洛必达法则应用的几点思考
使用洛必达法则求极限的几点注意_图文(精)
因为“m(订一1订:l/m(e扣一1订;lkn(土1艘
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善
尽管洛必达法则是求未定式极限的一种非常有用的方法,许多极限题目用了洛必达法则便能很快得出结果,但是在这里必须指出
熙等等与恕湍用洛必达法则就求不出结果・应改用其
极限作为重要的思想方法和研究工具贯穿于高等数学课程的始终.本文通过对洛必达法则求极限的深入探讨,针对不同题型归纳总结出具体的化简转化的方法;利用数列极限和函数极限的关系间接地应用洛必达法则求数列未定式,充分体现了洛必达法则应用的广泛性,给求极限提供了强有力的工具. 2.期刊论文王悦关于利用洛必达法则求极限的几点探讨-科技信息2009,""(2
硬闲洛密达法则求极限的儿点涅枣
口杨黎霞
(江南大学江苏・无锡214122
摘要如果当圹+口或r+*时,两个函数删与,M都趋于零或都趋于无穷大。那么极限l/m葡可能存在,也可能不存在。洛
‘::,
必达法则是计算此类未定式极限行之有效的方法.然而。对于本科一年级的初学者来讲,若盲目使用此法则.会导致错误。本文就使用该法则解题过程中的几点注意作了分析与探讨。
年,卷(期:2008,""(25
被引用次数:0次
参考文献(3条
1.同济大学应用数学系高等数学2002
2.王茂南.薛国民高等数学习题课教程2004
3.蔡燧林.胡金德.陈兰祥硕士研究生入学考试数学辅导讲义,理工类2002
相似文献(10条
1.期刊论文林清华12
,lira
ee沁-e。-*=~Urn等=l
恐湍也蔫也蔫2丢
复合函数洛必达法则
复合函数洛必达法则复合函数洛必达法则是微积分中的一种重要工具，用于求解一些特殊类型的极限。
在本文中，我们将深入探讨复合函数洛必达法则的原理和应用，并从简单的例子开始逐步展开，帮助读者全面理解这一概念。
一、复合函数洛必达法则的原理复合函数是由多个函数组合而成的新函数，而极限是在一个趋近某一点的过程中，函数值的趋近情况。
当我们遇到计算复合函数的极限时，常常会遇到无穷大除无穷大、零除零等形式，此时可以运用洛必达法则解决这些难题。
洛必达法则基于导数的性质，特别是导函数的极限性质。
其原理可以概括为以下几点：1. 当两个函数的极限都存在或都趋于无穷大（包括正无穷大和负无穷大）时，如果两个函数的导函数的极限存在或趋于无穷大，那么原函数的极限也存在或趋于相同的值。
2. 当两个函数的极限都是无穷小时，如果两个函数的导函数的极限存在或趋于一个非零常数，那么原函数的极限也存在或趋于相同的值。
3. 当两个函数的极限都是无穷小时，如果两个函数的导函数的极限不存在或趋于零，那么原函数的极限可能不存在或无法确定。
二、复合函数洛必达法则的应用举例为了更好地理解复合函数洛必达法则，我们将从简单的例子开始逐步展开。
例1：计算极限lim(x->0) [(sinx)/x]这是一个非常经典的极限问题，可以利用洛必达法则来解决。
我们对函数f(x) = sinx和g(x) = x分别求导得到f'(x) = cosx和g'(x) = 1。
然后计算f'(x)/g'(x)即可得到原函数的极限：lim(x->0) [(sinx)/x] = lim(x->0) [cosx/1] = cos0 = 1例2：计算极限lim(x->∞) [x^2/e^x]对于这个例子，我们同样可以利用洛必达法则来解决。
对函数f(x) = x^2和g(x) = e^x分别求导得到f'(x) = 2x和g'(x) = e^x。
洛必达法则的理解及其应用
摘要：对洛必达法则的内涵进行剖析、引申及扩展, 通过实例探讨其应用技巧。
关键词：洛必达法则;内涵剖析;应用技巧;洛比达法则内涵丰富, 是高等数学中求函数未定型极限的一种有力工具。
本文将对洛必达法则的内涵进行深入剖析, 引领学生窥其“庐山真面目”。
然后循序渐进地讲解其应用, 从而帮助学生系统、深入地掌握洛必达法则内容。
1洛比达法则[1]定理1: 若函数f ( x) 和g ( x) 满足:( 2) 在点x0的某空心邻域内两者都可导, 且g' ( x0) ≠0;定理2: 若函数f ( x) 和g ( x) 满足:( 2) 在点x0的某空心邻域内两者都可导, 且g' ( x0) ≠0;二、内涵剖析1. 涵的数学思想方法洛必达法则依据柯西中值定理, 利用求导的方法, 化难为易的数学思想, 将f ( x) /g ( x) 的极限问题转化为f 'x/g' (x) 的极限问题。
2. 几何解释[2]对于定理1, 补充定义, 则参数方程是平面上过原点O的曲线, 记为L, 如图, 则表示曲线上割线OA的斜率, 而为割线斜率的极限, 又割线的极限位置是切线, 即为O点处切线斜率, 另一方面A点处切线的斜率利用参数方程求导为f 'x/g' (x) , 而A处所得切线T随着x→x0的极限位置就是O处的切线OC, 由此表示出OC斜率为从而, 在几何上, 定理1实质上表达了切线的概念, 曲线L的割线OA的极限位置就是过原点的切线OC。
类似可得洛必达法则定理2实质上表达了曲线L上的点A趋于无穷远时, OA的极限位置就是A点处切线的极限位置。
3. 运用法则的关键关键是寻找判断所求极限是否满足三个条件, 有些较难的极限利用洛必达法则可能比较简单, 但若不符合条件时滥用法则, 容易造成错误。
4. 运用法则的一般步骤( 1) 判断所求极限是否可化为法则中的0/0型或∞/∞型, 如0, ∞ - ∞等; ( 2) 判断是否满足条件;( 3) 求, 若存在或为∞ , 则得结果, 若仍为未定式, 则再用法则; 若为循环的情况, 则不可用法则; 若不存在也不为∞ , 则用此法则不可得结果。
洛必达法则的哲学应用
洛必达法则的哲学应用洛必达法则，又称为洛必达效应，是指当一个人的期望值对另一个人的行为产生影响时，被期望的行为通常会变得更加突出。
这个法则最初是由卡尔•罗杰斯在1947年提出的，后来被德国心理学家洛必达作为心理学领域中的重要定理来加以应用。
虽然洛必达法则在心理学领域中的应用相当广泛，它同样可以被应用于哲学上，成为改变世界的一种哲学工具。
洛必达法则在哲学上的应用，主要体现在三个方面：认识论、人性论和伦理学。
一、认识论认识论是哲学的一部分，其主要关注人类认识世界的能力和方式。
在认识论中，洛必达法则可以被用来解释人们的认知和理解过程。
当我们看到世界时，我们总是会有某种期望和预期，这些期望和预期会影响我们看待和理解客观事实的方式。
如果我们期望看到某些事情更加突出或更加好，那么我们可能会主动寻找证据来支持这种期望或预期。
这就是洛必达法则在认识论中的应用。
举个例子来说，如果一个人认为自己是一个不受欢迎的人，那么当这个人在社交场合中遇到任何小事情时，他都可能会把这些小事情解释成“人们不喜欢自己”。
这个人的期望和预期会使得自己对周围事物的看法更加显著和持续。
同样的，如果一个人认为他是一个失败者，那么无论做什么事情都可能会被解释为“失败”。
这个人的期望和预期在认识论中扮演着关键性的角色。
二、人性论人性论是哲学的另一个分支，它探讨人类的本质和偏好。
在人性论中，洛必达法则常常被用来解释人们为什么会有一些行为和想法。
我们的期望和预期对我们的行为和态度产生了巨大影响。
当我们对周围的世界抱有某种期望和预期时，我们通常也会有相应的感觉和内在状态。
比如，当我们期望看到一个成功的人时，我们会感到羡慕和嫉妒，当我们期望看到一个失败的人时，我们会感到轻蔑和不屑。
这些感觉和状态反过来又会进一步影响我们的行为和思想。
这就是洛必达法则对人性论的应用。
三、伦理学伦理学是哲学中最为重要的分支之一，它研究人类的道德和价值。
在伦理学中，洛必达法则可以被用来解释为什么我们会对不同的行为、人物和事件产生不同的道德判断。
浅析洛必达法则在考研数学中的运用
浅析洛必达法则在考研数学中的运用洛必达法则在考研数学中的重要性不可忽视。
这个法则为求解函数的极限提供了另一种有效的方法，也是数学分析中的一种重要工具。
掌握洛必达法则不仅可以帮助考生解决各类极限问题，还可以在求解函数的导数、积分等问题中发挥作用。
本文将通过介绍洛必达法则的基本概念、运用及技巧，帮助考生更好地理解并掌握这一重要工具。
洛必达法则，也称为洛必达定理，是指当一个函数趋近于无穷大时，如果函数的倒数也趋近于无穷大，则函数的商也趋近于无穷大。
这个法则是由法国数学家洛必达在他的著作《无穷小分析》中首次提出的。
简单来说，洛必达法则就是求导数的商的极限。
在考研数学中，洛必达法则的应用非常广泛。
在判断极限问题中，考生可以通过使用洛必达法则来验证极限是否存在，并求出其具体值。
例如，对于函数f(x)在x=0处趋近于无穷大，且f'(x)在x=0处也存在，则可以使用洛必达法则来求lim x→0 f(x) / g(x)的值。
在求极限问题中，考生可以利用洛必达法则来对函数进行求导或积分，从而得到函数的极限。
在讨论函数的连续性问题中，洛必达法则也发挥了重要作用。
例如，对于函数f(x)在x=0处连续，且f'(x)在x=0处存在，则可以使用洛必达法则来求lim x→0 f'(x)的值，从而得到函数在x=0处的导数值。
为了更好地运用洛必达法则，考生需要掌握一些技巧。
考生要学会选择合适的解题方法。
对于一些简单的极限问题，可以直接运用洛必达法则来求解；而对于一些较为复杂的问题，可能需要先进行化简、变形等操作，再使用洛必达法则。
考生要学会如何快速锁定答案。
在使用洛必达法则时，考生可以通过观察待求极限的函数形式，来判断是否可以使用洛必达法则。
例如，对于形如lim x→∞ f(x) / g(x)的极限问题，如果f'(x)和g'(x)都存在，那么就可以考虑使用洛必达法则来求解。
洛必达法则是考研数学中的重要内容，对于求解函数的极限、导数、积分等问题都有很大的帮助。
微分中值定理洛必达法则课后反思
微分中值定理洛必达法则课后反思
本节课的教学体现了新课标的精神，顺利地完成了原定的教学目标。
反思这节课，我认为做到了以下几点：
洛必达法则是求解未定式械跟的重要方法，是初否中依定理求解板限问题的应用抽广，也是在教学过程当中最受学生喜欢，被学生视为最有效的求解极胀问题的方法之一，盛而学生在学习过程中，对法则理解不够深入，不够彻底，导变学生在送用过程中产生各种问题，本文增在通过一个实例的分析，有针对性的改遥教学的方式方法，提高学生对法慰的理解，从而提高学生的学习效率。
在高等我学洛必达法则一节的教学中，我们透需竞给出来定式的概念，然后直接给出落必适法则及其证明过碰。
通过一个之前讲解过的例子杂以分种得到洛必达法期，这样不会让学生觉存法则的证明过程拿以理解，也让学生很自然的了解到面数f（x）与面盘g（x）之比的极很方f（x）的导教与g（x）的导我之比的板跟之间的关系，从而更加深刻的零握洛必达法则的使用方法与条件。
通过特殊实例到一般同题的这种教学方式，可以证学生更加客易了解到洛必达法别解决问题的思路，可以让学生更好更快更浪确的零部各必达法贿。
关于洛必达法则的几点思考
关于洛必达法则的几点思考
1.洛必达法则指的是，对于任何一种行动，它都会产生相当于它自身的等量反作用，无论这种行动是负面的还是正面的。
2.洛必达法则认为，人们所做的一切都会产生反作用，无论这种行动是有益的还是有害的。
3.洛必达法则告诉我们，如果我们要享受积极的结果，就必须承担相应的责任，因为我们对自己所做的一切都要负责。
4.洛必达法则是一种积极的思维模式，它可以激励我们去做有益的事情，而不陷入负面的思维模式中。
5.洛必达法则还可以帮助我们理解和接受事实，接受到自己的行为所带来的结果，并且要有信心去改变和提高自己。
洛必达法则的思维方法
洛必达法则的思维方法洛必达法则，又称洛必达效应，是指在研究平面运动时，一个静止参考系和一个匀速运动的参考系，观察同一物体的运动轨迹，得到的结果是不同的。
这个法则被应用于许多科学领域，包括物理学、天文学和管理学等等，并被运用到了许多实践中。
那么，洛必达法则对我们的思维模式有什么启示呢？其实，我们可以从中学到很多有关思维方法的技巧。
首先，我们需要意识到，不同的角度会带来不同的观察结果。
在我们的日常生活中，我们往往处于一个特定的角度去看待事物，这种角度也往往会影响到我们对问题的看法和处理方式。
但是，如果我们能够换一种角度去看待同一问题，我们也许可以得到不一样的观察结果。
这种思维方式不仅可以让我们更全面地了解一个问题，也可以拓展我们的思维模式，从而激发创意。
其次，我们需要学会跳出惯性思维。
惯性思维指的是我们在处理问题时往往会采用一种惯常的方式，而不去考虑是否有更好的方法。
这种思维方式在许多时候会限制我们的思考视野，使得我们无法看到问题的本质。
因此，我们需要跳出这样的思维模式，尝试使用不同的方法去看待问题，从而创造出新的解决方案。
再次，我们需要学会把握机会。
在研究运动轨迹时，我们可以看到即使是微小的机会也可能会产生巨大的影响。
同样，在我们的生活中，一些看似微小的机会也可能成为我们成功的关键。
因此，我们需要时刻保持警觉，从我们的生活中抓住这些机会，从而让我们更好地掌握生命的节奏。
最后，我们需要学会不断学习和进步。
洛必达法则在科学研究中能够发挥巨大的作用，正是因为科学家们不断地学习和发现。
同样的，若想要在我们的日常生活中应用洛必达法则的思维方法，我们也需要时刻保持学习的状态，不断优化自己的思维方式，从而不断进步。
总而言之，洛必达法则的思维方法可以为我们的生活和工作带来很多的启示。
无论是从不同的角度来看待问题，跳出惯性思维，抓住巨大的机会，还是不断学习和进步，都可以让我们更好地应用洛必达法则的方法，从而拓展我们的思维模式，开拓我们的视野，探寻更广阔的未来。
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ex ex
－ +
e －x e －x
=
lim
x→ + ∞
e
x
ex + e－x
= lim 1 1 x→ + ∞
－ e －2x + e －2x
=
lxi→m0 log2 （ 1 + sinx） limesinx
=
0 1
= 0，
x→0
则
lim x→0 log2 （
esinx 1 + sinx）
=∞．
例2
求
lxi→m1 x3x－3
－ 3x x2 －
+2 ． x +1
错解
此极限是“
0 0
”型，若使用洛必达法则，则
lxi→m1 x3x－3
－ 3x x2 －
lim
x→ + ∞
ex ex
－ +
e －x e －x
=
lim （ （ x→ + ∞
ex ex
－ +
e －x） e －x）
' '
=
lim
x→ + ∞
ex ex
+ －
e －x e －x
= lim （ （ x→ + ∞
ex ex
+ －
e －x） e －x）
' '
=
lim
x→ + ∞
ex ex
－ +
e e
－ －
位，使用不恰当的情况． 本文比较全面地归纳了在使用洛必
达法则求解极限时常出现的几类问题和注意事项．
一、洛必达法则定理
定理 1
（
对
x→x0
时的“
0 0
”型未定式）
设函数
f（
x）
与
g（ x） 满足在点 x0 的附近（ 点 x0 可除外） 有定义，且
（ 1） limf（ x） = 0，limg（ x） = 0；
则陷入无限循环，无法求出极限，故不能够继续使用洛必达
法则，需使用其他方法．
正解 例4
槡 槡 lim 槡x2 +1 = lim
x→ + ∞
x
x→ + ∞
x2 + x2
1
=
lim
x→ + ∞
1
+
1 x2
= 1．
求
lim
x→ + ∞
ex ex
－ +
e e
－ －
x x
．
错解 此极限是“∞∞ ”型，若使用洛必达法则，则
（ 3）
lim f'（ x） x→x0g'（ x）
= A（ A 为实数或 ± ∞ ） ，则
lim f（ x） = lim f'（ x） = A． x→x0g（ x） x→x0g'（ x）
上述定理同样适用于 x→∞ 时的“∞∞ ”型未定式．
二、在应用洛必达法则时常出现的问题
洛必达法则虽 然 是 求 解 未 定 式 的 有 效 途 径 ，但 使 用 洛
专题研究
114
ZHUANTI YANJIU
洛必达法则应用的几点思考
◎李晨鸽 （ 天津国土资源和房屋职业学院，天津 300270）
【摘要】洛必达法则是求解极限的一种有效方法，但使 用此法则需满足一定前提条件，使用不当容易导致错误． 本 文结合一些初学 者 应 用 洛 必 达 法 则 时 常 出 现 的 问 题 ，通 过 具体实例，讨论分析在使用此法则时的注意事项，提出解决 方案．
达法则，否则会导致计算错误．
正解
lxi→m1 x3x－3
－ 3x x2 －
+ x
+
1
=
lim x→1 3
3 x2
x2 －
－3 2x －
1
= lim 6x = 3 ． x→16x － 2 2
（ 二） 盲目使用洛必达法则，陷入无限循环
例3
求
lim
x→ + ∞
槡x2
x
+1
．
错解 此极限是“∞∞ ”型，若使用洛必达法则，则
x→x0
x→x0
（ 2） f（ x） 与 g（ x） 在点 x0 的附近可导，且 g'（ x） ≠0；
（ 3）
lim f'（ x） x→x0g'（ x）
= A（ A 为实数或 ± ∞ ） ，则
lim
x→x0
f（ g（
x） x）
=
lim
x→x0
f'（ g'（
x） x）
= A．
上述定理同样适用于
x→∞
时的“
．
lim
esinx
= lim esinx ·cosx
x→0 log2 （ 1 + sinx） x→0
cosx
= ln2．
（ 1 + sinx） ·ln2
注：
此极限不是“
0 0
”型或“∞∞
”型未定式，不满足洛必
达法则使用条件，所以不能使用法则求解．
正解
lim
x→0
log2
（
1 + sinx） esinx
【关键词】洛必达法则； 未定式； 极限
洛必达法则是 高 等 数 学 中 的 重 要 内 容，是 求 解 函 数 极
限的 一 种 有 效 方 法． 学 习 过 洛 必 达 法 则 的 同 学，在 求 解
“
0 0
”和“∞∞
”型 未 定 式 极 限 问 题 的 时 候，容 易 产 生 思 维 定
式，不够灵活，盲目 使 用 洛 必 达 法 则，出 现 对 定 理 认 识 不 到
+ x
2 +
1
=
lim x→1 3
3 x2
x2 －
－3 2x －
1
=
lim 6x x→16x －
2
= lim 6 = 1． x→1 6
注： 连续多次使用洛必达法则时，每次使用法则前必须
验证“
0 0
”型或“∞∞
”型未定式条件是否成立．
lim x→1 6
6x x－
2
不
是
“
0 0
”型，不满 足 洛 必 达 法 则 使 用 条 件，不 能 继 续 使 用 洛 必
x x
．
注：
lim
x→ + ∞
ex ex
－ +
e e
－x －x
仍 是“∞∞
”型，若 继 续 使 用 洛 必 达 法
则，则陷入无限循 环，无 法 求 出 极 限，故 不 能 够 继 续 使 用 洛
必达法则，需使用其他方法． 正解 对分式进行整理，分子、分母同时除以 ex ，则 ex － e － x
lim
0 0
”型未定式．
定理 2 （ 对 x→x0 时的“∞∞ ”型未定式） 设函数 f（ x） 与
g（ x） 满足在点 x0 的附近（ 点 x0 可除外） 有定义，且
（ 1） limf（ x） = ∞ ，limg（ x） = ∞ ；
x→x0
x→x0
（ 2） f（ x） 与 g（ x） 在点 x0 的附近可导，且 g'（ x） ≠0；
lim 槡x2 + 1 = lim （ 槡x2 + 1） ' = lim x
x→ + ∞
x
x→ + ∞
x'
x→ + ∞ 槡x2 + 1
= lim
x'
= lim 槡x2 + 1．
槡 （ x→ + ∞ x2 + 1） ' x→ + ∞
x
注：
lim
x→ + ∞
槡x2
x
+ 1仍是“∞∞
”型，若继续使用洛必达法则，
必达法则是有条件限制的． 在满足条件的前提下，可反复多
次使用，但不是万 能 工 具，有 时 需 要 与 等 价 无 穷 小 替 换、重
要极限等其他方法结合，效果更佳．
（
一）
不
满
足“
0 0
”和“∞∞
”型 未 定 式 条 件，扩 大 适 用
范围 例1
错解
求
lim x→0 log2 （
esinx 1 + sinx）