25.4圆周角(第二课时圆的内接四边形)

特殊到一般的方法!
圆内接四边形的性质定理
1.如图：圆内接四边形ABCD中， ∵ 弧BCD和弧BAD所对的 圆心角的和是周角. ∴∠A＋∠C＝ 180° 同理∠B＋∠D＝180° A
O
D
圆内接四边形的性质定理１： 圆的内接四边形的对角互补．
B
C
2.圆内接四边形的性质定理A O.DBCE
圆内接四边形的性质定理2： 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．
二 定理的应用
练习一 ：
1、如图，四边形ABCD为⊙O的
A
O
内接四边形，已知∠BOD=100°,
则∠BAD= 50º,∠BCD= 130º .
B
C
D
2、圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:4, 则∠A= 60º ∠B= 90º ∠C= 120º ∠D= 90º 设∠ A=2x,则∠ C=4x. ∵ ∠ A+ ∠ C=180º , ∴x=30º . 3、如图，四边形ABCD内接于⊙O， ∠DCE=75º ，则∠BOD= 150º A O
C D
A
O１
E B
O2
F
变式1：如图，⊙O1和⊙O2都经过A、B两点．过A点的
直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D．过B点的直线 EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F．求证：CE//DF.
D A E C
D
O
1
B
O
2
C
A
O2 O1
B
F
F
E
变式2:如图,⊙O1和⊙O2有两个公共点A﹑B．
由例1可知:CE//DF, 又∵CD//EF, 过A﹑B两点的直线分别交⊙O1于C 、E, ∴DCEF为平行四边 形． 交⊙O2于D 、F，且CD∥EF．求证：CE=DF． ∴CE=DF.
25.4圆周角（第二课时） ---圆内接四边形
D A
O
B
C
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半． 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数． 推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周 角相等；反之，相等的圆周角所对的弧也相等．
推论２：半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 反之，９０°的圆周角所对的弦是直径．
课堂小结:
1 圆内接四边形的性质
对角互补 外角等于它的内对角
2、解题时应注意两点： （1）注意观察图形，分清四边形的外角和它的内对角 的位置，不要受背景的干扰. （2）证题时，常需添辅助线-----两圆共有一条弦，构 造圆内接四边形.
B
C
D E
练习二：
1、(1)圆内接平行四边形一定是 矩 形. (2)圆内接梯形一定是等腰梯形. (3)圆内接菱形一定是 正方 形.
例1：如图，已知A、B、C、D四点共圆，且AC=BC， E 求证：DC平分∠BDE 1 D C 2 证明： ∵ AC=BC ∴ ∠3= ∠CBA ∵ A、B 、C、D四点共圆 ∴ ∠1= ∠CBA ∵ ∠2= ∠3 ∴ ∠1= ∠2 B A 3
∴ CD平分∠BDE
例2：如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点.经过点 A的直线CD与⊙O1交于点C,与⊙O2交于点D.经 过点B的直线EF与⊙O1交于点E,与⊙O2交于点F. 求证：CE∥DF. 分析：只要证明同旁内角互补即可！
证明：连接AB． 并利用圆内接四边形的性质定理． ∵四边形ABEC是⊙O1的内接四边形，∴ ∠BAD＝∠E． 又∵四边形ABFD是⊙O2的内接四边形， ∴ ∠BAD+∠F=180º ． ∴ ∠E+∠F=180º ． ∴ CE//DF．
A
１．定义：如果多边形的所有顶点都 在一个圆上,那么这个多边形叫做圆内 接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆.
O B C
D
A F
A
B O
O B C
C
·
D
E
思考:
（1 ） 任意三角形都有外接圆吗？
（2）一般地,任意四边形都有外接圆吗?
（3）任意矩形是否有外接圆? 那么任意四边形有外接圆吗?
探究：观察下图，这组图中的四边形都内接于圆． 你能发现这些四边形的共同特征吗？