什么叫圆的内接四边形
圆内接与外接四边形的性质
圆内接与外接四边形的性质内接四边形和外接四边形是几何学中的基本概念，它们存在于圆与四边形的关系中。
本文将从定义、性质、证明等方面详细探讨圆内接与外接四边形的性质。
一、定义圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都位于同一个圆上的情况。
而圆外接四边形是指一个四边形的每一条边都切到同一个圆的情况。
二、性质1. 圆内接四边形的性质(1) 内接四边形的对角线相互垂直，即对角线互相垂直；(2) 内接四边形的对角线的交点位于圆心；(3) 内接四边形的对角线相等，即对角线互相等长；(4) 圆内接四边形的对边之和相等，即两对对边之和相等。
2. 圆外接四边形的性质(1) 外接四边形的两组对角互补，即两组对角之和等于180度；(2) 外接四边形的对边互相平行；(3) 对角线所代表的对边之积相等，即两对对边之积相等。
三、证明(1) 证明对角线相互垂直：假设四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O。
连接AO和OB。
根据圆的性质可知，圆心到任意一点的距离相等，即OA=OC，OB=OD。
又根据三角形的性质可知，若两边相等且夹角为90度，则这两边互相垂直。
因此，∠AOB和∠COD相互垂直。
(2) 证明对角线的交点在圆心：根据定义可知，四边形ABCD的四个顶点都位于同一个圆上，即ABCD为一个圆的内接四边形。
而圆心即为该圆的中心，对角线的交点为中心点，因此∠AOB和∠COD的交点位于圆心。
(3) 证明对角线相等：因为ABCD为一个圆的内接四边形，根据定义可知，四边形的四个顶点都位于同一个圆上。
则任意两个顶点之间的距离等于圆的半径，即OA=OC，OB=OD。
所以对角线AC和BD相等。
(4) 证明对边之和相等：连接AD和BC。
因为ABCD为一个圆的内接四边形，根据定义可知，四边形的四个顶点都位于同一个圆上，所以∠DAB和∠CBA是圆心角，且其对应的弧长相等。
根据弧长定理可知，弧长相等的圆心角相等。
所以∠DAB=∠CBA，而∠DAB和∠CBA是相对于对边AD和BC的内角。
圆内接四边形性质与应用
圆内接四边形性质与应用圆内接四边形是指一个四边形内接于一个圆，即四边形的四个顶点都在圆上。
本文将探讨圆内接四边形的性质以及其在实际应用中的作用。
一、圆内接四边形的性质1. 对角线互相垂直我们先来证明一个性质：圆内接四边形的对角线互相垂直。
假设四边形ABCD内接于圆O，连接OA、OB、OC和OD。
首先，我们知道半径OA、OB、OC和OD都相等，因为它们都是圆O的半径。
所以，四边形AOB、BOC、COD和DOA是等腰三角形。
因为等腰三角形的底边垂直于底边上的高，所以AO⊥OB、BO⊥OC、CO⊥OD和DO⊥OA。
因此，四边形ABCD的对角线互相垂直。
2. 对角线相等除了对角线互相垂直外，圆内接四边形的对角线还有一个重要的性质：对角线相等。
仍然假设四边形ABCD内接于圆O，连接AC和BD。
我们知道，在圆上的任意两点间连线，都不会超过圆的直径，即AC和BD不会超过圆的直径，因此它们相等。
因此，圆内接四边形的对角线相等。
3. 周长和面积计算给定一个圆半径为r的内接四边形ABCD，我们可以计算它的周长和面积。
首先，由于对角线相等，我们可以将ABCD看作一个等边四边形，它的四个边长都为r。
所以，周长C等于4r。
其次，根据三角形面积的公式，我们可以将ABCD分割成4个等腰三角形AOB、BOC、COD和DOA。
因为等腰三角形的底边是边长r，高等于半径r，所以它们的面积相等。
假设它们的面积为S。
则整个四边形ABCD的面积等于4S。
二、圆内接四边形的应用1. 几何构造圆内接四边形在几何构造中有广泛的应用。
例如，我们可以利用圆内接四边形的性质，通过给定的圆心和半径来构造一个内接四边形。
具体的构造方法如下：（1）以圆心O为中心，画一个半径为r的圆；（2）以圆心O为起点，沿圆周画一条直线；（3）在直线上从圆心O向外分别取两点（A和B），使得OA和OB等于圆的半径；（4）连接点A、B和圆心O，得到内接四边形ABOC。
通过这个构造方法，我们可以根据已知的圆心和半径，准确地绘制出一个内接四边形。
圆内接四边形定理
圆内接四边形定理圆内接四边形定理概述：圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一圆上，这种四边形具有一些特殊的性质，其中最重要的就是圆内接四边形定理。
定义：设ABCD为一个圆内接四边形，其对角线交于E点，则有以下结论：1.对角线互相平分结论：对角线AC和BD互相平分。
证明：作AE、CE、BE、DE交BD于F、G、H、I。
由于ABCD为圆内接四边形，所以∠AEB=∠CEB，∠AED=∠CED。
因此三角形AEB与三角形CEB全等，三角形AED与三角形CED全等。
所以AE=CE，DE=BE。
又因为AF+FB=BF+FC, 所以AF=FC, BG=DH。
故AF+BG=FC+DH, 即AC=BD。
因此AC和BD互相平分。
2.对角线垂直结论：对角线AC和BD垂直。
证明：连接AD、BC，并过E点作AD和BC的垂线EF和EG，则AEHF和CEIG均为矩形。
因此EH=AF, EI=DG。
又因为AE=CE, DE=BE, 所以AH=DJ, CI=BJ。
因此AH·HD=BH·HC, CI·ID=AI·IB。
又因为AH+HD=BH+HC, CI+ID=AI+IB，所以AH²-HB²=CI²-IB²。
因此AH²+CI²=BH²+IB²。
由勾股定理可知，∠ACB为直角，即对角线AC和BD垂直。
3.对角线乘积相等结论：对角线AC和BD的乘积相等。
证明：设O为圆心，则OA=OC, OB=OD。
因此OA·OC=OB·OD。
又因为AECD为一组相似的四边形，所以AE/CE=DE/BE，即AE·BE=CE·DE。
故AE·BE+CE·DE=2AE·BE。
同理，BF·FA+CD·DI=2BF·FA。
两式相加得到AC(BF+CD)=BD(AF+CE)，即AC/AF=BD/CE。
圆内接四边形托勒密定理
圆内接四边形托勒密定理说到圆内接四边形托勒密定理，很多人一听就犯迷糊——什么圆？什么四边形？这个名字听起来就像是个数学怪兽，吓得你心里一哆嗦。
别急，今天我就跟大家轻松聊聊这个定理，保证你听了之后不仅不怕它，反而能跟人滔滔不绝地讲解一番。
你会发现，原来数学也能这么有趣。
先来个直观的理解吧，圆内接四边形顾名思义就是四边形的四个角都在圆上。
换句话说，就是一个四边形“蜷缩”进了圆圈里，它的四个顶点都像小鸟一样栖息在圆的周围。
很像是我们在画圆的时候，随便拿个铅笔点在圆周上，连起来就是一个四边形。
明白了吗？简单吧！这时候，咱们的托勒密定理就悄悄登场了。
托勒密定理告诉我们一个特别有趣的关系：对于任何一个圆内接四边形，它的两条对角线相乘的和，恰好等于两组对边相乘的和。
看上去好像有点深奥，对吧？其实挺简单的，咱们就拿一个例子来聊聊。
想象一下，你有一个圆内接四边形，边长分别是AB、BC、CD、DA，对角线是AC和BD。
托勒密定理告诉你：AC × BD = AB × CD + AD × BC。
是不是挺简单？别被符号吓住，真正理解了，就像是在做数学小游戏一样轻松。
为什么这个定理这么神奇呢？你得知道，这个定理可是古希腊数学家托勒密发现的。
虽然托勒密在我们心中可能就是一个数学巨匠，但他可不是坐在高高的宝座上做数学题，他也是跟我们一样，眼睛瞪着一堆公式，脑袋里就充满了疑问：为什么这些数字总是能如此神奇地“配对”？所以他就把这个问题一探究竟，终于得出了这个定理。
哎呀，想想都觉得他真是个老天爷的宠儿，居然能在这么古老的时代就发现这些规律。
这个定理的妙处就在于，它不像一般的数学定理那样需要你花费很长时间去推导。
你只需要知道两条对角线的长度和对边的长度，马上就能算出一个有趣的关系。
再比如，你用托勒密定理去解题时，它还能够帮助你简化问题，避免你用繁琐的几何方法去处理。
比如你要计算一个四边形的面积，或者要找出某个特殊点的位置，托勒密定理就能派上大用场，简直是数学中的“神助攻”。
圆的内接与外接四边形
圆的内接与外接四边形内接四边形是指一个四边形能够完全嵌入在一个圆内，而外接四边形则是指一个四边形能够完全切合圆的外部。
本文将探讨内接四边形和外接四边形的性质，并且探讨它们之间的关系。
首先，让我们来看看内接四边形。
在一个圆内，能够找到无数个内接四边形。
这些内接四边形的顶点都在圆上，而且它们的对边互相平行。
这是因为，在圆上的任意两点，通过圆心，可以得到一条直径。
而四边形的对边是通过圆心的直径线，所以它们必然是平行的。
这种特性意味着内接四边形的对边长度是相等的。
为了证明这一点，我们可以假设内接四边形的两个对边不等长。
然后，我们可以通过调整四边形的位置，使得两个对边的距离变得更接近。
然而，由于圆的对称性，这样调整之后的四边形仍然是内接的，所以它们的对边长度必须等长。
另一个有趣的性质是，内接四边形的对角线互相垂直。
这是因为，内接四边形的每个顶点都位于圆上，而圆的半径是垂直于圆上任意一条切线的。
所以，当我们连接内接四边形的对角线时，它们必然互相垂直。
现在，我们来讨论外接四边形。
外接四边形的顶点都位于圆上，而且它们的对边相交于圆心。
同样，外接四边形的对角线互相垂直，因为它们连接的是圆的两个切点。
此外，外接四边形的对边长度也是相等的。
证明方法与内接四边形相同，我们可以通过调整四边形的位置，使得两边的距离更接近。
然而，由于圆的对称性，调整之后的四边形仍然是外接的，所以对边长度必须相等。
通过观察，我们可以发现内接四边形和外接四边形之间存在着一种特殊的关系。
当内接四边形和外接四边形的一个顶点重合时，内接四边形变成了一个正方形，而外接四边形则变成了一个菱形。
这是因为，正方形的对边长度相等且互相垂直，而菱形的对边长度相等且互相垂直。
最后，我们还可以通过内接和外接四边形的性质，来解决一些几何问题。
例如，我们可以利用内接四边形的对角线互相垂直的特性，来计算四边形的面积。
同样，我们也可以利用外接四边形的对角线互相垂直的特性，来计算四边形的面积。
圆的内接四边形面积公式
圆的内接四边形面积公式在我们学习数学的奇妙旅程中，圆和四边形都是常常出现的“小伙伴”。
当它们相遇，形成圆的内接四边形时，就有了一个有趣的话题——圆的内接四边形面积公式。
先来说说什么是圆的内接四边形。
简单来讲，就是一个四边形的四个顶点都在同一个圆上。
想象一下，一个圆像一个温暖的怀抱，把四边形紧紧地搂在怀里，是不是挺有意思？咱们来看看这个面积公式到底是啥。
它是S = √[(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)] ，其中 a、b、c、d 是四边形的四条边，p 是半周长，也就是 (a + b + c + d) / 2 。
就拿我曾经给学生们讲这个知识点的时候发生的一件事来说吧。
那天，我在黑板上画出了一个圆和一个内接四边形，然后开始讲解这个公式。
我发现有个叫小明的同学，一脸迷茫，眼睛里充满了问号。
我就走到他身边，问他是不是没听懂。
他怯生生地点点头，说这个公式看起来太复杂了，根本记不住。
我笑着告诉他，别着急，咱们一起来分析分析。
我指着黑板上的图形，说：“你看，这四条边就像是四个小伙伴，它们手拉手围在一起，而这个半周长 p 呢，就像是它们的小队长，要协调好大家的关系。
”小明听了，似乎有点开窍了，但还是不太确定。
于是，我又出了一道题，让大家一起来算算。
题目是这样的：一个圆的内接四边形，四条边分别是 3、4、5、6，让大家求出面积。
同学们都开始埋头苦算，小明也不例外。
过了一会儿，大部分同学都算出了答案，可小明还是眉头紧锁。
我又走到他身边，看了看他的计算过程，发现他在计算半周长的时候出错了。
我耐心地给他指出来，然后一步一步带着他重新计算。
终于，小明算出了正确答案，脸上露出了开心的笑容。
从那以后，每次讲到这个知识点，小明都特别认真，还能主动给其他同学讲解。
其实，学习这个圆的内接四边形面积公式，就像是一场解谜游戏。
我们要仔细观察四边形的四条边，找到它们之间的关系，然后巧妙地运用公式算出面积。
只要我们多做几道题，多思考，就能熟练掌握这个公式，让数学变得不再那么可怕。
圆内接四边形的性质
圆内接四边形的性质在平面几何中，圆是一个非常重要的基本概念，广泛应用于各种数学和物理问题中。
圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上的特殊情况。
本文将讨论圆内接四边形的性质及相关定理，并给出相应的证明。
一、圆内接四边形的定义圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上的情况。
这意味着四边形的每一条边都是圆的切线。
二、圆内接四边形的基本特性1. 对角线互相垂直：圆内接四边形的对角线互相垂直。
这个性质可以通过割线定理来证明。
割线定理指出，从一个点到圆的切点引出的两条割线所形成的夹角是切线和割线所形成的弧所对应的角的一半。
由于四边形的每一条边都是圆的切线，所以四边形的对角线互相垂直。
2. 对角线相等：圆内接四边形的对角线相等。
这个性质可以通过引入圆的半径来证明。
设圆的半径为r，四边形的对角线分别为d1和d2，那么可以得出d1=2r*sin(a)，d2=2r*sin(b)，其中a和b分别为两对角所对应的圆心角。
由于a和b的和等于360度，即a+b=360度，因此有sin(a)+sin(b)=2*sin((a+b)/2)*cos((a-b)/2)=2*sin(180/2)*cos((a-b)/2)=2*sin(90)*cos((a-b)/2)=2*cos((a-b)/2)，所以d1=d2，即对角线相等。
3. 边长之和相等：圆内接四边形的相对边之和相等。
设四边形的边长分别为a、b、c、d，那么可以得出a+b=c+d。
这个性质可以通过扇形定理来证明。
扇形定理指出，圆上的两个弧所对应的圆心角相等，则这两个弧所夹的弦所代表的线段长度之和相等。
由于四边形的每一条边都是圆的切线，所以四边形的边长所对应的圆心角相等，即a+c=b+d。
综上所述，a+b=c+d。
4. 周长最大：给定定圆面积情况下，圆内接四边形的周长最大。
这个性质可以通过用半径来表示四边形的边长，并应用不等式来证明。
设圆的半径为r，四边形的边长为a、b、c、d，那么有a=2*r*sin(a/2)，b=2*r*sin(b/2)，c=2*r*sin(c/2)，d=2*r*sin(d/2)。
圆内接四边形的性质(对角线相等)
圆内接四边形的性质（对角线相等）圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，本文将探讨圆内接四边形的性质之一——对角线相等。
1. 圆内接四边形的定义圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，并且四条边恰好与圆相切。
这种情况下，对角线相等的性质就会出现。
2. 圆内接四边形的性质对于任意一个圆内接四边形，其对角线是相等的。
也就是说，四边形的两条对角线长相等。
证明如下：设圆内接四边形的四个顶点分别为A、B、C、D，四条边分别为AB、BC、CD、DA。
连接AC和BD作为对角线。
我们需要证明|AC| = |BD|。
由于四边形的四个顶点都在同一个圆上，根据圆上弧所对的圆心角相等的性质，我们可以得到：∠ABC = ∠CDA∠BCD = ∠DAB又因为圆上的切线与半径垂直，我们可以得到：∠BAC = ∠BDC∠CBD = ∠CAD根据上述等角关系，我们可以证明△ABC与△CDA全等，以及△BCD与△DAB全等。
因此，我们可以得出以下结论：∠A = ∠C，∠B = ∠D△ABD与△CBA全等根据全等三角形的性质，我们可以得到：|AB| = |CB||AD| = |CD|因此，我们有|AC| = |AB| + |BC| = |CB| + |CD| = |BD|。
这样，我们证明了对于圆内接四边形来说，其对角线是相等的。
3. 圆内接四边形的应用圆内接四边形的对角线相等这一性质在几何学中有广泛应用。
例如，当我们需要求解一个圆内接四边形的对角线长度时，我们可以利用这一性质进行计算。
另外，对角线相等还可以用于证明其他性质，扩展到更复杂的几何问题中。
4. 总结圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，并且四条边恰好与圆相切。
对于圆内接四边形来说，其对角线是相等的。
这一性质可以通过等角关系和全等三角形的性质进行证明。
圆内接四边形的对角线相等性质在几何学中有广泛应用，可以用于计算和证明其他性质。
通过本文的讨论，我们对圆内接四边形的对角线相等性质有了更深入的了解，也增加了对几何学中相关概念的理解。
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一、教学案例实录教学过程 :1. 习旧引新⑴在⊙O 上 , 任到三个点 A 、 B 、 C, 然后顺次连接 , 得到的是什么图形 ? 这个图形与⊙O 有什么关系 ?⑵由圆内接三角形的概念 , 能否得出什么叫圆的内接四边形呢 ( 类比 )?2. 概念学习⑴什么叫圆的内接四边形 ?⑵如图 1, 说明四边形 ABCD 与⊙O 的关系。
3. 探讨性质⑴前面我们已经学习了一类特殊四边形 ---- 平行四边形 , 矩形 , 菱形 , 正方形 , 等腰梯形的性质 , 那么要探讨圆内接四边形的性质 , 一般要从哪几个方面入手 ?⑵打开《几何画板》 , 让学生动手任意画⊙O 和⊙O 的内接四边形 ABCD 。
( 教师适当指导 )⑶量出可试题的所有值 ( 圆的半径和四边形的边 , 内角 , 对角线 , 周长 , 面积 ), 并观察这些量之间的关系。
⑷改变圆的半径大小 , 这些量有无变化 ? 由 (3) 观察得出的某些关系有无变化 ?⑸移动四边形的一个顶点 , 这些量有无变化 ? 由 (3) 观察得出的某些关系有无变化 ? 移动四边形的四个顶点呢 ? 移动三个顶点呢 ?⑹如何用命题的形式表述刚才的实验得出来的结论呢 ?( 让学生回答 )4. 性质的证明及巩固练习⑴证明猜想已知 : 如图 1, 四边形 ABCD 内接于⊙O 。
求证 :∠BAD+∠BCD=180°,∠ABC+∠ADC=180°。
⑵完善性质①若将线段 BC 延长到 E( 如图 2), 那么 ,∠DCE 与∠BAD 又有什么关系呢 ?②圆的内接四边形的性质定理 : 圆内接四边形的对角互补 , 并且任何一个外角都等于它的内对角。
⑶练习①已知 : 在圆内接四边形 ABCD 中 , 已知∠A=50°,∠D-∠B=40°, 求∠B,∠C,∠D 的度数。
②已知 : 如图 3, 以等腰△ABC 的底边 BC 为直径的⊙O 分别交两腰 AB,AC 于点 E,D, 连结 DE, 求证 :DE∥BC 。
( 演示作业本 )5. 例题讲解引例已知 : 如图 4,AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线 , 它与△ABC 的外接圆交于点 D 。
求证 :DB=DC 。
( 引例由学生证明并板演 )教师先评价学生的板演情况 , 然后提出 , 若将已知中的“ AD 是△ABC 中的∠BAC 的平分线”改为“ AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线”, 又该如何证明 ? 引出例题。
例已知 : 如图 5,AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线 , 与△ABC 的外接圆交于点 D,求证 :DB=DC 。
6. 小结 : 为了使学生对所学的内容有一个完整而深刻的印象 , 让学生组成小组 , 从概念 , 性质 , 方法 , 特殊性进行讨论 , 然后对讨论的结果进行归纳。
⑴本节课我们学习了圆内接四边形的概念和圆内接四边形的和要性质 , 要求同学们理解圆内接四边形和四边形的外接圆的概念 , 理解圆内接四边形的性质定理 ; 并初步应用性质定理进行有关命题的证明和计算。
⑵我们结合《几何画板》的使用导出了圆内接四边形的性质 , 在这一过程中用到了许多数学方法 ( 实验 , 观察 , 类比 , 分析 , 归纳 , 猜想等 ), 同学们要逐步学会用并关于应用这些方法去探讨有关的数学问题 , 提高我们的数学实践能力与创新能力。
7. 作业⑴如图 6, 在等腰直角△ABC 中 ,∠C=90°, 以 AC 为弦的⊙O 分别交 BC,AB 于 D,E, 连结 DE 。
求证 :△BDE 是等腰直角三角形。
⑵已知 :⊙O 和⊙O ＇相交于 A,B 两点 , 经过 A,B 两点分别作直线 CD 和 EF,CD 交⊙O,⊙O ＇于C,D,EF 交⊙O,⊙O ＇于 E,F, 连结 CE,AB,DF 。
问 : 当 CD 和 EF 满足怎样的条件时 , 四边形 CEDF 是怎样的特殊四边形 ? 并证明所得的结论。
( 选做 )二、对教学案例的分析这一教学案例当然不能被看作是培养学生创新意识的初中数学课堂教学的范例 , 其中许多环节还需要进一步改进完善。
但其较为真实地反映了目前数学课堂教学的一些情况 , 一些教学环节的处理还是值得肯定的。
1. 突出了数学课堂教学中的探索性关于圆的内接四边形性质的引出 , 在本教学案例上没有像教材那样直接给出定理 , 然后证明 ; 而是利用《几何画板》采取了让学生动手画一画 , 量一量的方式 , 使学生通过对直观图形的观察归纳和猜想 , 自己去发现结论 , 并用命题的形式表述结论。
关于圆内接四边形性质的证明 , 没有采用教师给学生演示定理证明 , 而是引导学生证明猜想 , 并做了进一步的完善。
这种探索性的数学教学方式在其后的例题讲解中亦得到了进一步的贯彻。
这样既调动了学生学习数学的积极性和主动性 , 增强了学生参与数学活动的意识 , 又培养了学生的动手实践能力。
同时 , 也向学生渗透了实践 ---- 认识 ---- 再实践 ---- 再认识的辩证观点。
一方面 , 使数学不再是一门单调枯燥 , 缺乏直观印象的高度抽象的学科 , 通过提供生动活泼的直观演示 , 让学生多角度 , 快节奏地去认识教学内容 , 达到事半功倍的教学效果 ; 另一方面 , 计算机所特有的 , 对数学活动过程的展示 , 对数学细节问题的处理可以使学生体验到用运动的观点来研究图形的思想 , 让学生充分感受到发现总是代和解决问题带来的愉悦 , 培养学生的数学创新意识。
2. 引进了计算机《几何画板》技术本课例在引导学生得出圆内接四边形的性质时 , 通过使用《几何画板》 , 从而实现了改变圆的半径 , 移动四边形的顶点等 , 从而使初中平面几何教学发生了重大的变化 , 那就是让图形出来说话 , 充分调动学生的直觉思维。
这样一来不仅极大地激发了学生学习的兴趣 , 而且比过去的教学更能够使学生深刻地理解几何。
当然 , 本教学案例在这方面的探索还是初步的 , 设想今后通过计算机技术的进一步开发与应用 , 初中平面几何课能够给学生更多动手的机会 , 让学生以研究的方式学习几何 , 进一步突出学生在学习中的主体地位。
3. 引入了数学开放题本教学案例在增大数学课堂教学的探索性 , 计算机技术进入数学课堂的同时 , 在学生作业中还增加了开放题 ( 作业 2), 为学生创造了更为广阔的思维空间 , 对此应大力提倡。
目前 , 世界各国在数学教育改革中都十分强调高层次思维能力的培养 , 这些高层次思维能力包括了推理 , 交流 , 概括和解决问题等方面的能力。
要提高学生这种高层次的思维 , 在数学课堂教学中引进开放性问题是十分有益的。
我国的数学题一直是化归型的 , 即将结论化归为条件 , 所求的对象化归为已知的结果。
这种只考查逻辑连接的能力固然重要 , 并且永远是主要部分 , 但是 , 它不能是惟一的。
单一的题型已经严惩阻碍了学生数学创新能力的培养。
在数学教学中还可将一些常规性题目发行为开放题。
如教材中有这样一个平面几何题“证明 : 顺次连接四边形四条边的中点 , 所得的四边形是平行四边形。
”这是一个常规性题目 , 我们可以把它发行为“画一个四边形是什么样的特殊四边形 , 并加以证明。
”我们还可用计算机来演示一个形状不断变化的四边形 , 让学生观察它们四条边中点的连线组成一个什么样的特殊四边形 , 在学生完成猜想和证明过程后 , 我们进而可提出如下问题 :”要使顺次连接四条边的中点所得的四边形是菱形 , 那么对原来的四边形应有哪些新的要求 ? 如果要使所得的四边形是正方形 , 还需要有什么新的要求 ?”通过这些改造 , 常规题便具有了“开放题”的形式 , 例题的功能也可更充分地发挥。
在此 , 我们进一步强调培养学生创新意识的数学课堂教学 , 不应仅仅把开放题作为一种习题形式 , 而应作为一咱教学思想。
这种教学思想反映了数学教学观的转变 , 这主要反映在开放性问题强调了数学知识的整体性 , 数学教学的思维性 , 数学解决问题的过程性 , 强调了学生在教学活动中的主体作用于以及有利于提高学生学习的乐趣 , 提高了学生学习的内在动力等。
4. 学生学习方式被确定为“发现学习”在学习理论上 , 按不同的学习方式 , 可分为接受学习 (reception learning) 和发现学习 (discovery learning) 。
所谓接受学习 , 是指学习者将别人的经验变成自己的经验的时候 , 所学习的内容是以定论或确定的形式通过传授者的传授 , 不需要自己任何方式的独立发现 ; 发现学习则是由学习者自己发现问题和解决问题的一种学习方式 , 在课堂教学中则主要是指发现学习。
尽管发现学习效率比接受学习的效率低 , 但却十分有利于培养学生发现与创新的意识 , 鉴于初中学生的身心与教学内容特点 , 发现学习应是培养创新意识的初中数学课堂教学中学生学习的主要方式。
本教学案例中学生的学被确定为发现学习 , 那么教师的教学行为就应根据学生的这一学习特点来设计相应的教学方法以及教学的组织形式。
即教师在指导学生学习概念和原理时 , 只给他们一些事实和问题 , 让学生积极思考 , 独立探索 , 自己发现并掌握相应的原理和规则。
对此本教学案例中圆的内接四边形的概念、性质等均没有直接给学生 , 而是在教师创设的问题情境中让学生发现而获得。
但不足的是本案例似乎在这方面还不够典型 , 学生学习积极性的发挥与调动亦没有充分反映出来。
这些问题都有待于我们继续进行深入的研究。