2018年上海市高考数学·二模汇编_解析几何

2018届高中数学·二模汇编解析几何

一、填空题：

1、抛物线2

12x y =的准线方程为_______.

2、点1F ，2F 分别是椭圆2

2:12

x C y +=的左、右两焦点，点N 为椭圆C 的上顶点，若动点M 满足： 2122MN MF MF =?u u u u r u u u u r u u u u r

，则122MF MF +u u u u r u u u u r 的最大值为________

3、设抛物线的焦点坐标为(10)，，则此抛物线的标准方程为．

4、已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米。当水面下降1米后，水面的宽为_____米。

5、已知平面直角坐标系xOy 中动点),(y x P 到定点)0,1(的距离等于P 到定直线1-=x 的距离，则点P 的轨迹方程为____________

6、抛物线2

y x =的焦点坐标是

7、已知椭圆2221(0)x y a a

+=>的焦点1F 、2F ，抛物线2

2y x =的焦点为F ，若123F F FF =u u u u r u u u u r ，则a =

8、角α的始边是x 轴正半轴，顶点是曲线2522=+y x 的中心，角α的终边与曲线252

2=+y x 的交点A 的横坐标是3-，角α2的终边与曲线252

=+y x 的交点是B ，则过B 点的曲线252

=+y x 的切线方程是．（用一般式表示）

9、已知向量a r 在向量b r 方向上的投影为2-，且3b =r

，则a b ?r r = ．(结果用数值表示)

10、若双曲线22

2161(0)3x y p p

-=>的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p =

11、平面上三条直线x –2y +1=0，x –1=0，x+ky =0，如果这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k 的取值组成的集合A =

12、已知双曲线C ：22

198

x y -

=，左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作一直线与双曲线C 的右半支交于P 、Q 两点，使得∠F 1PQ=90°，则△F 1PQ 的内切圆的半径r =________．

13、已知非零向量OP 、OQ 不共线，设OQ m m OP m OM 111+++=

，定义点集}|

||||{FQ FM FQ FP FM FP F A ?=?=. 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式||||21PQ k F F ≤恒成立，则实数k 的最小值为

14、直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a = 15、椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为_______.

16、已知抛物线2

x ay =的准线方程是1

y =-

，则a = 17、已知向量,a b r r 的夹角为锐角，且满足8||15a =r 、4

||15

b =r ，若对任意的{}

(,)(,)||1,0x y x y xa yb xy ∈+=>r r ，都有||1x y +≤成立，则a b ?r r

的最小值为 .

18、已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是 .

19、双曲线22

219

x y a -

=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a = 20、已知向量a r 、b r 的夹角为60o

，1a =r ，2b =r ，若(2)()a b x a b +⊥-r r r r ，则实数x 的值为 .

21、若平面区域的点(,)x y 满足不等式

x y

k +≤(0)k >，且z x y =+的最小值为5-，则常数k = . 22、已知两个不同向量(1,)OA m =u u u r ，(1,2)OB m =-u u u r

，若OA AB ⊥u u u r u u u r ，则实数m =_________

23、已知曲线29C y x =--：，直线2l y =：，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q ，使得

0AP AQ +=u u u r u u u r r

，则m 取值范围是

二、填空题：

24、在Rt ABC ?中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运动且满足PC k BC =?u u u v u u u v

，当PM PN ?u u u u v u u u v

取得最小值时，实数k 的值为（）

A 12 .

B 13 .

C 1

.D 18

25、直线:10l kx y k -++=与圆22

8x y +=交于A ，B 两点，且42AB =，过点A ，B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M ，N ，则MN 等于（）

.A 22 .B 4 .C 42 .D 8

26、如图，圆C 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴相切于点,A B ，过劣弧AB 上一点T 作圆C 的切线，分别交x 轴正半轴，y 轴正半轴于点,M N ，若点(2,1)Q 是切线上一点，则MON ?周长的最小值为 ( ) （A ）10 （B ）8 （C ）45 （D ）12

27、已知曲线的参数方程为)50(1

≤≤?????-=+=t t y t x ，则曲线为（） A ．线段 B ．双曲线的一支 C ．圆弧 D ．射线

28、设直线l 的一个方向向量()3,2,6=d ，平面α的一个法向量()0,3,1-=n ，则直线l 与平面

α的位置关系是（）

A ．垂直

B ．平行

C ．直线l 在平面α内

D ．直线l 在平面α内或平行 29、在给出的下列命题中，是g

假命题的是

(A )设O A B C 、、、是同一平面上的四个不同的点，若(1)(R)OA m OB m OC m =?+-?∈u u u r u u u r u u u r

，则点A B C 、、必共线

(B )若向量a b r r 和是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量c r

都可以表示为

(R)c a b λμμλ=+∈r r r

、，且表示方法是唯一的

(C )已知平面向量OA OB OC u u u r u u u r u u u r

、、满足||||(0)OA OB OC r r ==>u u u r u u u r u u u r |=|

，且0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则ABC ?是等边三角形 (D )在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量a b c d r r r u r

、

、、，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直

30、在平面直角坐标系中，定义{}1212

(,)max ,d A B x x y y =--为两点1

(,)A x y 、2

(,)B x y 的“切比雪夫距离”，

又设点P 及l 上任意一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l ，给出下列三个命题：

①对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥；

②已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，则4

(,)3

d P l =

； ③定点1(,0)F c -、2(,0)F c ，动点(,)P x y 满足12(,)(,)2d P F d P F a -=(220)c a >>，则点P 的轨迹与直线

y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点

其中真命题的个数是

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

F 2

F 1

三、解答题：

31、如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆2

2:12

x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线”.

（1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是

ny +=；（2）设A ，B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA ，MB 分别交y 轴于点P ，

Q ，过M 的椭圆C 的“切线”l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；

（3）点(,)M m n 不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，判断过M 的椭圆C 的“切线”l 与直线1MF ，

2MF 所成夹角是否相等？并说明理由．

32、已知椭圆22

22C 1(0)x y a b a b

+=>>：的一个顶点坐标为(2,0)A ，且长轴长是短轴长的两倍．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）过点(1,0)D 且斜率存在的直线交椭圆于G H 、，G 关于x 轴的对称点为G '，求证：直线G H '恒过定点

()4,0．

33、已知椭圆Γ：22

221(0)x y a b a b

+=>>，其左、右焦点分别为12F F 、，上顶点为B ，O 为坐标原点，过2F 的

直线l 交椭圆Γ于P Q 、两点，13

sin 3

BF O ∠=

. （1）若直线l 垂直于x 轴，求

PF PF 的值；

（2）若2b =

，直线l 的斜率为1

，则椭圆Γ上是否存在一点E ，使得1F E 、关于直线l 成轴对称？如果存

在，求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）设直线1l :6y =上总存在点M 满足2OP OQ OM +=u u u r u u u r u u u u r

，当b 的取值最小时，求直线l 的倾斜角α.

34、已知椭圆Γ：22

143

x y +

=的右焦点为F ，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆Γ交于A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)两点(点A 在x 轴上方)，点A 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA 、PB 分别交直线l ：x =4于M 、N 两点，记M 、N 两点的纵坐

标分别为y M 、y N ．

(1) 求直线PB 的斜率(用k 表示)；

(2) 求点M 、N 的纵坐标y M 、y N (用x 1, y 1表示) ，并判断y M ?y N 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

-1 -2

-3

-4

-1 1

2 y

A B M

第19题图

35、如图，,A B 是椭圆2

2:12

x C y +=长轴的两个端点，,M N 是椭圆上与,A B 均不重合的相异两点，设直线,,AM BN AN 的斜率分别是123,,k k k .

(1)求23k k ?的值；

(2)若直线MN 过点2,02?? ? ???

，求证：131

6k k ?=-； (3)设直线MN 与x 轴的交点为(,0)t (t 为常数且0t ≠)，试探究直线AM 与直线BN 的交点Q 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．

36、已知点1F 、2F 依次为双曲线22

22:1x y C a b

-=(,0)a b >的左右焦点，126F F =，1(0,)B b -，2(0,)B b ．

（1）若5a =，以(3,4)d =-u r

为方向向量的直线l 经过1B ，求2F 到l 的距离；

（2）若双曲线C 上存在点P ，使得122PB PB ?=-u u u r u u u u r

，求实数b 的取值范围．

37、已知椭圆222

:9(0)x y m m Ω+=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与Ω有两个交点A 、B ，线段AB 的中点为M ．

（1）若3m =，点K 在椭圆Ω上，12,F F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF ?u u u r u u u u r

的范围；

（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）若l 过点(

,)3

m ，射线OM 与Ω交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．

38、已知双曲线2

:1C x y -=；

(1)求以右焦点为圆心，与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程；

(2)若经过点(0,1)P -的直线与双曲线C 的右支交于不同两点,M N ，求线段MN 的中垂线l 在y 轴上截距t 的取值范围.

39、设复平面上点Z 对应的复数yi x z +=()R y R x ∈∈,（i 为虚数单位）满足622=-++z z ，点Z 的轨迹

方程为曲线1C .双曲线2C :122

=-n y x 与曲线1C 有共同焦点，倾斜角为4

的直线l 与双曲线2C 的两条渐近线的交点是A 、B ，2=?OB OA ，O 为坐标原点. （1）求点Z 的轨迹方程1C ；（2）求直线l 的方程；

（3）设PQR ?的三个顶点在曲线1C 上，求证：当O 是PQR ?的重心时，PQR ?的面积是定值．

40、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆

x y 2212723+=的右焦点为双曲线C ：x y a b

221-= （0a >，0b >）的右顶点，直线x y 210++=与C 的一条渐近线平行．（1）求C 的方程；

（2）如图，1F 、2F 为C 的左、右焦点，动点P x y 00()，

（y 01≥）在C 的右支上，且F PF 12∠的平分线与x 轴、y 轴分别交于点(0)M m ，（m 55-<<）、N ，试比较m 与2的大小，并说明理由；（3）在（2）的条件下，设过点1F 、N 的直线l 与C 交于D 、E 两点，求ΔF DE 2面积的最大值．

41、已知椭圆Γ：122

22=+b

y a x （0>>b a ）的焦距为32，点)2,0(P 关于直线x y -=的对称点在椭圆Γ上．

（1）求椭圆Γ的方程；

（2）如图，过点P 的直线l 与椭圆Γ交于两个不同的点C 、D （点C 在点D 的上方），试求△COD 面积的最大值；

（3）若直线m 经过点)0,1(M ，且与椭圆Γ交于两个不同的点A 、B ，是否存在直线0l ：0x x =（其中20>x ），使得A 、B 到直线0l 的距离A d 、B d 满足|

|||MB MA d d B A =恒成立？若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由．

42、已知动点(,)M x y 到点(2,0)F 的距离为1d ，动点(,)M x y 到直线3x =的距离为2d ，且1263

d d =. (1)求动点(,)M x y 的轨迹C 的方程； (2)过点F 作直线:

(2)(0)l y k x k =-≠交曲线C 于P Q 、两点，若OPQ ?的面积3OPQ S ?=(O 是坐标系原

点)，求直线l 的方程.

O x

y l

P C

43、某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设.规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示.已知,

M N是东

西方向主干道边两个景点，,P Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为5

2km，线路AB

段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多10km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy. （1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；

（2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G的位置？

第19题图