第六讲 拓扑空间中的基本概念(II)
什么是拓扑空间
什么是拓扑空间拓扑空间是数学中的一个重要概念，它是集合论和点集拓扑学的基础。
拓扑空间的概念是由法国数学家弗雷歇在20世纪初提出的，它是对集合中元素之间的关系进行抽象和研究的数学结构。
一、拓扑空间的定义拓扑空间是一个有序对(T, τ)，其中T是一个非空集合，τ是T的一个子集族，满足以下三个条件：1. T和空集∅都属于τ；2. τ中的任意个集合的交集仍然属于τ；3. τ中的有限个集合的并集仍然属于τ。
在拓扑空间中，集合T的元素被称为点，τ中的元素被称为开集。
开集是拓扑空间中最基本的概念，它描述了点与点之间的邻近关系。
二、拓扑空间的性质1. 开集性质：在拓扑空间中，开集具有以下性质：(1) 空集和全集都是开集；(2) 任意个开集的交集仍然是开集；(3) 有限个开集的并集仍然是开集。
2. 邻域性质：在拓扑空间中，每个点都有一个邻域，邻域是包含该点的开集。
3. 连通性质：在拓扑空间中，如果任意两点之间都存在一条连续的曲线，那么该空间被称为连通空间。
4. 紧致性质：在拓扑空间中，如果任意开覆盖都存在有限子覆盖，那么该空间被称为紧致空间。
5. Hausdorff性质：在拓扑空间中，如果任意两点都存在不相交的邻域，那么该空间被称为Hausdorff空间。
三、拓扑空间的例子1. 实数集上的拓扑空间：在实数集上定义开区间为开集，可以构成一个拓扑空间。
2. 离散拓扑空间：对于任意集合T，将T的所有子集都定义为开集，可以构成一个拓扑空间。
3. 序拓扑空间：对于有序集合T，定义开区间(a, b)为开集，可以构成一个拓扑空间。
4. 有限补拓扑空间：对于集合T，定义开集为T的子集和T的有限补集，可以构成一个拓扑空间。
四、拓扑空间的应用拓扑空间在数学中有广泛的应用，尤其在几何学、分析学和代数学中起着重要的作用。
1. 几何学中的拓扑空间：拓扑空间可以用来描述几何对象的形状和结构，如欧几里得空间、流形等。
2. 分析学中的拓扑空间：拓扑空间可以用来定义连续函数、收敛性和极限等概念，是分析学的基础。
拓扑空间的基本概念
拓扑空间的基本概念拓扑空间是数学中重要的概念，它是研究点集的开集和收敛性质的一种数学结构。
在现代数学中，拓扑空间理论是非常重要的一个分支，它不仅在纯数学中有着广泛的应用，也在物理学、工程学等其他学科中有着深远的影响。
本文将介绍拓扑空间的基本概念，包括拓扑空间的定义、开集、闭集、邻域、连通性等内容，帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学概念。
1. 拓扑空间的定义在介绍拓扑空间的基本概念之前，首先需要给出拓扑空间的定义。
拓扑空间是一个集合X上的一种拓扑结构，它是X的子集族T的一个元素，满足以下三条性质：（1）X和空集∅都是T的元素；（2）T中任意多个元素的交集仍然是T的元素；（3）T中有限个元素的并集仍然是T的元素。
满足上述性质的集合族T被称为X上的一个拓扑结构，而(X, T)被称为拓扑空间。
在拓扑空间中，集合X的元素被称为点，集合T的元素被称为开集。
2. 开集和闭集在拓扑空间中，开集和闭集是非常重要的概念。
开集是指拓扑空间中的一个子集，对于该子集中的每个点，都存在一个包含该点的开球，使得该开球完全包含在该子集中。
换句话说，开集是指对于其中的每个点，都存在一个邻域完全包含在该集合中。
闭集则是开集的补集。
换句话说，闭集是指包含了其所有极限点的集合。
在拓扑空间中，开集和闭集是相辅相成的概念，它们共同构成了拓扑结构的基础。
3. 邻域邻域是拓扑空间中另一个重要的概念。
给定拓扑空间X中的一个点x，邻域是包含x的一个开集。
换句话说，邻域是指包含了该点附近所有点的一个开集。
邻域的概念是用来描述点与点之间的接近程度，它在分析拓扑空间中点的性质和集合的性质时起着重要作用。
4. 连通性在拓扑空间中，连通性是一个重要的性质。
一个拓扑空间被称为连通的，如果它不可以被表示为两个不相交的非空开集的并。
换句话说，一个拓扑空间是连通的，如果任何两点之间都存在一条连续的曲线。
连通性是描述拓扑空间整体结构的一个重要性质，它反映了空间中点之间的连续性和联系性。
拓扑空间理论
拓扑空间理论拓扑空间理论是数学中的一个分支，研究的是集合上定义的一种结构，即拓扑结构。
通过引入拓扑结构，我们可以描述集合中的点之间的接近和连续性关系。
本文将介绍拓扑空间的定义、基本概念和性质，并探讨一些常见的拓扑空间。
一、拓扑空间的定义拓扑空间可以用一对有序集合（X，T）来表示，其中X是任意非空集合，T是X的子集族，满足以下条件：1. 空集和整个集合X都属于T。
2. 任意多个元素的并集和有限个元素的交集都属于T。
3. T中的元素称为开集，满足开集的性质。
二、基本概念在拓扑空间中，我们可以引入一些基本概念来描述点之间的关系。
1. 开集和闭集根据拓扑结构，拓扑空间中的开集满足定义中的性质，而闭集则是其补集的开集。
开集和闭集是拓扑空间中的基本概念，用于描述点的邻域和极限。
2. 连通性连通性描述了拓扑空间中的点之间是否可以通过一条连续的曲线相互连接。
如果一个拓扑空间中没有非空的开集既不是整个空间也不是空集，则称该空间是连通的。
3. 紧致性紧致性是拓扑空间中的一个重要概念，用来描述一个拓扑空间中是否可以从任意的开覆盖中选出有限个开集，使得它们仍然覆盖整个空间。
如果一个空间中存在有限子覆盖，那么称该空间是紧致的。
4. Hausdorff性Hausdorff性是拓扑空间中的一个重要性质，它要求集合中的任意两个不同点都有不相交的邻域。
Hausdorff空间保证了点的唯一性和极限的一致性。
三、常见的拓扑空间在拓扑空间理论中，有许多常见的拓扑空间。
1.度量空间度量空间是拓扑空间的一种特殊情况，它引入了度量函数来度量点之间的距离。
度量空间中的拓扑结构是由度量函数生成的，通过度量函数我们可以定义开球和闭球等概念。
2.欧几里得空间欧几里得空间是我们熟知的三维空间，其中的点坐标可以用实数表示。
在欧几里得空间中，我们可以定义点之间的距离，并且满足距离公理。
3.离散空间离散空间是一种特殊的拓扑空间，其中每个点都是一个单独的开集，没有其他点与之接近。
拓扑空间的基本概念与性质
拓扑空间的基本概念与性质拓扑空间是数学中的一个重要概念，它在分析、代数、几何等领域中起着重要的作用。
本文将介绍拓扑空间的基本概念及其性质。
一、引言拓扑空间是由集合和集合上的拓扑结构构成的一种数学结构。
它是一种比度量空间更一般的空间，可以用于描述不同度量之间的性质。
拓扑空间的研究为数学领域的许多问题提供了新的解决方法。
二、拓扑空间的定义拓扑空间由以下三条公理定义：首先，给定一个非空集合X，X的全体子集构成的集合Τ称为X上的一个拓扑。
拓扑中的元素称为开集。
其次，空集和整个集合X都是开集。
最后，开集的任意并、有限交以及有限并仍然是开集。
三、开集与闭集拓扑空间中的开集具有以下性质：首先，空集和整个集合X都是开集。
其次，任意两个开集的交集仍然是开集。
最后，开集的任意并仍然是开集。
闭集是指和开集互补的集合。
四、邻域与极限点在拓扑空间中，邻域是指包含某个点的开集。
极限点是指在拓扑空间中，存在序列中的某一点，使得该点的任意邻域都与序列中的无穷个点相交。
五、连续映射拓扑空间中，连续映射是指保持拓扑结构的映射。
即，对于任意开集V，其原像在定义域中是一个开集。
连续映射有以下性质：首先，恒等映射是连续的。
其次，连续映射的复合仍然是连续的。
最后，如果映射的像是开集，那么定义域中的原像也是开集。
六、拓扑空间的性质拓扑空间具有许多重要的性质：首先，有限集在拓扑空间中是闭集。
其次，连续映射保持极限点。
最后，具有有限子覆盖性质的拓扑空间是紧致的。
七、子空间拓扑空间的子集上也可以定义一个拓扑结构，这样的子集称为子空间。
子空间具有许多与原空间相似的性质。
八、紧致性紧致性是拓扑空间中的重要概念之一。
一个拓扑空间是紧致的，当且仅当它的每一个开覆盖都有有限子覆盖。
九、拓扑空间的分类不同的拓扑空间之间可以存在同胚。
同胚是指两个拓扑空间之间存在一个双射，且该双射及其逆映射都是连续映射。
十、总结本文介绍了拓扑空间的基本概念与性质。
拓扑空间是数学中的一个重要研究对象，它可以用于描述不同度量之间的性质。
拓扑学的基本概念与定理
拓扑学的基本概念与定理拓扑学是数学的一个分支，研究的是空间之间的关系和性质。
它关注的不是度量和距离，而是关系和连续性。
本文将介绍拓扑学的基本概念和定理，并探讨它们在数学和实际应用中的重要性。
一、拓扑学的基本概念在深入讨论拓扑学的定理之前，我们首先需要了解一些基本概念。
1.点、集合和空间拓扑学的研究对象首先是点和集合。
点是一个抽象的概念，可以表示空间中的一个位置。
而集合则是由点组成的，是一组对象的聚集体。
拓扑学研究的是集合之间的关系。
在拓扑学中，我们将集合和它的子集看作是一个空间。
一个空间可以是有限的，也可以是无限的。
拓扑学的研究对象可以是一维、二维或更高维的空间。
2.邻域和开集在拓扑学中，邻域是一个重要的概念。
对于点x来说，它的邻域包含了离x足够近的点。
邻域可以是一个点，也可以是一个集合。
与邻域相关的概念是开集。
若一个集合的每一个点都有一个邻域包含于该集合内部，则该集合称为开集。
开集是拓扑学中的基本概念，它可以帮助我们定义距离、连续性以及其他重要的性质。
3.拓扑空间将开集作为基本概念，我们可以定义拓扑空间。
一个拓扑空间是一个集合，它满足以下三个条件：（1）空集和整个集合都是开集；（2）有限个开集的交集仍然是开集；（3）任意多个开集的并集仍然是开集。
拓扑空间中的开集定义了点与集合之间的关系，它可以帮助我们描述空间的连续性和分离性质。
二、拓扑学的基本定理在拓扑学中，有一些基本的定理对于研究空间之间的关系非常重要。
1.连通性连通性是一个拓扑空间的基本性质。
一个拓扑空间是连通的，当且仅当它不能表示为两个非空开集的不交并。
连通性可以帮助我们判断一个空间是否是一片连续的整体。
例如，欧几里得空间中的线段是连通的，而两个不相交的线段则是非连通的。
2.紧致性紧致性是另一个拓扑空间的重要性质。
一个拓扑空间是紧致的，当且仅当它的每个开覆盖都存在有限子覆盖。
紧致性可以理解为一个空间的有限性质。
例如，欧几里得平面上的闭合和有界的集合是紧致的。
拓扑空间的几种定义
拓扑空间的几种定义拓扑空间是数学中重要的概念之一，它描述了一个集合和该集合内一些子集之间的联系。
简单来说，拓扑空间可以理解为一种度量空间，但它更加广泛和抽象，没有具体的度量，却有更为丰富和深入的性质。
拓扑空间可以从不同的角度进行定义，下面我们来逐一介绍。
一、开集定义在拓扑空间中，开集是最基本的概念。
定义一个集合是开集，需要满足以下条件：（1）空集和全集是开集；（2）任意个开集的交集仍为开集；（3）有限个开集的并集仍为开集。
据此定义，我们可以得到一个拓扑空间的概念：若集合X存在一个开集合族T，使得：（1）空集和全集属于T；（2）任意多个集合的交集属于T；（3）有限个集合的并集属于T。
则称T为X的一个拓扑，(X, T)称为一个拓扑空间。
二、闭集定义除了开集，我们还可以从闭集的角度定义拓扑空间。
闭集是指一个集合和一些不在该集合内的点的集合的并集：（1）空集和全集是闭集；（2）任意个闭集的并集仍为闭集；（3）有限个闭集的交集仍为闭集。
定义一个拓扑空间，可以用其闭集族T’，若集合X存在一个闭集合族T’，使得：（1）空集和全集属于T’；（2）任意多个集合的并集属于T’；（3）有限个集合的交集属于T’。
则称T’为X的一个拓扑，(X, T’)称为一个拓扑空间。
三、邻域定义邻域是拓扑空间中比开集更为基本的概念，它是指点周围的任何点的集合。
邻域定义可以用一个包含每个点的邻域的集合来描述拓扑空间。
（1）空集和全集有邻域；（2）任何点都有非空公共部分的邻域；（3）每个集合都是一个邻域。
定义一个拓扑空间，则需要满足以下条件：（1）空集和全集含有邻域；（2）任何点都有一个邻域族V满足以下条件：（a）若V1,V2∈V，则V1∩V2∈V；（b）对于任意的V∈V和任意的x∈V，存在一个包含x的Vx，使得Vx⊆V。
则称V为X的一个拓扑，(X, V)称为一个拓扑空间。
四、极限点定义极限点定义是一种基于点的概念的拓扑定义方法。
任意一个点周围的点都可以看做是该点的极限点。
点集拓扑知识点总结
一、点集拓扑学的基本概念1. 拓扑空间的概念拓扑空间是点集拓扑学中的一个基本概念，它是一个具有一定性质的集合，其定义是一个集合X，以及X的子集族T，称为X上的一个拓扑结构，满足以下条件：（1）空集和全集都属于T（2）任意两个元素的交集属于T（3）任意有限个元素的并集属于T拓扑结构T的元素称为开集，满足这些条件的集合X称为拓扑空间。
2. 拓扑结构的生成拓扑结构可以由邻域系统、基本开集系统或者距离函数生成。
通常我们可以通过指定一组生成元素，然后利用生成元素的运算得到拓扑结构。
3. 连通性连通性是点集拓扑学中一个重要的概念，它描述了集合的整体性质。
一个集合如果可以被分解成两个不相交的非空集合，则称该集合是不连通的；反之，如果一个集合不能被分解成两个不相交的非空集合，则称该集合是连通的。
4. 紧性紧性是一种覆盖性质，描述了集合上开覆盖的性质，一个集合如果任何开覆盖都存在有限子覆盖，则称该集合是紧的。
二、拓扑空间上的映射1. 连续映射拓扑空间之间的映射称为连续映射，一个映射如果满足对于任意开集的原像都是开集，则称该映射是连续的。
2. 同胚映射一个双射且连续的映射称为同胚映射，它描述了两个拓扑空间之间的等同性质。
3. 全局性质全局性质是指拓扑空间中全体元素的性质，例如紧性、连通性等。
1. 度量空间度量空间是一种特殊的拓扑空间，它可以通过度量函数来定义拓扑结构。
度量空间的拓扑结构由度量函数生成。
2. 离散拓扑离散拓扑是一种特殊的拓扑结构，它的开集是所有单点集和空集的组合。
它是最精细的拓扑结构。
3. 有限开拓扑有限开拓扑是一种限制了开集数量的拓扑结构，它适用于有限集的拓扑结构定义。
四、点集拓扑的应用1. 分析学拓扑学在分析学中有广泛的应用，比如连续函数的性质、紧性和连通性对于函数的性质有很大的影响。
2. 几何学拓扑学在几何学中有着举足轻重的地位，比如拓扑不变性理论、同伦理论等都是几何学中重要的研究方向。
3. 应用数学拓扑学在应用数学中有广泛的应用，比如网络结构的分析、信号传输的优化等都涉及到拓扑学的知识。
拓扑学的基本概念与拓扑空间
拓扑学的基本概念与拓扑空间拓扑学是数学的一个分支，研究的对象是空间的性质与结构，而不关注其度量或形状。
拓扑学的基本概念包括拓扑空间、连续映射、开集、闭集等，它们构成了拓扑学的基础。
一、拓扑空间的定义与基本性质拓扑空间是拓扑学中最基本的概念之一。
一个集合X，若其满足以下三个条件，则称X是一个拓扑空间：1. X本身与空集∅是开集；2. 任意多个开集的交集仍是开集；3. 有限多个开集的并集仍是开集。
在拓扑空间中，我们可以定义许多重要的概念和性质。
例如，连续映射是拓扑空间之间的一种映射，它在保持点与点之间的接近程度方面具有重要作用。
连续映射的定义是：若拓扑空间X和Y上的一个映射f满足对于任意开集V，其原像f^(-1)(V)是X上的开集，则称f是一个连续映射。
二、开集与闭集在拓扑学中，开集和闭集是两个基本的概念。
开集是指拓扑空间中的一个子集，满足其包含的每个点都是该空间中的一个内点。
闭集是指拓扑空间中的一个子集，满足其包含了该空间中的所有边界点。
开集和闭集具有一些基本的性质：1. 空集∅和整个拓扑空间X既是开集又是闭集；2. 有限个开集的并集是开集，有限个闭集的交集是闭集；3. 任意多个开集的交集是开集，任意多个闭集的并集是闭集。
三、拓扑基与拓扑生成拓扑基和拓扑生成是拓扑学中用于描述拓扑空间性质的重要工具。
拓扑基是指拓扑空间中的一个子集合，满足以下两个条件：1. 拓扑基中的每个元素都是开集；2. 对于任意开集U和任意元素x∈U，存在一个拓扑基中的元素B，使得x∈B且B⊆U。
通过拓扑基，我们可以用更简洁的方式描述拓扑空间中的开集。
拓扑基的定义有助于我们研究拓扑空间的性质和结构。
拓扑生成是指通过给定的拓扑生成集合，来定义拓扑空间中的开集。
拓扑生成集合是一个集合，满足以下两个条件：1. 拓扑生成集合中的每个元素都是开集；2. 对于任意开集U，其包含的点都属于拓扑生成集合中的某个元素。
拓扑基和拓扑生成的引入，使得我们可以根据拓扑空间的结构特点和需要，选择不同的刻画方式，方便地研究和构造拓扑空间。
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在定义基的过程中我们只是用到了集族的并运算,如果再考虑集 合的有限交运算,便得到“子基”这个概念． 定义 2.6.2 设 X , 是一个拓扑空间, 是 的一个子族．如果
的 所 有 非 空 有 限 子 族 之 交 构 成 的 集 族 , 即
S1 S2 Sn Si , i 1, 2, , n; n
xi A x ）,并且收敛于 x ,则 x 是集合 A 的一个凝聚点．
关于闭包,内部,边界之间存在着的种种联系 ,我们列举一部分如 下： 定理 2.5.6 设 X 是一个拓扑空间 A X 则
A A' o ' Ao
A
Ao A'' A A
A A
作业：P81 1、2（1）
A' Ao
A' o A'
xi x, i ,则 lim xi x ;
i
（2） 如果序列 xi i 收敛于 x X ,则序列 xi i 的每一个子序列
也收敛于 x .
定理 2.7.2
设 X 是一个拓扑空间 , A X , x X .如果有一个
序 列 xi i 在 A x 中 （ 此 意 即 , 对 于 每 一 个 i 有
定理 2.6.7 设 X 是一个拓扑空间, x X , 则 （1） 如果 是 X 的一个基,则
x B x B
是点 x 的一个邻域基； （2） 如果 是 X 的一个子基,则
x S x S
是点 x 的一个邻域子基． 作业：P90 2
§2.7 拓扑空间中的序列
敛于 x 记作
lim xi x 或 xi x i ．
i
如果序列至少有一个极限,则称这个序列是一个收敛序列．
问题：拓扑空间中的收敛序列的极限是否唯一？
考查有限补空间和可数补空间。
定义 2.7.3 设 X 是一个拓扑空间, S , S1 : X 是 X 中的两个 序列．如果存在一个严格递增的映射 N : （即对于任意
是拓扑 的一个基,则称集族 是拓扑 的一个子基,或称集族 是拓 扑空间 X 的一个子基.
定 理 2.6.4 设 X 是 一 个 集 合 , 是 X 的 一 个 子 集 族 , 若
X
S
S ,则 X 有唯一的一个拓扑 以 为子基ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ并且若令
S2 Sn Si , i 1, 2, , n; n
xi i
简化为 xi ,但这时要警惕不要与单点集相混．
定义 2.7.2 设 xi i 是拓扑空间 X 中的一个序列, x X ． 如果
对于 x 的每一个邻域 U ,存在 M 使得当 i M 时有 xi U ,则称 点 x 是序列 xi i 的一个极限点（或极限） ,也称为序列 xi i 收
O
定理 2.5.1 设 X 是一个拓扑空间， A X ，则 Ao A'' ．因此
A A' o ' .
定理 2.5.2 拓扑空间 X 的子集 A 是开 集的充分必要条件是
A Ao ．
定理 2.5.3 设 X 是一个拓扑空间，则对于任意有 A, B X 有 （1） X X ；
定理 2.6.1 一个度量空间中的所有球形邻域构成的集族是这个 度量空间作为拓扑空间时的一个基． 特别地，由于实数空间 R 中所有开区间构成的族是它的所有球 形邻域构成的族，因此所有开区间构成的族是实数空间 R 的一个基.
下面的定理为判定某一个开集族是否是给定的拓扑的一个基提 供了一个易于验证的条件． 定理 2.6.2 设 是拓扑空间 X , 的一个开集族,则 是拓扑空 间 X 的一个基当且仅当对于每一个 x X 和 x 的每一个邻域 U x ,存 在 Vx 使得 x Vx U x .
'
§2.6 基与子基
定义 2.6.1 设 X , 是一个拓扑空间, 是 的一个子族． 如果 中的每一个元素是 中某些元素的并 , 即对于每一个 U , 存在
1 使得 U
空间 X 的一个基．
B1
B ,则称 是拓扑 的一个基 ,或称 是拓扑
定理 2.6.1 一个度量空间中的所有球形邻域构成的集族是这个 度量空间作为拓扑空间时的一个基.
S1
则
1 B1
映射的连续性可以通过基或子基来验证．一般说来,基或子基不 大于拓扑的基数,所以通过基或子基来验证映射的连续性,有时可能会 带来很大的方便． 定理 2.6.5 设 X 和 Y 是两个拓扑空间 f : X Y ．则以下条件 等价： （1）
定义 2.7.1 设 X 是一个拓扑空间．每一个映射 S : X 叫做
X 中的一个序列．我们常将序列 S 记作 xi i 或者 xi i 1,2, , 或者
干 脆 记 作 x1 , x2 ,
． 其 中 xi S i , i . 有 时 我 们 也 将 记 号
§2.5 内部，边界
在前一节中我们讨论了在拓扑空间中由一个给定集合如何引出 一些与之密切相关的集合，如导集，闭包等．本节继续这个话题． 定义 2.5.1 设 X 是一个拓扑空间， A X ．如果 A 是点 x X 的一个邻域， 即存在 X 中的一个开集 V 使得 x V A ， 则称点 x 是 集合 A 的一个内点．集合 A 的所有内点构成的集合称为集合 A 的内 部，记作 A ．
f 连续；
（2） 拓 扑 空 间 Y 有 一 个 基 , 使 得 对 于 任 何 一 个 B , 原 像
f 1 B 是 X 中的一个开集；
（3） Y 有一个子基 ， 使得对于任何一个 S ， 原像 f
1
S 是
X 中的一个开集.
定义 2.6.3 设 X 是一个拓扑空间 , x X . 记
B
即集合 A 的内部等于包含于 A 的所有开集之并． 定义 2.5.2 设 X 是一个拓扑空间, A X ．点 x X ,如果满足 条件：在 x 的任何一个领域 U 中既有 A 中的点又有 A 中的点 ,既有
U
A 又有 U
A ,则称 x 是集合 A 的一个边界点．集合
A 的全体边界点构成的集合称为集合 A 的边界,记作 A ．
1
W2
Wn Wi wx , i 1, 2,
n; n Z
是 x 的一个邻域基 ,则 wx 称是点 x 的邻域系的一个子基 ,或简称为点
x 的一个邻域子基．
定理 2.6.6 设 X 和 Y 是两个拓扑空间, f : X Y , x X , 则以下条件等价： （1） （2）
f 在点 x 处连续；
f x 有 一 个 邻 域 基 v f x , 使 得 对 于 任 何 V v f x , 原 像
f 1 V 是 x 的一个邻域；
（3）
f x 有一个邻域子基 w f x , 使得对于任何 W w f x , 原像 f 1 W 是 x 的一个邻域．
n1 , n2 ,如果 n1 n2 ,则有 N n1 N n2 ）,使得 S1 S N ,则
称序列 S1 是序列 S 的一个子序列．
定理 2.7.1 设 xi i 是拓扑空间 X 中的一个序列．则
（ 1 ） 如 果 xi i 是 一 个 常 值 序 列 , 即 对 于 某 一 个 x X 有
u x 为 x 的邻域
系．u x 的子族 vx 如果满足条件： 对于每一个使得 U ux ,存在 V vx 使得 V U ，则称 vx 是点 x 的邻域系的一个基，获简称为点 x 的一 个邻域基. u x 的子族 wx 如果满足条件：wx 每一个有限非空子族之交 的全体构成的集族,即
W
o
（2） A A ；
o
（3） A （4） A
oo
B Ao
o
Bo ；
Ao ．
定理 2.5.4 拓扑空间 X 的任何一个子集 A 的内部 Ao 都是开集． 定理 2.5.5 设 X 是一个拓扑空间, 是 X 的拓扑,则对于 X 的每 一个子集 A ,有
Ao
B , B A