大学物理下第16章习题详解

第16章习题解答

【16-1】解：取固定坐标xOy ，坐标原点O 在水面上（图题16-1示）

设货轮静止不动时，货轮上的B 点恰在水面上，则浮力的增量为S ρgy 。该力与位移y 成正比，方向指向平衡位置，故货轮的自由振动是简谐振动，其运动方程为：

0gy S dt

y d M 22=+ρ 0y M

g S dt y d 22=+ρ 根据简谐振动的动力学方程，有：

M g S 2ρω=

故

s 35.6s 8

.910102101022g S M 22T 333

4=?????===πρπωπ

【16-2】解：取物体A 为研究对象，建立坐标Ox 轴沿斜面向下，原点取在平衡位置处，即在初始位置斜下方距离l 0处，此时： m 1.0k

sin mg l 0==θ （1） （1）A 物体共受三力；重力mg ，支持力N ，张力T 。不计滑轮质量时，有： kx T =

列出A 在任一位置x 处的牛顿方程式：

220dt

x d m )x l (k sin mg T sin mg =+-=-θθ 将①式代入上式，整理后得：0x m

k dt x d 22== 故物体A 的运动是简谐振动，且s rad m k /7==

ω 由初始条件???=-=000

υl x ，求得：???===π?m l A 1.00，故物体A 的运动方程为：

x=0.1cos(7t+π)m

（2）当考虚滑轮质量时，两段绳子中张力数值不等，如图题16-2（c ）所示，分别为T 1、T 2，则对A 列出任一位置x 处的牛顿方程式为：

221dt

x d m T sin mg =-θ （2） 对滑轮列出转动方程为：

222r 2r 1dt x d Mr 21r a )Mr 21(J T T ===-β （3）

式中，T 2=k(l 0+x) （4） 将③、④代入式②式，有：

220dt

x d )m 2M ()x l (k sin mg +=+-θ 整理得：

0x )m 2

M (k dt x d 22=++ 可见，物体A 仍作简谐振动，此时圆频率为：s /rad 7.5m 2M k

=+=ω

由于初始条件：x 0=－l 0,υ0=0

可知，A 、?不变，故物体A 的运动方程为：

x=0.1cos(5.7t+π)m

由以上可知：弹簧在斜面上的运动，仍为谐振动，但平衡位置发生了变化，滑轮的质量改变了系统的振动频率。

【16-3】解：简谐振动的振动表达式：x=Acos(ωt+?)

由题图16-3可知，A=4×10-2m ，当t=0时，将x=2×10-2m 代入谐振动表达式，得：2

1cos =? 由υ=－ωA sin(ωt+?)，当t=0时，υ=－ωA sin ?

由图题16-3可知，υ>0，即sin ?<0，故由21cos =?，取 3π?-= 又因：t=1s 时，x=2×10-2m ，将其入代简谐振动表达式，得：

)3cos(42πω-=，2

1)3cos(=-πω

由t=1s 时，0)3sin(<--=πωωυA 知，0)3sin(>-πω，取 3

3ππω=-， 即 3

2πω=s 质点作简谐振动的振动表达式为：

m t x )3

32cos(1042ππ-?=- 【16-4】解：以该球的球心为原点，假设微粒在某一任意时刻位于遂道中的位矢为r ，则微粒在此处受电场力为：r R Qq

F 304πε-=

式中，负号表明电场F 的方向与r 的正方向相反，指向球心。由上式及牛顿定律，得： 0430=+r R

Qq

F πε 043022=+r R Qq dt r

d m πε

令 3024R Qq πεω=

则 0222=+r dt r

d ω

故微粒作简谐振动，平衡点在球心处。

由 ωπ

2=T

知： Qq

mR T 3

042πεπ= 【16-5】解：（1）取弹簧原长所在位置为O '点。当弹簧挂上物体A 时，处于静止位置P 点，有：P O k Mg '=

将A 与B 粘合后，挂在弹簧下端，静止平衡时所在位置O 点，取O 点为原坐标原点如图题16-5所示，则有：g m M O O k )(+='

设当B 与A 粘在一起后，在其运动过程的任一位置，弹簧形变量x O O +'，则A 、B 系统所受合力为：

kx x O O k g m M F -=+'-+=)()(

即 0)(22=++kx dt x

d m M

可见A 与B 作简谐振动。