模糊数学-模糊集的基本运算
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补充知识-模糊推理
δmatch(E,E’)=min{δmatch(A1,A’1),δmatch(A2,A’2), δmatch(A3,A’3)} δmatch(E,E’)=δmatch(A1,A’1)×δmatch(A2,A’2)×δmatch(A3,A’3)
(3) 检查总匹配度是否满足阈值条件，如果满足就可以匹配，否则为不可匹 配。
贴近度： A∙B=(0.3∧0.2)∨(0.4∧0.5)∨(0.6∧0.6)∨(0.8∧0.7)=0.7 A⊙B=(0.3∨0.2)∧(0.4∨0.5)∧(0.6∨0.6)∧(0.8∨0.7)=0.3 (A,B)=1/2[A∙B+(1-A⊙B)]=1/2[0.7+(1-0.3)]=0.7
海明距离： d(A,B)=1/4×(|0.3-0.2|+|0.4-0.5|+|0.6-0.6|+|0.8-0.7|)=0.075 (A,B)=1-d(A,B)=1-0.075=0.925
1 (1 A (u ) B (v)) /(u, v)
IF
x is A
THEN y is B
对于模糊假言推理，若已知证据为 x is A’ 则：
B’m=A’◦Rm B’a=A’◦Ra
对于模糊拒取式推理，若已知证据为 y is B’ 则：
A’m=Rm◦B’ A’a=Ra◦B’
扎德法推理举例
构造模糊关系R的方法
扎德方法、Mamdani方法(自学）、 Mizumoto方法(自学） • 扎德提出了两种方法：一种称为条件命题的极大极小规则；另一种称 为条件命题的算术规则，由它们获得的模糊关系分别记为Rm和Ra。 设A∈(U), B∈(V)，其表示分别为
A A (u ) / u , B B (u ) / u
(3) 检查总匹配度是否满足阈值条件，如果满足就可以匹配，否则为不可匹 配。
贴近度： A∙B=(0.3∧0.2)∨(0.4∧0.5)∨(0.6∧0.6)∨(0.8∧0.7)=0.7 A⊙B=(0.3∨0.2)∧(0.4∨0.5)∧(0.6∨0.6)∧(0.8∨0.7)=0.3 (A,B)=1/2[A∙B+(1-A⊙B)]=1/2[0.7+(1-0.3)]=0.7
海明距离： d(A,B)=1/4×(|0.3-0.2|+|0.4-0.5|+|0.6-0.6|+|0.8-0.7|)=0.075 (A,B)=1-d(A,B)=1-0.075=0.925
1 (1 A (u ) B (v)) /(u, v)
IF
x is A
THEN y is B
对于模糊假言推理，若已知证据为 x is A’ 则：
B’m=A’◦Rm B’a=A’◦Ra
对于模糊拒取式推理，若已知证据为 y is B’ 则：
A’m=Rm◦B’ A’a=Ra◦B’
扎德法推理举例
构造模糊关系R的方法
扎德方法、Mamdani方法(自学）、 Mizumoto方法(自学） • 扎德提出了两种方法：一种称为条件命题的极大极小规则；另一种称 为条件命题的算术规则，由它们获得的模糊关系分别记为Rm和Ra。 设A∈(U), B∈(V)，其表示分别为
A A (u ) / u , B B (u ) / u
模糊数学-模糊数学基本知识
隶属函数参数化
1. 三角形隶属函数
0
trig ( x;
a,
b,
c)
x a ba
cx
cb
0
xa a xb b xc
cx
trig(x; a,b, c) max(min( x a , c x), 0) ba cb
参数a,b,c确定了三角形MF三个顶点的x坐标。
2. 梯形隶属函数
0
xa
trap(x, a, b, c, d )
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
❖ (2)模糊子集运算的基本性质
模糊集合间的并、交、补（余）运算 具有如下的性质.
1)幂等律 A~ A~ A~, A~ A~ A~
2)交换律 A~ B~ B~ A~; A~ B~ B~ A~
3)结合律 ( A~ B~) C~ A~ (B~ C~),
论域U上的模糊集A由隶属函数uA来表征， uA的大小反映了x对于模糊子集的从属程度。 模糊子集完全由隶属函数来描述。
❖ 模糊子集的表示方法 （1）向量法
（2）查德表示法 有限集 无限集
模糊集举例 例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则 AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
经典集合论的例子： 设U={ 红桃，方块，黑桃，梅花 }
V={ A，1，2，3，4，5，6，7，8，9， 10，J, Q, K } 求U×V
解： U×V＝{ (红桃，A)，（红 桃, 2），……，（
梅花, K） }
35
模糊关系论例子： 设有一组学生U:
U={ 张三，李四，王五 } 他们对球类运动V:
( A~ B~) C~ A~ (B~ C~).
CH1-1~2模糊集的概念及其运算
超越它，精确性和有意义性就变成两个相互排斥的特性。” 扎德
11
例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长
头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”. 尽管这里只提供了一个精确信息------男人，而其他
信息------大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、
中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念
经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人.
12
三、研究方向及应用
理论上的研究方向
1、发展模糊集的理论和方法，建立 自身的理论体系； 2、将各个经典数学分支进行模糊化； 3、应用上将fuzzy集方法打入各个 学科专业领域。
模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的 各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质 勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛 而又成功的应用.
22
到了20世纪90年代初, 市场上已经出现了大量 的模糊消费产品。在日本出现了“模糊”热, 家电产品中, 不带Fuzzy的产品几乎无人购买。 空调器、电冰箱、洗衣机、洗碗机等家用电器 中已广泛采用了模糊控制技术。我国也于20世 纪90年代初在杭州生产了第一台模糊洗衣机。 模糊数学于1976年传入我国后, 得到迅速发展。 1980年成立了模糊数学与模糊系统学会, 1981 年创办《模糊数学》(华中工学院)杂志, 1987 年创办《模糊系统学会》(国防科技大学)。中 国被公认为模糊数学研究的四大中心 (美国、 欧洲、日本、中国) 之一。
13
四、模糊数学发展历程
1. 模糊理论的萌芽(20世纪60年代) 对模糊性的讨论, 可以追溯得很早。20世纪的 大 哲 学 家 罗 素 (B.Russel) 在 1923 年 一 篇 题 为 《含糊性》(Vagueness) 的论文里专门论述过 我们今天称之为“模糊性”的问题(严格地说, 两者稍有区别), 并且明确指出: “认为模糊知 识必定是靠不住的, 这种看法是大错特错的。” 尽管罗素声名显赫, 但这篇发表在南半球哲学 杂志的文章并未引起当时学术界对模糊性或含 糊性的很大兴趣。这并非是问题不重要, 也不 是因为文章写得不深刻, 而是“时候未到”。
模糊数学
2014年2月26日
1
第一章 F集合
二、F集的运算
2、模糊集的运算 定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义
相等： A = B ⇔ A( x) = B( x),∀x ∈ U 包含： A ⊂ B ⇔ A( x) ≤ B( x),∀x ∈ U
并： (A∪ B)(x) = A(x) ∨ B(x),∀x∈U ∨表示取大；
ห้องสมุดไป่ตู้
A(u) • B(u) 为普通实数乘法。
4) 其余模糊算子
Einstein: Hamacher:
+•
(ε ,ε )
+•
(r, r)
Yager:
(Y , λ) aa
2014年2月26日
21
第一章 F集合
三、模糊算子
2、范数 T范数： 设映射 T:[0,1]2→[0,1]，如果 ∀a,b,c∈[0,1],满足如
第二章 F集合
二、F集的运算
1、F集的二元关系 1)若∀u∈U，B(u)≤A(u)，则称A包含B，记为A⊆B； 2)若A⊆B，且B⊆A，则称A与B相等,记作：A=B.
包含关系“⊆”是模糊幂集F(U)上的二元关系。
“⊆”具有如下性质： 1）自反性：∀A∈ℑ(U )，有A ⊆A； 2）反对称关系：若A⊆B，B⊆A,则 A=B； 3）传递性：若A⊆B,B⊆C，则A⊆C。 故：(ℑ(U ),⊆)是偏序集。
3
第一章 F集合
二、F集的运算
特别地，当U＝{u1,u2,…,un}时，令：
n
n
∑ ∑ A = A(ui ) / ui B = B(ui ) / ui
i =1
i =1
则：
∑ A ∪ B = n A(ui ) ∨ B(ui )
数学建模-模糊数学
取论域U={全岛刮胡子的人}，
集合A={不给自己刮胡子的人}，用特征函数刻画为
A
(某人 )
1, 0,
某人不给自己刮胡子 某人给自己刮胡子
问题：显然理发师 U ，那么理发师是否属于A？
模糊集合及其运算
二、模糊集合及其运算 美国控制论专家Zadeh教授正视了经典集合描述的
“非此即彼”的清晰现象，提示了现实生活中的绝大多数 概念并非都是“非此即彼”那么简单，而概念的差异常以 中介过渡的形式出现，表现为“亦此亦彼”的模糊现象。 基于此，1965年， Zadeh教授在《Information and Control》杂志上发表了一篇开创性论文“Fuzzy Sets”, 标志着模糊数学的诞生。
1 0.4 0.8 0.5 0.5 0.4 1 0.4 0.4 0.4
R 0.8 0.4 1 0.5 0.5
0.5 0.4 0.5 1 0.6
0.5 0.4 0.5 0.6 1
当 1时，分类为{ x1},{ x2 },{ x3 },{ x4 },{ x5 };
模糊聚类分析
例：设有模糊相似矩阵
1 0.1 0.2 R 0.1 1 0.3
0.2 0.3 1
1 0.2 0.2
R
R
0.2
1
0.3
R2
0.2 0.3 1
R2
R2
1 0.2
0.2 1
0.2 0.3
R2
t ( R).
在实际问题中，不同的数据一般有不同 的量纲，为了使有不同量纲的量能进行比较， 需要将数据规格化，常用的方法有：
模糊数学1第二讲-模糊集合与模糊关系
模糊数学1第二讲-模糊集合与模 糊关系
目录
• 引言 • 模糊集合的基本概念 • 模糊关系的定义和性质 • 模糊关系的应用 • 结论
01 引言
主题简介
模糊集合
模糊集合是传统集合的扩展，允许元 素具有不明确的隶属度。它能够更好 地描述现实世界中许多事物的模糊性 和不确定性。
模糊关系
模糊关系是描述模糊元素之间关联的 方式，可以用于描述事物之间的不确 定性和相似性。
3
模糊关系具有自反性，即任意一个模糊集合都与 自身有完全的关联。
模糊关系的运算
01
并运算
表示两个模糊集合之间的合并关系， 结果是一个新的模糊集合。
补运算
表示一个模糊集合的补集关系，结 果是一个新的模糊集合。
03
02
交运算
表示两个模糊集合之间的交集关系， 结果是一个新的模糊集合。
非运算
表示一个模糊集合的否定关系，结 果是一个新的模糊集合。
人工智能与机器学习
模糊数学在人工智能和机器学习领域有巨大的潜力，特别 是在处理不确定性和含糊性方面。未来可以进一步探索模 糊数学在人工智能和机器学习领域的应用。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
04
04 模糊关系的应用
在决策分析中的应用
模糊决策
利用模糊集合理论，可以将决策 问题中的不确定性和模糊性纳入 数学模型中，从而更准确地描述 和解决决策问题。
模糊多属性决策
在多属性决策中，模糊集理论可 以用于处理属性值的不确定性， 通过权重调整和属性值模糊化， 实现更准确的决策分析。
模糊综合评价
基于模糊集合理论的综合评价方 法，能够综合考虑多个因素和条 件，对复杂系统进行全面、客观 的评价。
目录
• 引言 • 模糊集合的基本概念 • 模糊关系的定义和性质 • 模糊关系的应用 • 结论
01 引言
主题简介
模糊集合
模糊集合是传统集合的扩展，允许元 素具有不明确的隶属度。它能够更好 地描述现实世界中许多事物的模糊性 和不确定性。
模糊关系
模糊关系是描述模糊元素之间关联的 方式，可以用于描述事物之间的不确 定性和相似性。
3
模糊关系具有自反性，即任意一个模糊集合都与 自身有完全的关联。
模糊关系的运算
01
并运算
表示两个模糊集合之间的合并关系， 结果是一个新的模糊集合。
补运算
表示一个模糊集合的补集关系，结 果是一个新的模糊集合。
03
02
交运算
表示两个模糊集合之间的交集关系， 结果是一个新的模糊集合。
非运算
表示一个模糊集合的否定关系，结 果是一个新的模糊集合。
人工智能与机器学习
模糊数学在人工智能和机器学习领域有巨大的潜力，特别 是在处理不确定性和含糊性方面。未来可以进一步探索模 糊数学在人工智能和机器学习领域的应用。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
04
04 模糊关系的应用
在决策分析中的应用
模糊决策
利用模糊集合理论，可以将决策 问题中的不确定性和模糊性纳入 数学模型中，从而更准确地描述 和解决决策问题。
模糊多属性决策
在多属性决策中，模糊集理论可 以用于处理属性值的不确定性， 通过权重调整和属性值模糊化， 实现更准确的决策分析。
模糊综合评价
基于模糊集合理论的综合评价方 法，能够综合考虑多个因素和条 件，对复杂系统进行全面、客观 的评价。
模糊数学-模糊数学基本知识
而直积
A
B
0.5 0.4
0.3 0.8
0.8 0.3
0.5 0.7
0.5 0.4
0.8 0.3
模糊矩阵: A aij
aij bij
B bij
A B
例2
0.4 0.5 0.5 0.6 0.8 0.7 0.8 0.9
AB
（c）模糊矩阵的和:
cij max aij , bij aij bij
模糊矩阵C称为A与B的和的表示:
C cij A B
（d）模糊矩阵的直积
A aij
❖ 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A 0.2 0.7 1 0.5 , B 0.5 0.3 0.1 0.7
u1 u2 u3 u5
u1 u2 u4 u5
求AB、 AB ， AC
解：
A(u1)B(u1)
AU B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
经典集合论的例子： 设U={ 红桃，方块，黑桃，梅花 }
V={ A，1，2，3，4，5，6，7，8，9， 10，J, Q, K } 求U×V
解： U×V＝{ (红桃，A)，（红 桃, 2），……，（
梅花, K） }
35
模糊关系论例子： 设有一组学生U:
U={ 张三，李四，王五 } 他们对球类运动V:
身高与体重的普通关系
R(A,B) Bi
40
50
60
70
80
Ai
140
1
0
0
0
0
150
0
1
0
0
0
160
0
0
1
模糊数学方法
数为 R：U V 0,1 , ( x, y ) R ( x, y )
~
，则称隶属度
度。
R ( x, y )
~
~
为
( x, y)
关于模糊关系
U V
R
~
的相关程
注：由于模糊关系就是乘积空间
上的一个模糊
子集，因此，模糊关系同样具有模糊集的运算及性质。
模糊矩阵：设矩阵
n n
t ( R) R ( rij( k ) ) nn
k k 1 k 1
特别地，当R为模糊相似矩阵时，必存在一个最小的自然数
k (k
，使得 t ( R) R k ，对任意自然数 l k 都有 Rl R k n)
此时 t ( R ) 一定为模糊等价矩阵。
三. 模糊聚类分析方法
假设作n次模糊统计试验，可以算出
x0 A*的次数 x0 对A的隶属频率＝ n
事实上，当n不断增大时，隶属频率趋于稳定， 其稳定值称为 x 0 对A的隶属度，即
x0 A* 的次数 A ( x0 ) lim n n
2. 指派方法
指派方法是一种主观的方法，它主要是依据人们
的实践经验来确定某些模糊集隶属函数的方法。如果 模糊集定义在实数集R上，则称模糊集的隶属函数为 模糊分布。所谓的指派方法就是根据问题的性质和经
1 1 n 1 n 2 2 x j xij , s j [ ( xij x j ) ] ( j 1, 2,, m) n i 1 n i 1
(ii) 平移——极差变换.
' xij [0,1] ，则还需 如果经过平移—标准差变换后还有某些
对其进行平移—极差变换，即令
xij xij min {xij }
~
，则称隶属度
度。
R ( x, y )
~
~
为
( x, y)
关于模糊关系
U V
R
~
的相关程
注：由于模糊关系就是乘积空间
上的一个模糊
子集，因此，模糊关系同样具有模糊集的运算及性质。
模糊矩阵：设矩阵
n n
t ( R) R ( rij( k ) ) nn
k k 1 k 1
特别地，当R为模糊相似矩阵时，必存在一个最小的自然数
k (k
，使得 t ( R) R k ，对任意自然数 l k 都有 Rl R k n)
此时 t ( R ) 一定为模糊等价矩阵。
三. 模糊聚类分析方法
假设作n次模糊统计试验，可以算出
x0 A*的次数 x0 对A的隶属频率＝ n
事实上，当n不断增大时，隶属频率趋于稳定， 其稳定值称为 x 0 对A的隶属度，即
x0 A* 的次数 A ( x0 ) lim n n
2. 指派方法
指派方法是一种主观的方法，它主要是依据人们
的实践经验来确定某些模糊集隶属函数的方法。如果 模糊集定义在实数集R上，则称模糊集的隶属函数为 模糊分布。所谓的指派方法就是根据问题的性质和经
1 1 n 1 n 2 2 x j xij , s j [ ( xij x j ) ] ( j 1, 2,, m) n i 1 n i 1
(ii) 平移——极差变换.
' xij [0,1] ，则还需 如果经过平移—标准差变换后还有某些
对其进行平移—极差变换，即令
xij xij min {xij }
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2.1 模糊集的表示方法
• 如前所述, 模糊集合本质上是论域X到[0, 1]的函 数 , 因此用隶属函数来表示模糊集合是最基本 的方法。除此以外, 还有以下的表示方法： • 1. 序偶表示法 • A={(x, A(x)|xX}. • 例如: 用集合X={x1, x2, x3, x4}表示某学生宿舍中 的四位男同学, “帅哥”是一个模糊的概念。经 某种方法对这四位学生属于帅哥的程度 (“ 帅 度”)做的评价依次为: 0.55, 0.78, 0.91, 0.56, 则 以此评价构成的模糊集合A记为: • A={(x1, 0.55), (x2, 0.78), (x3, 0.91), (x4, 0.56)}.
超男
• 论域 X 上的模糊集 A 与 B 称为是相等的 , 如果 AB 且BA, 即对任意xX有A(x)= B(x).
2.2 模糊集上的运算(定义)
• 3. 模糊集的并 • 首先考查经典集合的并。
• 设X为非空论域, A, B为X上的两个经典集合。 A∪B={xX| xA或xB}.
• 易证AB(x)=max{A(x), B(x)}=A(x)B(x).
1
X
2.2 模糊集上的运算(定义)
• 设X为非空论域, A, B为X上的两个模糊集合。 A 与 B 的并 ( 记作 A∪B) 是 X 上的一个模糊集 , 其 隶属函数为 • (A∪B)(x)=max{A(x), B(x)}=A(x)B(x), xX.
(A∪B)(x)
2.2 模糊集上的运算(定义)
2.2 模糊集上运算(定义)
• 1. 几点说明 • 如前所述, 经典集合可用特征函数完全刻画, 因
而经典集合可看成模糊集的特例(即隶属函数只
取0, 1两个值的模糊集)。 • 设X为非空论域, X上的全体模糊集记作F(X). 于 是, P(X)F(X), 这里P(X)为X的幂集(即X的全体 子集构成的集合).
A 0 /1 0 / 2 0.3/ 3 0.7 / 4 1/ 5 1/ 6 0.7 / 7 0.3/ 8 0 / 9 0 /10 或A 0.3/ 3 0.7 / 4 1/ 5 1/ 6 0.7 / 7 0.3/ 8 或A (0,0,0.3,0.7,1,1,0.7,0.3,0,0)
2.1 模糊集的表示方法
• 前述的模糊集“帅哥”A可记为: • A=0.55/x1+0.78/x2+0.91/x3+0.56/x4. • 注意, 这里仅仅是借用了算术符号+和/, 并不表 示分式求和运算 , 而只是描述 A 中有哪些元素 , 以及各个元素的隶属度值。
• 还可使用形式上 符号, 从而可用这种方法表 示论域为有限集合或可列集合的模糊集。比如
1
X
2.2 模糊集上的运算(定义)
• 设X为非空论域, A, B为X上的两个模糊集合。 称A包含于B(记作AB), 如果对任意xX有A(x) B(x). 这时也称A为B的子集。
1 B(x) A(x)
X
2.2 模糊集上的运算(定义)
• 例, 论域X={x1, x2, x3, x4}时, X上的模糊集A为: • A=(0.55, 0.78, 0.91, 0.56). • X上的模糊集B为: • B=(0.35, 0.52, 0.65, 0.37). • 则根据定义有BA. 帅哥
A
xX
A( x) / x, 或A
xX
A( x) x
2.1 模糊集的表示方法
• 模糊集“年轻”A可表示为
1 A x[0,25] x x 25 2 1 [1 ( ) ] 5 x(25,100) x 0 x[100,200] x
2.1 模糊集的表示方法
• 注意：当论域明确的情况下, 在序偶和Zadeh表 示法中, 隶属度为0的项可以不写出。而在向量 表示法中, 应该写出全部分量。 • 例如, 论域X为1到10的所有正整数, 模糊集“几 个”A可表示为：
• 4. 模糊集的交 • 非空论域 X 上的两个模糊集合 A 与 B 的交 ( 记作 A∩B)是X上的一个模糊集, 其隶属函数为 • (A∩B)(x)=min{A(x), B(x)}=A(x)B(x), xX.
(A∩B)(x)
2.2 模糊集上的运算(定义)
• 5. 模糊集的补 • 非空论域 X 上的一个模糊集合 A 的补 ( 记作 A 或 AC)是X上的一个模糊集, 其隶属函数为 • A(x)=1A(x), xX.
2.2 模糊集上的运算(定义)
• 注：两个模糊集的并、交运算可以推广到一般 情形 , 即对任意指标集 I, 若 Ai 是 X 上的模糊集 , iI. 则模糊集的(任意)并、(任意)交定义为:
2.1 模糊集的表示方法
• • • • 2. 向量表示法 当论域X={x1, x2, …, xn}时, X上的模糊集A可表 示为向量A=(A(x1), A(x2), …,A(xn)). 前述的模糊集“帅哥”A可记为: A=(0.55, 0.78, 0.91, 0.56).
•
• • •
这种向量的第个分量都在0与1之间A(xi)[0,1], 称之为模糊向量。 3. Zadeh表示法 当论域X为有限集{x1, x2, …, xn}时, X上的一个 模糊集合可表示为 A=A(x1)/x1+A(x2)/x2+ …+A(xn)/xn.
A( x ) / x ,
i 1 i i
n
A( xi ) xi i 1
2.1 模糊集的表示方法
• 此外, Zadeh还可使用积分符号表示模糊集, 这 种表示法适合于任何种类的论域 , 特别是无限
论域中的模糊集合的描述。与符号相同, 这里 对于任意论域X中的模糊集合A可记为:
的仅仅是一种符号表示, 并不意味着积分运算。
• 特别地, 空集的隶属函数恒为0, 集X的隶属函
数恒为1, 即、X都是X上的模糊集。
2.2 模糊集上的运算(定义)
• 2. 模糊集的包含关系 • 首先考查经典集合包含关系的特征。
• 设X为非空论域, A, B为X上的两个经典集合。 AB当且仅当属于A的元素都属于B.
• 易证AB当且仅当对任意xX有A(x) B(x).
• 如前所述, 模糊集合本质上是论域X到[0, 1]的函 数 , 因此用隶属函数来表示模糊集合是最基本 的方法。除此以外, 还有以下的表示方法： • 1. 序偶表示法 • A={(x, A(x)|xX}. • 例如: 用集合X={x1, x2, x3, x4}表示某学生宿舍中 的四位男同学, “帅哥”是一个模糊的概念。经 某种方法对这四位学生属于帅哥的程度 (“ 帅 度”)做的评价依次为: 0.55, 0.78, 0.91, 0.56, 则 以此评价构成的模糊集合A记为: • A={(x1, 0.55), (x2, 0.78), (x3, 0.91), (x4, 0.56)}.
超男
• 论域 X 上的模糊集 A 与 B 称为是相等的 , 如果 AB 且BA, 即对任意xX有A(x)= B(x).
2.2 模糊集上的运算(定义)
• 3. 模糊集的并 • 首先考查经典集合的并。
• 设X为非空论域, A, B为X上的两个经典集合。 A∪B={xX| xA或xB}.
• 易证AB(x)=max{A(x), B(x)}=A(x)B(x).
1
X
2.2 模糊集上的运算(定义)
• 设X为非空论域, A, B为X上的两个模糊集合。 A 与 B 的并 ( 记作 A∪B) 是 X 上的一个模糊集 , 其 隶属函数为 • (A∪B)(x)=max{A(x), B(x)}=A(x)B(x), xX.
(A∪B)(x)
2.2 模糊集上的运算(定义)
2.2 模糊集上运算(定义)
• 1. 几点说明 • 如前所述, 经典集合可用特征函数完全刻画, 因
而经典集合可看成模糊集的特例(即隶属函数只
取0, 1两个值的模糊集)。 • 设X为非空论域, X上的全体模糊集记作F(X). 于 是, P(X)F(X), 这里P(X)为X的幂集(即X的全体 子集构成的集合).
A 0 /1 0 / 2 0.3/ 3 0.7 / 4 1/ 5 1/ 6 0.7 / 7 0.3/ 8 0 / 9 0 /10 或A 0.3/ 3 0.7 / 4 1/ 5 1/ 6 0.7 / 7 0.3/ 8 或A (0,0,0.3,0.7,1,1,0.7,0.3,0,0)
2.1 模糊集的表示方法
• 前述的模糊集“帅哥”A可记为: • A=0.55/x1+0.78/x2+0.91/x3+0.56/x4. • 注意, 这里仅仅是借用了算术符号+和/, 并不表 示分式求和运算 , 而只是描述 A 中有哪些元素 , 以及各个元素的隶属度值。
• 还可使用形式上 符号, 从而可用这种方法表 示论域为有限集合或可列集合的模糊集。比如
1
X
2.2 模糊集上的运算(定义)
• 设X为非空论域, A, B为X上的两个模糊集合。 称A包含于B(记作AB), 如果对任意xX有A(x) B(x). 这时也称A为B的子集。
1 B(x) A(x)
X
2.2 模糊集上的运算(定义)
• 例, 论域X={x1, x2, x3, x4}时, X上的模糊集A为: • A=(0.55, 0.78, 0.91, 0.56). • X上的模糊集B为: • B=(0.35, 0.52, 0.65, 0.37). • 则根据定义有BA. 帅哥
A
xX
A( x) / x, 或A
xX
A( x) x
2.1 模糊集的表示方法
• 模糊集“年轻”A可表示为
1 A x[0,25] x x 25 2 1 [1 ( ) ] 5 x(25,100) x 0 x[100,200] x
2.1 模糊集的表示方法
• 注意：当论域明确的情况下, 在序偶和Zadeh表 示法中, 隶属度为0的项可以不写出。而在向量 表示法中, 应该写出全部分量。 • 例如, 论域X为1到10的所有正整数, 模糊集“几 个”A可表示为：
• 4. 模糊集的交 • 非空论域 X 上的两个模糊集合 A 与 B 的交 ( 记作 A∩B)是X上的一个模糊集, 其隶属函数为 • (A∩B)(x)=min{A(x), B(x)}=A(x)B(x), xX.
(A∩B)(x)
2.2 模糊集上的运算(定义)
• 5. 模糊集的补 • 非空论域 X 上的一个模糊集合 A 的补 ( 记作 A 或 AC)是X上的一个模糊集, 其隶属函数为 • A(x)=1A(x), xX.
2.2 模糊集上的运算(定义)
• 注：两个模糊集的并、交运算可以推广到一般 情形 , 即对任意指标集 I, 若 Ai 是 X 上的模糊集 , iI. 则模糊集的(任意)并、(任意)交定义为:
2.1 模糊集的表示方法
• • • • 2. 向量表示法 当论域X={x1, x2, …, xn}时, X上的模糊集A可表 示为向量A=(A(x1), A(x2), …,A(xn)). 前述的模糊集“帅哥”A可记为: A=(0.55, 0.78, 0.91, 0.56).
•
• • •
这种向量的第个分量都在0与1之间A(xi)[0,1], 称之为模糊向量。 3. Zadeh表示法 当论域X为有限集{x1, x2, …, xn}时, X上的一个 模糊集合可表示为 A=A(x1)/x1+A(x2)/x2+ …+A(xn)/xn.
A( x ) / x ,
i 1 i i
n
A( xi ) xi i 1
2.1 模糊集的表示方法
• 此外, Zadeh还可使用积分符号表示模糊集, 这 种表示法适合于任何种类的论域 , 特别是无限
论域中的模糊集合的描述。与符号相同, 这里 对于任意论域X中的模糊集合A可记为:
的仅仅是一种符号表示, 并不意味着积分运算。
• 特别地, 空集的隶属函数恒为0, 集X的隶属函
数恒为1, 即、X都是X上的模糊集。
2.2 模糊集上的运算(定义)
• 2. 模糊集的包含关系 • 首先考查经典集合包含关系的特征。
• 设X为非空论域, A, B为X上的两个经典集合。 AB当且仅当属于A的元素都属于B.
• 易证AB当且仅当对任意xX有A(x) B(x).