拓扑空间总复习
数学考研拓扑学常用定理速记
数学考研拓扑学常用定理速记一、引言随着数学研究的不断深入和发展，拓扑学作为数学的一个重要分支，在解决实际问题和推动学科发展方面发挥了重要作用。
然而，拓扑学常用定理较多，记忆起来相对困难。
本文将介绍数学考研拓扑学常用定理的速记方法，帮助考生更好地掌握这些重要定理。
二、连续映射与开映射1. 连续映射的定义与判定：定义：设X，Y为拓扑空间，f:X→Y为映射，对于任意开集V⊆Y，f^(-1)(V)是X的一个开集，称f为连续映射。
判定紧致与连续映射等价：设X，Y为拓扑空间，f:X→Y为映射，若X是紧致空间，当且仅当对任意拓扑空间Z，h:Z→X的连续映射f∘h:Z→Y也是连续的。
2. 开映射的定义与判定：定义：设X，Y为拓扑空间，f:X→Y为映射，对于任意开集V⊆X，f(V)是Y的一个开集，称f为开映射。
判定同胚与开映射等价：设X，Y为拓扑空间，f:X→Y为映射，若f是双射，并且f和f^(-1)都是连续的，则称f为同胚映射。
三、分离公理1. Hausdorff空间的定义与性质：定义：设拓扑空间X中的任意两个不同点x1和x2，存在x1的开邻域U1和x2的开邻域U2使得U1∩U2=∅，则称X为Hausdorff空间。
性质：Hausdorff空间是分离公理T_2的最低级别。
2. 正则空间的定义与性质：定义：设拓扑空间X中的任意一个点x和闭集A，若x∉A，则存在x的开邻域U和A的开邻域V，使得U∩V=∅。
性质：正则空间是分离公理T_3的最低级别。
3. 完全正规空间的定义与性质：定义：设拓扑空间X中的任意一个点和任意一个闭集，若它们不相交，则存在这两个集合的开邻域，使得它们的交是空集。
性质：完全正规空间是分离公理T_4的最低级别。
四、紧致性质1. Lindelöf空间的定义与性质：定义：若拓扑空间X中的任何一个开覆盖都存在可数子覆盖，即对于任意一个开覆盖，存在可数集合C，使得C中元素的并覆盖整个空间X。
性质：紧致空间是Lindelöf空间，但Lindelöf空间未必是紧致空间。
拓扑学复习题与参考答案
点集拓扑学练习题一、单项选择题（每题2分）1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.①{,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T②{,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③{,,{},{,}}X a a b φ=T④{,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.①{,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ②{,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③{,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④{,,{},{},{}}X a b c φ=T3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.①{,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ②{,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T③{,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④{,,{},{}}X a b φ=T4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.①{,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ②{,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T③{,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④{,,{},{},{}}X a b c φ=T5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.①{,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ②{,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T③{,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④{,,{},{},{,}}X a c a c φ=T6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.①{,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ②{,,{,},{,}}X a b b c φ=T③{,,{},{,}}X a a c φ=T ④{,,{},{},{}}X a b c φ=T7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ）①φ②X ③{}b ④{,,}b c d8、 已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（ ）①φ②X ③{}b ④{,,}b c d9、 已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）①φ②X ③{}a ④{}b10、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =（ ）①φ②X ③{}a ④{}b11、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）①φ②X ③{,}a b ④{,,}b c d12、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =（ ）①φ②X ③{,}a c ④{,,}b c d13、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1②2③ 3④ 414、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1②2③ 3④ 415、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 0②1③ 2④ 316、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）① 0②1③ 2④ 317、设{,}X a b =，拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）① 1②2③ 3④ 418、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1②2③ 3④ 419、在实数空间中，有理数集Q 的部Q 是（ ）①φ②Q ③R -Q ④R20、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ∂是（ ）①φ②Q ③R -Q ④R21、在实数空间中，整数集Z 的部Z 是（ ）①φ②Z ③R -Z ④R22、在实数空间中，整数集Z 的边界()Z ∂是（ ）①φ②Z ③R -Z ④R23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（ ）①φ②[0,1]③{0,1}④(0,1)24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（ ）①φ②[2,3]③{2,3}④(2,3)25、在实数空间中，区间[0,1)的部是（ ）①φ②[0,1]③{0,1}④(0,1)26、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（ ） ①()()()d A B d A d B ⋃=⋃②A B A B ⋃=⋃③()()()d A B d A d B ⋂=⋂④A A =27、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ） ①()()()d A B d A d B ⋃=⋃②A B A B -=-③()()()d A B d A d B ⋂=⋂④A A =28、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ） ①()d A B A B ⋃=⋃②A B A B -=-③()()()d A B d A d B ⋂=⋂④(())()d d A A d A ⊂⋃29、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（） ①()d A φ=②()d A X A =-③()d A A =④()d A X =30、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是（）①若A φ=,则()d A φ=② 若0{}A x =,则()d A X A =-③若A={12,x x },则()d A X =④ 若A X ≠, 则()d A X ≠31、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（）①若A φ=,则()d A φ=② 若0{}A x =,则()d A X =③若A={12,x x },则()d A X A =-④若12{,}A x x =,则()d A A =32、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（）① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }}② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③{ X ,φ,{c },{a ,b ,c }}④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }}33、设X 是至少含有两个元素的集合，p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑，则（ ）是T 的基.①{{,}|{}}B p x x X p =∈-②{{}|}B x x X =∈③{{,}|}B p x x X =∈④{{}|{}}B x x X p =∈-34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（）以{,,{}}S X a φ=为子基.①{ X ,φ,{a },{a ,c }} ② {X ,φ,{a }}③{ X ,φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ}35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭④非开非闭36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭④非开非闭37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝（ ） ①φ②R ③A ∪{0}④A39、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（）①整数集②[)b a ,③有理数集④无理数集40、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（）①整数集Z ②有理数集③ 无理数集④ 整数集Z 的补集Z '41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（ ）①1 ②2 ③3 ④442、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（ ）①1个 ②2个③3个④4个43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（ ）个① 3② 5③ 7④ 944、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉②T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈45、在实数下限拓扑空间R 中，区间[,)a b 是（ ）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭46、设X 是一个拓扑空间，,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是（ ）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A的拓扑为( )①{,{2},{1,2}}φ=T ②{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③{,,{1},{2}}T A φ=④{,,{1},{2}}T X φ=48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,3}A =,则X 的子空间A的拓扑为( )①{,{1},{3},{1,3}}T φ=②{,,{1}}T A φ=③{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=④{,,{1}}T X φ=49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2,3}A =,则X 的子空间A的拓扑为( )①{,{3},{2,3}}φ=T ②{,,{2},{3}}T A φ=③{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=④{,,{3}}T X φ=50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )①{,{1}}T φ=②{,,{1,2}}T A φ=③{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=④{,,{1}}T X φ=51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )①{,{2},{1,2}}T φ=②{,}T A φ=③{,,{2}}T X φ=④{,,{1,2}}T X φ=52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )①{,{2},{1,2}}T φ=②{,{},{1,3}}T X φ=③{,,{3}}T X φ=④{,{3}}T φ=53、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（ ）①{,}T Z φ=②()T P Z =③T Z =④{}T Z =54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射，则1P 是（ ）①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射，则2P 是（ ） ①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射，则3P 是（ ） ①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射，则4P 是（ ） ①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射58、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射，则5P 是（ ） ①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射，则6P 是（ ） ①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射60、设1X 和2X 是两个拓扑空间，12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂，2B X ⊂，则有（ ） ①A B A B ⨯≠⨯②A B A B ⨯=⨯③()A B A B ⨯≠⨯④()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂61、有理数集Q 是实数空间R 的一个（ ）①不连通子集② 连通子集③开集④以上都不对62、整数集Z 是实数空间R 的一个（ ）①不连通子集② 连通子集③开集④以上都不对63、无理数集是实数空间R 的一个（ ）①不连通子集② 连通子集③开集④以上都不对64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集65、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ⨯是（ ）①离散空间 ② 不一定是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间66、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ⨯是（ ）①离散空间 ② 不一定是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间67、设12,X X 是连通空间，则积空间12X X ⨯是（ ）①离散空间 ② 不一定是连通空间③ 平庸空间 ④ 连通空间68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 区间或一点71、下列叙述中正确的个数为（ ）（Ⅰ）单位圆周1S 是连通的； （Ⅱ）{0}R -是连通的（Ⅲ）2{(0,0)}R -是连通的 （Ⅳ）2R 和R 同胚① 1 ② 2 ③3 ④ 472、实数空间R ( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对73、整数集Z 作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对74、有理数集Q 作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对75、无理数集作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对76、正整数集Z +作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对77、负整数集Z -作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对78、2维欧氏间空间2R （ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对79、3维欧氏间空间3R （ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对80、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 平庸性 ②连通性③离散性④第一可数性公理81、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 第一可数性公理 ②连通性③第二可数性公理④平庸性82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 第一可数性公理 ②可分性③第二可数性公理④ 离散性83、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 平庸性 ②可分性③离散性④第二可数性公理84、设X 是一个拓扑空间，若对于,,x y X x y ∀∈≠,均有{}{}x y ≠,则X 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④以上都不对85、设{1,2}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对86、设{1,2}X =，{,,{2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 道路连通空间87、设{1,2,3}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对88、设{1,2,3}X =，{,,{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对89、设{1,2,3}X =，{,,{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对90、设{1,2,3}X =，{,,{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对91、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对92、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③1T 空间④4T 空间93、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个有限子集都是闭集，则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③1T 空间④4T 空间94、设X 是一个拓扑空间，若对x X ∀∈与x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③1T 空间④4T 空间95、设X 是一个拓扑空间，若对X 的任何一个闭集A 与A 的每一个开邻域U ，都存在A的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③1T 空间④4T 空间96、设{1,23}X =，，{,,{1},{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④正规空间97、设{1,23}X =，，{,,{2},{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④正规空间98、设{1,23}X =，，{,,{3},{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④正则空间99、设{1,23}X =，，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ②正则空间③4T 空间④正规空间100、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ②正则空间③4T 空间④正规空间101、设{1,23}X =，，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ②正则空间③4T 空间④正规空间102、若拓扑空间X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个（） ① 连通空间 ② 道路连通空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间103、紧致空间中的每一个闭子集都是（ ）① 连通子集 ② 道路连通子集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对104、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是（ ）① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对105、紧致的Hausdorff 空间中的紧致子集是（ ）① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对106、拓扑空间X 的任何一个有限子集都是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集107、实数空间R 的子集{1,2,3}A =是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集108、实数空间R 的子集{1,2,3,4}A =是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集109、如果拓扑空间X 的每个紧致子集都是闭集，则X 是（ ）①1T 空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间二、填空题（每题2分）1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ;4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________.5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ;7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则A = ;8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ;9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则A = ;10、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的部为 ;11、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的部为 ;12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的部为 ;13、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的部为 ;14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 ;16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的部为 ;17、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的部为 ; 18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，若它是一个单射，并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚，则称映射f 是一个 .19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个.20、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个 ;21、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 ;22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个 ；25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个 ;26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ；27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ；28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ，则性质P 称为 ;29、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ；30、若12,X X 满足第一可数性公理，则积空间12X X ⨯满足 ;31、若12,X X 满足第二可数性公理，则积空间12X X ⨯也满足 ;32、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;33、设D 是拓扑空间X 的一个子集，且D X =,则称D 是X 的一个；34、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个 ；35、设X 是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称X 是一个 ；36、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;37、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;38、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个0T 空间;39、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个1T 空间;40、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个2T 空间;41、正则的1T 空间称为 ；42、正规的1T 空间称为 ；43、完全正则的1T 空间称为 ；44、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 .45、设X 是一个拓扑空间，Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间，则称Y 是拓扑空间X 的一个 .46、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 .47、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一个 .48、设X 是一个拓扑空间.如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X 是一个 .三．判断（每题3分，判断1分，理由2分）1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ ）5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ ）6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ ）7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=（ ）8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )9、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（ ）10、若拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理（ ）11、若拓扑空间X 满足第一可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理（ ）12、设{1,2,3}X =，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是3T 空间.( )13、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=，则(,)X T 是3T 空间.( )14、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是1T 空间.( )15、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是4T 空间.( )16、3T 空间一定是2T 空间.（ ）17、4T 空间一定是3T 空间.（ ）18、设,A B 是拓扑空间X 的两个紧致子集，则A B ⋃是一个紧致子集.( )19、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )四．名词解释(每题2分)1．同胚映射2、集合A 的点3、集合A 的部4．拓扑空间(,)T X 的基5．闭包6、序列7、导集8、不连通空间9、连通子集10、不连通子集11、1 A 空间12、2 A 空间13、可分空间14、0T 空间：15、1T 空间：16、2T 空间：17、正则空间：18、正规空间：19、完全正则空间：20、紧致空间21、紧致子集22、可数紧致空间23、列紧空间24、序列紧致空间五．简答题（每题4分）1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →,:g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z →也是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 的补集A '是一个开集，则A 是一个闭集.5、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .7、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .8、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .11、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .12、离散空间是否为2A 空间?说出你的理由.13、试说明实数空间R 是可分空间.14、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理.15、设X 是一个1T 空间，试说明X 的每一个单点集是闭集.16、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，试说明X 是一个1T 空间.17、设(,)X T 是一个1T 空间，∞是任何一个不属于X 的元素.令*{}X X =⋃∞和*X =⋃*T T {}，试说明拓扑空间*(,)X *T 是一个0T 空间.18、若X 是一个正则空间，试说明：对x X ∀∈与x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.19、若X 是一个正规空间，试说明：对X 的任何一个闭集A 与A 的每一个开邻域U ，都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.20、试说明1T 空间X 的任何一个子集的导集都是闭集.21、试说明紧致空间X 的无穷子集必有凝聚点.22、如果X Y ⨯是紧致空间，则X 是紧致空间.23、如果X Y ⨯是紧致空间，则Y 是紧致空间.24、试说明紧致空间X 的每一个闭子集Y 都是紧致子集.六、证明题（每题8分）1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集.2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个连通子集.5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族.如果Y γγφ∈Γ≠,则Y γγ∈Γ是X 的一个连通子集.6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集，B 是X 的一个既开又闭的集合.证明：如果A B φ⋂≠,则A B ⊂.7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ∂≠.8、设X 是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X 不满足第一可数性公理.9、设X 是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X 不满足第一可数性公理.10、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第二可数性公理，证明：Y 也满足第二可数性公理.11、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第一可数性公理，证明：Y 也满足第一可数性公理.12、A 是满足第二可数性公理空间X 的一个不可数集。
点集拓扑讲义期末复习题
一、证明下列是否为拓扑1、Tf={U包含于X|X-U有限}∪{空集}满足①全集、空集包含于Tf②任意A、B∈Tf 若A、B中有一个为空集，A∩B=空集∈T。
若不是，（A∩B）′=A′∪B′，A∪B∈T③设T1∈T，令T2=T1-{空集}。
显然有∪A∈T1(A)=∪A∈T2(A).如果T2=空集，则∪A∈T1(A)=∪A∈T2(A)=空集∈T。
设T2≠空集。
任取A0∈T2.这时（∪A∈T1(A)）′=（∪A∈T2(A)）′=∪A∈T2(A′)∈A0′是X的一个有限子集，所以∪A∈T1(A) ∈T。
所以为拓扑。
2、Tc={U包含于X|X-U可数}∪{空集}3、T∞={U包含于X|X-U无限}∪{空集}∪{X}二、计算实值标准拓扑R子空间Y=（0，1]，子集（0.1/2）=A。
求A在Y、R中的闭包、内部。
Y中：闭包（0,1/2].内部（0，1/2）R中：闭包[0,1/2].内部（0，1/2）三、A包含于Y，Y包含于X，为闭子空间。
若A包含于Y则A为X中闭集。
Y包含于X闭，所以存在X中闭集B使得A=Y∩B（子空间闭集定义），所以Y包含于X 闭，所以A为X中闭集。
四、设A、B、Aa包含于X，证明：1、A包含于B=A的闭包包含于B的闭包。
2、A∪B= A∪B。
3、∪Aa包含∪Aa。
1、五、X、Y有子集A包含于X，B包含于Y，则A*B=A*B六、R:K={1/n|n∈R+}求在T1、T2、T3、T4、T5中的闭包。
七、1、f:X Y连续。
2、任意B∈Y闭，f-1（B）闭。
3、任意A包含于X，f（A）包含于f（A）。
4、任意B包含于Y，f-1（B）包含f-1（B）。
5、任意B包含于Y，f-1（B°）包含于（f-1（B））°证明1~5等价。
八、连续的满的闭映射为商映射。
九、商映射可以既不为开映射又不为闭映射。
十、连通子集在连续映射下的像是联通的。
十一、连通子集的闭包为连通子集。
道路连通则连通,而且R^n中连通就是道路连通.A的闭包是对的,因为任意开覆盖有有限子覆盖,闭包的点可以用无穷点列逼近,自然可以每个点取个领域,组成开覆盖.十二、设A、B为（X,T）的紧致子集，则A∪B为紧致子集。
拓扑学笔记整理
拓扑学笔记整理一、拓扑学基础概念。
1. 拓扑空间。
- 定义：设X是一个集合，T是X的一个子集族。
如果T满足以下三个条件：- 空集∅和X都属于T。
- T中任意多个元素（即子集）的并集仍属于T。
- T中有限个元素的交集仍属于T。
- 则称T为X上的一个拓扑，(X, T)为一个拓扑空间。
- 例子：- 离散拓扑：设X是一个集合，T = P(X)（X的幂集，即X的所有子集组成的集合），则(X, T)是一个拓扑空间，称为离散拓扑空间。
- 平凡拓扑：设X是一个集合，T={∅, X}，则(X, T)是一个拓扑空间，称为平凡拓扑空间。
2. 开集与闭集。
- 开集：在拓扑空间(X, T)中，T中的元素称为开集。
- 闭集：集合A是拓扑空间(X, T)中的闭集当且仅当X - A是开集。
- 性质：- 空集∅和X既是开集又是闭集（在任何拓扑空间中）。
- 开集的任意并集是开集，闭集的任意交集是闭集。
- 开集的有限交集是开集，闭集的有限并集是闭集。
3. 邻域。
- 定义：设(X, T)是一个拓扑空间，x∈X。
如果存在开集U∈T，使得x∈U⊆N，则称N是x的一个邻域。
- 性质：- 一个集合是开集当且仅当它是其每个点的邻域。
二、拓扑空间中的连续映射。
1. 连续映射的定义。
- 设(X, T₁)和(Y, T₂)是两个拓扑空间，f:X→Y是一个映射。
如果对于Y中的任意开集V∈T₂，f⁻¹(V)（V在f下的原像）是X中的开集（即f⁻¹(V)∈T ₁），则称f是连续映射。
2. 连续映射的等价定义。
- 对于X中的任意一点x和任意邻域N(f(x))（f(x)在Y中的邻域），存在x在X 中的邻域M，使得f(M)⊆N(f(x))。
- 对于Y中的任意闭集C，f⁻¹(C)是X中的闭集。
三、拓扑空间的基与子基。
1. 基的定义。
- 设(X, T)是一个拓扑空间，B是T的一个子集族。
如果对于任意的U∈T以及任意的x∈U，存在B中的元素B，使得x∈B⊆U，则称B是拓扑T的一个基。
几何拓扑知识点总结
几何拓扑知识点总结几何拓扑学的研究对象包括拓扑空间、流形、纤维丛等，在现实世界中，许多物理现象和工程应用都涉及到了几何拓扑学的理论，比如材料的性质、地理地质的特征、电子结构等。
因此，几何拓扑学在科学研究和工程应用中具有重要的地位。
在本文中，我将介绍几何拓扑学的一些基本知识点，包括拓扑空间、同伦理论、同调理论、流形等内容，并尽量深入浅出地解释这些概念。
希望读者通过本文的阅读，能对几何拓扑学有一个初步的了解。
1. 拓扑空间拓扑空间是几何拓扑学的基本研究对象，它是由一个非空集合和这个集合上的一个拓扑结构组成的。
拓扑结构是指这个集合上定义的开集的集合，它满足一些基本性质，比如空集和全集都是开集，有限个开集的并集仍然是开集，有限个开集的交集仍然是开集等。
在拓扑空间中，我们关注的是集合上的开集的结构，而不是集合上的具体度量。
因此，拓扑空间具有一些特殊的性质，比如连通性、紧致性、分离性等。
这些性质是描述空间的形状的重要工具，在几何拓扑学中有着重要的应用。
2. 同伦理论同伦理论是几何拓扑学的一个重要分支，它研究的是空间之间的连续变形。
在同伦理论中，我们关注的是空间之间的同伦关系，即一个空间是否可以通过连续变形变成另一个空间。
同伦关系是一种等价关系，它可以用来描述空间的拓扑结构。
比如，两个拓扑空间同伦等价意味着它们拓扑上是一样的，它们之间没有明显的区别。
因此，同伦理论可以用来分类拓扑空间，研究它们之间的关系。
3. 同调理论同调理论是几何拓扑学的另一个重要分支，它研究的是空间的拓扑不变性。
在同调理论中，我们通过代数技术来研究空间的拓扑性质，比如空间的维数、空间的欧拉特性数等。
同调理论是一种强大的工具，它能够帮助我们理解空间的拓扑结构，并且能够帮助我们证明一些拓扑定理。
在同调理论中，我们会用到代数学中的很多概念，比如群论、链复形、上同调等。
通过这些工具，我们可以得到空间的一些重要的拓扑不变性，这对于研究空间的结构具有重要意义。
拓扑空间复习题及答案
拓扑空间复习题及答案# 拓扑空间复习题及答案一、选择题1. 以下哪个不是拓扑空间的公理？A. 并集公理B. 交集公理C. 子集公理D. 空集公理答案：C2. 一个集合和它的幂集构成的拓扑空间是：A. 离散拓扑B. 幂集拓扑C. 可数拓扑D. 欧几里得拓扑答案：A3. 在拓扑空间中，以下哪个概念与开集密切相关？A. 闭集B. 邻域C. 极限点D. 边界点答案：B二、填空题1. 一个集合 \( X \) 上的拓扑 \( \tau \) 必须满足三个条件：\( \emptyset \) 和 \( X \) 属于 \( \tau \)，任意个开集的并集仍属于 \( \tau \)，以及任意有限个开集的\( \)________。
答案：交集2. 在拓扑空间 \( (X, \tau) \) 中，如果 \( A \subseteq X \) 且\( A \) 的任意点都有一个开集 \( U \) 使得 \( U \cap A = A \)，则称 \( A \) 是 \( X \) 中的________。
答案：闭集三、简答题1. 解释什么是连续映射，并给出一个例子。
答案：连续映射是指在拓扑空间 \( (X, \tau_X) \) 和 \( (Y,\tau_Y) \) 之间，如果映射 \( f: X \rightarrow Y \) 满足：对于任意 \( Y \) 中的开集 \( V \)，其逆像 \( f^{-1}(V) \) 是 \( X \) 中的开集，则 \( f \) 是连续的。
例如，考虑实数集\( \mathbb{R} \) 上的欧几里得拓扑，映射 \( f(x) = x^2 \) 是连续的，因为对于任意开区间 \( V \)，其逆像 \( f^{-1}(V) \) 总是\( \mathbb{R} \) 中的开区间。
2. 什么是紧性？请给出一个紧空间的例子。
答案：紧性是拓扑空间的一个性质，指的是空间中的任意开覆盖都存在有限的子覆盖。
拓扑空间复习题及答案
拓扑空间复习题及答案1. 定义拓扑空间。
拓扑空间是一个集合X，连同一个子集的集合T，这些子集满足以下三个条件：空集和X本身都在T中；T中任意有限个元素的交集也在T中；T中任意元素的并集也在T中。
这个集合T被称为X上的拓扑。
2. 描述开集和闭集。
在拓扑空间(X, T)中，如果集合U属于T，则称U为开集。
闭集是指其补集是开集的集合，即如果U的补集V属于T，则称U为闭集。
3. 举例说明连续函数。
设f是从拓扑空间(X, T_X)到拓扑空间(Y, T_Y)的函数。
如果对于Y中的每一个开集V，其原像f^(-1)(V)在X中也是开集，则称f是连续的。
4. 什么是紧致性？在拓扑空间(X, T)中，如果X的每一个开覆盖都有有限子覆盖，则称X 是紧致的。
5. 描述连通性。
如果拓扑空间(X, T)不能被分成两个不相交的非空开集，则称X是连通的。
6. 什么是分离公理？分离公理是拓扑空间中的一种性质，它要求空间中的任意两个不同的点，都存在不相交的开集分别包含这两个点。
7. 举例说明Hausdorff空间。
Hausdorff空间是一种满足T2分离公理的拓扑空间，即对于空间中的任意两个不同的点，都存在不相交的开集分别包含这两个点。
8. 什么是基和子基？基是拓扑空间中满足以下条件的开集集合：空间中的每一个开集都可以表示为基中元素的并集。
子基是拓扑空间中满足以下条件的开集集合：空间中的每一个开集都可以表示为子基中元素的有限交集的并集。
9. 描述商空间。
设f是从拓扑空间(X, T_X)到集合Y的满射。
如果Y上的拓扑由所有形如f^(-1)(U)的集合（其中U是Y中的开集）生成，则称这个拓扑空间为X关于f的商空间。
10. 什么是同胚？如果存在一个双射函数f，它从拓扑空间(X, T_X)到拓扑空间(Y, T_Y)，并且f及其逆函数都是连续的，则称f是同胚，且称X和Y是同胚的。
拓扑空间
1 1
,
度 量 空 间 的 开 集 和 闭集
l
设
i 1
E是一 个 集
,
,
所谓
=
E 上的度 量 (
:
或
“
距 离 函数 ”
) 是 一个 函数 d
,
定义在在
E
x
E
上
有非 负 的 实数值
( ( 1 ) )
d ( d ( d (
x 二
二
, ,
满 足下 面 条 件
y ) y ) o
巾冷
,
x 二
二
了;
=
d ( y
。 ,
。
设x
。
〔A
,
则d (
a
,
工
。
) < p
。
令
8
=
p 一 d
(
a
,
x
。
) >
o
,
若X 〔E且满足
x a
,
) <
x
e
,
则
a
,
d (
) 簇d (
a
x
。
)
+
d (
x
。 ,
x
) < d (
。
a
,
x
,
。
)
+
a
8 = p
,
于是X 〔 A 若p
“
.
集 A 也 称 为 以 为 中 心 p 为 半径 的开 球
的 平面 里
。
d (
a
) ) x
a
a
,
x
。
)
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连通性，道路连通性与紧致性
连通性
遗传 无
可乘 有
道路连通性
无
有
紧致性
无
有
有闭遗传
连续映射下 有 有 有
遗传 有
可乘 有
可分空间
无
有
Lindeloff 空间 无
无
有闭遗传
连续映射下 满和开 有 有
分离性
正则性 正规性
遗传 有
可乘 有
有
有
无
无
有闭遗传
无
有
无
无
连续映射下 无
4.设X={ a, b, c, }， 则点b的邻域系为：
5.设X={ a, b, c, d}， 则下列子空间不连通的是：
6.设X={ a, b, c, d}，
则（X，T）的连通分支是：
7. 8. 9.
10 .
11 .
12 .
选择题
1
2
7
8 910ຫໍສະໝຸດ 11 12 1314
二，填空题
1. 在实数空间R中，有理数集Q的导集是 ( R )
拓扑空间总复习
基本概念
一. 度量空间 1. 度量空间的定义 2. 度量空间的其他概念 3. 度量空间中的连续映射 二. 拓扑空间的定义
1. 拓扑空间的定义（包括子空间与积空间 2，常见的拓扑 3. 拓扑空间的其他概念 4，拓扑空间的连续映射与同胚映射
三. 拓扑空间中的性质 1. 连通性与道路连通性
不是拓扑
6. 7. 8. Hausdorff空间中的任何一个收敛序列只有一个极限点．
9.
10 .
11 .
12 13 .
. 14
.
15 证明欧氏平面 中的子集 是连通的.
证明: 定义映射
,使的对任意
f 是一个连续映射，且
,所以 是连通的
16 证明欧氏平面 和实数空间E不同胚．
证明: 用反证法,假设 和E同胚,则存在
无 无
无 无
紧致空间： 闭集 Hausdorff空间： 闭集 紧致的hausdorff空间： 闭集
紧致子集 紧致子集 紧致子集
一，选择题 1.设X={ a, b, c, d }，则下列集族中不是X的拓扑的是
2.设X={ a, b, c, d }，则下列集族中是X的拓扑的是
3. 设(X，T)是拓扑空间，则下列说法不正确的是:
一个同胚映射
,令
此时, 是连续的,并且有
所以 而
应该是连通, 不是区间,所以不连通.矛盾
17.
18.
19. 20. 设A是实数空间R的一个子集．A是包含着不少于两个点
的一个连通子集当且仅当A是一个区间．
2.
当且仅当对于的每一邻域有 ( )
3. X
4.
不连通空间
5.若拓扑空间有一个可数稠密子集，则称是可一分个空( 间 )
三，判断题 1。从离散空间到拓扑空间的任何映射都是
连续映射( √ )
× 3. Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集.(√ )
√
×
五，证明题 1. 2. 3.
4.
5.
举例说明