圆内接四边形的性质
2.1 圆内接四边形的性质及判定定理 课件(人教A选修4-1)
∴∠D＝∠CBP.
(2)由(1)知△BCP∽△DCB， BC CP ∴DC＝CB. ∴CB2＝CP· CD. 又 CB＝AC，∴AC2＝CP· CD.
6．在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，
[例1]
如图所示，已知四边形ABCD内接于圆，延
长AB和DC相交于E，EG平分∠BEC，且与BC、AD分别 相交于F、G. 求证：∠CFG＝∠DGF. [思路点拨] 已知四边形ABCD内
接于圆，自然想到圆内接四边形的性质定理，即∠BCE ＝∠BAD，又EG平分∠BEC，故△CFE∽△AGE.
[证明] 因为四边形ABCD是圆内接四边形， 所以∠ECF＝∠EAG. 又因为EG平分∠BEC， 即∠CEF＝∠AEG，所以△EFC∽△EGA. 所以∠EFC＝∠EGA. 而∠DGF＝180°－∠EGA，∠CFG＝180°－
∠EFC，
所以∠CFG＝∠DGF.
圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于 其内角的对角，可用来作为三角形相似的条件，从而
证明一些比例式的成立或证明某些等量关系．
1．圆内接四边形ABCD中，已知∠A、∠B、∠C的度数 比为4∶3∶5，求四边形各角的度数． 解：设∠A、∠B、∠C的度数分别为4x、3x、5x， 则由∠A＋∠C＝180°， 可得4x＋5x＝180°.∴x＝20°. ∴∠A＝4×20°＝80°，∠B＝3×20°＝60°，
[证明]
如图，
分别连接AB，AE， ∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠ABP＝∠D.
∵A、E、B、P四点共圆， ∴∠ABP＝∠AEP.
∴∠AEP＝∠D.
圆内接四边形的性质和判定定理
圆内接四边形 的 性质B
如果一个多边形的所有顶点都在一个圆 上，这个多边形就叫做圆内接多边形，这个 圆就是多边形的外接圆 圆内接四边形性质定理1 圆内接四边 形对角互补 圆内接四边形判定定理1 对角互补的 四边形内接于圆
D · O
C
A B 如果一个多边形的所有顶点都在一个圆 上，这个多边形就叫做圆内接多边形，这个 圆就是多边形的外接圆 圆内接四边形性质定理2 圆内接四边 形外角等于它的内角的对角 圆内接四边形判定定理2 若四边形的 一个外角等于它的内角的对角，则这个四边 形的四个顶点共圆
A
·2 O N
D
例2、如图，D为△ABC的边BC上一点， ⊙O1经过点B、D，交AB于另一点E，⊙O2 经 过点C、D，交AC于另一点F，⊙O1与⊙O2 交 于点G，求证：（1）∠BAC+∠EGF＝180° （2）∠EAG＝∠EFG A
F E
O 1·
B D
G
·2 O
C
例3、如图，以锐角三角形ABC的三边为 边向外作三个等边三角形ABD、BCE、CAG，求 证：△ABD、△BCE、△CAG的外接圆⊙O1 、 ⊙O2、⊙O3交于一点 D A G O1· ·3 O F B C ·2 O E
如果 n ( n N *, n 4 ) 个点在同一个圆 上，也称这 n 个点共圆 一个四边形内接于圆也称这个四边形的 顶点四点共圆 D D C C · O A B A B
定理 若两点在一条线段同侧且对该线 段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆 特别的，对定线段张角为直角的点共圆
例1、如图，⊙O1与⊙O2交于点M、N，直 线AB过M与⊙O1与⊙O2 分别交于点A、B，直 线CD过N与⊙O1与⊙O2 分别交于点C、D，求 证：AC//BD M O 1· C B
圆内接四边形定理
圆内接四边形定理圆内接四边形定理概述：圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一圆上，这种四边形具有一些特殊的性质，其中最重要的就是圆内接四边形定理。
定义：设ABCD为一个圆内接四边形，其对角线交于E点，则有以下结论：1.对角线互相平分结论：对角线AC和BD互相平分。
证明：作AE、CE、BE、DE交BD于F、G、H、I。
由于ABCD为圆内接四边形，所以∠AEB=∠CEB，∠AED=∠CED。
因此三角形AEB与三角形CEB全等，三角形AED与三角形CED全等。
所以AE=CE，DE=BE。
又因为AF+FB=BF+FC, 所以AF=FC, BG=DH。
故AF+BG=FC+DH, 即AC=BD。
因此AC和BD互相平分。
2.对角线垂直结论：对角线AC和BD垂直。
证明：连接AD、BC，并过E点作AD和BC的垂线EF和EG，则AEHF和CEIG均为矩形。
因此EH=AF, EI=DG。
又因为AE=CE, DE=BE, 所以AH=DJ, CI=BJ。
因此AH·HD=BH·HC, CI·ID=AI·IB。
又因为AH+HD=BH+HC, CI+ID=AI+IB，所以AH²-HB²=CI²-IB²。
因此AH²+CI²=BH²+IB²。
由勾股定理可知，∠ACB为直角，即对角线AC和BD垂直。
3.对角线乘积相等结论：对角线AC和BD的乘积相等。
证明：设O为圆心，则OA=OC, OB=OD。
因此OA·OC=OB·OD。
又因为AECD为一组相似的四边形，所以AE/CE=DE/BE，即AE·BE=CE·DE。
故AE·BE+CE·DE=2AE·BE。
同理，BF·FA+CD·DI=2BF·FA。
两式相加得到AC(BF+CD)=BD(AF+CE)，即AC/AF=BD/CE。
2.2_圆内接四边形的性质与判定定理 (1)
上述定理的逆命题是什么？它们成立吗？ 应该怎样来证明呢？
性质定理1的逆命题： 如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.
性质定理1的逆命题： 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个 四边形的四个顶点共圆.
2.【圆内接四边形的判断定理 】
假设：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°
求证：A,B,C,D在同一圆周上（简称四点共圆）.
A D A D A D A D
O B C B C
B
C B C
1.【圆内接四边形的性质】
直接研究较困难，那么我们可以先从问题的反面思考：
如果一个四边形内接于圆，那么这样的四边形有 什么特征？
我们应该从哪些角度来思考呢？
观察下面这组图中的四边形都内接于圆.你能 从中发现这些四边形的共同特征吗？
A D A D A D
A
D
O B C B C
B
C B C
1.【圆内接四边形的性质】
如图（1）连接OA,OC.则∠B= 360 0 1 0 0 B D 360 180 2
1 2
1 ,∠D= 2
D
C
A
同理可得 : A C 180
0
B
性质定理1
圆内接四边形的对角互补.
D
（1）
将线段AB延长到点E,得到图（2） 由于ABC EBC 180 0.
而ABC D 180 0.
C
EBC D.
性质定理2
A
（2）
B
E
圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.
1.【圆内接四边形的性质】
性质定理1
性质定理2 思考3
圆内接四边形的性质及判定定理
二圆内接四边形的性质及判定定理[对应学生用书P21]1．圆内接四边形的性质(1)圆的内接四边形对角互补．如图：四边形ABCD内接于⊙O，则有：∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．如图：∠CBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则有：∠CBE＝∠D.2．圆内接四边形的判定(1)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(2)推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．[对应学生用书P21][例1]如图，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA 的延长线于点F.求证：∠DEA＝∠DF A.[思路点拨]本题主要考查圆内接四边形判定及性质的应用．解题时，只需证A，D，E，F四点共圆后可得结论．[证明]连接AD.因为AB为圆的直径，所以∠ADB＝90°.又EF⊥AB，∠EF A＝90°，所以A，D，E，F四点共圆．所以∠DEA＝∠DF A.圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内角的对角，可用来作为三角形相似的条件，从而证明一些比例式的成立或证明某些等量关系．1．圆内接四边形ABCD 中，已知∠A ，∠B ，∠C 的度数比为4∶3∶5，求四边形各角的度数． 解：设∠A ，∠B ，∠C 的度数分别为4x,3x,5x ， 则由∠A ＋∠C ＝180°， 可得4x ＋5x ＝180°.∴x ＝20°.∴∠A ＝4×20°＝80°，∠B ＝3×20°＝60°， ∠C ＝5×20°＝100°，∠D ＝180°－∠B ＝120°.2．已知：如图，四边形ABCD 内接于圆，延长AD ，BC 相交于点E ，点F 是BD的延长线上的点，且DE 平分∠CDF .(1)求证：AB ＝AC ；(2)若AC ＝3 cm ，AD ＝2 cm ，求DE 的长． 解：(1)证明：∵∠ABC ＝∠2，∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3， ∴∠ABC ＝∠4. ∴AB ＝AC .(2)∵∠3＝∠4＝∠ABC ， ∠DAB ＝∠BAE ， ∴△ABD ∽△AEB . ∴AB AE ＝ADAB. ∵AB ＝AC ＝3，AD ＝2， ∴AE ＝AB 2AD ＝92.∴DE ＝92－2＝52(cm).[例2] 如图，在△ABC 中，E ，D ，F 分别为AB ，BC ，AC 的中点，且AP ⊥BC于P .求证：E ，D ，P ，F 四点共圆．[思路点拨] 可先连接PF ，构造四边形EDPF 的外角∠FPC ，证明∠FPC ＝∠C ，再证明∠FPC ＝∠FED 即可．[证明] 如图，连接PF ， ∵AP ⊥BC ，F 为AC 的中点，∴PF ＝12AC .∵FC ＝12AC ，∴PF＝FC.∴∠FPC＝∠C.∵E、F、D分别为AB，AC，BC的中点．∴EF∥CD，ED∥FC.∴四边形EDCF为平行四边形，∴∠FED＝∠C.∴∠FPC＝∠FED.∴E，D，P，F四点共圆．证明四点共圆的方法常有：①如果四点与一定点等距离，那么这四点共圆；②如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；③如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；④如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．3．判断下列各命题是否正确．(1)任意三角形都有一个外接圆，但可能不只一个；(2)矩形有唯一的外接圆；(3)菱形有外接圆；(4)正多边形有外接圆．解：(1)错误，任意三角形有唯一的外接圆；(2)正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；(3)错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4)正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等．4．已知：在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于点F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于点G.求证：(1)D、E、F、G四点共圆；(2)G、B、C、F四点共圆．证明：(1)如图，连接GF，由DF⊥AB，EG⊥AC，知∠GDF＝∠GEF＝90°，∴GF中点到D、E、F、G四点距离相等，∴D、E、F、G四点共圆．(2)连接DE.由AD＝DB，AE＝EC，知DE∥BC，∴∠ADE＝∠B.又由(1)中D、E、F、G四点共圆，∴∠ADE＝∠GFE.∴∠GFE＝∠B.∴G、B、C、F四点共圆.[例3]如图，已知⊙O与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O1上一点，P A、PB的延长线分别交⊙O2于点D、C，⊙O1的直径PE的延长线交CD于点M.求证：PM⊥CD.[思路点拨]⊙O1与⊙O2相交，考虑连接两交点A、B得公共弦AB；PE是⊙O1的直径，考虑连接AE或BE得90°的圆周角；要证PM⊥CD，再考虑证角相等．[证明]如图，分别连接AB，AE，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ABP＝∠D.∵A、E、B、P四点共圆，∴∠ABP＝∠AEP.∴∠AEP＝∠D.∴A、E、M、D四点共圆．∴∠PMC＝∠DAE.∵PE是⊙O1的直径，∴EA⊥P A.∴∠PMC＝∠DAE＝90°.∴PM⊥CD.此类问题综合性强，知识点丰富，解决的办法大多是先判断四点共圆，然后利用圆内接四边形的性质证明或求得某些结论成立．5.如图，P点是等边△ABC外接圆的BC上一点，CP的延长线和AB的延长线交于点D，连接BP.求证：(1)∠D＝∠CBP；(2)AC2＝CP·CD.证明：(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠A＝60°.∴∠DBC＝120°.又∵四边形ABPC是圆内接四边形，∴∠BPC＝180°－∠A＝120°.∴∠BPC＝∠DBC.又∵∠DCB＝∠BCP，∴△BCP∽△DCB.∴∠D＝∠CBP.(2)由(1)知△BCP ∽△DCB ， ∴BC DC ＝CP CB. ∴CB 2＝CP ·CD .又CB ＝AC ，∴AC 2＝CP ·CD .6．如图，在正三角形ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，AD ，BE 相交于点P .求证：(1)四点P ，D ，C ，E 共圆； (2)AP ⊥CP .解：(1)证明：在△ABC 中， 由BD ＝13BC ，CE ＝13CA 知：△ABD ≌△BCE ，即∠ADB ＝∠BEC ，即∠ADC ＋∠BEC ＝180°， 所以四点P ，D ，C ，E 共圆． (2)如图，连接DE .在△CDE 中，CD ＝2CE ， ∠ACD ＝60°，由余弦定理知∠CED ＝90°. 由四点P ，D ，C ，E 共圆知， ∠DPC ＝∠DEC ， 所以AP ⊥CP .[对应学生用书P24]一、选择题1．设四边形ABCD 为圆内接四边形，现给出四个关系式：①sin A ＝sin C ，②sin A ＋sin C ＝0，③cos B ＋cos D ＝0，④cos B ＝cos D . 其中恒成立的关系式的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：因为圆内接四边形的对角互补，故∠A ＝180°－∠C ，且∠A ，∠C 均不为0°或180°，故①式恒成立，②式不成立．同样由∠B＝180°－∠D知，③式恒成立．④式只有当∠B＝∠D＝90°时成立．答案：B2．圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是()A．4∶2∶3∶1 B．4∶3∶1∶2C．4∶1∶3∶2 D．以上都不对解析：由四边形ABCD内接于圆，得∠A＋∠C＝∠B＋∠D，从而只有B符合题意．答案：B3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AB的延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于()A．20°B．40°C．80°D．100°解析：四边形ABCD是圆内接四边形，且∠CBE＝40°，由圆内接四边形性质知∠D＝∠CBE＝40°，又由圆周角定理知：∠AOC＝2∠D＝80°.答案：C4．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有()①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；③∠A的外角与∠C的外角互补；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正确，②④错误．答案：B二、填空题5．(2014·陕西高考)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________.解析：∵B，C，F，E四点在同一个圆上，∴∠AEF＝∠ACB，又∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB，∴AEAC＝EFBC，即12＝EF6，∴EF ＝3. 答案：36．如图，直径AB ＝10，弦BC ＝8，CD 平分∠ACB ，则AC ＝______， BD ＝________.解析：∠ACB ＝90°，∠ADB ＝90°. 在Rt △ABC 中，AB ＝10，BC ＝8， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝6. 又∵CD 平分∠ACB . 即∠ACD ＝∠BCD ， ∴AD ＝BD . ∴BD ＝AB 22＝5 2. 答案：6 5 27．如图，点A ，B ，C ，D 都在⊙O 上，若∠C ＝34°，则∠AOB ＝________，∠ADB ＝________.解析：∵∠C 和∠AOB 分别是AB 所对的圆周角与圆心角， ∴∠AOB ＝2∠C ＝68°.∵周角是360°，劣弧AB 的度数为68°，∴优弧AB 的度数为292°. ∴∠ADB ＝12×292°＝146°.答案：68° 146° 三、解答题8.已知：如图，E 、F 、G 、H 分别为菱形ABCD 各边的中点，对角线AC 与BD 相交于O 点，求证：E ，F ，G ，H 共圆．证明：法一：连接EF 、FG 、GH 、HE . ∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点， ∴EF ∥AC .同理EH ∥BD .∴∠HEF ＝∠AOB .∵AC ⊥BD ，∴∠HEF ＝90°. 同理∠FGH ＝90°. ∴∠HEF ＋∠FGH ＝180°. ∴E 、F 、G 、H 共圆． 法二：连接OE 、OF 、OG 、OH .∵四边形ABCD 为菱形． ∴AC ⊥BD ， AB ＝BC ＝CD ＝DA .∵E 、F 、G 、H 分别为菱形ABCD 各边的中点， ∴OE ＝12AB ，OF ＝12BC ，OG ＝12CD ，OH ＝12DA .∴OE ＝OF ＝OG ＝OH .∴E ，F ，G ，H 在以O 点为圆心，以OE 为半径的圆上． 故E ，F ，G ，H 四点共圆．9.如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ＝ED .(1)证明：CD ∥AB ；(2)延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF ＝EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆． 证明：(1)因为EC ＝ED ，所以∠EDC ＝∠ECD .因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上， 所以∠EDC ＝∠EBA . 故ECD ＝∠EBA . 所以CD ∥AB . (2)由(1)知，AE ＝BE . 因为EF ＝EG ，故∠EFD ＝∠EGC ，从而∠FED ＝∠GEC . 连接AF ，BG ，则△EF A ≌△EGB ， 故∠F AE ＝∠GBE .又CD ∥AB ，∠EDC ＝∠ECD ， 所以∠F AB ＝∠GBA . 所以∠AFG ＋∠GBA ＝180°. 故A ，B ，G ，F 四点共圆．别是劣弧AB 与10．如图，已知⊙O 的半径为2，弦AB 的长为23，点C 与点D 分优弧ADB 上的任一点(点C 、D 均不与A 、B 重合)．(1)求∠ACB .(2)求△ABD 的最大面积．解：(1)连接OA 、OB ，作OE ⊥AB ，E 为垂足，则AE ＝BE .Rt △AOE 中，OA ＝2. AE ＝12AB ＝12×23＝ 3.所以sin ∠AOE ＝AE OA ＝32，∴∠AOE ＝60°，∠AOB ＝2∠AOE ＝120°. 又∠ADB ＝12∠AOB ，∴∠ADB ＝60°.又四边形ACBD 为圆内接四边形， ∴∠ACB ＋∠ADB ＝180°.从而有∠ACB ＝180°－∠ADB ＝120°. (2)作DF ⊥AB ，垂足为F ，则S △ABD ＝12AB ·DF ＝12×23×DF ＝3DF .显然，当DF 经过圆心O 时，DF 取最大值， 从而S △ABD 取得最大值．此时DF ＝DO ＋OF ＝3，S △ABD ＝33， 即△ABD 的最大面积是3 3.。
圆内接四边形的性质
圆内接四边形的性质在平面几何中，圆是一个非常重要的基本概念，广泛应用于各种数学和物理问题中。
圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上的特殊情况。
本文将讨论圆内接四边形的性质及相关定理，并给出相应的证明。
一、圆内接四边形的定义圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上的情况。
这意味着四边形的每一条边都是圆的切线。
二、圆内接四边形的基本特性1. 对角线互相垂直：圆内接四边形的对角线互相垂直。
这个性质可以通过割线定理来证明。
割线定理指出，从一个点到圆的切点引出的两条割线所形成的夹角是切线和割线所形成的弧所对应的角的一半。
由于四边形的每一条边都是圆的切线，所以四边形的对角线互相垂直。
2. 对角线相等：圆内接四边形的对角线相等。
这个性质可以通过引入圆的半径来证明。
设圆的半径为r，四边形的对角线分别为d1和d2，那么可以得出d1=2r*sin(a)，d2=2r*sin(b)，其中a和b分别为两对角所对应的圆心角。
由于a和b的和等于360度，即a+b=360度，因此有sin(a)+sin(b)=2*sin((a+b)/2)*cos((a-b)/2)=2*sin(180/2)*cos((a-b)/2)=2*sin(90)*cos((a-b)/2)=2*cos((a-b)/2)，所以d1=d2，即对角线相等。
3. 边长之和相等：圆内接四边形的相对边之和相等。
设四边形的边长分别为a、b、c、d，那么可以得出a+b=c+d。
这个性质可以通过扇形定理来证明。
扇形定理指出，圆上的两个弧所对应的圆心角相等，则这两个弧所夹的弦所代表的线段长度之和相等。
由于四边形的每一条边都是圆的切线，所以四边形的边长所对应的圆心角相等，即a+c=b+d。
综上所述，a+b=c+d。
4. 周长最大：给定定圆面积情况下，圆内接四边形的周长最大。
这个性质可以通过用半径来表示四边形的边长，并应用不等式来证明。
设圆的半径为r，四边形的边长为a、b、c、d，那么有a=2*r*sin(a/2)，b=2*r*sin(b/2)，c=2*r*sin(c/2)，d=2*r*sin(d/2)。
圆内接四边形的性质
圆内接四边形的性质在几何学中，圆内接四边形是指四边形的四个顶点都能与一个圆相切。
在本文中，我们将探讨圆内接四边形的性质。
一、面积对于圆内接四边形ABCD，其面积可以通过下面的公式计算：S = (AD × BC)/2其中，AD表示对角线AD的长度，BC表示对角线BC的长度。
二、对角线的关系在圆内接四边形中，对角线的乘积等于两条对边的乘积，即AD ×BC = AB × CD。
这一性质也被称为圆内接四边形的对角线定理。
三、周长圆内接四边形的周长可以通过下面的公式计算：P = AB + BC + CD + DA其中，AB、BC、CD和DA分别表示四边形的四条边的长度。
四、正方形和矩形的特殊情况当圆内接四边形是正方形时，它的对角线相等且垂直平分对方角。
而当圆内接四边形是矩形时，它的对角线相等且相交于对角线的中点。
五、圆内接四边形和三角形的关系对于一个圆内接四边形ABCD，将其顶点A、B、C和D分别与圆心O连接，我们可以得到四个扇形AOB、BOC、COD和DOA。
而这四个扇形的总和等于一个完整的圆，即AOB+BOC+COD+DOA = 360°。
六、欧拉公式对于任意圆内接四边形ABCD，其顶点A、B、C和D所构成的四个角的外角和等于360°，即∠A+∠B+∠C+∠D = 360°。
七、特殊情况下的圆内接四边形如果一个圆内接四边形是菱形或者平行四边形，那么它的性质和这些特殊四边形的性质相同。
例如，菱形内接圆的对角线相互垂直且平分对角线的夹角。
综上所述，圆内接四边形具有一些特殊的性质，包括面积关系、对角线的关系、周长计算公式以及和其他几何形状的关系。
这些性质在解决几何问题中起到了重要的作用，为我们提供了简化问题和推导结论的便利。
圆内接四边形的性质是几何学中的基础知识，对于进一步学习和应用几何学知识具有重要的意义。
圆的内接四边形定理
圆的内接四边形定理圆的内接四边形定理是几何学中的一个重要定理，它描述了一个圆内接四边形的性质。
这个定理在数学中有着广泛的应用，特别是在几何学和物理学中。
在本文中，我们将详细介绍圆的内接四边形定理的定义、证明和应用。
定义圆的内接四边形定理是指：如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么这个四边形是内接四边形，它的对角线互相垂直，且对角线的交点是圆的中心。
证明我们可以通过几何推理来证明圆的内接四边形定理。
首先，我们假设一个四边形ABCD是内接四边形，它的四个顶点都在同一个圆上。
我们需要证明的是，对角线AC和BD互相垂直，且它们的交点O是圆的中心。
我们可以通过以下步骤来证明：1. 连接对角线AC和BD，它们的交点为O。
2. 由于四边形ABCD是内接四边形，所以它的四个顶点都在同一个圆上。
因此，我们可以得到以下两个等式：∠AOC + ∠COD = 180°∠BOC + ∠COA = 180°3. 将这两个等式相加，得到：∠AOC + ∠BOC + ∠COA + ∠COD = 360°4. 由于圆的周角定理，圆的周角等于360°，因此：∠AOC + ∠BOC + ∠COA + ∠COD = 圆的周角5. 由于四边形ABCD是内接四边形，所以它的对角线互相垂直。
因此，我们可以得到以下两个等式：∠AOC + ∠COA = 90°∠BOC + ∠COD = 90°6. 将这两个等式相加，得到：∠AOC + ∠BOC + ∠COA + ∠COD = 180°7. 将步骤5和步骤6的结果代入步骤4的等式中，得到：180° = 圆的周角8. 由于圆的周角等于360°，因此：180° = 360°9. 这是一个矛盾的结论，因此我们的假设不成立。
因此，我们可以得出结论：如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么这个四边形是内接四边形，它的对角线互相垂直，且对角线的交点是圆的中心。
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如图,四边形 如图 四边形ABDC为⊙O的内 四边形 为 接四边形,已知∠BOC为100° 接四边形,已知∠BOC为100°, 的度数。 求∠BAC及∠BDC的度数。 及 BDC的度数
解：∠BDC=130°
如图,BC是直径，则∠DBC＋ 是直径， 如图 是直径 DBC＋ 等于： ∠BAE等于：( B ) 等于 (A)60° (B)90° ° ° (C)120° (D)180° ° °
圆的内接四边形
１．什么叫做圆的内接三角形？ 什么叫做圆的内接三角形？ 什么叫做三角形的外接圆？ 什么叫做三角形的外接圆？
答：经过三角形各顶点的圆叫做 三角形的外接圆， 三角形的外接圆，这个三角形叫 做这个圆的内接三角形。 做这个圆的内接三角形。
如果一个多边形的所有顶点都在 同一个圆上,这个多边形叫做 这个多边形叫做圆内 同一个圆上 这个多边形叫做圆内 接多边形。 接多边形。 这个圆叫做这个多边形的外接圆 多边形的外接圆。 这个圆叫做这个多边形的外接圆。
D
∵ 与 所对的 圆心角的和是360° 圆心角的和是 ° ∴∠A+∠BCD=180° ∴∠A+∠BCD=180° 同理,∠ABC+∠ADC=180° 同理,∠ABC+∠ADC=180° ,∠ABC+∠ADC=180 延长BC到 延长BC到E， BC 那么,∠BCD+∠DCE=180° 那么,∠BCD+∠DCE=180° ,∠BCD+∠DCE=180 ∴∠A＝ ∴∠A＝∠DCE
E
定理 圆的内接四边 形的对角互补， 对角互补 形的对角互补，并且 任何一个外角 一个外角都等于 任何一个外角都等于 它的内对角 内对角。 它的内对角。
如图,四边形 如图 四边形ABCD内接 四边形 内接 Ｏ，∠A=125° 于⊙Ｏ，∠A=125°, 那 )； 么，∠BCD＝( 55°； ＝ ° ° B+∠D＝ ∠B+∠D＝( 180° ).
1．图中，ABCD是圆内接四边形， ．图中， 是圆内接四边形， 是圆内接四边形 则下列式子成立的是： 则下列式子成立的是：( C ) (A) ∠A+∠ ∠A+∠DCE= 180° ° (B) ∠B+∠ ∠B+∠DCE= 180° ° (C) ∠A = ∠DCE (D)∠B = ∠DCE ∠B 2．图中，从⊙O外一点P作两条直 ．图中， 外一点P 线与⊙ 相交于A 线与⊙O相交于A、B和C、D，则： PAC∽△ △PAC∽△ PDB ； PAD∽△ △PAD∽△ PCB ； AED∽△ △AED∽△ BEC ； CED∽△ △CED∽△ BEA ．
如图， 都经过A 例 如图，⊙O1与⊙O2都经过A、 两点，经过点A的直线CD CD与 B两点，经过点A的直线CD与⊙O1 交于点C 交于点D 交于点C，与⊙O2交于点D．经过 的直线EF EF与 交于点E 点B的直线EF与⊙O1交于点E，与 交于点F ⊙O2交于点F． 求证： 求证：CE ∥ DF
１．什么叫做圆的内接三角形？ 什么叫做圆的内接三角形？ 什么叫做三角形的外接圆？ 什么叫做三角形的外接圆？ 2．如图 ⊙Ｏ中弧 的度数是 ．如图,⊙ 100° 则弦ＡＢ ＡＢ所对的圆周角是 100°,则弦ＡＢ所对的圆周角是 多少度？ 多少度？ C 答：弦AB所对的 所对的 圆周角分别是50° 圆周角分别是 ° 和130°。 °
求证： 求证：圆内接平行四边形 是矩形。 是矩形。
如果把上题中的圆内接平 行四边形改为圆内接梯形, 行四边形改为圆内接梯形 将会是什么样的梯形？ 将会是什么样的梯形？
1．如果一个多边形的所有顶点都 ． 在同一个圆上,这个多边形叫做 这个多边形叫做圆 在同一个圆上 这个多边形叫做圆 内接多边形。这个圆叫做这个多 内接多边形。这个圆叫做这个多 边形的外接圆。 边形的外接圆。 2．圆内接四边形性质定理：圆的内 圆内接四边形性质定理： 接四边形的对角互补， 接四边形的对角互补，并且任何一个 外角都等于它的内对角。 外角都等于它的内对角。这一结论在 探求角相等或互补关系时尤为重要， 探求角相等或互补关系时尤为重要， 常常要用到。 常常要用到。