高考数学模拟复习试卷试题模拟卷13540

高考模拟复习试卷试题模拟卷

【考情解读】

1.理解等比数列的概念．

2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．

3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．

4.了解等比数列与指数函数的关系． 【重点知识梳理】 1．等比数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．

数学语言表达式：an

an －1＝q(n≥2，q 为非零常数)，或an ＋1an ＝q(n ∈N*，q 为非零常数)．

2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式

(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q ，则其通项公式为an ＝a1qn －1； 通项公式的推广：an ＝amqn －m.

(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，Sn ＝na1；当q≠1时，Sn ＝a1（1－qn ） 1－q ＝a1－anq

1－q .

3．等比数列及前n 项和的性质

(1)如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项?a ，G ，b 成等比数列?G2＝ab.

(2)若{an}为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n(k ，l ，m ，n ∈N*)，则ak·al ＝am·an ．

(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak ，ak ＋m ，ak ＋2m ，…仍是等比数列，公比为qm ．

(4)当q≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，Sn ，S2n －Sn ，S3n －S2n 仍成等比数列，其公比为qn ． 【高频考点突破】

考点一 等比数列中基本量的求解

【例1】 (1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn 为其前n 项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于() A.152 B.314 C.334 D.17

2

(2)在等比数列{an}中，a4＝2，a7＝16，则an ＝________．

(3)在等比数列{an}中，a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an ＝1，则n ＝________．

【答案】(1)B(2)2n－3(3)6

规律方法等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．

【变式探究】在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和．

考点二等比数列的性质及应用

【例2】 (1)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝()

A．4 B．5 C．6 D．7

(2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若S10

S5＝

31

32，则公比q＝________．

【答案】(1)B(2)－1

2

规律方法 (1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则am·an ＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．

【变式探究】 (1)已知x ，y ，z ∈R ，若－1，x ，y ，z ，－3成等比数列，则xyz 的值为() A ．－3 B ．±3 C ．－3 3 D ．±33

(2)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于() A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．42

【答案】(1)C(2)A

考点三 等比数列的判定与证明

【例3】已知数列{an}的前n 项和为Sn ，数列{bn}中，b1＝a1，bn ＝an －an －1(n≥2)，且an ＋Sn ＝n. (1)设cn ＝an －1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{bn}的通项公式．

规律方法 证明数列{an}是等比数列常用的方法：一是定义法，证明

an

an －1

＝q(n≥2，q 为常数)；二是等比中项法，证明a2n ＝an －1·an ＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．

【变式探究】成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{bn}中的b3，b4，b5.

(1)求数列{bn}的通项公式；

(2)数列{bn}的前n 项和为Sn ，求证：数列?

???

??

Sn ＋54是等比数列．

【真题感悟】

【高考广东，文13】若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中526a =+，526c =-，则b =． 【答案】1

【高考新课标1，文13】数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n =. 【答案】6

1．（·重庆卷）对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )

A ．a1，a3，a9成等比数列

B ．a2，a3，a6成等比数列

C．a2，a4，a8成等比数列

D．a3，a6，a9，成等比数列

【答案】D

2．（·安徽卷）数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝

________.

【答案】1

3．（·广东卷）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________．

【答案】50

4．（·全国卷）等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于()

A．6 B．5

C．4 D．3

【答案】C

5．（·湖北卷）已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式．

(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn>60n＋800？若存在，求n的最小值；若

不存在，说明理由．

6．（·新课标全国卷Ⅱ）已知数列{an}满足a1＝1，an ＋1＝3an ＋1.

(1)证明?

???

??

an ＋12是等比数列，并求{an}的通项公式；

(2)证明1a1＋1a2＋…＋1an ＜3

2.

7．（·山东卷）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝(－1)n－14n

anan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.

8.（·陕西卷）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.

(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；

(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．

9．（·天津卷）设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn 为其前n 项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．

【答案】－12

10．（·天津卷）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}， 集合A ＝{x|x ＝x1＋x2q ＋…＋xnqn －1，xi ∈M ，i ＝1，2，…，n}． (1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A.

(2)设s ，t ∈A ，s ＝a1＋a2q ＋…＋anqn －1，t ＝b1＋b2q ＋…＋bnqn －1，其中ai ，bi ∈M ，i ＝1，2，…，n.证明：若an

11．（·新课标全国卷Ⅰ）若数列{an}的前n 项和Sn ＝23an ＋13，则{an}的通项公式是an ＝________． 【答案】(－2)n －1

12．（·北京卷）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an＋1，an＋2，…的最小值记为Bn，dn＝An－Bn.

(1)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，an＋4＝an)，写出d1，d2，d3，d4的值；

(2)设d是非负整数，证明：dn＝－d(n＝1，2，3，…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；

(3)证明：若a1＝2，dn＝1(n＝1，2，3，…)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.

13．（·北京卷）若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q ＝________；前n 项和Sn ＝________．

【答案】2 2n ＋1－2

14．（·江西卷）等比数列x ，3x ＋3，6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24 【答案】A

15．（·江苏卷）在正项等比数列{an}中，a5＝12，a6＋a7＝3. 则满足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an 的最大

正整数n 的值为________．

【答案】12

16．（·湖南卷） 设Sn 为数列{an}的前n 项和，Sn ＝(－1)nan －1

2n ，n ∈N*，则 (1)a3＝________；

(2)S1＋S2＋…＋S100＝________．

17．（·辽宁卷） 已知等比数列{}an 是递增数列，Sn 是{}an 的前n 项和，若a1，a3是方程x2－5x ＋4＝0的两个根，则S6＝________．

【答案】63

18．（·全国卷）已知双曲线C：x2

a2－y2

b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为 6.

(1)求a，b；

(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．

19．（·全国卷）已知数列{an}满足3an ＋1＋an ＝0，a2＝－4

3，则{an}的前10项和等于( ) A ．－6(1－3－10) B.1

9(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10) 【答案】C

20．（·陕西卷）设{an}是公比为q 的等比数列． (1)推导{an}的前n 项和公式；

(2)设q≠1，证明数列{an ＋1}不是等比数列．

21．（·四川卷）在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n 项和．

22．（·新课标全国卷Ⅱ） 等比数列{an}的前n 项和为Sn ，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－19 【答案】C

23．（·重庆卷）已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn 为其前n 项和，若a1，a2，a5成等比数

列，则S8＝________．

【答案】64

【押题专练】

1．在等比数列{an}中，an ＞0，且a1·a10＝27，log3a2＋log3a9＝ ()

A ．9

B ．6

C ．3

D ．2

【答案】C

2．记等比数列{an}的前n 项积为Ⅱn ，若a4·a5＝2，则Ⅱ8＝

()

A ．256

B ．81

C ．16

D ．1

【答案】C

3．在正项等比数列{an}中，an ＋1＜an ，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则a5a7＝ () A.56

B.65

C.23

D.32

【答案】D

4．已知等比数列{an}的前n 项和为Sn ，a4－a1＝78，S3＝39，设bn ＝log3an ，那么数列{bn}的前10项和为

()

A ．log371

B.692

C ．50

D ．55

【答案】D

5．已知数列{an}满足log3an ＋1＝log3an ＋1(n ∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log 1

3(a5＋a7＋a9)的值是 () A ．－15

B ．－5

C ．5

D.15

【答案】B

6．数列{an}中，已知对任意n ∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an ＝3n －1，则a21＋a22＋a23＋…＋a2n 等于 () A ．(3n －1)2

B.1

2(9n －1)

C ．9n －1

D.1

4(3n －1)

【答案】B

7．已知等比数列{an}的公比为q ，记bn ＝am(n －1)＋1＋am(n －1)＋2＋…＋am(n －1)＋m ，cn ＝am(n －1)＋1·am(n －1)＋2·…·am(n －1)＋m(m ，n ∈N*)，则以下结论一定正确的是

()

A ．数列{bn}为等差数列，公差为qm

B ．数列{bn}为等比数列，公比为q2m

C ．数列{cn}为等比数列，公比为qm2

D ．数列{cn}为等比数列，公比为qmm

【答案】C

8．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则a2－a1

b2的值是________．

【答案】1

2

9．设数列{an}是各项均为正数的等比数列，若a1·a2n －1＝4n ，则数列{an}的通项公式是______．

【答案】an ＝2n

10．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n 项和为Sn ，若S4＝3S2，a3＝2，则a7＝________．

【答案】8

11．已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn －an}为等比数列．

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{bn}的前n 项和．

12．已知在正项数列{an}中，a1＝2，点An(an ，an ＋1)在双曲线y2－x2＝1上，数列{bn}中，点(bn ，Tn)在直线y ＝－1

2x ＋1上，其中Tn 是数列{bn}的前n 项和．

(1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：数列{bn}是等比数列．