《大高考》2016届高考复习数学理(全国通用)：第四章三角函数、解三角形第五节

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解三角形的教学反思5篇

解三角形的教学反思5篇第一篇：解三角形的教学反思解三角形的教学反思三角形中的几何计算的主要内容是利用正弦定理和余弦定理解斜三角形，是对正、余弦定理的拓展和强化，可看作前两节课的习题课。

本节课的重点是运用正弦定理和余弦定理处理三角形中的计算问题，难点是如何在理解题意的基础上将实际问题数学化。

在求解问题时，首先要确定与未知量之间相关联的量，把所求的问题转化为由已知条件可直接求解的量上来。

为了突出重点，突破难点，结合学生的学习情况，我是从这几方面体现的：我在这节课里所选择的例题就考常出现的三种题型：解三形、判断三角形形状及三角形面积，题目都是很有代表性的，并在学生练习过程中将例题变形让学生能观察到此类题的考点及易错点。

这节课我试图根据新课标的精神去设计，去进行教学，试图以“问题”贯穿我的整个教学过程，努力改进自己的教学方法，让学生的接受式学习中融入问题解决的成份，企图把讲授式与活动式教学有机整合，希望在学生巩固基础知识的同时，能够发展学生的创新精神和实践能力，但我觉得自己还有如下几点做得还不够：①课堂容量中体来说比较适中，但由于学生的整体能力比较差，没有给出一定的时间让同学们进行讨论，把老师自己认为难的，学生不易懂得直接让优等生进行展示，学生缺乏对这几个题目事先认识，没有引起学生的共同参与，效果上有一定的折扣；②没有充分挖掘学生探索解题思路，对学生的解题思维只给出了点评，而没有引起学生对这一问题的深入研究，例如对于运用正弦定理求三角形的角的时候，出了给学生们常规方法外，还应给出老教材中关于三角形个数的方法，至少应介绍一下；③没有很好对学生的解题过程和方法进行点评，没起到“画龙点睛”的作用。

④本来准备了一道练习题，但没能很好把握时间，而放弃了，说明了对这堂课准备不足，缺乏对学生很好的了解。

高中数学必修五《解三角形》第二节余弦定理教学反思本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。

高考数学总复习第四篇三角函数、解三角形《第18讲同角三角函数的基本关系与诱导公式》理(含解析) 苏教版

2013高考总复习江苏专用（理科）：第四篇三角函数、解三角形《第18讲同角三角函数的基本关系与诱导公式》（基础达标演练+综合创新备选，含解析）A 级基础达标演练(时间：45分钟满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－113π＝________.解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－113π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π3＝cos π3＝12. 答案 122．(2011·南京模拟)已知cos(π＋x )＝35，x ∈(π，2π)，则tan x ＝________.解析由cos(π＋x )＝－cos x ＝35，得cos x ＝－35＜0，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2.此时sin x ＝－45，故tan x ＝43. 答案 433．设tan(5π＋α)＝m ，则α－3π＋π－α－α－π＋α的值为________．解析 ∵α－3π＋π－α－α－π＋α＝－4π＋π＋α－cos α－sin α＋cos α＝π＋α－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1，又tan(5π＋α)＝m ， ∴tan(π＋α)＝m ，tan α＝m ， ∴原式＝m ＋1m －1.答案m ＋1m －14．(2010·苏州模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝23，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝________. 解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－23.答案－235．(2011·镇江月考)已知cos(π－α)＝817，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan α＝________.解析 cos(π－α)＝－cos α＝817，即cos α＝－817.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴sin α＜0.所以sin α＝－1－cos 2α＝－1517.故tan α＝sin αcos α＝158.答案1586．(2012·揭阳模拟)已知sin αcos α＝18，且π4＜α＜π2，则cos α－sin α的值是________．解析 1－2sin αcos α＝(sin α－cos α)2＝34，又∵π4＜α＜π2，sin α＞cos α.∴cos α－sin α＝－32.答案－327.1－π＋π＋＝________.解析原式＝cos 24＋sin 24－2cos 4sin 4 ＝－2＝|cos 4－sin 4|＝cos 4－sin 4.答案 cos 4－sin 4二、解答题(每小题15分，共45分) 8．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2.求：sin π－α＋cos α＋π5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π2－α.解 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2， ∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α， ∴原式＝sin α－cos α5sin α－3cos α＝2cos α－cos α10cos α－3 cos α＝17.9．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos π＋θcos θ[cos π－θ－1]＋cos θ－2πsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos θ－π－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．解因为sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，所以sin θ＝－13.所以原式＝－cos θcos θ－cos θ－1＋cos2π－θ－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θcos π－θ＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ ＝2sin 2θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝18. 10．(2012·苏州模拟)已知0＜α＜π2，若cos α－sin α＝－55，试求2sin αcos α－cos α＋11－tan α的值．解因为cos α－sin α＝－55，所以1－2sin α·cos α＝15. 所以2sin α·cos α＝45，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋45＝95.因为0＜α＜π2，所以sin α＋cos α＝35 5.由cos α－sin α＝－55，sin α＋cos α＝355得sin α＝255，cos α＝55，∴tan α＝2，∴2sin αcos α－cos α＋11－tan α＝2·255·55－55＋11－2＝55－95.B 级综合创新备选(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则2tan x ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最小值为________．解析因为x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan x >0.所以2tan x ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝2tan x ＋1tan x ≥22，所以2tan x ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最小值为2 2.答案 2 22．已知sin x ＋sin y ＝13，则sin y －cos 2x 的最大值为________．解析因为sin x ＋sin y ＝13，所以sin y ＝13－sin x .又－1≤sin y ≤1，所以－1≤13－sin x ≤1，得－23≤sin x ≤1.因此，sin y －cos 2x ＝13－sin x －(1－sin 2x )＝－23－sin x ＋sin 2x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122－1112⎝ ⎛⎭⎪⎫－23≤sin x ≤1，所以当sin x ＝－23时，sin y －cos 2x 取最大值49.答案 493．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________. 解析 sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 245°＋…＋sin 2(90°－2°)＋sin 2(90°－1°) ＝sin 21°＋sin 22°＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫222＋…＋cos 22°＋cos 21°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋12＝44＋12＝892.答案8924．(2011·扬州调研)已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6的值是________．解析依题意得2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．又－π2＜α＜0，因此α＝－π3，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3－π6＝cos π2＝0.答案 05．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin α＋cos α＝75，则tan α＝________.解析将sin α＋cos α＝75，①两端平方得：sin αcos α＝1225，②由①②得：⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35，cos α＝45，或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝35.又因为0＜α＜π4，所以sin α＜cos α，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35cos α＝45，故tan α＝34.答案 346．(2011·盐城模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π＜α＜－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝________. 解析 cos ⎝⎛⎭⎪⎫π12－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α.又－π＜α＜－π2，所以－712π＜5π12＋α＜－π12. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＋α＝－223，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝－223.答案－223二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋cos x . (1)若x ∈[0，π]，求f (x )的值域；(2)若x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π6，且sin 2x ＝13，求f (x )的值．解 (1)f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，所以－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，所以f (x )的值域为[－1，2]．(2)因为[f (x )]2＝(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ＝1＋sin 2x ＝43，且f (x )＞0，所以f (x )＝233.8．(★)已知－π2＜x ＜0，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x －cos x 的值； (2)求1cos 2x －sin 2x的值．思路分析 (思路一)：由已知条件与平方关系联立方程组求解；(思路二)：先求sin x －cosx 再与已知条件联立方程组求解．解 (1)法一联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15， ①sin 2 x ＋cos 2 x ＝1， ②由①得sin x ＝15－将其代入②，整理得25cos 2x －5cos x －12＝0.因为－π2＜x ＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＝－35，cos x ＝45，所以sin x －cos x ＝－75.法二由sin x ＋cos x ＝15，得(sin x ＋cos x )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin x cos x ＝125，所以2sin x cos x ＝－2425.因为(sin x －cos x )2＝sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x ＝1－2sin x cos x ＝1＋2425＝4925①且－π2＜x ＜0，所以sin x ＜0，cos x ＞0，所以sin x －cos x ＜0.② 由①②可知，sin x －cos x ＝－75.(2)由已知条件及(1)可知 ⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15，sin x －cos x ＝－75，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＝－35，cos x ＝45.所以tan x ＝－34.所以1cos x －sin x ＝sin 2x ＋cos 2x cos x －sin x ＝tan 2x ＋11－tan x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝257.【点评】要善于挖掘隐含条件，要具有方程的思想意识，还有一些综合问题，需要构造方程来解决，在平时的学习中应该不断积累用方程的思想解题的方法.。

2020版高考数学理科(人教B版)一轮复习高考大题专项2 高考中的三角函数与解三角形

高考大题专项二高考中的三角函数与解三角形1.(2018北京,理15)在△ABC 中,a=7,b=8,cos B=-17.(1)求∠A ;(2)求AC 边上的高.2.在△ABC 中,已知A=45°,cos B=45.(1)求cos C 的值;(2)若BC=10,D 为AB 的中点,求CD 的长.3.(2018河南安阳一模,17)已知在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足a+2a cos B=c. (1)求证:B=2A ;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c=2,求a 的取值范围.4.如图,在梯形ABCD 中,已知∠A=π2,∠B=2π3,AB=6,在AB 边上取点E ,使得BE=1,连接EC ,ED.若∠CED=2π3,EC=√7.(1)求sin ∠BCE 的值; (2)求CD 的长.5.(2018河北唐山三模,17)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,a-b=b cos C. (1)求证:sin C=tan B ;(2)若a=1,C 为锐角,求c 的取值范围.6.已知在△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,△ABD 的面积是△ADC 面积的2倍. (1)求sinBsinC ;(2)若AD=1,DC=√22,求BD 和AC 的长.7.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知4cos 2B -C2-4sin B sin C=3. (1)求A ;(2)若(bc-4√3)cos A+ac cos B=a 2-b 2,求△ABC 的面积.8.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边.若a cos B=3,b cos A=1,且A-B=π6, (1)求边c 的长; (2)求角B 的大小.高考大题专项二高考中的三角函数与解三角形1.解 (1)在△ABC 中,∵cos B=-17,∴B ∈(π2,π),∴sin B=√1-cos 2B =4√37.由正弦定理,得asinA=bsinB⇒7sinA=4√37,∴sin A=√32.∵B ∈(π2,π), ∴A ∈(0,π2),∴A=π3.(2)在△ABC 中,sin C=sin(A+B )=sin A cos B+sin B cos A=√32×(-17)+12×4√37=3√314.如图所示,在△ABC 中,过点B 作BD ⊥AC 于点D.∵sin C=ℎBC ,∴h=BC·sin C=7×3√314=3√32,∴AC 边上的高为3√32.2.解 (1)∵cos B=45,且B ∈(0°,180°),∴sin B=√1-cos 2B =35.cos C=cos(180°-A-B )=cos(135°-B ) =cos 135°cos B+sin 135°sin B=-√22×45+√22×35=-√210.(2)由(1)可得sin C=√1-cos 2C=√1-(-√210)2=710√2.由正弦定理得BC sinA =AB sinC ,即√22=AB710√2,解得AB=14.在△BCD 中,BD=7,CD 2=72+102-2×7×10×45=37,所以CD=√37.3.解 (1)∵a+2a cos B=c ,由正弦定理知,sin A+2sin A cos B=sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B ,即sin A=cos A sin B-sin A cos B=sin(B-A ).因为A ,B ∈(0,π),所以A+(B-A )≠π,所以A=B-A ,B=2A.(2)由(1)知A=B 2,C=π-A-B=π-3B 2.由△ABC 为锐角三角形,得{ 0<B2<π2,0<B <π2,0<π-3B 2<π2,得π3<B<π2.由a+2a cos B=2得a=21+2cosB .∵B ∈(π3,π2),∴cos B ∈(0,12). ∴a=21+2cosB ∈(1,2).4.解 (1)在△CBE 中,由正弦定理得CEsinB=BE sin∠BCE ,sin ∠BCE=BEsinB CE =1×√32√7=√2114. (2)在△CBE 中,由余弦定理得CE 2=BE 2+CB 2-2BE·CB cos 2π3,即7=1+CB 2+CB ,解得CB=2.由余弦定理得CB 2=BE 2+CE 2-2BE·CE cos ∠BEC ,cos ∠BEC=2√77,sin ∠BEC=√217,sin ∠AED=sin 2π3+∠BEC =√32×2√77−12×√217=√2114,cos ∠AED=5√714, 在Rt △ADE 中,AE=5,AE DE =cos ∠AED=5√714,DE=2√7,在△CED 中,由余弦定理得CD 2=CE 2+DE 2-2CE·DE cos 2π3=49,∴CD=7.5.解 (1)由a-b=b cos C ,根据正弦定理得sin A-sin B=sin B cos C ,即sin(B+C )=sin B+sin B cos C ,sin B cos C+cos B sin C=sin B+sin B cos C ,sin C cos B=sin B , 得sin C=tan B.(2)由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos C=b 2+2b-1=(b+1)2-2,由a-b=b cos C 知b=a 1+cosC=11+cosC, 由C 为锐角,得0<cos C<1, 所以12<b<1.从而有12<c<√2.所以c 的取值范围是(12,√2).6.解 (1)S △ABD =12AB·AD sin ∠BAD ,S △ADC =12AC·AD sin ∠CAD.因为S △ABD =2S △ADC ,∠BAD=∠CAD ,所以AB=2AC.由正弦定理可得sinBsinC =ACAB =12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC =BD ∶DC ,所以BD=√2.在△ABD 和△ADC 中,由余弦定理知,AB 2=AD 2+BD 2-2AD·BD cos ∠ADB , ① AC 2=AD 2+DC 2-2AD·DC cos ∠ADC. ②因为cos ∠ADB=-cos ∠ADC , 所以①+2×②得AB 2+2AC 2=3AD 2+BD 2+2DC 2=6.由(1)知AB=2AC ,所以AC=1.7.解 (1)4×1+cos (B -C )2-4sin B sin C=2+2cos B cos C-2sin B cos C=2+2cos(B+C ) =2-2cos A=3,cos A=-12,∵0<A<π,∴A=2π3.(2)∵(bc-4√3)·b 2+c 2-a 22bc +ac ·a 2+c 2-b 22ac =a 2-b 2, ∴b 2+c 2-a 22-4√3·b 2+c 2-a 22bc +a 2+c 2-b 22=a 2-b 2,∴b 2+c 2-a 2-4√3·b 2+c 2-a 22bc =0,∵A=2π3,∴b 2+c 2-a 2≠0,∴1-4√32bc =0,bc=2√3,S △ABC =12bc sin A=12×2√3×√32=32.8.解 (1)a cos B=3,a ×a 2+c 2-b 22ac =3,化为a 2+c 2-b 2=6c ,①b cos A=1,b ×b 2+c 2-a 22bc =1,化为b 2+c 2-a 2=2c.②解由①②组成的方程组得2c 2=8c ,即c=4.(2)将(1)得到的c=4代入①可得a 2-b 2=8.又A-B=π6,∴A=B+π6,C=π-(A+B )=π-(2B +π6),可得sinC=sin (2B +π6).由正弦定理可得asinA =bsinB =4sinC ,∴a=4sin (B+π6)sin (2B+π6),b=4sinBsin (2B+π6).∴a 2-b 2=8⇔16sin 2(B +π6)-16sin 2B=8sin 2(2B +π6),∴1-cos (2B +π3)-(1-cos 2B )=sin 2(2B +π6),即cos 2B-cos 2B+π3=sin 2(2B +π6), ∴sin (2B +π6)=sin 2(2B +π6),∴sin (2B +π6)=0或sin 2B+π6=1,B ∈(0,5π12),解得B=π6.。

高考数学(理)二轮复习(课件+跟踪训练)：第一部分专题二三角函数、解三角形、平面向量(7份)专题

专题跟踪训练(八)一、选择题1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝80，b ＝100，A ＝30°，则此三角形( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形[解析] 依题意得a sin A ＝b sin B ，sin B ＝b sin A a ＝100sin 30°80＝58<32，因此0°<B <60°或120°<B <150°.若0°<B <60°，则C ＝180°－(B ＋30°)>90°，此时△ABC 是钝角三角形；若120°<B <150°，此时△ABC 仍是钝角三角形．因此，此三角形一定是钝角三角形，故选C.[答案] C2．(2015·贵州贵阳期末)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )A ．－235 B.235 C.45D ．－45[解析] sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435⇒sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒32sin α＋12cos α＝45，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin αcos 7π6＋cos αsin 7π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＋12cos α＝－45，故选D.[答案] D3．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为()A.615 B ．5 C.562D ．5 6[解析] 在△ADC 中，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22·AD ·DC ＝25＋9－492×5×3＝－12，所以∠ADC ＝120°，则∠ADB ＝60°.在△ABD 中，由正弦定理可得AB ＝AD sin ∠ADB sin B ＝5×3222＝562，故选C. [答案] C4．(2015·江西南昌一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝35，则b 等于( )A.53 B.107 C.57D.5214[解析] 因为cos A ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45cos 45°＋35sin 45°＝7210.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝17210×sin 45°＝57，故选C.[答案] C5．(2015·贵阳七校联盟)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4的值为( )A ．－7210 B.7210 C ．－210D.210[解析] 由三角函数的定义得tan θ＝2，cos θ＝±55，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－43，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35，所以sin 2θ＝cos 2θtan 2θ＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝22(sin 2θ＋cos 2θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35＝210，故选D.[答案] D6．(2015·河南郑州质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin 2A ，且c ＝7，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.334B.736C.213D.334或736[解析] sin(B ＋A )＝sin B cos A ＋cos B sin A ，sin(B －A )＝sin B cos A －cosB sin A ，sin 2A ＝2sin A cos A ，sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin 2A ，即2sin B cos A ＝6sin A cos A ．当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，又c ＝7，得b ＝213.由三角形面积公式知S ＝12bc ＝736；当cos A ≠0时，由2sin B cos A ＝6sin A cos A 可得sin B ＝3sin A ，根据正弦定理可知b ＝3a ，再由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－76a 2＝cos π3＝12，可得a ＝1，b ＝3，所以此时三角形的面积为S ＝12ab sin C ＝334.综上可得三角形的面积为736或334，所以选D.[答案] D 二、填空题7．(2014·温州十校联考)已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α等于________． [解析] 由cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α得，cos 2α－sin 2α＝22cos α＋22sin α，而α为锐角，∴cos α＋sin α≠0，∴cos α－sin α＝22，两边平方得，1－sin 2α＝12，∴sin 2α＝12.[答案] 128．(2015·广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.[解析] 由sin B ＝12得B ＝π6或5π6，因为C ＝π6，所以B ≠5π6，所以B ＝π6，于是A ＝2π3.由正弦定理，得3sin 2π3＝b12，所以b ＝1. [答案] 19．(2015·贵阳质检)在△ABC 中，a ，b ，c 为∠A ，∠B ，∠C 的对边，若cos 2B ＋cos B ＋cos(A －C )＝1，b ＝7，则a 2＋c 2的最小值为____________．[解析] ∵cos 2B ＋cos B ＋cos(A －C )＝1，∴－cos(A ＋C )＋cos(A －C )＝1－cos 2B,2sin A sin C ＝2sin 2B ，由正弦定理得ac ＝b 2，即7＝ac ≤12(a 2＋c 2)(当且仅当a ＝c 时等号成立)，∴a 2＋c 2的最小值为14.[答案] 14 三、解答题10．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且a ＝3，b ＝3，cos B ＝13.(1)求c 的值； (2)求cos(B －C )的值．[解] (1)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，且a ＝3，b ＝3，cos B ＝13，所以9＝9＋c 2－2×3c ×13，解得c ＝2或0(舍去)，故c ＝2. (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝223，由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429，因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝79，于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327. 11．(2015·山西太原一模)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值． [解] (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ， ∵△ABC 的面积等于3， ∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4，联立⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ， ∴sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A ， ①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4b ＝2a，解得a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∴B ＝π2.∵C ＝π3，∴A ＝π6.综上所述，A ＝π2或A ＝π6.12．(2015·辽宁五校期末)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π6.(1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合； (2)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝32，b ＋c ＝2.求实数a 的取值范围．[解] (1)f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π6＝(1＋cos 2x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x cos 7π6－cos 2x sin 7π6＝1＋32sin 2x ＋12cos 2x ＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∴函数f (x )的最大值为2.当且仅当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1，即2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π6，k ∈Z 时取到．∴函数取最大值时x 的取值集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋π6，k ∈Z .(2)由题意，f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋1＝32，化简得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12. ∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3.在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋c 22＝1，即a 2≥1，当且仅当b ＝c ＝1时取等号．又由b ＋c >a 得a <2，∴a 的取值范围是[1,2)．。

2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第3章三角函数、解三角形第5节

[课堂练通考点]1．(2014·青岛高三期末)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，则sin 2x 的值为( )A ．－2425 B.2425 C ．－725D.725解析：选C sin 2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π2 ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－725.2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的值是( )A ．－233 B ．±233 C ．－1D ．±1解析：选C cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－1.3．若f (α)＝2tan α－2sin 2α2－1sin α2cos α2，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝________. 解析：∵f (α)＝2tan α－－cos α12sin α＝2sin αcos α＋2cos αsin α＝4sin 2α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝4sin π6＝8.答案：84．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________．解析：因为cos(α＋β)＝16，所以cos αcos β－sin αsin β＝16.① 因为cos(α－β)＝13，所以cos αcos β＋sin αsin β＝13.② ①＋②得cos αcos β＝14. ②－①得sin αsin β＝112. 所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝13. 答案：135．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求 cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12. 又π2<α<π，所以cos α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．化简cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°的值为( ) A.12B.32 C ．－12D ．－32解析：选A cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°＝cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°＝cos(15°＋45°)＝cos 60°＝12.2．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan (α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：选A 由题意可知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3.3．(2013·洛阳统考)函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤π2的最大值为( )A ．2B ．3C ．2＋ 3D ．2－ 3解析：选B 依题意，f (x )＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，当π4≤x ≤π2时，π6≤2x －π3≤2π3，12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，此时f (x )的最大值是3，选B.4．(2014·兰州检测)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4 B.π3 C.π2D.3π4解析：选A 由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C1－tan B tan C＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4.5．对于集合{a 1，a 2，…，a n }和常数a 0，定义：ω＝sin 2(a 1－a 0)＋sin 2(a 2－a 0)＋…＋sin 2(a n －a 0)n为集合{a 1，a 2，…，a n }相对a 0的“正弦方差”，则集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2，5π6，7π6相对a 0的“正弦方差”为( ) A.12 B.13C.14D ．与a 0有关的一个值解析：选A集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2，5π6，7π6相对a 0的“正弦方差”ω＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－a 0＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－a 0＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－a 03＝cos 2a 0＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋a 0＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－a 03＝cos 2a 0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos a 0＋32sin a 02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos a 0－32sin a 023＝cos 2a 0＋12cos 2a 0＋32sin 2a 03＝32(sin 2a 0＋cos 2a 0)3＝12.6．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α＝________. 解析：因为tan(π＋2α)＝tan 2α＝－43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43，整理得2tan 2α－3tan α－2＝0，解得tan α＝2或tan α＝－12，又α是第二象限的角，所以tan α＝－12. 答案：－127．化简sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin 2α的结果是________．解析：原式＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π32＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12.答案：12 8．化简2tan (45°－α)1－tan 2(45°－α)·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝________.解析：原式＝tan(90°－2α)·12sin 2αcos 2α＝sin (90°－2α)cos (90°－2α)·12·sin 2αcos 2α＝cos 2αsin 2α·12·sin 2αcos 2α＝12.答案：129．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝12，求tan 2α和sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值．解：∵tan α＝12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－14＝43，且sin αcos α＝12，即cos α＝2sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴5sin 2α＝1，而α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝55，cos α＝255.∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×255＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝45－15＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310.10．已知函数f (x )＝sin x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 2.(1)求函数f (x )在[－π，0]上的单调区间．(2)已知角α满足α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，2f (2α)＋4f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝1，求f (α)的值．解：f (x )＝sin x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 2＝sin x 2cos x 2＝12sin x .(1)函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0.(2)2f (2α)＋4f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝1⇒sin 2α＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝1⇒2sin αcos α＋2(cos 2α－sin 2α)＝1 ⇒cos 2α＋2sin αcos α－3sin 2α＝0 ⇒(cos α＋3sin α)(cos α－sin α)＝0. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α－sin α＝0⇒tan α＝1得α＝π4，故sin α＝22，∴f (α)＝12sin α＝24. 第Ⅱ组：重点选做题1．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为( )A ．1B.110 C ．1或110D ．1或10解析：选C tan(α＋β)＝1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝lg (10a )＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－lg (10a )·lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1 ⇒lg 2a ＋lg a ＝0，所以lg a ＝0或lg a ＝－1，即a ＝1或110.2．(2014·烟台模拟)已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－13，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α＝________.解析：依题设及三角函数的定义得： cos β＝－13，sin(α＋β)＝45. 又∵0<β<π，∴π2<β<π，π2<α＋β<π，sin β＝223，cos(α＋β)＝－35. ∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋45×223＝3＋8215.答案：3＋8215。

高考数学复习热点06 三角函数与解三角形(解析版)-2021年高考数学专练(新高考)

热点06 三角函数与解三角形【命题形式】新高考环境下，三角函数与解三角形依然会作为一个热点参与到高考试题中，其中对应的题目的分布特点与命题规律分析可以看出，三角试题每年都考。

1、题目分布："一大一小",或"三小"，或"二小"("小"指选择题或填空题，"大"指解答题)，解答题以简单题或中档题为主，选择题或填空题比较灵活，有简单题，有中档题，也有对学生能力和素养要求较高的题。

2、考察的知识内容：（1）三角函数的概念；（2）同角三角函数基本关系式与诱导公式及其综合应用；（3）三角函数的图像和性质及综合应用；（4）三角恒等变换及其综合应用；（5）利用正、余弦定理求解三角形；（6）与三角形面积有关的问题；（7）判断三角形的形状；（8）正余弦定理的应用。

3、新题型的考察：（1）以数学文化和实际为背景的题型；（2）多选题的题型；（3）多条件的解答题题型。

4、与其它知识交汇的考察：（1）与函数、导数的结合；（2）与平面向量的结合；（3）与不等式的结合；（4）与几何的结合。

【满分技巧】1、夯实基础，全面系统复习，深刻理解知识本质从三角函数的定义出发，利用同角三角函数关系式、诱导公式进行简单的三角函数化简、求值，结合三角函数的图像，准确掌握三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性等性质，并能正确地描述三角函数图像的变换规律。

要重视对三角函数图像和性质的深入研究，三角函数，是高考考查知识的重要载体，是三角函数的基础。

“五点法”画正弦函数图像是求解三角函数中的参数及正确理解图像变换的关键，因此复习时应精选典型例题(选择题、填空题、解答题)加以训练和巩固，把解决问题的方法技巧进行归纳、整理，达到举一反三、触类旁通。

2、切实掌握两角差的余弦公式的推导及其相应公式的变换规律以两角差的余弦公式为基础，掌握两角和与两角差的正余弦公式、正切公式、二倍角公式，特别是用一种三角函数表示二倍角的余弦，掌握公式的正用、逆用、变形应用，迅速正确应用这些公式进行化简、求值与证明，即以两角差的余弦公式为基础.推出三角恒等变换的相应公式，掌握公式的来龙去脉。

【红对勾】(新课标)2016高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形课时作业20 理新人教A版

课时作业20 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan2α＝( ) A.247 B.2425 C ．－2425D ．－247解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，∴cos α＝－45，∴tan α＝－34.∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247.答案：D2．已知sin(π－α)＝－1010，则2sin 2α＋sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( )A.12 B ．－255C.255D ．2解析：∵sin(π－α)＝－1010，∴sin α＝－1010. ∴2sin 2α＋sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin α sin α＋cos α22 sin α＋cos α＝22sin α＝－255.答案：B3．已知cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，α，β都是锐角，则cos β＝( )A ．－6365B ．－3365C.3365D.6365解析：∵α，β是锐角，∴0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－513<0，∴π2<α＋β<π，∴sin(α＋β)＝1213，sin α＝45.又cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－513³35＋1213³45＝3365.答案：C4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的值是( )A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1解析：cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x＝3⎝⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－1.答案：C5．已知α、β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010，则α＋β等于( ) A.π4 B.3π4C.π4和3π4D ．－π4和－3π4解析：由α、β都为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010.所以cos(α＋β)＝cos α²cos β－sin α²sin β＝22，所以α＋β＝π4.故选A. 答案：A6．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( )A.14B.13C.12D.53解析：∵C ＝120°，∴tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ＝－tan120°＝ 3. 又∵tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B，∴3＝2331－tan A tan B .∴1－tan A tan B ＝23，tan A tan B ＝13.答案：B 二、填空题7．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝________.解析：依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，sin β＝－35.∴sin(β＋5π4)＝sin βcos 5π4＋cos βsin 5π4＝－35³(－22)＋(－45)³(－22)＝3210＋4210＝7210. 答案：72108．化简：11＋tan α－11－tan α＝________.解析：原式＝－2tan α 1＋tan α 1－tan α ＝－2tan α1－tan 2α ＝－tan2α. 答案：－tan2α9．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于________．解析：由sin 2α＋cos2α＝14得sin 2α＋1－2sin 2α＝1－sin 2α＝cos 2α＝14.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝12，∴α＝π3，∴tan α＝tan π3＝ 3.答案： 3 三、解答题10．(2014²广东卷)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ.解：(1)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π4＝A sin 2π3＝A sin π3＝32A ＝32，∴A ＝ 3.(2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4故f (θ)＋f (－θ)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－θ＋π4＝32，∴3⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 sin θ＋cos θ ＋22 cos θ－sin θ ＝32，∴6cos θ＝32，∴cos θ＝64.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin θ＝1－cos 2θ＝104，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304. 11．已知，0<α<π2<β<π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．解：(1)法1：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos π4cos β＋sin π4sin β＝22cos β＋22sin β＝13， ∴cos β＋sin β＝23，∴1＋sin2β＝29，∴sin2β＝－79. 法2：sin2β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2β＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫β－π4－1＝－79. (2)∵0<α<π2<β<π，∴π4<β－π4<34π，π2<α＋β<3π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4>0，cos(α＋β)<0. ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝223，cos(α＋β)＝－35， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ α＋β －⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－35³13＋45³223＝82－315.1．设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是( ) A ．sin(α＋β)>sin α＋sin β B ．cos(α＋β)>cos αcos β C ．sin(α＋β)>sin(α－β) D ．cos(α＋β)>cos(α－β)解析：∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，又∵α、β都是锐角，∴cos αsin β>0，故sin(α＋β)>sin(α－β)．答案：C2．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC ，ED ，则sin ∠CED ＝( )A.31010B.1010C.510D.515解析：因为四边形ABCD 是正方形，且AE ＝AD ＝1，所以∠AED ＝π4.又因为在Rt △EBC 中，EB ＝2，BC ＝1，所以sin ∠BEC ＝55，cos ∠BEC ＝255. 于是sin ∠CED ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－∠BEC＝sin π4cos ∠BEC －cos π4sin ∠BEC＝22³255－22³55＝1010.故选B. 答案：B3．已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－13，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α＝________.解析：依题设及三角函数的定义得： cos β＝－13，sin(α＋β)＝45.又∵0<β<π，∴π2<β<π，π2<α＋β<π，sin β＝223，cos(α＋β)＝－35.∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－35³⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋45³223＝3＋8215.答案：3＋82154．(2014²江西卷)已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数，又θ∈(0，π)，则θ＝π2，所以f (x )＝－sin2x ²(a ＋2cos 2x )，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1. (2)由(1)得，f (x )＝－12sin4x ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－12sin α＝－25，即sin α＝45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3310.。

解三角形中的范围(最值)问题教案-2022届高三数学二轮复习微专题复习

微专题：解三角形中的范围(最值)问题教学设计一、教学内容分析在高中数学知识体系中，解三角形是一个基础知识点，也是高考的一个必考点。

在解三角形的题型中，考查正弦定理和余弦定理的应用，涉及最值和范围的问题相对较难，综合性也较强。

解三角形问题是高考高频考点，在解三角形中的求最值或范围问题是高三复习中的难点，这类问题常常在知识的交汇点处命题，其涵盖及关联三角函数、平面向量、平面几何、基本不等式、导数等多领域的知识。

近几年的高考突出以能力立意，加强对知识综合性的考查，故常常在知识的交汇处设计问题。

主要考查“三基”（基本知识、基本技能、基本思想和方法）以及综合能力，对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，以选择题、填空题、解答题体现。

试题难度多为容易题和中档题，主要考查灵活变式求解计算能力，推理论证能力，数学应用意识，数形结合思想等。

而在解三角形中求解某个量（式子）最值或范围是命题的热点，又是一个重点，本节课通过近几年高考试题及模拟试题进行分析，对解三角形的范围(最值)进行优化归纳，并给出针对性巩固练习，以期求得热点难点的突破。

二、学情诊断分析授课对象为高三平行班学生。

本节课之前，学生已经学习了正余弦定理、基本不等式、三角函数、导数等有关内容，但是对于知识前后间联系、理解、应用综合性强的题有一定难度，学习起来比较吃力。

题目稍作变形就不会，独立分析、解决问题的能力有限。

但对一些简单数学规律和基本数学方法的学习，具有一定的基础。

本节课是针对他们在做此类型题目中能做但不能得全对的情形下做的一个探究归纳，使学生对此类问题有一个更高更深刻的认识掌握，解题能力有一个提升。

三、教学目标分析1.巩固正弦、余弦定理的应用，学会利用均值不等式、三角函数有界性和导数在处理范围问题中的应用；2.强化转化与化归的数学思想以及数形结合的数学思想，提高学生研究问题，分析问题与解决问题的能力。

四．教学重难点分析重点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的运用，能运用正弦余弦和差角公式进行简单的三角函数的恒等变换，理解基本不等式、三角函数的图像与性质和导数简单应用。

(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形考点规范练20正弦定理和余弦定理

矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。

如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。

㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。

(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。

如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。

对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。

二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。

2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。

㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。

2、矿产品价格稳定性及变化趋势。

三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。

2、矿区矿产资源概况。

3、该设计与矿区总体开发的关系。

㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。

2、矿床开采技术条件及水文地质条件。

2020版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第七节正弦定理和余弦定理教案(含解析)(最新整理)

第七节正弦定理和余弦定理1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容错误!＝错误!＝错误!＝2R，(R为△ABC外接圆半径）a2＝b2＋c2－2bc cosA；b2＝c2＋a2－2ca cosB；c2＝a2＋b2－2ab cos_C变形形式（边角转化)a＝2R sin A，b＝2R sin B,c＝2R sin C；sin A＝错误!，sin B＝错误!,sin C＝错误!;a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_Ccos A＝错误!;cos B＝错误!；cos C＝错误!2．三角形中常用的面积公式(1)S＝错误!ah（h表示边a上的高)；（2)S＝错误!bc sin A＝错误!ac sin B＝错误!ab sin C;(3)S＝错误!r(a＋b＋c）（r为三角形的内切圆半径）．[小题体验]1．已知△ABC中，角A，B,C所对的边分别为a，b,c，若A＝错误!，B＝错误!，a＝1,则b ＝（)A．2 B．1C。

错误!D．错误!解析：选D 由正弦定理,得b＝错误!＝错误!＝错误!.2．在锐角△ABC中，角A，B,C所对的边长分别为a,b，c。

若2a sin B＝错误!b,则角A等于（）A。

错误!B。

错误!C.错误!D.错误!答案：A3．在△ABC中,a＝32，b＝2错误!，cos C＝错误!，则△ABC的面积为________．答案：431．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．[小题纠偏］1．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝120°，a＝2，b＝错误!,则B 等于( )A．60° B．150°C．30°或150° D．30°解析：选D ∵A＝120°，a＝2,b＝错误!，∴由正弦定理错误!＝错误!可得，sin B＝错误!sin A＝错误!×错误!＝错误!.∵A＝120°,∴B ＝30°。

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考纲考向分析核心要点突破
在△BCD 中，由正弦定理， BD·sin∠CBD BD CD 得＝， ∴ sin ∠ BCD ＝＝ CD sin∠BCD sin∠CBD 10t·sin 120° 1 ＝ . 2 10 3t ∴∠BCD＝30°，∴缉私船沿北偏东 60°的方向行驶. 又在△BCD 中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴D＝30°， 6 ∴BD＝BC，即 10t＝ 6.∴t＝小时≈15(分钟). 10 ∴缉私船应沿北偏东 60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要 15 分钟.
考纲考向分析核心要点突破
知识点一正弦、余弦定理 1.正弦定理、余弦定理
定理内容余弦定理 b2＋c2－2bccos A， a2＝_______________ a b c 2＋c2－2accos B， b2＝a _______________ ＝＝ sin A sin B sin C ___________________ 2＋b2－2abcos C c2＝a _______________ 正弦定理
主 . 以实际问题为背景，的应用. 2. 能够运用正弦定形形状的判定，结合向量或几何知识 3.解三角形理、余弦定理等知三角函数的求构建综合性问题是可及其综合识和方法解决一些值及三角恒等能的发展方向，备考应用. 与测量和几何计算式的证明等问时应加强这方面的训有关的实际问题. 题. 练.
3.方向角相对于某一正方向的角(如图③).
考纲考向分析
核心要点突破
4.解三角形的一般步骤
(1)分析题意，准确理解题意.
分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡
角、仰角、俯角、方位角等. (2)根据题意画出示意图. (3) 将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解 . 演算过程中，要求算法简练，计算正确、并作答. (4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍.
考纲考向分析核心要点突破
(2) 对于求值的问题，要熟练地利用三角形中三角的关系，将所
给式子转化为只含有一个角的形式，通过三角变换使其变为 y＝
Asin(ωx ＋ φ) 的形式，然后求解即可，解题时不要忽视三角形内
角的限制条件.
考纲考向分析核心要点突破
【例 2】在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 csin A＝acos C. (1)求角 C 的大小； (2)求 3sin 大小. [解题指导] 分析：①利用正弦定理消去边，转化为角的关系求解； ②利用所求得 C 值，将 3sin 式来求解.
考纲考向分析核心要点突破
【名师助学】 1.本部分知识可以归纳为： (1)两个定理：
考纲考向分析
核心要点突破
A B C π 2.应熟练掌握和运用内角和定理： A＋B＋C＝π，＋＋＝中 2 2 2 2 互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数. 3.正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得 sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B·sin C·cos A，可以进行化简或证明. 4.利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.
考纲考向分析
核心要点突破
知识点二解三角形应用举例 1.仰角和俯角上方的角叫仰角，在视线和水平线所成的角中，视线在水平线 _____ 下方的角叫俯角(如图①). 在水平线_____
考纲考向分析
核心要点突破
2.方位角北方向顺时针转到目标方向线的角 (如图②，B点的方位角从正___
为α).
第五节
解三解形
考纲考向分析
核心要点突破
考点梳理
考纲速览 1. 掌握正弦定理、
命题解密高考对本
热点预测高考将以正弦定理、余弦定理的直接应用为主要考查目标，难度以中等难度题为
1.正弦定理余弦定理，并能解部分内容的考
的应用. 决一些简单的三角查主要涉及解三角形，三角
2.余弦定理形度量问题.
考纲考向分析
核心要点突破
解
2 5 (1)由 cos A＝，0<A<π ，可得 sin A＝， 3 3
由 sin B＝ 5cos C，可得 sin(A＋C)＝ 5cos C， 5 2 即 cos C＋ sin C＝ 5cos C， 3 3 等号两边同除以 cos C， 5 2 可得＋ tan C＝ 5， 3 3 即 tan C＝ 5.
考纲考向分析
核心要点突破
方法1 正余弦定理的应用 (1) 解三角形问题的两重性：①作为三角形问题，要注意运用三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，发现解题的思路；②作为三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”(即“统一角、统一函数、统一结构”)是解决问
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以
上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.
考纲考向分析核心要点突破
【例 3】如图，在海岸 A 处发现北偏东 45° 方向，距 A 处( 3－1)海里的 B 处有一艘走私船.在 A 处北偏西 75°方向，距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船奉命以 10 3海里/ 时的速度追截走私船，此时走私船正以 10 海里/时的速度，以 B 处向北偏东 30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间. [解题指导](1)分清已知条件和未知条件(待求). (2)将问题集中到一个三角形中，如△ABC 和△BCD. (3)利用正弦定理或余弦定理求解.
题的突破口.
(2) 正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用.运用余弦定理时，要注意整体思想的运用.
考纲考向分析核心要点突破
【例 1】 (2012· 浙江卷)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 2 a，b，c.已知 cos A＝，sin B＝ 5cos C. 3 (1)求 tan C 的值； (2)若 a＝ 2，求△ABC 的面积. [解题指导](1)已知：已知△ABC 中的边角关系. (2)分析： ①本题可先由三角形内角和定理将 B 进行转化，再设法求 tan C 的值； ③由已知条件求出 c，sin B 后利用面积公式求面积.
考纲考向分析
核心要点突破
[ 点评 ]
正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据
具体题目合理选用，有时还需要交替使用.
考纲考向分析
核心要点突破
方法2 三角形中的三角函数问题
此类问题在备考时需要注意以下几点：
(1) 对于涉及解三角形的问题，要分清条件和所求的结论，然后
选择是用正弦定理，还是用余弦定理；
考纲考向分析核心要点突破
[点评] 解斜三角形应用题的一般步骤为：
第一步：分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图；
第二步：建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求解
量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；第三步：求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；第四步：检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.
考纲考向分析
核心要点突破
30 6 (2)由 tan C＝ 5，可得 sin C＝，cos C＝， 6 6 c 2 ∴ ＝， 30 5 6 3 解得 c＝ 3， 6 30 而 sin B＝ 5cos C＝ 5× ＝， 6 6 1 1 30 5 ∴S△ABC＝ acsin B＝ 2· 3· ＝ . 2 2 6 2
π A－cosB＋ 4 化为只含有角 π A－cosB＋ 4 的最大值，并求取得最大值时角
A，B 的
A 的关系
考纲考向分析
核心要点突破
解
(1)由正弦定理得 sin Csin A＝sin Acos C.
因为 0＜A＜π ，所以 sin A＞0. 从而 sin C＝cos C.又 cos C≠0， π 所以 tan C＝1，则 C＝ . 4 3π (2)由(1)知 B＝－A.于是 4 π 3sin A－cosB＋＝ 3sin A－cos(π －A) 4 π ＝ 3sin A＋cos A＝2sinA＋ . 6 3π π π 11π ∵0＜A＜，∴ ＜A＋＜， 4 6 6 12
考纲考向分析
核心要点突破
2Rsin A， ①a＝_______ Rsin B ， b＝2 _______ 2Rsin C； c＝_______ b2＋c2－a2 a b ； 2bc ②sin A＝，sin B＝， cos A＝__________ 2R 2R a2＋c2－b2 变形形 c 2ac ； sin C ＝； ( 其中 R 是 cos B＝__________ 2R 式 a2＋b2－c2 △ABC 的外接圆半径) 2ab cos C＝__________ A∶sin B∶ ③a∶b∶c＝sin ___________ sin C ____ ④asin B＝bsin A，bsin C ＝csin B，asin C＝csin A
考纲考向分析核心要点突破
解
设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获(在 D 点)
走私船，则 CD＝10 3t(海里)，BD＝10t(海里)，在△ABC 中，由余弦定理，有 BC2＝AB2＋AC2－2AB· ACcos∠BAC ＝( 3－1)2＋22－2( 3－1)· 2· cos 120°＝6. ∴BC＝ 6(海里). BC AC 又∵ ＝， sin∠BAC sin∠ABC AC·sin∠BAC 2·sin 120° 2 ∴sin∠ABC＝＝＝， BC 2 6 ∴∠ABC＝45°，∴B 点在 C 点的正东方向上， ∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，