薛定谔方程
-薛定谔方程
§12－6 薛定谔方程德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了一个关于物质波的报告。
报告后， 德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有一个波动方程。
几个月后，薛定谔果然提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。
薛定谔方程是量子力学的动力学方程，象牛顿方程一样，不能从更基本的方程推导出来，它是否正确，只能由实验检验。
一、薛定谔方程 1 一维薛定谔方程1）一维自由运动粒子(无势场)设：一维自由运动粒子，无势场，不受力，动量不变。
一维自由运动粒子的波函数(前已讲)ψ(x , t ) = ψ0 e -i(2π/h ) (Et - px )由此有再利用 可得此即一维自由运动粒子(无势场)的含时薛定谔方程。
2）若粒子在势场U (x , t ) 中运动由 有此即一维自由运动粒子在势场中的含时薛定谔方程。
3）定态薛定谔方程若粒子在恒定势场U = U (x )中运动，微观粒子的势能仅是坐标的函数，与时间无关，可把上式中的波函数分成坐标函数与时间函数的乘积，即2222ip x hp x hψψψψ∂=∂∂=-∂22p E m=222282h h i m x tψψππ∂∂-=∂∂22p p E E m =+222282p h h E i m x tψψψππ∂∂-+=∂∂2(,)()()()iEt hx t x f t x eπψϕϕ-==式中 ψ =ψ (x , t )是粒子在势场U = U (x , t )中运动的波函数。
将ψ =ψ (x , t ) = ψ(x )T (t )代入得一维定态薛定谔方程式中ψ =ψ (x )是定态波函数，它所描写的粒子的状态称作定态，是能量取确值的状态。
定态的概率密度ψ(x ,t ) ψ*(x ,t ) = ψ (x ) ψ *(x ) 定态下的概率密度和时间无关。
在量子力学中用薛定谔方程式加上波函数的物理条件，求解微观粒子在一定的势场中的运动问题(求波函数，状态能量，概率密度等)。
薛定谔方程
薛定谔方程（英语：Schrodinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔在1926年提出的一个用于描述量子力学中波函数的运动方程[1]，被认为是量子力学的奠基理论之一。
薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。
含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。
不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。
波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。
而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。
薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。
量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正电子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。
薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。
薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。
海森堡表述比较没有这么严重的问题；而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。
[编辑]含时薛定谔方程虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。
理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。
在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为(1)其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。
类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为(2)假若，系统内有个粒子，则波函数是定义于-位形空间，所有可能的粒子位置空间。
用方程表达，。
其中，波函数的第个参数是第个粒子的位置。
所以，第个粒子的位置是。
[编辑]不含时薛定谔方程不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。
顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。
应用分离变量法，猜想的函数形式为；其中，是分离常数，是对应于的函数．稍回儿，我们会察觉就是能量．代入这猜想解，经过一番运算，含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程：。
爱因斯坦薛定谔方程
爱因斯坦薛定谔方程
爱因斯坦-薛定谔方程（Einstein-Schrödinger equation）是一个量子力学中的方程，将爱因斯坦的相对论和薛定谔方程结合在一起，描述了物质和场相互作用的行为。
这个方程是在广义相对论和量子力学之间的理论框架下提出的。
具体而言，爱因斯坦-薛定谔方程描述了物质在引力场中的行为，以及粒子与电磁场的相互作用。
它是一个偏微分方程，通常被写成：iħ∂ψ/∂t = (c^2√(p^2c^2 + m^2c^4) + eφ)ψ。
其中，ψ是波函数，描述了量子态的演化；t是时间；ħ是约化普朗克常数；c是光速；p是动量算符；m是粒子的静质量；e是元电荷；φ是电磁场势。
爱因斯坦-薛定谔方程是一个非常复杂的方程，它描述了物质在引力场和电磁场中的量子行为。
这个方程在理论物理的研究中扮演着重要的角色，帮助我们理解微观世界的行为。
但是，由于其复杂性，解析解很难找到，通常需要使用数值方法进行求解。
薛定谔方程
v v v v ψ(r ,t) =c1 1(r ,t) +c2ψ2(r ,t) +⋅⋅⋅ = ∑ iψi (r ,t) ψ c
也是这个系统的一个可能的量子态。 也是这个系统的一个可能的量子态。
i
薛定谔方程是复数方程，因此它的解， ② 薛定谔方程是复数方程，因此它的解，即波函数 一般是复数。 一般是复数。
一、含时薛定谔方程 1. 自由粒子的含时薛定谔方程 自由粒子的波动性对应于平面波，因此， 自由粒子的波动性对应于平面波，因此，描述自由 粒子量子态的波函数可以采用平面波函数的形式。 粒子量子态的波函数可以采用平面波函数的形式。 量子力学中，自由粒子对应的平面波函数： 量子力学中，自由粒子对应的平面波函数：
2 2 2
∂ψ ih = Eψ ∂t
v −ih∇ = pψ ψ
−h ∇ ⇔p
2 2 2
∂ v ih ⇔E −ih∇⇔ p ∂t
箭头左边的符号作用于波函数等于箭头右边的物理 量乘以波函数。 量乘以波函数。 不考虑相对论效应， 动能与动量的关系： 不考虑相对论效应，则动能与动量的关系： 与动量的关系
p E= 2µ 2 p Eψ = ψ 2µ
v 波矢， 波矢 大小等于角波数，沿着波传播方向。 k——波矢，大小等于角波数，沿着波传播方向。
角频率。 角频率 ω ——角频率。
v v v ψ(r ,t) = Aex i(k ⋅ r −ω ) p t
{
}
v v v ψ(r ,t) = Aex i(k ⋅ r −ω ) p t
{
}
ω
2π 2π E 1 = hν = E = = 2πν = T h h h v v v v v k 2π k 2π h k 1 k k = k k = λ k = h λ k = h p k
薛定谔方程是干嘛的
薛定谔方程是干嘛的薛定谔方程是量子力学中最基本的方程之一，描述了波粒二象性粒子（如电子、原子等）的运动和行为。
这个方程是由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出的，为量子力学的发展奠定了基础。
薛定谔方程的提出，革命性地改变了我们对微观粒子运动的理解。
它不仅揭示了微观世界的奇特规律，也在许多领域中有着广泛的应用。
描述粒子的波函数薛定谔方程的核心是描述粒子运动的波函数。
波函数是关于时间和空间的函数，可以用来描述粒子在不同位置和不同时间的概率分布。
波函数的平方模的值表示了在某个位置观测到粒子的概率。
通过求解薛定谔方程，可以得到粒子的波函数，从而了解粒子在空间中的行为。
揭示粒子的量子行为薛定谔方程的解揭示了微观粒子的量子行为。
根据薛定谔方程，对于一个束缚在势场中的粒子（如原子），其波函数具有离散的能量量子态。
这意味着粒子只能取得特定的能量值，而不能连续地变化。
这个现象被称为能级分立。
薛定谔方程通过粒子波函数的解，成功地解释了许多实验现象，如光谱的量子化、原子的稳定性等。
预测粒子的行为薛定谔方程不仅可以用来描述粒子的静态性质，还可以预测粒子在不同条件下的动态行为。
通过对薛定谔方程进行数值解，可以获得粒子在时间演化过程中的波函数变化。
进一步，可以计算出粒子的期望位置、动量等物理量的变化情况。
这为研究粒子的运动规律提供了重要工具和方法。
应用于材料科学和化学领域薛定谔方程在材料科学和化学领域中有着重要的应用。
它能够解释材料中的电子结构和性质，为材料设计和性能优化提供理论依据。
例如，通过求解薛定谔方程，可以预测和解释材料的带隙、导电性等电子性质，从而指导新材料的开发。
在化学反应研究中，薛定谔方程的数值解还能提供反应速率常数、反应途径等重要信息，对于理解和控制化学反应过程至关重要。
推动物理学和科学的进步薛定谔方程的提出，极大地推动了物理学和科学的发展。
它不仅改变了我们对粒子运动和行为的认知，也催生了量子力学这一全新的物理学分支。
《薛定谔方程》课件
波函数需要满足归一化条件，即 ∫Ψ*(r,t)Ψ(r,t)dV=1，以确保粒 子存在于有限空间内。
时间演化算符
时间演化算符定义
时间演化算符描述波函数的演化过程，通常表示为 U(t)，其中t是时间。
时间演化算符的性质
时间演化算符是幺正算符，即U(t)U*(t)=I，其中I是 单位算符。
时间演化算符的作用
时间演化算符可以将初始时刻的波函数演化到任意时 刻的波函数。
能量算符
能量算符定义
能量算符描述微观粒子的能 量，通常表示为H。
能量算符的性质
能量算符是厄米特算符，即 H=H*。
能量算符的作用
能量算符可以将波函数投影 到能量本征态上，得到粒子 的能量。
边界条件和初始条件
边界条件
描述波函数在边界上的行为，如周期 边界、反射边界等。
原理
通过选取适当的变分函数，将薛定谔方程的 求解问题转化为求变分极值的问题。
步骤
选取合适的变分函数，将薛定谔方程转化为变分问 题，然后利用变分法的基本原理求解该问题。
应用范围
适用于具有某些特殊性质的薛定谔方程，如 具有对称性、周期性等性质的问题。
04
薛定谔方程的经典实例
一维无限深势阱
描述
一维无限深势阱是一个理想化的模型，用于描述粒子在一维空间中的 运动，其中势能只在有限区域内存在。
在生物学中，它可以用来描述生物分子的结构和性质， 如蛋白质的结构和功能等。
02
薛定谔方程的基本概念
波函数
01
波函数定义
波函数是描述微观粒子状态的函 数，通常表示为Ψ(rห้องสมุดไป่ตู้t)，其中r是 位置向量，t是时间。
02
波函数的性质
薛定谔方程
薛定谔方程薛定谔方程(Schrödinger equation)是一个由奥地利物理学家薛定谔在1926年[1]描述量子力学中波函数的运动方程，被认为是量子力学的奠基理论之一。
薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。
含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。
不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。
波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。
而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。
薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。
量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正电子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。
薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。
薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。
海森堡表述比较没有这么严重的问题;而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。
目录[隐藏], 1 含时薛定谔方程, 2 不含时薛定谔方程, 3 历史背景与发展, 4 含时薛定谔方程导引o 4.1 启发式导引, 4.1.1 假设, 4.1.2 波函数以复值平面波来表达波函数o 4.2 薛定谔的导引, 5 特性o 5.1 线性方程, 5.1.1 证明o 5.2 实值的本征态o 5.3 幺正性, 5.3.1 证明o 5.4 完备基底, 6 相对论性薛定谔方程, 7 解析方法, 8 实例o 8.1 自由粒子o 8.2 一维谐振子o 8.3 球对称位势, 8.3.1 角部分解答, 8.3.2 径向部分解答, 9 参阅, 10 参考文献, 11 外部链接[编辑] 含时薛定谔方程虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。
理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。
在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为;(1) 其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。
量子力学中的薛定谔方程
量子力学中的薛定谔方程在量子力学中，薛定谔方程是一个重要的基本方程，被广泛应用于描述微观粒子的行为和性质。
薛定谔方程以奥地利物理学家埃尔温·薛定谔（Erwin Schrödinger）的名字命名，是量子力学的基石之一。
薛定谔方程描述了体系的波函数随时间演化的规律，通过求解该方程，可以获得粒子在空间中的波函数及其相应的能量。
薛定谔方程是一个线性偏微分方程，一般形式为：\[i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r}, t) = \hat{H}\Psi(\mathbf{r}, t)\]其中，\[i\]表示虚数单位，\[\hbar\]为约化普朗克常数，\[\Psi(\mathbf{r}, t)\]是波函数，描述了粒子在空间中的分布情况随时间的变化。
方程右侧的\[\hat{H}\]是系统的哈密顿量（Hamiltonian），描述了体系的能量。
薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，可以用来描述各种体系，包括原子、分子、固体和微观粒子等。
通过求解薛定谔方程，可以得到体系的波函数，波函数的模的平方代表了在某一时刻粒子出现在不同位置的概率分布。
由于薛定谔方程是一个偏微分方程，求解它需要考虑边界条件和初始条件。
对于简单的系统，如自由粒子，可以直接求解得到解析解。
但对于复杂的体系，如多电子原子或分子，一般需要采用数值方法进行求解。
量子力学的创立为描述微观世界的现象提供了全新的框架，薛定谔方程作为量子力学的基本方程，为我们理解微观粒子的行为和性质提供了强有力的工具。
通过求解薛定谔方程，我们可以预测和解释许多实验现象，如电子的能级结构、原子和分子的光谱等。
总结一下，薛定谔方程是量子力学中的基本方程，描述了体系的波函数随时间演化的规律。
通过求解薛定谔方程，我们可以获取体系的波函数及其相应的能量，从而揭示微观粒子的行为和性质。
薛定谔方程在量子力学的发展中起到了重要的作用，为我们认识和理解微观世界提供了重要的框架。
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薛定谔方程(Schrödinger equation)是一个由奥地利物理学家薛定谔在1926年描述量子力学中波函数的运动方程[1]，被认为是量子力学的奠基理论之一。
薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。
含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。
不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。
波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。
而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。
薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。
量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正电子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。
薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。
薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。
海森堡表述比较没有这么严重的问题；而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。
目录[隐藏]• 1 含时薛定谔方程• 2 不含时薛定谔方程• 3 历史背景与发展• 4 含时薛定谔方程导引o 4.1 启发式导引▪ 4.1.1 假设▪ 4.1.2 波函数以复值平面波来表达波函数o 4.2 薛定谔的导引• 5 特性o 5.1 线性方程▪ 5.1.1 证明o 5.2 实值的本征态o 5.3 幺正性▪ 5.3.1 证明o 5.4 完备基底• 6 相对论性薛定谔方程•7 解析方法•8 实例o8.1 自由粒子o8.2 一维谐振子o8.3 球对称位势▪8.3.1 角部分解答▪8.3.2 径向部分解答•9 参阅•10 参考文献•11 外部链接[编辑] 含时薛定谔方程虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。
理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。
在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为；(1)其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。
类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为。
(2)假若，系统内有个粒子，则波函数是定义于-位形空间，所有可能的粒子位置空间。
用方程表达，。
其中，波函数的第个参数是第个粒子的位置。
所以，第个粒子的位置是。
[编辑] 不含时薛定谔方程不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。
顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。
应用分离变量法，猜想的函数形式为；其中，是分离常数，是对应于的函数．稍回儿，我们会察觉就是能量．代入这猜想解，经过一番运算，含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程：。
类似地，方程 (2) 变为。
[编辑] 历史背景与发展爱因斯坦诠释普朗克的量子为光子，光波的粒子；也就是说，光波具有粒子的性质，一种很奇奥的波粒二象性。
他建议光子的能量与频率成正比。
在相对论里，能量与动量之间的关系跟频率与波数之间的关系相同，所以，连带地，光子的动量与波数成正比。
1924年，路易·德布罗意提出一个惊人的假设，每一种粒子都具有波粒二象性。
电子也有这种性质。
电子是一种波动，是电子波。
电子的能量与动量决定了它的物质波的频率与波数。
1927年，克林顿·戴维孙和雷斯特·革末将缓慢移动的电子射击于镍晶体标靶。
然后，测量反射的强度，探测结果与X射线根据布拉格定律 (Bragg's law) 计算的衍射图案相同。
戴维森-革末实验彻底的证明了德布罗意假说。
薛定谔夜以继日地思考这些先进理论，既然粒子具有波粒二象性，应该会有一个反应这特性的波动方程，能够正确地描述粒子的量子行为。
于是，薛定谔试着寻找一个波动方程。
哈密顿先前的研究引导著薛定谔的思路，在牛顿力学与光学之间，有一种类比，隐蔽地暗藏于一个察觉里。
这察觉就是，在零波长极限，实际光学系统趋向几何光学系统；也就是说，光射线的轨道会变成明确的路径，遵守最小作用量原理。
哈密顿相信，在零波长极限，波传播会变为明确的运动。
可是，他并没有设计出一个方程来描述这波行为。
这也是薛定谔所成就的。
他很清楚，经典力学的哈密顿原理，广为学术界所知地，对应于光学的费马原理。
借着哈密顿-雅可比方程，他成功地创建了薛定谔方程。
薛定谔用自己设计的方程来计算氢原子的谱线，得到了与用玻尔模型计算出的能级相同的答案。
但是，薛定谔对这结果并不满足，因为，索末菲似乎已经正确地计算出氢原子光谱线精细结构常数的相对论性的修正。
薛定谔试着用相对论的能量动量关系式，来寻找一个相对论性方程（现今称为克莱因-高登方程），可以描述电子在库仑位势内的量子行为。
薛定谔计算出这方程的定态波函数。
可是，相对论性的修正与索末菲的公式有分歧。
虽然如此，他认为先前非相对论性的部分，仍旧含有足够的新结果。
因此，决定暂时不发表相对论性的修正，只把他的波动方程与氢原子光谱分析结果，写为一篇论文。
1926年，正式发表于物理学界[2]。
从此，给予了量子力学一个新的发展平台。
薛定谔方程漂亮地解释了的行为，但并没有解释的意义。
薛定谔曾尝试解释代表电荷的密度，但却失败了。
1926年，就在薛定谔第四篇的论文发表之后几天，马克斯·玻恩提出概率幅的概念，成功地解释了的物理意义[3]。
可是，薛定谔本人一直不承认这种统计或概率的表示方法，和它所伴随的非连续性波函数坍缩。
就像爱因斯坦的认为量子力学是基本为确定性理论的统计近似，薛定谔永远无法接受哥本哈根诠释。
在他有生最后一年，他写给马克斯·玻恩的一封信内，薛定谔清楚地表明了这看法。
[编辑] 含时薛定谔方程导引[编辑] 启发式导引含时薛定谔方程的启发式导引，建立于几个假设：[编辑] 假设(1) 一个粒子的总能量可以经典地表达为动能与势能的和：；其中，是动量，是质量。
特别注意，能量与动量也出现于以下两个关系方程。
(2) 1905年，爱因斯坦于提出光电效应时，指出光子的能量与对应的电磁波的频率成正比：其中，是普朗克常数，是角频率。
(3) 1924年，路易·德布罗意提出德布罗意假说，说明所有的粒子都具有波的性质，可以用一个波函数来表达。
粒子的动量与伴随的波函数的波长有关：；其中，是波数。
用矢量表达，。
[编辑] 波函数以复值平面波来表达波函数1925年，薛定谔发现平面波的相位，可用一个相位因子来表示：。
他想到，因此。
并且相同地由于，故。
因此得到。
再由经典力学的公式，一个粒子的总能为，质量为，在势能处移动：。
薛定谔得到一个单一粒子在一维空间有势能之处移动时的方程：。
[编辑] 薛定谔的导引思考一个粒子，运动于一个保守的位势。
我们可以写出它的哈密顿-雅可比方程；其中，是哈密顿主函数。
由于位势显性地不相依于时间，哈密顿主函数可以分离成两部分：；其中，不相依于时间的函数是哈密顿特征函数，是能量。
将哈密顿主函数公式代入粒子的哈密顿-雅可比方程，稍加运算，可以得到；哈密顿主函数随时间的全导数是。
思考哈密顿主函数的一个常数的等值曲面。
这常数的等值曲面在空间移动的方程为。
所以，在设定等值曲面的正负面后，朝着法线方向移动的速度是。
这速度是相速度，而不是粒子的移动速度：。
我们可以想像为一个相位曲面。
既然粒子具有波粒二象性，试着给予粒子一个相位与成比例的波函数：；其中，是常数，是相依于位置的系数函数。
将哈密顿主函数的公式代入波函数，成为。
注意到的量纲必须是频率，薛定谔突然想起爱因斯坦的光电效应理论；其中，是约化普朗克常数，是角频率。
设定，粒子的波函数变为；其中，。
的波动方程为。
将波函数代入波动方程，经过一番运算，得到。
注意到。
稍加编排，可以导引出薛定谔方程：。
[编辑] 特性[编辑] 线性方程主条目：态叠加原理薛定谔方程是一个线性方程。
满足薛定谔方程的波函数拥有线性关系。
假若与是某薛定谔方程的解。
设定，其中，与是任何常数。
则也是一个解。
[编辑] 证明根据不含时薛定谔方程 (1) ，，。
线性组合这两个方程的解，。
所以，也是这含时薛定谔方程的解，证明含时薛定谔方程是一个线性方程。
类似地，我们可以证明不含时薛定谔方程是一个线性方程。
[编辑] 实值的本征态不含时薛定谔方程的波函数解答，也符合线性关系。
但在这状况，线性关系有稍微不同的意义。
假若两个波函数与都是某不含时薛定谔方程的，能量为的解答，则这两个不同的波函数解答为简并的。
任何线性组合也是能量为的解答。
对于任何位势，都有一个明显的简并：假若波函数是某薛定谔方程的解答，则其共轭函数也是这薛定谔方程的解答。
所以，的实值部分或虚值部分，都分别是解答。
我们只需要专注实值的波函数解答。
这限制并不会影响到整个不含时问题。
转移焦点到含时薛定谔方程，两个复共轭的波，以相反方向移动。
给予某含时薛定谔方程的解答。
其替代波函数是另外一个解答：。
这解答是复共轭对称性的延伸。
称复共轭对称性为时间反转。
[编辑] 幺正性在量子力学里，对于任何事件，所有可能产生的结果的概率总和等于 1 ，称这特性为幺正性。
薛定谔方程能够自动地维持幺正性。
用波函数表达，。
(3)为了满足这特性，必须将波函数归一化。
假若，某一个薛定谔方程的波函数尚未归一化。
由于薛定谔方程为线性方程，与任何常数的乘积还是这个薛定谔方程的波函数。
设定；其中，是归一常数，使得。
这样，新波函数还是这个薛定谔方程的解答，而且，已经被归一化了。
在这里，特别注意到方程 (3) 的波函数相依于时间，而随着位置的积分仍旧可能相依于时间。
在某个时间的归一化，并不保证随着时间的演化，波函数仍旧保持归一化。
薛定谔方程有一个特性：它可以自动地保持波函数的归一化。
这样，量子系统永远地满足幺正性。
所以，薛定谔方程能够自动地维持幺正性。
[编辑] 证明总概率随时间的微分表达为。
(4) 思考含时薛定谔方程，。
其复共轭是。
所以，代入方程 (4) ，在无穷远的极限，符合物理实际的波函数必须等于 0 。
所以，。
薛定谔方程的波函数的归一化不会随时间而改变。
[编辑] 完备基底能量本征函数形成了一个完备基底。
任何一个波函数可以表达为离散的能量本征函数的线性组合，或连续的能量本征函数的积分。
这就是数学的谱定理(spectral theorem) 。
在一个有限态空间，这表明了厄米算符的本征函数的完备性。
[编辑] 相对论性薛定谔方程主条目：相对论量子力学薛定谔方程并没有将相对论效应纳入考虑范围内。
对于伽利略变换，薛定谔方程是个不变式；可是对于洛伦兹变换，薛定谔方程的形式会改变。
为了要包含相对论效应，必须将薛定谔方程做极大的改变。
试想能量质量关系式，；其中，是光速，是静止质量。
直接地用这关系式来推广薛定谔方程：。
或者，稍加编排，；其中，，是达朗贝尔算符。