拓扑空间的次分离性

关键 词 ： 次 空 间； 次正 则空 间 ； 次正 规 空间 ； 遗传 次 正规 空间 ； 仿 紧空 间 ； 似 闭映射 ； ｌ ｎ紧化 ； Ｗａｌ ｍａ
非标 准 紧化
中图分 类 号 ： １ ９ １ Ｏ ８ ．ｌ
文献标 识码 ： Ａ
空 间是一类 非常 重要 的拓扑 空 间． 本文 研 究 了 空 间 的一些 推广 （ 即次 空 间 、 正 则 空 间 、 次
开集 ， 显然 ， Ｕ和 也是 中的开集 ， Ａ Ａ 且
，
，
（ ）次 ＋次 正 则 ＋遗 传 次 正 规 正规 ． ６ 取 Ｘ ＝｛ ， ， ， ＝ ｛ ，｛ ， ０ １ ， ０２｝Ｘ｝ 则 ０ １２｝ｊ－ ０｝ ｛ ， ｝ ｛ ， ， ．
故 为完 全次 正规 空 间．
｛ Ｉ Ｌ ｎ∈ｚ ｝ ＋ 然数集 ， ＝｛ Ｅ ＋（ 为自 ｚ 合） Ｇ— Ｉ Ｇ∈
ｎ Ｊ Ｊ
规空间）当且仅 当它是次 空间（ｅ ． 次正则空 ｒｐ ， ｓ
间， 次正 规空 间 ） ．
Ｅ Ｋ｝ 则 （ ． Ｒ，
是 空 间 （ 而它是 弱 空 从
间 ）但 它 不是次 正 则 的也 不是 次 正规 的 ， ． 因为 点 ０
项 目基 金 （ 号 ：１Ｋ ４ ４ 编 １Ｊ ０ ８ ）
作者简 介 ： 荆佩 （９ ５） 女 ， １８ 一 ， 主要从事格上拓扑学与拟阵研究． — ａ ：ｏ ｌ ｄ＠ １６ ｃｍ Ｅ ｍ ｉ ｎ ｌ ｏａ ２ ．ｏ ｌ ａ
荆佩 等 ： 拓扑空间 的次分离性
．— １ ７ －— ． ０ － ． — － —
集有 彼此 交 为有 限集 的开邻 域 ， 称 （ ） 次正 则 ， 是
则 的．
（ ） （ ）中任 意两个 满足 ｛ ３ 若 Ｘ， ｝≠ ｛ ｝ Ｙ 的点
０， 由 Ｙ的次 正规 性知分 别存 在 ４ 故 和 Ｂ 在 ｌ中 的 ， 开邻域 ｕ和 使 得 Ｕ ｎ Ｖ是 有 限集． 由于 ｙ是 的
每一 个有 限拓 扑空 间 都是 次 空 间 、 次正 则 空 间 、
次正 规空 间．
（） ７ 次 ＋次正则 ＋遗传次正规喾弱 ． 取
Ｘ ＝｛ ， ｝３－ ｛ ，０ ， ． （ ） ０ １ ， ＝ ｛ ｝ ｝则 ， 是次 的 、 次 正则 的 、 正规 的但 它不 是弱 的． 次 （ ）弱 ８ 次 （ｅ ． 次正 则 ， 正规 ）承 载 ｒｐ ， ｓ 次 ． 集 为无 限集 的平 庸 拓 扑 空 间是 弱 空 间但 不 是 次 的． 取 （ ） 为 一 个 实 数 空 间 ， ＝ Ｒ， Ｋ
Ａ ｎ （一 一 — Ａ ｕ Ｂ ）＝Ａ ｎ Ｂ ］Ａ， — 一 曰；：Ｂ— ｎ Ｙ＝
Ｂ—＇ Ａ一 ｕ Ｂ ）＝Ｂ ｎ Ａ ３ Ｂ， Ａ ｆ ３（ 一 — 一 且 ｎ 日 ＝
（ ）若 （ ， ）中任 意一 个 点 和 不包 含 它 的 闭 ２
文章编 号 ：６ ３ ６ Ｘ（ ０ ２ ０ －１ ６０ １ ７ － ４ ２ １ ） ５０ ０ －５ ０
拓 扑 空 间 的 次 分 离 性
荆 佩 李 生刚 ， ， 伏文 清 ， 婷 曹
（． １ 陕西师范大学 数 学与信息科学学 院， 陕西 西安 ７ ０６ ； ． １０ ２ ２ 西安工业大学 理学院 ， 陕西 西安 ７ ０ ３ ） １０ ２
明（ ）和 （ ） 下 面 只证 （ ）的充 分性 ． １ ２． ３ 充分性 ． 设 的每一 个子 空 间都是 次正 规空 间 ， 和 Ｂ为 的任 意 两 个 隔 离子 集 ， （ 一 则 个 不 同 的点 （ｅ ． 不 １ ｒｐ ， ｓ 交 的 闭集 ， 隔离 的 子集 ）有 彼 此 交 为 有 限 集 的 开邻
域 ， 以（ 不是次正则的． 所 Ｒ， 又因为 ｛ ｝ ０ 也是拓 扑空 间 （ 中的一个 闭 集 ， 以（ ． 也不 是 Ｒ， 所 Ｒ，
次正 规 的 Ｊ ．
为一个实数空间， ＝｛ ｌ Ｋ Ｌ Ｉ ｎ∈Ｚ ＪＺ 为 自 ＋（ ＋ ｝ 然数
集 合 ） ＝ ｛ ， Ｇ—ＥｌＧ ∈ Ｅ Ｋ｝则 （ ． Ｒ， 是 空 间（ 而 它是次 空间 ）但 它不是 次正则 的也 从 ． 不 是次 正规 的 ， 因为点 ０和不 包 含它 的闭集 Ｋ没 有 彼 此交 为有 限集 的开邻 域 ， 以（ 所 Ｒ， 的． 因为 ｛ 又 ０｝也 是 拓 扑 空 间 （ Ｒ，
有彼此 交为空 集 的开邻 域 ， 称 （ ）是 弱 则 ，
收 稿 日期 ： ０ １１ — ２ １—２２ ４
基金项 目：国家 自然科学基金（ 编号 ：１７ １ １ ； １０ １５ ） 陕西省 自然科学基金 （ 编号 ：００ Ｍ１０ ） 陕西 省教育厅专项 科研计划 ２ １Ｊ ０ ５ ；
， １ ｌ 、
（ ） 空 间（ｅ ． 正 则 空 间 ， 规 空 间 ）是 次 ２ ｒｐ ， ｓ 正
空间（ｅ ．次正则空间， ｒｐ ， ｓ 次正规空 间） 但反之不
真（ （）一（） ． 见 ４ ６ ） 然而 容 易验证 对于 一个 Ｔ 拓 扑 空间（ ） ， 而言 ， 它是 空间 （ｅ ．正 则空 间 ， ｒｓ ， ｐ 正
集 ， 以（ 所 Ｒ， 也不是 次正规 的 Ｊ ．
定 义 ２ 如 果拓 扑空 间 的每一 个开 覆盖 都 有一 个满 足下 面条 件 的开 加 细 ：
（ ） 于 的任 意两个 互 不相交 的非 空 闭集 Ａ 对
和 Ｂ， 一个 开邻域 Ｕ仅 与 中有 限个 元 素 有非 有
１
的闭集且 ｆＸ— ． ｔ ． Ａ 则对每个 Ｙ∈Ａ都有 ≠Ｙ且 ， 由 是 次 空 间知存 在 开邻域 和 Ｙ开邻域
使 得 ｎ 是 有 限集． 于集 族 ｛ ｌ ∈Ａ｝ 由 是 的开覆盖 ， ＝ ｛ ｌ ｙ∈Ａ｝ｕ ｛ —Ａ｝ 是 的开
１一 ）Ｉ凡＝２ ３ … ｝则 （ ）是遗 传次 正规 空 ， ， ． Ｘ，
１ 次 、 正 则 、 正规 、 次 次 完全 次 正 规 空 间的定 义及 联 系
定 义 １ 设 （ ）是一个 拓扑 空 间． Ｘ，
当 的每 一个 子空 间都是 次 正规 的 （ 因此 也可 以称 完全 次正规 空 间为遗 传次 正规空 间 ） ． 证明 类似 于 空 间和 正则 空间情 形 可 以证
域， 则称 （ ） 次 的 （ｅ ． 次正规 的 ， 全次 ， 是 ｒｐ ， ｓ 完 正规的） ．
（ ｎ Ｂ） ＝０ 令 Ｙ ＝Ａ一 ｕ Ｂ ＝ （ ｎ Ｂ一 ， Ａ— ． 一 Ａ— ）
则 ，为 的次 正规 开 子空 间 ， 为 Ａ ＝Ａ— ＝ ， 因 ｎＹ
不 是次 正规 的．
（ ）每一个 似仿 紧 的次正 则 的拓扑 空 间都 是次 ２
正规 的．
证 明 （ ） Ａ 仿 紧 的次 的拓 扑空 间 中 １设 是
（ ｉ 遗传 次正规 次 ， ｉ） ｉ 遗传次正规 次 正 则 ． 载集 为无 限集 的平 庸 拓 扑 空 间是 遗 传 次 正规 承 空 间但 不是 次 的． 取 ＝ （ １ ， ＝ ｛ ， （ ， ０，） ３－ ，０
摘要 ：旨在 研 究 拓 扑 空 间的一 般化． 为此定 义 了拓 扑空 间的 次 、 次正 则、 正规 、 传 次正规 等 次 遗 次分 离性 ， 细地讨论 了它们之 间 以及 它们 与 已有分 离性之 间 的联 系， 详 并且研 究 了这 些次分 离性 的
遗传 性 、 可乘性 以及 与 Ｗａ ｍ ｎ紧化和 非标 准 紧化 的联 系． ｌ ａ ｌ
（ 当 Ｂ ∈ 一｛ Ｂ ｝ Ｂ ｎ Ｕ ） 由以上 即 Ｂ ， 时 ｏ＝ ．
证 明可设
Ｕ ＝ Ｕｏ ｎ
．
（） ５ 次 ＋次 正则 ＋遗传 次正 规 正则 （ 而 从 次 ＋次 正 则 ＋ 遗 传 次 正 规 完 全 正 则 ） ．取 Ｘ ＝｛ ， ｝ｇ－ ｛ ，０｝ ｝则 （ 。 ） ０ １ ， ＝ ｛ ， ． ， 是次 的 、 次正则 的 、 遗传 次正规 的但 它不是 正则 空 间．
２１ ０ ２年 ９月
第 ２ ７卷第 ５期
西安石油大学学报 （ 自然科 学 版 ） Ｊｕ ａ ｏ ｉ ｎＳ ｉ ｕＵ ｉ ｒ ｔ（ ａ ｒ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ） ｏｒ ｌ ｆ ｈ ｏ ｎｖ ｓｙ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｃ ｄｔ ｎ ｎ Ｘ ａ ｙ ｅｉ ｕｌ ｅ ｉ
Ｓ ｐ．２ ２ ｅ ０１ Ｖ０ ． １２７ Ｎｏ． ５
重要联 系．
仅当 中任意两个不交的紧致子集有彼此交为有限 集 的开邻域 ．
（ ）拓扑 空 间 （ ｊ－ 次 正 则 的 当 且 仅 当 ２ Ｘ， ）是
中任 意一个 紧致 子集 和与 它不交 的 闭集有彼 此 交为
有 限集 的开邻域 ． （ ）拓扑 空 间 （ ）是完 全 次 正 规 的 当且 仅 ３ Ｘ，
空 的交 ， 则称 是一个 似仿 紧 空间． 易见 每一个 紧空
不是 次正则 中 的一 个 闭
间都 是似 仿 紧空间． 定理 ２ （ ） 一个 仿 紧的次 的拓 扑空 间都 １每
是次 正则 的．
（ｉ 次 正 则 次 ， 正 则 次 正 规． Ｘ ＝ ｉ） 次 取
［ ，］ ＝ ｛ ，０｝ ｝则 （ ｊ－ 次 正 则 空 间 ０１ ， ｛ ， ． Ｘ， ）是 但 不是 次 的。 ｉｍｙｚｉ 面 ＿ 是 次正则 空 间但 Ｎｅ ｔ 平 ｋ ３
的ｌ （ Ｌ 这里Ａ表示 Ａ的闭包 ） １ ． 定理 １ （ ）拓扑 空 间 （ ）是 次 的 当且 １ Ｘ，
次正 规空 间 、 遗传 次 正 规 空 间） 研 究 结 果 表 明 ， ． 拓 扑空 间 的这 些新定 义 的次分 离性 是 已有分离 性 的补 充并 且与拓 扑空 间 的 Ｗａｌａ ｌ ｎ紧化和 非标准 紧化 有 ｍ
推论 １ 每个 紧致 的次 拓 扑空 间都 是次 正则
空 间和次 正规空 间．
（ ） ， 是次 的 、 次正则 的、 遗传次正规的但它不