线性代数答案(人大出版社,第四版)赵树嫄主编
线性代数习题
习题一（A ）
1，（6）
2222
2
2222
2
2
12(1)4111(1)2111t t
t t
t t t t t
t t --+++==+--++ （7）
1log 0log 1
b a a
b =
2，（3）－7
（4）0
4，234
10001k k k k k -=-=，0k =或者1k =．
5，23140240,0210x
x x x x x x
=-≠≠≠且．
8,（1）4 （2）7 （3）13
（4） N( n(n-1)…21 )＝（n-1）+(n-2)+…+2+1=(1)
2
n n - 10, 列号为3k42l,故k 、l 可以选1或5；若k=1,l=5,则N(31425)=3,为负号；故k=1,l=5.
12，（1）不等于零的项为132234411a a a a =
（2）(234...1)11223341,1...(1)!(1)N n n n n n a a a a a n n --=-=-！ 13，（3）
2112342153521534215100061230
61230002809229092280921000280921000
c c r r --=
（4）将各列加到第一列，
2()
2()2()x y y
x y D x y x y
x x y x
y
++=+++1
2()1
1y x y x y x
y x y
x
+=+---
12()0
0y x y
x y x y x y
x
+=+---332()x y =-+ 17，（1）从第二行开始每行加上第一行，得到
1
11111111
1
110222 (811)
1
100221111
0002
-=
==-----.
（2）433221,,r r r r r r ---…
43
1111111112340123 (113)
6
10013
614102001410
r r -==
（3）各列之和相等，各行加到第一行… 18，（3）
21
34312441
224011201
1201120
42413541350
3550
164
232
2
312331230
483001052205120510
2110211r r r r r r r r r r --------+-----=+---------+
4334433424
241
120112*********
1640
1640
164
1010
10
002100210002720
21100
1370
0114
r r r r r r r r r r r r ------+---------------
3411200164
10
01140
0027
r r ----?--270=-
20，第一行加到各行得到上三角形行列式，
1230
262!0
0320
n
n n n n
= 21，各行之和相等，将各列加到第一列并且提出公因式(1)n x -
11
0(1)1010x x x x x x x
n x
x x x x x x -从第二行开始各行减去第一行得到
1111
00
(1)(1)(1)(1)(1)000000
0n n n n x x x x x n x
n x x n x x x
-----=--=----
22，最后一列分别乘以121,,...n a a a ----再分别加到第1，2，…n-1列得到上三角形行列式
1
122312231311210
1001()(
)...()00010
1
n n n n n n n n x a a a a a a a x a a a a a x a a a x a x a x a x a ------------=----
23，按第一列展开
122110
3110
00111111110
000000000000000000000
n n n n
n
n
a a a a D a a a a a a a +--=-+ 11222
431
111111
1111000000000000000
0...(1)0000000
n n
n a a a a a a a a +--
++-
01223413412311201
1..................()n
n n n n n i i
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -==----=-∑
24，将第二列加第一列，然后第三列加第二列，….第n 列加第n-1列，最后按第一行展开。
D =
12200 (000)
(00)
....................................000 (1)
2
1
...
1
1
n n a a a a a ---1200 (000)
0...00..................
..................000 (01)
2
3...
1
n
a a a n
n --=-+ 12(1)(1)...n n n a a a =-+.
25，（1）
2143
22
2222
1123112312220100(1)(4)0231
5
231
5
2
3
190
04r r r r x x x x x x ----=--=--
1
2
x x =±=± （2）各行之和相等… （3）与22题类似…
（4）当0,1,2,3,...2x n =-时，代入行列式都会使行列式有两行相同，所以它们都是方程的根。
28，414243441
401401402112(6)212(6)0301806001
1
1
1
1
1
1111
A A A A --+++=
=--=--=-
29,111213141
111d c b b A A A A b b b
b
c
d a d
+++=
其中1，3两行对应成比例，所以为零.
32，从第二行开始每一行乘以（－1）加到上一行然后按第一列展开
123401111112310111
11122
01111
130001112000011
1
1
1
n n x x n x D x x n x x x x x
x
x
x
x
x
----==--
1
111111*********
(1)000110
00
11n x
x x +--=--
1
1121,2 (1)
0000001000000
10000
(1)(1)001000
0000000
11
i i r r n n n i n x
x x x x x x x x x
+-++-=---????→-=--←????- 33，按第一列展开
100000000000000000000000000000
n a
b a
b a b a b a a D a a b
a b
b
a
b
a
-????→=
←????按第一列展开
阶
1
0000000000000000
n b a
b a b b
b a
b
+＋（－1）1n n n
a b +=+（－1）
34，原方程化为
21211123122(2)(4)00212002x x x x x x x
x
=
=--….
35,
12
34
1111001111111
11111001
11
11
1
11r r r r x
x x x x y y
y
y
y
--+--???→←???+--
2211001100111100
0001
1
001
1
1
1
110
0x x xy
xy
x y y y
--===--＝0
解得0x =或者0y =
36，
11111213
(21)(11)(12)(31)(32)(31)4814191
8
127
-=++-+--=--（范德蒙行列式） 37，解
12
2322222
22
22
11()()11a b x b x a a x
b a
x a x a c c x a b x a
a b b a x b a b c c
x a b x a a b b x a a b b +++--++---=----------- 2121111
()()00()()()
x a
r r a x b a x a b a x b a x a b x a a b
x a a b b ++--++=---++-------- ()()()()x a b a x b x b a =++---
40，（3）D=63，D 1=63，D 2=126， D 3=189
123
1
23x x x =??
=??=? （6）D=20，D 1=60，D 2=-80， D 3=-－20，D 4=20
12
343411
x x x x =??=-??
=-??=? 42，∵221069
12412458201822---=---2323
3330182205
--=-=-=--
∴原方程仅有零解。
43，令1
1
22
113102112
11
k
k k k --=
---(2)(1)6k k =---2340k k =--=， 得 1k =-或4k =；故当1k =-或4k =时原齐次方程组有非零解。 44，原齐次方程组的系数行列式
1120011310(2)(1)0211
2
1
1
k k k k k k -+-=
-=+-≠--
即当1k ≠且2k ≠-时原齐次方程组仅有零解。