数学建模冰山运输

拖运冰山的费用估算摘要据资料显示：地球上的水资源有97%被盐化，仅有3%是淡水资源，且大部分是主要分布在南北两极地区的固体冰川，众所周知，水是生命的源泉，是人类赖以生存和发展的重要物质资源之一。

而在一些淡水资源非常匮乏的地方，各种产水方式应运而生，本文主要针对以盛产石油著称的波斯湾地区，在采用高成本的海水淡化下，专家建议用拖船从相距9600km外的南极把冰山运到波斯湾地区，取代海水淡化的方法，在拖运过程中采用三种不同的船型、船速会产生不同的费用，为了使获得淡水资源费用合理化。

需要对总费用进行合理的估算，为了解决这个问题，我们建立初等函数模型，计算船只以最大运量运一次的总费用和剩余的冰山体积；总费用=日租金⨯天数+总燃料消耗费用，考虑到实际运输过程中，冰山的融化会引起燃料消耗费用的变化，我们应该求出体积变化的临界值（即所运的冰山何时会缩小到原来体积的110），再根据表2可求出对应的消耗原料。

剩余冰山的体积=船的最大运量-运输过程中融化的冰。

运输过程中冰的融化速率与冰山到达处与南极的距离有关。

根据表3，在特定的船速条件下，将冰山融化速率与南极距离看成线性关系y ax b=+，根据曲线积分可以求出融化的冰，然后求剩余的冰转换成水的体积，计算每立方米水的成本，，经过计算选择大型船，船速为5km/h，每立方米水的成本0.054英镑/3m。

关键字：燃料消耗费用冰山融化的体积融化速率临界值1、问题重述在以盛产石油著称的波斯湾地区，浩瀚的沙漠覆盖着大地，水资源十分缺乏，不得不采用淡化海水的办法为国民提供用水，成本大约是每立方米0.1英镑，有些专家提出从相距9600km外的南极用拖船运送冰山到波斯湾，以取代淡化海水的办法。

在运送冰山的过程中，拖船的租金、运量、燃料消耗及冰山运送过程中融化速率等方面的数据如下：（1）三种拖船的日租金和最大运量如表1所示。

（2）燃料消耗（英镑/km），主要依赖于船速和所运冰山的体积，船型的影响可以忽略，如表2所示。

（3）冰山运输过程中的融化速率（m/d），指在冰山与海水接触处每天融化的深度，融化速率除与船速有关外，还与运输过程中冰山到达处与南极的距离有关，这是由于冰山要从南极运往赤道附近的缘故，如表3所示。

根据所给数据，建立数学模型，解决问题：试选择拖船的船型与船速，使冰山到达目的地后，可以得到的每立方米水所花的费用最低，并与海水淡化的费用相比较。

2、问题分析此题研究的是每立方米水成本的数学建模问题，题目给出的数据有三种船型，三种船速，那么可分9种情况去求解问题。

求解每立方米水的成本就要求解出运输一次的费用和剩余的冰山体积。

由于在运输过程中，单位路程燃料消耗与冰山的体积成正相关关系。

但是冰山的体积是动态变化的，从而单位路程燃料消耗也随之改变。

为了计算方便，利用均值求一段路程的燃料的消耗，而冰山的融化速率与冰山到达处与南极的距离有关，根据图1可以得出当船速确定时，融化速率与距南极距离成线性相关。

同样地可采用均值求解，可以确定到达目的地后冰山的剩余体积。

将冰转化为水，从而估算出每立方米水的成本。

图1图23、模型的假设及符号说明拖船在托运冰山的过程中，有以下假设：假设1、 假设拖船航行过程中的船速不变，航行不考虑天气等任何因素的影响，总航行距离9600km ；假设2、假设冰山形状为球形，球面各点的融化速率相同；假设3、假设冰山到达目的地后，13m 的冰可以融化成0.853m 的水。

假设4、假设冰山在运输过程中融化的速率与距离为线性关系。

假设5、三种型号的船是按最大运输量拖运冰山。

假设6、冰山到达目的地后融化过程中不考虑损耗。

假设7、假设拖船所在地就在南极，不用考虑返程费用。

符号说明： 符合符号说明i v 拖船的速度 1,2,3i =i z i z 拖船的日租金ij w燃料消耗速度 1,2,3i = 1,3,5j =i l 距离南极的距离 1,2,3i = ij u融化速度 1,2,3i = R冰山的半径R j 耗 运动过程中冰山融化的深度1,3,5j = 0j R ， 初始时刻冰山的半径1,3,5j = j V 最后剩余的冰山体积1,3,5j = R j 末最后时刻冰山的半径1,3,5j =i Zi Z 拖船的总租金LL 为总长度ij m 全程燃料费用 1,2,3i = 1,3,5j = ij p运冰的总费用1,2,3i =4、模型建立为了求解每立方米水的成本，就要计算出拖船运输一次的总费用和剩余的冰山体积，首先，根据题目所给的冰山融化速率与船速、距南极距离的相关数据，我们可以求解出当船速确定的时候，冰山融化速率与距南极距离成线性关系，利用均值和曲线积分可以求解出船只行驶一段距离与融化冰山的体积的关系。

312123000.85i i i i i i i i i i i j L L L R u u u v v v R R R R V R ⎧=⨯+⨯+⨯⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪=⨯⎪⎩耗末耗j 末 （1） 其次，由上述计算可以得出燃料消耗与冰山体积的关系，因为冰山体积是动态变化的，所以燃料消耗也是动态的，为了计算的简单化，我们把计算一段路程的燃料消耗简化为固定两个端点的单位路程燃料消耗与行驶路程的乘积和的均值。

11223324ij j j j ii iij i ij m w l w l w l L Z z v p Z m ⎧=⨯+⨯+⨯⎪⎪=⨯⎨⨯⎪⎪=+⎩（2） 最后： 由上述条件利用总费用和冰融化成水后的单位成本：0.85ij J jp p V V R ⎧=⎪⎨⎪=⨯⎩j 末 (3)5、模型求解首先，计算出不同船型以不同速度拖运冰山所需的总费用。

其次，计算出不同船型以不同速度拖运冰山到达目的地，融化成的水。

最后，由上述条件求出冰山拖运到目的地融化为水后每立方米的成本，与淡化每立方米水的成本相比较得出成本最低的方案。

第一步：计算总费用112233ij j j j m w l w l w l =⨯+⨯+⨯ （4）不同船型以不同船速拖冰山，所需的燃料费：表4i Z 拖船的总租金：24i i iLZ z v =⨯⨯ （5） 用不同船型拖运所用的总租金：表5总费用：ij i ij p Z m =+ （6）312123i i i i i i iL L LR u u u v v v =⨯+⨯+⨯耗 （7） 不同船型以不同船速拖冰山，冰山融化的深度：0i R =（8） 0i i i R R R =-末耗 （9）计算可知用小船拖运时以1km/h 到达目的地时冰块已经完全融化，中船拖运时以1km/h 到达目的地时冰块已经完全融化所以不再考虑这两种情况。

不同船型以不同船速拖冰山，到达目的地剩余体积：0i i i R R R =-末耗冰山到达后无其他损耗全部都融化成水的体积：0.85j V R =⨯j 末第三步：ij Jp V =每立方米冰的成本从南极运冰到目的地的每立方米成本为：表10根据计算结果与已知条件（成本每立方米0.1英镑）对比得出0.054英镑/3m 的成本价格是最低的，所以我们选择大型船，船速为5km/h 。

6、模型评价优点：1、构造的模型比较简单2、该模型的建立将实际问题模型化，复杂问题简单化；3、我们采用了均值与曲线积分的计算方法，使计算变得相对简单；4、此模型的全局规划比较合理。

缺点：1、利用均值求解融化冰山的体积与燃料消耗不准确；2、运输过程融化速率与距南极距离并不成线性关系。

7、模型的改进与推广模型改进：虽然得到的最低费用0.054英镑/3m 小于海水淡化需要的成本，但是模型中未考虑天气等其它因素会导致拖船过程中成本变高。

我们在计算过程中应该以冰山拖运过程中最大损耗、燃料的最大费用，来避免由自然因素带来的船只到达目的地的时间延期增加的费用。

方法改进冰山融化速率r （m/d)与船速u(km/h ）与南极距离d(km)的关系 r 是u 的线性函数；04000d ≤≤时u 与d 成正比，4000d >时u 与d 无关，12(1)04000(1)4000a d bu d r a bu d ⨯+≤≤⎧=⎨⨯+≥⎩ （10）代入（u ，d ）=（1,3）；r （u ，d ）=（1,5）得出1a =57.510-⨯， 2a =0.225b =0.33航行t 天后，融化速率为124000(1)04000(1)t a ud bu t t u r a bu t u ⎧⨯+≤≤⎪⎪=⎨⎪⨯+≥⎪⎩(11)540007.510(10.33)040000.225(10.33)t u u t t u r u t u -⎧⨯⨯+≤≤⎪⎪=⎨⎪⨯+≥⎪⎩(12)又因为t 天冰山的半径为00tt t t R R r ==-∑ (13)故剩余冰山的体积为33003043434)3t t tt t v R v R V r πππ=⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∑ （14）燃料消耗费用q （英镑/km ）z 对u 线性，对10log v 线性，()()123lg z c u c v c =++ （15） 代入数据得出1c =0.3 ，2c =6 3c =-1()()12330lg 4)3t t t z c u c v c V r π==++⎧⎪⎨=⎪⎩∑ （16） 航行第t 天的燃料消耗()3047.26lg )13t k k z u u r π=⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭∑ （17） 而日租金与船的型号有关故5056006704.0510() 6.2510108.01010V f V V V ⎧≤⨯⎪=⨯≤≤⎨⎪≤≤⎩（18） 所以船型运输一次的总费用为011400()47.2(6)lg 13T T t t t f v P u u r u π==⎡⎤=++--⎢⎥⎣⎦∑∑ （19）此模型的建立会减少误差，由第一次模型计算的结果，将大型船，船速为5km/h 。

的数据代入上述公式，计算结果。

参考文献（1）、姜启源、谢金星，叶俊，数学模型（第三版）北京，高等教育出版社，2003；（2）、韩忠庚，数学建模方法及其应用，北京高等教育出版社，2005；（3）、吴建国，数学建模案例精编北京，中国水利水电出版社2005；附录模型求解在Matlab中的实现：画图1：船速固定时，冰山体积与燃料的关系图>>clear>> a=[0 1000 4000 9600];>>b1=[0 0.1 0.3 0.3];>>b3=[0 0.15 0.45 0.45];>>c=0:100:9600;>>interp1(a,b1,c,’cubic’);>>interp1(a,b3,c,’cubic);>>interp1(a,b5,c,’cubic’);>>plot(a,b1,’o’,a,b1,’g’,a,b3,’o’,a,b3,’r’,a,b5,’o’,a,b5,’b’)>>gtext(‘船速1/km/h’)>>gtext(‘船速3/km/h’)>>gtext(‘船速5/km/h’)画图2：船速固定时，燃料消耗与冰山体积的关系图>> a=[10^5 10^6 10^7];>> b1=[8.4 10.5 12.6];>> b3=[10.8 13.5 16.2];>> b5=[13.2 16.5 19.8];>> c=10^5:100:10^7;>> interp1(a,b1,c,'cubic');>> interp1(a,b3,c,'cubic');>> interp1(a,b5,c,'cubic');>> plot(a,b1,'o',a,b1,'g',a,b3,'o',a,b3,'r',a,b5,'o',a,b5,'b')>> gtext('船速1/km/h')>> gtext('船速3/km/h')>> gtext('船速5/km/h')计算过程>>x=(0.75*10^5/(pi))^(1/3)x1=(0.75*10^5/(pi))^(1/3)x=(0.75*10^6/(pi))^(1/3)x=(0.75*10^7/(pi))^(1/3)1000/(5*24)8.3333*0.13000/(5*24)*0.25600/(5*24)*0.6x=(0.75*10^5/(pi))^(1/3)x=(0.75*5*10^5/(pi))^(1/3) >> 133.6505-2.0833-12.5 ans =119.0672>> 119.0672-62.0350>> 84.5833-2.0833-12.5 >> 60-2.0833-12.5ans =45.4167>> 12.9678/0.3*24ans =1.0374e+003>> 9600-1.0374e+003ans =8.5626e+0036441.1*13.5+3158.9*10.8 ans =1.2107e+005>> 9540*16.5+60*13.2ans =158202>> 8562.6*12.6+1037.4*10.5 ans =1.1878e+005>> 9600*16.2ans =155520>> 9600*19.8ans =190080>> 1000/(5*24)ans =8.3333>> 8.3333*0.1ans =0.8333>> 3000/(5*24)*0.2ans =5>> 5600/(5*24)*0.6ans =28.0000>> 5600/24ans =233.3333>> 233.3333*0.3ans =70.0000>> x=(0.75*10^5/(pi))^3x =1.3606e+013>> x=(0.75*10^5/(pi))^(1/3)x =28.7941>> x=(0.75*10^6/(pi))^(1/3)x =62.0350>> x=(0.75*10^7/(pi))^(1/3)x =133.6505>> 6441.1*13.5+3158.9*10.8ans =1.2107e+005>> (4/3)*pi*(6.9456)^3>> (4/3)*pi*(49.2373-33.8333)^3 3.2236e+004>> (4/3)*pi*(62.035-33.8333)^3 ans =9.3954e+004>> (4/3)*pi*(133.6505-33.8333)^3 ans =4.1659e+006>> (4/3)*pi*(133.6505-42.2917)^3 ans =3.1940e+006>> (4/3)*pi*(133.6505-84.5833)^3 ans =4.9484e+005>> 1403.5*0.85ans =1.1930e+003>> 15310*0.85ans =1.3014e+004。