高中数学 圆锥曲线的统一定义
【K12学习】圆锥曲线的统一定义 教案(苏教版选修2-1)
圆锥曲线的统一定义教案(苏教版选修2-1)2．5 圆锥曲线的统一定义●三维目标 1．知识与技能(1)圆锥曲线统一定义及其应用． (2)圆锥曲线的准线及其应用． 2．过程与方法(1)通过对圆锥曲线的统一定义的研究，体会三种曲线的内在统一性，培养学生归纳、总结能力．(2)通过对圆锥曲线统一定义的应用，培养学生对圆锥曲线的准线的理解，培养学生转换角度，认识问题的能力．(3)通过例题变式训练的求解，培养学生数学建模、解决问题的能力．体会特殊到一般，具体到抽象的认识规律．3．情感、态度与价值观在寻求圆锥曲线定义与解题方法之间共同点的过程中，培养学生用“普遍联系”的观念分析事物之间的联系，培养学生严谨的科学态度，勇于探索和敢于创新的科学精神．●重点难点重点：圆锥曲线统一定义的推导．难点：对圆锥曲线统一定义的理解与运用．(教师用书独具)●教学建议以前已学过求圆锥曲线的标准方程和利用圆锥曲线方程研究曲线几何性质的初步知识．本节是在这个基础上学习圆锥曲线的统一定义，研究它们的共同性质，使学生掌握这三种曲线的特点，以及它们之间的区别与联系，进一步熟悉和掌握坐标法．通过设计导学提纲引导学生做好课前预习，明确本节的重难点，主动思考，发现问题，在课堂上分组讨论交流，合作探究，展示交流成果，学生主讲，学生板书，学生点评，当堂进行达标测试，及时反馈学生知识掌握水平，从而完成预定教学目标．引导学生在探究中发现问题、研究问题并解决问题．在感性活动的基础上，上升到理性的数学知识的形成，养成良好学习习惯和思维习惯．●教学流程设置情景，导入新课．上课开始，先回顾椭圆、双曲线、抛物线的定义，提出问题，平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l的(F不在l上)距离的比等于1的动点P的轨迹是抛物线，那么，当比值是一个不等于1的常数时，动点P的轨迹又是什么呢？师生x－c2＋y2c互动，探求新知．思考：在推导椭圆标准方程时，我们得到一个变形式：＝a.a2－xc同学们能解释它的几何意义吗？设计说明：使学生学会从多个角度(如代数的、几何的角度)认识同一个对象．学生归纳圆锥曲线的统一定义：平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹．当01时，它表示双曲线；当e＝1时，它表示抛物线．设计说明：使学生对圆锥曲线的共同性质有理性的认识．通过例1及变式训练，使学生掌握已知准线求圆锥曲线方程的方法，领会准线、离心率与基本量之间的关系，掌握圆锥曲线统一定义的实质，认识到准线在统一定义中的重要性．通过例2及变式训练，使学生掌握圆锥曲线统一定义的应用，利用圆锥曲线的统一定义，可将曲线上一点到焦点与到准线的距离灵活转换，从而达到解题的目的．利用圆锥曲线的统一定义，在已知焦点坐标和准线方程情形下求解圆锥曲线的方程．通过例3及变式训练，使学生掌握焦点弦问题的求解方法，体会利用统一定义求解焦点弦长的简捷性，从而简化计算过程．通过易错易误辨析，体会圆锥曲线统一定义的严谨性，尤其对于椭圆、双曲线，利用统一定义时，要注意焦点与准线相对应．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成力基本能.课标解读 1.了解圆锥曲线的统一定义，掌握圆锥曲线的离心率、焦点、准线等概念．(重点) 2.理解并会运用圆锥曲线的共同性质，解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．(难点) 【问题导思】圆锥曲线的统一定义如何求圆锥曲线的统一方程呢？【提示】如图，过点M作MH⊥l，H为垂足，圆锥曲线的统一定义可知M∈{M||FM|＝e|MH|}．取过焦点F，且与准线l垂直的直线为x轴，F(O)为坐标原点，建立直角坐标系．设点M的坐标为(x，y)，则|OM|＝x2＋y2. |MH|＝|x＋p|. x2＋y2＝e|x＋p|. 两边平方，化简得(1－e2)x2＋y2－2pe2x－p2e2＝0.这就是圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)在直角坐标系中的统一方程．1．平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹．当01时，它表示双曲线；当e＝1时，它表示抛物线．其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线． x2y2a2y2x22．椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的准线方程为x＝±，2＋2＝1(a＞b＞0)的准线方程为yabcaba2＝±. cx2y2a2双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的准线方程为x＝±。
圆锥曲线的统一定义3
P( x0 , y0 )的坐标。
2 2
y 2.已知双曲线x 1左、右焦点分别为F1 , F2， 3 双曲线左支上的一点P到左准线的距离为d，且 d,PF1 , PF2成等比数列，试求点P( x0 , y0 )的坐标.
y P F2 x
2
F1 P
o
P
A
（思考题）P为抛物线 y 4x上的一动点， 记点P到准线的距离为 d1 ，到直线 x 2 y 12 0 的距离为 d2 ，则 d1 d2 的最小值是___ 11 5
2
5
y
E G D O P
x
F
椭圆
求|PA|+|PB|的 最大值与最小值。
P A F1
x y 1 4 3
2 2
上运动。
|PA|+|PB| =|PA|+(2a-|PF1|) =|PA|+4-|PF1| =|PA|-|PF1|+4
· · ·
· B ·
10若|PA|>|PF1| 则|PA|+|PB| | AF1 | 4 1 4 5
20若|PA|<|PF1| 则|PA|+|PB| | AF1 | 4 1 4 3
x 2 例2、 已知双曲线 y 1 F1，F2 4
为左、右焦点，点A(3,-1)，在双曲线上 求一点P，使 （1） PA PF2 取得最小值; （2） 5 PA 2 5 PF2 取得最小值.
一、复习回顾
平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为常 数 e 的点的轨迹: ( 点F 不在直线l 上） 当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. 当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线. 当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.
圆锥曲线的统一定义 (2)
§2.5圆锥曲线的统一定义教学目的： 1、知识与技能:掌握椭圆、双曲线的第二定义以及准线的概念 2.过程与方法类比抛物线的定义引出椭圆和双曲线的第二定义，借助几何画板等多媒体手段探究出轨迹的形成，进一步推导出椭圆和双曲线的方程。
3.情感、态度与价值观通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,探究能力，激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力.教学重点：圆锥曲线的统一定义的形成 教学难点：圆锥曲线方程的推导 教学过程： 一.情境设置复习回顾1、抛物线的定义：探究与思考:1≠dPF呢 2、在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样一个式子： 将其变形为:你能解释这个式子的几何意义吗？二、知识建构例1.已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线c a x l 2:=的距离的比是常数 ca (a>c>0),求P 的轨迹.变题:已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线c a x l 2:= 的距离的比是常数 ca(c>a>0),求P 的轨迹.222)(y c x a cx a +-=-a c x c a y c x =-+-222)(圆锥曲线的统一定义:平面内到一定点 F 与到一条定直线l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上）(1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是 (2)当 e >1 时, 点的轨迹是 (3)当 e = 1 时, 点的轨迹是其中常数e 叫做圆锥曲线的离心率, 定点F 叫做圆锥曲线的焦点, 定直线l 就是该圆锥曲线的准线. 思考1、上述定义中只给出了一个焦点，一条准线，还有另一焦点，是否还有另一准线？2、另一焦点的坐标和准线的方程是什么？3、题中的|MF|=ed 的距离d 到底是到哪一条准线的距离？能否随意选一条？准线: 定义式:)0(12222>>=+b a b y a x )0,0(12222>>=-b a b y a x例２.求下列曲线的焦点坐标与准线方程:注:焦点与准线的求解:判断曲线的性质→确定焦点的位置→确定a,c,p 的值,得出焦点坐标与准线方程. 例3已知双曲线 上一点P 到左焦点的距离为14，求P 点到右准线的距离.辨析：点P 与定点F （2，0）的距离和它到定直线x=8的距离的比为1/2，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。
圆锥曲线的一个统一性质
圆锥曲线的一个统一性质
圆锥曲线是一种特殊的曲线，它的性质与普通的曲线有很大的不同。
它有一个共同的特性，即它们的线段是圆滑的，没有折点。
圆锥曲线的一个统一性质是它的曲线是由椭圆的切线组成的。
椭圆的切线是由两个相交的椭圆组成的，它们相交点的坐标是(
0,0)，切线的形状是一条抛物线，抛物线的方程式是
y=ax^2+bx+c。
这里a,b,c分别是抛物线的系数，x是抛物线的参数。
圆锥曲线的参数是一条椭圆的参数，参数是由两个圆组成的，一个圆在x轴上，另一个圆在y轴上。
圆锥曲线的方程式是x^2/a^2+y^2/b^2=
1，这里a和b是圆锥曲线的参数。
圆锥曲线的另一个统一性质是它的切线是一条直线。
这个直线的方程是y=mx+c，m是直线的斜率，c是直线的截距。
圆锥曲线的切线斜率m可以由方程式算出，m=2ax+b。
圆锥曲线的另一个统一特性是它的曲线是完整的，没有折点，也就是说它们是平滑的。
这是由于圆锥曲线的方程式是一
个二次方程，它的解是一个完整的曲线，没有折点，没有断点，也就是说它是一个完整的曲线。
总之，圆锥曲线有几个统一性质，它的曲线是由椭圆的切线组成的，它的切线是一条直线，它的曲线是完整的，没有折点，也没有断点，这也是它的一个重要特性。
这些特性使得圆锥曲线在几何图形中有着重要的作用，并且在工程学、物理学、数学等领域都有着重要的应用。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们在数学和物理学等领域都有广泛的应用。
接下来，让我们详细了解一下圆锥曲线的相关知识点。
一、椭圆1、定义平面内与两个定点$F_1$、＄F_2$的距离之和等于常数（大于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
2、标准方程（1）焦点在$x$轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$），其中$a$为长半轴长，＄b$为短半轴长，＄c$为半焦距，满足$c^2 ＝ a^2 b^2$。
（2）焦点在$y$轴上：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$）。
3、椭圆的性质（1）范围：对于焦点在$x$轴上的椭圆，＄a ＼leq x ＼leq a$，＄b ＼leq y ＼leq b$；对于焦点在$y$轴上的椭圆，＄b ＼leq x ＼leq b$，＄a ＼leq y ＼leq a$。
（2）对称性：椭圆关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。
（3）顶点：焦点在$x$轴上的椭圆顶点为$（±a, 0)＄，＄（0, ±b)＄；焦点在$y$轴上的椭圆顶点为$（0, ±a)＄，＄（±b, 0)＄。
（4）离心率：椭圆的离心率$e ＝＼frac{c}｛a}＄（＄0 ＜ e ＜1$），它反映了椭圆的扁平程度，＄e$越接近$0$，椭圆越接近于圆；＄e$越接近$1$，椭圆越扁。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点$F_1$、＄F_2$的距离之差的绝对值等于常数（小于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
2、标准方程（1）焦点在$x$轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1$，其中$a ＞ 0$，＄b ＞ 0$，＄c^2 ＝ a^2 ＋ b^2$。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
掌握圆锥曲线的相关知识对于解决数学问题和理解数学的应用具有重要意义。
一、椭圆1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。
3、椭圆的性质（1）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
（2）范围：＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）。
点为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
（4）离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），其中\（a\）为实半轴长，＼（b\）为虚半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）。
圆锥曲线知识点全归纳(完整精华版)
圆锥曲线知识点全归纳（精华版）圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
一、圆锥曲线的方程和性质：1）椭圆文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。
定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
标准方程：1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.参数方程：X=acosθY=bsinθ(θ为参数，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0，圆的acosθ=r)2）双曲线文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。
定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。
标准方程：1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.参数方程：x=asecθy=btanθ(θ为参数 )3）抛物线标准方程：1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：y^2=2px 其中 p>02.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：y^2=-2px 其中 p>03.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：x^2=2py 其中 p>04.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x^2=-2py 其中 p>0参数方程x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t 可等于0直角坐标y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为ρ=ep/(1-e×cosθ)其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
圆锥曲线的统一定义
圆锥曲线的统一定义一、圆锥曲线的统一定义【问题1】已知点(,)P x y 到定点(,0)F c 的距离与它到定直线2:a l x c=的距离的比是常数c a(0)a c >>，求点P 的轨迹．【问题2】已知点(,)P x y 到定点(,0)F c 的距离与它到定直线2:a l x c=的距离的比是常数(0)c c a a>>，求点P 的轨迹．【问题3】、圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F 和到一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比等于常数e 的点的轨迹．（1）当01e <<时，它表示 ；（2）当1e >时，它表示 ；（3）当1e =时，它表示 ．其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线．二、数学应用例1、求下列曲线的准线方程 （1）22832x y -= （2）22416x y += （3）23y x =-例2、已知椭圆的离心率为12，准线为4y =±，求椭圆的标准方程；例3、椭圆2214x y +=上一点到右准线的距离是【课时作业】1、双曲线22218x y b-=的一条准线与抛物线28y x =的准线重合， 则双曲线的离心率为2、椭圆221259x y +=上的点P 到右准线的距离等于92，则点P 到左准线的距离为 ．3、设双曲线12222=-by a x 的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的焦点为F ，若以AB 为直径的圆恰好过F 点，则离心率为 ．4、已知抛物线方程是28y x =，则它的焦点坐标是 ；准线方程是 ； 若该抛物线上一点到y 轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于 ； 抛物线上的点M 到焦点的距离等于4，则点M 的坐标是 ．5、已知椭圆的方程为2212516x y +=上一点M ，（1）若点M 的坐标是(4,2.4)，则点M 与椭圆两个焦点的距离分别是 ，若点M 到一个焦点的距离是3，则它到相应准线的距离等于 ，到另一个焦点的距离等于 ．64， 求椭圆的标准方程．7、若椭圆221(0)4x y m m +=>和双曲线2211632x y m-=有相同的准线，求常数m 的值．8、在双曲线221412x y -=上求一点P ，使它到左焦点的距离是到右焦点的距离的2倍．9、动点P 到直线3x =的距离与它到点(1,0)A 的距离之比为33，求动点P 的轨迹方程．10、若椭圆22143x y +=内有一点(1,1)P -，F 为右焦点，椭圆上有一点M 使2MP MF + 最小，求点M 坐标．。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们在数学和物理学等领域都有广泛的应用。
下面我们来详细总结一下圆锥曲线的相关知识点。
一、椭圆1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程焦点在 x 轴上时：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
焦点在 y 轴上时：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。
3、椭圆的性质（1）范围：＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）。
（2）对称性：关于 x 轴、y 轴和原点对称。
（3）顶点：＼（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）。
（4）离心率：＼（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），离心率反映了椭圆的扁平程度，离心率越大，椭圆越扁；离心率越小，椭圆越接近于圆。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程焦点在 x 轴上时：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），其中\（a\）为实半轴长，＼（b\）为虚半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
焦点在 y 轴上时：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）。
3、双曲线的性质（1）范围：＼（x ＼geq a\）或\（x ＼leq a\）。
有心圆锥曲线的统一定义及性质
说明 因为有心圆锥曲线上的点与端点重合时, 斜率不 存在, 所以该定义要特别注意两个端点.
设 定 M (x, y) 是 曲 线 上 任 意 一 点, 由 已 知 得, 直 线
y
A1M 的 斜 率 kA1M
=
(x x−a
̸=
a), 直 线 A2M 的 斜 率
y
y2
kA2 M
=
(x x+a
̸=
−a), 由 kA1M · kA2M
=
y0 − x0 = 有心圆锥曲线的性质
性质 1 已知直线 l 与有心圆锥曲线 C : x2 + y2 = 1 mn
交于 A, B 两点, AB 的中点为 M , 若直线 AB 和 OM ( O 为
n 坐标原点) 的斜率都存在, 则 kAB · kOM = − m .
=
x2 − a2
=
e2 − 1(x
̸=
±a),
x2 a2
−
y2 a2(e2 − 1)
=
1(x
̸=
±a).
又因点
A1, A2 在曲线上, 得
x2
y2
a2 − a2(e2 − 1) = 1
⃝1
当 e = 0 即 e2 − 1 = −1 时, 方 程⃝1 化 为 x2 + y2 = a2,
该曲线 表 示圆; 当 e = c 即 a2(e2 − 1) = c2 − a2 时, 令
(1)
证明:
k
<
−
1 2
;
48
中学数学研究
2019 年第 4 期 (上)
(2)
设
F
为
C
的右焦点,
P
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1 高中数学 圆锥曲线的统一定义 教材：苏教版《选修2-1》2.5（Page 51 —52） 江苏省泰州中学 宋健 一． 教材分析： 《圆锥曲线的统一定义》是选修2-1（苏教版）2.5节的内容。教材对本章总体设计思路是“总—分—总”，即先从整体上认识圆锥曲线的概念,了解椭圆、双曲线和抛物线的内在关系，再运用方程思想分别研究椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，进而通过统一定义从总体上进一步认识三种圆锥曲线的关系。最后在学生对直线、圆及圆锥曲线的感性认识的基础上建立曲线方程的概念,并用方程观点认识和研究曲线交点等问题。本节从抛物线的定义出发，创设问题情境，提出类比、猜想，得到圆锥曲线的统一定义，从更高的形式上揭示圆锥曲线之间内在的关系，使学生充分感受数学的内在的、和谐的美，并且通过对研究过程的反思，培养欣赏美、发现美的能力和意识，提高数学审美意识。 二．目标分析：
鉴于以上对教材的分析及学生的实际情况，确定如下几个方面为本课的教学目标： （一）知识和技能： 通过本节的学习，了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法以及圆锥曲线的统一定义的简单应用。 （二）过程与方法 通过多媒体课件演示连续变化的圆锥曲线，让学生观察、类比、归纳自主总结得出圆锥曲线的统一定义，并能初步运用； （三）情感与价值观 通过本节的学习，培养学生观察、猜想、归纳、推理的能力，感受圆锥曲线的统一美。 三．教法分析：
教学重点：圆锥曲线统一定义的推导 教学难点：如何设出定直线方程（准线方程） 教学手段：多媒体辅助教学 教学方法：设置适当情景，观察发现、探究合作、启发引导 2
四．过程实录： 温故而知新 师：我们知道，平面内到一个定点F的距离和到一条定直线(lF不在l上)的距离的比等于常数1的动点P的轨迹是抛物线． 边说边在黑板上画出定点和定直线（如图）.
根据此定义，适当改变条件，你能提出哪些有意义的问题？ （等待1分钟） 设计意图：由一个简单问题引出话题，激发学生学习兴趣，同时逐步解决本节的学习障碍。
生: (多名同学合作) 1. 若定点F在定直线l上，轨迹会是什么呢？
2. 平面内到两个定点F1、F2的距离相等的点的轨迹会是什么呢？
3. 平面内到两条定直线l1、l2的距离相等的点的轨迹会是什么呢？ 4. 平面内到一个定点F和一条定直线l的(F不在l上)距离不相等的点的轨迹会是什么呢？ 师：这些问题都挺有研究价值. 我们还可以提出其他一些问题，比如，将条件中的“在平面内”去掉，点的轨迹会是什么呢？这些问题请同学们课后研究一下，并与你的同伴互相交流各自的探究结果. 这节课我们一起来研究，当这个比值是一个不等于1的常数时，动点P的轨迹是什么曲线？ 动手试一试 师：（打开几何画板）当常数不等于1时，我们来看看它们的图像.
师生合作：学生说常数的数值，老师用几何画板画出对应的图像. （学生有点想法了） 师：让常数自由变化，学生观察轨迹的变化（一分钟） （学生的想法越来越清晰）
d P F PF
d=常数1
ldPFd = 1.00PF = 6.57厘米d = 6.57厘米常数 = 1.00抛物线改变常数的大小常数FP 3 ldPFd = 1.90PF = 6.57厘米d = 3.47厘米常数 = 1.90抛物线改变常数的大小常数FP
ldPFd = 0.81PF = 6.57厘米d = 8.09厘米常数 = 0.81抛物线改变常数的大小常数FP 设计意图：以抛物线的定义作为新知识的生长点，设计了用电脑实验探索的问题情境，让学生观
察，为猜想的形成提供足够的感性认识基础. 师：通过刚才的观察，你看出了些什么？常数与对应的图形有什么样的关联？ 生：可以看到当这个常数在（0,1）之间时，轨迹像椭圆，当这个常数大于1时，轨迹像双曲线。 师：一边肯定学生的回答一边板书. 合作探究 师：那么，当这个常数在（0，1）之间时，轨迹是不是椭圆，当这个常数大于1时，轨迹是不是双曲线呢？我们先研究这个常数在（0，1）之间时的情况. 前面已经研究过椭圆，如果这个轨迹是椭圆的话，这个定点会是椭圆的什么，这个常数又是椭圆的什么量？ 生：定点是椭圆的焦点，常数应该是椭圆的离心率. 师：怎么说明轨迹是椭圆呢？ 生：一是回到定义，也可以看看满足条件的动点P的轨迹方程，如果它是椭圆的标准方程，就可以证明猜想成立. 设计意图：一步步把学生思维从感性引向理性.
师：那么，怎样建系来研究P点的轨迹呢？ 生：以过点F且垂直于定直线的直线为x轴，取O点，使 点F的坐标为(,0)c，建立直角坐标系（如图），点P的坐标设
为(,)xy，常数为ca(0)ac. 师：很好，定直线的方程应该是什么呢？ （学生思考，并尝试计算）
生：P可以取特殊点（比如右顶点），可以求出定直线的方程为2axc.
d P F O 4
师：太棒了，有时研究特殊情形，会有意想不到的效果。 问题就变为：已知平面内点(,)Pxy到定点(,0)Fc的距离与它到定直线2:alxc的距
离的比是常数ca(0)ac，求点P的轨迹． （学生先在稿纸上尝试后回答，老师板书） 解：根据题意可得222()||xcyPFcadaxc （*）
化简得22222222()()acxayaac 令222acb，上式可化为22221(0)xyabab，这是椭圆的标准方程． 设计意图：让学生尝试问题解决的快乐，增强自信心。
小有成绩
结论1：当点P(x，y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线2:alxc的距离的比是常数ca时，点P的轨迹是以焦点为(,0),(,0)cc，长轴、短轴分别为2,2ab的椭圆，方程为22221(0)xyabab，其中222bac。这个常数就是椭圆的离心率e．
师：我们来一起进一步认识一下（*）式： （1）将（*）式变形，cPFdeda，说明，求椭圆上的点到焦点的距离，可以先转化为求此点到定直线l的距离；又由PFde，求椭圆上的点到定直线l的距离，可以转化为求此点到焦点的距离；
进一步：（*）式可变形为：222()()caPFxcyxaexac，从而，椭圆上的点到焦点的距离可由此点的横坐标求出； （2）在推导椭圆的标准方程时,我们曾经得到这样一个式子： 222()acxaxcy-=-+
，
将其变形为222()xcycaaxc-+=-，原来，“到定点距离与到定直线距离之比为定值”早就蕴 涵在其中。 再进一步
师：如果我们将条件（a＞c＞0）改为（c＞a＞0），点Ｐ的轨迹又发生如何变化呢？ 学生思考，并很快类比得到 5
结论2：当点P到定点(,0)Fc的距离和它到定直线2:alxc的距离的比是常数(0)ccaa时，这个点的轨迹是双曲线，方程为22221xyab（其中222bca），这个
常数就是双曲线的离心率． 设计意图：双曲线的类似命题由学生思考、发现，从而为引导学生建立圆锥曲线的统一定义奠定
基础. （教师引导学生共同来发现规律） 渐入佳境 师:结论1、结论2，联想到抛物线的定义，你有什么想法？ （学生讨论） 生：圆锥曲线可以统一定义为：（老师板书） 平面内到一个定点F和到一条定直线l（F不在l上）的距离的比等于常数e的点的轨迹． 当01e时，它表示椭圆； 当1e时，它表示双曲线； 当1e时，它表示抛物线． 师：e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线．
小试牛刀
师：下面，我们对圆锥曲线的准线作一下探讨： （1）椭圆和双曲线有几条准线? （2）准线方程分别是什么？ 生：根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x
轴上的椭圆或双曲线，与焦点12(,0),(,0)FcFc对应的准线方程分别为22,aaxxcc．
2axc 2a
xc
M y x d F2 F1
o 6
2axc 2a
xc
师：如图，哪些线段的比是常数e？ 生：21=PFQFePAQC.
生(补充)：还有12=PFQFePBQD. 师：(强调对应性)，左顶点对应左准线，右顶点对应右准线. 设计意图：对于焦点在y轴上的圆锥曲线的准线方程，由对称性，学生在遇到这类问题
时会很快解决问题，没有必要单独介绍。
师：今天我们一起学习了一些新知识，我有些迫不及待的想用这些知识了。 小菜一碟 1．求下列曲线的焦点坐标和准线方程
生：自主完成 师：巡视释疑，提醒学生注意将方程先变成标准形式，对于焦点在y轴上的曲线的焦点坐标和准线方程，可类比焦点在y轴上的曲线的焦点坐标和准线方程。 设计意图：通过解题后的反思，增强学生的反思意识，有利于总结方法规律.
慢慢品尝
2．中心在原点，准线方程为4y= ，离心率为21的椭圆方程是 生：自主完成 师：巡视释疑，先定方程形式（焦点位置），再解出基本量.
设计意图：学生自主完成，有利于学生对基础知识的掌握和增强学好本课内容的信心。
饕餮美食
3．已知 椭圆2212516xy+=上一点P到左焦点的距离为345， （1）求P点到右准线的距离.
F2 F1
x
y P
Q A B
C D
22(1)24xy22(2)24yx2(3)0xy