《拓扑学导论》第2 章拓扑空间及其基本概念
什么是拓扑空间
什么是拓扑空间拓扑空间是数学中的一个重要概念，它是集合论和点集拓扑学的基础。
拓扑空间的概念是由法国数学家弗雷歇在20世纪初提出的，它是对集合中元素之间的关系进行抽象和研究的数学结构。
一、拓扑空间的定义拓扑空间是一个有序对(T, τ)，其中T是一个非空集合，τ是T的一个子集族，满足以下三个条件：1. T和空集∅都属于τ；2. τ中的任意个集合的交集仍然属于τ；3. τ中的有限个集合的并集仍然属于τ。
在拓扑空间中，集合T的元素被称为点，τ中的元素被称为开集。
开集是拓扑空间中最基本的概念，它描述了点与点之间的邻近关系。
二、拓扑空间的性质1. 开集性质：在拓扑空间中，开集具有以下性质：(1) 空集和全集都是开集；(2) 任意个开集的交集仍然是开集；(3) 有限个开集的并集仍然是开集。
2. 邻域性质：在拓扑空间中，每个点都有一个邻域，邻域是包含该点的开集。
3. 连通性质：在拓扑空间中，如果任意两点之间都存在一条连续的曲线，那么该空间被称为连通空间。
4. 紧致性质：在拓扑空间中，如果任意开覆盖都存在有限子覆盖，那么该空间被称为紧致空间。
5. Hausdorff性质：在拓扑空间中，如果任意两点都存在不相交的邻域，那么该空间被称为Hausdorff空间。
三、拓扑空间的例子1. 实数集上的拓扑空间：在实数集上定义开区间为开集，可以构成一个拓扑空间。
2. 离散拓扑空间：对于任意集合T，将T的所有子集都定义为开集，可以构成一个拓扑空间。
3. 序拓扑空间：对于有序集合T，定义开区间(a, b)为开集，可以构成一个拓扑空间。
4. 有限补拓扑空间：对于集合T，定义开集为T的子集和T的有限补集，可以构成一个拓扑空间。
四、拓扑空间的应用拓扑空间在数学中有广泛的应用，尤其在几何学、分析学和代数学中起着重要的作用。
1. 几何学中的拓扑空间：拓扑空间可以用来描述几何对象的形状和结构，如欧几里得空间、流形等。
2. 分析学中的拓扑空间：拓扑空间可以用来定义连续函数、收敛性和极限等概念，是分析学的基础。
拓扑空间的基本概念
拓扑空间的基本概念拓扑空间是数学中重要的概念，它是研究点集的开集和收敛性质的一种数学结构。
在现代数学中，拓扑空间理论是非常重要的一个分支，它不仅在纯数学中有着广泛的应用，也在物理学、工程学等其他学科中有着深远的影响。
本文将介绍拓扑空间的基本概念，包括拓扑空间的定义、开集、闭集、邻域、连通性等内容，帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学概念。
1. 拓扑空间的定义在介绍拓扑空间的基本概念之前，首先需要给出拓扑空间的定义。
拓扑空间是一个集合X上的一种拓扑结构，它是X的子集族T的一个元素，满足以下三条性质：（1）X和空集∅都是T的元素；（2）T中任意多个元素的交集仍然是T的元素；（3）T中有限个元素的并集仍然是T的元素。
满足上述性质的集合族T被称为X上的一个拓扑结构，而(X, T)被称为拓扑空间。
在拓扑空间中，集合X的元素被称为点，集合T的元素被称为开集。
2. 开集和闭集在拓扑空间中，开集和闭集是非常重要的概念。
开集是指拓扑空间中的一个子集，对于该子集中的每个点，都存在一个包含该点的开球，使得该开球完全包含在该子集中。
换句话说，开集是指对于其中的每个点，都存在一个邻域完全包含在该集合中。
闭集则是开集的补集。
换句话说，闭集是指包含了其所有极限点的集合。
在拓扑空间中，开集和闭集是相辅相成的概念，它们共同构成了拓扑结构的基础。
3. 邻域邻域是拓扑空间中另一个重要的概念。
给定拓扑空间X中的一个点x，邻域是包含x的一个开集。
换句话说，邻域是指包含了该点附近所有点的一个开集。
邻域的概念是用来描述点与点之间的接近程度，它在分析拓扑空间中点的性质和集合的性质时起着重要作用。
4. 连通性在拓扑空间中，连通性是一个重要的性质。
一个拓扑空间被称为连通的，如果它不可以被表示为两个不相交的非空开集的并。
换句话说，一个拓扑空间是连通的，如果任何两点之间都存在一条连续的曲线。
连通性是描述拓扑空间整体结构的一个重要性质，它反映了空间中点之间的连续性和联系性。
拓扑空间理论
拓扑空间理论拓扑空间理论是数学中的一个分支，研究的是集合上定义的一种结构，即拓扑结构。
通过引入拓扑结构，我们可以描述集合中的点之间的接近和连续性关系。
本文将介绍拓扑空间的定义、基本概念和性质，并探讨一些常见的拓扑空间。
一、拓扑空间的定义拓扑空间可以用一对有序集合（X，T）来表示，其中X是任意非空集合，T是X的子集族，满足以下条件：1. 空集和整个集合X都属于T。
2. 任意多个元素的并集和有限个元素的交集都属于T。
3. T中的元素称为开集，满足开集的性质。
二、基本概念在拓扑空间中，我们可以引入一些基本概念来描述点之间的关系。
1. 开集和闭集根据拓扑结构，拓扑空间中的开集满足定义中的性质，而闭集则是其补集的开集。
开集和闭集是拓扑空间中的基本概念，用于描述点的邻域和极限。
2. 连通性连通性描述了拓扑空间中的点之间是否可以通过一条连续的曲线相互连接。
如果一个拓扑空间中没有非空的开集既不是整个空间也不是空集，则称该空间是连通的。
3. 紧致性紧致性是拓扑空间中的一个重要概念，用来描述一个拓扑空间中是否可以从任意的开覆盖中选出有限个开集，使得它们仍然覆盖整个空间。
如果一个空间中存在有限子覆盖，那么称该空间是紧致的。
4. Hausdorff性Hausdorff性是拓扑空间中的一个重要性质，它要求集合中的任意两个不同点都有不相交的邻域。
Hausdorff空间保证了点的唯一性和极限的一致性。
三、常见的拓扑空间在拓扑空间理论中，有许多常见的拓扑空间。
1.度量空间度量空间是拓扑空间的一种特殊情况，它引入了度量函数来度量点之间的距离。
度量空间中的拓扑结构是由度量函数生成的，通过度量函数我们可以定义开球和闭球等概念。
2.欧几里得空间欧几里得空间是我们熟知的三维空间，其中的点坐标可以用实数表示。
在欧几里得空间中，我们可以定义点之间的距离，并且满足距离公理。
3.离散空间离散空间是一种特殊的拓扑空间，其中每个点都是一个单独的开集，没有其他点与之接近。
拓扑空间的基本概念与性质
拓扑空间的基本概念与性质拓扑空间是数学中的一个重要概念，它在分析、代数、几何等领域中起着重要的作用。
本文将介绍拓扑空间的基本概念及其性质。
一、引言拓扑空间是由集合和集合上的拓扑结构构成的一种数学结构。
它是一种比度量空间更一般的空间，可以用于描述不同度量之间的性质。
拓扑空间的研究为数学领域的许多问题提供了新的解决方法。
二、拓扑空间的定义拓扑空间由以下三条公理定义：首先，给定一个非空集合X，X的全体子集构成的集合Τ称为X上的一个拓扑。
拓扑中的元素称为开集。
其次，空集和整个集合X都是开集。
最后，开集的任意并、有限交以及有限并仍然是开集。
三、开集与闭集拓扑空间中的开集具有以下性质：首先，空集和整个集合X都是开集。
其次，任意两个开集的交集仍然是开集。
最后，开集的任意并仍然是开集。
闭集是指和开集互补的集合。
四、邻域与极限点在拓扑空间中，邻域是指包含某个点的开集。
极限点是指在拓扑空间中，存在序列中的某一点，使得该点的任意邻域都与序列中的无穷个点相交。
五、连续映射拓扑空间中，连续映射是指保持拓扑结构的映射。
即，对于任意开集V，其原像在定义域中是一个开集。
连续映射有以下性质：首先，恒等映射是连续的。
其次，连续映射的复合仍然是连续的。
最后，如果映射的像是开集，那么定义域中的原像也是开集。
六、拓扑空间的性质拓扑空间具有许多重要的性质：首先，有限集在拓扑空间中是闭集。
其次，连续映射保持极限点。
最后，具有有限子覆盖性质的拓扑空间是紧致的。
七、子空间拓扑空间的子集上也可以定义一个拓扑结构，这样的子集称为子空间。
子空间具有许多与原空间相似的性质。
八、紧致性紧致性是拓扑空间中的重要概念之一。
一个拓扑空间是紧致的，当且仅当它的每一个开覆盖都有有限子覆盖。
九、拓扑空间的分类不同的拓扑空间之间可以存在同胚。
同胚是指两个拓扑空间之间存在一个双射，且该双射及其逆映射都是连续映射。
十、总结本文介绍了拓扑空间的基本概念与性质。
拓扑空间是数学中的一个重要研究对象，它可以用于描述不同度量之间的性质。
基础拓扑学讲义尤承业版
基础拓扑学讲义尤承业版第一章绪论1.1 拓扑学的定义与发展拓扑学是数学的一个分支，研究空间中的性质在连续变形下的不变性。
本章介绍了拓扑学的定义、发展历程以及基本概念。
1.2 拓扑学的基本概念本节介绍了拓扑学中的一些基本概念，包括集合、点集、邻域、开集、闭集等。
并且详细解释了它们的定义和性质。
第二章拓扑空间2.1 拓扑空间的定义本节介绍了拓扑空间的定义，即一个集合和一个定义在该集合上的拓扑结构构成的数学结构。
2.2 拓扑空间的基本性质本节介绍了拓扑空间的基本性质，包括空间的连通性、紧致性、分离公理等。
并且给出了相应的定义和定理。
第三章连续映射与同胚3.1 连续映射的定义本节介绍了连续映射的定义，即在拓扑空间之间保持连续性的映射。
3.2 同胚的定义与性质本节介绍了同胚的定义，即两个拓扑空间之间存在一个双射映射，并且该映射和其逆映射都是连续映射。
第四章拓扑基与拓扑生成4.1 拓扑基的定义与性质本节介绍了拓扑基的定义，即一个拓扑空间中的开集可以由拓扑基中的元素表示。
并且给出了拓扑基的一些性质。
4.2 拓扑生成的定义与性质本节介绍了拓扑生成的定义，即一个集合可以通过某些子集的交、并、补运算生成一个拓扑空间。
第五章度量空间与距离5.1 度量空间的定义与性质本节介绍了度量空间的定义，即一个集合中的元素可以通过距离函数相互比较。
5.2 距离函数的性质本节介绍了距离函数的性质，包括非负性、对称性、三角不等式等。
第六章完备性与紧致性6.1 完备性的定义与性质本节介绍了完备性的定义，即度量空间中的某个子集的极限点都在该集合内。
6.2 紧致性的定义与性质本节介绍了紧致性的定义，即一个拓扑空间中的任意开覆盖都存在有限子覆盖。
第七章分离公理7.1 Hausdorff空间的定义与性质本节介绍了Hausdorff空间的定义，即一个拓扑空间中的任意两个不同点都存在不相交的邻域。
7.2 正则空间和完全正则空间本节介绍了正则空间和完全正则空间的定义，以及它们与Hausdorff空间的关系。
拓扑学的基本概念与拓扑空间
拓扑学的基本概念与拓扑空间拓扑学是数学的一个分支，研究的对象是空间的性质与结构，而不关注其度量或形状。
拓扑学的基本概念包括拓扑空间、连续映射、开集、闭集等，它们构成了拓扑学的基础。
一、拓扑空间的定义与基本性质拓扑空间是拓扑学中最基本的概念之一。
一个集合X，若其满足以下三个条件，则称X是一个拓扑空间：1. X本身与空集∅是开集；2. 任意多个开集的交集仍是开集；3. 有限多个开集的并集仍是开集。
在拓扑空间中，我们可以定义许多重要的概念和性质。
例如，连续映射是拓扑空间之间的一种映射，它在保持点与点之间的接近程度方面具有重要作用。
连续映射的定义是：若拓扑空间X和Y上的一个映射f满足对于任意开集V，其原像f^(-1)(V)是X上的开集，则称f是一个连续映射。
二、开集与闭集在拓扑学中，开集和闭集是两个基本的概念。
开集是指拓扑空间中的一个子集，满足其包含的每个点都是该空间中的一个内点。
闭集是指拓扑空间中的一个子集，满足其包含了该空间中的所有边界点。
开集和闭集具有一些基本的性质：1. 空集∅和整个拓扑空间X既是开集又是闭集；2. 有限个开集的并集是开集，有限个闭集的交集是闭集；3. 任意多个开集的交集是开集，任意多个闭集的并集是闭集。
三、拓扑基与拓扑生成拓扑基和拓扑生成是拓扑学中用于描述拓扑空间性质的重要工具。
拓扑基是指拓扑空间中的一个子集合，满足以下两个条件：1. 拓扑基中的每个元素都是开集；2. 对于任意开集U和任意元素x∈U，存在一个拓扑基中的元素B，使得x∈B且B⊆U。
通过拓扑基，我们可以用更简洁的方式描述拓扑空间中的开集。
拓扑基的定义有助于我们研究拓扑空间的性质和结构。
拓扑生成是指通过给定的拓扑生成集合，来定义拓扑空间中的开集。
拓扑生成集合是一个集合，满足以下两个条件：1. 拓扑生成集合中的每个元素都是开集；2. 对于任意开集U，其包含的点都属于拓扑生成集合中的某个元素。
拓扑基和拓扑生成的引入，使得我们可以根据拓扑空间的结构特点和需要，选择不同的刻画方式，方便地研究和构造拓扑空间。
拓扑学第2章拓扑空间连续映射
第二章 拓扑空间与连续映射本章是点集拓扑学基础中之基础, 从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两个概念: 拓扑空间、连续映射, 分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性.教材中先介绍度量空间概念，由于刚刚结束泛函分析课程，所以此节不讲，而补充如下内容。
§ 2-1 数学分析中对连续性的刻画由于映射的连续性是刻画拓扑变换的重要概念，所以，我们先回顾一下数学分析中函数的连续性是如何刻画的。
设11:f E E →是一个函数，10x E ∈，则f 在0x 处连续的定义有如下几种描述方法：（1）序列语言若序列1,2,{}n n x = 收敛于0x ，则序列1,2,{()}n n f x = 收敛于0()f x ；（2）εδ-语言对于0ε∀>，总可以找到0δ>，使当0x x δ-<时，有0()()f x f x ε-<（3）邻域语言若V 是包含0()f x 的邻域（开集），则存在包含0x 的邻域U ，使得()f U V ⊂。
解释：（1）和（2）中用到距离的概念，可用于度量空间映射连续性的描述； 对于没有度量的场合，可以用（3）来描述；所谓拓扑空间就是具有邻域（开集）结构的空间。
§ 2-2 拓扑空间的定义一、 拓扑的定义注：这是关于拓扑结构性的定义定义1 设X 是一非空集，X 的一个子集族2Xτ⊆称为X 的一个拓扑，若它满足（1）,X τ∅∈；（2）τ中任意多个元素（即X 的子集）的并仍属于τ；(3) τ中有限多个元素的交仍属于τ。
集合X 和它的一个拓扑τ一起称为一个拓扑空间，记(,)X τ。
τ中的元素称为这个拓扑空间的一个开集。
下面我们解释三个问题：(1)拓扑公理定义的理由； (2) 为什么τ中的元素称为开集；(3) 开集定义的完备性。
● 先解释拓扑定义的理由:① 从εδ-语言看：0x x δ-<和0()()f x f x ε-<分别为1E 上的开区间；② 从邻域语言看：,U V 是邻域，而()f U 是0()f x 的邻域，连续的条件是()f U V ⊂，即一个邻域包含了另一个邻域，也就是说，0()f x 是V 的内点，有内点构成的集合为开集。
拓扑学笔记整理
拓扑学笔记整理一、拓扑学基础概念。
1. 拓扑空间。
- 定义：设X是一个集合，T是X的一个子集族。
如果T满足以下三个条件：- 空集∅和X都属于T。
- T中任意多个元素（即子集）的并集仍属于T。
- T中有限个元素的交集仍属于T。
- 则称T为X上的一个拓扑，(X, T)为一个拓扑空间。
- 例子：- 离散拓扑：设X是一个集合，T = P(X)（X的幂集，即X的所有子集组成的集合），则(X, T)是一个拓扑空间，称为离散拓扑空间。
- 平凡拓扑：设X是一个集合，T={∅, X}，则(X, T)是一个拓扑空间，称为平凡拓扑空间。
2. 开集与闭集。
- 开集：在拓扑空间(X, T)中，T中的元素称为开集。
- 闭集：集合A是拓扑空间(X, T)中的闭集当且仅当X - A是开集。
- 性质：- 空集∅和X既是开集又是闭集（在任何拓扑空间中）。
- 开集的任意并集是开集，闭集的任意交集是闭集。
- 开集的有限交集是开集，闭集的有限并集是闭集。
3. 邻域。
- 定义：设(X, T)是一个拓扑空间，x∈X。
如果存在开集U∈T，使得x∈U⊆N，则称N是x的一个邻域。
- 性质：- 一个集合是开集当且仅当它是其每个点的邻域。
二、拓扑空间中的连续映射。
1. 连续映射的定义。
- 设(X, T₁)和(Y, T₂)是两个拓扑空间，f:X→Y是一个映射。
如果对于Y中的任意开集V∈T₂，f⁻¹(V)（V在f下的原像）是X中的开集（即f⁻¹(V)∈T ₁），则称f是连续映射。
2. 连续映射的等价定义。
- 对于X中的任意一点x和任意邻域N(f(x))（f(x)在Y中的邻域），存在x在X 中的邻域M，使得f(M)⊆N(f(x))。
- 对于Y中的任意闭集C，f⁻¹(C)是X中的闭集。
三、拓扑空间的基与子基。
1. 基的定义。
- 设(X, T)是一个拓扑空间，B是T的一个子集族。
如果对于任意的U∈T以及任意的x∈U，存在B中的元素B，使得x∈B⊆U，则称B是拓扑T的一个基。
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《拓扑学导论》第2章 拓扑空间及其基本概念
（作业题）
1、分别定义1ρ,2ρ:n R ×n R →R 为),(1y x ρ|}{|max 1i i n
i y x −=≤≤和),(2y x ρ = 1
||n i i i x y =−∑. 证明: 1ρ,2ρ都是集合n R 上的度量.
2、设),(ρX 为度量空间,分别定义1ρ,2ρ:→×X X R 为),(1y x ρ),(1),(y x y x ρρ+=, 并且. 试证明: X y x ∈,⎩⎨⎧>≤=1
),(11),()
,(),(2y x y x y x y x ρρρρ当当1ρ,2ρ都是X 上的度量. 3、设:f n R →R 是一映射,我们称在是连续的,如果f n R ∈∀0x n R , 0>∀ε, 0>∃δ,使得),(δx B x ∈∀时, 恒有
ε<−|)()(|0x f x f
试证明: 当是连续映射时, f ∈x {n R }0)(|>x f 开于n R .
4、设X 是一个度量空间，A X ⊂，试证: (1) 是IntA A 所包含的所有开集的并集; (2) A 是所有含A 的闭集的交.
5、若A 是度量空间X 的稠密子集,O 为X 中开集, 证明:O A O I ⊂
6、证明: 度量空间中任何子集的导集都是闭集.
7、 证明:集合上的任意两个拓扑的交也是上的一个拓扑. 集合上两个拓扑的并一定是上一个拓扑吗? 为什么?
X X X X 8、设(,是拓扑空间,G , 则)X T ∈T x G ∀∈, 有()G x ∈U . 反之, 若U 为其中任意点的邻域,则U 必为中开集.
X 9、设是拓扑空间, F 为中的闭集的全体,则F 满足条件: (F1) (,)X T X φ, ；(F2) 若, , 则X ∈F 1F 2F ∈F 12F F ∈U F ；(F3) 若{}, 则.
F λλ∈Λ⊂F F λλ∈Λ∈U F 10、设(,是一个拓扑空间,)X T A X ⊂, 则
(i) A ∈T 当且仅当0A A =；(ii) A 等于包含A 的一切闭集的交.
11、设(,是有限余拓扑空间,)X T A X ⊂,求证:,A A A X A ⎧=⎨⎩
当为有限集，当为无限集. 12、 设是拓扑空间, 对于(,)X T A X ∀⊂,对应着一个o A , 称为内核算子. 求证内核算子满足条件:
o i A A =（）(I1) ； (I2) o X X =o A A ⊂； (I3) o o o A A =（）； (I4)
o o o A B A B =I I （）, (∀A ,).
B X ⊂13、设为实数集, 赋予右序拓扑,R [01]A =，,求o A ,'A 和A .
14、设是拓扑空间, (,)X T A 为的子空间,若{X }x δ为A 中的网, 则{}x δ在A 收敛于x A ∈当且仅当{}x δ在收敛于X x A ∈.
15、设是拓扑空间, 则为中开集当且仅当(,)X T G X x G ∀∈及∀网{}x δ收敛于x , 有{}x G δφ≠I .
16、 设是拓扑空间, {}(,)X T A λλ∈ΛX ⊂. 集族{}A λλ∈Λ称为在中是局部有限(离散)的, 如果X x X ∀∈,使得{|()U x ∃∈U }U A λλφ∈Λ≠I 是一个有限集(至多单点集).试证明:
(1) 离散集族是局部有限集族;
(2) 若{}局部有限,则, A λλ∈Λ'∀Λ⊂Λ'{}A λλ∈Λ也局部有限;
(3) 若{}局部有限并且A λλ∈Λλ∀∈Λ,B A λλ⊂, 则{}B λλ∈Λ也局部有限;
(4) 若{}局部有限, 则A λλ∈ΛA A λλλ∈Λ∈Λ=U U λ.
17、设为欧氏空间,下列子集族是否构成的一个拓扑基?
2R 2R (1) 中所有开等边三角形; (2) 所有其边平行于坐标轴的开长方形.
2R 18、 设:f X Y →,A X ⊂, 证明:f 在A 上的限制A f :A Y →是A 上的连续映射.
19、 求解下列两个问题
(1) 设为拓扑空间, Y 为平凡拓扑空间, 则从到Y 的任何映射都是连续映射;
X X (2) 设为离散空间, Y 为任意拓扑空间, 则从到Y 的任何映射都是连续映射.
X X 20、设X 是一个拓扑空间，A Y X ⊂⊂，试证明：
（1）如果Y 是X 的开子集，则A 开于Y 当且仅当A 开于X ；
（2）如果Y 是X 的闭子集，则A 闭于Y 当且仅当A 闭于X .
21、设X 是一个拓扑空间，A Y X ⊂⊂，证明：=int .
int ()X A ()int ()Y X A Y I 22、（邻域基与邻域子基）设X 是一个拓扑空间，x X ∈，()x U 为点的邻域系，x ()x B ⊂()x U ，()x ϕ⊂()x U . (i) ()x B 称为点的邻域基, 如果x U ∀∈()x U ,B ∃∈()x B 使得B ⊂U ; (ii)()x ϕ称为是点的邻域子基,如果x U ∀∈()x U ,12,,,()n S S S x ϕ∃∈L 使得.
1n
i i S U =⊂I 设X 与都是拓扑空间, ,Y :f X Y →x X ∈,试证明下列各条等价
(1) 在点处连续;
f x (2) 点有一个邻域基()f x ()f x V 使得V ∀∈()f x V ,有1()f V −∈()x U ;
(3) 点有一个邻域子基()f x ()f x W 使得W ∀∈()f x W ,有1()f
W −∈()x U . 23、 举例说明从拓扑空间到另一个拓扑空间Y 的1-1连续映射未必是同胚映射.
X 24、证明:邻域、内点、闭包都是拓扑不变性质. 25、一个拓扑空间称为是可分的，如果存在一个至多可数集合X A X ⊂使得A X =. 试证明: 可分空间的连续象也是一个可分空间.。