最大熵原理在气象学中的应用
利用最大熵（MaxEnt）模型对红豆杉潜在适生区的模拟
６ 个影响红豆杉潜在适生区的主导环境因素，分别为 ５ 月平均降水量、４ 月平均降水量、９ 月平均降水量、高程、坡
度、３ 月平均降水量，红豆杉的潜在适生区是气候与地形的共同作用结果，春季降水量、高海拔与一定的坡度区间
影响。 近数十年来，森林生态系统的稳定性受到气候
展已经成为了各国研究者高度重视的研究主题［５］ ，通
的生态平衡与保障人类的生活环境有着至关重要的
变化与人类活动的影响，植物生境的破碎化与退化现
象使得它们的繁衍与生长受到严重影响［１］ ，植物资源
的多样性遭受破坏，相关研究指出，植物生境的破坏
是 ８４．１％稀有物种面临濒危的主要原因
是影响红豆杉分布的主要因素；构建的最大熵模型的评价指标受试者工作特征曲线下面积（ ＡＵＣ） 为 ０．９３３，表明
该模型模拟结果精准，生成的红豆杉适生区结果可信；红豆杉的高适生区主要分布在鄂、陕、渝、湘、黔交界处以及
闽、浙、赣交界处，高适生区多以高海拔山区为主；高适生区与中适生区分别有 ６．２７％与 ４．８２％的面积处于自然保护区
ｐｈｐ） 。 分布数据由植物信息及空间坐标组成，并通
红豆 杉 （ Ｔａｘｕｓ ｗａｌｌｉｃｈｉａｎａ ｖａｒ． ｃｈｉｎｅｎｓｉｓ （ Ｐｉｌｇ⁃
豆杉科（ Ｔａｘａｃｅａｅ Ｇｒａｙ） 红豆杉属（ Ｔａｘｕｓ） 常绿乔木。
外，其 余 ４ 种 分 别 为 东 北 红 豆 杉 （ Ｔａｘｕｓ ｃｕｓｐｉｄａｔａ
ｔｅｄ ｗｉｔｈｉｎ ｔｈｅ ｒａｎｇｅ ｏｆ ｎａｔｕｒａｌ ｒｅｓｅｒｖｅｓ， ｗｈｅｒｅ ｔａｒｇｅｔｅｄ ｉｎ⁃ｓｉｔｕ ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎ ａｎｄ ｅｘ－ｓｉｔｕ ｃｕｌｔｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ Ｔ． ｗａｌｌｉｃｈｉａｎａ ｃａｎ ｂｅ
气象历史序列的最大熵谱分析
气象历史序列的最大熵谱分析的报告，600字
报告标题：气象历史序列的最大熵谱分析
报告内容：
本文将对气象历史序列的最大熵谱（MES）分析做一个概述。
最大熵谱分析（MES）是一种统计学分析方法，用于从气象
历史序列中提取关键信息并评估其影响。
MES可以利用测量
到的气象数据，从多个角度获得更多信息，从而更准确地判断其影响。
首先，MES依据温度、湿度、风力等气象参数，以及同一地
区观测资料的变化规律，采用时间最大熵（TME）方法计算
时间序列的熵，以的到条件熵的数值，以此来评价序列的随机性。
其次，MES通过研究气象历史序列的特定特征，如平均值、标准差、偏差等，对该序列的不同阶段的空间分布和变化规律进行检测，以判断气象变化的方向和影响范围，以及其对气候系统的影响。
最后，MES根据不同关联幅度，检测气象
序列之间的相关性，进一步获得气象序列表现出的气象特征，如极大值、极小值等，最终分析气象变化的特性和趋势。
综上所述，MES分析可以帮助我们精确分析气象历史序列，
预测气象状况，以及把握气候变化趋势，准确掌握气候变化的影响，从而采取正确的应对措施，保护我们的环境。
第五章熵原理-张学文
第五章熵原理第一、二两章我们重点是引出分布函数这个概念和它在气象领域的重要事例，这些都可以在不理会熵概念的条件下进行。
第三、四章开始引入熵概念和它在气象上的应用，但这并没有讲明自然界关于熵到底有那些客观规律。
很显然，如果仅使用人们较为陌生的“熵”作概念游戏而不引用新的原理去揭示气象现象的某些内在机理，那么我们整个工作的必要性也就值得怀疑了。
诚然在一定意义上讲，正是为了引用熵原理去解决气象问题，我们才费了那么多力量谈分布函数和熵概念。
现在就正面介绍熵原理以为下一步用它说明气象问题做准备。
什么是熵原理?一些人会说这也就是指热力学第二定律。
但是在笔者想来，熵原理似应包含比热力学第二定律更多一些的内容。
我们有这种认识的基本依据是一个世纪以来熵概念的含义有了不少扩展，因而熵的原理也应当适用于后来认识的这些“熵”。
在我看来申农把他定义的不肯定性也称为熵可能是熵认识史上继玻耳兹曼以后的最重大的贡献，但至今也应当遗憾地指出搞物理的仍主要是讲热力熵，而申农的信息熵则主要用于通迅理论和数学中。
申农通过熵概念搭起来的桥似乎过往的人并不多，这就造成了横跨热力学与信息论的熵概念究竟有没有普适的熵原理问题长期没有受到应有的理论重视。
在笔者看来，理论界不仅应当给人们一个统一的对熵的认识，而且也应当给出一个统一的可用于一切领域的熵原理。
显然，说热力学第二定律适用于天体、地理、生物体在内的任何热力过程还说得过去，可是说热力学第二定律也适用于非热力学过程就显得自相矛盾了。
所以对应用于各领域的熵概念，阐明其普遍适用的原理，在我看来是件重要而尚待完成的工作。
在这个普适的熵原理中，过去我们找到的热力学第二定律或者信息熵的规律都应当仅只是它的特例。
遗憾的是人们至今还没有完成这种综合工作。
我们在这一章中则把几个领域中似应看做熵原理的内容都做些讨论。
§1 熵增加原理上世纪中叶，继热力学第一定律之后又发现了热力学第二定律，克劳修斯对它的表述是[1]：让热量自发地从低温传向高温而不引起任何其他影响是不可能的。
最大熵原理及其应用
熵与激光刘波 200340751一、熵熵是热力学和统计物理学中的核心概念，也是物理学的基本概念之一。
熵定律（热力学第二定律）是19世纪自然科学发展所取得的伟大成果之一。
1864年，克劳修斯在《热的唯动说》一书中，首先引入了熵这个概念，用它来量度热量转化为功的本领。
我们称之为热力学熵，并用符号S 表示。
（一）熵的含义具体说来，熵具有以下的含义： 首先，熵的本义是系统的态函数，是系统演化的重要判据。
熵的物理表达式如下：⎰=T dQ S 或TdQ dS = 其中S 表示熵，Q 表示热量，T 表示温度。
即一个系统的熵等于该系统在一定过程中所吸收（或耗散）的热量除以它的绝对温度。
利用熵这个物理量，热力学第二定律可表述为熵增加原理：系统经绝热过程由初态变到终态，它的熵不减少，熵在可逆绝热过程中不变，在不可逆绝热过程中增加。
只要有热量从高温物体流向低温物体，系统的熵就增加，而这个过程是自发实现的。
只有当热量从地温物体流向高温物体，系统的熵才可能减少，而这个过程是不会自发实现的。
另外，系统达到平衡后，就没有热量传递，熵不变，过程可逆，但是实际上很难有绝对的配合。
也就是说，只要熵增加就表明系统中存在着自发的不可逆过程。
反过来说过程能不能发生？如果发生的话是否可逆？可以从熵的变化来加以判断。
正如普利高津指出的：“这样一来，熵变成了一个进化的指示器，或者象爱丁顿恰当的说的‘时间之矢’。
”其次，熵的宏观意义表征系统能量分布的均匀程度。
即：能量分布越不均匀，熵越小；能量分布越均匀，熵越大；能量分布不均匀趋向均匀，熵增加。
确实，热传导、扩散，以及各种宏观流动都是从不均匀趋向均匀的，所以熵都是增加的。
我们知道能量分布越不均匀，潜在的做功的本领越大；能量分布越均匀，潜在的做功的本领越小。
如果我们把前一种能量叫做可利用性高的能量，那么熵也就成了能量可利用性大小的一种量度。
熵增加意味着能量可利用性的降低，或者说不可利用能量的增加。
基于最大熵算法在气象雨量预测中应用研究
洪减灾和水利水 电工程建设具有重要 的意义 ， 就越发 受到人
们 的重视 。现今科 技 的不 断发展 ， 有监 测范 围大 、 具 不受 地
基金项 目： 十一五 国家科技支撑计划项 目（０ ８ Ａ Ａ Ｂ ３ ２０Ｂ Ｄ ８ ０ ）
收 稿 日期 ：０ １一 ４—１ ２１ ｏ Ｏ
针对 流域 的分布式 的， 在地 面实 际勘测 降雨 的数据 ， 先 并从
ｔｅ ａ ｃ ｒｃ ｆｒ ｉ ａｌｐ ｅ ｉｔ ｎ ａ ｇ ｒｔ ｍ ｉ ｎｆ ａ ｔ ｓ ｈｇ ｅ ｈ ｎ ｔ ｅ ｎ ｕ ａ ｅｗｏｋ ｐ ｅ ｉｔ ｎ ａｇ ｒ ｈ ，ｗ ｔ ｈ ｃ ｕ ａ ｙ ｏ ａｎ ｌ ｒ ｄ ｃｉ ｌｏ ｉ ｆ ｏ ｈ ｓｇ ｉ ｃ ｎ ｌ ｉ ｉｈ ｒｔａ ｈ ｅ ｒ ｎ ｔ ｒ ｒ ｄ ｃｉ ｏ ｉ ｍ ｉ ｙ ｌ ｏ ｌ ｔ ｉ ｈ
Ｗ ＡＮＧ ｅ ， Ｌ ｉ ＣＡＯＣｈ ｎ ａ ｇ—ｈ ｎ ２ ｏ ｇ
（ ．Ｃ ｌ ｇ ｆ ｕ ｎ ｉ １ ｏｌ ｅｏ ｍａｉｅ ｅ Ｈ ｔ ｓ＆ Ｓ ｉ ｃｓｏ ｏｔｅｓ Ｎ ｒ ａ ｌ ｉｅｓｙ ｈｎｃ ｕ ｉｎ１０ １ ，Ｃ ｉａ ｃ ｎｅ ｆ ｒ ａｔ ｏｍ ｌ￣ ｖｒｔ，Ｃ ａ ｇｈ ｎＪ ｉ ３ １７ ｈｎ ； ｅ Ｎ ｈ ［ ｎ ｉ ｌ
熵 可写为 ：
１
其中 ， 中 ｈ ｘ 为随机变 量 的熵 ， （ ） 式 （） ｐ ｘ 为 取值 的概 率
密度 ； （ 为 的某种Ⅳ ； ｇ（ ）为 ｇ（ 的数 学 期 ） 函数 Ｅ［ 】 ）
；
、 ＝ ；
，
；
望。式（ ） ２ 体现的是关于 目标变量 的已知信息 。引入拉 格
２
＝
ｒ（ ）＝Ｖ ｒｘ） ｘ０ ａ （ ＝Ｅ［ ］
第三章熵和散布
第三章熵与散布第一章咱们把统计物理中常常利用的散布函数的概念作了交待。
继之又在第二章对气象现象中观测、统计出来的散布函数的形态作了较多的介绍。
至此应当说咱们用散布函数的概念把一批气象现象作了一种较统一的综合。
它改变了提出问题的方式，也为让一个适当的理论出台来解释这些现象作好了前期准备工作。
从这一章开始咱们要进一步引用熵的概念和原理，而且把它与散布问题联系起来。
咱们想通过事例说明熵原理也是制约大气运动的一个普遍原理。
抓住这个强有力的理论会加深对气象现象的理解、丰硕气象理论园地。
这一章的中心是交待熵的概念、算法和它与散布问题的关系。
而把熵原理及其在气象学中的应用放在以后各章。
§1 熵概念沿革现今的科学被分成上千个学科，每一个学科都有自己一套专用名词，而外行人对它知之甚少。
可是在科学史上却有少数的专用名词，其知名度则远远超出孕育它诞生的那个村落。
霍顿(G．Holton)说“某些概念之所以重如果由于它们反复出此刻许多描述和定律中，而且往往波及离最初表述很远的领域内”。
大家熟悉的“能量”这个概念就具有上述特征。
此刻咱们要指出“熵”是又一个知名度日趋提高并昇华到哲学殿堂的概念。
在某些人看来熵的科学地位应当高于莎士比亚在文学中的地位。
上世纪中叶，人们在发现热力学第必然律(能量守衡定律)以后不久又在研究热机效率的理论时发此刻卡诺热机完成一个循环时，它不仅遵守能量守衡定律，而且工作物质吸收的热量Q与那时绝对温度T的比值之和(∑Q/T)为零(Q，T都不为零)。
鉴于以上物理量有这一长处，克劳修斯(R．CIausius)就把可逆进程中工作物质吸收的热与温度T之比称为entropie，与德文的能量“energie”相接近。
1923年胡刚复教授从其概念式动身为汉文另创了—个字“熵”来称号它。
日本则直用其英文的译音ェントロピ称之。
克劳修斯发现这样概念的物理量——熵还有一个重要性质，即其改变量的大小仅与研究对象的起始状态和终止状态有关，而与其经历的热力学路径无关；这也就是告知人们熵是又一个新发现的状态函数。
气候背景下林麝适宜生境的最大熵模型（MaxEnt）研究
收稿日期：2021-11-22基金项目：2018年高原与盆地暴雨旱涝灾害四川省重点实验室科技发展基金项目（省重实验室2018-重点-05-07）作者简介：赵金鹏（1988-），男，内蒙古巴彦淖尔人，工程师，硕士，主要从事应用气象与气象服务工作，（电话）************（电子信箱）****************；通信作者，姜淦（1985-），四川苍溪人，高级工程师，硕士，主要从事应用气象与气象服务工作，（电子信箱）151***************。
赵金鹏，王庆，郑程莉，等.气候背景下林麝适宜生境的最大熵模型（MaxEnt ）研究［J ］.湖北农业科学，2023，62（3）：218-223．气候背景下林麝适宜生境的最大熵模型（MaxEnt ）研究赵金鹏1，2，王庆1，2，郑程莉3，胡婧媛1，2，王茹琳1，2，姜淦1，2（1.高原与盆地暴雨旱涝灾害四川省重点实验室，成都610072；2.四川省农村经济综合信息中心，成都610072；3.四川养麝研究所，成都610072）摘要：基于公开发表的林麝（Moschus berezovskii ）在中国范围内地理分布数据和生境气候数据，利用刀切法提取影响林麝存在概率的关键气象因子，并运用MaxEnt 模型与ArcGIS 软件分析不同情景下林麝在中国的适生范围。
结果表明，最暖季降水量、最干季均温、最湿季降水量、年均温、季节性温差、最湿季均温、最暖季均温、最干季降水量8个关键气候因子对林麝的分布有重要影响；利用受试者工作特征曲线检验林麝生境范围预测模型，得出模型预测结果达到优秀水平（AUC =0.993）。
当前气候情景下，林麝生境适宜区主要分布在腾冲-漠河线以南，适宜生境面积为4.13×106km 2，占中国国土面积的43%；RCP2.6、RCP4.5和RCP8.5三种未来气候情景下，至2050s （2040—2059年）林麝高、中、低适生面积均有所减少，其中低适生面积减幅最大（达到50%）；2080s （2070—2089年）较2050s ，RCP2.6和RCP4.5情景下林麝高、中、低适生面积有所增加，RCP8.5情景下则有所减少。
从自然辩证法看热力学第二定律的发展
从自然辩证法看热力学第二定律的发展————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：ﻩ从辩证唯物主义看热力学第二定律的发展摘要:辩证唯物主义是马克思主义自然观的核心，科学领域的自然观与哲学具有天然的联系,辩证唯物主义所蕴含的哲学思想成为了诸多学科的指导思想。
本文即是从自然辩证法的观点出发，论述了所学专业热力学学科的发展以及该学科重要定律热力学第二定律的产生和所具有的哲学意义。
关键词：唯物辩证法;生产实践；热力学;热力学第二定律;熵理论一、前言自然界是一切事物的本原，是人类生存与发展的根基,而科学技术是人类认识和改造自然形成的一种推动历史发展的革命性力量,它揭示了自然事物的性质及特殊的规律和方法。
自然辩证法学科包含了自然观、科技观、方法论、科学技术与社会等领域的内容。
自然辩证法把自然科学的特殊规律和特殊方法高度概括和抽象,使得辩证唯物主义哲学与自然科学技术相互渗透、彼此结合。
自然辩证法的重要研究内容之一为马克思主义自然观。
自然观是人们通过在自然界里从事各种实践活动，逐步形成的对自然界的总的看法。
由于人类认识自然和改造自然地实践活动是一直发展变化着的,并且自然界本身也在辩证地发展变化着的，从而自然辩证法在人类不同的历史时期便形成了不同的观点。
人类历史上，最具代表性的三种自然观为朴素唯物主义自然观、机械唯物主义自然观以及辩证唯物主义自然观。
其中辩证唯物主义是马克思主义自然观的核心,是各种自然观的最高形态。
辩证唯物主义旨在对自然界的存在、演化以及人与自然的关系进行科学理解与说明，从整体上阐述自然界的存在及其演化规律。
人类对自然界的认识和改造经历了一个漫长的过程自然辩证法经历了孕育、创立和发展的过程。
在其发展的过程中，其蕴含的哲学思想成为了诸多学科的指导思想。
本文旨在通过对自然辩证法的初步认识与学习,结合自身专业——热力学，对热力学第二定律的发展及其科学意义、哲学意义等进行简单的分析与再学习。
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第六章最大熵原理在气象学中的应用上一章我们把熵原理作了简要介绍，并附带提及了它在一些领域的应用。
由于熵原理的普遍的适用性，因而认真分析它在气象上的应用潜力是十分值得的。
很显然，用熵原理说明的气象学中的问题越多，不仅越加显示熵原理的重要性，显示宇宙真理的统一性，而且也为气象学找到了新的理论武器，而这势必也提高了气象学的科学性和实用性。
在这一章我们就重点讨论最大熵原理怎样应用于各种气象问题之中，以及由此得出的结果。
把最大熵原理用于说明气象现象大致包含如下步骤：◆首先把气象问题归结为某种分布函数(这在第二章已列出约30个分布函数的个例)。
◆找出形成上述分布函数的物理(气象)过程中有哪些重要的约束条件。
◆从物理(气象)过程含有随机性引出对应的熵达到极大值(即随机性导致最混乱)。
◆进行数学处理，从熵理论导出分布函数。
◆用实际资料验证理论结果(如不符，可再重复上述过程)。
后边的介绍就是把上述步骤分别用于各个具体的气象分布问题中，并从中逐步加深对最大熵原理的认识。
另外，从70年代以来Paltridge[1]等人从热力学熵平衡角度研究地球纬圈上的气温分布的工作，也应属于试着用熵原理的一种事例。
这个工作中尽管在原理上尚有不清楚之处，但其结果与实况的一致性和引用极值原理都是很有意义的。
鉴于汤懋苍[2]近年对此已有介绍，我们这里就不再评述了。
顺便指出，早在上世纪，从力学中发展起来的最小作用原理就从力学领域体现了自然界遵守某种极值原理的精神。
在气象界，罗伦茨[3]在60年代就设想大气也应当遵守某种极值原理。
而我们指出有一些气象分布函数可以从熵达极大的角度推导出来，这可以看成是罗伦茨思想从统计角度(非决定论角度)的具体体现。
所以，最大熵原理在气象学中的应用不仅应看作是随机论(非决定论)的胜利，也应当看成广义的极值原理的胜利。
§1 大气的温度场和气压场从最大熵原理出发，很容易说明大气中的温度场和气压场的分布。
在第二章第4节我们已经论证了大气的温度场和气压场的分布。
对气压场，我们从简单的分析得出它应是均匀分布，对温度场则从平均图上得出其分布也是均匀分布。
这就是说，如果从大气中纯随机地抽取一个空气样品，则其气压(气温)为各种可能值的出现概率都是相等的，或者说各种可能的气压(温度)占有的大气质量是一样的。
图2．5 就是其代表。
大气温度为什么恰为均匀分布(它竟然遵守如此简单的分布，确实有些出人意料！）?形成现今温度分布的原因当然是太阳辐射和大气的对外辐射，这使我们想到如图6．1的极简单的模型。
图的左侧有一高温的恒定热源，其温度为T1，左侧有一低温的恒定热汇，其温度为T0。
介质处于T1和T0两个温度之间，它的温度在各处不会都是T1或T0，从而构成了一个温度场。
如果介质仅能从左右两端吞吐热量而其他界面与外界绝缘，那么介质中的温度场理应会形成如图所示的等温线呈均匀分布之形状。
此时介质上的温度分布函数应为均匀分布，对此我们也可以从解热传导方程中得出来。
图6．1 恒温热源(T1)热汇(To)之间的介质中的温度场从熵原理角度可以这么想：约束介质的温度场的条件十分简单，它不能高于T1，，不能低于T0，此外再找不出其他约束，而依最大熵原理，温度在介质中随机性最大的分布(熵极大)此时应为均匀分布(参见第五章第2节)。
在第二章第4节已经从资料中证实全球大气的温度为均匀分布，这里又从熵原理对此作了说明，而6．1图进一步启示我们可以把大气看成图中的介质。
换言之，尽管天文上告诉人们大气受的日光有日变化、尽管太阳对地球是不均匀加热、尽管大气无时不在流动、尽管热量除了从赤道传向两极之外还有垂直传送……，可是这些复杂因素作用下形成的温度场竟然简单到与图6．1的物理过程相似，从而形成了温度的均匀分布，这确实出人意料——谁能想到结局会如此简单！那么如何理解气压也遵守均匀分布呢?均匀分布中要求有限定的上下限。
就气压而言，它不可能出现负值，因而≥0，可以看成是对气压下限值的约束。
另外，如果也像动力气象中那样，承认空气给地面的压力与大气质量受的地心引力基本相等，这就又决定了(一级近似)大气压力的上限。
除上述约束外，承认大气中每个空气微团的压力有最大的随机性(熵最大)，就会导出大气压力应在0-1013hPa之间呈均匀分布的结论，这样就沿着熵原理引出了气压的均匀分布。
§2 雨量在面积上的分布用熵原理分析降水现象，在笔者看来是十分方便又富有成效的。
这里十分重要的一个步骤就是设法把问题首先转化成分布函数问题，再依本章开头介绍的思路往下分析。
降水在面积上的分布就是一个很有说服力的事例。
在过去，气象、水文工作者分析过大量的降水量在地域上的分布图--在地图上分析一场(或6小时，一天、…)雨的雨量等值线，而有了分布函数概念后，就可以从每一张雨量图上归纳出一个不同雨量各占有多少面积的关系来。
这实际上把一个二元函数(地理经纬度两个自变量和雨深这个函数值)简化成一个一元函数了(雨深是自变量，占的面积为函数值)。
这种简化使我们丧失了一些信息(不知道每个几何位置下了多少雨了)，但是正如第二章第7节揭示的：在统计的近100场大暴雨中(其位置、雨量、成因都差别很大)，其相对分布函数的形状竟然都是相同的。
为什么从地理分布各异的雨量图简化出来的分布函数竟然都相同?其物理背景是什么?在上一章介绍统计力学思路时我们举的正是这个例子，所以可以说在那里已经从统计力学的状态数W达最大出现机会最大的角度引出了降水量在面积上呈负指数分布的结论。
这已经对现象作了物理说明，如果改用熵的原理来说明此事可能更易于讲明白。
对于降水在面积上的分布中的约束条件是易找出来的。
首先可以想到在降水区域内的任何一个位置上，其雨量r 的值仅能大于零（有时在雨量图上人们仅关心雨量比零还大一些的降水量的分布)；再一点就是认为在当时的天气学、动力学条件下，天气系统能降下来的总雨量V和总面积A都是给定值。
而V和A的给定意味着这场降水的平均雨量V ／A是给定值(不是无限大)。
．如果约束仅只是这些，并认为这些雨水以最任意(随机、混乱)的方式洒向地面，则雨量在面积上的分布函数就应当是在这些约束下恰使熵达到极大。
从第五章已作的推证看，这恰好对应于负指数型的分布函数，这个分析过程可以从表6.1中看的更清楚些。
在第二章第7节业已指出，从中国各地的86场暴雨的雨量面积数据的分析中证实，雨量r与其占有的面积的对数值有良好的线性关系。
86场降水中有85场的线性相关系数通过了信度为0．05的显著性检验。
水为r i→r i+Δr占有的面积应当是Af(r i)Δr。
把f(r)的负指数分布代入可得)ex p()(000r r r ri i r r r A r r Af ----∆=∆ 令A i 代表r i →r i +Δr 占有的面积A f (r i ) Δr ，则对上式取对数后会有000ln ln r r r r r r r A A i i ----∆= (6.1)上式中真正的变量是降水r i 和其占有的面积A i ，其他的量对于每场降水而言都是常数(Δr 是由人选定的参数)。
所以 (6.1)式表明面积A i 的对数值(1n A i )与降水值r i 是线性关系。
这就是说，分布函数为指数型，那么In A i 与(r i )应为直线关系。
如果实测资料证实它们为线性关系，也就证实了分布函数确实属于负指数分布了。
第二章第7节已讲过，对不同天气类型的降水过程的总雨量，上述线性关系都很好，这样从理论与实践两方面得到的结论就互相印证了(统计力学思路也得出同一结论)。
图6.2是面积的对数值ln A i 与其对应的雨量r i 的线性关系的示例。
图6．2 雨量r与其占有的面积A的对数为线性关系的示例(河南1975年8月5—7日暴雨)以上讨论的雨量与面积的关系，都是针对着同一场降水过程而言的。
验证时哪些降水才属于同一场降水不是我们定的，而是由有关总结、分析人员分别选定的。
那么几个降水过程合计起来的总降水量的面积分布是否也遵守这个关系呢?我们初步认为此时的约束条件会复杂化，从而不宜用此分布函数。
看来这是值得进一步研究的问题。
反之，如果不是几个降水过程的雨量而仅是某一瞬时的降水量(如一小时、六小时、一天)的分布，它是否也应符合这种关系(也是负指数分布)呢?对此我们曾经用詹道江译成中文的世界气象组织出版的《Manual for Estimation of Probable Maximum Precipitation，1973》一书中提供的资料，计算了美国实测的大暴雨过程中的6、12、…、72小时的雨量与面积的关系，发现它们也服从负指数关系。
看来一场降水过程内部的给定时段的雨量，面积关系也能用负指数关系来描述。
在上节讨论大气温度场、气压场时，我们是把地球大气总体视为一个闭合系统。
大气运动的任意性导致与温度场、气压场对应的熵达到极大值，针对着对应的约束我们求得了均匀分布。
而在本节我们面对的不是地球大气总体了，这里面对的系统实际上是地球上的一个移动着的降水天气系统所形成的降水，这里的熵实际上仅只表示着雨量在地域分配上的混乱程度。
以上对比使我们看到，熵原理可以适用于大小不等的特定系统。
看来恰当地选定适宜的系统，进而分析其熵是很重要的。
以上两节的讨论中我们都没有具体计算熵极大时的熵值究竟是多少，这并不是因为很难计算，而是由于我们的目的不是求熵是多少，而是找出熵极大时对应的分布函数是什么。
而一旦找出分布函数，也就认为达到了目的。
§3 降水现象中的指数簇我们把降水问题中的很多分布函数都呈负指数分布的现象简称为降水现象中的指数簇。
在上一节曾就降水的面积分布作了较深入的讨论，而现在我们要扩大如上思路进而分析降水过程的其他分布函数。
这就使人们看到降水问题中的负指数关系确实很多，它们构成了一个指数簇。
3.1 降水元的线径分布大气中凝结的水汽变成降水而降下来时，它们都是以颗粒为单元一个个地掉下的，最常见的是雨滴，还有一片片的雪花、一粒粒的霰和一个个的冰雹……。
我们不妨把这些可以清楚地区分成一个个的降水元量统称为降水元。
观测表明，尽管降水元的变化十分复杂，但是在一级近似下，可以认为各种降水过程的各种降水元的线径大小都服从指数分布。
所谓线径，指的就是雨滴的半径(或直径)，而降水元为雪花、霰粒、冰雹……时，指的是它们融成水以后折合成的球体半径(直径)。
线径分布指的是在某次降水过程中，在降水元组成的总体(集合)中线径大小不等的降水元各占多少，它们都是分布函数的特例。
在第二章第1节，实际上已经指出上述分布(不含云滴)都以指数分布为主要特征，因而可以在一级近似下说它们都服从指数分布律。
3.2 降水强度的时间分布分布函数除了可以描述某变量取不同数值时各占有多少个数、面积、质量而外，也可用以描述变量取不同数值时各占了多少时间。