【新课改专版】2020年高考数学一轮复习课时练50《抛物线》附答案解析
【新课改专版】2020年高考数学一轮复习课时精练50.抛物线[A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2019·石家庄模拟)抛物线y ＝2x 2的准线方程是( ) A ．x ＝12 B ．x ＝－12 C ．y ＝18 D ．y ＝－182．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A ．y 2＝±22x B ．y 2＝±2x C ．y 2＝±4xD ．y 2＝±42x3．(2019·齐齐哈尔一模)若抛物线x 2＝4y 上的点P (m ，n )到其焦点的距离为5，则n ＝( ) A ．194 B ．92C ．3D ．44．(2019·衡水金卷高三联考)抛物线有如下光学性质：由焦点发出的光线，经抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线上的一点反射后，必经过抛物线的焦点．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3,1)射入，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为( )A.43 B ．－43C ．±43D ．－1695．(2019·珠海模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于( )A.7π12B.2π36．(2019·江苏高邮模拟)抛物线y 2＝14x 的焦点坐标是________．、[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·武汉调研)过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，若|NF |＝4，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 3 C ．3 3D ．2 22．(2019·长沙质检)设经过抛物线C 的焦点的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，那么抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交但不经过圆心D ．相交且经过圆心3．(2019·河南中原名校质检)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|NF |＝32|MN |，则点F 到MN 的距离为( )A.12 B ．1 C. 3D ．24．(2019·辽宁五校协作体模考)抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为33的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于点A ，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，则△AHF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．85．(2019·邯郸质检)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，其准线与x 轴交于点B ，直线AB 与抛物线的另一个交点为M ，若MB ―→＝λAB ―→，则实数λ为( )A ．13B ．12C ．2D ．36．(2019·辽宁葫芦岛期中)已知直线l ：3x －y －a ＝0与抛物线x 2＝4y 交于P ，Q 两点，过P ，Q 分别作l 的垂线与y 轴交于M ，N 两点，若|MN |＝1633，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．27．(2019·华大新高考质检)已知抛物线C ：y 2＝4x ，点D (2,0)，E (4,0)，M 是抛物线C 上异于原点O 的动点，连接ME 并延长交抛物线C 于点N ，连接MD ，ND 并分别延长交抛物线C 于点P ，Q ，连接P Q ，若直线MN ，P Q 的斜率存在且分别为k 1，k 2，则k 2k 1＝( )A ．4B ．3C ．2D ．18．(2019·辽宁五校联考)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，N 为准线l 上一点，M 为y 轴上一点，∠MNF 为直角，若线段MF 的中点E 在抛物线C 上，则△MNF 的面积为( )A ．22 B ． 2C ．322D ．3 29．(2019·河南百校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且|MO |＝|MF |＝32(O 为坐标原点)，则OM ―→·MF ―→＝( )A ．－74B ．74C ．94D ．－9410．(2019·石家庄毕业班摸底)若抛物线y 2＝4x 上有一条长度为10的动弦AB ，则AB 的中点到y 轴的最短距离为________．11．(2018·北京高考)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．12．(2019·广州海珠区一模)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，若A 为抛物线在第一象限上的一点，且|AF |＝3，则直线AF 的斜率为________．13．(2019·唐山五校摸底)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________.14．(2019·武汉调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线的交点为N .(1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 的面积的最小值为4，求抛物线C 的方程．15．(2019·贵阳摸底)过抛物线C：y2＝4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|＝8.(1)求直线l的方程；(2)若A关于x轴的对称点为D，抛物线的准线与x轴的交点为E，求证：B，D，E三点共线．解析50.抛物线[A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2019·石家庄模拟)抛物线y ＝2x 2的准线方程是( ) A ．x ＝12 B ．x ＝－12 C ．y ＝18 D ．y ＝－18解析：选D 抛物线y ＝2x 2的标准方程为x 2＝12y ，其准线方程为y ＝－18.2．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A ．y 2＝±22x B ．y 2＝±2x C ．y 2＝±4xD ．y 2＝±42x解析：选D 由题意知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线C 的方程为y 2＝±2px (p ＞0)，则p2＝2，所以p ＝22，所以抛物线C 的方程为y 2＝±42x .故选D.3．(2019·齐齐哈尔一模)若抛物线x 2＝4y 上的点P (m ，n )到其焦点的距离为5，则n ＝( ) A ．194 B ．92C ．3D ．4解析： 选D 抛物线x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1，根据抛物线的定义可知，5＝n ＋1，得n ＝4，故选D.4．(2019·衡水金卷高三联考)抛物线有如下光学性质：由焦点发出的光线，经抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线上的一点反射后，必经过抛物线的焦点．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3,1)射入，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为( )A.43 B ．－43C ．±43D ．－169解析：选B 将y ＝1代入y 2＝4x 可得x ＝14，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.由题可知，直线AB 经过焦点F (1,0)，所以直线AB 的斜率k ＝1－014－1＝－43，故选B.5．(2019·珠海模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于( )A.7π12B.2π3 C.3π4D.5π6解析：选B 由抛物线y 2＝4x 知焦点F 的坐标为(1,0)，准线l 的方程为x ＝－1，由抛物线定义可知|PA |＝|PF |＝4，所以点P 的坐标为(3,23)，因此点A 的坐标为(－1，23)，所以k AF ＝23－0－1－1＝－3，所以直线AF 的倾斜角等于2π3，故选B.6．(2019·江苏高邮模拟)抛物线y 2＝14x 的焦点坐标是________．解析：由于抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，因此抛物线y 2＝14x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·武汉调研)过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，若|NF |＝4，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 3 C ．3 3D ．2 2解析：选B ∵直线MF 的斜率为3，MN ⊥l ，∴∠NMF ＝60°，又|MF |＝|MN |，且|NF |＝4，∴△NMF 是边长为4的等边三角形，∴M 到直线NF 的距离为2 3.故选B.2．(2019·长沙质检)设经过抛物线C 的焦点的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，那么抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交但不经过圆心D ．相交且经过圆心解析：选B 设圆心为M ，过点A ，B ，M 分别作准线 l 的垂线，垂足分别为A 1，B 1，M 1，则|MM 1|＝12(|AA 1|＋|BB 1|)．由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，∴|AB |＝|BB 1|＋|AA 1|，|MM 1|＝12|AB |，即圆心M 到准线l 的距离等于圆的半径，故以AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切．3．(2019·河南中原名校质检)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|NF |＝32|MN |，则点F 到MN 的距离为( )A.12B ．1C. 3 D ．2解析：选B 由题可知|MF |＝2，设点N 到准线的距离为d ，由抛物线的定义可得d ＝|NF |，因为|NF |＝32|MN |，所以cos ∠NMF ＝d |MN |＝|NF ||MN |＝32，所以sin ∠NMF ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫322＝12，所以点F 到MN 的距离为|MF |sin ∠NMF ＝2×12＝1，故选B.4．(2019·辽宁五校协作体模考)抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为33的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于点A ，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，则△AHF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8解析：选C 由抛物线的定义可得|AF |＝|AH |，∵直线AF 的斜率为33，∴直线AF 的倾斜角为30°，∵AH 垂直于准线，∴∠FAH ＝ 60°，故△AHF 为等边三角形．设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 24，m ＞0，由|AF |＝|AH |，得m 24－1＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24＋1，解得m ＝23，故等边△AHF 的边长|AH |＝4，∴△AHF 的面积是12×4×4sin 60°＝4 3.故选C.5．(2019·邯郸质检)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，其准线与x 轴交于点B ，直线AB 与抛物线的另一个交点为M ，若MB ―→＝λAB ―→，则实数λ为( )A ．13B ．12C ．2D ．3解析：选C 把点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入抛物线的方程得2＝2p ×12，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，则B (－1,0)，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2M 4，y M ，则AB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－2，MB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－y 2M 4，－y M ，由MB ―→＝λAB ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧－1－y 2M 4＝－32λ，－y M ＝－2λ，解得λ＝2或λ＝1(舍去)，故选C.6．(2019·辽宁葫芦岛期中)已知直线l ：3x －y －a ＝0与抛物线x 2＝4y 交于P ，Q 两点，过P ，Q 分别作l 的垂线与y 轴交于M ，N 两点，若|MN |＝1633，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析：选D ∵直线l 的方程为3x －y －a ＝0，∴直线l 的倾斜角为60°，∵直线l 与抛物线x 2＝4y 交于P ，Q 两点，过P ，Q 分别作l 的垂线与y 轴交于M ，N 两点，且|MN |＝1633，∴|P Q|＝1633sin 60°＝8.设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎨⎧3x －y －a ＝0，x 2＝4y ，得x 2－43x ＋4a ＝0，由Δ＞0得a ＜3，∴x 1＋x 2＝43，x 1x 2＝4a ，∴|P Q|＝1＋3·x 1＋x 22－4x 1x 2＝8，即48－16a ＝16，∴a ＝2，故选D.7．(2019·华大新高考质检)已知抛物线C ：y 2＝4x ，点D (2,0)，E (4,0)，M 是抛物线C 上异于原点O 的动点，连接ME 并延长交抛物线C 于点N ，连接MD ，ND 并分别延长交抛物线C 于点P ，Q ，连接P Q ，若直线MN ，P Q 的斜率存在且分别为k 1，k 2，则k 2k 1＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q(x 4，y 4)，则直线MD 的方程为x ＝x 1－2y 1y ＋2，代入抛物线C ：y 2＝4x ，整理得y 2－x 1－y 1y －8＝0，所以y 1y 3＝－8，即y 3＝－8y 1，从而x 3＝16y 21，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫16y 21，－8y 1，同理可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫16y 22，－8y 2，因为M ，E ，N 三点共线，所以y 1x 1－4＝y 2x 2－4，得y 1y 2＝－16，所以k 2＝－8y 2＋8y 116y 22－16y 21＝8y 1＋y 2，k 1＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1y 224－y 214＝4y 1＋y 2，所以k 2k 1＝2.故选C.8．(2019·辽宁五校联考)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，N 为准线l 上一点，M 为y 轴上一点，∠MNF 为直角，若线段MF 的中点E 在抛物线C 上，则△MNF 的面积为( )A ．22 B ． 2C ．322D ．3 2解析：选C 如图所示，不妨设点N 在第二象限，连接EN ，易知F (1,0)，因为∠MNF 为直角，点E 为线段MF 的中点，所以|EM |＝|EF |＝|EN |，又E 在抛物线C 上，所以EN ⊥l ，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，所以N (－1，2)，M (0，22)，所以|NF |＝6，|NM |＝3，所以△MNF 的面积为322，故选C.9．(2019·河南百校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且|MO |＝|MF |＝32(O 为坐标原点)，则OM ―→·MF ―→＝( )A ．－74B ．74C ．94D ．－94解析：选A 不妨设M (m ，2pm )(m ＞0)，易知抛物线C 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，因为|MO |＝|MF |＝32，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2pm ＝94，m ＋p 2＝32，解得m ＝12，p ＝2，所以OM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，MF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，所以OM ―→·MF ―→＝14－2＝－74.故选A.10．(2019·石家庄毕业班摸底)若抛物线y 2＝4x 上有一条长度为10的动弦AB ，则AB 的中点到y 轴的最短距离为________．解析：设抛物线的焦点为F ，准线为l ：x ＝－1，弦AB 的中点为M ，则点M 到准线l 的距离d ＝|AF |＋|BF |2≥|AB |2，所以点M 到准线l 的距离的最小值为5，所以点M 到y 轴的最短距离为5－1＝4. 答案：411．(2018·北京高考)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．解析：由题知直线l 的方程为x ＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2a )(a ＞0)．又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4a ＝4，即a ＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．答案：(1,0)12．(2019·广州海珠区一模)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，若A 为抛物线在第一象限上的一点，且|AF |＝3，则直线AF 的斜率为________．解析：∵双曲线x 23－y 2＝1的右焦点为(2,0)，∴抛物线方程为y 2＝8x ，∵|AF |＝3，∴x A ＋2＝3，得x A ＝1，代入抛物线方程可得y A ＝±2 2.∵点A 在第一象限，∴A (1，22)，∴直线AF 的斜率为221－2＝－2 2.答案：－2 213．(2019·唐山五校摸底)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________.解析：法一：设直线AB 的倾斜角为α，分别过A ，B 作准线l 的垂线AA ′，BB ′，垂足分别为A ′，B ′，则|AA ′|＝6，|BB ′|＝3，过点B 作AA ′的垂线BC ，垂足为C ，则|AC |＝3，|BC |＝62，∠BAC ＝α，所以sin α＝629＝223，所以|AB |＝2psin 2α＝9，解得p ＝4. 法二：设直线AB 的倾斜角为α，不妨设A 在x 轴上方，B 在x 轴下方，则|AF |＝p1－cos α，|BF |＝p1＋cos α，则有p 1－cos α＝2×p 1＋cos α，解得cos α＝13，又|AF |＝p1－cos α＝6，所以p ＝4.法三：由结论1|AF |＋1|BF |＝2p ，得16＋13＝2p ，解得p ＝4.答案：414．(2019·武汉调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线的交点为N .(1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 的面积的最小值为4，求抛物线C 的方程．解：由题意知，直线AB 的斜率一定存在，∴设直线AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2－2pkx －2p ＝0，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .① (1)由x 2＝2py 得y ′＝x p ，则A ，B 处的切线斜率的乘积为x 1x 2p 2＝－2p， ∵点N 在以AB 为直径的圆上， ∴AN ⊥BN ，∴－2p＝－1，∴p ＝2.(2)易得直线AN ：y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线BN ：y －y 2＝x 2p(x －x 2)，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y －y 1＝x1px －x 1，y －y 2＝x2px －x 2，结合①式，解得⎩⎨⎧x ＝pk ，y ＝－1，即N (pk ，－1)．|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k 2， 则S △ABN ＝12·|AB |·d ＝ppk 2＋3≥22p ，当k ＝0时，取等号，∵△ABN 的面积的最小值为4，∴22p ＝4，∴p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .15．(2019·贵阳摸底)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且|AB |＝8.11 (1)求直线l 的方程；(2)若A 关于x 轴的对称点为D ，抛物线的准线与x 轴的交点为E ，求证：B ，D ，E 三点共线． 解：(1)F 的坐标为(1,0)，则l 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，由题意知k ≠0，且[－(2k 2＋4)]2－4k 2·k 2＝16(k 2＋1)＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1， 由抛物线的定义知|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8，∴2k 2＋4k 2＝6，∴k 2＝1，即k ＝±1， ∴直线l 的方程为y ＝±(x －1)．(2)证明：由抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x 1，－y 1)，又E (－1,0)，∴k EB －k ED ＝y 2x 2＋1－－y 1x 1＋1＝y 2x 1＋＋y 1x 2＋x 1＋x 2＋，y 2(x 1＋1)＋y 1(x 2＋1)＝y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214＋1＋y 1⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224＋1 ＝y 1y 24(y 1＋y 2)＋(y 1＋y 2)＝(y 1＋y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 24＋1. 由(1)知x 1x 2＝1，∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16，又y 1与y 2异号，∴y 1y 2＝－4，即y 1y 24＋1＝0，∴k EB ＝k ED ，又ED 与EB 有公共点E ，∴B ，D ，E 三点共线．。
2020版高考数学一轮复习第七章解析几何第7讲抛物线课时作业理20200712295
第7讲 抛物线1．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－122．(2013年新课标Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝4 2x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝4 2，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．43．(2016年辽宁五校联考)已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．2 B.12 C.32 D.524．已知M 是y ＝x 24上一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是( )A ．2B ．4C ．8D ．105．(2016年新课标Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2 6．(2015年浙江)如图X771，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )图X771A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1 7．(2017年新课标Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 38．(2017年江西南昌二模)已知抛物线C ：y 2＝4x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的投影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝( )A.83B.8 33C.163D.16 339．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦距为4 2，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点F 是椭圆C 1的顶点．(1)求C 1与C 2的标准方程；(2)若C 2的切线交C 1于P ，Q 两点，且满足FP →·FQ →＝0，求直线PQ 的方程．10．(2017年北京)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．第7讲 抛物线1．C 解析：由点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，得焦点F (2,0)，∴k AF ＝3－2－2＝－34.故选C.2．C 解析：假设P (x 0，y 0)在第一象限，则|PF |＝x 0＋2＝4 2.∴x 0＝3 2.∴y 20＝42x 0＝4 2×3 2＝24.∴|y 0|＝2 6.∵F (2，0)，∴S △POF ＝12|OF |·|y 0|＝12×2×2 6＝2 3.3．C 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4.又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3.所以点C 的横坐标为x 1＋x 22＝32.故选C.4．B 解析：如图D134，抛物线的准线l ：y ＝－1，由抛物线定义可知，当M 为过C 且与l 垂直的直线与抛物线的交点时，|MC |＋|MF |最小为5，∴|MA |＋|MF |的最小值为5－1＝4.故选B.图D1345．D 解析：因为F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，所以F (1,0)．又因为曲线y ＝k x(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，所以P (1,2)．所以k ＝2.故选D.6．A 解析：S △BCF S △ACF ＝BC AC ＝x B x A ＝|BF |－1|AF |－1. 7．C 解析：由抛物线定义知MN ＝MF ，显然三角形MNF 为正三角形，MN ＝MF ＝NF ＝4，则点M 到直线NF 的距离为2 3.故选C.8．B 解析：方法一，由题意，可得直线PQ ：y ＝3(x －1)与抛物线y 2＝4x 联立得：3x 2－10x ＋3＝0.所以点P (3,2 3)，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2 33，则MN ＝2 3＋2 33＝8 33.在△MNF中，MN 边上的高h ＝2，则S △MNF ＝12×2×8 33＝8 33.故选B.方法二，不妨设交点P 在x 轴上方，由抛物线焦点弦性质，得|PF |＝|PM |，|QF |＝|QN |，且1|PF |＋1|QF |＝2p ＝1, |PM |－|QN ||PM |＋|QN |＝|PF |－|QF ||PF |＋|QF |＝12，故|PF |＝4，|QF |＝43. 所以S △MNF ＝12×|MN |×p ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋43×32×2＝8 33.故选B.9．解：(1)设椭圆C 1的焦距为2c ，依题意有2c ＝4 2，c a ＝63.解得a ＝2 3，c ＝2 2，又b 2＝a 2－c 2，则b ＝2.故椭圆C 1的标准方程为x 212＋y 24＝1.又抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)开口向上，且F 是椭圆C 1的上顶点，∴F (0,2)．∴p ＝4.故抛物线C 2的标准方程为x 2＝8y .(2)显然直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 则FP →＝(x 1，y 1－2)，FQ →＝(x 2，y 2－2)． ∴FP →·FQ →＝x 1x 2＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.由此可得，(1＋k 2)x 1x 2＋(km －2k )(x 1＋x 2)＋m 2－4m ＋4＝0. ①联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 212＋y24＝1消去y 整理，得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－12＝0. ②依题意，得x 1，x 2是方程②的两根， Δ＝144k 2－12m 2＋48>0，∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1·x 2＝3m 2－123k 2＋1.将x 1＋x 2和x 1·x 2代入①，得m 2－m －2＝0，解得m ＝－1(m ＝2不合题意，应舍去)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＝8y 消去y 整理，得x 2－8kx ＋8＝0，令Δ′＝64k 2－32＝0.解得k 2＝12，经检验k 2＝12，m ＝－1符合要求．故直线PQ 的方程为y ＝±22x －1. 10．(1)解：由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)得p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x .抛物线y 2＝x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14.(2)证明：设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，直线l 与抛物线的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k 2.因为点P 的坐标为(1,1)， 所以直线OP 的方程为y ＝x . 则点A 的坐标为(x 1，x 1)．因为直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，所以点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 1y 2x 2.因为y 1＋x 1y 2x 2－2x 1＝y 1x 2＋x 1y 2－2x 1x 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋x 1⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋12－2x 1x2x 2＝2k －2x 1x 2＋12x 1＋x 2x 2＝2k －2×14k 2＋12×1－kk2x 2＝0，所以y 1＋x 1y 2x 2＝2x 1.故A 为线段BM 的中点．。
2020年山东省高考数学一轮冲刺复习汇编：抛物线(含解析)
2020年山东省高考数学一轮冲刺复习汇编：抛物线（含解析）一、【知识精讲】 1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. (2)其数学表达式：{M ||MF |＝d }(d 为点M 到准线l 的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质【注意点】1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p 2，也称为抛物线的焦半径.二、【典例精练】考点一 抛物线的定义及应用【例1】 (1)(2019·厦门外国语模拟)已知抛物线x 2＝2y 的焦点为F ，其上有两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)满足|AF |－|BF |＝2，则y 1＋x 21－y 2－x 22＝( )A.4B.6C.8D.10(2)（2019全国II ）若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．8 【答案】 (1)B (2)D【解析】 (1)由抛物线定义知|AF |＝y 1＋12，|BF |＝y 2＋12，∴|AF |－|BF |＝y 1－y 2＝2，又知x 21＝2y 1，x 22＝2y 2，∴x 21－x 22＝2(y 1－y 2)＝4，∴y 1＋x 21－y 2－x 22＝(y 1－y 2)＋(x 21－x 22)＝2＋4＝6.(2) 由题意可得：232p p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得8p =．故选D ．【解法小结】 应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝|x 0|＋p2或|PF |＝|y 0|＋p2.考点二 抛物线的标准方程及其性质【例2】 (1)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，其准线l 与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，当|MA ||MF |＝2时，△AMF 的面积为( )A.1B. 2C.2D.2 2(2) （2012山东）已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2．若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程。
高考数学第一轮复习：《抛物线》
高考数学第一轮复习：《抛物线》最新考纲1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想．3.了解抛物线的简单应用.【教材导读】1．若抛物线定义中定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？提示：当定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是过点F 且与直线l 垂直的直线． 2．抛物线的标准方程中p 的几何意义是什么？ 提示：p 的几何意义是焦点到准线的距离．1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程及其简单几何性质标准 方程 y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)图形顶点 (0,0)对称轴 x 轴y 轴焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 离心率 e ＝1准线方程x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p2y ＝p 2【重要结论】抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2 α(α为弦AB 的倾斜角)． (3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p .1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( ) (A)(－1,0) (B)(1,0) (C)(0，－1)(D)(0,1)B 解析：由准线过已知点可求出p 的值，进而可求出抛物线的焦点坐标．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2且过点(－1,1)，故－p2＝－1，解得p ＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．2．若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( ) (A)2 (B)12 (C)14(D)18D 解析：本题考查抛物线的定义．抛物线y ＝2x 2上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，所以最小距离是p 2，又2p ＝12，则p 2＝18，即|PF |的最小值为18，故选D.3．已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( ) (A)2 (B)12 (C)32(D)52C 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4， 又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3， 所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32.4．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)，若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．解析：依题意知F 坐标为p2，0， 所以B 的坐标为p4，1代入抛物线方程得 p 22＝1，解得p ＝2，所以抛物线准线方程为x ＝－22，所以点B 到抛物线准线的距离为24＋22＝34 2. 答案：34 25．直线l 过抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是6，AB 的中点到x 轴的距离是1，则此抛物线方程是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2＋p ＝6，∴p ＝4.即抛物线方程为x 2＝8y .答案：x 2＝8y考点一 抛物线的定义及其应用(1)长为2的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝x 上滑动，则线段AB 的中点M到y 轴距离的最小值是________．(2)已知点P 是抛物线y 2＝4x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是(4，a )，则当|a |＞4时，|P A |＋|PM |的最小值是________．(3)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________．解析：(1)如图，AB＝2，要使AB的中点M到y轴的距离最小，则|BG|＋|AE|的值最小，即|AF|＋|BF|的值最小．在△ABF中，|AF|＋|BF|≥|AB|，当A，B，F三点共线时取等号，即当线段AB过焦点F时，AB的中点M到y轴的距离最小，最小值为|AE|＋|BG|2－14＝1－14＝34.(2)将x＝4代入抛物线的方程y2＝4x，得y＝±4.又|a|＞4，所以点A在抛物线的外部．由题意知F(1,0)，设抛物线上点P到准线l：x＝－1的距离为|PN|，由定义知，|P A|＋|PM|＝|P A|＋|PN|－1＝|P A|＋|PF|－1.画出简图(图略)，易知当A，P，F三点共线时，|P A|＋|PF|取得最小值，此时|P A|＋|PM|也最小，最小值为|AF|－1＝9＋a2－1.(3)由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2.依据抛物线的定义知，当|AB为通径，即|AB|＝2p＝4时，|AB|的值最小，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.答案：(1)34(2)9＋a2－1(3)2【反思归纳】利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的相互转化．【即时训练】(1)已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值是()(A)522＋2 (B)522＋1 (C)522－2(D)522－1(2)若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( )(A)(0,0) (B)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 (C)(1，2)(D)(2,2)解析：(1)如图，点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，从而P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1，过焦点F 作直线x －y ＋4＝0的垂线，此时d 1＋d 2＝|PF |＋d 2－1最小．因为F (0,1)，则|PF |＋d 2＝|1－0＋4|1＋1＝522，则d 1＋d 2的最小值为522－1.(2)过M 点作左准线的垂线，垂足是N ，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M (2,2)．故选D.答案：(1)D (2)D考点二 抛物线的标准方程及性质(1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( )(A)±3 (B)±1 (C)±34(D)±33(2)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为103，则|AB |＝( )(A)133 (B)143 (C)5(D)163(3)过抛物线C ：x 2＝2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则|AF |＝( )(A)1 (B)2 (C)3(D)4解析：(1)设M (x 0，y 0)，易知焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由抛物线的定义得|MF |＝x 0＋p 2＝2p ，所以x 0＝32p ，故y 20＝2p ×32p ＝3p 2，解得y 0＝±3p ，故直线MF 的斜率k ＝±3p 32p －p 2＝±3，选A. (2)∵p ＝2，∴|AB |＝2＋103＝163.故选D. (3)∵x 2＝2y ，∴y ＝x 22，∴y ′＝x ，∵抛物线C 在点B 处的切线斜率为1， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 ∵抛物线x 2＝2y 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，∴直线l 的方程为y ＝12， ∴|AF |＝|BF |＝1.故选A. 答案：(1)A (2)D (3)A【反思归纳】 (1)抛物线几何性质的确定由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离；从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．(2)求抛物线的标准方程的方法①因为抛物线方程有四种上标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．②因为未知数只有p，所以只需利用待定系数法确定p值即可．提醒：求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx 或x2＝my(m≠0)．【即时训练】(1)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为()(A)y2＝3 2x(B)y2＝3x(C)y2＝9 2x(D)y2＝9x(2)若双曲线C：2x2－y2＝m(m＞0)与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，且|AB|＝43，则m的值是________．答案：(1)B(2)20考点三直线与抛物线的位置关系考查角度1：直线与抛物线的交点问题．如图，已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，焦点为F，过点G(p,0)作直线l交抛物线C 于A ，M 两点，设A (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)．(1)若y 1y 2＝－8，求抛物线C 的方程；(2)若直线AF 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点B ，直线BG 交抛物线C 于另一点N .求证：直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．解：(1)设直线AM 的方程为x ＝my ＋p ，代入y 2＝2px 得y 2－2mpy －2p 2＝0， 则y 1y 2＝－2p 2＝－8，得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)证明：设B (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)． 由(1)可知y 3y 4＝－2p 2，y 1y 3＝－p 2. 又直线AB 的斜率k AB ＝y 3－y 1x 3－x 1＝2p y 1＋y 3，直线MN 的斜率k MN ＝y 4－y 2x 4－x 2＝2py 2＋y 4，∴k AB k MN ＝y 2＋y 4y 1＋y 3＝－2p 2y 1＋－2p 2y 3y 1＋y 3＝－2p 2y 1y 3(y 1＋y 3)y 1＋y 3＝2.故直线AB 与直线MN 斜率之比为定值． 【反思归纳】 直线与抛物线位置关系的判断直线y ＝kx ＋m (m ≠0)或x ＝my ＋n 与抛物线y 2＝2px (p >0)联立方程组，消去y ，得到k 2x 2＋2(mk －p )x ＋m 2＝0的形式．当k ＝0时，直线和抛物线相交，且与抛物线的对称轴平行，此时与抛物线只有一个交点；当k ≠0时，设其判别式为Δ，(1)相交：Δ>0⇔直线与抛物线有两个交点； (2)相切：Δ＝0⇔直线与抛物线有一个交点； (3)相离：Δ<0⇔直线与抛物线没有交点．提醒：过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点；两条切线和一条平行于对称轴的直线．考查角度2：直线与抛物线的相交弦问题设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l .已知点A 在抛物线C 上，点B 在l 上，△ABF 是边长为4的等边三角形．(1)求p 的值；(2)在x 轴上是否存在一点N ，当过点N 的直线与抛物线C 交于Q 、R 两点时，1|NQ |2＋1|NR |2为定值？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．解析：(1)由题知，|AF |＝|AB |，则AB ⊥l .设准线与x 轴交于点D ，则AB ∥DF .又△ABF 是边长为4的等边三角形，∠ABF ＝60°，所以∠BFD ＝60°，|DF |＝|BF |·cos ∠BFD ＝4×12＝2，即p＝2.(2)设点N (t,0)，由题意知直线的斜率不为零， 设直线的方程为x ＝my ＋t ，点Q (x 1，y 1)，R (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t y 2＝4x 得，y 2－4my －4t ＝0，则Δ＝16m 2＋16t ＞0，y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝－4t .又|NQ |2＝(x 1－t )2＋y 21＝(my 1＋t －t )2＋y 21＝(1＋m 2)y 21，同理可得|NR |2＝(1＋m 2)y 22，则有1|NQ |2＋1|NR |2＝1(1＋m 2)y 21＋1(1＋m 2)y 22＝y 21＋y 22(1＋m 2)y 21y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2(1＋m 2)y 21y 22＝16m 2＋8t 16(1＋m 2)t 2＝2m 2＋t (2m 2＋2)t2. 若1|NQ |2＋1|NR |2为定值，则t ＝2，此时点N (2,0)为定点． 又当t ＝2，m ∈R 时，Δ＞0，所以，存在点N (2,0)，当过点N 的直线与抛物线C 交于Q 、R 两点时，1|NQ |2＋1|NR |2为定值14.【反思归纳】 直线与抛物线相交问题处理规律(1)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用根与系数的关系，避免求交点坐标的复杂运算．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．(2)对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图象结合几何性质做出解答．并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用.抛物线的综合问题已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.审题点拨关键点 所获信息 抛物线y 2＝4x 可求焦点坐标 ∠AMB ＝90°k MA ·k MB ＝－1解题突破：把∠AMB ＝90°转化为斜率之积为－1.解析：由题意知，抛物线的焦点坐标为F (1,0)，设直线方程为y ＝k (x －1)，直线方程与y 2＝4x 联立，消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2. 由M (－1,1)，得AM→＝(－1－x 1,1－y 1)，BM →＝(－1－x 2,1－y 2)．由∠AMB ＝90°，得AM →·BM →＝0，∴ (x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0， ∴ x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0. 又y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，∴ 1＋2k 2＋4k 2＋1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k 2＋4k 2＋1－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 2－2＋1＝0，整理得4k 2－4k ＋1＝0，解得k ＝2.答案：2命题意图：本题重点考查直线与抛物线的应用，考查考生的运算能力．课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )(A)12 (B)1 (C)32(D)2B 解析：设P (x p ，y p )，由题可得抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，又点P 到焦点F 的距离为2，∴由定义知点P 到准线的距离为2，∴x P ＋1＝2，∴x P ＝1，代入抛物线方程得|y P |＝2，∴△OFP 的面积为S ＝12·|OF |·|y P |＝12×1×2＝1.故选B.2．若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0,1)，则a ＝( ) (A)1 (B)14 (C)2(D)12B 解析：因为抛物线方程为x 2＝1a y ，所以其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，则有14a ＝1，a ＝14，故选B.3．已知P 为抛物线y 2＝－6x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －6)2＝14上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到y 轴距离之和的最小值是( )(A)317－72(B)317－42 (C)317－12(D)317＋12B 解析：结合抛物线的定义知，P 到y 轴的距离为P 到焦点的距离减去32，则所求最小值为抛物线的焦点到圆心的距离减去半径及32，即62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－12－32＝317－42，故选B.4．若点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，O是坐标原点，若正三角形OAB的面积为43，则该抛物线方程是()(A)y2＝233x(B)y2＝3x(C)y2＝23x(D)y2＝3 3xA解析：根据对称性，AB⊥x轴，由于正三角形的面积是43，故34AB2＝43，故AB＝4，正三角形的高为23，故可以设点A的坐标为(23，2)，代入抛物线方程得4＝43p，解得p＝33，故所求的抛物线方程为y2＝233x.故选A.5．已知直线l1：4x－3y＋7＝0和直线l2：x＝－2，抛物线y2＝8x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值是()(A) 5 (B)2 5(C)3 (D)3 5C解析：如图所示，过点P作PH1⊥l1，PH2⊥l2，连接PF，H1F，过F作FM⊥l1，交l1于M，由抛物线方程为y2＝8x，得l2为其准线，焦点为F(2,0)，由抛物线的定义可知|PH1|＋|PH2|＝|PH1|＋|PF|≥|FH1|≥|FM|＝|4×2－0＋7|42＋32＝3，故选C.6．已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A ，B 两点，如果OA →·OB→＝－12，那么抛物线C 的方程为( )(A)x 2＝8y (B)x 2＝4y (C)y 2＝8x(D)y 2＝4xC 解析：由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 直线方程为x ＝my ＋p2，联立⎩⎨⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p2，消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝my 1＋p 2my 2＋p 2＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12⇒p ＝4，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .7．过抛物线y ＝14x 2的焦点F 作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，题中的抛物线x 2＝4y 的焦点坐标是F (0,1)，直线AB 的方程为y ＝33x ＋1，即x ＝3(y －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，x ＝3(y －1)，消去x 得3(y －1)2＝4y ，即3y 2－10y ＋3＝0，y 1＋y 2＝103，|AB |＝|AF |＋|BF |＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＝y 1＋y 2＋2＝163.答案：1638．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，AB 为抛物线上的两点，以AB 为直径的圆过点F ，过AB 的中点M 作抛物线的准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为__________．解析：由抛物线定义得|MN ||AB |＝|AF |＋|BF |2|AF |2＋|BF |2≤|AF |2＋|BF |22|AF |2＋|BF |2＝22，即|MN ||AB |的最大值为22.答案： 229．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝5，则|BF |＝________. 解析：由题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AF |＝x 1＋1＝5⇒x 1＝4，y 21＝4x 1＝16， 根据对称性，不妨取y 1＝4， 所以直线AB ：y ＝43x －43，代入抛物线方程可得，4x 2－17x ＋4＝0， 所以x 2＝14， 所以|BF |＝x 2＋1＝54. 答案：5410．在平面直角坐标系中，动点M (x ，y )(x ≥0)到点F (1,0)的距离与到y 轴的距离之差为1.(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)若Q (－4,2)，过点N (4,0)作任意一条直线交曲线C 于A ，B 两点，试证明k QA ＋k QB 是一个定值．解析：(1)M 到定点F (1,0)的距离与到定直线x ＝－1的距离相等， ∴M 的轨迹C 是一个开口向右的抛物线，且p ＝2， ∴M 的轨迹方程为y 2＝4x .(2)设过N (4,0)的直线的方程为x ＝my ＋4，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋4整理得y 2－4my －16＝0，设直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－16， 又k QA ＋k QB ＝y 1－2x 1＋4＋y 2－2x 2＋4＝y 1－2my 1＋8＋y 2－2my 2＋8＝－8m 2－3216m 2＋64＝－12， 因此k QA ＋k QB 是一个定值为－12.能力提升练(时间：15分钟)11．已知直线l 1：x ＝2，l 2：3x ＋5y －30＝0，点P 为抛物线y 2＝－8x 上的任一点，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为( )(A)2 (B)234 (C)181734(D)161534C 解析：抛物线y 2＝－8x 的焦点为F (－2,0)，准线为l 1：x ＝2. ∴P 到l 1的距离等于|PF |，∴P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为F (－2,0)到直线l 2的距离d ＝|－6＋0－30|9＋25＝181734.故选C.12．已知点A (0,2)，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于( )(A)18 (B)14 (C)2(D)4C 解析：设M (x M ，y M )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y N ，由|FM ||MN |＝55，知|FM ||FN |＝15＋1，所以y N ＝(5＋1)y M ；由k F A ＝k FN 知，y N －p ＝2－p 2，所以y N ＝4，所以y M ＝45＋1；又|FM ||FN |＝15＋1，所以p 2－x M ＝15＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 2＝p 5＋1，所以x M ＝()5－1p 2(5＋1)，将(x M ，y M )代入y 2＝2px ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋12＝2p ×(5－1)p 2(5＋1)，解得p ＝2.故选C.13．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，p 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，p 2，射线MO ，NO 分别交抛物线C 于异于点O 的点A ，B ，若A ，B ，F 三点共线，则p 的值为________．解析：直线OM 的方程为y ＝－p8x ，将其代入x 2＝2py ， 解方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－p 24y ＝p 332，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 24，p 332.直线ON 的方程为y ＝p2x ，将其代入x 2＝2py ，解方程可得⎩⎨⎧x ＝p 2y ＝p 32，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p 32.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以k AB ＝3p 8，k BF ＝p 2－12p ，因为A ，B ，F 三点共线，所以k AB ＝k BF ，即3p 8＝p 2－12p ，解得p ＝2.答案：214．顶点在原点，经过圆C ：x 2＋y 2－2x ＋22y ＝0的圆心且准线与x 轴垂直的抛物线方程为________．解析：将圆C 的一般方程化为标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝3，圆心为(1，－2)．由题意，知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，且经过点(1，－2)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px ，因为点(1，－2)在抛物线上，所以(－2)2＝2p ，解得p ＝1，所以所求抛物线的方程为y 2＝2x .答案：y 2＝2x15．已知AB 是抛物线x 2＝4y 的一条焦点弦，若该弦的中点纵坐标是3，则弦AB 所在的直线方程是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB 的方程为x ＝m (y －1)，由抛物线的定义及题设可得，y 1＋y 2＝6， 直线与抛物线方程联立消去x 可得 m 2y 2－(2m 2＋4)y ＋m 2＝0， 则y 1＋y 2＝2m 2＋4m 2，即6＝2m 2＋4m 2， 可得m ＝1或m ＝－1.故直线方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0. 答案：x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝016．已知抛物线C ：y ＝mx 2(m ＞0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q ，①求抛物线C 的焦点坐标．②若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值．③是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解析：①因为抛物线C ：x 2＝1m y ，所以它的焦点F (0，14m )． ②因为|RF |＝y R ＋14m ，所以2＋14m ＝3，得m ＝14.③存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)＞0恒成立．解得m ＞－12.设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m .(*)因为P 是线段AB 的中点，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，mx 21＋mx 222， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，y P ，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，1m .得QA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1m ，mx 21－1m ， QB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1m ，mx 22－1m ， 若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形， 则QA →·QB→＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 21－1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 22－1m ＝0， 结合(*)化简得－4m 2－6m ＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0， 所以m ＝2或m ＝－12.而2∈(－12，＋∞)，－12∉(－12，＋∞)．。
2020届高考理科数学一轮复习第9章 第7节 抛物线含答案
第七节抛物线1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．❶其中点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程❷和几何性质若定点F 在定直线l 上，则动点的轨迹为过点F 且垂直于l 的一条直线． 四种不同抛物线方程的异同点[熟记常用结论]设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；(2)|AF|＝p1－cos α，|BF|＝p1＋cos α，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)；(3)1|FA|＋1|FB|＝2p；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、选填题1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫18，0 B.⎝⎛⎭⎫12，0 C.⎝⎛⎭⎫0，18 D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选C 抛物线的标准方程为x 2＝12y ，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，18. 2．若点P 到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为( ) A ．y 2＝8x B.y 2＝－8x C ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y解析：选C 点P 到F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，因此P 到F (0,2)的距离与它到直线y ＋2＝0的距离相等，故P 的轨迹是以F 为焦点，y ＝－2为准线的抛物线，所以P 的轨迹方程为x 2＝8y .3．抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线方程是( ) A ．y 2＝－8x B.y 2＝－4x C ．y 2＝8xD ．y 2＝4x解析：选C 由抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，知p ＝4，且开口向右，故抛物线方程为y 2＝8x .4．焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为____________________． 解析：当焦点在x 轴上时，令方程2x ＋y ＋2＝0中的y ＝0，得焦点为(－1,0)， 故抛物线方程为y 2＝－4x ，当焦点在y 轴上时，令方程2x ＋y ＋2＝0中的x ＝0，得焦点为(0，－2)， 故抛物线方程为x 2＝－8y . 答案：y 2＝－4x 或x 2＝－8y5．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________．解析：M 到准线的距离等于M 到焦点的距离， 又准线方程为y ＝－116， 设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516. 答案：1516考点一 抛物线的定义及应用[师生共研过关][典例精析](1)若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )A.12 B ．1 C.32D ．2(2)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 是抛物线的焦点．若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．[解析] (1)设P (x P ，y P )，由题可得抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1. 又点P 到焦点F 的距离为2， ∴由定义知点P 到准线的距离为2. ∴x P ＋1＝2，∴x P ＝1. 代入抛物线方程得|y P |＝2，∴△OFP 的面积为S ＝12·|OF |·|y P |＝12×1×2＝1.(2)如图，过点B 作B Q 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P1， 则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|B Q |＝4， 即|PB |＋|PF |的最小值为4. [答案] (1)B (2)4 [变式发散]1．(变条件)若将本例(2)中“B (3,2)”改为B (3,4)，则|PB |＋|PF |的最小值为________． 解析：由题意可知点B (3,4)在抛物线的外部．∵|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离，F (1,0)， ∴|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.答案：2 52．(变设问)在本例(2)条件下，点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．解析：如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到点F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到点F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－(－1)]2＋(0－1)2＝ 5.答案： 5[解题技法]与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．[提醒]注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.[过关训练]1．若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为________．解析：过点M作准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．答案：(2,2)2．(2019·襄阳测试)已知抛物线y＝12x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝2|NF|，则|MF|＝________.解析：如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝2|NH|，则∠NMH＝45°.在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝2|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝ 2.答案： 2考点二抛物线的标准方程与几何性质[师生共研过关][典例精析](1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为()A．(－1,0)B．(1,0)C．(0，－1) D．(0,1)(2)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点A (0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B.y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x[解析] (1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p 2且过点(－1,1)，故－p2＝－1，解得p ＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．(2)由已知得抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0设点M (x 0，y 0)，则AF ―→＝⎝⎛⎭⎫p 2，－2，AM ―→＝⎝⎛⎭⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF ―→·AM ―→＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝⎛⎭⎫8p ，4. 由|MF |＝5，得 ⎝⎛⎭⎫8p －p 22＋16＝5.又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8.故C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .[答案] (1)B (2)C[解题技法]1．求抛物线标准方程的方法(1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p )，那么只需求出p 即可． (2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为y 2＝ax (a ≠0)，a 的正负由题设来定；焦点在y 轴上的抛物线的标准方程可设为x 2＝ay (a ≠0)，这样就减少了不必要的讨论．2．抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程． (2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．[过关训练]1．(2019·武汉调研)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x解析：选B 如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由已知得：|BC |＝2a ，由抛物线定义得：|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在直角三角形ACE 中，因为|AE |＝|AF |＝6，|AC |＝6＋3a ，2|AE |＝|AC |，所以6＋3a ＝12，从而得a ＝2，|FC |＝3a ＝6，所以p ＝|FG |＝12|FC |＝3，因此抛物线方程为y 2＝6x .2．(2018·合肥模拟)已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，若△FPM 为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．解析：△FPM 为等边三角形，则|PM |＝|PF |，由抛物线的定义得PM 垂直于抛物线的准线，设P ⎝⎛⎭⎫m ，m 22p ，则点M ⎝⎛⎭⎫m ，－p 2.因为焦点F ⎝⎛⎭⎫0，p2，△FPM 是等边三角形，所以⎩⎨⎧m 22p ＋p2＝4，⎝⎛⎭⎫p 2＋p 22＋m 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝12，p ＝2，因此抛物线方程为x 2＝4y .答案：x 2＝4y考点三 直线与抛物线的位置关系[师生共研过关][典例精析]设A ，B 为曲线C ：y ＝x 22上两点，A 与B 的横坐标之和为2.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，曲线C 在点M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．[解] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1≠x 2，y 1＝x 212，y 2＝x 222，x 1＋x 2＝2，故直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22＝1.(2)由y ＝x 22，得y ′＝x .设M (x 3，y 3)，由题设知x 3＝1，于是M ⎝⎛⎭⎫1，12. 设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (1,1＋m )，|MN |＝⎪⎪⎪⎪m ＋12. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 22，得x 2－2x －2m ＝0.由Δ＝4＋8m ＞0，得m ＞－12，x 1,2＝1±1＋2m .从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝22(1＋2m ). 由题设知|AB |＝2|MN |，即2(1＋2m )＝⎪⎪⎪⎪m ＋12，解得m ＝72.所以直线AB 的方程为y ＝x ＋72.[解题技法]1．直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组． (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决． 2．解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[提醒] 涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．[过关训练]1．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，∴y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.设AB 中点为M ′(x 0，y 0)，抛物线的焦点为F ，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为A ′，B ′，则|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．∵M ′(x 0，y 0)为AB 中点，∴M 为A ′B ′的中点，∴MM ′平行于x 轴， ∴y 1＋y 2＝2，∴k ＝2. 答案：22．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△FAB 的面积．解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， ∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8，∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m ＞0，∴m ＞－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍去)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)．故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝24 5.。
新课标2020年高考数学一轮总复习第八章平面解析几何8_7抛物线课时规范练理含解析新人教
8-7 抛物线课时规范练(授课提示：对应学生用书第311页)A 组 基础对点练1．抛物线y ＝4x 2的焦点坐标是( C )A. B ．(1,0)(116，0)C. D ．(0,1)(0，116)2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝( B )A ．9B ．8C ．7D ．63．已知点F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在抛物线C 上，若|AF |＝4，则线段AF 的中点到抛物线C 的准线的距离为( B )A ．4 B ．3C ．2D ．14．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝x 0，则x 0＝( C )54A ．4 B ．2C ．1D ．85．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝4，则△POF 22的面积为( C )A ．2 B ．22C ．2D ．436．在同一平面直角坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)表示的曲线大致是( D )7．已知P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆(x －3)2＋(y －1)2＝1上的一个动点，N (1,0)是一个定点，则|PQ |＋|PN |的最小值为( A )A ．3 B ．4C ．5D ．＋128．(2018·高考北京卷)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为 (1,0) ．解析：易求得a ＝1，∴y 2＝4x ，由抛物线方程可得2p ＝4，p ＝2，＝1，∴焦点坐标为(1,0)．p29．若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝ 2 .2解析：y 2＝2px 的准线方程为x ＝－，又p >0，所以x ＝－必经过双曲线x 2－y 2＝1的左焦p 2p2点(－，0)，所以－＝－，p ＝2.2p22210．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当直线PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解析：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)．∵点P (1,2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ，则k PA ＝(x 1≠1)，k PB ＝(x 2≠1)，y 1－2x 1－1y 2－2x 2－1∵直线PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k PA ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y ＝4x 1，① y ＝4x 2，②212∴＝－，y 1－214y 21－1y 2－214y 2－1∴y 1＋2＝－(y 2＋2)，∴y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y －y ＝4(x 1－x 2)，212∴k AB ＝＝＝－1(x 1≠x 2)．y 1－y 2x 1－x 24y 1＋y 211．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A ，B 两点，坐标原点为O ，·＝12.OA → OB →(1)求抛物线的方程；(2)当以|AB |为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程．解析：(1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px 中，得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝＝4.y 21y24p2因为·＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12，解得p ＝2，故抛物线的方程为y 2＝4x .OA → OB →(2)由(1)中(*)可化为y 2－4my ＋8＝0，得y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.设AB 的中点为M ，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，①又|AB |＝|y 1－y 2|＝，②1＋m 2 1＋m 2 16m 2－32 由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2，解得m 2＝3，即m ＝±，3所以直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0或x －y ＋2＝0.33B 组 能力提升练1．已知抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PA |＝2，则直线AF 的倾斜角为( D )A. B ．4π32π3C. D ．3π45π62．已知点F 是抛物线C ：y ＝ax 2(a ≠0)的焦点，点A 在抛物线C 上，则以线段AF 为直径的圆与x 轴的位置关系是( C )A ．相离 B ．相交C ．相切D ．无法确定3．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( D )A.B ．334938C. D ．6332944．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B12是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( B )A ．3 B ．6C ．9D ．125．抛物线C 1：y ＝x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象12p x 23限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( D )A.B ．31638C.D ．233433解析：由已知得抛物线的焦点坐标为，双曲线的右焦点坐标为(2,0)，所以上述两点(0，p2)连线的方程为＋＝1.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，对函数y ＝x 2求导得，y ′＝x .x 22y p 3312p 1p 设M (x 0，y 0)，则x 0＝，即x 0＝p ，代入抛物线方程得，y 0＝p .由于点M 在直线＋＝11p333316x 22yp 上，所以p ＋×＝1，解得p ＝＝.362p p 6434336．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦长|AB |为 8 .解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．易得抛物线的焦点是F (1,0)，所以直线AB 的方程是y ＝x －1，联立Error!消去y 得x 2－6x ＋1＝0，所以x 1＋x 2＝6，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.7．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线y 2－x 2＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝ 2 .3解析：易得双曲线y 2－x 2＝1过点，(－p 2，p3)从而－＝1，所以p ＝2.p 23p 2438．已知直线l ：y ＝kx ＋t 与圆：x 2＋(y ＋1)2＝1相切，且与抛物线C ：x 2＝4y 交于不同的两点M ，N ，则实数t 的取值范围是 t >0或t <－3 .解析：因为直线l 与圆相切，所以＝1⇒k 2＝t 2＋2t .再把直线l 的方程代入抛物线方|t ＋1|1＋k 2。
2020版新一线高考理科数学一轮复习教学案：第8章第7节抛物线含答案
第七节 抛物线[考纲传真] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质与抛物线有关的结论(1)抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p 2，也称为抛物线的焦半径．(2)y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a 4.(3)设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则①x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2. ②弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)． ③以弦AB 为直径的圆与准线相切．④通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切． ( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2．抛物线y ＝14x 2的准线方程是( ) A ．y ＝－1 B ．y ＝－2 C ．x ＝－1D ．x ＝－2A [∵y ＝14x 2，∴x 2＝4y ，∴准线方程为y ＝－1.]3．(教材改编)若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )A.1716B.1516C.78 D ．0B [M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516.]4．(教材改编)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于( )A．9 B．8 C．7 D．6B[抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x 1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.]5．(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．y2＝－8x或x2＝－y[设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.]抛物线的定义与应用【例1】设P|PB|＋|PF|的最小值为________．4[如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.][拓展探究](1)若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．(2)若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．[解](1)由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.(2)由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为|1＋5|12＋(－1)2＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.的一个动点，N(1,0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为( )A．3 B．4 C．5 D.2＋1(2)动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________.(1)A(2)y2＝4x[(1)由抛物线方程y2＝4x，可得抛物线的焦点F(1,0)，又N(1,0)，所以N与F重合．过圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的圆心M作抛物线准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3.(2)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.]抛物线的标准方程与几何性质【例2】是( )A．x2＝112y B．x2＝112y或x2＝－136yC．x2＝－136y D．x2＝12y或x2＝－36y(2)(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为( ) A．2 B．4 C．6 D．8(3)如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝32x B ．y 2＝9x C ．y 2＝92xD ．y 2＝3x(1)D (2)B (3)D [(1)将y ＝ax 2化为x 2＝1a y .当a >0时，准线y ＝－14a ，则3＋14a ＝6，∴a ＝112.当a <0时，准线y ＝－14a ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋14a ＝6，∴a ＝－136.∴抛物线方程为x 2＝12y 或x 2＝－36y .(2)设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p2， ∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5.∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p 24＋5，∴p ＝4(负值舍去)．∴C 的焦点到准线的距离为4.(3)分别过点A ，B 作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，且垂足分别为A 1，B 1，由已知条件|BC |＝2|BF |，得|BC |＝2|BB 1|，所以∠BCB 1＝30°.又|AA 1|＝|AF |＝3，所以|AC |＝2|AA 1|＝6，所以|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3，所以F 为线段AC 的中点． 故点F 到准线的距离为p ＝12|AA 1|＝32，故抛物线的方程为y 2＝3x .]直线与抛物线的位置关系►考法1 【例3】 (2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．[解] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4， 于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1. (2)由 y ＝x 24，得y ′＝x2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2,1)． 设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2,2＋m )，|MN |＝|m ＋1|. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1,2＝2±2m ＋1. 从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42(m ＋1).由题设知|AB |＝2|MN |，即42(m ＋1)＝2(m ＋1)，解得m ＝7. 所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7.►考法2 与抛物线弦长或中点有关的问题【例4】 已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)，过焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．(1)若AB ∥l ，且△ABD 的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N .证明：直线AN 与抛物线相切． [解] (1)∵AB ∥l ，∴|FD |＝p ，|AB |＝2p .∴S △ABD ＝p 2，∴p ＝1，故抛物线C 的方程为x 2＝2y . (2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p 2， 由⎝⎛y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py得x 2－2kpx －p 2＝0，∴x 1＋x 2＝2kp ，x 1x 2＝－p 2.其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 212p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 222p .∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫kp ，k 2p ＋p 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫kp ，－p 2.∴k AN ＝x 212p ＋p 2x 1－kp ＝x 212p ＋p 2x 1－x 1＋x 22＝x 21＋p 22p x 1－x 22＝x 21－x 1x 22p x 1－x 22＝x 1p .又x 2＝2py ，∴y ′＝x p .∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线斜率k ＝x 1p . ∴直线AN 与抛物线相切．1的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△F AB 的面积.[解] (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， ∴(－8)2＝2p ×8， ∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x .(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎨⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0，Δ＝64＋32m >0，∴m >－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)． 故S △F AB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2| ＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝24 5.1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8D [法一：过点(－2,0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0，解得x ＝1或x ＝4，所以⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4，不妨设M (1,2)，N (4,4)，易知F (1,0)，所以FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)，所以FM →·FN →＝8.故选D.法二：过点(－2,0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＞0，y 2＞0，根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝4.易知F (1,0)，所以FM →＝(x 1－1，y 1)，FN →＝(x 2－1，y 2)，所以FM →·FN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4x 1x 2＝4－5＋1＋8＝8.故选D.]2．(2016·全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2D [∵y 2＝4x ，∴F (1,0)．又∵曲线y ＝kx (k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，∴P (1,2)． 将点P (1,2)的坐标代入y ＝kx (k ＞0)得k ＝2.故选D.]3．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.2 [法一：由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 消去y 得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 消去x 得y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y ＋1，即y 2－4k y －4＝0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4.由∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.法二：设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 21＝4x 1y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB ＝90°，点M 在准线x ＝－1上，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．又M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.]4．(2017·全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.6 [如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1. 又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6.]自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。
【2020年新高考数学一轮复习之考点题型深度剖析】抛物线(课后层级训练)
轴的距离是 1，则此抛物线方程是____________． 【答案】x2＝8y [设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝y1＋y2＋p＝2＋p＝6，∴p＝4.即抛物线方程为 x2＝8y.] 6．(2019·山东威海模拟)设 O 为坐标原点，抛物线 C：y2＝4x 的准线为 l，焦点为 F，过 F 且斜率为 3的
(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若O→C＝O→A＋λO→B，求λ的值．
p x－ 【答案】解 (1)直线 AB 的方程是 y＝2 2 2 ，
k2 k
8．已知抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，A 是抛物线上横坐标为 4，且位于 x 轴上方的点，A 到抛物线准
线的距离等于 5，过 A 作 AB 垂直于 y 轴，垂足为 B，OB 的中点为 M．
(1)求抛物线的方程；
(2)若过 M 作 MN⊥FA，垂足为 N，求点 N 的坐标．
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1
则|MM′|＝ |AB|＝ (|AF|＋|BF|)
2
2
1 ＝ (|AA′|＋|BB′|)．
2
∵M′(x0，y0)为 AB 中点， ∴M 为 A′B′的中点，∴MM′平行于 x 轴，
∴y1＋y2＝2，∴k＝2． 方法二 由题意知，抛物线的焦点坐标为 F(1,0)，设直线方程为 y＝k(x－1)，直线方程与 y2＝4x 联立，消
3．(2019·皖北协作区联考)已知抛物线 C：x2＝2py(p>0)，若直线 y＝2x 被抛物线所截弦长为 4 5，则抛
物线 C 的方程为( )
A．x2＝8y
B．x2＝4y
C．x2＝2y
D．x2＝y
x2＝2py， x＝0， x＝4p，
高三数学一轮复习课时作业 (50)抛物线A 理 新人教B版
[时间：35分钟分值：80分]基础热身1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是( )A．(2,0) B．(－2,0)C．(4,0) D．(－4,0)2．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A．y2＝±4x B．y2＝±8xC．y2＝4x D．y2＝8x3．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )A．2 B．3C.115D.37164．点A，B在抛物线x2＝2py(p>0)上，若A，B的中点是(x0，y0)，当直线AB的斜率存在时，其斜率为( )A.2py0B.py0C.px0D.x0p能力提升5．[2010·福建卷] 以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( ) A．x2＋y2＋2x＝0 B．x2＋y2＋x＝0C．x2＋y2－x＝0 D．x2＋y2－2x＝06．[2010·山东卷] 已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ) A．x＝1 B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－27．[2010·陕西卷] 已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为( )A.12B．1 C．2 D．48．[2010·辽宁卷] 设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA ⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝( )A．4 3 B．8C．8 3 D．169．[2011·东北三校模拟] 已知抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则a的值为________．10．[2010·浙江卷] 设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．11．给定抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)，斜率为k的直线与C相交于M，N两点，若线段MN的中点在直线x＝3上，则k＝________.12．(13分)[2011·西城一模] 已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(4,0)．(1)若点F到直线l的距离为3，求直线l的斜率；(2)设A，B为抛物线上两点，且直线AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰好过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．难点突破13．(12分)[2011·西城一模] 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 的直线交y 轴正半轴于点P ，交抛物线于A ，B 两点，其中点A 在第一象限．(1)求证：以线段FA 为直径的圆与y 轴相切；(2)若FA →＝λ1AP →，BF →＝λ2FA →，λ1λ2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，求λ2的取值范围．课时作业(五十)A【基础热身】1．B [解析] 由y 2＝－8x ，易知焦点坐标是(－2,0)．2．B [解析] 抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，则直线l 的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4，它与y 轴的交点为A ⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2，所以△OAF 的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＝4，解得a ＝±8.所以抛物线方程为y 2＝±8x .3．A [解析] 设动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和为d ，直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1,0)的距离，故本题转化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P 使得P 到点F (1,0)和直线l 2的距离之和最小，最小值为F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即d min ＝|4－0＋6|5＝2.4．D [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 221122＝2py 2，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝2p (y 1－y 2)，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22p ＝x 0p.【能力提升】 5．D [解析] 因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0)，即所求圆的圆心．又知该圆过原点，所以圆的半径为r ＝1，故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2－2x ＋y 2＝0.6．B [解析] 抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ，得y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 22＝p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1.7．C [解析] 方法1：∵抛物线的准线方程为x ＝－p2，圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝16.∴3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝4，∴p ＝2.方法2：作图可知，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切于点(－1,0)，所以－p2＝－1，解得p ＝2. 8．B [解析] 设准线l 与x 轴交于点B ，连接AF 、PF ，则|BF |＝p ＝4，∵直线AF 的斜率为－3，∴∠AFB ＝60°.在Rt △ABF 中，|AF |＝4cos60°＝8.又根据抛物线的定义，得|PA |＝|PF |，PA ∥BF ，∴∠PAF ＝60°，∴△PAF 为等边三角形，故|PF |＝|AF |＝8.9．－14 [解析] 抛物线方程为x 2＝1a y ，故其准线方程是y ＝－14a ＝1，解得a ＝－14.10.324 [解析] 设抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由B 为线段FA 的中点，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4，1，代入抛物线方程得p ＝2，则B 到该抛物线准线的距离为p 4＋p 2＝3p 4＝324.11．±22[解析] 过点A (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)，与抛物线方程联立后消掉y 得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，有x 1＋x 1＝4－2k 2k2，x 1x 2＝1.因为线段MN 的中点在直线x ＝3上，所以x 1＋x 2＝6，即4－2k 2k 2＝6，解得k ＝±22.而此时k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0的判别式大于零，所以k ＝±22. 12．[解答] (1)由已知，x ＝4不合题意．设直线l 的方程为y ＝k (x －4)．由已知，抛物线C 的焦点坐标为(1,0)，因为点F 到直线l 的距离为3，所以|3k |1＋k2＝3， 解得k ＝±22，所以直线l 的斜率为±22. (2)证明：设线段AB 中点的坐标为N (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线MN 的斜率为y 0x 0－4，因为AB 不垂直于x 轴，所以直线AB 的斜率为4－x 0y 0， 直线AB 的方程为y －y 0＝4－x 0y 0(x －x 0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝4－x 0y 0x －x 0，y 2＝4x ，消去x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 04y 2－y 0y ＋y 20＋x 0(x 0－4)＝0， 所以y 1＋y 2＝4y 04－x 0，因为N 为AB 中点，所以y 1＋y 22＝y 0，即2y 04－x 0＝y 0，所以x 0＝2，即线段AB 中点的横坐标为定值2. 【难点突破】13．[解答] (1)证明：由已知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，设A (x 1，y 1)， 则y 21＝2px 1，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋p 4，y 12，圆心到y 轴的距离为2x 1＋p 4，圆的半径为|FA |2＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝2x 1＋p 4，所以，以线段FA 为直径的圆与y 轴相切．(2)解法一：设P (0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由FA →＝λ1AP →，BF →＝λ2FA →，得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2，y 1＝λ1(－x 1，y 0－y 1)， ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 2，－y 2＝λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2，y 1，所以x 1－p2＝－λ1x 1，y 1＝λ1(y 0－y 1)，p2－x 2＝λ2⎝⎛⎭⎪⎫x 1－p 2，y 2＝－λ2y 1，由y 2＝－λ2y 1，得y 22＝λ22y 21.又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以x 2＝λ22x 1.代入p2－x 2＝λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2，得p2－λ22x 1＝λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2，p2(1＋λ2)＝x 1λ2(1＋λ2)，整理得x 1＝p2λ2， 代入x 1－p2＝－λ1x 1，得p2λ2－p2＝－λ1p2λ2，所以1λ2＝1－λ1λ2，因为λ1λ2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，所以λ2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，2. 解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB ：x ＝my ＋p2，将x ＝my ＋p2代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2(*)． 由FA →＝λ1AP →，BF →＝λ2FA →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2，y 1＝λ1(－x 1，y 0－y 1)， ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 2，－y 2＝λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2，y 1， 所以x 1－p2＝－λ1x 1，y 1＝λ1(y 0－y 1)，p2－x 2＝λ2⎝⎛⎭⎪⎫x 1－p 2，y 2＝－λ2y 1，将y 2＝－λ2y 1代入(*)式，得y 21＝p 2λ2，所以2px 1＝p 2λ2，x 1＝p2λ2.代入x 1－p 2＝－λ1x 1，得1λ2＝1－λ1λ2，因为λ1λ2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，所以λ2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，2.。
高考数学一轮复习 专练50 抛物线(含解析)文 新人教版-新人教版高三全册数学试题
专练50 抛物线命题X 围：抛物线的定义、标准方程与简单的几何性质[基础强化]一、选择题1．抛物线y ＝14x 2的焦点到其准线的距离为( )A ．1B ．2 C.12D.182．[2020·全国卷Ⅲ]设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 C ．(1,0) D ．(2,0)3．动点M 到点F (2,1)的距离和到直线l ：3x ＋4y －10＝0的距离相等，则动点M 的轨迹为( )A ．抛物线B ．直线C ．线段D ．射线4．若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－4B ．4C ．－2D ．25．若抛物线y 2＝2px (p >0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．4B ．8C ．16D ．326．AB 是抛物线x 2＝y 的焦点弦，且|AB |＝4，则AB 的中点到x 轴的距离为( ) A ．2 B.32C.72D.747．[2019·某某卷]已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 58．设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA →·OB →等于( ) A.34 B ．－34 C ．3 D ．－39．[2020·某某某某高三测试]若抛物线C ：y 2＝4x 上一点M (a ，b )到焦点F 的距离为5，以M 为圆心且过点F 的圆与y 轴交于A ，B 两点，则|AB |＝( )A ．4B ．6C ．210D ．8 二、填空题10．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________________．11．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝________.12．已知直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为________．[能力提升]13．[2020·吉大附中高三测试]抛物线y 2＝8x 的焦点F 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)右焦点重合，又P 为两曲线的一个公共交点，且|PF |＝5，则双曲线的实轴长为( )A ．1B ．2 C.7－3 D ．614．[2020·某某某某高三测试]抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点M (3,1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则△ABM 的周长为( )A.7112＋26 B ．9＋26 C ．9＋10 D.8312＋2615．[2020·某某高三测试]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，抛物线C 有一点P ，过点P 作PM ⊥l ，垂足为M ，若等边△PMF 的面积为43，则p ＝________.16．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A ，B 两点(点A 在x 轴上方)，则|AF ||BF |＝________.专练50 抛物线1．B y ＝14x 2可化为x 2＝4y ，则焦点到准线的距离为12×4＝2.2．B 由抛物线的对称性，不妨设D 在x 轴上方、E 在x轴下方．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y 2＝2px 得D (2,2p )，E (2，－2p )，∵OD ⊥OE ，∴OD →·OE →＝4－4p ＝0，∴p ＝1，∴C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，故选B.3．B ∵F (2,1)在直线l ：3x ＋4y －10＝0上，∴动点M 的轨迹为过点F 且与直线l 垂直的直线．4．B ∵x 23－y 2＝1的右焦点为(2,0)，∴p2＝2，p ＝4.5．B 由抛物线的定义知，6＋p 2＝10，p2＝4，p ＝8，∴抛物线的焦点到准线的距离为p＝8.6．D如图为x 2＝y 的图象，F 为其焦点，l 为x 2＝y 的准线，由抛物线的定义知AA 1＝AF ，BB 1＝BF ，∴AA 1＋BB 1＝AF ＋BF ＝AB ＝4，由图可知AB 的中点到准线的距离为AA 1＋BB 12＝2，∴AB 的中点到x 轴的距离为2－14＝74.7．D 本题考查双曲线的离心率，抛物线的焦点与准线方程，考查学生的运算求解能力，渗透了数学运算的核心素养．由题意可知抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1，又知双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，∵|AB |＝4|OF |＝4，不妨设A 在B 上方， ∴A (－1,2)，又点A 在直线y ＝－b ax 上，∴2＝－b a ·(－1)，∴b a＝2，∴双曲线的离心率e ＝1＋b 2a2＝1＋4＝ 5.故选D. 8．B 当AB 与x 轴垂直时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，OA →·OB →＝12×12＋1×(－1)＝－34；当AB 与x 轴不垂直时，设l ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，y 2＝2x ，得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0由韦达定理得x 1＋x 2＝k 2＋2k 2，x 1x 2＝14，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12＝(1＋k 2)x 1x 2－12k 2(x 1＋x 2)＋k 24＝－34.9．B 由于M 到焦点的距离为5，故到准线x ＝－1的距离也是5，故a ＝4，代入抛物线得y 2＝20，解得b ＝±4，不妨设b ＝4，故圆心为(4,4)，半径为5，圆的方程为(x －4)2＋(y －4)2＝25，令x ＝0，解得y ＝1,7，故|AB |＝7－1＝6.故选B.10．y 2＝－8x 或x 2＝－y解析：由题可知，抛物线开口向下或向左，设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，x 2＝－2py (p >0)，将P (－2，－4)代入，分别得方程y 2＝－8x 或x 2＝－y .11．8解析：|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝6＋2＝8. 12．0或1解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k －8)x ＋4＝0，若k ＝0，满足题意；若k ≠0，则Δ＝(4k －8)2－4×4k 2＝0，得k ＝1.综上得k ＝0或k ＝1.13．B 如图所示，F (2,0)，MT 的方程为x ＝－2，|PF |＝|PM |＝5，所以|PN |＝3，作FQ ⊥PM ，则|PQ |＝1，在Rt△PFQ 中，|FQ |＝|PF |2－|PQ |2＝25－1＝26，所以P (3,26)将P 点坐标代入双曲线方程，可得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－24b2＝1，c ＝2，c 2＝a 2＋b 2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以实轴2a ＝2，所以选B.14．B 令y ＝1，得x ＝14，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. 由抛物线的光学性质可知AB 经过焦点F ，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x . 消去y ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0.则x A x B ＝1，所以x B ＝1x A＝4.|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝254.将x ＝4代入y 2＝4x 得y ＝±4，故B (4，－4)． 故|MB |＝4－32＋－4－12＝26.故△ABM 的周长为|MA |＋|MB |＋|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－14＋26＋254＝9＋26. 故选B. 15．2解析：设准线l 和x 轴交于N 点，PM 平行于x 轴，∠PMF ＝∠MFN ＝60°，由抛物线的定义得到|NF |＝p ，故|MF |＝2p ，故34(2p )2＝43，∴p ＝2. 故答案为2. 16．3 解析：如图所示，由题意得准线l ：x ＝－p2.作AC ⊥l 于点C ，BD ⊥l 于点D ，BH ⊥AC 于点H ，则|AF |＝|AC |，|BF |＝|BD |，|AH |＝|AC |－|BD |＝|AF |－|BF |，因为在Rt△AHB 中，∠HAB ＝60°，所以cos60°＝|AH ||AB |＝|AF |－|BF ||AF |＋|BF |，即12(|AF |＋|BF |)＝|AF |－|BF |，得|AF ||BF |＝3.。
抛物线【九大题型】(举一反三)(新高考专用)(解析版)—2025年高考数学一轮复习
抛物线【九大题型】专练【题型1 抛物线的定义及其应用】........................................................................................................................3【题型2 抛物线的标准方程】................................................................................................................................5【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】............................................................................................................6【题型4 抛物线的轨迹方程】................................................................................................................................7【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】....................................................................................................9【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】..............................................................................11【题型7 抛物线的焦半径公式】..........................................................................................................................14【题型8 抛物线的几何性质】..............................................................................................................................16【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 (18)1、抛物线【知识点1 抛物线及其性质】1．抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.(2)集合语言表示设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.2．抛物线的标准方程与几何性质(0,0)(0,0)3．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1；⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.【知识点2 抛物线标准方程的求解方法】1．抛物线标准方程的求解待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.【知识点3 抛物线的焦半径公式】1．焦半径公式设抛物线上一点P的坐标为，焦点为F.(1)抛物线：；(2)抛物线：(3)抛物线：；(4)抛物线：.注：在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式.【知识点4 与抛物线有关的最值问题的解题策略】1．与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.(2)转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.【方法技巧与总结】1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.2．抛物线P，也称为抛物线的焦半径.【题型1 抛物线的定义及其应用】【例1】（2024·贵州贵阳·二模）抛物线y2=4x上一点M与焦点间的距离是10，则M到x轴的距离是（）A．4B．6C．7D．9【解题思路】借助抛物线定义计算即可得.【解答过程】抛物线y2=4x的准线为x=―1，由抛物线定义可得x M+1=10，故x M=10―1=9，则|y M|===6，即M到x轴的距离为6.故选：B.【变式1-1】（2024·河北·模拟预测）已知点P为平面内一动点，设甲：P的运动轨迹为抛物线，乙：P到平面内一定点的距离与到平面内一定直线的距离相等，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解题思路】根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．【解答过程】解：当直线经过定点时，点的轨迹是过定点且垂直于该直线的另一条直线，当直线不经过该定点时，点的轨迹为抛物线，故甲是乙的充分条件但不是必要条件．故选：A．【变式1-2】（2024·北京大兴·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F且斜率为―1的直线与直线x=―1交于点A，点M在抛物线上，且满足|MA|=|MF|，则|MF|=（）A．1B C．2D．【解题思路】由题意先求出过F且斜率为―1的直线方程，进而可求出点A，接着结合点M在抛物线上且|MA|=|MF|可求出x M，从而根据焦半径公式|MF|=x M+1即可得解.【解答过程】由题意可得F(1,0)，故过F且斜率为―1的直线方程为y=―(x―1)=―x+1，令x=―1⇒y=2，则由题A(―1,2)，因为|MA|=|MF|，所以MA垂直于直线x=―1，故y M=2，又M 在抛物线上，所以由22=4x M ⇒x M =1，所以|MF |=x M +1=2.故选：C.【变式1-3】（2024·福建莆田·模拟预测）若抛物线C 的焦点到准线的距离为3，且C 的开口朝左，则C 的标准方程为（ ）A ．y 2=―6xB ．y 2=6xC ．y 2=―3xD ．y 2=3x【解题思路】根据开口设抛物线标准方程，利用p 的几何意义即可求出.【解答过程】依题意可设C 的标准方程为y 2=―2px(p >0)，因为C 的焦点到准线的距离为3，所以p =3，所以C 的标准方程为y 2=―6x .故选：A.【题型2 抛物线的标准方程】【例2】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知点A (a,2)为抛物线x 2=2py (p >0)上一点，且点A 到抛物线的焦点F 的距离为3，则p =（ ）A ．12B ．1C ．2D ．4【解题思路】由题意,根据抛物线的性质,抛物线x 2=2py (p >0),则抛物线焦点为F 0,M (x 1,y 1)为 抛物线上一点,有|MF |=y 1+p 2,可得|AF |=2+p2=3,解得p =2.【解答过程】因为抛物线为x 2=2py (p >0),则其焦点在y 轴正半轴 上,焦点坐标为由于点A (a,2)为抛物线x 2=2py ,(p >0)为上一点,且点A 到抛物线的焦点F 的距离为3, 所以点A 到抛物线的焦点F 的距离为|AF |=2+p2=3,解得p =2,故选：C.【变式2-1】（2024·陕西安康·模拟预测）过点(2,―3)，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是（ ）A ．x 2=―3yB ．x 2=―43yC ．x 2=―23yD ．x 2=―4y【解题思路】利用待定系数法，设出抛物线方程，把点代入求解即可.【解答过程】设抛物线的标准方程为x 2=ay (a ≠0)，将点点(2,―3)代入，得22=―3a，解得a=―43，所以抛物线的标准方程是x2=―43y.故选：B.【变式2-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（）A．y2=x B．y2=2x C．y2=4x D．y2=8x【解题思路】根据抛物线的定义求解．【解答过程】由题意抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离与它到直线x=―1的距离相，因此―p2=―1，p=2，抛物线方程为y2=4x．故选：C．【变式2-3】（2024·宁夏石嘴山·三模）如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于两点A、B，交其准线于C，AE与准线垂直且垂足为E，若|BC|=2|BF|,|AE|=3，则此抛物线的方程为（）A．y2=3x2B．y2=9xC．y2=9x2D．y2=3x【解题思路】过点A,B作准线的垂线，设|BF|=a，得到|AC|=3+3a，结合抛物线的定义，求得a=1，再由BD//FG，列出方程求得p的值，即可求解.【解答过程】如图所示，分别过点B作准线的垂线，垂足为D，设|BF|=a，则|BC|=2|BF|=2a，由抛物线的定义得|BD|=|BF|=a，在直角△BCD中，可得sin∠BCD=|BD||BC|=12，所以∠BCD=30∘，在直角△ACE中，因为|AE|=3，可得|AC|=3+3a，由|AC |=2|AE |，所以3+3a =6，解得a =1，因为BD //FG ，所以1p =2a3a ，解得p =32，所以抛物线方程为y 2=3x .故选：C.【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】【例3】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知抛物线C 的方程为 x =―116y 2, 则此抛物线的焦点坐标为（ ）A ．(-4,0)B ．―14,C ．(-2,0)D ．―12,【解题思路】由抛物线的几何性质求解．【解答过程】依题意得：y 2=―16x ，则此抛物线的焦点坐标为：―4，0，故选：A.【变式3-1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知抛物线C:y =6x 2，则C 的准线方程为（ ）A ．y =―32B ．y =32C ．y =―124D ．y =124【解题思路】根据抛物线的准线方程直接得出结果.【解答过程】抛物线C ：y =6x 2的标准方程为x 2=16y ，所以其准线方程为y =―124.故选：C.【变式3-2】（2024·河南·三模）抛物线y 2=―28x 的焦点坐标为（ ）A ．(0,―14)B ．(0,―7)C ．(―14,0)D ．(―7,0)【解题思路】根据抛物线的标准方程直接得出结果.【解答过程】∵2p =28,∴p =14,∴抛物线y 2=―28x 的焦点坐标为(―7,0).故选：D.【变式3-3】（2024·福建厦门·模拟预测）若抛物线y 2=mx 的准线经过双曲线x 2―y 2=2的右焦点，则m的值为（）A．―4B．4C．―8D．8【解题思路】根据题意，分别求得双曲线的右焦点以及抛物线的准线方程，代入计算，即可得到结果.【解答过程】因为双曲线x2―y2=2的右焦点为(2,0)，又抛物线y2=mx的准线方程为x=―m4，则―m4=2，即m=―8.故选：C.【题型4 抛物线的轨迹方程】【例4】（2024·湖南衡阳·三模）已知点F(2,0)，动圆P过点F，且与x=―2相切，记动圆圆心P点的轨迹为曲线Γ，则曲线Γ的方程为（）A．y2=2x B．y2=4x C．y2=8x D．y2=12x【解题思路】分析题意，利用抛物线的定义判断曲线是抛物线，再求解轨迹方程即可.【解答过程】由题意知，点P到点F的距离和它到直线x=―2的距离相等，所以点P的轨迹是以(2,0)为焦点的抛物线，所以Γ的方程为y2=8x，故C正确.故选：C.【变式4-1】（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1的动点且动点不在x轴的负半轴的轨迹方程是（）A．y2=8x B．y2=C．y2=2x D．y2=x【解题思路】根据抛物线的定义即可得解.【解答过程】因为动点到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，所以动点到定点F(1,0)的距离等于到x=―1的距离，所以动点的轨迹是以F(1,0)为焦点，x=―1为准线的抛物线，所以动点的轨迹方程是y2=4x.故选：B.【变式4-2】（23-24高二上·重庆·期末）已知点P(x,y)=|x+1|，则点P的轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆【解题思路】根据已知条件及抛物线的定义即可求解.P(x,y)到点(1,0)的距离；|x+1|表示点P(x,y)到直线x=―1的距离.=|x+1|，所以点P(x,y)到点(1,0)的距离等于点P(x,y)到直线x=―1的距离，所以P的轨迹为抛物线.故选：C.【变式4-3】（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）一个动圆与定圆F：(x+2)2+y2=1相内切，且与定直线l:x=3相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（ ）A．y2=8x B．y2=4x C．y2=―4x D．y2=―8x【解题思路】先利用圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系找到动点M的几何条件，再根据抛物线的定义确定动点M的轨迹，最后利用抛物线的标准方程写出轨迹方程．【解答过程】设动圆M的半径为r，依题意：|MF|=r―1，点M到定直线x=2的距离为d=r―1，所以动点M到定点F(―2,0)的距离等于到定直线x=2的距离，即M的轨迹为以F为焦点，x=2所以此动圆的圆心M的轨迹方程是y2=―8x.故选：D．【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】【例5】（2024·全国·模拟预测）已知A是抛物线C：y2=4x上的点，N(4,0)，则|AN|的最小值为（）A．2B．C．4D．【解题思路】由抛物线的方程，利用二次函数的性质求最值【解答过程】设,t，则|AN|===≥当且仅当t=±故选：D．【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）已知P是抛物线y2=2x上的点，Q是圆(x―5)2+y2=1上的点，则|PQ |的最小值是（ ）A ．2B ．C ．D ．3【解题思路】将问题转化为求|PC|的最小值，根据两点之间的距离公式，求得|PC|的最小值再减去半径即可.【解答过程】如图，抛物线上点P (x,y )到圆心C (5,0)的距离为|PC |,|CP |≤|CQ |+|PQ |，因此|PQ |≥|CP |―1，当|CP |最小时，|PQ |=|CP |―1最小，而|CP |2=(x ―5)2+y 2=―52+y 2=2―82+9，当y =±|CP |min =3，因此|PQ |的最小值是2．故选：A.【变式5-2】（2024·湖南益阳·三模）已知M 是抛物线y²=4x 上一点，圆C 1:(x ―1)2+(y ―2)2=1关于直线y =x ―1对称的圆为C 2，N 是圆C 2上的一点，则|MN |的最小值为（ ）A ．1B ―1C―1D ．37【解题思路】根据对称性求出圆C 2的方程，设y 0，求出|MC 2|的最小值，即可求出|MN |的最小值.【解答过程】圆C 1:(x ―1)2+(y ―2)2=1圆心为C 1(1,2)，半径r =1，设C 2(a,b )，=―1―1=0，解得a =3b =0，则C 2(3,0)，所以圆C2 :(x ―3)2+y 2=1，设y 0，则|MC 2|==所以当y 20=4，即y 0=±2时，|MC 2|min=所以|MN |的最小值是―1.故选：A.【变式5-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，M为C上的动点，N为圆A:x2+ y2+2x+8y+16=0上的动点，设点M到y轴的距离为d，则|MN|+d的最小值为（）A．1B C D．2【解题思路】作出图形，过点M作ME垂直于抛物线的准线，垂足为点E，利用抛物线的定义可知d=|MF|―2，分析可知，当且仅当N、M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时，|MN|+d取最小值，即可得解.【解答过程】根据已知得到F(2,0)，圆A:(x+1)2+(y+4)2=1，所以A(―1,―4)，圆A的半径为1，抛物线C的准线为l:x=―2，过点M作ME⊥l，垂足为点E，则|ME|=d+2，由抛物线的定义可得d+2=|ME|=|MF|，所以，|MN|+d=|MN|+|MF|―2≥|AM|+|MF|―1―2≥|AF|―1―2=1―2=2.当且仅当N、M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时，两个等号成立，因此，|MN|+d的最小值为3.故选：D.【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】【例6】（2024·四川成都·模拟预测）设点A(2,3)，动点P在抛物线C:y2=4x上，记P到直线x=―2的距离为d，则|AP|+d的最小值为（）A．1B．3C1D【解题思路】根据抛物线的定义，P到焦点F的距离等于P到准线的距离，可得d=|PF|+1，从而转化为求|AP|+|PF|+1的值，当A,P,F三点共线时，d=|PF|+1取得最小值，即可求解.【解答过程】由题意可得，抛物线C的焦点F(1,0)，准线方程为x=―1，由抛物线的定义可得d=|PF|+1，所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1，因为|AP|+|PF|≥|AF|==所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1≥+1.当且仅当A,P,F三点共线时取等号，所以|AP|+d+1.故选：D.【变式6-1】（2024·湖南常德·一模）已知抛物线方程为:y2=16x，焦点为F.圆的方程为(x―5)2+(y―1)2 =1，设P为抛物线上的点，Q|PF|+|PQ|的最小值为（）A．6B．7C．8D．9【解题思路】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即|PF|=|PN|，从而得到|PF|+ |PQ|=|PN|+|PQ|，P、Q、N三点共线时和最小；再由Q在圆上，|QN|min=|MN|―r得到最小值.【解答过程】由抛物线方程为y2=16x，得到焦点F(4,0)，准线方程为x=―4，过点P做准线的垂线，垂足为N，因为点P在抛物线上，所以|PF|=|PN|，所以|PF|+|PQ|=|PN|+|PQ|，当Q点固定不动时，P、Q、N三点共线，即QN垂直于准线时和最小，又因为Q在圆上运动，由圆的方程为(x―5)2+(y―1)2=1得圆心M(5,1)，半径r=1，所以|QN|min=|MN|―r=8，故选：C.【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点F(1,0)，E(―2,0)，M(2,2)，动点P满足线段PE的中点在曲线y2=2x+2上，则|PM|+|PF|的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【解题思路】设P(x,y)，由题意求出P的轨迹方程，继而结合抛物线定义将|PM|+|PF|的最小值转化为M 到直线l的距离，即可求得答案.【解答过程】设P(x,y)，则PE y2=2x+2，可得y2=4x，故动点P的轨迹是以F为焦点，直线l：x=―1为准线的抛物线，由于22<4×2，故M(2,2)在抛物线y2=4x内部，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，则|PM|+|PF|=|PM|+|PQ|，（抛物线的定义），故当且仅当M，P，Q三点共线时，|PM|+|PQ|最小，即|PM|+|PF|最小，最小值为点M到直线l的距离，所以(|PM|+|PF|)min=2―(―1)=3，故选：B．【变式6-3】（2024·陕西西安·一模）设P为抛物线C：y2=4x上的动点，A(2,6)关于P的对称点为B，记P到直线x=―1、x=―4的距离分别d1、d2，则d1+d2+|AB|的最小值为（）A B．C+3D．+3【解题思路】根据题意得到d1+d2+|AB|=2d1+3+2|PA|=2(d1+|PA|)+3，再利用抛物线的定义结合三角不等式求解.【解答过程】抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=―1，如图，因为d 2=d 1+3，且A (2,6)关于P 的对称点为B ，所以|PA |=|PB |，所以d 1+d 2+|AB |=2d 1+3+2|PA |=2(d 1+|PA |)+3 =2(|PF |+|PA |)+3≥2|AF |+3 ==.当P 在线段AF 与抛物线的交点时，d 1+d 1+|AB |取得最小值，且最小值为.故选：D.【题型7 抛物线的焦半径公式】【例7】（2024·青海西宁·一模）已知F 是抛物线C:x 2=4y 的焦点，点M 在C 上，且M 的纵坐标为3，则|MF |=（ ）A ．B ．C ．4D ．6【解题思路】利用抛物线的标准方程和抛物线的焦半径公式即可求解.【解答过程】由x 2=4y ，得2p =4，解得p =2.所以抛物线C:x 2=4y 的焦点坐标为F (0,1)，准线方程为y =―1，又因为M 的纵坐标为3，点M 在C 上，所以|MF |=y M +p2=3+22=4.故选：C.【变式7-1】（2024·河南·模拟预测）已知抛物线C:y 2=2px (p >0)上的点(m,2)到原点的距离为为F ，准线l 与x 轴的交点为M ，过C 上一点P 作PQ ⊥l 于Q ，若∠FPQ =2π3，则|PF |=（ ）A ．13B ．12C D ．23【解题思路】根据点(m,2)到原点的距离为再设点P 坐标，利用抛物线的定义和等腰三角形的性质列出方程即可求解.【解答过程】因为点(m,2)到原点的距离为所以m 2+22=8，解得m =2，（负值舍），将点(2,2)代入抛物线方程y 2=2px (p >0)，得4=4p ，所以p =1，所以C:y 2=2x,F(12,0),l:x =―12.由于抛物线关于x 轴对称，不妨设，因为|PQ|=|PF|=x +12，∠FPQ =2π3，所以△PQF 为等腰三角形，∠PQF =π6，所以|QF|=+12)，所以|QF|==+12)，解得x =16或x =―12(舍)，所以|PF |=16+12=23.故选：D.【变式7-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，在抛物线C 上存在四个点P ，M ，Q ，N ，若弦PQ 与弦MN 的交点恰好为F ，且PQ ⊥MN ，则1|PQ |+1|MN |=（ ）A B ．1C D ．2【解题思路】由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，应用抛物线焦点弦性质|PF |=p1―cos θ，|QF |=p1+cos θ，|MF |=p1+sin θ，|NF |=p1―sin θ，结合三角的恒等变换的化简可得1|PQ |+1|MN |=12p ，即可求解.【解答过程】由抛物线C:y 2=x 得2p =1，则p =12，F(14,0)，不妨设PQ 的倾斜角为θ0<θ<则由|PF |cos θ+p =|PF |，p ―|QF |cos θ=|QF |，得|PF |=p 1―cos θ，|QF |=p1+cos θ，所以|MF |==p1+sin θ，|NF |==p1―sin θ，得|PQ |=|PF |+|QF |=p1―cos θ+p1+cos θ=2psin 2θ，|MN |==2pcos 2θ，所以1|PQ |+1|MN |=12p =1.故选：B.【变式7-3】（2024·北京西城·三模）点F 抛物线y 2=2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若FA +FB +FC =0，则|FA |+|FB |+|FC |=（ ）A ．2B ．C ．3D ．【解题思路】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)，根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由FA +FB +FC =0可得F 为△ABC 的重心，从而可求出x 1+x 2+x 3，再根据抛物线的定义可求得结果.【解答过程】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)，由y 2=2x ，得p =1，所以F(12,0)，准线方程为x =―12，因为FA +FB +FC =0，所以F 为△ABC 的重心，所以x 1+x 2+x 33=12，所以x 1+x 2+x 3=32，所以|FA |+|FB |+|FC |=x 1+12+x 2+12+x 3+12=x 1+x 2+x 3+32=32+32=3，故选：C.【题型8 抛物线的几何性质】【例8】（2024·重庆·模拟预测）A,B 是抛物线y 2=2px(p >0)上的不同两点，点F 是抛物线的焦点，且△OAB 的重心恰为F ，若|AF|=5，则p =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解题思路】根据重心可得x 1+x 2=3p 2y 1=―y 2，结合对称性可得x 1=3p4，再根据抛物线的定义运算求解.【解答过程】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，因为△OAB 的重心恰为F=p2=0，解得x 1+x 2=3p2y 1=―y 2，由y 1=―y 2可知A,B 关于x 轴对称，即x 1=x 2，则x 1+x 2=2x 1=3p2，即x 1=3p 4，又因为|AF |=x 1+p2=5p 4=5，解得p =4.故选：D.【变式8-1】（23-24高二下·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y 2=2x 上，则这个等边三角形的边长为（ ）A ．2B ．C ．4D．【解题思路】正三角形的另外两个顶点关于x 轴对称，设另外两个顶点坐标分别是A ),B―a)，把顶点代入抛物线方程化简即可求解.【解答过程】设正三角形得边长为2a ，由图可知正三角形的另外两个顶点关于x 轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是A),B―a )，把顶点代入抛物线方程得a 2=解得a =所以正三角形的边长为故选：D.【变式8-2】（23-24高三下·北京·阶段练习）设抛物线C 的焦点为F ，点E 是C 的准线与C 的对称轴的交点，点P 在C 上，若∠PEF =30°，则sin ∠PFE =（ ）A B C D 【解题思路】先设P(x 0,y 0)，根据图形分别表示出tan ∠ P EF 和sin ∠ P FE 即可得解.【解答过程】由于抛物线的对称性，不妨设抛物线为C:y 2=2px(p >0)，则其焦点为F(p2,0)，点E 是C 的准线与C 的对称轴的交点，其坐标为E(―p2,0)，点P 在C 上，设为P(x 0,y 0)，若∠ P EF =30∘，则tan ∠ P EF =|y 0|x 0+p 2=且|PF|=x 0+p 2，则sin ∠ P FE =sin (π―∠ P FE )=|y 0||PF|=故选：B.【变式8-3】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知x 轴上一定点A (a,0)(a >0)，和抛物线y 2=2px (p >0)上的一动点M ，若|AM |≥a 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．B ．(0,p ]C ．D ．(0,2p ]【解题思路】设M (x 0,y 0) (x 0≥0)，表示出|AM |，依题意可得x 20―(2a ―2p )x 0≥0恒成立，分x 0=0和x 0>0两种情况讨论，当x0>0时x0≥2a―2p恒成立，即可得到2a―2p≤0，从而求出a的取值范围.【解答过程】设M(x0,y0)(x0≥0)，则y20=2px0，所以|AM|====因为|AM|≥a恒成立，所以x20―(2a―2p)x0+a2≥a2恒成立，所以x20―(2a―2p)x0≥0恒成立，当x0=0时显然恒成立，当x0>0时x0≥2a―2p恒成立，所以2a―2p≤0，则a≤p，又a>0，所以0<a≤p，即实数a的取值范围为(0,p].故选：B.【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】【例9】（2024·江西新余·二模）已知点Q(2,―2)在抛物线C：y2=2px上，F为抛物线的焦点，则△OQF （O为坐标原点）的面积是（）A．12B．1C．2D．4【解题思路】将点Q代入抛物线C的方程，即可求解p，再结合抛物线的公式，即可求解【解答过程】∵点Q(2,―2)在抛物线C:y2=2px上，F为抛物线C的焦点，∴4=4p，解得p=1，故抛物线C的方程为y2=2x，F(12,0)，则△OQF的面积S△OQF=12×12×2=12．故选：A．【变式9-1】（23-24高二上·广东广州·期末）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，直线l与C相交于A、B两点，与y轴相交于点E．已知|AF|=5，|BF|=3，若△AEF的面积是△BEF面积的2倍，则抛物线C的方程为（）A ．y 2=2xB ．y 2=4xC ．y 2=6xD ．y 2=8x【解题思路】过A,B 分别作C 的准线的垂线交y 轴于点M,N ，根据抛物线定义可得|AM |=5―p2，|BN |=3―p 2，再由S △AEF S △BEF=|AE ||BE |=|AM ||BN |即可求参数p ，进而可得抛物线方程.【解答过程】如图，过A,B 分别作C 的准线的垂线交y 轴于点M,N ，则AM //BN ，故|AE ||BE |=|AM ||BN |，因为C 的准线为x =―p2，所以|AM |=|AF |―p2=5―p2，|BN |=|BF |―p2=3―p2，所以S △AEFS △BEF=12|EF ||AE |sin ∠AEF 12|EF ||BE |sin ∠BEF =|AE ||BE |=|AM ||BN |=5―p 23―p 2=2，解得p =2，故抛物线C 的方程为y 2=4x .故选：B.【变式9-2】（23-24高二上·广东广州·期末）设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A,B,C 为该抛物线上不同的三点，且FA +FB +FC =0,O 为坐标原点，若△OFA 、△OFB 、△OFC 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 21+S 22+S 23=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【解题思路】设点A,B,C 的坐标，再表示出△OFA,△OFB,△OFC 的面积，借助向量等式即可求得答案.【解答过程】设点A,B,C 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3)，而抛物线的焦点F(1,0)，|OF|=1，FA =(x 1―1,y 1),FB =(x 2―1,y 2),FC =(x 3―1,y 3)，由FA +FB +FC =0，得x 1+x 2+x 3=3，于是S 1=12|y 1|,S 2=12|y 2|,S 3=12|y 3|，所以S 21+S 22+S 23=14(y 21+y 22+y 23)=x 1+x 2+x 3=3.故选：A.【变式9-3】（23-24高二·全国·课后作业）已知抛物线C：y2=8x，点P为抛物线上任意一点，过点P向圆D：x2+y2―4x+3=0作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB的面积的最小值为（）A．1B．2C D【解题思路】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接PD，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|，而|PA|=|PD|最小时，四边形PADB的面积最小，再抛物线的定义转化为点P到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果【解答过程】如图，连接PD，圆D：(x―2)2+y2=1，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|．又|PA|=PADB的面积最小时，|PD|最小．过点P向抛物线的准线x=―2作垂线，垂足为E，则|PD|=|PE|，当点P与坐标原点重合时，|PE|最小，此时|PE|=2．==故S四边形PADBmin故选：C.一、单选题1．（2024·江西·模拟预测）若抛物线x 2=8y 上一点(x 0,y 0)到焦点的距离是该点到x 轴距离的2倍．则y 0=（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【解题思路】根据抛物线的方程，结合抛物线的标准方程，得到抛物线的焦点和准线，利用抛物线的定义，得到抛物线上的点(x 0,y 0)到焦点的距离，根据题意得到关于y 0的方程，求解即可．【解答过程】已知拋物线的方程为x 2=8y ，可得p =4．所以焦点为F (0,2)，准线为l ：y =―2．抛物线上一点A (x 0,y 0)到焦点F 的距离等于到准线l 的距离，即|AF |=y 0+2，又∵A 到x 轴的距离为y 0，由已知得y 0+2=2y 0，解得y 0=2．故选：D ．2．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线C:x 2=8y 的焦点为F,P 是抛物线C 上的一点，O 为坐标原点，|OP |=4|PF |=（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【解题思路】求出抛物线焦点和准线方程，设P (m,n )(m ≥0)，结合|OP |=n =4，由焦半径公式得到答案.【解答过程】抛物线C:x 2=8y 的焦点为F (0,2)，准线方程为y =―2，设P (m,n )(m ≥0)=，解得n =4或n =―12（舍去），则|PF |=n +2=6．故选：B ．3．（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆C 与x 轴相切且与圆x 2+y 2=4外切，则圆C 的圆心的轨迹方程为（ ）A ．x 2=4y +4B ．x 2=―4y +4C ．x 2=4|y |+4D ．x 2=4y ―4【解题思路】设圆心坐标为(x,y )=2+|y |，化简整理即可得解.【解答过程】设圆心坐标为(x,y)=2+|y|，化简得x2=4|y|+4，即圆C的圆心的轨迹方程为x2=4|y|+4.故选：C.4．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若|MF|=6，则△MNF的面积为（）A．8B．C．D．【解题思路】确定抛物线的焦点和准线，根据|MF|=6得到M.【解答过程】因为抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=―1，所以|MF|=x M+1=6，故x M=5，不妨设M在第一象限，故M×(5―0)×=所以S△MNF=12故选：C.5．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线y2=8x上一点P到准线的距离为d1，到直线l:4x―3y+12=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】点P到直线l:4x―3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=―2的距离为|PB|，利用抛物线的定义得|PF|=|PB|，当A，P和F共线时，点P到直线l:4x―3y+12=0和准线l1:x=―2的距离之和的最小，由点到直线的距离公式求得答案.【解答过程】由抛物线y2=8x知，焦点F(2,0)，准线方程为l:x=―2，根据题意作图如下；点P到直线l:4x―3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=―2的距离为|PB|，由抛物线的定义知：|PB|=|PF|，所以点P到直线l:4x―3y+12=0和准线l1:x=―2的距离之和为|PF|+|PA|，=4，且点F(2,0)到直线l:4x―3y+12=0的距离为d=|8―0+12|5所以d1+d2的最小值为4.故选：D.6．（2024·四川雅安·三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆(x―2)2+(y+1)2=4的一条直径与拋物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则p=（）B．1C．2D．4A．12【解题思路】根据圆的通径的上端点就是抛物线通径的上右端点，可得抛物线x2=2py(p>0)经过点(2,1)，从而可得答案.【解答过程】因为圆(x―2)2+(y+1)2=4的一条直径与抛物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，而抛物线x2=2py(p>0)的通径与y轴垂直，所以圆(x―2)2+(y+1)2=4的这条直径与x轴垂直，且圆的直径的上端点就是抛物线通径的右端点，因为圆(x―2)2+(y+1)2=4的圆心为(2,―1)，半径为2，所以该圆与x轴垂直的直径的上端点为(2,1)，即抛物线x2=2py(p>0)经过点(2,1)，则4=2p，即p=2.故选：C.7．（2024·山西运城·三模）已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，动点M 在C 上，点B 与点A (1,―2)关于直线l:y =x ―1对称，则|MF ||MB |的最小值为（ ）AB ．12CD ．13【解题思路】根据对称性可得B(―1,0)，即点B 为C 的准线与x 轴的交点，作MM ′垂直于C 的准线于点M ′，结合抛物线的定义可知|MF ||MB |=|MM ′||MB |= cos θ(∠MBF =θ)，结合图象可得当直线MB 与C 相切时，cos θ最小，求出切线的斜率即可得答案.【解答过程】依题意，F(1,0)，A(1,―2)，设B(m,n)=―1m+12―1，解得m =―1n =0，即B(―1,0)，点B 为C 的准线与x 轴的交点，由抛物线的对称性，不妨设点M 位于第一象限，作MM ′垂直于C 的准线于点M ′，设∠MBF =θ,θ∈ (0,π2)，由抛物线的定义得|MM ′|=|MF |，于是|MF ||MB |=|MM ′||MB |= cos θ，当直线MB 与C 相切时，θ最大，cos θ最小，|MF||MB|取得最小值，此时直线BM 的斜率为正，设切线MB 的方程为x =my ―1(m >0)，由x =my ―1y 2=4x消去x 得y 2―4my +4=0，则Δ=16m 2―16=0，得m =1，直线MB 的斜率为1，倾斜角为π4，于是θmax =π4，(cos θ)min =，所以|MF||MB|的最小值为故选：A.8．（2024·江西九江·二模）已知抛物线C:y 2=2px 过点A (1,2)，F 为C 的焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，则（ ）A ．C 的准线方程为x =―2B ．△AFO 的面积为1C ．不存在点P ，使得点P 到C 的焦点的距离为2D ．存在点P ，使得△POF 为等边三角形【解题思路】求解抛物线方程，得到准线方程，判断A ；求解三角形的面积判断B ；利用|PF|=2．判断C ；判断P 的位置，推出三角形的形状，判断D ．【解答过程】由题意抛物线C:y 2=2px 过点A(1,2)，可得p =2，所以抛物线方程为C:y 2=4x ，所以准线方程为x =―1，A 错误；可以计算S △AFO =12×1×2=1，B 正确；当P(1,2)时，点P 到C 的焦点的距离为2，C 错误；△POF 为等边三角形，可知P 的横坐标为：12，当x =12时，纵坐标为：则12×=≠则△POF 为等腰三角形，不是等边三角形，故等边三角形的点P 不存在，所以D 错误．故选：B ．二、多选题9．（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线C 与抛物线y 2=4x 关于y 轴对称，则下列说法正确的是（ ）A ．抛物线C 的焦点坐标是(―1,0)B ．抛物线C 关于y 轴对称C ．抛物线C 的准线方程为x =1D ．抛物线C 的焦点到准线的距离为4【解题思路】依题意可得抛物线C 的方程为y 2=―4x ，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性。