2017-2018学年浙江省桐乡市高二下学期期中考试数学试题Word版含答案)

2017-2018学年浙江省桐乡市高二下学期期中考试数学试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟.第 Ⅰ 卷 （选择题 共40分）注意事项：用钢笔或圆珠笔将题目做在答题卷上，做在试题卷上无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合{3,2}A =，{1,}B b =，若{2}A B =，则A B =A ．{1,2,3}B ．{0,1,3}C ．{0,1,2,3}D ．{1,2,3,4}2．某几何体的三视图如右图所示，其中正视图是腰长为2的等腰 三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图．．．的面积是 A. 12 B.32C ．1 D. 3 3. 将函数()y f x =的图像向右平移2π单位得到函数cos 2y x =的图像，则()f x = A ．sin 2x - B ．cos 2xC ．sin 2xD ．cos 2x -4. 设α是空间中的一个平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，则下列命题中正确的是 A ．若m ⊂α，n ⊂α，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α B ．若m ⊂α，n ⊥α，l ⊥n ，则l ∥m C ．若l ∥m ，m ⊥α，n ⊥α，则l ∥n D ．若l ⊥m ，l ⊥n ，则n ∥m5. 已知x ，y 满足条件5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则13y z x -=+的最大值A ．23-B ．13C ．2D ．36．“4a ≥”是“[1,2]x ∃∈-，使得2240x x a -+-≤”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D. 既不充分也不必要条件第2题图7．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的中心为O ，左焦点为F ，P 是双曲线上的一点0OP PF ⋅=且243OP OF OF ⋅=，则该双曲线的离心率是A ．3113+ B ．337+ C ．37+ D ．2210+ 8. 存在函数f (x )满足：对于任意的x R ∈都有2(2)f x x x a +=+, 则a = A.-1 B.1 C.2 D. 4第 Ⅱ 卷 （非选择题 共110分）注意事项：将卷Ⅱ的题目做在答题卷上，做在试题卷上无效.二、填空题：本大题共7小题,多空题每题6分，单空题每题4分, 共36分． 9. 已知函数()2sin(2)6f x x π=-+，则(0)f = ▲ ，最小正周期是 ▲ ，f (x )的最大值为 ▲ .10.已知等差数列{}n a 的公差为,d 前n 项的和为S n ，若4284,10,a a a =+=则d = ▲ ,n a = ▲ ，S n = ▲ .11. 已知f (3x )＝x 2log (x >0)，则f (8) = ▲ ，f (x ) = ▲ .12. 已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C的一个交点，若QF PF 3=Q 的坐标为 ▲ .13．点P 在正方形ABCD 所在平面外，PA ⊥平面ABCD ，AB PA =，则PB 与AC 所成角的大小是▲ .14. 偶函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －x 2，若直线kx －y ＋k ＝0(k >0)与函数f (x )的图象有且仅有三个交点，则k 的取值范围是 ▲ .15．在空间中，12AB AB ⊥,122OB OB ==,12AP AB AB =+，若1OP <则OA 的取值范围是▲ .三、解答题：本大题共5小题．共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本题满分15分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B＝0.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2a =，b =求△ABC 的面积．17.（本题满分15分）如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥面ABCD ,//,AD BC AD CD ⊥,且2AD CD BC PA ====,点M 在PD 上.（Ⅰ）求证:AB PC ⊥；（Ⅱ）若二面角M AC D --的大小为45,求PM PD的值.18．（本题满分15分）已知函数22()2f x x x ax =---，a 为实数． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在[0,3]上的最小值和最大值；（Ⅱ）若函数()f x 在(,1)-∞-和(2,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围．ABCDMP第17题图19．（本题满分15分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，椭圆C 上任意一点到椭圆左右两个焦点的距离之和为4. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）椭圆C 与x 轴负半轴交于点A ，直线过定点()0,1-交椭圆于M ，N 两点，求AMN ∆面积的最大值.20．（本题满分14分）各项为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：().4121412*∈++=N n a a S n n n （Ⅰ）求n a ； （Ⅱ）设数列{21na }的前n 项和为T n ,证明：对一切正整数n ，都有45<n T .2017-2018学年浙江省桐乡市高二下学期期中考试数学试题参考答案一、ABDC DAAB 二、9. -1，π，2； 10. 1，n ，2)1(+n n ； 11. 1, )0(log 312>x x ； 12. )334,32(,38±； 13.60；14.)33,1515(； 15.)22,7( 三、16．（本题满分15分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B＝0，（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2a =，b =求△ABC 的面积．解：（Ⅰ）由已知得－cos(A ＋B)＋cosAcosB －3sinAcosB ＝0，…………………………………………2分即有sinAsinB －3sinAcosB ＝0， ………………………………………………………………4分 因为sinA ≠0，所以sinB －3cosB ＝0，又cosB ≠0，所以tanB ＝3，又0＜B ＜π，……6分所以B ＝3π. ………………………………………………………………………………………7分 （Ⅱ）21cos ,23sin ==B B ……………………………………………………………………………8分 3212237sin sin ===Bb A a，……………………………………………………………………10分 又2a=sin 7A ∴==，b a <cos 7A ∴= …………………………………11分 sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B ∴=+=+=14……………………………………13分1sin 2S ab C ∴== …………………………………………………………………………15分17.（本题满分15分）如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥面ABCD ,//,AD BC AD CD ⊥,且2AD CD BC PA ====,点M 在PD 上.（Ⅰ）求证:AB PC ⊥;（Ⅱ）若二面角M AC D --的大小为45,求PMPD的值.. 解：(Ⅰ)如图,设E 为BC 的中点,连结AE ,则,//AD EC AD EC =,所以四边形AECD 为平行四边形, 故AE BC ⊥,又AE BE EC ===所以45ABC ACB ∠=∠=,故AB AC ⊥, ………………………………………………………3分 又因为PA ⊥平面ABCD ,所以AB PA ⊥, ………………………………………………………5分 且PA AC A =,所以AB ⊥平面PAC ,故有AB PC ⊥ …………………………………………7分 (Ⅱ)如图,以A 为原点,分别以射线,,AE AD AP 为,,x y z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0),(0,0,2)A E B C D P -, …………9分124a ≥-⎨⎪≤⎪⎩设,2)(01)PM PD λλλ==-≤≤,易得,22)M λ-, ………………………10分设平面AMC 的一个法向量为1(,,)x y z =n ,则1122022(22)0ACAM y z λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩n n ,…………11分令y =得21x z λλ==-,即12(2,)1nλλ=--. ………………………12分 又平面ACD 的一个法向量为2(0,0,1)n =, ……………………………………………13分由题知1212122|||||cos ,|n n n n n n λ⋅<>==⨯2cos 452==,解得12λ=, ………15分 18．（本题满分15分）已知函数22()2f x x x ax =---，a 为实数． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在[0,3]上的最小值和最大值；（Ⅱ）若函数()f x 在(,1)-∞-和(2,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）当1a =时22,12,()22,12,x x x f x x x x +<->⎧=⎨---≤≤⎩或 …………………………………………………3分结合图像可知()f x 在1[0,]4上单调递减，在1[,3]4上单调递增， ……………………………5分 ()f x 在[0,3]上的最小值为117()48f =-， ………………………………………………………6分 ()f x 在[0,3]上的最大值为(3)5f =. …………………………………………………………7分（Ⅱ）令22x ax --=0，280a ∆=+>， ………………………………………………………………8分必有两根12a x =22a x = ……………………………………………………9分122122,,()22,,ax x x x x f x x ax x x x +<>⎧⎪∴=⎨--≤≤⎪⎩或………………………………………………………………11分若函数()f x 在(,1)-∞-和(2,)+∞上单调递增,则即可,解得：18a ≤≤…15分19．（本题满分15分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，椭圆C 上任意一点到椭圆左右两个焦点的距离之和为4. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）椭圆C 与x 轴负半轴交于点A ，直线过定点()0,1-交椭圆于M ，N 两点，求AMN ∆面积的最大值. 解：（Ⅰ）由题意2,a b = ………………………………………………………………………………………2分又24a =，所以2a =，1b = ……………………………………………………………………4分椭圆方程为2214x y += …………………………………………………………………………5分（Ⅱ）A 点坐标为(-2,0)，直线MN 过定点(-1,0)，∴令直线MN 的方程为1-=my x ,……………6分联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14122y x m y x ，消去x 得032)4(22=--+my y m ，………………………………………8分 12224m y y m ∴+=+， 12234y y m -=+，………………………………………………………………9分 21221214)(2121y y y y y y AD S AMN -+=-=∆…………………………………………… 11分 412)4(4212222+++=m m m 222)4(32++=m m , ………………………………………………… 12分 令32+=m t ，3≥t 232313122112)1(22=++≤++=+=∴∆t t t tS AMN ，…………14分 当且仅当332=+=m t 即0=m 时，AMN ∆面积的最大值为23. ……………………………15分 20．（本题满分14分）各项为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：().4121412*∈++=N n a a S n n n （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设数列{21na }的前n 项和为T n ,证明：对一切正整数n ，都有45<n T . 解：（Ⅰ）由2111424n n n S a a =++ ① 当n ≥2时，2111111424n n n S a a ---=++②；…………………1分 由①－②化简得：11()(2)0n n n n a a a a --+--=，……………………………………………………3分又∵数列{}n a 各项为正数，∴当2n ≥时，12n n a a --=，…………………………………………4分 故数列{}n a 成等差数列，公差为2，又21111111424a S a a ==++， ………………………………5分解得11,21n a a n =∴=-； ……………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）可知T n =22222123111111n na a a a a -+++++2222211111135(23)(21)n n =+++++--…………7分 法一：2221111111()(21)441444(1)41n n n n n n n n n =<==---+--- ………………………10分 2222211111135(23)(21)n T n n =+++++--1111111111111()()()()41242342141n n n n <+-+-++-+----………………………………12分1111111111()41223211n n n n =+-+-++-+----115144n =+-<……………………………14分法二：211111()(21)(21)(23)22321n n n n n <=------ ……………………………………………10分2222211111135(23)(21)n T n n =+++++--11111111()()923522321n n <++-++---………12分 691554424n =-<- ……………………………………………………………………………………14分。