西藏自治区林芝市第二高级中学2020-2021学年高二上学期期末数学(理)试题

西藏自治区林芝市第二高级中学2020-2021学年高二上学期

期末数学（理）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合{}2,3,4,6A =，{}1,2,3,4,5B =，则A

B =（） A ．{}1,2,3,4 B ．{}1,2,3

C ．{}2,3

D ．{}2,3,4 2．已知i 为虚数单位，复数21i z =

+，则||z =（ ）

A B ．2 C D ．3．命题“,sin 10x R x ?∈+≥”的否定是（ ）

A ．00,sin 10x R x ?∈+<

B ．,sin 10x R x ?∈+<

C ．00,sin 10x R x ?∈+≥

D ．,sin 10x R x ?∈+≤ 4．下列不等式成立的是( )

A ．若22a b >，则a b >

B ．若a b >，则22a b >

C ．若a b >，则22ac bc >

D ．若22ac bc >，则a b >

5．等比数列{}n a 中，1

41,8.a a 则n a =（ ）． A ．12n - B ．2n

C ．12n +

D ．22n + 6．函数2(21)y x =+的导数为（）

A ．21y x '=+

B ．2(21)y x ='+

C ．3(21)y x ='+

D ．4(21)y x ='+ 7．设向量(1,3)a =-，(5,4)b =-，则3a b -=（）

A ．(8,5)-

B ．(2,5)

C ．(2,13)

D ．(2,8)-

8．已知椭圆22

110036

x y +=上的一点P 到左焦点1F 的距离为6，则点P 到右焦点2F 的距离为（ ）

A ．4

B ．6

C ．7

D ．14

9．若x ，y 满足约束条件1020220x y x y +??-??--?

，则x y +的最大值是（ ）

A ．-5

B ．1

C ．2

D ．4

10．点()00,P x y 是抛物线C ：28y x =上一点，若P 到C 的焦点的距离为8，则（） A ．08x =

B ．08y =

C ．06x =

D ．06y =

11．在等差数列{}n a 中，m a n =，n a m =（m 、n *∈N ），则m n a +的值为（ ） A ．m n + B ．()12m n + C ．()12m n - D ．0

12．已知动点M

的坐标满足方程12512x y =+-，则动点M 的轨迹为（ ） A ．抛物线

B ．双曲线

C ．椭圆

D ．以上都不对

二、填空题

13．复数2i i

-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于第______象限． 14．一个等差数列的第4项为12，第8项为4，则此数列的第12项为______.

15．在ABC 中，若30A =?，120B =?，12b =，则a =______.

16．已知函数2()2f x x x =+，则函数()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为________.

三、解答题

17．已知等差数列{}n a 中，且3-1a =， 67a =-．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}n a 前n 项和21n S =-，求n 的值．

18．设 ABC ? 的内角 ,A ,B C 的对边分别为 ,a ,b ,c 已知

()cos sin b a C C =- ．

（1）求角 A ；

（2）若

a =，

sin B C =

，求 ABC ? 的面积．

19．求下列函数的导函数

（1）()3224f x x x =-+ （2）()()321103

f x x x ax a =-++> （3） ()cos ,(0,1)f x x x x =+∈ （4）2()3ln f x x x x =-+-

（5） sin3y x = （6）11

x y x +=- 20．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=?，

12

PD AD AB ==，PD ⊥底面ABCD ．

()1证明：PA BD ⊥；

()2求平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小．

21．设数列{}n a 是公差大于0的等差数列，35,a a 分别是方程214450x x -+=的两个实根

（1）求数列{}n a 的通项公式

（2）设112n n n a b ++=

，求数列n b 的前n 项和n T 22．

已知椭圆C 的两焦点分别为()()

12F F -、，长轴长为6．

⑴求椭圆C 的标准方程; ⑵已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C 于A 、B 两点,求线段AB 的长度．

参考答案

1．D

【解析】

【分析】

直接利用交集的定义计算即可.

【详解】

因为{}2,3,4,6A =，{}1,2,3,4,5B =，所以{}2,3,4A

B =. 故选:D.

【点睛】

本题考查了集合交集的计算，属于基础题.

2．A

【分析】 对复数21z i =

+进行化简计算，然后根据复数的模长公式，得到答案. 【详解】 复数()()()

2121111i z i i i i -===-++-，

∴z =，

故选A ．

【点睛】

本题考查复数的运算，求复数的模长，属于简单题.

3．A

【分析】

利用全称命题的否定方法求解，改变量词，否定结论.

【详解】

因为,sin 10x R x ?∈+≥的否定为00,sin 10x R x ?∈+<，

所以选A.

【点睛】

本题主要考查含有量词的命题的否定，一般处理策略是：先改变量词，然后否定结论. 4．D

【解析】

【分析】

通过举反例进行排除，可排除A ，B ，C ，根据不等式的性质即可确定答案为D.

【详解】

对于A ，当1a =-，0b =时，则不等式不成立，

对于B ，当1a =，1b =-时，则不等式不成立，

对于C ，当0c 时，则不等式不成立，

对于D ，根据不等式的基本性质可知D 正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查了不等式的基本性质，利用排除法是常用的手段，属基础题.

5．A

【分析】

直接利用等比数列公式计算得到答案.

【详解】

等比数列{}n a 中，31

411,82a a a q q ，12n n a 故选：A

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题型.

6．D

【分析】

先根据完全平方公式对2(21)y x =+展开，再运用常见初等函数的求导公式和求导运算法则可求解.

【详解】

因为22(21)441y x x x =+=++,

则函数的导函数()()'

244184421y x x x x '=++=+=+,

故选D .

【点睛】

本题主要考查导数的计算,要求熟练掌握常见初等函数的求导公式,属于基础题.

7．B

【分析】

直接利用向量的坐标进行运算即可.

【详解】

由(1,3)a =-，(5,4)b =-，

可得：3(3,9)(5,4)(2,5)a b -=---=.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础题.

8．D

【分析】

根据椭圆的定义可直接求得结果.

【详解】

由椭圆方程可知：10a = 由椭圆定义知：122PF PF a +=，即21220614PF

a PF =-=-= 本题正确选项：D

【点睛】

本题考查利用椭圆的定义求解焦半径的问题，属于基础题.

9．D

【分析】

画出可行域，向上平移基准直线0x y +=到可行域边界位置，由此求得目标函数的最大值.

【详解】

画出可行域如下图所示，向上平移基准直线0x y +=到可行域边界()2,2B 的位置，由此求得目标函数的最大值为224+=.

故选：D.

【点睛】

本小题主要考查线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 10．C

【分析】

根据抛物线的定义，P 到C 的焦点的距离等于P 到抛物线准线的距离，列式求解。

【详解】 解：028PF x =+=，则06x =.

故选：C

【点睛】

本题考查抛物线22y px =的定义以及焦半径公式02

p PF x =+，是基础题。 11．D

【分析】

由等差数列可得()m n a a m n d n m -=-=-,即1d =-,代入()m n m a a n m m d +=++-中即可

【详解】

由题, ()m n a a m n d n m -=-=-,1d ∴=-

∴()()10m n m a a n m m d n nd n n +=++-=+=+?-=

【点睛】

本题考查等差数列的公差,考查等差数列的项,等差数列的通项公式也可记为

()n m a a n m d =+-

12．A

【分析】

1251213x y +-，利用抛物线的定义，即可得到答案. 【详解】

由题意，动点M 的坐标满足方程12512x y =+-，

12512

13x y +-=，

可得上式表示动点(,)M x y 到定点(0,0)的距离与到定直线125120x y +-=的距离相等，且定点不在定直线上，

结合抛物线的定义可知：动点M 轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线. 故选A.

【点睛】

本题主要考查了抛物线的定义及其应用，其中解答中把方程12512x y +-变形

12512

13x y +-=，结合抛物线的定义求解是解答的关键，着重考查了分析问题和

解答问题的能力，属于基础题.

13．三

【分析】

分子分母同乘i ,把该复数化简为a bi + 的形式，它在复平面内对应的点的坐标为(),a b ，由此可以判断该点所在象限．

【详解】

2

2(2)(21)12i i i i i i i --==-+=--，对应点的坐标为(-1,-2)，位于第三象限， 故答案为三

【点睛】

本题考查复数的化简，复数在复平面内对应的点的坐标，是基础题．

【解析】

【分析】

利用等差数列的下标和性质可得41282a a a +=，从而可得答案.

【详解】

记等差数列为{}n a ，由已知可得4812,4a a ==.

由等差数列的下标和性质可得41282a a a +=，

所以1284224124a a a =-=?-=-.

故答案为：4-.

【点睛】

等差数列{}n a 中，若p q s t +=+，则p q s t a a a a +=+.特别地，若2p q t +=，则2p q t a a a +=.解题时要善于发现等差数列各项的下标具有的关系.

15

．【分析】

根据正弦定理，可直接得出结果.

【详解】

因为在ABC 中，30A =?，120B =?，12b =， 由正弦定理可得：sin sin a b A B =

，所以112sin sin ?===b A a B

故答案为【点睛】

本题主要考查解三角形，熟记正弦定理即可，属于基础题型.

16．410x y --=，

【分析】

先对函数求导，根据题意求出切线斜率，进而可得切线方程.

【详解】

因为2()2f x x x =+，所以()22f x x '=+，

所以函数()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线斜率为(1)4k f '==，

又2(1)123=+=f ，

因此，函数()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为34(1)-=-y x ，

即410x y --=.

故答案为410x y --=

【点睛】

本题主要考查函数在某点处的切线方程，熟记导数的几何意义即可，属于基础题型. 17．（1）25n a n =-+（2）7n =

【解析】

试题分析：等差数列中五个基本量知三求二，要根据通项公式及前n 项和公式运用方程思想，通过解方程组的方法求相关量.

试题解析：（1）设{}n a 的公差为d ，由已知条件解出13a =， 7(1)263d ---=

=--． 所以()1125n a a n d n =+-=-+．

（2）由（1）知()

21142n n n S na d n n -=+=-+．由21n S =-可得2421n n -+=-，

即24210n n --=，解得7n =或3n =-，又*n N ∈，故7n =．

18．（1）34A π=

（2）1sin 12

ABC

S bc A ?== 【分析】

（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果．（2）利用（1）的结论，余弦定理及三角形的面积公式求出结果．

【详解】

（1）∵b=a （cosC ﹣sinC ），

∴由正弦定理得sinB=sinAcosC ﹣sinAsinC ，

可得sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC ﹣sinAsinC ，

∴cosAsinC=﹣sinAsinC ，

由sinC≠0，得sinA+cosA=0，

∴tanA=﹣1，

由A 为三角形内角， 可得34

A π=．

（2）因为sin B C =，

所以由正弦定理可得，

因为a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，34A π=

，

可得，所以b=2， 所以1sin 12ABC S bc A ?=

=． 【点睛】

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用．

19．(1)2()68f x x x '=-+ ;

(2)2()2(0)f x x x a a '=-+>;

(3)()1sin ,(0,1)f x x x '=-∈ (4)1()23,0f x x x x '=-+-

> ; (5)3cos3y x '=; (6)2

2(1)y x '=-

-. 【分析】

分别对6个函数利用导数的公式以及运算法则可求得.

【详解】

(1)2()68f x x x '=-+ ;

(2)2()2(0)f x x x a a '=-+>;

(3)()1sin ,(0,1)f x x x '=-∈ (4)1()23,0f x x x x '=-+-

> ; (5)3cos3y x '=; (6)22

1(1)2(1)(1)x x y x x --+'==---. 【点睛】

本题考查了导数公式以及导数的运算法则,注意导函数的定义域,属于基础题.

20．()1证明见解析；()260?.

【分析】

()

1由余弦定理得BD = ，从而BD AD ⊥，由PD ⊥底面ABCD ，得PD BD ⊥，从而BD ⊥平面PAD ，由此能证明PA BD ⊥;

()2以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -，利用向量法能法出平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小．

【详解】

解：()1证明：60DAB ∠=?，2AB AD =，

由余弦定理得BD =，从而222BD AD AB +=，

∴BD AD ⊥，

又PD ⊥底面ABCD ，可得PD BD ⊥，

=,PD AD D PD ?平面PAD ，AD ?平面PAD

所以BD ⊥平面PAD ，又PA ?平面PAD ，

∴PA BD ⊥.

()2如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -，

则()B

，()C -，()0,0,1P

()AB =-

，()1PB =-，()1,0,0BC =-，

平面PAD 的一个法向量为()0,1,0n =，设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =， 则3m PB y z m BC x ??=-???=

-??，取0x =，1y =，得(=m ， ∴1cos ,2n m

n m n m ?==?， 故平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小为60?. 【点睛】

本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

21．（1）21n a n =- ；（2）11

12()()22

n n n T n -=--? 【分析】

（1）由a 3，a 5分别是方程x 2﹣14x +45＝0的两个实根，及d ＞0可求a 3，a 5，从而可求公差

d ，进而可求通项公式；（2）由（1）可得，12122n

n n n b n +??== ???

，结合数列的特点，利用错位相减求解数列的和．

【详解】

解：（1）∵a 3，a 5分别是方程x 2﹣14x +45＝0的两个实根，d ＞0

∴a 3＜a 5 ∴()()3*55523219

n a a n n n N a =?=+-=-∈?=?

（2）由（1）可得，b n 121()22

n n n n +==

231111232222n n T n ??????=+?+?++? ? ? ?????

?? ∴()231111112122222n n n T n n +????????=+?++-?+? ? ? ? ?????????

两式相减可得，21111[1)1

1111122()()122222212

n n n n n T n n ++??- ???????=+++-?=-? ? ????

?- ∴1112()

()22

n n n T n -=--? 【点睛】 本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，若一个数列的通项公式是由等差数列与等比数列的积构成的，一般利用错位相减求和．

22．（1）

22191x y +=；（2）

5

【分析】

(1)由焦点坐标可求c 值，a 值，然后可求出b 的值．进而求出椭圆C 的标准方程． （2）先求出直线方程然后与椭圆方程联立利用韦达定理及弦长公式求出|AB|的长度．

【详解】

解：⑴由()()

12F F -、，长轴长为6

得：3c a ==所以1b = ∴椭圆方程为22

191

x y += ⑵设1122(,),(,)A x y B x y ,由⑴可知椭圆方程为22

191

x y +=①, ∵直线AB 的方程为2y x =+②

把②代入①得化简并整理得21036270x x ++=

所以12121827,510

x x x x +=-=

又

AB==

5

【点睛】

本题考查椭圆的方程和性质，考查韦达定理及弦长公式的应用，考查运算能力，属于中档题．