鲁棒性分析——不确

其中：S1 , ...,
Sk
i 1
是已知的矩阵，
i 1
S1
A1
jE1 C1
B1
D1
，…，Sk
Ak
jEk Ck
Bk
Dk
1,...,k 是不确定参数。注意这些不确定参数未必是系统中的物理 参数，因此这种不确定性模型的表示也称为是参数不确定性的隐式 表示。在有些文献中，多胞型模型也称为多胞型线性微分包含。
•
E(L, R,C) x A(L, R,C)x
其中：x [i di / dt]T
0 1 0 1
0 0 0 0
A(L, R,C) R C 0 0 L0 R 1 0 C 0 1
1 0 1 0 0 0 E(L, R,C) 0 L 0 0 L 0 1 R0 C 0
这个仿射系统模型可以用函数psys描述如下： a0=[0 1;0 0];e0=[1 0;0 0];s0=ltisys(a0,e0) aL=zeros(2);eL=[0 0;0 1];sL=ltisys(aL,eL) aR=[0 0;-1 0];sR=ltisys(aR,0) aC=[0 0;0 -1];sC=ltisys(aC,0) Pv=pvec(‘box’,[10 20,1 2,100 150]) pds=psys(pv,[s0 sL sR sC])
不确定线性分时模型
对不同具有动态和参数不确定性的系统，不确定性的一个更一般的 的表示如下图1：
w
q
P(s)
u
y
其中的线性时不变系统p（s）包含了所有已知的线性时不变环节（控制器、系统
的名义模型、传感器、执行器等），输入向量u包含了作用于系统的所有的外部
信号(扰动、噪声、参考输入信号等)，y表示有系统产生的所有输出信号， 是一
A( p) A0 p1A1 ... pn An
B( p) B0 p1B1 ... pn Bn
C( p) C0 p1C1 ... pnCn
D( p) D0 p1D1 ... pn Dn
E( p) E0 p1E1 ... pn En
其中：Ai , Bi , Ci , Di , Ei 是已知的常数矩阵。具有这样的系数矩阵模型称为仿射参数依
因此，S0 ,..., Sn完全刻画了所有描述的仿射参数依赖模型。注意，这里 S0 ,..., Sn并不
代表有意义的实际系统。有时为了处理方便，可以通过适当的变换将不确定参数标准化。
即将s（p）表示成
~
~
~
S ( p) S0 1 S1 ... n Sn , i 1
•
例如，系统 x x, [0.1, 0.7]可以表示成
鲁棒性分析——不确定模型
不确定状态空间模型
我们已经知道可以用一个状态空间模型来描述一个动态系统。 然而，描述实际动态系统的状态空间模型往往是通过近似和 简化得到的。因此，在得到的模型
•
E x Ax Bu
y Cx Du
其中，系统矩阵E、A、B、C、D不再是已知的常数矩阵， 而往往是依赖不确定参数的不确定矩阵，其中的不确定参数 可能是时变的，但一般可假定其在某个已知的有界集中变化。 根据系数矩阵E、A、B、C、D对不确定参数的依赖情况， 引进以下两类不确定模型。
仿射参数模型
前面已经提到，一个动态系统往往存在一些不确定参数。一个含有 不确定参数的线性系统可以有一下的表示：
•
E( p) x A( p)x B( p)u
y C( p)x D( p)u
其中：A，B，C，D和E是参数向量 p [ p1,..., pn ] 的已知矩阵值
函数。这样一类模型称为参数依赖模型。 如果模型中的的系数矩阵仿射依赖于时，参数 i 已经没有什么具体的物理意义。
例题：考虑一下方程描述电路，
L
d 2i di2
R
di dt
Ci
V
其中电感L、电阻R、电容C式不确定参数，他们的 容许变化范围分别是：
L [10, 20], R [1, 2],C [100,150]
该系统在无驱动下的状态空间模型表示是：
多胞型模型
多胞型模型是以下的一类时变系统模型：
•
E(t) x A(t)x B(t)u
y C(t)x D(t)u
该系统的系统矩阵S 模型中取值，即
(t)
A(t) jE(t) C(t)
DB((tt))在以下一个给定的矩阵多胞型
k
k
S(t) Co{S1,..., Sk } { iSi :i 0, i 1}
参数可能是重复的，Ea , Eb, Ec , Ed , Fa , Fb, Fc, Fd 是适当维数的常数矩阵，它 们反映了不确定参数是如何影响系统模型的，反映了模型不确定性
的结构。模型的不确定参数尽管是未知的，但总可以假定它
们在某个有界的范围内变化。这个变化范围的大小直接影响到系统 性能的确定。特别地，通过对相关的系数的矩阵乘上适当的尺度矩 阵，可以将不确定矩阵的取值范围标准化，即 i 1，i=a,b,c,d。 其中的范数取成矩阵的最大奇异值。
这里的系数矩阵 A, B,C, D 并不是常数矩阵，而是依赖不确定参数 的不确定矩阵，它们具有以下的表达式：
A A Eaa Fa , B B EbbFb
C C EccFc , D D Ed d Fd
其中A、B、C、D是适当维数的常数矩阵，描述了系统的名义模型， 即忽略了模型不确定后得到的系统模型，a, b, c, d 是不确定参数矩 阵，反映了系统模型中的参数不确定性，a,b,c,d 中的一些不确定
个不确定性的结构描述，具有以下的形式：
=diag{ 1,..., r}
其中的每个块
反应了一种特定的不确定性（扰动、噪声、参考输入信号等）。
i
我们主要讨论状态空间下的不确定模型。为了导出状态空间的线性 分式模型，考虑：
•
x(t) A x(t) B u(t)
y(t) C x(t) D u(t)
赖模型。由于仿射参数依赖模型的特点，是的lyapunov方法可以有效地用于这类模型的分 析和综合。如果记：
A( p) jE( p) B( p)
S( p)
C( p)
D( p)
Si
Ai
jEi Ci
Bi
Di
则仿射参数模型的系统矩阵可以表示成：
S( p) S0 p1S1 ... pnSn