<1⇔x2－3x<0，解得0<x<3.又“0<x<1”可以推出“0<x<3”，但“0<x<3”不能推出“0<x<1”.故“0<x<1”是“f(x)<1”的充分不必要条件.8.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且非q的一个充分不必要条件是非p，则a的取值范围是()A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]答案A解析由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由非q的一个充分不必要条件是非p，可知非p是非q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1. 9.设a，b是两个平面向量，则“a＝b”是“|a|＝|b|”的________条件.答案充分不必要解析a＝b⇒|a|＝|b|，|a|＝|b|⇒/a＝b.10.(2021·河南名校联考)设命题p：x>4；命题q：x2－5x＋4≥0，那么p是q的________________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”).答案充分不必要解析由x2－5x＋4≥0得x≤1或x≥4，可知{x|x>4}是{x|x≤1或x≥4}的真子集，∴p是q的充分不必要条件.11.已知不等式|x－m|<1成立的一个充分不必要条件是13<x<12，则m的取值范围是________.答案－1 2，43解析解不等式|x－m|<1，得m－1<x<m＋1.(m－1，m＋1)，－1≤13，＋1≥12且等号不同时成立，解得－12≤m≤43.12.(2022·西安调研)已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为______.答案[3，8)解析∵p(1)是假命题，∴1＋2－m≤0.又∵p(2)是真命题，∴4＋4－m>0，＋2－m≤0，＋4－m>0，∴3≤m<8，∴实数m的取值范围为[3，8).13.(2021·景德镇模拟)对于任意实数x，〈x〉表示不小于x的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析令x＝1.8，y＝0.9，满足|x－y|<1，但〈1.8〉＝2，〈0.9〉＝1，〈x〉≠〈y〉，可知充分性不成立.当〈x〉＝〈y〉时，设〈x〉＝x＋m，〈y〉＝y＋n，m，n∈[0，1)，则|x－y|＝|n－m|<1，可知必要性成立.所以“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的必要不充分条件.14.(2020·上海卷)p：存在a∈R且a≠0，对任意的x∈R，均有f(x＋a)<f(x)＋f(a)恒成立.已知q1：f(x)单调递减，且f(x)>0恒成立；q2：f(x)单调递增，存在x0<0使得f(x0)＝0.则下列说法正确的是()A.q1，q2都是p的充分条件B.只有q1是p的充分条件C.只有q2是p的充分条件D.q1，q2都不是p的充分条件答案A解析若q1成立，当a>0时，x＋a>x，因为f(x)单调递减，且f(x)>0恒成立，所以f(a)>0，所以f(x＋a)<f(x)<f(x)＋f(a)恒成立，所以p成立，所以q1是p的充分条件；若q2成立，当a＝x0<0时，x＋a＝x＋x0<x，f(a)＝f(x0)＝0，因为函数f(x)单调递增，所以f(x＋a)＝f(x＋x0)<f(x)＝f(x)＋f(a)，所以p成立，所以q2是p的充分条件.综上可知，q1，q2都是p的充分条件，故选A.15.能说明“若a>b，则1a <1b”为假命题的一组a，b的值依次为________.答案a＝1，b＝－1(答案不唯一，只需a>0，b<0)解析若a>b，则1a<1b为真命题，则1a－1b＝b－aab<0，∵a>b，∴b－a<0，则ab>0.故当a>0，b<0时，均能说明“若a>b，则1a<1b”为假命题.16.已知集合A＝{y|y＝x2－32x＋1，0≤x≤2}，B＝{x|x＋m2≥2}，p：x∈A，q：x∈B，p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________________.答案－∞，－54∪54，＋∞解析由y＝x2－32x＋1＋716，0≤x≤2，得716≤y≤2，∴A＝716，2.又由题意知A⊆B，∴2－m2≤716，∴m2≥2516.∴m≥54或m≤－54.。
高考一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系充分条件与必要条件
第二讲命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理·双基自测知识点一命题及四种命题之间的关系1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．知识点二充分条件与必要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分又不必要条件pq且qp重要结论1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且AB，则p是q的既不充分也不必要条件．2．充分条件与必要条件的两个特征：(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．(2)传递性：若p 是q 的充分(必要)条件，q 是r 的充分(必要)条件，则p 是r 的充分(必要)条件，即“p ⇒q 且q ⇒r ”⇒“p ⇒r ”(“p ⇐q 且q ⇐r ”⇒“p ⇐r ”)．注意：不能将“若p ，则q”与“p ⇒q ”混为一谈，只有“若p ，则q”为真命题时，才有“p ⇒q ”，即“p ⇒q ”⇔“若p ，则q”为真命题．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)语句x 2－3x ＋2＝0是命题．( × )(2)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”．( × ) (3)已知集合A ，B ，则A∪B＝A∩B 的充要条件是A ＝B ．( √ ) (4)“α＝β”是“tan α＝tan β”的充分不必要条件．( × ) (5)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”．( √ )[解析] (4)当α＝β＝π2时，tan α、tan β都无意义．因此不能推出tan α＝tan β，当tan α＝tan β时，α＝β＋k π，k∈Z，不一定α＝β，因此是既不充分也不必要条件．题组二 走进教材2．(选修2－1P 8T3改编)下列命题是真命题的是( A ) A ．矩形的对角线相等 B ．若a>b ，c>d ，则ac>bd C ．若整数a 是素数，则a 是奇数 D ．命题“若x 2>0，则x>1”的逆否命题3．(选修2－1P 10T4改编)x 2－3x ＋2≠0是x≠1的充分不必要条件． [解析] x ＝1是x 2－3x ＋2＝0的充分不必要条件． 题组三 走向高考4．(2020·天津，2，5分)设a∈R，则“a>1”是“a 2>a ”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 易知a>1⇒a 2>a ，而a 2>a ⇒a<0或a>1，所以“a>1”是“a 2>a ”的充分不必要条件． 5．(2015·山东，5分)设m∈R，命题“若m>0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( D ) A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m>0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m>0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m≤0 [解析] 由原命题和逆否命题的关系可知D 正确．6．(2018·北京，5分)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是f(x)＝sin_x(答案不唯一)．[解析]这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，且函数f(x)在[0，2]上不是增函数即可．如f(x)＝sin x，答案不唯一．考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点一命题及其关系——自主练透例1 (1)(2021·新高考八省联考)关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题：甲：x＝1是该方程的根；乙：x＝3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是( A )A．甲B．乙C．丙D．丁(2)(2021·长春模拟)已知命题α：如果x<3，那么x<5，命题β：如果x≥3，那么x≥5，则命题α是命题β的( A )A．否命题B．逆命题C．逆否命题D．否定形式(3)(多选题)下列命题为真命题的是( CD )A．“若a2<b2，则a<b”的否命题B．“全等三角形面积相等”的逆命题C．“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题D．“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题(4)命题“若a＋b＝0，则a，b中最多有一个大于零”的否定形式为若a＋b＝0，则a，b都大于零，否命题为若a＋b≠0，则a，b都大于零．[解析](1)若乙、丙、丁正确，显然x1＝－1，x2＝3，两根异号，x1＋x2＝2，故甲错，因此选A．(2)命题α：如果x<3，那么x<5，命题β：如果x≥3，那么x≥5，则命题α是命题β的否命题．(3)对于A ，否命题为“若a 2≥b 2，则a≥b”，为假命题；对于B ，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于C ，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故C 正确；对于D ，原命题正确，因此该命题的逆否命题也正确，D 正确．故选C 、D ．(4)否定形式：若a ＋b ＝0，则a ，b 都大于零．否命题：若a ＋b ≠0，则a ，b 都大于零． 名师点拨 MING SHI DIAN BO(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p ，则q”的形式，应先改写成“若p ，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变．(2)判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例． (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．考点二 充分必要条件考向1 充分条件与必要条件的判断——师生共研 方法1：定义法判断例2 ( 2020·北京，9，4分)已知α，β∈R，则“存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ”是“sinα＝sin β”的( C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)充分性：已知存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ，(ⅰ)若k 为奇数，则k ＝2n ＋1，n∈Z，此时α＝(2n ＋1)π－β，n∈Z，sin α＝sin(2n π＋π－β)＝sin(π－β)＝sin β；(ⅱ)若k 为偶数，则k ＝2n ，n∈Z，此时α＝2n π＋β，n∈Z，sin α＝sin(2n π＋β)＝sin β. 由(ⅰ)(ⅱ)知，充分性成立．(2)必要性：若sin α＝sin β成立，则角α与β的终边重合或角α与β的终边关于y 轴对称，即α＝β＋2m π或α＋β＝2m π＋π，m∈Z，即存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ，必要性也成立，故选C ． 方法2：集合法判断例3 (2020·天津一中高三月考)设x∈R，则“|x－1|<4”是“x －52－x >0”的( B )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 解绝对值不等式可得－4<x －1<4，即－3<x<5， 将分式不等式变形可得x －5x －2<0，解得2<x<5，因为(2，5)(－3，5)，所以“|x－1|<4”是“x －52－x >0”的必要而不充分条件．方法3 等价转化法判断例4 (1)给定两个条件p ，q ，若¬ p 是q 的必要不充分条件，则p 是¬q 的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)“已知命题p ：cos α≠12，命题q ：α≠π3”，则命题p 是命题q 的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)因为¬ p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒¬ p ，但¬pq ，其逆否命题为p ⇒¬q ，但¬qp ，所以p 是¬q 的充分不必要条件．(2) ¬p ：cos α＝12，¬q ：α＝π3，显然¬q ⇒¬p ，¬p ¬q ，∴¬q 是¬p 的充分不必要条件，从而p 是q 的充分不必要条件，故选A ．另解：若cos α≠12，则α≠2kπ±π3(k∈Z)，则α也必然不等于π3，故p ⇒q ；若α≠π3，但α＝－π3时，依然有cos α＝12，故q p.所以p 是q 的充分不必要条件．故选A ． 名师点拨 MING SHI DIAN BO有关充要条件的判断常用的方法(1)根据定义判断：①弄清条件p 和结论q 分别是什么；②尝试p ⇒q ，q ⇒p.若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件；若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；若p ⇒q ，qp ，则p 是q 的充分不必要条件；若pq ，q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；若p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．(2)利用集合判断 记法 A ＝{x|p(x)}，B ＝{x|q(x)} 关系 ABBAA ＝BAB 且BA结论p 是q 的充分不必要条件p 是q 的必要不充分条件p 是q 的充要条件p 是q 的既不充分也不必要条件断¬q 是¬p 的什么条件．〔变式训练1〕(1)指出下列各组中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．①非空集合A ，B 中，p ：x∈(A∪B)，q ：x∈B；②已知x ，y∈R，p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，q ：(x －1)(y －2)＝0； ③在△ABC 中，p ：A ＝B ，q ：sin A ＝sin B ； ④对于实数x ，y ，p ：x ＋y≠8，q ：x≠2或y≠6.(2)(2020·天津部分区期末)设x∈R，则“x 2－2x<0”是“|x－1|<2”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)①显然x∈(A∪B)不一定有x∈B，但x∈B 一定有x∈(A∪B)，所以p 是q 的必要不充分条件．②条件p ：x ＝1且y ＝2，条件q ：x ＝1或y ＝2，所以p ⇒q 但qp ，故p 是q 的充分不必要条件． ③在△ABC 中，A ＝B ⇒sin A ＝sin B ；反之，若sin A ＝sin B ，因为A 与B 不可能互补(三角形三个内角之和为180°)，所以只有A ＝B ，故p 是q 的充要条件．④易知¬p ：x ＋y ＝8，¬q ：x ＝2且y ＝6，显然¬q ⇒¬p ，但¬p ¬q ，所以¬q 是¬p 的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p 是q 的充分不必要条件．(2)解不等式x 2－2x<0得0<x<2，解不等式|x －1|<2得－1<x<3，所以“x 2－2x<0”是“|x－1|<2”的充分不必要条件．故选A ．考向2 充要条件的应用——多维探究 角度1 充要条件的探究例 5 (多选题)下列函数中，满足“x 1＋x 2＝0”是“f(x 1)＋f(x 2)＝0”的充要条件的是( BC )A ．f(x)＝tan xB ．f(x)＝3x －3－xC ．f(x)＝x 3D ．f(x)＝log 3|x|[解析] 因为f(x)＝tan x 是奇函数，所以x 1＋x 2＝0⇒f(x 1)＋f(x 2)＝0，但f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝0时，π4＋3π4≠0，不符合要求，所以A 不符合题意；因为f(x)＝3x －3－x 和f(x)＝x 3均为单调递增的奇函数，所以满足“x 1＋x 2＝0”是“f(x 1)＋f(x 2)＝0”的充要条件，符合题意；对于选项D ，由f(x)＝log 3|x|的图象易知不符合题意，故选BC ．注：满足条件的函数是奇函数且单调． 角度2 利用充要条件求参数的值或取值范围例6 已知P ＝{x|x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x|1－m ≤x ≤1＋m}．若x ∈P 是x∈S 的必要条件，则m 的取值范围是[0，3]．[解析] 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x≤10， 所以P ＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P 是x∈S 的必要条件，知S ⊆P.则⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤1＋m ，1－m≥－2，1＋m≤10，所以0≤m≤3. 所以当0≤m≤3时，x∈P 是x∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]．[引申1]若本例将条件“若x∈P 是x∈S 的必要条件”改为“若x∈P 是x∈S 的必要不充分条件”，则m 的取值范围是[0，3]．[解析] 解法一：由(1)若x∈P 是x∈S 的必要条件，则0≤m ≤3，当m ＝0时，S ＝{1}，不充分；当m ＝3时，S ＝{x|－2≤x≤4}也不充分，故m 的取值范围为[0，3]．解法二：若x∈P 是x∈S 的必要且充分条件，则P ＝S ，即⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10⇒m 无解，∴m 的取值范围是[0，3]．[引申2]若本例将条件“若x∈P 是x∈S 的必要条件”变为“若非P 是非S 的必要不充分条件”，其他条件不变，则m 的取值范围是[9，＋∞)．[解析] 由(1)知P ＝{x|－2≤x≤10)， ∵非P 是非S 的必要不充分条件， ∴S 是P 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且SP. ∴[－2，10] [1－m ，1＋m]．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤－2，1＋m>10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m<－2，1＋m≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)． 名师点拨 MING SHI DIAN BO充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)一定要注意端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．(3)注意区别以下两种不同说法：①p 是q 的充分不必要条件，是指p ⇒q 但qp ；②p 的充分不必要条件是q ，是指q ⇒p 但pq.(4)注意下列条件的等价转化：①p 是q 的什么条件等价于¬q 是¬p 的什么条件，②p 是¬q 的什么条件等价于q 是¬ p 的什么条件．〔变式训练2〕(1)(角度1)(多选题)(2020·江西赣州十四县市高三上期中改编)角A ，B 是△ABC 的两个内角．下列四个条件下，“A>B”的充要条件是( ABD )A ．sin A>sinB B ．cos A<cos BC ．tan A>tan BD ．cos 2A<cos 2B(2)(角度2)(2021·山东省实验中学高三诊断)已知p ：x≥k，q ：(x ＋1)(2－x)<0.如果p 是q 的充分不必要条件，那么实数k 的取值范围是( B )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1][解析] (1)当A>B 时，根据“大边对大角”可知，a>b ，由于a sin A ＝bsin B ，所以sin A>sin B ，则A 是“A>B”的充要条件；由于0<B<A<π，余弦函数y ＝cos x 在区间(0，π)内单调递减，所以cos A<cosB ，则B 是“A>B”的充要条件；当A>B 时，若A 为钝角，B 为锐角，则tan A<0<tan B ，则C 不是“A>B”的充要条件；当cos 2A<cos 2B ，即1－sin 2A<1－sin 2B ，所以sin 2A>sin 2B ，所以D 是“A>B”的充要条件；故选A 、B 、D ．(2)由q ：(x ＋1)(2－x)<0，可知q ：x<－1或x>2.因为p 是q 的充分不必要条件，所以x≥k ⇒x<－1或x>2，即[k ，＋∞)是(－∞，－1)∪(2，＋∞)的真子集，故k>2.故选B ．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG抽象命题间充要条件的判定例7 已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题：①r 是q 的充要条件；②p 是q 的充分不必要条件；③r 是q 的必要不充分条件；④¬p 是¬s 的必要不充分条件；⑤r 是s 的充分不必要条件，则正确命题的序号是( B )A ．①④⑤B ．①②④C ．②③⑤D ．②④⑤[分析] 本题涉及命题较多，关系复杂，因此采用“图解法”．[解析] 由题意得p，显然q ⇒r 且r ⇒s ⇒q ，即q ⇔r ，①正确；p ⇒r ⇒s ⇒q 且qp ，②正确；r⇔q ，③错误；由p ⇒s 知¬ s ⇒¬ p ，但sp ，∴¬ p ¬ s ，④正确；r ⇔s ，⑤错误．故选B ．名师点拨 MING SHI DIAN BO命题较多、关系复杂时，画出各命题间关系图求解，简洁直观，一目了然． 〔变式训练3〕若p 是r 的必要不充分条件，q 是r 的充分条件，则p 是q 的必要不充分条件． [解析] 由题意可知q ⇒rp ，∴p 是q 的必要不充分条件．。