第七章 刚 体
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理论力学点的运动
（b为常数）的规律变化。已知 t = 5s 时，轮缘上点的速度 为常数）的规律变化。 轮缘上点的速度和加速度的大小。 为 v = 20 m/s，试求当 t = 10 s 时，轮缘上点的速度和加速度的大小。
b rad/s 2 5+t
解：1、求飞轮的角速度、角加速度 求飞轮的角速度、
dω b α= = dt 5+t
( )
r r r dvB dvA r aB = = = aA dt dt
从而有结论： 从而有结论： 1.平移时 刚体上各点的轨迹形状相同； 平移时， 1.平移时，刚体上各点的轨迹形状相同； 2.在每一瞬时 平移刚体上各点的速度、加速度均相等。 在每一瞬时， 2.在每一瞬时，平移刚体上各点的速度、加速度均相等。 刚体平移→ 刚体平移→点的运动
二、定轴转动刚体内各点的加速度 切向加速度
& & at = v = Rω = Rα
ω
ϕ
法向加速度
an = v 2 / R = ( Rω ) 2 / R = Rω 2
2 a = an + at2 = ( Rα ) 2 + ( Rω 2 ) 2 = R α 2 + ω 4
tan θ = at / an = α / ω 2
n1 z2 i12 = = n2 z1
n2 z4 i23 = = n3 z3
轴Ⅰ与Ⅱ的传动比为
n1 z2 i12 = = n2 z1
轴Ⅱ与Ⅲ的传动比 为
n2 z4 i23 = = n3 z3
从轴 从轴 Ⅰ 至 轴 Ⅲ 的总传动比为
n1 n1 n2 z2 z4 i13 = = × = × = i12 ×i23 n3 n2 n3 z1 z3
例题： 的飞轮由静止开始转动， 例题：半径 R = 0.5 m的飞轮由静止开始转动，角加速度
第七章 刚体动力学(讲义)
MO = ∑ MO ( Fi ) = ∑ (ri × Fi )
i =1 i =1
n
n
注意，主矩的的计算与参考点的选取有关。例如，将参考点由 O 改成 O′ ，于是
MO = ∑ ri × Fi = ∑
i =1 i =1
n
n
(ri′ + OO′) × Fi = ∑ (ri′ × Fi ) + OO′ × ∑ Fi
R = ∑ Fi
i =1
n
这是个自由矢量，它只给出矢量的大小和方向，不过问作用点的位置。 对力系的矩也可作类似的讨论。对于共点力系，合力的矩等于各个力对同一点的矩的矢量 和，即
MO ( F) = r × F = r × ∑ Fi = ∑ (r × Fi )
i =1 i =1
n
n
一般的力系中不一定存在合力，因此也就谈不上求合力的矩。但是每个力相对于同一参考 点的力矩是矢量，我们可以求这些矢量的和，并称为主矩，记为 MO ，即有
（II）刚体绕质心的转动：
dLc = ∑ ric × Fi （对质心的角动量定理） dt i
第一个式子求质心运动等同于质点动力学，可以解出刚体的平动运动部分（三个方程解三个运 动变量） 。第二个式子又可求出刚体的转动角速度 ω （ L 与 ω 有一定的关系） ，于是刚体的运动 就完全确定了。由角动量定理求刚体的转动角速度是重点讨论的内容。 7．2 作用在刚体上的力和力矩 通常矢量指的是所谓自由矢量（free vector） ：只有大小和方向，它可以平行自由移动。 作为物理量的矢量则不然，例如，力矢量 F ，为了完全确定这个力，还要说明力的作用点， 若用 r 表示作用点的话，则要有两个矢量 F 和 r ，这个力才完全被确定下来。这种矢量被称为定 位矢量（bound vector） 。除了力矢量是定位矢量外，质点的速度和加速度等也是定位矢量的例 子。 还有一种矢量，称为滑动矢量（sliding vector） ，它可在包含该矢量的一直线上自由移动。 例如，作用在刚体上的力（见下面的讨论） 。
第七章 刚体力学
令 TP y
R / 2 cos y R
因 dy tan dx
(1)
又 1 tan 2 sec2
故得所求曲线的方程
dy 2 2 1 ( ) [ ( R y )]2 dx R
(2)
采用
sec ，（1）式变成
dy 2 R / 2 y R, 又有1＋（ ） 2 dx dy dy d R d dx d dx 2 dx
令t 0，刚体在一瞬刻的运动情况可以这样来描述：刚 体随着基点 A 以速度 v A 平动（ v A 即基点A的速度），并以角 速 ω绕基点 A 转动，平动的速度 v即基点的速度，与基点的选 取有关，转动的角速度ω则与基点的选取无关。 基于以上论述，可将刚体平面运动视为随基点的平动与绕
基点的转动的合成，事实上，平动与转动是同时进行的。
匀变速转动 =常量
0 (t )dt
0
t
0 t
1 2 0 t t 2 2 0 2 2（ 0）
与质点匀变速直线运动公式相对应.
(6) 角量与线量的关系
线量——质点做圆周运动的位移r、速度v、加速度a 角量——描述刚体转动整体运动的 ，，
(2)组内任意两点间的距离保持不变.
§7.1 刚体运动的描述
刚体运动学的任务在于研究如何描述刚体运动但不涉及运
动变化的原因， 只有给出刚体上所有质元的运动状况，才算 完整描述了刚体的运动。
§7.1.1 刚体的平动
平动——如果在运动中，刚体上任意两质元连线的空间方向 始终保持不变，这种运动就称为刚体的平动。例如电梯的升 降、活塞的往返等都是平动。
Δ d lim Δt 0 Δt dt
R / 2 cos y R
因 dy tan dx
(1)
又 1 tan 2 sec2
故得所求曲线的方程
dy 2 2 1 ( ) [ ( R y )]2 dx R
(2)
采用
sec ，（1）式变成
dy 2 R / 2 y R, 又有1＋（ ） 2 dx dy dy d R d dx d dx 2 dx
令t 0，刚体在一瞬刻的运动情况可以这样来描述：刚 体随着基点 A 以速度 v A 平动（ v A 即基点A的速度），并以角 速 ω绕基点 A 转动，平动的速度 v即基点的速度，与基点的选 取有关，转动的角速度ω则与基点的选取无关。 基于以上论述，可将刚体平面运动视为随基点的平动与绕
基点的转动的合成，事实上，平动与转动是同时进行的。
匀变速转动 =常量
0 (t )dt
0
t
0 t
1 2 0 t t 2 2 0 2 2（ 0）
与质点匀变速直线运动公式相对应.
(6) 角量与线量的关系
线量——质点做圆周运动的位移r、速度v、加速度a 角量——描述刚体转动整体运动的 ，，
(2)组内任意两点间的距离保持不变.
§7.1 刚体运动的描述
刚体运动学的任务在于研究如何描述刚体运动但不涉及运
动变化的原因， 只有给出刚体上所有质元的运动状况，才算 完整描述了刚体的运动。
§7.1.1 刚体的平动
平动——如果在运动中，刚体上任意两质元连线的空间方向 始终保持不变，这种运动就称为刚体的平动。例如电梯的升 降、活塞的往返等都是平动。
Δ d lim Δt 0 Δt dt
第七章刚体的简单运动
均相同，但 (2) 任一质点运动 , , 不同；即各质点的位矢在相同的时 v, a 间内转过的角度是相同的。
（3）各质点圆周运动的平面垂直于转轴线，圆心 在轴线上，这个平面我们称为转动平面。 (4) 运动描述仅需一个坐标．
§6– 4 轮系的传动比
1 R1 O1 A B
第六章 刚体的简单运动
本章将研究刚体的两种最基本的运动 ——— 平动和转动. 注意这两种运动在概念上的独立性和不相容性, 以及实现这两 种运动 的约束条件.
§ 7 – 1 刚体的平行移动( 平动 )
定义: 刚体在运动时, 如果刚体上的任意一固连直线始终 与其初始位置保持平行, 则这种运动称为平动.
1 2 两个圆盘的角速度 和角加速度 不相等。
1 2
§ 6 – 5 以矢量表示的角速度和角加速度 ·以矢积表示的 点 的速度和加速度
一. 角速度矢量 – 右手定则 二. 定轴转动刚体的角加速度
z( k )
矢量
O'
k d k dt
三. 欧拉公式 — 转动刚体上点的速度的矢量表示
此机构有4 个构件 6个铰链约束 组成. 其中有一个构件作平动.
平动
平动的性质: 作平动的刚体, 其上各点的轨迹的形状相同; 在 每一瞬时,各点的速度和加速度也都相同.( 三相同) A
证: 任取平动刚体上的两点A , B， 由平动的定义可知 , AB连线 在运动中方向始终不变, ( 定向) 且 A, B为 刚体上的两点, ( 定长 ) 所以,
同一根绳上各点的速度相同， 而加速度 也相同。
A B C D
M 2 o2 R 2
最新《力学》漆安慎(第二版)答案07章
力学（第二版）漆安慎习题解答第七章刚体力学第七章 刚体力学 一、基本知识小结⒈刚体的质心定义：∑⎰⎰==dm dm r r mr m r c i i c //求质心方法：对称分析法，分割法，积分法。
⒉刚体对轴的转动惯量定义：∑⎰==dm r I r m I ii 22平行轴定理 I o = I c +md 2 正交轴定理 I z = I x +I y.常见刚体的转动惯量：（略） ⒊刚体的动量和质心运动定理∑==c c a m F v m p⒋刚体对轴的角动量和转动定理∑==βτωI I L⒌刚体的转动动能和重力势能c p k mgy E I E ==221ω⒍刚体的平面运动=随质心坐标系的平动+绕质心坐标系的转动动力学方程：∑∑==c c c c I a m F βτ（不必考虑惯性力矩）动能：221221cc c k I mv E ω+= ⒎刚体的平衡方程∑=0F， 对任意轴∑=0τ二、思考题解答7.1 火车在拐弯时所作的运动是不是平动？答：刚体作平动时固联其上的任一一条直线，在各时刻的位置（方位）始终彼此平行。
若将火车的车厢看作一个刚体，当火车作直线运行时，车厢上各部分具有平行运动的轨迹、相同的运动速度和加速度，选取车厢上的任一点都可代替车厢整体的运动，这就是火车的平动。
但当火车拐弯时，车厢上各部分的速度和加速度都不相同，即固联在刚体上任一条直线，在各时刻的位置不能保持彼此平行，所以火车拐弯时的运动不是平动。
7.2 对静止的刚体施以外力作用，如果合外力为零，刚体会不会运动？答：对静止的刚体施以外力作用，当合外力为了零，即0i c F ma ==∑时，刚体的质心将保持静止，但合外力为零并不表明所有的外力都作用于刚体的同一点。
所以，对某一确定点刚体所受合外力的力矩i i iM M r F ==⨯∑∑不一定为零。
由刚体的转动定律M J α=可知，刚体将发生转动。
比如，置于光滑水平面上的匀质杆，对其两端施以大小相同、方向相反，沿水平面且垂直于杆的两个作用力时，杆所受的外力的合力为零，其质心虽然保持静止，但由于所受合外力矩不为零，将作绕质心轴的转动。
刚体力学
三、教学重点与难点：
重点： 刚体运动的描述方法；刚体定轴转动的运动学与动力学；刚体的平 衡。 难点： 转动惯量的理解和计算；学生学习思维方式的转变；刚体转动的角 动量，应用刚体力学有关规律解决实际问题。 教材分析：（分为6个单元） 1、刚体运动学（§7—1）； 2、刚体平动的动力学（§7—2）； 3、刚体定轴转动动力学（§7—3、§7—4）是全章的重点； 4、刚体的平面平行动力学（§7—5）； 5、刚体的平衡（静力学）（§7—6）; 6、刚体的自转与旋进（7—7）
积分限为：
z=0
z=R
例题2：已知图中物体由均匀等厚的两个半径不同的圆板和刚性细杆组 成,三个部分的质量均为M,尺寸如图所示.试求质心的位置.
解: 因为物体均匀等厚,且具有对称性,,所以质心在其几何对称轴上,建立图 示的坐标系: 。
二、刚体的动量与质心运动定理
1、刚体的动量： 特殊的质点组 2、动量守恒定律 若刚体所受外力矢量和为零，即,则=恒量 3、刚体的质心运动定理 例题1:教材P201[例1] 解: 例题2:如图所示:长为L的匀质杆在力F和光滑地面支持力的作用下保持 平衡,当外力撤消后,杆子倒下.试求杆子A端的运动方程。
(4)应用转动定理解题的基本方法（隔离体法）一般步骤为： 1． 将运动系统用假想平面分成若干个作定轴转动的刚体和质点的隔 离体.分别应用不同定理解题 2． 分析各隔离体的受力情况，作出受力图 3． 建立适当的坐标系 4． 建立动力学方程 ( 转动刚体根据转动定理列方程 质点根据牛 二定律列方程) 5． 建立各个隔离体之间的动力学和运动学关系 6． 由联立方程求解 例题: 如图所示是一阿特武德机，绳子一端悬挂一重物m1=500g，另一 端悬挂一重物m2=460g，半径r=5.0cm 的滑轮绕水平光滑轴转动，自静 止开始释放重物、并测得m1在5.0s内下降75cm，试由这些数据确定定滑 轮的转动惯量。（不计绳的质量及伸长，且绳与滑轮之间无相对滑动）
第七章 刚体力学
（二）刚体的定轴转动 1.各点运动的特点
在自己的转动平面内作圆周运动 2.描述的物理量 任一质点圆周运动的线 量和角量的关系 r r
简化
加速 z
r
an r an at r at r
细棒势能 质点势能
M l
o
2
0 m
两式联 立得解
25
例2 已知：细棒如图 求：任意位置时，轴给细棒的作用力
解：设任意位置时，细棒角速度为
设轴给细棒的作用力为 Fn Ft 作细棒受力图 F n
o
Mg
o
c
M l
26
Ft
Fn
o
o
c
M l
Ft
Mg
Fn Mg cos Macn
Ft Mg sin Mact l l 2 act acn 2 2
碰撞过程中系统对o 点 的合力矩为 M 0 即，
0 m
所以，系统对o点的角动量守恒。
L1 L2
1 2 m0l Ml m l2 3
1
24
过程2 质点、细棒上摆 系统中包括地球， 只有保守内力作功，所以机械能守恒。 设细棒处于最低点为势能零点
11 2 2 2 Ml m l 23 1 Mgl1 cos m gl1 cos 2
第七章 刚体力学
1
基本方法：
质点系运动定理
加 刚体特性 刚体定轴转动的
动能定理
平动：动量定理
F mac
角动量定理
可以解决刚体的一般运动（平动加转动）
2
第七章 刚体力学习题及解答
第七章刚体力学习题及解答7。
1.1 设地球绕日作圆周运动.求地球自转和公转的角速度为多少rad/s?估算地球赤道上一点因地球自转具有的线速度和向心加速度。
估算地心因公转而具有的线速度和向心加速度（自己搜集所需数据）。
解：7.1.2 汽车发动机的转速在12s内由1200rev/min增加到3000rev/min。
（1）假设转动是匀加速转动,求角加速度.（2）在此时间内,发动机转了多少转？解：（ 1）（ 2)所以转数 =7.1.3 某发动机飞轮在时间间隔t内的角位移为球 t时刻的角速度和角加速度.解：7.1.4 半径为0。
1m的圆盘在铅直平面内转动,在圆盘平面内建立坐标系,原点在轴上。
x和y轴沿水平和铅直向上的方向.边缘上一点A当t=0时恰好在x轴上,该点的角坐标满足求（1）t=0时，(2)自t=0开始转时，（3）转过时，A点的速度和加速度在x和y轴上的投影。
解:（ 1）( 2) 时，由（ 3）当时，由7。
1。
5 钢制炉门由两个各长1.5m的平行臂AB和CD支承，以角速度逆时针转动，求臂与铅直时门中心G的速度和加速度.解:因炉门在铅直面内作平动，门中心 G的速度、加速度与B或D点相同.所以：7。
1.6 收割机拔禾轮上面通常装4到6个压板。
拔禾轮一边旋转，一边随收割机前进。
压板转到下方才发挥作用，一方面把农作物压向切割器，另一方面把切割下来的作物铺放在收割台上,因此要求压板运动到下方时相对于作物的速度与收割机前进方向相反.已知收割机前进速率为 1。
2m/s，拔禾轮直径1.5m，转速22rev/min，求压板运动到最低点挤压作物的速度.解：取地面为基本参考系，收割机为运动参考系。
取收割机前进的方向为坐标系正方向7。
1.7 飞机沿水平方向飞行，螺旋桨尖端所在半径为150cm,发动机转速2000rev/min。
（1)桨尖相对于飞机的线速率等于多少？（2）若飞机以250km/h的速率飞行,计算桨尖相对于地面速度的大小，并定性说明桨尖的轨迹。
大物刚体力学
2
圆板单位面积的质量；
大圆板质量：
大圆板质心坐标：xc
0
24
小圆板质量：
m1
R 2
4
y
o
小圆板质心坐标：x1c
R 2
3 R 2 剩余部分质量： m2 4
x
则剩余部分质的质心坐标
2 2
x2 c 由下式确定：
R R 3 R x2c 4 2 4 0 2 R
11
4. 刚体的平面运动
刚体上各点均在平面内运动，且这些平面均与一固定 平面平行－－－刚体的平面运动。
利用与固定平面平行的平面在刚体体内截出一平面图
形，此平面图形位置确定，则刚体的位置即可确定。
12
在图形所在的平面内建立O－xyz坐标系，z轴与图形平 面垂直，如图所示。在刚体上任选一点B－－基点， 位置矢量为：
V V
0 /2
a cos a sin d cos
3 2
1 4 a 2 3
3
3a 8
如果刚体由几个部分组成,则刚体的质心如何计算？
22
如果刚体由几个部分组成,则刚体的质心与组建刚体的 各部分的质心关系仍可采用前面讲过的质心坐标公式，
仅需做如下的变换:
mi －－表示刚体各部分的质量 xic , yic , zic ( 刚体各部分的质心坐标 ) xi , yi , zi
2 2 i 2 i i 2 i i 2 i
2
c
Z
m
O
m x m y I x I y
Iz Ix I y
yi
X
ri xi
mi
Y
33
例一 求一质量为 m，长为 l 的均匀细棒的转动 惯量。（1）轴通过棒的中心并与棒垂直。（2）轴 通过棒的一端并与棒垂直。 解：（1）在棒上 取质量元，长为 dx， 离轴 O 为 x，棒的线 密度为 m
圆板单位面积的质量；
大圆板质量：
大圆板质心坐标：xc
0
24
小圆板质量：
m1
R 2
4
y
o
小圆板质心坐标：x1c
R 2
3 R 2 剩余部分质量： m2 4
x
则剩余部分质的质心坐标
2 2
x2 c 由下式确定：
R R 3 R x2c 4 2 4 0 2 R
11
4. 刚体的平面运动
刚体上各点均在平面内运动，且这些平面均与一固定 平面平行－－－刚体的平面运动。
利用与固定平面平行的平面在刚体体内截出一平面图
形，此平面图形位置确定，则刚体的位置即可确定。
12
在图形所在的平面内建立O－xyz坐标系，z轴与图形平 面垂直，如图所示。在刚体上任选一点B－－基点， 位置矢量为：
V V
0 /2
a cos a sin d cos
3 2
1 4 a 2 3
3
3a 8
如果刚体由几个部分组成,则刚体的质心如何计算？
22
如果刚体由几个部分组成,则刚体的质心与组建刚体的 各部分的质心关系仍可采用前面讲过的质心坐标公式，
仅需做如下的变换:
mi －－表示刚体各部分的质量 xic , yic , zic ( 刚体各部分的质心坐标 ) xi , yi , zi
2 2 i 2 i i 2 i i 2 i
2
c
Z
m
O
m x m y I x I y
Iz Ix I y
yi
X
ri xi
mi
Y
33
例一 求一质量为 m，长为 l 的均匀细棒的转动 惯量。（1）轴通过棒的中心并与棒垂直。（2）轴 通过棒的一端并与棒垂直。 解：（1）在棒上 取质量元，长为 dx， 离轴 O 为 x，棒的线 密度为 m
第七章 刚体的基本运动
7
第二节 刚体绕定轴转动
一. 转动方程
(1)转角 Ⅰ和Ⅱ夹角 ,单位弧度(rad)
(2)转动方程 =f(t)
(3) 的正、负规定
对着z 轴正向看
逆时针为正 顺时针为负
第二节 刚体绕定轴转动
二、角速度
⑴ 平均角速度
t
⑵ 角速度（瞬时）:表示刚
体转动快慢和转动方向的物
理量。
刚体平动→点的运动
第二节 刚体绕定轴转动
1.定义：当刚体运动时 ，刚体内（刚体外）有一 条直线始终保持不动。 2.刚体定轴转动的特点
（1) 始终保持不动的直线称为转轴； （2）其余各点都在垂直于转轴的平面 上以轴上的一点为圆心做圆周运动。
定轴转动实例：电机的转子、机床的主轴、变速箱中 的齿轮、绕固定铰链开关的门窗等！
转动 刚体上任一点的速度分布：
第三节 定轴转动刚体上点的速度和加速度
二.定轴转动刚体上点的加速度
点的加速度包括切向加速度和法向加速度！
⒈ 切向加速度
a
dv dt
d dt
(R)
d
dt
R
R
垂直转动半径，并指向刚体转动的一方。
⒉法向加速度
an
v2 R
(R)2
R
R 2
始终指向转轴O
⒊ 全加速度
⑴ 大小 ： a a 2 an2 R 2 4
⑵
方向 ：
tg
| a an
|
R| | R 2
| | 2
转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于该点的 转动半径与刚体角加速度的乘积，方向沿轨迹的切线 （垂直于转动半径的方向），指向与ε的转向一致。
第二节 刚体绕定轴转动
一. 转动方程
(1)转角 Ⅰ和Ⅱ夹角 ,单位弧度(rad)
(2)转动方程 =f(t)
(3) 的正、负规定
对着z 轴正向看
逆时针为正 顺时针为负
第二节 刚体绕定轴转动
二、角速度
⑴ 平均角速度
t
⑵ 角速度（瞬时）:表示刚
体转动快慢和转动方向的物
理量。
刚体平动→点的运动
第二节 刚体绕定轴转动
1.定义：当刚体运动时 ，刚体内（刚体外）有一 条直线始终保持不动。 2.刚体定轴转动的特点
（1) 始终保持不动的直线称为转轴； （2）其余各点都在垂直于转轴的平面 上以轴上的一点为圆心做圆周运动。
定轴转动实例：电机的转子、机床的主轴、变速箱中 的齿轮、绕固定铰链开关的门窗等！
转动 刚体上任一点的速度分布：
第三节 定轴转动刚体上点的速度和加速度
二.定轴转动刚体上点的加速度
点的加速度包括切向加速度和法向加速度！
⒈ 切向加速度
a
dv dt
d dt
(R)
d
dt
R
R
垂直转动半径，并指向刚体转动的一方。
⒉法向加速度
an
v2 R
(R)2
R
R 2
始终指向转轴O
⒊ 全加速度
⑴ 大小 ： a a 2 an2 R 2 4
⑵
方向 ：
tg
| a an
|
R| | R 2
| | 2
转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于该点的 转动半径与刚体角加速度的乘积，方向沿轨迹的切线 （垂直于转动半径的方向），指向与ε的转向一致。
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《力学》电子教案
7.2.4 刚体定轴转动的角动量定理与角动量守恒
dL M dt
Mz dLz dt
Lz J
Mz dLz d ( J) dt dt
t t
t
M z dt J J 00
适用条件：质点组、定轴转动 如果外力矩为零，则角动量守恒（跳水、滑冰运动员例子）
由几个刚体组成的体系，对某轴的转动惯量等于各部分 对此轴的转动惯量之和——组合轴定理。
例 7.2.2-3 如例 7.2.2-3 图所示，求该刚体过 o 轴的转动惯量。
解： m1 对 o 轴： J1
2 1 l m1r 2 ， m2 对 o 轴： J 2 m2l 2 m2 (r )2 5 12 2
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m x
i
i i
m
2bm
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m y
i i
i
m
=J c md 2
上一页
例7.2.2-1
求细长杆对过其一端并与杆垂直的转轴的转动惯量。
1 J c ml 2 ， 解：绕过质心 c 的轴转动的转动惯量为： 12
1 1 J L J c m( l )2 ml 2 过一端点的垂直轴的转动惯量： 2 3
《力学》电子教案
第七章
刚
体
本章内容提要
一、刚体定轴转动运动学
二、刚体定轴转动动力学
三、刚体平面平行运动的处理方法
四、以质心为基点处理刚体的平面平行运动 五、刚体平面平行运动的瞬时转轴 六、刚体的平衡 本章知识单元与知识点小结
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《力学》电子教案
本章知识提要
有形物质的存在状态：固态、液态、气态、等离子态。 在外力和内力的作用下均有形变。 整体上形变可忽略的特殊固态物质---刚体 刚体也是一种理想化的模型 本章重点总结刚体的定轴转动、平面平行运动、平衡等几种特殊运 动的处理方法和规律。 作为扩展内容，简介对称刚体的定点进动和章动现象以及与其 相应的原理性解释，进一步详细的讨论参考理论力学教程。
J J 00 C
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《力学》电子教案
例 7.2.4-1
如例 7.2.4-1 图所示，盘 1 绕过 o1 且垂直与纸面的固定轴以 0 转
动，将盘 2 移动至与盘 1 接触，盘 2 绕过 o2 且垂直与纸面的固定轴转动。两盘 之间的以摩擦力相互作用，摩擦力的力矩使盘 1 的转速渐小，而盘 2 的转速渐 大，直至接触点具有相同的线速度，求各自的角速度。
解：用隔离法对系统内的物体进行受力分析，建立如例 7.2.5-1 图所示的坐标系。
对 m1 牛顿第二定律： m1 g FT 1 m1a1
对 m2 牛顿第二定律： m2 g FT 2 m2 a2
对滑轮应用转动定律： FT 1R FT 2 R J
按滑轮正向假设转动， a r 2er r e
t
瞬时角速度大小：
lim lim
t 0
d t 0 t dt
t
平均角加速度大小：
2 1
t
d d 2 lim lim 瞬时角加速度大小： t 0 t 0 t dt dt 2
v v v vi = w´ ri A Fi vi dt Fi ( ri )dt
(ri Fi ) dt
i
i i
d M dt M z dt M z dt M z d dt
，
v vi = wk ? ( xi i
i
k
，
yi j + zi k ) = w ( xi j - yii )
L ri mi vi xii yi j zi k mi xi j yii
i i
2 2 mi ( xi zi ) i mi ( yi zi ) j mi ( xi yi ) k i i i
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《力学》电子教案
转动参量与线量的关系
1. p 点的线速度与角速度的关系 der dr d dr v (rer ) er r dt dt dt dt
der e r v r r dt
2. p点线加速度与角速度、角加速度的关系
J c mi xi2 yi2 1 J p mi xi2 yi2 2
i i
由xi a xi ,yi a yxi 得 xi a xi , yi b yi 3
3 代入 2 得J p mi a xi ຫໍສະໝຸດ B点切向加速度为：
a B
R R
且： a1 a2 a B R
联立可得：
a1
2(m1 m2 ) g 2(m2 m1 ) g a2 2(m1 m2 ) m0 ， 2(m1 m2 ) m0
(4m2 m0 )m1 g (4m1 m0 )m2 g 2(m1 m2 ) g FT 1 FT 2 2(m1 m2 ) m0 ， 2(m1 m2 ) m0 [2(m1 m2 ) m0 ]R ，
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一、刚体定轴转动运动学
描述刚体定轴转动的转动参量
定轴转动运动学
转动参量的矢量性分析
转动角量与线量的关系
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《力学》电子教案
描述刚体定轴转动的转动参量
角位置： 为刚体的角位置。
角位移大小： 为刚体的角位移大小。 平均角速度大小：
dLz d d Mz ( J) J J dt dt dt
适用条件：刚体、定轴转动
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《力学》电子教案
例 7.2.3-1
如例 7.2.3-1 图所示，质量为 m0 、半径为 R 的滑轮两边跨一轻绳，
绳和轮之间无相对滑动，轻绳两端各系质量为 m1 和 m2 的物体，求两物体的加速 度、滑轮转动的角加速度以及绳中张力(轴处摩擦忽略)。
对于定轴转动的质点组而言，外力的功即外力矩沿z轴方向的 分量对角位移的积分，称为力矩的功。也就是说，力矩的功就是 定轴转动情况下外力的功
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《力学》电子教案
1 2 Ek mv , 2 1 2 1 2 2 1 2 J mi ri 2 对定轴转动的动能: Ek mv mr J , i 2 2 2 转动惯量是物体转动惯性的量度； 它与物体形状与质量分布有关，
薄圆环、圆筒： J mR 2
球体： J
，图7.2.2-1 (e)
球壳： J
2 mR 2 ，图 7.2.2-1 (g)。 3
2 mR 2 ，图 7.2.2-1 (f)。 5
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《力学》电子教案
4. 关于转动惯量的几个定理 (1) 平行轴定理
J p J c md 2 (a 2 b 2 d 2 )
(2) 正交轴定理（仅对薄刚体）
对一个薄刚体，在薄刚体平面内建 x,y 轴，垂直 xy 平面为 Z轴，
过任一点 o 垂直 xy 平面的转动惯量 Jz ，等于该刚体分别绕 x,y轴的 转动惯量 Jx ，Jy 之和，即 Jz Jx J y
J z mi xi2 yi2 mi xi2 mi yi2 对于薄刚体 J y mi xi2 , J x mi yi2
2 i i
2
b yi
2
= mi a xi 2 2axi b 2 yi 2 2byi 2
= mi a 2 b 2 mi xi 2 yi 2 2a mi xi 2b mi yi
i i i i
=md 2 J c 2am
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《力学》电子教案
匀角加速度转动
对于匀角加速转动：
d C （常数） dt
(7.1.1-6a) (7.1.1-6b)
0 t
0 0t t 2
如果
1 2
(7.1.1-6c)
d C （常数） ，即为变角加速转动，那么，运用 dt
2 J 3 m3 R 2 m3 ( R l r )2 m3 对 o 轴： 5
刚体总的转动惯量为： J J1 J 2 J 3
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7.2.3 刚体定轴转动的转动定律
dL M dt dLz Mz dt
Lz J
所以 J z J x J y
例 7.2.2-2
i i i i i
如例 7.2.2-2 图所示，求薄圆盘过 P 点的轴的转动惯量。
J z J x J y 2 J y ，而 J z 1 mR 2 ，则 J y 1 mR 2 解：因为，
2
4
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(3) 组合轴定理
动能、角动量、外力功表示
转动惯量
刚体定轴转动动力学
转动定律
角动量定理与守恒
动能定理
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《力学》电子教案
刚体定轴转动的势能、动能、角动量、外力功的表示
1. 刚体的重力势能（也适用一般质点组）
EP EPi mi gzi mg
《力学》电子教案
7.2.4 刚体定轴转动的角动量定理与角动量守恒
dL M dt
Mz dLz dt
Lz J
Mz dLz d ( J) dt dt
t t
t
M z dt J J 00
适用条件：质点组、定轴转动 如果外力矩为零，则角动量守恒（跳水、滑冰运动员例子）
由几个刚体组成的体系，对某轴的转动惯量等于各部分 对此轴的转动惯量之和——组合轴定理。
例 7.2.2-3 如例 7.2.2-3 图所示，求该刚体过 o 轴的转动惯量。
解： m1 对 o 轴： J1
2 1 l m1r 2 ， m2 对 o 轴： J 2 m2l 2 m2 (r )2 5 12 2
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m x
i
i i
m
2bm
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m y
i i
i
m
=J c md 2
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例7.2.2-1
求细长杆对过其一端并与杆垂直的转轴的转动惯量。
1 J c ml 2 ， 解：绕过质心 c 的轴转动的转动惯量为： 12
1 1 J L J c m( l )2 ml 2 过一端点的垂直轴的转动惯量： 2 3
《力学》电子教案
第七章
刚
体
本章内容提要
一、刚体定轴转动运动学
二、刚体定轴转动动力学
三、刚体平面平行运动的处理方法
四、以质心为基点处理刚体的平面平行运动 五、刚体平面平行运动的瞬时转轴 六、刚体的平衡 本章知识单元与知识点小结
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本章知识提要
有形物质的存在状态：固态、液态、气态、等离子态。 在外力和内力的作用下均有形变。 整体上形变可忽略的特殊固态物质---刚体 刚体也是一种理想化的模型 本章重点总结刚体的定轴转动、平面平行运动、平衡等几种特殊运 动的处理方法和规律。 作为扩展内容，简介对称刚体的定点进动和章动现象以及与其 相应的原理性解释，进一步详细的讨论参考理论力学教程。
J J 00 C
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例 7.2.4-1
如例 7.2.4-1 图所示，盘 1 绕过 o1 且垂直与纸面的固定轴以 0 转
动，将盘 2 移动至与盘 1 接触，盘 2 绕过 o2 且垂直与纸面的固定轴转动。两盘 之间的以摩擦力相互作用，摩擦力的力矩使盘 1 的转速渐小，而盘 2 的转速渐 大，直至接触点具有相同的线速度，求各自的角速度。
解：用隔离法对系统内的物体进行受力分析，建立如例 7.2.5-1 图所示的坐标系。
对 m1 牛顿第二定律： m1 g FT 1 m1a1
对 m2 牛顿第二定律： m2 g FT 2 m2 a2
对滑轮应用转动定律： FT 1R FT 2 R J
按滑轮正向假设转动， a r 2er r e
t
瞬时角速度大小：
lim lim
t 0
d t 0 t dt
t
平均角加速度大小：
2 1
t
d d 2 lim lim 瞬时角加速度大小： t 0 t 0 t dt dt 2
v v v vi = w´ ri A Fi vi dt Fi ( ri )dt
(ri Fi ) dt
i
i i
d M dt M z dt M z dt M z d dt
，
v vi = wk ? ( xi i
i
k
，
yi j + zi k ) = w ( xi j - yii )
L ri mi vi xii yi j zi k mi xi j yii
i i
2 2 mi ( xi zi ) i mi ( yi zi ) j mi ( xi yi ) k i i i
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转动参量与线量的关系
1. p 点的线速度与角速度的关系 der dr d dr v (rer ) er r dt dt dt dt
der e r v r r dt
2. p点线加速度与角速度、角加速度的关系
J c mi xi2 yi2 1 J p mi xi2 yi2 2
i i
由xi a xi ,yi a yxi 得 xi a xi , yi b yi 3
3 代入 2 得J p mi a xi ຫໍສະໝຸດ B点切向加速度为：
a B
R R
且： a1 a2 a B R
联立可得：
a1
2(m1 m2 ) g 2(m2 m1 ) g a2 2(m1 m2 ) m0 ， 2(m1 m2 ) m0
(4m2 m0 )m1 g (4m1 m0 )m2 g 2(m1 m2 ) g FT 1 FT 2 2(m1 m2 ) m0 ， 2(m1 m2 ) m0 [2(m1 m2 ) m0 ]R ，
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一、刚体定轴转动运动学
描述刚体定轴转动的转动参量
定轴转动运动学
转动参量的矢量性分析
转动角量与线量的关系
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描述刚体定轴转动的转动参量
角位置： 为刚体的角位置。
角位移大小： 为刚体的角位移大小。 平均角速度大小：
dLz d d Mz ( J) J J dt dt dt
适用条件：刚体、定轴转动
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例 7.2.3-1
如例 7.2.3-1 图所示，质量为 m0 、半径为 R 的滑轮两边跨一轻绳，
绳和轮之间无相对滑动，轻绳两端各系质量为 m1 和 m2 的物体，求两物体的加速 度、滑轮转动的角加速度以及绳中张力(轴处摩擦忽略)。
对于定轴转动的质点组而言，外力的功即外力矩沿z轴方向的 分量对角位移的积分，称为力矩的功。也就是说，力矩的功就是 定轴转动情况下外力的功
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1 2 Ek mv , 2 1 2 1 2 2 1 2 J mi ri 2 对定轴转动的动能: Ek mv mr J , i 2 2 2 转动惯量是物体转动惯性的量度； 它与物体形状与质量分布有关，
薄圆环、圆筒： J mR 2
球体： J
，图7.2.2-1 (e)
球壳： J
2 mR 2 ，图 7.2.2-1 (g)。 3
2 mR 2 ，图 7.2.2-1 (f)。 5
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4. 关于转动惯量的几个定理 (1) 平行轴定理
J p J c md 2 (a 2 b 2 d 2 )
(2) 正交轴定理（仅对薄刚体）
对一个薄刚体，在薄刚体平面内建 x,y 轴，垂直 xy 平面为 Z轴，
过任一点 o 垂直 xy 平面的转动惯量 Jz ，等于该刚体分别绕 x,y轴的 转动惯量 Jx ，Jy 之和，即 Jz Jx J y
J z mi xi2 yi2 mi xi2 mi yi2 对于薄刚体 J y mi xi2 , J x mi yi2
2 i i
2
b yi
2
= mi a xi 2 2axi b 2 yi 2 2byi 2
= mi a 2 b 2 mi xi 2 yi 2 2a mi xi 2b mi yi
i i i i
=md 2 J c 2am
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匀角加速度转动
对于匀角加速转动：
d C （常数） dt
(7.1.1-6a) (7.1.1-6b)
0 t
0 0t t 2
如果
1 2
(7.1.1-6c)
d C （常数） ，即为变角加速转动，那么，运用 dt
2 J 3 m3 R 2 m3 ( R l r )2 m3 对 o 轴： 5
刚体总的转动惯量为： J J1 J 2 J 3
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7.2.3 刚体定轴转动的转动定律
dL M dt dLz Mz dt
Lz J
所以 J z J x J y
例 7.2.2-2
i i i i i
如例 7.2.2-2 图所示，求薄圆盘过 P 点的轴的转动惯量。
J z J x J y 2 J y ，而 J z 1 mR 2 ，则 J y 1 mR 2 解：因为，
2
4
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(3) 组合轴定理
动能、角动量、外力功表示
转动惯量
刚体定轴转动动力学
转动定律
角动量定理与守恒
动能定理
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刚体定轴转动的势能、动能、角动量、外力功的表示
1. 刚体的重力势能（也适用一般质点组）
EP EPi mi gzi mg