半拓扑空间的S-分离性与S-紧致性
拓扑学中的重要定理
拓扑学中的重要定理朋友们！今天咱们要来聊聊拓扑学里那些超级重要的定理。
拓扑学啊，就像是数学世界里的一个奇妙迷宫，里面藏着好多让人惊叹不已的宝贝，这些定理就是打开宝藏之门的钥匙。
首先得说说那个著名的“连通性定理”。
想象一下，你住在一个城市里，城市里的街道和区域就像是拓扑空间。
连通性定理呢，就是在告诉我们这个城市是不是一个完整的整体，还是被分成了好几个互不相连的部分。
比如说，要是你从家里出发，不管走多远、绕多少弯，都能到达城市里的任何一个地方，那这个城市在拓扑学里就是连通的。
就好比你在一个大商场里逛街，虽然商场很大，但你总能通过各种通道走到你想去的店铺，这就是连通性的一种直观感受。
要是这个城市被一条大河隔断了，河这边和河那边没办法直接通行，那就不连通啦。
再讲讲“紧致性定理”。
这个定理有点像我们生活中的收纳魔法。
想象你有一堆东西要放进一个箱子里，如果不管怎么放都能放得下，而且还能把箱子封得严严实实的，那这个箱子和这堆东西在拓扑学里就有点紧致性的意思。
在数学上，紧致性意味着在一个拓扑空间里，不管你怎么选取一些开集去覆盖这个空间，总能找到有限个开集就把整个空间给覆盖住了。
这就好比你给一群小朋友发糖果，虽然小朋友很多，但你总能找到一种方法，用有限的糖果就满足大家，不用无穷无尽地发下去。
还有那个“同胚定理”，这可是拓扑学里的重头戏。
同胚就像是给一个物体做了一场神奇的变形魔法，但是这个变形不能把物体给弄破或者粘上不该粘的地方。
比如说，一个气球，你可以把它吹大、吹小，还可以把它扭成各种奇怪的形状，但只要不把它弄破，它在拓扑学里和原来的气球就是同胚的。
同胚定理告诉我们，在拓扑学的世界里，同胚的两个空间在很多性质上是一样的，就好像双胞胎虽然长得可能有点不一样，但本质上是很相似的。
最后再提一下“分离性公理”。
这个公理就像是给拓扑空间里的点和集合划分了不同的“领地”。
它规定了点和点之间、点和集合之间、集合和集合之间要有一定的“距离”或者“独立性”。
拓扑学中的紧致流形与流形同胚
拓扑学是数学中的一个分支，研究空间形态上的性质。
其中，流形是拓扑学中的一个关键概念。
流形是指在局部上与欧几里德空间同胚的空间。
而在拓扑学中，紧致性是一个非常重要的性质。
本文将介绍紧致流形以及流形同胚的相关概念和性质。
首先，我们来了解什么是紧致性。
在拓扑学中，紧致性是指一个空间在拓扑结构下没有无限序列的收敛子列逃逸到无穷远的性质。
简单来说，紧致性可以理解为一个空间有限而有界。
一个空间如果同时满足Hausdorff分离公理和紧致性公理，则称为紧致空间。
接下来，我们来讨论什么是流形。
流形是一个局部上与欧几里德空间同胚的空间，即对于流形上的每一点，都存在一个邻域与欧几里德空间中的开集同胚。
流形可以是有限维或无限维的。
有限维流形是我们日常生活中更容易理解的，比如曲线、曲面等。
而无限维流形则涉及到更高级的数学对象。
那么，紧致流形就是同时具备紧致性和流形性质的空间。
紧致流形在数学研究中扮演着十分重要的角色。
紧致性保证了有限性和有界性，使得我们能够更好地进行研究和分析。
同时，流形性质保证了空间的局部性质与欧几里德空间的同胚性，使得我们可以借助欧几里德空间中的工具和技术来研究流形。
除了紧致性和流形性质外，我们还可以讨论流形之间的同胚。
同胚是指两个空间之间存在一个一一对应的映射，并且这个映射以及它的逆映射都是连续的。
流形同胚的概念可以理解为两个流形之间存在一种相似性，即它们的结构和性质是等价的。
研究流形同胚的一个重要问题是如何判断两个流形是否同胚。
在低维流形中，常用的方法是通过刻画流形的拓扑不变量来进行判断。
比如，欧几里德空间中的拓扑不变量是欧拉数，对于一维流形即曲线，欧拉数是0；对于二维流形即曲面，欧拉数是2-2g，其中g是曲面上的洞的个数。
通过计算拓扑不变量，我们可以判断流形之间是否同胚。
然而，在高维流形中，判断同胚关系就更加困难了。
在拓扑学中，尚未找到适用于所有高维流形的拓扑不变量。
因此，从数学角度上讲，给出两个高维流形是否同胚的判断依据仍然是一个开放的问题。
超拓扑空间的分离性、紧致性及连通性
超拓扑空间的分离性、紧致性及连通性
刘道远;王朝乐
【期刊名称】《大学数学》
【年(卷),期】1996(000)002
【摘要】本文引进了超空间上的超拓扑结构，证明了超拓扑空间的拓扑性质及其与一般拓补空间的关系。
【总页数】4页(P11-14)
【作者】刘道远;王朝乐
【作者单位】[1]郑州航空工业管理学院;[2]中州大学
【正文语种】中文
【中图分类】O189
【相关文献】
1.L-拓扑空间超F连通性的樊畿定理 [J], 于茸茸
2.L-拓扑空间的超F连通性 [J], 于茸茸;付文清
3.半拓扑空间的S-分离性与S-紧致性 [J], 俸进;赵浩
4.命题逻辑紧致性定理的拓扑证明与一阶逻辑紧致性定理在拓扑空间中的等价形式[J], 杨志红
5.弱诱导的L－fuzzy双拓扑空间的紧致性与连通性 [J], 郑崇友;张春冰
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拓扑学中的紧致性与连通性
拓扑学中的紧致性与连通性拓扑学是数学中的一个分支，研究的是集合中的空间结构和变形性质。
在拓扑学中，紧致性与连通性是两个重要的概念。
本文将介绍拓扑学中的紧致性与连通性的定义、性质以及它们在数学和实际应用中的意义。
一、紧致性紧致性是拓扑学中一个基本而重要的概念。
一个拓扑空间被称为紧致的，如果它的每一个开覆盖都有有限子覆盖。
换句话说，对于一个紧致空间的任意开覆盖，我们都可以从中选出有限个开集作为子覆盖，使得这些开集覆盖着整个空间。
紧致性具有许多重要的性质。
首先，闭子空间的紧致性是从父空间继承下来的。
也就是说，如果一个空间是紧致的，那么它的闭子空间也是紧致的。
其次，紧致性是一种传递性。
如果一个空间是另一个空间的闭子空间，并且这个闭子空间是紧致的，那么这个空间也是紧致的。
这一性质使得我们在研究紧致性时可以通过从小空间到大空间的层层推广来得到更多的结论。
紧致性在数学中有广泛的应用。
在函数空间和度量空间中，紧致性是很多定理的基础。
例如，连续函数在紧致空间上具有最大值和最小值，积分在紧致空间上具有有界性等。
二、连通性连通性是另一个重要的概念，它描述了拓扑空间的不可分割性。
一个拓扑空间被称为连通的，如果它不能被分解为两个非空的、不相交的开集并集。
换句话说，连通空间不可以被插入一个不连通的空间。
连通性也具有一些重要的性质。
首先，连通性是保持在闭子空间之间的。
也就是说，如果一个空间是连通的，那么它的闭子空间也是连通的。
其次，连通性可以通过路径连通来定义。
如果一个空间中的任意两点都可以通过一条连续曲线相连，那么这个空间是路径连通的。
路径连通空间一定是连通的，但连通空间不一定是路径连通的。
连通性在许多领域中具有重要意义。
在数学中，连通性可以用于证明一些重要的性质，例如黎曼曲面的互同性定理。
在实际应用中，连通性可以帮助我们分析网络、图像等复杂系统。
总结起来，拓扑学中的紧致性和连通性是两个基本而重要的概念。
紧致性描述了拓扑空间的覆盖性质，而连通性描述了拓扑空间的不可分割性。
《点集拓扑学》第7章 §7.2 紧致性与分离性公理
§7.2紧致性与分离性公理本节重点:掌握紧致空间中各分离性公理的关系；掌握Hausdorff空间中紧致子集的性质.在本节中我们把第六章中研究的诸分离性公理和紧致性放在一起进行考察、我们将会发现在紧致空间中分离性公理变得十分简单了．此外在本节的后半部分，我们给出从紧致空间到Hausdorff空间的连续映射的一个十分重要的性质．定理7.2.1 设X是一个Hausdorff空间．如果A是X的一个不包含点x∈X的紧致子集，则点x和紧致子集A分别有开邻域U和V使得U∩V=．证明设A是一个紧致子集，x∈．对于每一个y∈A，由于X是一个Hausdorff空间，故存在x的一个开邻域和y的一个开邻域．集族{|y∈A}明显是紧致子集A的一个开覆盖，它有一个有限子族，设为 {}，覆盖A．令，它们分别是点x和集合A的开邻域．此外，由于对于每一个i=1，2，…，n有：所以推论7.2.2 Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集．证明设A是Hausdorff空间X的一个紧致子集．对于任何x∈X，如果x A，则根据定理7.2.1可见x不是A的凝聚点．因此凡A的凝聚点都在A中，从而A是一个闭集．推论7.2.2 结合定理7.1.5可见：推论7.2.3 在一个紧致的Hausdorff空间中，一个集合是闭集的充分必要条件是它是一个紧致子集．为了加强读者对定理7.1.5，推论7.2.2和推论7.2.3中的几个简单而常用的结论的印象，重新简明地列举如下：紧致空间：闭集紧致子集Hausdorff空间：闭集紧致子集紧致的hausdorff空间：闭集紧致子集推论7.2.4 每一个紧致的Haudorff空间都是正则空间．证明设A是紧致的Hausdorff空间X的一个闭子集，x是X中的一个不属于集合A的点．由于紧致空间中的闭子集是紧致的（参见定理7.1.5），所以A是一个紧致子集．又根据定理7.2.1，点x和集合A分别有开邻域U和V使得U∩V=．这就证明了X是一个正则空间．定理7.2.5 设X是一个Hausdorff空间．如果A和B是X的两个无交的紧致子集，则它们分别有开邻域U和V使得U∩V=．证明设A和B是X的两个无交的紧致子集．对于任何x∈A，根据定理7.2.1，点x和集合B分别有开邻域．集族{|x∈A}是紧致子集A的一个开覆盖，它有一个有限子族，设为{ }，覆盖A．令由于对于每一个i＝1，2，…，n有∩V=，所以U∩V=．由于Hausdorff空间的每一个闭子集都是紧致子集，所以根据定理7.2.5立即有：推论7.2.6 每一个紧致的Hausdorff空间都是的，这个结论也可以根据推论7.2.4和定理6.4.3直接推出．根据这个推论联系着表6.1并且留意到每一个紧致空间都是Lindeloff空间这一事实，我们可有图表7.1．从这个图表中可以看出，在紧致空间中分离性公理显得特别简单．图表7.1：紧致空间中的分离性公理定理7.2.7 设X是一个正则空间．如果A是X中的一个紧致子集，U是A的一个开邻域，则存在A的一个开邻域V使得．证明设A是正则空间X中的一个紧致子集，U是A的一个开邻域．对于任何x∈A，点x有一个开邻域使得集族{|x∈A}是紧致子集A的一个开覆盖，它有有限子族，设为{ }，覆盖A．令，它是A的一个开邻域，并且根据这个定理立即可见，每一个紧致的正则空间都是正规空间．然而这并不是什么新结论，因为每一个紧致空间都是Lindeloff空间，所以它明显地蕴涵于定理6.4.3中．然而紧致的正规空间可以不是正则空间．例子见于例6．2．3．在那个正规而非正则空间的例子中的拓扑空间只含有有限多个点，当然会是紧致的．定理7.2.8 从紧致空间到Hausdorff空间的任何一个连续映射都是闭映射．证明设X是一个紧致空间，Y是一个Hausdorff空间，f:X→Y是一个连续映射．如果A是紧致空间X中的一个闭子集．则它是紧致的（参见定理 7.1.5），因此它的象集f（A）是Hausdorff空间Y中的一个紧致子集（参见定理7.1.4），所以又是闭集（参见推论7.2.2）．这证明f是一个闭映射．因为一个既单且满的开（或闭）的连续映射即是一个同胚，所以我们有：推论7.2.9 从紧致空间到Hausdorff空间的任何一个既单且满的（即—一的）连续映射都是同胚．作业:P192 1.2.。
拓扑学第四章 紧致性
第四章 紧致性紧致性是数学分析中的重要概念。
尽管这个概念出现的较早，但是，从本质上讲，它是一个拓扑概念，也是一个最基本的拓扑性质。
我们先回顾一下度量空间紧性（列紧性）概念（在实直线上，紧性是描述闭区间性质的，而在实分析中，闭区间具有良好的性质）。
§4-1 度量空间(,)X d 中紧性（简单复习）定义1 设A 是(,)X d 的一个子集。
如果A 中任一无穷点列有子列收敛于X 中的一点，则称A 是相对列紧的；如果A 中每个收敛子列的极限点都属于A ，则称A 是列紧的； 如果(,)X d 本身是列紧的，则称为列紧空间。
注释：这里的紧性之所以成为列紧，是因为用序列收敛描述的。
●下面的结论是显然的（由于都是过去的知识，所以不加证明的给出） （1） 有限子集总是列紧的。
（2） 列紧空间是完备的（但，完备空间未必是列紧的）。
（3） 若A 是(,)X d 的列紧子集，则A 是(,)X d 的有界闭集。
（4） 在一般度量空间中，（3）成立，反之未必；如果(,)X d 是列紧空间，则 A 列紧 ⇒ A 是闭集。
（5） 列紧的度量空间必是可分的。
●进一步分析：列紧性能用来刻画闭集，但是，它是利用“序列”形式刻画的。
人们找出了一种非序列刻画的方式。
定义2 设A 是(,)X d 的一个子集。
U 是X 的一族开集，满足U U A ∈⊃U，则称U 为A 在X中的开覆盖；若U 中只有有限个子集，称U 为有限开覆盖；若X 本身的每一开覆盖都有一有限子覆盖，则称X 为紧致空间（有的书成为紧空间） ★ 理论上可以证明：对于度量空间来说，列紧性与紧致性是等价的。
即列紧空间⇔紧致空间（这在泛函分析书中都有介绍）。
§4-2 拓扑空间的紧性在数学分析中，人们很早就注意的，实直线上闭区间[,]a b 具有某些极好的性质，它对于证明极大值定理、一致连续性定理等起着至关重要的作用。
但是，如何在拓扑空间上表述这个特性，长期不得而知。
完备格上S拓-扑的紧性与分离性
２ １年 １ ０１ ２月
南 京 工 业 职 业 技 术 学 院 学 报
Ｊｕ ａ ｏ ａｊ ｇＩｓｔｔ ｏ ｄ ｓ ｙＴ ｃｎ ｌ ｙ ｏ ｒ ｌ ｆ ｎｉ ｔｕｅ ｆ ｎ ｕｔ ｅｈ ｏｏ ｎ Ｎ ｎ ｎｉ Ｉ ｒ ｇ
Ｖｏ ． １， ． １ １ Ｎｏ ４
文引进 了一个新的但与它们紧密相连的拓扑——ｓ一 拓扑 ， 考
闭 ， 么存在一个定 向集 Ｄ 那 Ａ， 使得 ｓｐ ＼ ｕＤＥＬ Ａ。由 ｓ 开集 一 的定义可知 ， 存在一个 Ｙ ∈Ｄ使 得对 任意 ｘ ， ∈Ｄ都有 ｘ ≥ＹＸ ∈ Ｌ Ａ， ＼ 这与 ＤｃＡ矛盾 。反之 ， 如果 Ａ是关于定 向上 确界封闭
集， 那么有 ｘ Ｖｎ 空间的一个 基。 例 １ ３ 设 Ｌ是一个 完备格 ， ． （ ）如果 Ｌ是一 条链 ， １ 那么形如 （ ，） （ ， ］ ａ ｂ ， ａ ｂ 的集 合是 Ｕ ， Ｖｎ ｘ组 成的集族 是 Ｓ一 Ｘ则 拓扑
条件 （ ） Ｓ 的任意多个集合 的并 仍然 满足条件 （ ） Ｓ 。由于空 集
引 言
在拓扑空 间中引入偏序关系 ， 运用格 论的方法 与技巧 加
１ 组成 ， 中 ＜＜ 。由 Ｓｏｔ 『 其 ｘ ｃｔ开集 ∈ （ ） Ｌ 和下集 ｖ ∈Ｐ
（） Ｌ 组成 的集族构 成 了 Ｓ一 拓扑 空间 （ ， （ ） 的一 个子基 ， Ｌ￡ Ｌ ）
即 Ｏ（ ）＝ ｒＬ ＤＶＰ Ｌ 。 ＪＬ ｏ（ ） （ ） 证 明 ： １ 假 设 Ａ是 个 Ｓ 闭 集 并 且 关 于 定 向 上 确 界 不 封 （） 一
１ Ｓ一 扑 的 引入 和基 本 性 质 拓
完备格上 的 ｓ一 拓扑 的引入开始 于性 质（ ） 对于完备 格 Ｓ：
拓扑学中的紧致性与连续映射
拓扑学中的紧致性与连续映射拓扑学是数学的一个分支，研究空间中的点与集合之间的关系。
在拓扑学中，紧致性和连续映射是两个重要的概念。
本文将介绍紧致性和连续映射的基本概念、性质以及它们在拓扑学中的应用。
一、紧致性紧致性是拓扑学中的一个重要概念。
在数学中，我们常常需要考察一个集合是否具有紧致性，这可以通过以下方式来定义：定义：一个拓扑空间X是紧致的，如果它的每一个开覆盖都存在有限子覆盖。
上述定义可以进一步说明紧致性的特点：对于一个拓扑空间X的任意开覆盖，我们都可以从中选取有限个开集，使得它们覆盖整个X。
这也就是说，拓扑空间X的任何开覆盖都存在有限子覆盖。
紧致性的一个重要性质是有限覆盖性质。
有限覆盖性质指的是对于任意的紧致拓扑空间X和它的一个开覆盖，都存在有限子覆盖。
这个性质在拓扑学的证明中经常被使用。
紧致性在实际问题中有广泛的应用。
例如，在实分析中，根据有界闭区间上的最值定理可以得到最大最小值的存在性，这是基于紧致性的结果。
二、连续映射连续映射是拓扑学中另一个基本概念。
在数学中，我们通常研究两个拓扑空间之间的映射，而其中的连续映射是一类特殊的映射。
定义：设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y是一个映射。
如果对于Y中任意的开集V，其原像f^(-1)(V)是X中一个开集，那么称映射f是连续的。
简而言之，连续映射是指原空间中的开集在映射后保持开集性质。
连续映射有一些基本的性质。
首先，对于任意的拓扑空间X，其自身上的恒等映射是连续的。
其次，连续映射的合成仍然是连续的。
此外，如果X和Y分别是紧致拓扑空间，那么连续映射f:X→Y将紧致集映射为紧致集。
三、紧致性与连续映射的关系紧致性和连续映射之间有着紧密的关系。
事实上，连续映射保持紧致性，即原空间中的紧致集在映射后仍然是紧致的。
定理：若f:X→Y是一个连续映射，其中X是紧致空间，那么f(X)在Y中是紧致的。
这个定理说明了连续映射对于紧致空间的映射性质。
通过连续映射，我们可以将一个紧致空间映射为另一个紧致空间。
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开集 ． 如 果 存 在 里 的开 集 ． 使 得
的一 个 半 拓 扑 空 间 ［ ： ， ３ ＿ ．
Ａ
全 体半 开集 族 记 为 Ｓ ． ０ ． （ Ｘ） ， 并称 （ ， Ｓ ． ０ ． （ Ｘ） ） 为 透过 半开集 。 并 由此 衍 生 了半 拓 扑 概 念 ． 以 及 准 半 连续 映 射 ． 特 别 是 半 拓 扑 性 质 的 引入 ． 使 得 这 方 面 的研 究 有 了 进 一 步 的发 展 ． 本 文 的 主 要 研 究 内容 是 Ｓ 一 紧致性与 Ｓ 一 分离性 ． 以 及 在 此 基 础 上研 究 它 们 之 间 的关 系 ．
２ Ｓ一 分 离性
本 小 节 的 主 要 内容 是 介 绍 半 拓 扑 空 间 的 Ｓ 一 分
往下给 出 ． ｓ 一 分 离 性 的一 些 性 质 ． 定理 ２ ． ２ Ｘ是 Ｓ ． 一 空 间铮 的单 点 集是 半 闭集 ． 证明 ： 必要性 ： 取ｘ ， ｙ∈Ｘ， 当ｙ ＃ｘ时 ， 按定义 ， 有 存 在 Ｕ∈５ ． ０ ． （ Ｘ） ， 使 得 ∈Ｕ且 Ｙ隹Ｕ ． 所 以 隹（ ， ， ） 一 ．
广 东技 术 师范 学 院学报 （ 自然科 学 ） ２ ０ １ ３年第 １ ２期
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｇｕ ａ ｎ ｇ ｄ ｏ ｎ ｇ Ｐ ｏ ｌ ｙ ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｉ ｃ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
半 拓扑空 间的 Ｓ 一 分 离性 与 Ｓ 一 紧 致 性
得 ∈Ｕ且 Ｙ隹Ｕ 或 Ｙ∈Ｕ且 岳Ｕ．则 称 拓 扑 空 间
（ ， 厂） 满足 ． ｓ 分 离 性 公 理 ， 称（ ， ，） 为 ｜ ｓ 空 间．
（ ２ ） 如果对 于 Ｖ ， Ｙ∈Ｘ， 如果 ］ 、 Ｖ∈Ｓ ． ０ ． （ ） ，
充分性 ： 设ｙ ＃ｘ ， 则 ㈨ 是 包 含 Ｙ的半 开 集 ， 但
如果 ｊ 、 Ｖ∈Ｓ ． Ｏ ． （ ） ， 使 得 ∈Ｕ， ＦＣ ＿Ｖ， 且
＝ ∥ ，
则称 拓扑 空 间 （ ， ，） 满足 ． ｓ 一 分 离性 公理 ， 称（ ， 的
ｒ） 为 ． ｓ 一 空间， 或 称为 ． ｓ 一 正 则 空 间． 对 于满 足 Ｉ ｓ 公 理的． ｓ ， 一 空间 ， 我们 称之为 ． ｓ 一 空 间． （ ５ ） 对 于 ＶＸ 的 半 闭集 Ｆ 、 Ｇ， 且 Ｆ Ｉ Ｇ ＝ ． 如果 ］ 、 Ｖ∈Ｓ ． ０ ． （ Ｘ） ， 使得 Ｆ ， Ｇ ， 且 ＝ ， 则 称 拓 扑
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３ 一ｌ １ 一 ｌ ２
定理 ２ ． ２ 的重要之处 就是在 Ｊ ｓ ． 一 空 间 中把 单 点
基 金项 目 ： 国家 自然科 学基 金（ 编号 １ １ １ ０ １ １ ６ １ ） ， 教育部 博 士点 基金新 教 师类项 目（ 编号 ２ ０ １ １ ４ ４ ０ ７ １ ２ ０ ０ １ １ ） 作者 简介 ： 俸进（ １ ９ ９ ０ 一） ， 男， 广 东人 ， 华南 师 范大 学本 毕业 生 ， 研究 方 向 ： 拓 扑学 ． ，
于 是 由 的任 意 性 ， ｛ ｙ ｝ ＿ ＝ ｛ ｙ ） ． 所 以｛ ｙ ） 是 半 闭集 ．
离性 ． 下面给 出 Ｓ 一 分 离性 的相 关 定 义． 定义 ２ ． １ ［ ］设 （ ， 厂） 是一个拓扑空 间 ， （ １ ） 如果 对 于 Ｖ ， Ｙ∈Ｘ， 如 果 了Ｕ∈Ｓ ． Ｏ ． （ ） ， 使
关键 词 ： Ｃ 一 性质； Ｓ 一 分 离性 ； Ｓ 一紧致 性 ； Ｓ 一 相 对 紧致 子集 中图 分类 号 ： ０ １ ８ ９ ． ３ ２ 文献标 识 码 ： Ａ 文章 编号 ： １ ６ ７ ２—４ ０ ２ Ｘ（ ２ ０ １ ３ ） １ ２—０ ０ ０ １ —０ ３ Fra bibliotek１引 言
空间（ ， 厂） 满足 ￥ ４ － 分离性公理 ， 称（ ， ，） 为 一 空
间， 或称 为 ． ｓ 一 正规空 间． 对 于满 足 Ｓ 。 公理的 Ｓ 一 空
间． 我们 称之为 ￥ ４ － 空 间．
可 以看到 ． Ｓ 一 分 离 性 的定 义 是 把 分 离 性 的 定 义 的推 广 ， 且 显 然 空 间是 ５ 空 间．
衍 生 出 来 的 半 拓 扑 空 间 ．拓 扑 学 在 半 拓 扑 空 间 这 一 范 围 内 出 现 了 大 量 的研 究 成 果 主 要 是 从 １ ９ ６ ３年 Ｎ． Ｌ ｅ ｖ ｉ ｎ ｅ在 文 献 ［ － ］ 中 引 人 了半 开 集 的 概 念 开 始 的 ．
设（ ， ） 是 一 个拓 扑空 间 ， Ａ 称 为 的 半
本 文 主 要 研 究 内容 是 由 点 集 拓 扑 学 的 相 关 概 念
（ ３ ） 如 果对 于 Ｖ ， Ｙ∈Ｘ， 如 果
、 Ｖ∈Ｓ ． Ｏ ． （ Ｘ） ，
使 得 ∈Ｕ， Ｙ∈Ｖ， 且 Ｕ Ｉ Ｖ ＝ ￣ ， 则称拓扑空 间（ ， ，） 满
足． ｓ ｒ分 离 性 公 理 ， 称（ ， 厂） 为Ｉ ｓ ｒ空 间． （ ４ ） 对于Ｖ ∈Ｘ， 以及 ＶＸ 的半 闭集 Ｆ。 且
俸 进． 赵 浩
（ 华 南 师范 大学数 学 科 学学 院 ， 广 东 广州 ５ １ ０ ６ ３ １ ） 摘 要 ： 主 要讨 论 了半拓 扑 不变 性质 ： Ｓ 一 分 离性 与 Ｓ 一紧致 性 ， 并 通过 定义 Ｓ 一 相 对 紧致 子 集 ， 最后 得 出 Ｓ 一 分 离
性与 Ｓ 一紧 致 性 之 间 的 相 互 关 系 ．
是 它 不 含 ． 同样 ， Ｘ ＼ 是 包 含 的 半 开 集 ， 但 是 它 不
含ｙ ． 所 以 是 ． ｓ 广空 间 ．
使 得 ∈Ｕ， Ｙ诺Ｕ且 Ｙ∈Ｖ， 莹Ｖ，则 称 拓 扑 空 间 （ ，
ｒ） 满足 Ｓ ｌ － 分离性公理 ， 称（ ， 厂） 为５ 广空 间 ．