斐波那契数列
斐波那契数列
斐波那契数列一、简介斐波那契数列(Fibonacci),又称黄金分割数列,由数学家斐波那契最早以“兔子繁殖问题”引入,推动了数学得发展。
故斐波那契数列又称“兔子数列”。
斐波那契数列指这样得数列:1,１,2,３,5,8,13,……,前两个数得与等于后面一个数字。
这样我们可以得到一个递推式,记斐波那契数列得第i项为F i,则F i=F i—1+F i-2、兔子繁殖问题指设有一对新生得兔子,从第三个月开始她们每个月都生一对兔子,新生得兔子从第三个月开始又每个月生一对兔子。
按此规律,并假定兔子没有死亡,10个月后共有多少个兔子?这道题目通过找规律发现答案就就是斐波那契数列,第ｎ个月兔子得数量就是斐波那契数列得第n项。
二、性质如果要了解斐波那契数列得性质,必然要先知道它得通项公式才能更简单得推导出一些定理。
那么下面我们就通过初等代数得待定系数法计算出通项公式。
令常数p,ｑ满足F n－pF n—１=ｑ(Ｆn－1-pFｎ—2)。
则可得:Fｎ—ｐFｎ—1=q(Ｆn—１—pF n—2)=q2(F n-2-pＦn—3。
)=…=qｎ—2(Ｆ２—pF1)又∵F n—pF n-1=q(Ｆn—1-pF n－2)∴F n-pF n-1＝ｑF n-1－pｑF n—2F n-1+Fｎ—２-pF n—１—ｑＦｎ—１+pqFｎ—2=０(1-p—ｑ)F n—1+(1+pｑ)Ｆn-2=0∴p+q＝１,pｑ=—1就是其中得一种方程组∴Ｆn-ｐFｎ-1=q n-2(F2-ｐＦ１)=q n－2(1—ｐ)＝qｎ—１Fｎ=qｎ—1＋pF n—１＝q n－1+p(qｎ—2+ｐ(q n－３＋…))=ｑn-１＋ｐｑn－2+ｐ2qｎ—3+…+p n—1不难瞧出,上式就是一个以p／q为公比得等比数列。
将它用求与公式求与可以得到:F n=q n−1[(pq)n−1]pq−1=p n−q np−q而上面出现了方程组p+q=１,pq=-1,可以得到ｐ(1—p)=-1,p2—p—1=０,这样就得到了一个标准得一元二次方程,配方得p2－p＋0。
斐波那契额数列的通项公式
斐波那契额数列的通项公式
斐波那契数列是指这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：
F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）。
斐波那契数列的通项公式是：
F(n) = (1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n} 其中，√5表示5的正平方根。
这个公式可以用来求解斐波那契数列中任意一个项的值，不需要递推。
这个公式的推导过程比较复杂，可以用数学归纳法和求解一元二次方程的方法来证明。
但是，这里不再详细阐述。
总之，斐波那契数列的通项公式是一个十分有用和重要的公式，在数学和计算机科学等领域都有广泛的应用。
- 1 -。
《斐波那契数列》课件
特征方程
特征方程
对于斐波那契数列，其特征方程为x^2=x+1。通过解这个方程，可以得到斐波 那契数列的通项公式。
通项公式
斐波那契数列的通项公式为F(n)=((φ^n)-(-φ)^-n))/√5，其中φ=(1+√5)/2是黄 金分割比。这个公式可以用来快速计算斐波那契数列中的任意数字。
03
斐波那契数列的数学模型
在生物学中的应用
遗传学研究
在遗传学中，斐波那契数列可以用于 描述DNA的碱基排列规律，有助于深 入理解遗传信息的传递和表达。
生物生长规律
许多生物体的生长和繁殖规律可以用 斐波那契数列来描述，如植物的花序 、动物的繁殖数量等。
在计算机图形学中的应用
图像处理
在图像处理中，斐波那契数列可以用于生成复杂的图案和纹理，增加图像的艺术感和视觉效果。
斐波那契数列的递归算法
F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0，F(1) = 1。
03
递归算法的时间复杂度
O(2^n)，因为递归过程中存在大量的重复计算。
迭代算法
迭代算法的基本思想
迭代算法的时间复杂度
从问题的初始状态出发，通过一系列 的迭代步骤，逐步逼近问题的解。
O(n)，因为迭代过程中没有重复计算 。
实际应用价值
斐波那契数列在计算机科指导 意义。
对未来研究的展望
深入探索斐波那契数列的性质
01
随着数学研究的深入，可以进一步探索斐波那契数列的性质和
规律，揭示其更深层次的数学原理。
跨学科应用研究
02
未来可以将斐波那契数列与其他学科领域相结合，如生物学、
表示方法
通常用F(n)表示第n个斐波那契数 ，例如F(0)=0，F(1)=1，F(2)=1 ，F(3)=2，以此类推。
斐波那契数列
斐波那契数列意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，----，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，把这样的数组成的数列称为斐波那契数列。
)3(,1,11221≥=+==--n a a a a a n n n ，其中每一项都是前面两项之和。
1、斐波那契数列的奇数项之和：n n a a a a a 212531=+++-证：46524321,,a a a a a a a a -=-==， ，22212---=n n n a a a ，累加即证。
2、斐波那契数列的偶数项之和：1122642-=++++n n a a a a a证：576354132,a a a a a a a a a -=-=-=，， ，12122-+-=n n n a a a ，累加即证。
3、斐波那契数列的前n 项之和：12321-=++++n n a a a a a证：，24313211,,a a a a a a a a -=-==， ，11-+-=n n n a a a ，累加得1221321-=-+=+++++n n n n a a a a a a a a 。
4、201522015232221a a a a ++++ 是斐波那契数列的第几项？ 分析：1232132221221)(,a a a a a a a a a a a -=-==，234324323)(a a a a a a a a -=-=， ， 201420152016201520142016201522015)(a a a a a a a a -=-=，累加得20162015220152221a a a a a =+++ ，所以201522015232221a a a a ++++ 2016a =。
5.斐波那契数列蕴含的数学模型例：某小学生玩上楼梯的游戏，有10级台阶的楼梯，一步可以迈一级或两级台阶，这个小学生有多少种不同的爬楼方法？分析：设小学生爬n 个台阶有n a 种方法，考虑最后一步：若最后一步只迈一个台阶，则前n-1个台阶有1-n a 种方法；若最后一步迈两级台阶，则前n-2个台阶有2-n a 种方法；有加法原理得)3(21≥+=--n a a a n n n ，易知2,121==a a ，则,3213=+=a a a ,5324=+=a a a ,8435=+=a a a ，899810=+=a a a ，故这个小学生有89种不同的爬楼方法。
斐波那契数列的拓展
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1. 斐波那契数列定义 2. 斐波那契数列性质 3. 拓展斐波那契数列 4. 拓展数列的性质 5. 生成函数与公式 6. 拓展数列的应用 7. 与其他数列的关系 8. 结论与未来研究
斐波那契数列的拓展
斐波那契数列定义
斐波那契数列定义
斐波那契数列的定义
▪ 拓展斐波那契数列的性质
1.拓展斐波那契数列的一些新性质：如相邻两项的比值仍然趋近于黄金分割比例，数列中的数 字仍然频繁出现在自然界中等。 2.性质的应用：这些性质可以用于解决一些实际问题，如在优化问题、图形学等领域中的应用 。 ---
拓展斐波那契数列
▪ 拓展斐波那契数列与其他数学问题的联系
1.与其他数学问题的联系：拓展斐波那契数列与许多数学问题有着密切的联系，如与黄金分割 、杨辉三角、Catalan数等问题的联系。 2.联系的应用：这些联系可以帮助我们更好地理解拓展斐波那契数列的性质和应用，同时也可 以用于解决其他数学问题。 ---
1.斐波那契数列有很多拓展和变体，如卢卡斯数列、佩尔数列 等，它们都具有类似的性质和应用。 2.在数学研究上，斐波那契数列的拓展和变体也引发了许多深 入的研究和探索。 3.通过对斐波那契数列的拓展和变体进行研究，可以进一步揭 示数列的本质和应用价值。
斐波那契数列的拓展
斐波那契数列性质
斐波那契数列性质
生成函数与公式
生成函数与组合结构的对应关系
1.生成函数与组合结构之间存在一一对应关系。 2.通过对应关系可以深入理解生成函数的组合意义和解释。 3.探讨对应关系在组合结构分析和计数中的应用价值。 ---
生成函数的未来发展趋势和前沿方向
1.生成函数在组合数学和计算机科学等领域仍具有广泛的研究 前景和应用潜力。 2.探讨生成函数的未来发展趋势，包括新算法、新模型和新应 用等方向。 3.分析前沿方向的研究热点和挑战，提出未来的发展方向和展 望。
斐波那契数列 通项公式
斐波那契数列通项公式
fibonacci 数列由十九世纪意大利数学家莱昂内里·斐波那契首次提出，由数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …..构成的数列。
这个数列也被称为“黄金分割率数列”，因为其中数字之间的比值恰好等于黄金分割率（约为0.618）。
斐波那契数列的通式为：f(n) = f(n-1) + f(n-2)，其中f(0) = 0，f(1) = 1。
当n大于1时，斐波那契数列将以前两项之和作为每一项的值，每一项都等于它前面两项之和。
斐波那契数列在许多领域都有应用，其中最主要的应用是算法和数学方面。
它可以用于解决计算机程序中的递归问题，也可以用来解决许多数学问题。
斐波那契数列也可以用来求一些规律性的物理问题，如分段弦的变形、碰撞的合力和振动的波型。
斐波那契数列不仅仅是一个数学概念，它也可以用来分析金融市场和投资过程。
它可以帮助我们更好地理解金融市场的发展情况，有助于投资者制定更有效的投资策略。
此外，斐波那契数列也可以用来帮助生物和医学研究。
斐波那契数列可以用来描述一些生物进化过程，也可以用来描述病毒抗性的下降趋势。
总之，斐波那契数列是一个十分重要的数学概念，它在科学研究、投资和金融分析等领域都得到了广泛的应用。
掌握斐波那
契数列的基本原理和特性，将有助于我们更好地实现解决各类问题的目标。
1-300项斐波那契数列
第一，此趋势线以二个端点为准而画出，例如，最低点反向到最高点线上的两个点。然后通过第二点画出一条“无形的（看不见的）”垂直线。然后，从第一个点画出第三条趋势线：38.2%， 50%和61.8%的无形垂直线交叉。
斐波纳契弧线，是潜在的支持点和阻力点水平价格。斐波纳契弧线和斐波纳契扇形线常常在图表里同时绘画出。支持点和阻力点就是由这些线的交汇点得出。
1-300项斐波那契数列
指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144……
数列中的每一项称为斐波那契数，从第3项开始，每1项都等于前两项之和。
在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：
F(1)=1，
F(2)=1,
F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 3，n ∈ N*）
斐波那契数列
斐波那契数列（一）斐波纳契数列（Fibonacci Sequence），又称黄金分割数列。
斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多〃斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abacci)一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。
斐波那契数列在自然界中的出现是如此地频繁，人们深信这不是偶然的。
（1）细察下列各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花。
（2）细察以下花的类似花瓣部分，它们也具有斐波那契数：紫宛、大波斯菊、雏菊。
斐波那契数经常与花瓣的数目相结合：3………………………百合和蝴蝶花5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草8………………………翠雀花13………………………金盏草21………………………紫宛34，55，84……………雏菊（3）斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。
例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位臵，则其间的叶子数多半是斐波那契数。
叶子从一个位臵到达下一个正对的位臵称为一个循回。
叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。
在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。
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意大利数学家斐波那契在《算盘全集》中提出了一个有趣的兔子繁殖问题：如果每对兔子（一雄一雌）每月能生殖一对小兔子（也是一雄一雌，下同）每对兔子第一个月没有生殖能力，但从第二个月以后便能每月生一对小兔子。假定这些兔子都不死亡，那么从一对刚出生的兔子开始，一年只有会有多少对兔子呢？即：第一个月：只有一对兔子；第二个月：仍然只有一对兔子；第三个月：这对兔子生了一对小兔子，共有1+1=2对兔子。第四个月：最初的一对兔子又生一堆兔子，共成为2+1=3对兔子。后人将这个兔子数列成为斐波那契数列，也就是把1，1，2，3，5，8，13，21，34…这样的数列称为斐波那契数列。
1.斐波那契数列与花朵的花瓣数
花瓣数是极有特征的。多数情况下，花瓣的数目都是3，5，8，13，21，34，55，…这些数恰好是斐波那契数列的某些项，例如，百合花有3瓣花瓣，至良属的植物有5瓣花瓣；许多翠雀属植物有8瓣花瓣；万寿菊的花瓣有13瓣，更有趣的是，有一位学者细心地数过一朵花的花瓣，发现这朵花的花瓣刚好有157瓣。且他又发现其中有13瓣与其他144瓣有显著的不同，是特别长并卷曲向内，这表明这朵花的花瓣树木是由F1=13和F2=144合成的。
a) - =( )(n>=1,n属于N)
b) = + (n属于N)
c) - = (n>=1,n属于N)
d) = + (n>=1,m,n属于N)
e) =1 (n>=1,n属于N)
f) - = (m>n>=1)
g) - =( )(n>=2)
h) }有极限且等于黄金分割率
四、斐波那契数列的应用
人类很早就从自然界中看到了数学特征：蜜蜂的繁殖规律，树的分枝，钢琴音阶的排列以及花瓣对称排列在花托边缘、整个花朵几乎完美无缺地呈现出辐射对称状……这一切向我们展示了数学瑰丽的一面。对这些自然中的许多现象的解释，却都能归结到斐波那契数列上来。所以斐波那契数列在自然现象的研究中是不可忽略的，但是在数学理论上，斐波那契数列也有许多有趣的性质，长久地吸引着数学家们。以下介绍了斐波那契数列在自然和数学中的一些应用。
3. 斐波那契数列与排列组合
只有一个台阶时，只有一种走法，F1=1两个台阶，走法有2种，一阶一阶或者一步上两个台阶，所以F2=2。三个台阶时，走法有一步一阶，2阶再1阶，1阶再2阶，因此，F3=3。四个台阶时，走法有（1，1，1，1），（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1）（，2，2），共5种方法，故F4=5以此类推，有数列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……
斐波那契数列
姓名：李冬冬 学号：***********
摘要：自从斐波那契数列被发现以后，众多数学爱好者通过对它的定义和性质的研究,得出了一些有趣的性质和结论。本文主要介绍斐波那契数列的性质和在一些领域的应用，从而可以更深入地了解斐波那契数列。
关键词：斐波那契数列定义 性质 应用
正文：
一、斐波那契
数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，）是斐波那契数列的发现者，籍贯大概是比萨。他于1202年，撰写了《珠算原理》（Liber Abacci）一书。据史料记载，他是第一个研究印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲在斐波那契小的时候被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻的地点相当于今日的阿尔及利亚地区，斐波那契因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
2.斐波那契数列与向日葵种子排列方式
向日葵种子的排列方式，就是一种典型的数学模式。仔细观察向日葵花盘，你就会发现两组螺旋线，一组顺时针方向盘旋，另一组则逆时针方向盘旋，并且彼此相嵌。虽然不同的向日葵品种中，种子顺、逆时针方向和螺旋线的数量有所不同，但往往不会超出34和55、55和89或者89和144这3组数字，这每组数字就是Fibonacci数列中相邻的两个数。前一个数字是顺时针盘旋的线数，后一个数字是逆时针盘旋的线数。
三、斐波那定义：一个数列，前两项都为1，从第三项起，每一项都是前两项之和，那么这个数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列。
表达式：F0=1,F1=1,Fn=Fn-1+Fn-2
通项公式：
2．斐波那契数列通项公式的证明
下面是其通项公式的几种证明方法：
方法一（利用特征方程）
同理可以证明当 为奇数时结论成立。
结论：
斐波那契与自然、生活、科学上的联系其实还有很多，但是仅仅从这几个例子上我们就可以看出斐波那契数列的应用的广泛性，由此我们可以看到数学的美其实是无处不在的。它是一门科学，同时也是一种语言，一种艺术。总而言之，数学与自然、生活相伴相随。
参考文献：
1)李美玲.趣谈斐波那契数列[J].科学与研究,2008,8：42；
线性递推数列的特征方程为：
解得： ，
则
∵
∴ 解得： ；
∴
方法二（黄金分割法）：
因为 , 是方程 的两根（其中 黄金分割比）。 得到 ,再左右同时乘以 即得到：
①
②
由①,②容易得到:
现在我们令 得：
当然斐波那契数列通项公式的证明有很多种，本文只是介绍了其中的三种。
3.斐波那契数列性质
在此简单列举了一些斐波那契数列的性质，不过应当重点注意斐波那契数列与黄金比例的关系。由本文所用的推导方法和所列举的性质而言，斐波那契数列与黄金分割实在有着紧密的联系。
4.斐波那契数列与杨辉三角
若数列 为斐波那契数列，记 则有：
证明：如图1，是杨辉三角与斐波那契数列的关系；首先讨论是列的前8项，
则有：
……
由上面的等式可猜想：
下面我们用数学归纳法证明猜想成立。
当 是结论显然成立。
当 时结论成立。
首先我们讨论 为偶数的时候，由递推关系有：
这正好表明，当 为偶数时结论成立。
2)孙王杰;张若东;潘淑霞.生物学中的斐波那契数列[J].吉林医药学院学报,2006,01(27)：
3)曹汝成．组合数学第二版．广州：华南理工大学出版社．2012．7 ；
4)斐波那契．(美)西格尔英译．计算之书[M]．纪志刚，等译．北京：科学出版社．2007 ；
5)张维忠．数学课程与数学研究[M]．杭州：浙江大学出版社．2008．8；