江苏高考一轮复习压轴题精选训练(一)

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新高考苏教版数学理大一轮复习训练1.2命题及充要条件(含答案解析)

1.2 命题及充要条件一、填空题．命题：“若 x 2＜，则 | x ＜ ”的逆否命题是________________． 1 2 | 2 分析 “若 p 则 q ”的逆否命题是“若非q 则非 p ”．答案若| x ≥ ，则 x 2≥2| 22. 若会合 A={1,sin},B={ 12 },51} ”的 _______条2 则”6 ”是” AB { 2 件．分析5 A B { 1},但A B { 1} 不可以推出 56 2 26 . 答案充足不用要x ＜2 建立”是“ x x －3) ＜0 建立”的 ________条件．3． “|－1| ( 分析设 A ＝x ||x － 1| ＜ 2} ＝ x | －＜x ＜ 3} ，{{ 1B ＝{ x| x( x －3) ＜0} ＝ { x|0 ＜ x ＜ 3} ，因为 B A ，所以应填必需不充足条件．答案必需不充足．设 x ，y ∈ R 那么“ x ＞ y ＞ ”是“ x＞ ”的条件． 4 0 y1 ________xx －y分析由y ＞1? y ＞0? x ＞y ＞0 或 x ＜y ＜ 0.x所以“ x ＞y ＞0”能推测“ y ＞1”，反之不建立．答案充足不用要5. 设a,b 是向量 , 命题 ” 若 a=-b,则 |a|=|b|”的抗命题是____________________.分析 ∵抗命题是以原命题的结论为条件 , 条件为结论的命题 , ∴这个命题的抗命题为 : 若|a|=|b|,则 a=-b.答案若|a|=|b|,则 a=-b．已知 a ，b ∈ ，则“3a ＞3b ”是“ 1 a 1 b ”的条件．6Rloglog 2 ＜ 2 ________1 a1 b分析 log 3 a ＞log 3b? a ＞ b ＞ 0? 2＜ 2 ，但12 a＜ 12 b ? a ＞b ，不必定有 a ＞ b ＞ 0.答案充足不用要π37．在锐角△ ABC 中，“ A ＝ 3 ”是“ sin A ＝ 2 ”建立的 ________条件．π 3分析因为△ ABC 是锐角三角形，所以 A ＝ 3 ? sin A ＝2.答案充要．a ，b 是非零向量，“函数 f ( x ) ＝ ax ＋b 2 为偶函数“是 a ⊥b ”的 ________8 ( ) 条件．分析因为 a ，b 是非零向量，所以 f ( x ＝a 2· x 2 ＋ a · bx ＋b 2 是偶函数的充要) 2条件是 a · b ＝，即a ⊥b.答案充要条件．设 2 ＞， q ： 1－x 2＜，则 p 是 q 的条件．p ：x－x －9 20 0 | x| －2 0________分析 p ：x 2－x －＞ 0?x ＜－ 4 或 x ＞ 5.201－x 21－ x 2＜，－ x 2＞，＜或1x ＜－或－＜x ＜或 x ＞，：0??21| x| －2xx12| －＞| －＜| 2| 2 0则 p? q ，q/ ? p ，p 是 q 的充足不用要的条件．答案充足不用要条件110．已知 p ： 2≤ x ≤1， q ：( x －a)( x －a －1)>0 ，若 p 是非 q 的充足不用要条件，则实数 a 的取值范围是 ________．因为 p 是非 q 的充足不用要条分析q ：x a ＋1 或 x a ，进而非 q ：a ≤x ≤a ＋1.><a ＋ ≥ ，1 1 件，故1a ≤2，1即 0≤ a ≤2.111．设{ a n } 是等比数列，则“ a 1<a 2<a 3”是“数列 { a n } 是递加数列”的 ________条件．分析{ a n } 为等比数列， a n ＝ a 1 ·q n － 1，由 a 1<a 2<a 3，得 a 1<a 1q<a 1q 2，即 a 1>0， q>1或 a 1<0,0<q<1，则数列 { a n } 为递加数列．反之也建立．答案充足必需12.在整数集 Z 中，被 5 除所得余数为 k 的全部整数构成一个“类”，记为 [k] ，即 [k] ＝{5n ＋k|n ∈Z} ，k＝0,1,2,3,4. 给出以下四个结论：① 2011∈[1] ；②－ 3∈[3] ；③Z＝[0] ∪[1] ∪[2] ∪[3] ∪[4] ；④“整数 a，b 属于同一‘类’”的充要条件是“ a－b∈[0] ”．此中，正确结论的个数是 ________．分析因为 2011＝5×402＋ 1，则 2011∈[1] ，结论①正确；因为－ 3＝5×( － 1) ＋ 2，则－ 3∈[2] ，结论②不正确；因为全部的整数被 5 除的余数为 0,1,2,3,4五类，则Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，结论③正确；若整数 a，b 属于同一“类”[k] ，可设 a＝ 5n1＋k，b＝5n2＋k(n1 ，n2∈Z) ，则a－b＝5(n1 －n2) ∈[0] ；反之，若 a－ b∈ [0] ，可设 a＝5n1＋ k1，b＝5n2＋k2(n1 ，n2∈Z) ，则 a－b＝5(n1－n2) ＋(k1 －k2) ∈[0] ；∴k1＝k2，则整数 a，b 属于同一“类”，结论④正确．答案 313．记实数 x1，x2，，xn 中的最大数为 max{x1，x2，，xn} ，最小数为 min{x1 ，x2，， x n} ．已知△ ABC的三边长为 a，b，c( a≤b≤c) ，定义它的倾斜度为l ＝a b c a b cmax b，c，a·min b，c，a，则“ l ＝1”是“△ ABC为等边三角形”的 ________条件．分析若△ ABC为等边三角形，则a b cmax b，c，a＝ 1，mina b c b，c， a＝1，∴l＝1.令 a＝b＝4，c＝ 5，a b c 5 a b c4则 max b，c，a＝4， min b，c，a＝5，所以 l ＝1.答案必需而不充足二、解答题14. 已知函数 f ( x) 在() 上是增函数, a 、b R, 对命题 : ”若 a b 0 则f ( a) f (b) f ( a) f (- b) ” . 写出抗命题、逆否命题, 判断真假 , 并证明你的结论 .分析先证原命题:”若 a b 0则 f (a) f (b)f(-a f b”为真.)+(- )a b 0a b b a f (a) f ( b)f (b) f (a) f ( a) f (b) f ( b) f (a)故其逆否命题 : ”若 f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),则 a+b<0”也为真 .再证否命题”若 a+b<0, 则 f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b) ”为真 .a b 0a b b a f (a) f ( b)f (b f ( a) f (a) f (b)f(-b f(-a), )<)+故其抗命题: ”若f ( a) f (b) f ( a) f ( b) 则a b0”也为真.+15．已知 p：| x－8| ≤2， q：x－1＞0，r ：x2－3ax＋ 2a2＜ 0( a＞0) ．若 r 是 p x＋1的必需不充足条件，且r 是 q 的充足不用要条件，试求 a 的取值范围．分析命题 p：{x |6 ≤x≤10} ；命题 q： {x|x>1}；命题 r ：{x|a<x<2a} ．若记以上 3 个命题中 x 的取值构成的会合分别为A，B，C，因为 r 是 p 的必需不充足条件，r 是 q 的充足不用要条件，所以有 A?C? B，联合数轴应有1≤ a<6，2a>10，解得 5<a<6，即 a 的取值范围是 5<a<6.16．已知函数 f(x) 是( －∞，＋∞ ) 上的增函数， a，b∈R.若 a＋b≥0，则 f(a) ＋f(b ) ≥ f( －a) ＋ f( －b) ．问：这个命题的抗命题能否建立，并给出证明．分析抗命题为“已知函数 f ( x) 是( －∞，＋∞ ) 上的增函数， a，b∈R，若 f ( a) ＋f ( b) ≥ f ( －a) ＋f ( － b) ，则 a＋b≥0”．该命题是真命题，证明以下：法一 ( 利用原命题的抗命题与否命题等价证明 ) ：若a＋b＜0，则 a＜－ b， b＜－ a，因为 f ( x) 是( －∞，＋∞ ) 上的增函数，所以 f ( a) ＜f ( － b) ，f ( b) ＜f ( －a) ，所以 f ( a) ＋f ( b) ＜f ( － a) ＋f ( －b) ，因为原命题的抗命题与它的否命题等价，所以该命题正确．法二( 用反证法给出证明 ) ：假定 a＋b＜0，则 a＜－ b，b＜－ a，因为 f ( x) 在( －∞，＋∞ ) 上的增函数，所以 f ( a) ＜f ( － b) ，f ( b) ＜f ( －a) ，所以 f ( a) ＋f ( b) ＜f ( － a) ＋f ( －b) ，这与条件f a＋f(b ≥f(－a)＋f(－ b 矛盾，该命题正确．()))．已知 a＞，设 p：不等式x2＋ax＋a＜0的解集为，q：不等式 x＋x－ a1702?| 2 |＞ 1 的解集为 R，假如 p和 q 有且仅有一个正确，求 a 的取值范围．分析“x2ax a的解集为?”等价于“x2＋2ax a＋2＋＜0＋≥0的解集为 R”，所以当 p 建立，＝a2－a≤，解得≤ a≤1.4400又 a＞0，∴ 0＜a≤1“不等式x＋x－a＞1的解集为”等价于：|2|R法一函数 y＝x＋| x－ 2a| 在 R 上的最小值为 1.x＋x－2x－ 2a，x≥2a，∵ a ＝|2|2a， x＜ 2a，∴函数 y＝ x＋| x－2a| 在 R 上的最小值为 2a，1于是由 2a＞1，得 a＞2.法二| x－ 2a| ＞1－x 恒建立，即 y＝| x－2a| 的图象恒在 y＝1－ x 图象的上方，以下图，1得 2a＞ 1，所以 a＞2.1假如 p 正确 q 不正确，则 0＜a≤2；假如 p 不正确 q 正确，则 a＞ 1.1∴ a 的取值范围是0，2∪(1 ，＋∞ ) ．18．在等比数列 { a n} 中，前 n 项和为 S n，若 S m， S m＋2，S m＋1成等差数列，则 a m， a m ＋2，a m＋1 成等差数列．(1) 写出这个命题的抗命题；(2) 判断抗命题能否为真？并给出证明．分析(1) 抗命题：在等比数列 { a n } 中，前 n 项和为 S n ，若 a m ，a m ＋ 2， a m ＋1 成等差数列，则 S m ，S m ＋ 2，S m ＋ 1 成等差数列．(2) 设数列 { a n } 的首项为 a 1，公比为 q.由题意知， 2a m ＋ 2＝ a m ＋a m ＋ 1，即 2· a 1·q m ＋ 1＝a 1· q m －1 ＋a 1·q m.因为a 1≠0， q ≠0，所以22q －q －1＝0，解得q ＝1 或1q ＝－ 2.当 q ＝1时，有S m ＝ma 1，S m ＋ 2＝ ( m ＋2) a 1， S m ＋1 ＝( m ＋ 1) a 1.明显： 2S m ＋ 2≠S m ＋S m ＋ 1，此时抗命题为假．1当 q ＝－ 2时，有a 1 －－ 1m ＋22 1241 m ＋2S m ＋ 2＝－－，＝ a 12 131 21＋21 m 1m ＋ 1S m ＋ S m ＋1 ＝ a 1 1－－2a 1 1－－ 21＋11＋21＋241m ＋ 2＝ 3a 1 1－－ 2 ，故 2S m ＋2 ＝S m ＋S m ＋ 1，此时抗命题为真．1综上所述，当 a ＝1 时，抗命题为假；当 q ＝－ 2时，抗命题为假．。

江苏版高考数学一轮复习：专题1.2常用逻辑用语练习题附答案.doc

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】专题1.2 常用逻辑用语1. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】若命题:p x R ∃∈，使210x ax ++<则：:p ⌝____________．【答案】x R ∀∈，使210x ax ++≥【解析】命题:p x R ∃∈，使210x ax ++<的否定为：x R ∀∈，使210x ax ++≥． 2. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】命题“2,10x x x ∃∈-+R ≤”的否定是 ▲ ．【答案】2,10x x x ∀∈-+>R【解析】命题“2,10x x x ∃∈-+R ≤”的否定是2,10x x x ∀∈-+R >3. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】命题“1>∃x ，使得22≥x ”的否定是 ▲ ．【答案】1>∀x ，使得22<x4. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】命题“(0,)2x π∀∈，sin 1x <”的否定是 ▲ ．【答案】()0,2x π∃∈，sin 1≥【解析】“(0,)2x π∀∈，sin 1x <”的否定是()0,2x π∃∈，sin 1≥5. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】命题“(0,)2x π∀∈，sin 1x <”的否定是命题．（填 “真”或“假”）【答案】假【解析】命题“(0,)2x π∀∈，sin 1x <”为真命题，所以其否定是假命题6. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】已知命题:||4p x a -<，命题:(1)(2)0q x x -->，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ▲ ．【答案】【解析】:44p a x a -<<+，:12q x <<，因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的真子集，即41,2425a a a -≤≤+⇒-≤≤7. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】“三个数a ， b ，c 成等比数列”是“2b ac =”的条件．（填“充分不必要、充要、必要不充分、既不充分也不必要”）【答案】充分不必要【解析】三个数a ，b ，c 成等比数列，则2b cb ac a b=⇒=，充分性成立； 0a b c ===满足2b ac =，但a ，b ，c 不成等比数列，必要性不成立，所以“三个数a ，b ，c 成等比数列”是“2b ac =”的充分不必要条件．8. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】对于函数(),,y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的 ▲条件．（填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）【答案】必要而不充分9. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】设实数1a >，1b >，则“a b <”是“ln ln a b a b ->-”的条件．（请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中之一填空）【答案】充要【解析】令()ln ,(1)f x x x x =->，则1()10f x x'=-<，因此()()ln ln a b f a f b a a b b <⇔>⇔->-⇔ln ln a b a b ->-，即“a b <”是“ln ln a b a b ->-”的充要条件．10. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】若命题“x R ∃∈，使得()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为__________．【答案】[]13-，【解析】因为命题“x R ∃∈，使得()2110x a x +-+<”是假命题,所以命题01)1(,2≥+-+∈∀x a x R x 是真命题, 故04)1(2≤--a ,即212≤-≤-a ,也即31≤≤-a ,故应填答案[]13-，.11. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】已知命题2:,20p x R x x a ∃∈++≤是真命题，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】1a ≤【解析】由题设方程022=++a x x 有解,故044≥-a ,即1≤a ,故应填答案1a ≤. 12. 【无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测】命题“若ln ln a b >，则a b >”是____________命题（填“真”或“假”）．【答案】真【解析】因为函数x y ln =是单调递增函数,故由ln ln a b >可得a b >,故应填答案真. 13. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <” 是“对任意的正整数212,0n n n a a -+<”的_________条件. （填“充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、即不充分也不必要条件” ）【答案】必要不充分条件14. αβ，表示不重合的两个平面，m ，l 表示不重合的两条直线．若m αβ=，l α⊄，l β⊄，则“l ∥m ”是“l ∥α且l ∥β”的条件．【答案】充要【解析】充分性：∵m αβ=，∴m α⊂，m β⊂，∵//l m ，l α⊄，l β⊄，∴//l α，//l ；高中数学知识点三角函数1、以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P 到原点的距离记为，则sin = ，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。

(江苏版)2019高考数学1轮复习(讲+练+测)：第03章导数测试题-

第03章导数班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1. (2017·扬州中学质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为________．【答案】x －y －1＝02. (2017·苏、锡、常、镇四市调研)设曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．【答案】(1,1)【解析】由y ′＝e x，知曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线斜率k 1＝e 0＝1. 设P (m ，n )，又y ＝1x (x >0)的导数y ′＝－1x2，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m2.依题意k 1k 2＝－1，所以m ＝1，从而n ＝1. 则点P 的坐标为(1,1)．3. (2017·南通调研)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，若t ＝ab ，则t 的最大值为________．【答案】9【解析】f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，则f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，则a ＋b ＝6，又a >0，b >0，则t ＝ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号．4.若函数f (x )＝e xsin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为________角．【答案】钝角【解析】f ′(x )＝e xsin x ＋e xcos x＝e x (sin x ＋cos x )＝2e xsin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，f ′(4)＝2e 4sin ⎝⎛⎭⎪⎫4＋π4<0，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为钝角．5. 从边长为10 cm ×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________cm 3. 【答案】144【解析】设盒子容积为y cm 3，盒子的高为x cm.则y ＝(10－2x )(16－2x )x ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)，∴y ′＝12x 2－104x ＋160. 令y ′＝0，得x ＝2或203(舍去)，∴y max ＝6×12×2＝144(cm 3).6.已知f (x )＝2x 3－6x 2＋a (a 是常数)在[－2,2]上有最大值3，那么在[－2,2]上f (x )的最小值是________．【答案】－377. 设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是________. 【答案】(－∞，－1)∪(0，1)【解析】因为f (x )(x ∈R )为奇函数，f (－1)＝0，所以f (1)＝－f (－1)＝0.当x ≠0时，令g (x )＝f （x ）x ，则g (x )为偶函数，且g (1)＝g (－1)＝0.则当x ＞0时，g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2＜0，故g (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数.所以在(0，＋∞)上，当0＜x ＜1时，g (x )＞g (1)＝0⇔f （x ）x＞0⇔f (x )＞0；在(－∞，0)上，当x ＜－1时，g (x )＜g (－1)＝0⇔f （x ）x＜0⇔f (x )＞0.综上，使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1).8.如图所示的曲线是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x 21＋x 22等于____________．【答案】169.9.已知f ′(x )是f (x )的导函数，在区间[0，＋∞)上f ′(x )>0，且偶函数f (x )满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，则x 的取值范围是________．【答案】13<x <23.【解析】∵x ∈[0，＋∞)，f ′(x )>0， ∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增，又因f (x )是偶函数，∴f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 ⇔f (|2x －1|)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 ⇒|2x －1|<13，∴－13<2x －1<13.即13<x <23.10. 设函数f (x )＝e x(2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是________.【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指．定区域内．．．．。

活用隐圆的五种定义妙解压轴题-新高考数学一轮复习(新高考专用)

专题26 活用隐圆的五种定义妙解压轴题【题型归纳目录】题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90°题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值【典例例题】题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长例1．（2022•和平区校级月考）平面内，定点A ，B ，C ，D 满足||||||2DA DB DC ===，且2DA DB DB DC DC DA ===-，动点P ，M 满足||1AP =，PM MC =，则2||BM 的最大值为( )A 3763+B 37233+C ．434D ．494【解析】解：由题可知||||||DA DB DC ==，则D 到A ，B ，C 三点的距离相等，所以D 是ABC ∆的外心，又2DA DB DB DC DC DA ===-，变形可得()0DA DB DB DC DB DA DC DB CA -=-==，所以DB AC ⊥，同理可得DA BC ⊥，DC AB ⊥，所以D 是ABC ∆的垂心，所以ABC ∆的外心与垂心重合，所以ABC ∆是正三角形，且D 是ABC ∆的中心；由1||||cos ||||()22DA DB DA DB ADB DA DB =∠=-=-，解得||2DA =，所以ABC ∆的边长为23；如图所示，以A 为坐标原点建立直角坐标系，则(3,3)B -，3)C =，(2,0)D ，||1AP =，可设(cos ,sin )P θθ，其中[0θ∈，2]π，而PM MC =，即M 是PC 的中点，则3cos 3sin (2M θθ++， 2223712sin()cos 3sin 333712496||()(2444BM πθθθ+--++=+==，当23θπ=时，2||BM 取得最大值为494．故选：D ．例2．（2022春•温州期中）已知,a b 是单位向量，0a b ⋅=，若向量c 满足||1c a b -+=，则||c b -的取值范围是( )A ．[221]B ．21]C ．[0，2]D ．[551]【解析】解：由,a b 是单位向量，且0a b ⋅=，则可设(1,0)a =，(0,1)b =，(,)c x y =；向量c 满足||1c a b -+=，|(1,1)|1x y ∴-+=，∴22(1)(1)1x y -++，即22(1)(1)1x y -++=，它表示圆心为(1,1)C -，半径为1r =的圆；又|||(c b x -=，221)|(1)y x y -+-C 上的点到点(0,1)B 的距离，如图所示：且22||1(11)5BC +--， ∴51||51PB +；即||c b -的取值范围是[5151]．故选：D ．【点评】本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的距离大小关系，也考查了推理能力和计算能力，是综合性题目．例3．（2022•延边州一模）如果圆22()()8x a y a -+-=2a 的取值范围是( )A ．(3,3)-B ．(1,1)-C ．(3,1)-D ．(3-，1)(1-⋃，3)【解析】解：问题可转化为圆22()()8x a y a -+-=和圆222x y +=相交，两圆圆心距22(0)(0)2|d a a a =-+-=，由1||R r OO R r -<<+得222|2a <22解得：1||3a <<，即(3a ∈-，1)(1-⋃，3)故选：D ．例4．（2022•花山区校级期末）设点M 为直线2x =上的动点，若在圆22:3O x y +=上存在点N ，使得30OMN ∠=︒，则M 的纵坐标的取值范围是( ) A ．[1-，1] B ．11[,]22- C ．[2,22]- D ．22[]22【解析】解：设(2,)M M y ，在OMN ∆中，由正弦定理可得，sin sin OM ON ONM OMN =∠∠， 30OMN ∠=︒，3ON ∴222()32312M y +== 整理得，2(23sin )4M y ONM =±∠-由题意知，0150ONM ︒<∠<︒，sin (0ONM ∴∠∈，1]．当sin 1ONM ∠=时，M y 取得最值，即直线MN 为圆O 的切线时M y 取得最值．[2,22]M y ∴∈-．故选：C ．例5．（2022•广元模拟）在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足||||||2DA DB DC ===，0DA BC DB AC DC AB ===，动点P ，M 满足||1AP =，PM MC =，则2||BM 的最大值为．【解析】解：平面内，||||||2DA DB DC ===，0DA BC DB AC DC AB ===，∴DA BC ⊥，DB AC ⊥，DC AB ⊥，可设(0,0)D ，(2,0)A ，(3)B -，(1,3)C -，动点P ，M 满足||1AP =，PM MC =，可设(2cos ,sin )P θθ+，1cos (2M θ+sin 3θ-， ∴3cos (2BM θ+=sin 33θ-， ∴2223712sin()3cos sin 33496()(244BM πθθθ+-+-=+=，当且仅当sin()16πθ-=时取等号， 2||BM ∴的最大值为494．故答案为：494．题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值例6．（2022•普陀区二模）如图，ABC ∆是边长为1的正三角形，点P 在ABC ∆所在的平面内，且222||||||(PA PB PC a a ++=为常数）．下列结论中，正确的是( )A ．当01a <<时，满足条件的点P 有且只有一个B ．当1a =时，满足条件的点P 有三个C ．当1a >时，满足条件的点P 有无数个D ．当a 为任意正实数时，满足条件的点P 是有限个【解析】解：以BC 所在直线为x 轴，BC 中点为原点，建立直角坐标系，如图所示则3A ，1(2B -，0)，1(2C ，0)，设(,)P x y ，可得 2223||()PA x y =+，2221||()2PB x y =++，2221||()2PC x y =-+ 222||||||PA PB PC a ++=222222311(()()22x y x y x y a ∴+++++-+= 化简得：22533304x y a ++-=，即22350123a x y y +-+-= 配方，得2231()(1)3x y a +-=-⋯（1）当1a <时，方程（1）的右边小于0，故不能表示任何图形；当1a =时，方程（1）的右边为0，表示点3，恰好是正三角形的重心；当1a >时，方程（1）的右边大于0，表示以31(1)3a - 由此对照各个选项，可得只有C 项符合题意故选：C ．例7．（2022•江苏模拟）在平面直角坐标系xOy 中，圆22:1O x y +=，圆22:(3)(2)1(M x a y a a +++-=为实数）．若圆O 和圆M 上分别存在点P ，Q ，使得30OQP ∠=︒，则a 的取值范围为．【解析】解：由题意，圆22:(3)(2)1(M x a y a a +++-=为实数），圆心为(3,2)M a a -- 圆M 上任意一点Q 向圆O 作切线，切点为P ，30PQO ∠=︒，所以224x y +=与圆M 有交点221(3)43a a ++，解得605a ∴-，故答案为：605a -，例8．（2022•通州区月考）在平面直角坐标系xOy 中，(2,2)P ，(0,4)Q -为两个定点，动点M 在直线1x =-上，动点N 满足2216NO NQ +=，则||PM PN +的最小值为．【解析】解：2216NO NQ +=，N ∴在以OQ 为直径的圆上，不妨设(2cos 2,2sin )N θθ-，(1,)M m -，则(3,2)PM m =--，(2cos 4,2sin 2)PN θθ=--，∴(2cos 7,2sin 4)PM PN m θθ+=-+-，2222||(2cos 7)(2sin 4)8694[(4)sin 7cos ]PM PN m m m m θθθθ∴+=-++-=-++-- 22(4)534(4)49sin()m m θϕ=-++-+-，2(4)49m t -+，sin()a θϕ-=，则7t ，11a -．22||44PM PN t at ∴+=++，令222()44(2)44f t t at t a a =++=++-，7t ，11a -，()f t ∴在[7，)+∞上单调递增，故当7t =时，()f t 取得最小值5328a +，再令g （a ）5328a =+，11a -，显然g （a ）在[1-，1]上单调递增，故1a =-时，g （a ）取得最小值532825-=，综上，当7t =，1a =-时，2||PM PN +取得最小值25．故||PM PN +的最小值为5．故答案为：5．例9．（2022•盐城三模）已知A ，B ，C ，D 四点共面，2BC =，2220AB AC +=，3CD CA =，则||BD 的最大值为．【解析】解：以C 为原点，以直线CB 为x 轴建立平面坐标系，设(2,0)B ，(,)D x y ，3CD CA =，(3x A ∴，)3y ． 2220AB AC +=，2222(2)203999x y x y ∴-+++=， 22(3)81x y ∴-+=，∴点D 在以(3,0)E ，以9r =为半径的圆E 上，BD ∴的最大距离为10BE r +=．故答案为：10．例10．（2022•大武口区校级期末）已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=，点(1,0)A -，(1,0)B ，点P 是圆上的动点，则22||||d PA PB =+的最大值为，最小值为．【解析】解：设P 点的坐标为(3sin ,4cos )αα++，则222222||||(4sin )(4cos )(2sin )(4cos )5412sin 16cos 5420sin()d PA PB ααααααθα=+=+++++++=++=++ ∴当sin()1θα+=时，即12sin 16cos 20αα+=时，d 取最大值74，当sin()1θα+=-时，即12sin 16cos 20αα+=-，d 取最小值34，故答案为：74，34．例11．（2022•大观区校级期中）正方形ABCD 与点P 在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且222||||||PA PB PC +=，求||PD 的取值范围．【解析】解：以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则(0,0)A ，(1,0)B ，(1,1)C ，(0,1)D ，设点(,)P x y ，则由222||||||PA PB PC +=，得222222()(1)(1)(1)x y x y x y ++-+=-+-，整理得22(1)2x y ++=，即点P 的轨迹是以点(0,1)M -2圆心M 到点D 的距离为||2MD =，所以||22min PD =，||22max PD =+所以||PD 的取值范围是[2222]．例12．已知22:(3)(4)1C x y -+-=，点(1,0)A -，(1,0)B ，点P 是圆上的动点，求22||||d PA PB =+的最大值、最小值及对应的P 点坐标．【解析】解：设P 点的坐标为(3sin ,4cos )αα++，则222222||||(4sin )(4cos )(2sin )(4cos )5412sin 16cos 5420sin()d PA PB ααααααθα=+=+++++++=++=++ ∴当sin()1θα+=时，即12sin 16cos 20αα+=时，d 取最大值74，此时3sin 5α=，4cos 5α=， P 点坐标18(5，24)5 当sin()1θα+=-时，即12sin 16cos 20αα+=-，d 取最小值34，此时3sin 5x =-，4cos 5α=-，P 点坐标12(5，16)5．题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90°例13．（2022春•湖北期末）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()(2)0a c b c --=，则||c 的最大值是( )A 2B 5C 3D 5 【解析】解：()(2)0a c b c --=，1()()02a cbc ∴--=，设OA a =，OB b =，OC c =，设OB 的中点为D ，则a c CA -=，12b c CD -=， ∴0CA CD =，故C 在以AD 为直径的圆M 上，OA OB ⊥，O ∴在圆M 上，||c ∴的最大值为圆M 的直径225AD OA OD =+．故选：B ．例14．（2022春•龙凤区校级期末）已知圆22:(1)(3)10C x y -+-=和点(5,)M t ，若圆C 上存在两点A ，B 使得MA MB ⊥，则实数t 的取值范围是( )A ．[3，5]B ．[2，4]C ．[2，6]D ．[1，5]【解析】解：由题意圆22:(1)(3)10C x y -+-=和点(5,)M t ，若圆C 上存在两点A ，B ，使得MA MB ⊥，可得||102CM ⨯22(51)(3)20t ∴-+-， 15t ∴，故选：D ．例15．（2022•荆州区校级期末）已知M ，N 是圆22:4O x y +=上两点，点(1,2)P ，且0PM PN =，则||MN 的最小值为( )A 51B 53C 63D 62【解析】解：如图所示：设(,)R x y 是线段MN 的中点，则OR MN ⊥， 0PM PN =，∴PM PN ⊥，于是1||||||2PR MN RN ==，在RT ORN ∆中，||2ON =，22||OR x y +，22||||(1)(2)RN RP x y =-+-，由勾股定理得：222222(1)(2)x y x y =++-+-，整理得2213()(1)24x y -+-=，故(,)R x y 的轨迹是以1(2C ，1)为圆心，3r = 故1353||||14max OR OC r =+=+=，故22253||2||2||||24()82155322min min max MN NR ON OR ==-=-+- 故选：B ．例16．（2022•浙江期中）已知点(1,0)A m -，(1,0)B m +，若圆22:88310C x y x y +--+=上存在一点P ，使得PA PB ⊥，则实数m 的最大值是( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】解：根据题意，圆22:88310C x y x y +--+=，即22(4)(4)1x y -+-=；其圆心为(4,4)，半径1r =，设AB 的中点为M ，又由点(1,0)A m -，(1,0)B m +，则(1,0)M ，||2||AB m =，以AB 为直径的圆为222(1)x y m -+=，若圆22:88310C x y x y +--+=上存在一点P ，使得PA PB ⊥，则圆C 与圆M 有公共点，又由22||(14)(04)5MC -+-=，即有||15m -且||15m +，解可得：4||6m ，即64m --或46m ，即实数m 的最大值是6；故选：C ．例17．（2022•彭州市校级月考）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是( )A ．[5 2 5]B ．[25 4 5]C ．[10，4 5]D ．[10，2 5]【解析】解：由题意可知，动直线0x my +=经过定点(0,0)A ，动直线30mx y m --+=即(1)30m x y --+=，经过定点(1,3)B ，动直线0x my +=和动直线30mx y m --+=始终垂直，P 又是两条直线的交点， PA PB ∴⊥，222||||||10PA PB AB ∴+==．由基本不等式可得22222||||(||||)2(||||)PA PB PA PB PA PB +++，即210(||||)20PA PB +10||||25PA PB +．故选：D ．例18．（2022•安徽校级月考）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my m ++=和过定点B 的动直线20mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是( )A ．[5,5]B ．[10,25]C ．[10,45]D ．[25,45]【解析】解：由题意可知，动直线0x my m ++=经过定点(0,1)A -，动直线20mx y m --+=即(1)20m x y --+=，经过点定点(1,2)B ，动直线0x my m ++=和动直线20mx y m --+=的斜率之积为1-，始终垂直， P 又是两条直线的交点，PA PB ∴⊥，222||||||10PA PB AB ∴+==．设ABP θ∠=，则||10PA θ=，||10PB θ=，由||0PA 且||0PB ，可得[0θ∈，]2π ||||10(sin cos )25)4PA PB πθθθ∴++=+， [0θ∈，]2π，[44ππθ∴+∈，3]4π， 2sin()[4πθ∴+∈，1]， 25)[104πθ∴+∈5]，故选：B ．例19．（2022•北京模拟）已知m R ∈，过定点A 的动直线0mx y +=和过定点B 的动直线30x my m --+=交于点P ，则||3|PA PB +的取值范围是( )A ．(10,210]B ．(10,30]C ．[10,30)D ．[10,210]【解析】解：由题意可知，动直线0mx y +=经过定点(0,0)A ，动直线30x my m --+=即(1)30m y x -++=，经过点定点(3,1)B --，动直线0mx y +=和过定点B 的动直线30x my m --+=满足11()0m m ⨯+⨯-=，∴两直线始终垂直， P 又是两条直线的交点，PA PB ∴⊥，222||||||10PA PB AB ∴+==．设ABP θ∠=，则||10PA θ=，||10PB θ=，由||0PA 且||0PB ，可得[0θ∈，]2π 则||3|10310cos 210)3PA PB πθθθ+=+， [33ππθ+∈，5]6π，1sin()[,1]32πθ∴+∈， 210)[103πθ∴+∈，10]，故选：D ．例20．（2022春•大理市校级期末）已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点(,0)A m -，(,0)B m ，(0)m >．若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最小值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4【解析】解：90APB ∠=︒，∴点P 的轨迹是以AB 为直径的圆O ，故点P 是圆O 与圆C 的交点，因此两圆相切或相交，即22|1|341m m -++，解得46m ．m ∴的最小值为4．故选：D ．例21．（2022春•红岗区校级期末）已知圆22:68240C x y x y +--+=和两点(,0)A m -，(B m ，0)(0)m >，若圆C 上存在点P ，使得0AP BP ⋅=，则m 的最大值与最小值之差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解：圆22:(3)(4)1C x y -+-=的圆心(3,4)C ，半径1r =，设(,)P a b 在圆C 上，则(,)AP a m b =+，(,)BP a m b =-，由0AP BP ⋅=，可得2()()0a m a m b +-+=，即2222||m a b OP =+=，m 的最大值即为||OP 的最大值，等于||516OC r +=+=．m 的最小值即为||OP 的最小值，等于||514OC r -=-=．则m 的最大值与最小值之差为642-=．故选：B ．例22．（2022•兰州一模）已知圆22:(3)(1)1C x y +-=和两点(,0)A t -，(B t ，0)(0)t >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则当t 取得最大值时，点P 的坐标是( )A ．3(232B ．32(，3)2C ．3(233D ．33(，3)2【解析】解：圆22:(3)(1)1C x y +-=，其圆心(3C 1)，半径为1，圆心C 到(0,0)O 的距离为2，∴圆C 上的点到点O 的距离的最大值为3．再由90APB ∠=︒，以AB 为直径的圆和圆C 有交点，可得12PO AB t ==，故有3t ， (3,0)A ∴-，(3,0)B ．圆心(3C 1)，直线OP 的斜率3k =， ∴直线OP 的方程为3y = 联立：223(3)(1)1y x y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩解得：3332x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．故选：D ．例23．（2022•海淀区校级三模）过直线:2l y x a =+上的点作圆22:1C x y +=的切线，若在直线l 上存在一点M ，使得过点M 的圆C 的切线MP ，(MQ P ，Q 为切点）满足90PMQ ∠=︒，则a 的取值范围是( )A ．[10-，10]B ．[10-10]C ．(-∞，10][10-，)+∞D ．(-∞，10][10-，)+∞【解析】解：圆22:1C x y +=，圆心为：(0,0)，半径为1，在直线l 上存在一点M ，使得过M 的圆C 的切线MP ，(MQ P ，Q 为切点）满足90PMQ ∠=︒， ∴在直线l 上存在一点M ，使得M 到(0,0)C 2∴只需(0,0)C 到直线:2l y x a =+2， 214+，解得1010a -，故选：B ．例24．（2022春•东阳市校级期中）如图，四边形AOCB 中，OA OC ⊥，CA CB ⊥，2AC =，2CB 则OB 的长度的取值范围是．【解析】解：设OCA θ∠=，(0,)2πθ∈ 显然2OB BC >2cos OC θ∴=， 22222cos()4cos 2222cos cos()22OB OC CB OC CB ππθθθθ∴=+-⨯⨯+=+-⨯+ 42(cos 222)θθ=++ 43)θϕ=++（其中2tan 2ϕ=， 2423(31)+=， 31OB ∴+，综上OB 的长度的取值范围是(231]．故答案为：(231]．例25．（2022春•淮安校级期中）若实数a ，b ，c 成等差数列，点(1,0)P -在动直线0ax by c ++=上的射影为M ，点N 坐标为(3,3)，则线段MN 长度的最小值是．【解析】解：实数a ，b ，c 成等差数列，2b a c ∴=+，即20a b c -+=，可得动直线0ax by c ++=恒过(1,2)Q -，点(1,0)P -在动直线0ax by c ++=上的射影为M ，90PMQ ∴∠=︒，则M 在以PQ 为直径的圆上，∴此圆的圆心A 坐标为11(2-，20)2-+，即(0,1)A -，半径11||44222r PQ ==+，又(3,3)N ，22||(30)(31)52AN ∴-++=>，则点N 在圆外，则||52min MN = 故答案为：52．题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值例26．（2022•长治模拟）已知a ，b 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b ，e 满足2680b e b -+=，则||a b -的最小值为．【解析】解：2680b b e -+=，∴2268(2)(4)0b b e e b e b e -+=--=，∴b 的终点在以2e 和4e 的终点为直径端点的圆上运动，设2,4OD e OE e ==，则圆心为3OC e =的终点C ，半径为1的圆上运动，如图所示，其中，OB b =，a 的终点在射线OA 上运动，显然当CF OA ⊥交圆于点B ，交OA 于点F 时，||||a b BF -=最小，此时333||||sin33CF OC π===33||||11BF CF =-=-． 331-．例27．（2022春•瑶海区月考）在平面四边形ABCD 中，连接对角线BD ，已知9CD =，16BD =，90BDC ∠=︒，4sin 5A =，则对角线AC 的最大值为( ) A ．27B ．16C ．10D ．25【解析】解：根据题意，建立如图的坐标系，则(0,0)D ，(9,0)C ，(0,16)B ， BD 中点为G ，则(0,8)G ，设ABD 三点都在圆E 上，其半径为R ，在Rt ADB ∆中，由正弦定理可得162204sin 5a R A ===，即10R =，即10EB =，8BG =，则6EG =，则E 的坐标为(6,8)-，故点A 在以点(6,8)E -为圆心，10为半径的圆上，当且仅当C 、E 、A 三点共线时，AC 取得最大值，此时1027AC EC =+=；故选：A ．例28．（2022秋•沈河区校级期中）设向量a ，b ，c 满足：||||1a b ==，12a b =-，a c <-，60b c ->=︒，则||c 的最大值为( )A ．2B 3C2 D ．1【解析】解：由题意可得||||1a b ==，12a b =，11cos a ∴⨯⨯<，12b >=-， cos a ∴<，12b >=，a ∴<，120b >=︒． ac <-，60b c ->=︒，222||()23a b b a a b a b ∴-=-=+-=，设OA a =，OB b =，OC c =，则CA a c =-，CB b c =-，AB b a =-，22()3AB b a =-=．60120180ACB AOB ∠+∠=︒+︒=︒，A ∴、O 、B 、C 四点共圆，2OC R ∴=，R 为该圆的半径．AOC ∆中，由正弦定理可得122sin sin30OA R ACO ===∠︒，当且仅当OC 是AOB ∠的平分线时，取等号，此时，2R OC =，故选：A ．例29．（2022•闸北区一模）在平面内，设A ，B 为两个不同的定点，动点P 满足：2(PA PB k k =为实常数），则动点P 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．不确定【解析】解：设(,0)A c -，(B c ，0)(0)c >，(,)P x y ．则(,)PA c x y =---，(,)PB c x y =--．满足：2(PA PB k k =为实常数），(c x ∴--，)(y c x --，2)y k -=，化为2222x c y k -+=，即2222x y c k +=+故动点P 22c k +故选：A ．例30．（2022•和平区校级一模）如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，4CD =，5BC AD =E 和F 分别为AD 与BC 的中点，对于常数λ，在梯形ABCD 的四条边上恰好有8个不同的点P ，使得PE PF λ=成立，则实数λ的取值范围是( )A ．5(4-，9)20-B ．5(4-，11)4C ．1(4-，11)4D ．9(20-，1)4- 【解析】解：以DC 所在直线为x 轴，DC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系 512-，(1,2)A ∴-，(1,2)B ，(2,0)C ，(2,0)D -，3(2E ∴-，1)，3(2F ，1)． 1)当P 在DC 上时，设(P x ，0)(22)x -，则3(2PE x =--，1)，3(2PF =，1)．于是2335()()1224PE PF x x x λ=---+=-=， ∴当54λ=-时，方程有一解，当51144λ-<时，λ有两解；（2）当P 在AB 上时，设(P x ，2)(11)x -，则3(2PE x =--，1)-，3(2PF =，1)-． ∴2335()()1224PE PF x x x λ=---+=-=， ∴当54λ=-时，方程有一解，当5144λ-<-时，λ有两解；（3）当P 在AD 上时，直线AD 方程为24y x =+，设(P x ，24)(21)x x +-<<-，则3(2PE x =--，23)x --，3(2PF x =-，23)x --．于是223327()()(23)512224PE PF x x x x x λ=---+--=++=． ∴当920λ=-或1944λ-<<时，方程有一解，当91204λ-<<-时，方程有两解；（4）当P 在CD 上时，由对称性可知当920λ=-或1944λ-<<时，方程有一解，当91204λ-<<-时，方程有两解；综上，若使梯形上有8个不同的点P 满足PE PF λ=成立，则λ的取值范围是5(4-，115](44-⋂，19](420--⋂，19)(420--⋂，19)(420-=-，1)4-．故选：D ．例31．（2022•宁城县一模）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得PE PF λ=成立，那么λ的取值范围是( )A ．(0,7)B ．(4,7)C ．(0,4)D ．(5,16)-【解析】解：以DC 为x 轴，以DA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则(0,4)E ，(6,4)F ．（1）若P 在CD 上，设(,0)P x ，06x ．∴(,4)PE x =-，(6,4)PF x =-． ∴2616PE PF x x =-+，[0x ∈，6]，716PE PF ∴． ∴当7λ=时有一解，当716λ<时有两解．（2）若P 在AD 上，设(0,)P y ，06y <．∴(0,4)PE y =-，(6,4)PF y =-． ∴22(4)816PE PF y y y =-=-+，06y <，016PE PF ∴<． ∴当0λ=或416λ<<，有一解，当04λ<时有两解．（3）若P 在AB 上，设(,6)P x ，0 6.(,2)x PE x <=--，(6,2)PF x =--． ∴264PE PF x x =-+，06x <．54PE PF ∴-． ∴当5λ=-或4λ=时有一解，当54λ-<<时有两解．（4）若P 在BC 上，设(6,)P y ，06y <<，∴(6,4)PE y =--，(0,4)PF y =-． ∴22(4)816PE PF y y y =-=-+，06y <<，016PE PF ∴<． ∴当0λ=或416λ<时有一解，当04λ<<时有两解．综上，04λ∴<<．故选：C ．例32．（2022•黄浦区校级三模）在边长为8的正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，N 是DA 边上的一点，且||3||DN NA =，若对于常数m ，在正方形ABCD 的边上恰有6个不同的点P 满足：PM PN m =，则实数m 的取值范围是．【解析】解：以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系如图：如图，则(0,2)N ，(8,4)M（1）若P 在AB 上，设(,0)P x ，08x∴(,2)PN x =-，(8,4)PM x =-∴288PN PM x x =-+，[0x ∈，8]，88PN PM ∴-，∴当8m =-时有一解，当88m -<时有两解；（2）若P 在AD 上，设(0,)P y ，08y <， ∴(0,2)PN y =-，(8,4)PM y =-∴2(2)(4)68PN PM y y y y =--=-+08y <，124PN PM ∴-<∴当1m =-或824m <<时有唯一解；当18m -<时有两解（3）若P 在DC 上，设(,8)P x ，08x <∴(,6)PN x =--，(8,4)PM x =--， ∴2824PN PM x x =-+，08x <，824PN PM ∴，∴当8m =时有一解，当824m <时有两解．（4）若P 在BC 上，设(8,)P y ，08y <<，∴(8,2)PN y =--，(0,4)PM y =-， ∴2(2)(4)68PN PM y y y y =--=-+08y <<，124PN PM ∴-<，∴当1m =-或824m <<时有一解，当18m -<时有两解．综上，在正方形ABCD 的四条边上有且只有6个不同的点P ，使得PM PN m =成立，那么m 的取值范围是(1,8)-故答案为(1,8)-题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值例33．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）古希腊三大数学家之一阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中指出：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠的点的轨迹是圆，已知平面内两点A 50），B （50），直线20kx y k --+=，曲线C 上动点P 满足2PB PA=则曲线C 与直线l 相交于M 、N 两点，则|MN |的最短长度为（） A 5B 10C ．5D ．10【答案】C【解析】设动点P 的坐标为（x ，y ），则(222||25PB x y =-+，(2225PA x y =+由2PB PA=((222222|2|2525PB PA x y y x ⎡⎤=⇒-+=⎢⎥⎣⎦+化简后得：曲线C ：2210x y +=，故P 点轨迹为圆，又20kx y k --+=可化为()21y k x -=- 直线l 过定点A （1，2），则圆心到直线的距离的最大值为|OA|，此时|MN |的长度最短．所以|MN |的最短长度为222||210525R OA -=-=故选：C ．例34．（2022·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一．指的是：已知动点M 与两定点,Q P 的距离之比(0,1)MQ MPλλλ=>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，其中，定点Q 为x 轴上一点，定点P 的坐标为1,0,33λ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若点()1,1B ，则3MP MB +的最小值为（） A 10B 11C 15D 17【答案】D【解析】设(),0Q a ，(),M x y ，所以()22=-+MQ x a y 1,03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2213PM x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭||||MQ MP λ=且3λ=()2222313x a y x y-+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，整理可得2223148a a x y x +-++=，又动点M 的轨迹是221x y +=，所以2304118aa +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得3a =-，所以()3,0Q -，又=3||MQ MP ，所以3||||||||MP MB MQ MB BQ +=+≥，因为(1,1)B ，所以3||||MP MB +的最小值()()22131017BQ =++-当M 在位置1M 或2M 时等号成立．故选：D例35．（2022·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A ，B ，则所有满足PA PBλ=（0λ>，且1λ≠）的点P 的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点P ，Q ，动点M 满足2MP MQ =，记M 的轨迹为C ，若与C 无公共点的直线l 上存在点R ，使得MR 的最小值为6，且最大值为10，则C 的长度为（） A ．2π B ．4πC ．8πD ．16π【答案】B【解析】依题意，M 的轨迹C 是圆，设其圆心为点D ，半径为r ，显然直线l 与圆C 相离，令点D 到直线l 的距离为d ，由圆的性质得：610d r d r -=⎧⎨+=⎩，解得8d =，2r =，所以C 的长度为4π．故选：B例36．（2022·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯(约公元前262190-年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(0k k >且1)k ≠的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 距离之比满足：|PA |3|PB =，当P 、A 、B 三点不共线时，PAB △面积的最大值是（） A ．2B ．2C 3D 2【答案】C【解析】依题意，以线段AB 的中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，如图，则()1,0A -，()10B ,，设(),P x y ，因|PA |3|PB =2222(1)3(1)x y x y ++-+22(2)3x y -+=，因此，点P 的轨迹是以点(2,0)3P 不在x 轴上时，与点A ，B 可构成三角形，当点P 到直线AB （x 轴）的距离最大时，PAB △的面积最大，显然，点P 到x 3max1()2332PAB S =⨯，所以PAB △3 故选：C例37．（2022·全国·高三专题练习）已知两定点1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,02Q m m ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，动点M 与P ､Q 的距离之比MQMPλ=（0λ>且1λ≠），那么点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为224x y +=，则m λ+的值为（） A ．8- B ．4-C ．0D ．4【答案】B【解析】设(),M x y ，则224x y +=，即224y x =-，又MQMPλ=()22221+2x m y x y λ-+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即()()()2222414+2x m x x x λ-+=⎛+⎪⎭-⎫⎝-，整理得()22217+2+440m x m λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，所以222+2017404m m λλ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，解得48m λ=⎧⎨=-⎩，所以4m λ+=-，故选：B ．例38．（2022·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A ，B 的距离之比为λ（0λ>，且1λ≠），那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足3PAPB=22PA PB +的最大值为（） A ．1683+B ．843+C ．73+D ．33【答案】A【解析】由题意，设()()1,0,1,0A B -，(),P x y ，因为3PAPB=()()2222131x y x y ++=-+()2223x y -+=，所以点P 的轨迹为以()2,03因为()()()222222221121x y x y x y PA PB =++++-+=++，其中22x y +可看作圆()2223x y -+=上的点(),x y 到原点()0,0的距离的平方，所以()(222max23743x y +=+=+所以()22max211683x y ⎡⎤++=+⎣⎦22PA PB +的最大值为1683+故选：A ．例39．（2022·江苏·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已经(0,0)O ，(3,0)A ，动点(,)P x y 满足2PA PO=，则动点P 轨迹与圆()2221x y -+=的位置关系是（） A ．相交 B ．相离 C ．内切 D ．外切【答案】D【解析】由已知动点(,)P x y 满足2PAPO=，得()()2222302x y x y-+-=+即动点P 轨迹为圆：()2214x y ++=，()2221021⎡⎤--+=+⎣⎦，∴两圆外切．故选： D ．例40．（2022·河南省杞县高中高三阶段练习（理））古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(0k k >且)1k ≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点()1,0A -，()2,0B ，圆()()()221:204C x y m m -+-=>，在圆上存在点P 满足2PA PB =，则实数m 的取值范围是（） A ．26⎡⎢⎣⎦B ．5214⎡⎢⎥⎣⎦C ．21⎛ ⎝⎦D ．521⎡⎢⎣⎦【答案】D【解析】设(),P x y ，因为点()1,0A -，()2,0B ，2PA PB =， ()()2222122x y x y ++=-+22650x y x +-+=，所以()2234x y -+=，可得圆心()3,0，半径2R =，由圆()()221:24C x y m -+-=可得圆心()2,C m ，半径12r =，因为在圆C 上存在点P 满足2PA PB =，所以圆()2234x y -+=与圆()()221:24C x y m -+-=有公共点，所以()2211232222m --++，整理可得：2925144m ≤+≤，5212m ≤≤，所以实数m 的取值范围是521⎡⎢⎣⎦，故选：D ．例41．（2022·江苏省江阴高级中学高三开学考试）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点,A B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,1A -，()2,4B -，点P 是满足12λ=的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________________；若点Q 为抛物线:E 24y x =上的动点，Q 在y 轴上的射影为H ，则12++PB PQ QH 的最小值为______．【答案】 ()2224x y ++=； 101 【解析】设点(,)P x y ，12λ=，2222(2)(1)1122(2)(4)x y PA PB x y ++-∴==++- ()2224x y ⇒++=．抛物线的焦点为点F ，由题意知()1,0F ，1QH QF =-，12PA PB =，()()22min min 11121111012PB PQ QH PA PQ QF AF ⎛⎫∴++=++-=-=--+= ⎪⎝⎭．故答案为：()2224x y ++=101．例42．（2022·全国·高三专题练习）被誉为古希腊“数学三巨匠”之一的数学家阿波罗尼斯发现：平面内一动点P 到两个不同定点,A B 的距离之比为常数()01k k k >≠且，则P 点的轨迹是一个圆心在AB 直线上的圆，简称“阿氏圆”.据此请回答如下问题：已知ABC 中，A 为一动点，,B C 为两定点，且2AB AC =，BC a =，ABC 面积记为S ，若3a =时，则max S =______;若1S =时，则a 取值范围为______．【答案】 3 )3,⎡+∞⎣【解析】以B 作为原点，BC 所在的直线作为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，若3a =，即3BC =，则不妨设C 在x 正半轴上，则()3,0C ，设ABC 的顶点(),A x y ，而2AB AC =，22222(3)x y x y +=-+22(4)4x y -+=，根据条件可知A 不在直线BC 上，则0y ≠，即6x ≠且2x ≠，所以A 点的轨迹为圆22(4)4x y -+=除去点()6,0与()2,0，可得max ||2y =，所以ABC 面积S 的最大值为max 11||32322BC y =⨯⨯=，即max 3S =，同样的，当2AB AC =，BC a =，则ABC 的顶点(),A x y 22222()x y x a y +-+ 化简可得()22242()()033x a y a y -+=≠，可得203ay<，又1S =，则112a y =，即2y a =，所以2203aa <，解得3a ，即a 取值范围为)3,⎡+∞⎣．故答案为：3；)3,⎡+∞⎣．。

2021新高考数学(江苏专用)一轮复习课时练习：1.5 一元二次不等式及其解法 (含解析)

1．(2019·武汉调研)已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |x 2＋3x <0}，则A ∩B 等于( )A ．(0,2)B ．(－1,0)C ．(－3,2)D ．(－1,3)答案 B解析 A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |－3<x <0}，∴A ∩B ＝(－1,0)．故选B.2．(2020·黄冈调研)关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0的解集是( )A ．(－∞，1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(1,2)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 答案 C解析关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，∴a >0，且－b a＝1， ∴关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0可化为⎝⎛⎭⎫x ＋b a (x －2)<0，即(x －1)(x －2)<0， ∴不等式的解集为{x |1<x <2}．故选C.3．“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的充要条件是( )A ．m >14B ．m <14C ．m <1D ．m >1 答案 A解析 ∵不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立，∴Δ＝(－1)2－4m <0，解得m >14，又∵m >14，∴Δ＝1－4m <0， ∴“m >14”是“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的充要条件．故选A. 4．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( )A ．[－4,1]B ．[－4,3]C ．[1,3]D ．[－1,3] 答案 B解析原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3，综上可得－4≤a ≤3.5．若存在实数x ∈[2,4]，使x 2－2x ＋5－m <0成立，则m 的取值范围为( )A ．(13，＋∞)B ．(5，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，13)答案 B解析 m >x 2－2x ＋5，设f (x )＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4，x ∈[2,4]，当x ＝2时f (x )min ＝5，∃x ∈[2,4]使x 2－2x ＋5－m <0成立，即m >f (x )min ，∴m >5.故选B.6．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含1个整数，则a 的取值范围是()A ．(－3,5)B ．(－2,4)C ．[－1,3]D ．[－2,4]答案 C解析因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }，当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}，当a ＝1时，不等式的解集为∅，要使得解集中至多包含1个整数，则a ＝1或1<a ≤3或－1≤a <1，所以实数a 的取值范围是a ∈[－1,3]，故选C.7．(多选)下列四个解不等式，正确的有( )A ．不等式2x 2－x －1>0的解集是{x |x >2或x <1}B ．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≤－23或x ≥12C ．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是3D ．关于x 的不等式x 2＋px －2<0的解集是(q,1)，则p ＋q 的值为－1答案 BCD解析对于A ，∵2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，∴由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)(x －1)>0，解得x >1或x <－12，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1或x <－12.故A 错误；对于B ，∵－6x 2－x ＋2≤0，∴6x 2＋x －2≥0，∴(2x －1)(3x ＋2)≥0，∴x ≥12或x ≤－23.故B 正确；对于C ，由题意可知－7和－1为方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根．∴a －8a ＋21＝0，∴a ＝3.故C 正确；对于D ，依题意q,1是方程x 2＋px －2＝0的两根，q ＋1＝－p ，即p ＋q ＝－1，故D 正确．8．(多选)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)，则下列说法正确的是( )A ．若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，则k ＝－25B ．若不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ，则k ＝66 C ．若不等式的解集为R ，则k <－66 D ．若不等式的解集为∅，则k ≥66答案 ACD 解析对于A ，∵不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，∴k <0，且－3与－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，∴4k ＋4＋6k ＝0，解得k ＝－25.故A 正确；对于B ，∵不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ∈R ，x ≠1k ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k <0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－66.故B 错误；对于C ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2<0，解得k <－66. 故C 正确；对于D ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k ≥66.故D 正确．9．(2019·北京市顺义区模拟)满足关于x 的不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2，则满足条件的一组有序实数对(a ，b )的值可以是________．答案 (－2，－1)(答案不唯一)解析不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2，∴方程(ax －b )(x －2)＝0的实数根为12和2，且⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，b a ＝12，即a ＝2b <0，则满足条件的一组有序实数对(a ，b )的值可以是(－2，－1)．10．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－12，32 解析由题意，可知不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 都成立，又由(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )，即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 都成立，所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0，即4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32. 11．已知关于x 的不等式－x 2＋ax ＋b >0.(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a ，b 的值；(2)若b ＝a ＋1，求此不等式的解集．解 (1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧－16－4a ＋b ＝0，－4＋2a ＋b ＝0，解得a ＝－2，b ＝8.(2)当b ＝a ＋1时，－x 2＋ax ＋b >0⇔x 2－ax －(a ＋1)<0，即[x －(a ＋1)](x ＋1)<0.当a ＋1＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为∅；当a ＋1<－1，即a <－2时，原不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＋1>－1，即a >－2时，原不等式的解集为(－1，a ＋1)．综上，当a <－2时，不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＝－2时，不等式的解集为∅；当a >－2时，不等式的解集为(－1，a ＋1)．12．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x 元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，则甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解 (1)根据题意，得200⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ≥3 000，整理得5x －14－3x≥0，即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.故要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3,10]．(2)设利润为y 元，则y ＝900x·100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝⎛⎭⎫5＋1x －3x 2 ＝9×104⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫1x －162＋6112，故当x ＝6时，y max ＝457 500.故甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元．13．设a <0，(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，则b －a 的最大值为( )A.12B.13C.14D.22答案 C解析由题意知a <0，a <b ，则①当b <0时，∀x ∈(a ，b )，2x ＋b <0，所以(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立可转化为∀x ∈(a ，b )，a ≤－4x 2，所以a ≤－4a 2，所以－14≤a <0，所以0<b －a <14； ②当b >0时，(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，当x ＝0时，(4x 2＋a )(2x ＋b )＝ab <0，不符合题意；③当b ＝0时，由题意知x ∈(a,0)，(4x 2＋a )2x ≥0恒成立，所以4x 2＋a ≤0，所以－14≤a <0，所以0<b －a ≤14. 综上所述，b －a 的最大值为14. 14．已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是________．答案 (1,5]解析设f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a ，当Δ＝4(a －2)2－4a <0，即1<a <4 时，f (x )>0 对x ∈R 恒成立，符合题意；当a ＝1时，f (－1)＝0，不符合题意；当a ＝4时，f (x )＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2>0对x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)恒成立，符合题意；当Δ>0 时，由⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，1<a －2<5，f (1)≥0，f (5)≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a <1或a >4，3<a <7，a ≤5，a ≤5，即4<a ≤5.综上所述，实数a 的取值范围是(1,5]．15．若集合A ＝{x ∈Z |x 2－(a ＋2)x ＋2－a <0}中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤12，23解析 f (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋2－a <0，即x 2－2x ＋1<a (x ＋1)－1，分别令y 1＝x 2－2x ＋1，y 2＝a (x ＋1)－1，易知y 2过定点(－1，－1)，在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图所示，若集合A ＝{x ∈Z |f (x )<0}中有且只有一个元素，结合图象可得，即点(0,1)和点(2,1)在直线上或者在直线上方，点(1,0)在直线下方，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤1，2a －1>0，3a －1≤1，解得12<a ≤23. 16．(2020·南京六校联考)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a －1.若对任意的a ∈(0,3)，存在x 0∈[0,4]，使得t ≤|f (x 0)|成立，求实数t 的取值范围．解 ∵f (x )＝x 2－2ax ＋2a －1的对称轴为x ＝a ，且a ∈(0,3)，∴函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a －1在[0，a ]上是减函数，在[a,4]上是增函数；∴函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a －1在[0,4]上的最小值为f (a )＝－(a －1)2∈(－4,0]，|f (a )|＝(a －1)2， ①当2≤a <3时，函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a －1(x ∈[0,4])在x ＝0时取得最大值，且最大值为2a－1，由于此时2≤a<3，则3≤2a－1<5，易知当2≤a<3时，(a－1)2<2a－1，所以|f (x)|max＝max{|f (a)|，|f (0)|}＝|f (0)|＝2a－1∈[3,5)．∴t≤3.②当0<a<2时，函数f (x)＝x2－2ax＋2a－1(x∈[0,4])在x＝4时取得最大值，且最大值为42－8a＋2a－1＝15－6a，由于此时0<a<2，所以3<15－6a<15，且15－6a>(a－1)2，|f (x)|max＝max{|f (a)|，|f (4)|}＝|f (4)|＝15－6a∈(3,15)，∴t≤3.综上，t的取值范围是(－∞，3]．。

江苏版高考数学一轮复习：专题2.10函数最值练习题附答案.doc

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】专题2.10 函数最值1. 【2017北京，理14】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3.①记Q 1为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_________. ②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是_________.【答案】1Q ；2.p【解析】2. 【2017浙江，17】已知αR ，函数a a xx x f +-+=|4|)(在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________．【答案】9(,]2-∞ 【解析】3.已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则()x f 的最小值为_________．【答案】 1.-【解析】当0x >时2()11,f x x =+≥当0x ≤时()cos [1,1]f x x =∈-, 所以()x f 的值域为[1,1][1,)[1,).-+∞=-+∞4.已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则()f x 的最小值是．【答案】3-22.5.设函数g(x)＝x 2－2(x ∈R)，f(x)＝，则f(x)的最小值是_________．【答案】【解析】令x<g(x)，即x 2－x －2>0，解得x<－1或x>2.令x≥g(x)，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x≤2. 故函数f(x)＝当x ＜－1或x ＞2时，函数f(x)＞f(－1)＝2；当－1≤x≤2时，函数≤f(x)≤f(－1)，即≤f(x)≤0.故函数f(x)的值域是∪(2，＋∞)． 6.对于任意实数a,b 定义min{a,b}=设函数f(x)=-x+3, g(x)=log 2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是________．【答案】1【解析】依题意,h(x)=当0<x ≤2时,h(x)=log 2x 是增加的;当x>2时,h(x)=3-x 是减少的,所以h(x)=min{f(x),g(x)}在x=2时取得最大值h(2)=1. 7.函数y ＝22(3)16(5)4x x +++-+的最小值为______．【答案】108.已知函数y ＝mx 2＋43x ＋nx 2＋1的最大值为7，最小值为－1，则m ＋n 的值为______．【答案】6【解析】函数式可变形为(y －m )x 2－43x ＋(y －n )＝0，x ∈R，由已知得y －m ≠0，所以Δ＝(－43)2－4(y －m )·(y －n )≥0，即y 2－(m ＋n )y ＋(mn －12)≤0，①由题意，知不等式①的解集为[－1,7]，则－1、7是方程y 2－(m ＋n )y ＋(mn －12)＝0的两根，代入得(17127m n mn +=--+⎧⎨-=-⎩），解得51m n =⎧⎨=⎩或15m n =⎧⎨=⎩所以m ＋n ＝6. 9.函数f(x)=x+2的最大值为________．【答案】210.定义：区间[x 1，x 2](x 1＜x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．【答案】1【解析】[a ，b ]的长度取得最大值时[a ，b ]＝[－1,1]，区间[a ，b ]的长度取得最小值时[a ，b ]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为1.11.函数y ＝xx 2＋x ＋1(x >0)的最大值是________．【答案】13【解析】由y ＝x x 2＋x ＋1(x >0)，得0<y ＝x x 2＋x ＋1＝1x ＋1x＋1≤12x ·1x＋1＝13， 12.下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是________.x 0<x <5 5≤x <10 10≤x <1515≤x ≤20y2345【答案】{2,3,4,5}【解析】函数值只有四个数2、3、4、5，故值域为{2,3,4,5}．13. 设f (x )＝2,||1,||1x x x x ⎧≥⎨<⎩，g (x )是二次函数，若f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则g (x )的值域是______．【答案】[0，＋∞)【解析】由f (x )≥0，可得x ≥0或x ≤－1，且x ≤－1时，f (x )≥1；x ≥0时，f (x )≥0. 又g (x )为二次函数，其值域为(－∞，a ]或[b ，＋∞)型，而f (g (x ))的值域为[0，＋∞)，可知g (x )≥0.14.若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，则ab 的值为______．【答案】9.2高中数学知识点三角函数1、以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P 到原点的距离记为，则sin =，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。

江苏省江阴四校高考数学高考数学压轴题导数及其应用多选题分类精编附解析

一、导数及其应用多选题1．已知函数()21xx x f x e+-=，则下列结论正确的是（） A ．函数()f x 存在两个不同的零点 B ．函数()f x 既存在极大值又存在极小值C ．当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根D ．若[),x t ∈+∞时，()2max 5f x e=，则t 的最小值为2 【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项．【详解】对于A ．2()010f x x x =⇒+-=，解得15x -±=，所以A 正确；对于B ．22(1)(2)()x xx x x x f x e e--+-=-=-'，当()0f x '>时，12x -<<，当()0f x '<时，1x <-或2x >，所以(,1),(2,)-∞-+∞是函数的单调递减区间，(1,2)-是函数的单调递增区间，所以(1)f -是函数的极小值，(2)f 是函数的极大值，所以B 正确．对于C ．当x →+∞时，0y →，根据B 可知，函数的最小值是(1)f e -=-，再根据单调性可知，当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根，所以C 正确；对于D ：由图象可知，t 的最大值是2，所以D 不正确．故选：ABC.【点睛】易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是(2,)+∞是函数的单调递减区间，但当x →+∞时，0y →，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．2．对于函数2ln ()xf x x=，下列说法正确的是（）A ．函数在x e =处取得极大值12eB ．函数的值域为1,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．()f x 有两个不同的零点D ．(2)()(3)f f f π<<【答案】ABD 【分析】求导，利用导数研究函数的单调区间，进而研究函数的极值可判断A 选项，作出函数()f x 的抽象图像可以判断BCD 选项. 【详解】函数的定义域为()0,∞+，求导2431ln 212ln ()x x xx x f x x x ⋅-⋅-'==，令()0f x '=，解得：x e = x()0,ee(),e +∞ ()'f x+-()f x极大值所以当x e =时，函数有极大值()2fe e=，故A 正确；对于BCD ，令()0f x =，得ln 0x =，即1x =，当x →+∞时，ln 0x >，20x >，则()0f x >作出函数()f x 的抽象图像，如图所示：由图可知函数的值域为1,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故B 正确；函数只有一个零点，故C 错误；又函数()f x 在)+∞2<<<，则(2)f f f <<，故D正确；故选：ABD 【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数单调性，函数的极值，函数的值域，及求函数零点个数，求函数零点个数常用的方法：（1）方程法：令()0f x =，如果能求出解，有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．（3）数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．3．已知函数()3sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是（）A ．()f x 是奇函数B ．当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点C ．若()f x 为增函数，则1a ≤D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点【答案】ACD 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；利用导数分析函数()f x 的单调性，可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；利用导数以及零点存在定理可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，函数()3sin f x x x ax =+-的定义域为R ，()()()()33sin sin f x x x ax x x ax f x -=-+-+=--+=-，函数()f x 为奇函数，A 选项正确；对于B 选项，当3a =-时，()3sin 3f x x x x =++，则()2cos 330f x x x '=++>，所以，函数()f x 在R 上为增函数，又()00f =，所以，函数()f x 有且只有一个零点，B 选项错误；对于C 选项，()2cos 3f x x x a '=+-，由于函数()f x 为增函数，则()0f x '≥对任意的x ∈R 恒成立，即23cos a x x ≤+. 令()23cos g x x x =+，则()6sin g x x x '=-，则()6cos 0g x x ''=->，所以，函数()g x '在R 上为增函数，当0x <时，()()00g x g ''<=，此时，函数()g x 为减函数；当0x >时，()()00g x g ''>=，此时，函数()g x 为增函数. 所以，()()min 01g x g ==，1a ∴≤，C 选项正确；对于D 选项，当3a =时，()3sin 3f x x x x =+-，则()2cos 33f x x x '=+-.由B 选项可知，函数()f x '在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，()()11cos10f f ''-==>，()020f '=-<，由零点存在定理可知，函数()f x '在()1,0-和()0,1上都存在一个零点，因此，当3a =时，函数()f x 有两个极值点，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立；（2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立；（3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在极值点；（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立；（5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.4．设函数()ln f x x x =，()212g x x =，给定下列命题，其中正确的是（） A ．若方程()f x k =有两个不同的实数根，则1,0k e⎛⎫∈- ⎪⎝⎭； B ．若方程()2kf x x =恰好只有一个实数根，则0k <；C ．若120x x >>，总有()()()()1212m g x g x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立，则m 1≥；D ．若函数()()()2F x f x ag x =-有两个极值点，则实数10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．【答案】ACD 【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，且将题意转化为()y f x =与y k =有两个不同的交点，即可判断A 选项；易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，将条件等价于y k =和ln xy x=只有一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断B 选项；当120x x >>时，将条件等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立，即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区间，即可求出m 的范围，即可判断C 选项；2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点，根据导数的符号列出不等式并求解，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，()f x 的定义域(0,)+∞，()ln 1f x x '=+，令()0f x '>，有ln 1x >-，即1x e>，可知()f x 在1(0,)e 单调递减，在1+e∞（，）单调递增，所以极小值等于最小值， min 11()()f x f e e∴==-，且当0x →时()0f x →，又(1)0f =，从而要使得方程()f x k =有两个不同的实根，即()y f x =与y k =有两个不同的交点，所以1(,0)k e∈-，故A 正确；对于B ，易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，()0f x ≠，方程2()kf x x =有且只有一个实数根，等价于y k =和ln xy x=只有一个交点， 2ln 1(ln )-'=x y x ，又0x >且1x ≠，令0y '>，即ln 1x >，有x e >，知ln xy x=在0,1（）和1e （，）单减，在+e ∞（，）上单增， 1x =是一条渐近线，极小值为e ,由ln xy x=大致图像可知0k <或=k e ，故B 错误；对于C ，当120x x >>时，[]1212()()()()m g x g x f x f x ->-恒成立，等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立，即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数，即()()ln 10y mg x f x mx x =-''--'=≥恒成立，即ln 1+≥x m x在(0,)+∞上恒成立，令ln 1()x r x x +=，则2ln ()xr x x -'=，令()0r x '>得ln 0x <，有01x <<，从而()r x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，则max ()(1)1r x r ==，于是m 1≥，故C 正确；对于D ，2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点，等价于()ln 120F x x ax +-'==有两个不同的正根，即方程ln 12x a x+=有两个不同的正根，由C 可知，021a <<，即102a <<，则D 正确. 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数解决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围，解题的关键在于将零点问题转化成两个函数的交点问题，解题时注意利用数形结合，考查转化思想和运算能力．5．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有一个对称中心点()()00,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()'f x 是()f x 的导数，()f x ''是()'f x 的导数.若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式(ln 1)x e e mx x -+32()3ef x x x e x ⎡⎤≥--+⎣⎦对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则（）A ．3a =B ．1b =C ．m 的值可能是e -D ．m 的值可能是1e-【答案】ABC 【分析】求导得()62f x x a ''=+，故由题意得()1620f a ''=-+=-，()1112f a b -=-+-+=，即3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.进而将问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++<+，由于1x e x >+，故ln ln 1ee x x x x e e x e x --+=≥-+，进而得()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x ee x x --++--≥=-++，即m e ≤-，进而得ABC 满足条件.【详解】由题意可得()1112f a b -=-+-+=，因为()2321x ax f x =++'，所以()62f x x a ''=+，所以()1620f a ''=-+=-，解得3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.因为1x >，所以()()32ln []13xeee mx xf x x x e x -+≥--+等价于()1ln 1e x x e x e m x --++≤+. 设()()10xg x e x x =-->，则()10xg x e '=->，从而()g x 在()0,∞+上单调递增.因为()00g =，所以()0g x >，即1x e x >+，则ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+（当且仅当x e =时，等号成立），从而()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x e e x x --++--≥=-++，故m e ≤-.故选：ABC. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得()3231f x x x x =+++，进而将不等式恒成立问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++≤+恒成立问题，再结合1x e x >+得ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+，进而得m e ≤-.考查运算求解能力与化归转化思想，是难题.6．对于定义在1D 上的函数()f x 和定义在2D 上的函数()g x ，若直线y kx b =+(),k b R ∈同时满足：①1x D ∀∈，()f x kx b ≤+，②2x D ∀∈，()g x kx b ≥+，则称直线y kx b =+为()f x 与()g x 的“隔离直线”.若()ln xf x x=，()1x g x e -=，则下列为()f x 与()g x 的隔离直线的是（）A ．y x =B ．12y x =-C ．3ex y =D ．1122y x =- 【答案】AB 【分析】根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，结合函数的图象和函数的单调性，以及直线的特征，逐项判定，即可求解. 【详解】根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，由函数()ln x f x x =，可得()21ln xf xx -'=，所以函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，因为()10f =，()11f '=，此时函数()f x 的点(1,0)处的切线方程为1y x =-，且函数()f x 的图象在直线1y x =-的下方；又由函数()1x g x e-=，可得()1e0x g x -'=>，()g x 单调递增，因为()()111g g '==，所以函数()g x 在点(1,1)处的切线方程为11y x -=-，即y x =，此时函数()g x 的图象在直线y x =的上方，根据上述特征可以画出()y f x =和()y g x =的大致图象，如图所示，直线1y x =-和y x =分别是两条曲线的切线，这两条切线以及它们之间与直线y x =平行的直线都满足隔离直线的条件，所以A ，B 都符合；设过原点的直线与函数()y f x =相切于点00(,)P x y ，根据导数的几何意义，可得切线的斜率为021ln x k x -=，又由斜002000ln 0y x k x x -==-，可得002100ln 1ln x x x x -=，解得0x e =，所以21ln 12()e k e e -==，可得切线方程为2x y e =，又由直线3xy e=与曲()y f x =相交，故C 不符合；由直线1122y x =-过点()1,0，斜率为12，曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为1，明显不满足，排除D. 故选：AB.【点睛】对于函数的新定义试题：（1）认真审题，正确理解函数的新定义，合理转化；（2）根据隔离直线的定义，转化为函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方.7．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2eln h x x =（e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（） A ．()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线，且b 的最小值为4 C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,1-D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =- 【答案】AD 【分析】求出()()()m x f x g x =-的导数，检验在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内的导数符号，即可判断选项A ；选项B 、C 可设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，20∆≤，0k ≤，0b ≤，根据不等式的性质，求出k 、b 的范围，即可判断选项B 、C ；存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，则隔离直线的方程为(y e k x -=，构造函数求出函数的导数，根据导数求出函数的最值.【详解】对于选项A ：()()()21m x f x g x x x =-=-，()212m x x x'=+，当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2120m x x x '=+>，所以函数()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；故选项A 正确对于选项BC ：设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，即240k b +≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，则210kx bx +-≤，即 20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，可得40k -≤≤，同理可得：40b -≤≤，故选项B 不正确，故选项C 不正确；对于选项D ：函数()f x 和()h x的图象在x =()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线的方程为(y e k x -=，即y kx e =-，由()f x kx e ≥-，可得20x kx e -+≥对于x ∈R 恒成立，则0∆≤，只有k =y e =-，下面证明()h x e ≤-，令()2n ()l G x e h x e x e =--=--，()x G x x'=，当x =()0'=G x，当0x <<时，()0'<G x，当x >()0G x '>，则当x =()G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值.所以()()0G x e h x =--≥，则()h x e ≤-当0x >时恒成立.所以()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =-，故选项D 正确. 故选：AD 【点睛】本提以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的导数，利用导数求最值，属于难题.8．已知函数()ln f x x mx =-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列结论不正确的是（） A ．10m e<<B ．21x x -的值随m 的增大而减小C ．101x <<D ．2x e >【答案】C 【分析】由()0f x =得出ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可判断ACD 选项的正误；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<，利用函数()g x 的单调性结合不等式的基本性质得出2121ξξηη->-，可判断B 选项的正误.【详解】令()0f x =，可得ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，定义域为()0,∞+，()1ln xg x x-'=. 当0x e <<时， ()0g x '>，此时函数()g x 单调递增；当x e >时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减. 所以，()()max 1g x g e e==，如下图所示：由图象可知，当10m e <<时，直线y m =与函数()ln x g x x=的图象有两个交点，A 选项正确；当1x >时，()0g x >，由图象可得11x e <<，2x e >，C 选项错误，D 选项正确；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<.由于函数()g x 在区间()1,e 上单调递增，且()()11g g ξη<，11ξη∴<；函数()g x 在区间(),e +∞上单调递减，且()()22g g ξη<，22ξη∴>. 由不等式的基本性质可得1212ξξηη-<-，则2121ξξηη->-. 所以，21x x -的值随m 的增大而减小，B 选项正确. 故选：C. 【点睛】在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定()m g x =有两个实根时实数m 应满足的条件，并注意()g x 的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数()y g x =的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．9．已知函数()e sin xf x a x =+，则下列说法正确的是（）A ．当1a =-时，()f x 在0,单调递增B ．当1a =-时，()f x 在()()0,0f 处的切线为x 轴C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点【答案】AC 【分析】结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】对于A ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，因为()0,x ∈+∞时，e 1,cos 1xx >≤，即0fx，所以()f x 在0,上单调递增，故A 正确；对于B ，当1a =-时，()e sin x f x x =-，()e cos xf x x '=-，则()00e sin01f =-=，()00e cos00f '=-=，即切点为0,1，切线斜率为0，故切线方程为1y =，故B 错误；对于C ，当1a =时，()e sin xf x x =+，()e cos xf x x '+=，()e sin xf x x '=-'，当()π,0x ∈-时，sin 0x <，e 0x >，则()e sin 0xx f x -'=>'恒成立，即()e cos x f x x '+=在()π,0-上单调递增，又ππ22ππe cos e 220f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+>，3π3π443π3πe cos e 442f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭+，因为123π3π421e e 2e ---⎛⎫=<⎪⎭< ⎝，所以3π43πe 024f -⎛⎫'-= ⎪-⎭<⎝，所以存在唯一03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立，所以()f x 在()0π,x -上单调递减，在()0,0x 上单调递增，即()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，由()000e cos 0xf x x +'==，可得()000000πe sin cos sin 4x f x x x x x ⎛⎫=+=-+=- ⎪⎝⎭，因为03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以0π3ππ,44x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，则()00π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1,0∈-，故C 正确；对于选项D ，()e sin xf x a x =+，()π,x ∈-+∞，令()e sin 0xf x a x =+=，得1sin ex x a -=， ()sin ex xg x =，()π,x ∈-+∞，则()πcos sin 4e e x xx x x g x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==，令0g x ，得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =+()1,k k ≥-∈Z ，令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则π5π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递减，令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则5π9π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递增，所以5π2π4x k =+()1,k k ≥-∈Z 时，()g x 取得极小值，极小值为5π5π2π2π445π5π2π5π4s 42in si πe e 4n k k g k k ++⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭++()1,k k ≥-∈Z ，在()g x 的极小值中，3π4sin 3π45π5π42π4eg g -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-最小，当3ππ,4x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，所以函数()g x的最小值为3π3π445πsin 3π144eg --⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，当3π411a--<-时，即3π40a -<<时，函数()g x 与1=-y a无交点，即()f x 在()π,-+∞不存在零点，故D 错误.故选：AC. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.10．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是（）.A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】ABC 【分析】将()41ln ln 3k x x x x --<-+，当1x >时，恒成立，转化为13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，.当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1xF x x x x x=++>，利用导数法研究其最小值即可. 【详解】因为当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，所以13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1xF x x x x x=++>，则()222131ln 2ln x x x F x x x x x ---'=-+=. 令()ln 2x x x ϕ=--，因为()10x x xϕ-'=>，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增. 因为()10ϕ<，所以()0F x '=在()1,+∞上有且仅有一个实数根0x ，于是()F x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()000min 00ln 3ln x F x F x x x x ==++.（*）因为()1ln 3309F -'=<，()()21ln 22ln 4401616F --'==>，所以()03,4x ∈，且002ln 0x x --=，将00ln 2x x =-代入（*）式，得()()0000min 00023121x F x F x x x x x x -==-++=+-，()03,4x ∈. 因为0011t x x =+-在()3,4上为增函数，所以713,34t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，即()min 1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.因为k 为整数，所以0k ≤. 故选：ABC 【点睛】本题主要考查函数与不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.。

江苏版高考数学一轮复习：专题3.3导数的综合应用练习题附答案.doc

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】专题3.3 导数的综合应用1．(2017·南通调研)已知函数f(x)＝a＋x ln x(a∈R)．(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)的零点个数．解(1)由函数f(x)＝a＋x ln x∈(a∈R)得f′(x)＝12x(ln x＋2)．令f′(x)＝0，得x＝e－2，列表如下：x (0，e－2)e－2(e－2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值因此，函数f(x)所以当a≤0时，函数f(x)零点个数为1.②当0<a<2e－1时，2．(2016·天津卷节选)设函数f (x )＝x 3－ax －b ，x ∈R ，其中a ，b ∈R . (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )存在极值点x 0，且f (x 1)＝f (x 0)，其中x 1≠x 0，求证：x 1＋2x 0＝0. (1)解由f (x )＝x 3－ax －b ，可得f ′(x )＝3x 2－a . 下面分两种情况讨论：①当a ≤0时，有f ′(x )＝3x 2－a ≥0恒成立，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝3a 3或x ＝－3a 3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3－3a3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 33a3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞ f′(x) ＋0 －0 ＋f(x)极大值极小值所以f (x )的单调递减区间为 ⎛⎪⎫－3a ，3a ，单调递增区间为 ⎛⎪⎫－∞，－3a ， ⎛⎪⎫3a ，＋∞. (2)证明因为f (x )存在极值点，所以由(1)知a >0，且x 0≠0.由题意，得f ′(x 0)＝3x 20－a ＝0，即x 20＝a3，进而f (x 0)＝x 30－ax 0－b ＝－2a3x 0－b . 又f (－2x 0)＝－8x 30＋2ax 0－b ＝－8a 3x 0＋2ax 0－b ＝－2a3x 0－b ＝f (x 0)，且－2x 0≠x 0，由题意及(1)知，存在唯一实数x 1满足f (x 1)＝f (x 0)，且x 1≠x 0，因此x 1＝－2x 0，所以x 1＋2x 0＝0.3．(2017·南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝axe x 在x ＝0处的切线方程为y ＝x .(1)求实数a 的值；(2)若对任意的x ∈(0,2)，都有f (x )<1k ＋2x －x 2成立，求实数k 的取值范围；(3)若函数g (x )＝ln f (x )－b 的两个零点为x 1，x 2，试判断g ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的正负，并说明理由．由题意得函数g (x )＝ln f (x )－b ＝ln x －x －b ，所以g ′(x )＝1x －1＝1－xx，易得函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以要证g ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<0，只需证明x 1＋x 22>1即可．因为x 1，x 2是函数g (x )的两个零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋b ＝ln x 1，x 2＋b ＝ln x 2，4．(2016·江苏卷)已知函数f (x )＝a x＋b x(a ＞0，b ＞0，a ≠1，b ≠1)． (1)设a ＝2，b ＝12.①求方程f (x )＝2的根；②若对任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值； (2)若0＜a ＜1，b ＞1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值．解 (1)①由已知可得2x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝2，即2x＋12x ＝2.∴(2x )2－2·2x＋1＝0，解得2x ＝1，∴x ＝0.②f (x )＝2x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝2x ＋2－x ，令t ＝2x ＋2－x，则t ≥2. 又f (2x )＝22x＋2－2x＝t 2－2，故f (2x )≥mf (x )－6可化为t 2－2≥mt －6，即m ≤t ＋4t ，又t ≥2，t ＋4t≥2t ·4t＝4. (当且仅当t ＝2时等号成立)．∴m ≤⎝⎛⎭⎪⎫t ＋4t min ＝4.即m 的最大值为4.(2)∵0＜a ＜1，b ＞1，∴ln a ＜0，ln b ＞0.g (x )＝f (x )－2＝a x ＋b x －2.g ′(x )＝a x ln a ＋b x ln b 且g ′(x )为单调递增，值域为R 的函数．∴g ′(x )一定存在唯一的变号零点． ∴g (x )为先减后增且有唯一极值点．由题意g (x )有且仅有一个零点．，则g (x )的极值一定为0，而g (0)＝a 0＋b 0－2＝0，故极值点为0. ∴g ′(0)＝0，即ln a ＋ln b ＝0.∴ab ＝1. 5．(2017·衡水中学质检)已知函数f (x )＝x ＋aex.(1)若f (x )在区间(－∞，2)上为单调递增函数，求实数a 的取值范围；(2)若a ＝0，x 0<1，设直线y ＝g (x )为函数f (x )的图象在x ＝x 0处的切线，求证：f (x )≤g (x )．6．(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2. (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．解(1)f′(x)＝(x－1)e x＋2a(x－1)＝(x－1)(e x＋2a)．(ⅰ)设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′ (x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(ⅱ)设a<0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．。

专题1 质点的直线运动-2021高考物理一轮复习压轴题剖析(力学部分)(解析版)

的是（）
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A．t=4s 时两车相遇 B．t=4s 时两车间的距离最大 C．0~12s 内两车有两次相遇 D．0~12s 内两车有三次相遇【答案】D 【解析】AB．由图象求得： t=4s 内
因为：
x甲
16 2
8
4m
48m
x乙
12 2
8
4m
40m
x甲 x乙 6
则 t=4s 时，甲已追上乙，且在乙前面 2m 处，A、B 项均不符合题意；
A．其中 0～4s 内物体运动位移最大的是 B 物体 B．其中 0～4s 内物体运动位移最大的是 C 物体 C．t＝2．5s 时 C 物体追上 D 物体 D．t＝3．5s 时 C 物体追上 D 物体【答案】BD 【解析】由 A 图的位移-时间图象可知，4s 末到达初始位置，总位移为零；由 B 图的速度-时间图象可知，速度 2s 内沿正方向运动，2-4s 沿负方向运动，方向改变，4s 内总位移为零；由 C 图象可知：物体在第 1s
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内做匀加速运动，第 2s 内做匀减速运动，2s 末速度减为 0，然后重复前面的过程，是单向直线运动，位移一直增大；由 D 图象可知：物体在第 1s 内做匀加速运动，第 2-3s 内做匀减速运动，2s 末速度减为 0，第 3s 内沿负方向运动，不是单向直线运动．则其中 0-4 s 内物体运动位移最大的是 C 物体，选项 AB 错误；根据前面的分析，画出两个物体的速度图象如图：
x1
2
v02 23
g
3
上层管道相对于货车滑动的距离：d=x1-x2
联立并代入数据解得： v0 2 3 gd ，选项 D 错误；故选 C．
8．如图甲所示，一轻弹簧的两端与质量分别为 m1 和 m2 的两物块 A、B 相连接，并静止在光滑的水平面上．现使 A 瞬时获得水平向右的速度 3m/s，以此刻为计时起点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图象信息可得（）

江苏版高考数学一轮复习：专题5.3平面向量的数量积练习题附答案.doc

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】专题5.3 平面向量的数量积【基础巩固】一、填空题1．设向量a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1,2)，且a ⊥b ，则x ＝________. 【答案】－23【解析】由题意，得a ·b ＝0⇒x ＋2(x ＋1)＝0⇒x ＝－23.2．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________．【答案】π63．(2017·镇江期末)已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|a －b |＝________. 【答案】 5 【解析】|a －b |＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4＝ 5.4．对任意平面向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是________(填序号)． ①|a ·b |≤|a ||b |；②|a －b |≤||a |－|b ||； ③(a ＋b )2＝|a ＋b |2；④(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. 【答案】②【解析】对于①，由|a ·b |＝||a ||b |cos a ，b|≤|a ||b |恒成立；对于②，当a ，b 均为非零向量且方向相反时不成立；对于③④容易判断恒成立． 5．已知a ＝(1，－2)，b ＝(x,2)，且a ∥b ，则|b |＝________. 【答案】 5【解析】∵a ∥b ，∴1x ＝－22，解得x ＝－1，∴b ＝(－1,2)，∴|b |＝－12＋22＝ 5.6．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2,1)，则AD →·AC →＝________. 【答案】5【解析】∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)．∴AD →·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5.7．已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为________．【答案】2π3【解析】因为a ⊥(2a ＋b )，所以a ·(2a ＋b )＝0，得到a ·b ＝－2|a |2，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－2|a |24|a |2＝－12，又0≤θ≤π，所以θ＝2π3. 8．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞二、解答题9．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，10．(2017·德州一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得asin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4.由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1，c ＝－7舍去，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.【能力提升】11．(2017·南通、扬州、泰州调研)如图，已知△ABC 的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q .若|AB →|＝3，|AC →|＝5，则(AP →＋AQ →)·(AB →－AC →)的值为________．【答案】－16【解析】(AP →＋AQ →)·(AB →－AC →)＝(2AQ →＋QP →)·CB →＝2AQ →·CB →＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝|AB →|2－|AC →|2＝32－52＝－16.12．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为________．【答案】－4【解析】∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t ·m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.13．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________．【答案】514．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )． (1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ， y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．解 (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，。

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2012届江苏高考一轮复习压轴题精选训练（一）
命题组：高三数学教研组
班级：姓名：得分：
（一）、设常数0a，函数2()ln2ln1fxxxax((0,))x.
（Ⅰ）令()()gxxfx(0)x，求()gx的最小值，并比较()gx的最小值与零的大小；
（Ⅱ）求证：()fx在(0,)上是增函数；
（Ⅲ）求证：当1x时，恒有2ln2ln1xxax．

（二）、定义：若数列nA满足21nnAA，则称数列nA为“平方递推数列”。已知数列

n
a
中，21a，点),(1nnaa在函数xxxf22)(2的图像上，其中n为正整数。

（Ⅰ）证明：数列12na是“平方递推数列”，且数列)12lg(na为等比数列。
（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n项之积为nT，即12(21)(21)(21)nnTaaaL，
求数列na的通项及nT关于n的表达式。
（Ⅲ）记nanTbn12log，求数列nb的前n项之和nS，并求使2008nS的n的最小值。
【参考答案---压轴题精选1】
1、解（Ⅰ）∵()(ln)(ln)2ln1fxxxxax，(0,)x

∴112()1[ln(ln)]afxxxxxx， 2ln21xaxx， ……2分
∴()()2ln2gxxfxxxa，(0,)x
∴22()1xgxxx，令()0gx，得2x， ……4分
列表如下：
x
(02)， 2 (2)，∞

()gx


0


()gx ↘ 极小值(2)g
↗

∴()gx在2x处取得极小值(2)22ln22ga，
即()gx的最小值为(2)22ln22ga． ……6分
(2)2(1ln2)2ga
，

∵ln21，∴1ln20，又0a，∴(2)0g． ……8分
证明（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()gx的最小值是正数，
∴对一切(0,)x，恒有()()0gxxfx， ……10分
从而当0x时，恒有()0fx， ……11分
故()fx在(0)，∞上是增函数． ……12分
证明（Ⅲ）由（Ⅱ）知：()fx在(0)，∞上是增函数，
∴当1x时，()(1)fxf， ……13分
又2(1)1ln12ln110fa， ……14分
∴()0fx，即21ln2ln0xxax，
∴2ln2ln1xxax
故当1x时，恒有2ln2ln1xxax． ……15分

2、（Ⅰ）由条件an＋1＝2an2＋2an，得2an＋1＋1＝4an2＋4an＋1＝(2an＋1)2．∴{bn}是“平方
递推数列”．∴lgbn＋1＝2lgbn．∵lg(2a1＋1)＝lg5≠0，∴lg(2an+1＋1)lg(2an＋1)＝2．∴{lg(2a
n

＋1)}为等比数列．

（Ⅱ）∵lg(2a1＋1)＝lg5，∴lg(2an＋1)＝2n－1lg5，∴2an＋1＝52n－1，∴an＝12(52n－1－1)．

∵lgTn＝lg(2a1＋1)＋lg(2a2＋1)＋…＋lg(2an＋1)＝lg5(1－2n)1－2＝(2n－1)lg5．
∴Tn＝52n－1．
（Ⅲ）cn＝lgTnlg(2an＋1)＝(2n－1)lg52n－1lg5＝2n－12n－1＝2－12n－1，

∴Sn＝2n－[1＋12＋122＋…＋12n－1]＝2n－1－12n1－12＝2n－2[1－12n]＝2n－2＋212n．
由Sn＞2008得2n－2＋212n＞2008，n＋12n＞1005，
当n≤1004时，n＋12n＜1005，当n≥1005时，n＋12n＞1005，∴n的最小值为1005．