中考总复习专题14：正反比例、一次函数
2024年中考数学一轮复习考点精析及真题精讲—正比例函数与一次函数
2024年中考数学一轮复习考点精析及真题精讲—正比例函数与一次函数→➊考点精析←一、正比例函数的概念一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做正比例系数．二、一次函数1.一次函数的定义一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时，y叫做x的正比例函数．2.一次函数的一般形式一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数.3.注意（1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.（2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.（3）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.三、一次函数的图象及性质1．正比例函数的图象特征与性质正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．k的符函数图象图象的位置性质号k >0图象经过第一、三象限y 随x 的增大而增大k <0图象经过第二、四象限y 随x 的增大而减小2.一次函数的图象特征与性质（1）一次函数的图象一次函数的图象一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象是经过点(0，b )和(-bk，0)的一条直线图象关系一次函数y=kx +b (k ≠0)的图象可由正比例函数y =kx (k ≠0)的图象平移得到；b >0，向上平移b 个单位长度；b <0，向下平移|b |个单位长度图象确定因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可（2）一次函数的性质函数字母取值图象经过的象限函数性质y =kx +b(k ≠0)k >0，b >0一、二、三y 随x 的增大而增大k >0，b <0一、三、四y =kx +b(k ≠0)k <0，b >0一、二、四y 随x 的增大而减小k <0，b <0二、三、四3.k ，b 的符号与直线y =kx +b （k ≠0）的关系在直线y =kx +b （k ≠0）中，令y =0，则x =-b k ，即直线y =kx +b 与x 轴交于（–bk，0）．①当–bk>0时，即k ，b 异号时，直线与x 轴交于正半轴．②当–bk=0，即b =0时，直线经过原点．③当–bk<0，即k ，b 同号时，直线与x 轴交于负半轴．4.两直线y =k 1x +b 1（k 1≠0）与y =k 2x +b 2（k 2≠0）的位置关系：①当k 1=k 2，b 1≠b 2，两直线平行；②当k 1=k 2，b 1=b 2，两直线重合；③当k 1≠k 2，b 1=b 2，两直线交于y 轴上一点；④当k 1·k 2=–1时，两直线垂直．四、待定系数法1．定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法．2．待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤（1）设含有待定系数的函数解析式为y =kx （k ≠0）．（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k 的一元一次方程．（3）解方程，求出待定系数k ．（4）将求得的待定系数k 的值代入解析式．3．待定系数法求一次函数解析式的一般步骤（1）设出含有待定系数k 、b 的函数解析式y =kx +b ．（2）把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k ，b 的二元一次方程组．（3）解二元一次方程组，求出k ，b ．（4）将求得的k ，b 的值代入解析式．五、一次函数与正比例函数的区别与联系正比例函数一次函数区别一般形式y=kx+b（k是常数，且k≠0）y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）图象经过原点的一条直线一条直线k，b符号的作用k的符号决定其增减性，同时决定直线所经过的象限k的符号决定其增减性；b的符号决定直线与y轴的交点位置；k，b的符号共同决定直线经过的象限求解析式的条件只需要一对x，y的对应值或一个点的坐标需要两对x，y的对应值或两个点的坐标联系比例函数是特殊的一次函数．②正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可．③一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行．④一次函数与正比例函数有着共同的性质：a．当k>0时，y的值随x值的增大而增大；b．当k<0时，y的值随x值的增大而减小．→➋真题精讲←考向一一次函数和正比例函数的定义1．正比例函数是特殊的一次函数．2．正比例函数解析式y=kx（k≠0）的结构特征：①k≠0；②x的次数是1．1．（2020·四川中考真题）已知函数1(2)2(2)x xyxx-+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，当函数值为3时，自变量x的值为（）A．﹣2B．﹣23C．﹣2或﹣23D．﹣2或﹣32【答案】A【分析】根据分段函数的解析式分别计算，即可得出结论．【解析】解：若x＜2，当y=3时，﹣x+1=3，解得：x=﹣2；若x≥2，当y=3时，﹣2x=3，解得：x=﹣23，不合题意舍去；∴x=﹣2，故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的图象上点的坐标特征；根据分段函数进行分段求解是解题的关键．2．（2020·四川成都市·九年级二模）下列函数关系式：（1）y＝﹣x；（2）y＝x﹣1；（3）y＝1x；（4）y＝x2，其中一次函数的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．【详解】解：（1）y＝﹣x是正比例函数，是特殊的一次函数，故正确；（2）y＝x﹣1符合一次函数的定义，故正确；（3）y＝1x属于反比例函数，故错误；（4）y＝x2属于二次函数，故错误．综上所述，一次函数的个数是2个．故选：B．【点睛】本题主要考查了一次函数的定义．本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．考向二一次函数的图象及性质1．通常画正比例函数y=kx（k≠0）的图象时只需取一点（1，k），然后过原点和这一点画直线．2．当k>0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈上升趋势；当k<0时，函数y=kx（k ≠0）的图象从左向右，呈下降趋势．3．正比例函数y=kx中，|k|越大，直线y=kx越靠近y轴；|k|越小，直线y=kx越靠近x 轴．4．一次函数图象的位置和函数值y 的增减性完全由b 和比例系数k 的符号决定．3．（2023·四川乐山·统考中考真题）下列各点在函数21y x =-图象上的是（）A．()13-，B．()01，C．()11-，D．()23，【答案】D【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将选项中的各点分别代入函数解析式21y x =-，进行计算即可得到答案．【详解】解： 一次函数图象上的点都在函数图象上，∴函数图象上的点都满足函数解析式21y x =-，A.当=1x -时，=3y -，故本选项错误，不符合题意；B.当0x =时，1y =-，故本选项错误，不符合题意；C.当1x =时，1y =，故本选项错误，不符合题意；D.当2x =时，3y =，故本选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点都在函数图象上，是解题的关键．4．（2023·甘肃武威·统考中考真题）若直线y kx =（k 是常数，0k ≠）经过第一、第三象限，则k 的值可为（）A．2-B．1-C．12-D．2【答案】D【分析】通过经过的象限判断比例系数k 的取值范围，进而得出答案．【详解】∵直线y kx =（k 是常数，0k ≠）经过第一、第三象限，∴0k >，∴k 的值可为2，故选：D．【点睛】本题考查正比例函数的图象与性质，熟记比例系数与图象经过的象限之间的关系是解题的关键．5．（2020·山东济南·中考真题）若m <﹣2，则一次函数()11y m x m =++-的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由m ＜﹣2得出m +1＜0，1﹣m ＞0，进而利用一次函数的性质解答即可．【解析】解：∵m ＜﹣2，∴m +1＜0，1﹣m ＞0，所以一次函数()11y m x m =++-的图象经过一，二，四象限，故选：D ．【点睛】本题考查的是一次函数的图像与性质，不等式的基本性质，掌握一次函数y kx b =+中的,k b 对函数图像的影响是解题的关键．6．（2023·内蒙古·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将正比例函数2y x =-的图象向右平移3个单位长度得到一次函数(0)y kx b k =+≠的图象，则该一次函数的解析式为（）A．23y x =-+B．26y x =-+C．23y x =--D．26y x =--【答案】B【分析】根据一次函数的平移规律求解即可．【详解】解：正比例函数2y x =-的图象向右平移3个单位长度得：2(3)26y x x =--=-+，故选：B．【点睛】题目主要考查一次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题关键．7．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数23y x =-的图象是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】依据一次函数23y x =-的图象经过点()03-，和302⎛⎫⎪⎝⎭，，即可得到一次函数23y x =-的图象经过一、三、四象限．【详解】解：一次函数23y x =-中，令0x =，则=3y -；令0y =，则32x =，∴一次函数23y x =-的图象经过点()03-，和302⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴一次函数23y x =-的图象经过一、三、四象限，故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．8.（2023·新疆·统考中考真题）一次函数1y x =+的图象不经过．．．（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【分析】根据10,10k b =>=>即可求解．【详解】解：∵一次函数1y x =+中10,10k b =>=>，∴一次函数1y x =+的图象不经过第四象限，故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．9．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）一次函数1y kx =-的函数值y 随x 的增大而减小，当2x =时，y 的值可以是（）A．2B．1C．－1D．－2【答案】D【分析】根据一次函数的增减性可得k 的取值范围，再把2x =代入函数1y kx =-，从而判断函数值y 的取值．【详解】∵一次函数1y kx =-的函数值y 随x 的增大而减小∴0k <∴当2x =时，211y k =-<-故选：D.【点睛】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．10．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，点()2,A m 在直线522y x =-上，过点A 的直线交y 轴于点()0,3B ．(1)求m 的值和直线AB 的函数表达式．(2)若点()1,P t y 在线段AB 上，点()21,Q t y -在直线522y x =-上，求12y y -的最大值．【答案】(1)32m =，334y x =-+；(2)152【分析】（1）把点A 的坐标代入直线解析式可求解m ，然后设直线AB 的函数解析式为y kx b =+，进而根据待定系数法可进行求解函数解析式；（2）由（1）及题意易得()133024y t t =-+≤≤，()25921222y t t =--=-，则有12391115324242y y t t ⎛⎫-=-+--=-+ ⎪⎝⎭，然后根据一次函数的性质可进行求解．【详解】（1）解：把点()2,A m 代入522y x =-，得32m =．设直线AB 的函数表达式为y kx b =+，把点32,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,3B 代入得3223.k b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得343.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的函数表达式为334y x =-+．（2）解：∵点()1,P t y 在线段AB 上，点()21,Q t y -在直线522y x =-上，∴()133024y t t =-+≤≤，()25921222y t t =--=-，∴12391115324242y y t t ⎛⎫-=-+--=-+ ⎪⎝⎭．∵1104k =-<，∴12y y -的值随x 的增大而减小，∴当0=t 时，12y y -的最大值为152．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．考向三用待定系数法确定一次函数的解析式运用待定系数法求一次函数解析式的步骤可简单记为：一设，二代，三解，四回代．11．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点()0,1P ，点()4,1A ，以点P 为中心，把点A 按逆时针方向旋转60︒得到点B ，在(11,M --，2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()31M -，(4M 四个点中，直线PB 经过的点是（）A．1M B．2M C．3M D．4M 【答案】B【分析】根据含30︒角的直角三角形的性质可得(21B +，，利用待定系数法可得直线PB的解析式，依次将1234M M M M ，，，四个点的一个坐标代入1y +中可解答．【详解】解：∵点()4,1A ，点()0,1P ，∴PA y ⊥轴，4PA =，由旋转得：604APB AP PB ∠=︒==，，如图，过点B 作BC y ⊥轴于C ，∴30BPC ∠=︒，∴2BC PC ==，，∴(21B +，），设直线PB 的解析式为：y kx b =+，则211k b b ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩∴1k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴直线PB 的解析式为：1y +，当=1x -时，1y =，∴点(11,M -不在直线PB 上，当3x =-时，10y ⎛=+= ⎝⎭，∴2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线PB 上，当1x =时1y =，∴()31M -不在直线PB 上，当2x =时，1y =，∴(4M 不在直线PB 上．故选：B．【点睛】本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点B 的坐标是解本题的关键．12．（2023·江苏苏州·统考中考真题）已知一次函数y kx b =+的图象经过点()1,3和()1,2-，则22k b -=________________．【答案】6-【分析】把点()1,3和()1,2-代入y kx b =+，可得32k b k b +=⎧⎨-=-⎩，再整体代入求值即可．【详解】解：∵一次函数y kx b =+的图象经过点()1,3和()1,2-，∴32k b k b +=⎧⎨-+=⎩，即32k b k b +=⎧⎨-=-⎩，∴()()()22326k b k b k b -=+-=⨯-=-；故答案为：6-【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用平方差公式分解因式，熟练的利用平方差公式求解代数式的值是解本题的关键．14．已知函数y＝(2m+1)x+m﹣3；(1)若函数图象经过原点，求m 的值；(2)若函数图象在y 轴的截距为﹣2，求m 的值；(3)若函数的图象平行直线y＝3x﹣3，求m 的值；(4)若这个函数是一次函数，且y 随着x 的增大而减小，求m 的取值范围．【答案】(1)m＝3；(2)m＝1；(3)m＝1；(4)m＜﹣12．【分析】(1)根据函数图象经过原点可得m﹣3＝0，且2m+1≠0，再解即可；(2)根据题意可得m﹣3＝﹣2，解方程即可；(3)根据两函数图象平行，k 值相等可得2m+1＝3；(4)根据一次函数的性质可得2m+1＜0，再解不等式即可．【详解】解：(1)∵函数图象经过原点，∴m﹣3＝0，且2m+1≠0，解得：m＝3；(2)∵函数图象在y 轴的截距为﹣2，∴m﹣3＝﹣2，且2m+1≠0，解得：m＝1；(3)∵函数的图象平行直线y＝3x﹣3，∴2m+1＝3，解得：m＝1；(4)∵y 随着x 的增大而减小，∴2m+1＜0，解得：m＜﹣12．【点睛】此题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握与y 轴的交点就是y＝kx+b 中，b 的值，k＞0，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y 随x 的增大而减小，函数从左到右下降．14．若1y -与2x +成正比例，且当2x =时，5y =.（1）求y 与x 的函数关系式（2）如果点(,5)m 在该函数图象上，求m 的值.【答案】（1）y=x+3；（2）m=2.【分析】（1）设y-1=k（x+2），把x=2，y=-5代入求出k 的值，进而可得出y 与x 的函数关系式；（2）直接把点（m，5）代入（1）中一次函数的解析式即可．【详解】解：（1）设()12y k x -=+（0k ≠）当x＝2时，y＝55-1=(2+2)k∴k=1当K＝10时y-1=x+2y=x+3（2）当点（m，5）在该函数图象上∴5=m+3∴m=2【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，熟知待定系数法求一次函数解析式的一般步骤是解答此题的关键．15．若函数y＝（m+1）x+m 2﹣1是正比例函数．（1）求该函数的表达式．（2）将该函数图象沿y 轴向上或者向下平移，使其经过（1，﹣2），求平移的方向与距离．【答案】（1）y＝2x；（2）沿y 轴向下平移4个单位．【分析】（1）根据正比例函数的定义可得一个关于m 的等式，求得m 值代入函数解析式即可得；（2）根据函数解析式可设平移后的函数解析式为2y x b =+，将(1,2)-代入求得b 值，再根据平移后的函数解析式即可得.【详解】（1）根据题意得210m -=且10m +≠，解得1m =，所以该函数的表达式为2y x =；（2）设平移后的函数解析式为2y x b =+，将(1,2)-代入得22b -=+，解得4b =-，则平移后的函数解析式为24y x =-，所以函数的图象是沿y 轴向下平移4个单位，使其经过(1,2)-.【点睛】本题考查了正比例函数的定义、待定系数法求函数解析式、以及函数图象的平移，掌握正比例函数的定义是解题关键.。
初三数学总复习──一次函数、正比例及反比例函数
初三数学总复习──一次函数、正比例及反比例函数一、填空题：1. 已知函数32)2(3--+=mx m y 是一次函数，则m= ；此图象经过第 象限。
2. 一束光线从y 轴上点A （0，1）出发， 经过x 轴上点C 反射后经过点 B （3，3），则光线从A 点到B 点经过的路线长是 ； 直线BC 的解析式为 。
3. 如图，一个矩形推拉窗，窗高1.5米，则活动窗扇的通风面积A （平方米）与拉开长度b （米）的关系式是： ；4. 已知一次函数2+=kx y ，请你补充一个条件： ，使y 随x5. 如果直线y ＝ax ＋b 经过一、二、三象限，那么ab0 （填上“＜”或“＞”或“＝”）． 6. 如图：表示长沙市2003年6月份某一天的气温随时间变化的情况，请观察此图，回答下列问题：（1）这天的最高气温是 度？（2）这天共有 小时的气温在31度以上； （3）这天有 （时间）范围内温度在上升？（4）请你预测一下，次日凌晨1点的气温是多少度？ 答：。
7. 用火柴棒按如图的方式搭一行三角形，搭一个三角形需3支火柴棒，搭2个三角形需5支火柴棒，搭3个 三角形需7支火柴棒，照这样的规律搭下去，搭n 个 三角形需要S 支火柴棒，那么S 关于n 的函数关系式 是 (n 为正整数)∙∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙30DC BA8. 如图是反比例函数xky =上的图象，那么k 与0的大小关系是k 0． 9. 一个函数的图象过点（1，2），且y 随x 的增大而增大，则这个函数的解析式是（任写一个）．10. 已知反比例函数的图象过（－2，－3），则它的解析式为 .11. 在平面直角坐标系内，从反比例函数xk y =（k ＞0）的图象上的一点分别作x 、y 轴的垂线段，与x 、y 轴所围成的矩形面积是12，那么该函数解析式是 。
12. 若正比例函数x m y )21(-=的图像经过点A （1x ，1y ）和点B （2x ，2y ），当1x ＜2x 时1y ＞2y ，则m 的取值范围是 .13. 已知函数m x y +-=与4-=mx y 的图像的交点在x 轴的负半轴上，那么m 的值为 .14. 函数y = kx + 1与函数x y =在同一坐标系中的大致图象是（ ）30OO时间／小时3333333332222222224211812963二、解答题：15. 已知y －1与x 成正比例，且x ＝2时，y ＝5，写出y 与x 之间的函数关系式；当x ＝－1时，求y 的值；当y ＝0时，求x 的值。
正比例函数、一次函数、反比例函数知识点总结
正比例函数、一次函数、反比例函数的性质及图象一、正比例函数性质和图象：概念：一般地，形如 (k是常数，且k≠0 )的函数，叫做正比例函数。
当k＞0时，图象过象限； y随x的增大而。
当k＜0时,图象过象限； y随x的增大而。
二、一次函数的性质和图象：概念：一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，且k≠0 )的函数，叫做一次函数。
图像和性质：①k>0,b>O,则图象过象限②k>0,b<0,则图象过象限当k＞0时， y随x的增大而。
③k<0,b>0,则图象过象限④k<0,b<0,则图象过象限当k＜0时, y随x的增大而。
三、反比例函数性质和图象：1.定义：形如（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。
其他形式2.图像：反比例函数的图像是双曲线。
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
3.性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于，在每个象限内y值随x值的增大而减小。
当k＜0时双曲线的两支分别位于，在每个象限内y值随x 值的增大而增大。
4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
练习题1、若y =(m －1)x22m -是正比例函数，则m 的值为（ ） A 、1 B 、－1C 、1或－1D 、2或－2 2、下列函数中，一次函数为（ ）A 、25y x = B ．25y x =－1 C ．245y x = D ．25y x=-3、下列函数中，反比例函数是（ ）A 、y=x+1B 、y=C 、=1D 、3xy=24、正比例函数y=kx （k ≠0）函数值y 随x 的增大而增大，则y=kx+k 的图象大致是（ ）5、直线443--=x y 与两坐标轴围成的三角形面积是（ ） A 3 B 4 C 12 D 66、函数y 1=kx 和y 2=的图象如图，自变量x 的取值范围相同的是（ ）7、若点A(x1,1)、B(x2,2)、C(x3,－3)在双曲线上，（）A、x1>x2>x3B、x1>x3>x2C、x3>x2>x1D、x3>x1>x28、已知一次函数y=ax+b图象在一、二、三象限，则反比例函数y=的函数值随x的增大而__________。
初三总复习：一次函数与反比例函数
初三总复习：一次函数与反比例函数姓名：__________________【知识点一】一次函数1．正比例函数的一般形式是______________．一次函数的一般形式是_______________________.2.用待定系数法确定函数的表达式.3．一次函数y kx b =+的增减性: 当k>0时, y 随x 增大而增大; 当k<0时，y 随x 增大而减小。
4.一次函数y kx b =+的图象:(1) k 0 ; b 0. (2) k 0 ; b 0. (3) k 0 ; b 0. (4) k 0 ; b 0. 第 象限 第 象限 第 象限 第 象限【练习一】1.若点P(a,b)在第四象限，则点Q(-a,b-1)在（ ）。
A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限2.在平面直角坐标系中，若点p(x -2,x )在第二象限，则x 的取值范围为（ ）。
A 、0＜x ＜ 2B 、x ＜2C 、x ＞0D 、x ＞23.下列函数：①x y 2=；②2xy =；③12+=x y ；④122+=x y ，其中一次函数的个数是（ ）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个4.一次函数y=3x-4的图象不经过（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限5.点),1(1y -，),2(2y 在直线121+=x y 上，则21,y y 大小关系是（ ）A 、21y y >B 、21y y =C 、21y y <D 、21y y ≤6.点),(111y x P ，点),(222y x P 是一次函数34+-=x y 图象上的两个点，且21x x <，则1y 与2y 的大小关系是（） A 、21y y > B 、021>>y y C 、21y y < D 、21y y =7.图象经过点（1，2）的正比例函数的表达式为______________________;8.一次函数y=(2m-6)x+5中，y 随x 增大而减小，则m 的取值范围是_________________;9.一次函数y=2x-1的图象大致是（ ）10.直线323+-=x y 与x 轴、y 轴所围成的三角形的面积为（ ）A 、3B 、6C 、43D 、23【知识点二】1、 反比例函数的概念：形如y=__________________的函数叫做反比例函数。
初中一次函数、反比例函数知识点汇总
一次、反比例、二次函数一、正比例函数和一次函数1、正比例函数：形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数。
2、一次函数的概念：如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。
3、一次函数的性质：一般地，一次函数b kx y +=有下列性质：（1）当k>0时，y 随x 的增大而增大（2）当k<0时，y 随x 的增大而减小（3）必过点：（0，b ）和（-kb ，0） （4）|k|越大，图象越接近于y 轴，|k|越小，图象越接近于x 轴.（5）k 为直线的斜率：1212tan x x y y k --==α ， b 为直线在y 轴上的截距 4、直线方程：一般式：一般直线方程 ax+by+c=0两点式：由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式:点斜式：知道一点与斜率)(11x x k y y -=- 斜截式：斜截式方程，简称斜截式: y ＝kx ＋b (k ≠0)截距式：由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：1=+by a x 5、设两条直线分别为，1l ：11y k x b =+ 2l ：22y k x b =+（1）、若两直线平行，则有1212//l l k k ⇔=且12b b ≠。
（2）、若两直线垂直，则有12121l l k k ⊥⇔⋅=-（3）、若两直线重合：k 1=k 2且b 1=b 26、点P （x 0，y 0）到直线 ax+by+c=0 的距离是7、两点间距离公式：点A 坐标为（x 1，y 1）点B 坐标为（x 2，y 2），则AB 间的距离即线段AB 的长度为()()221221y y x x -+-8、中点坐标公式：若A ),(11y x 、B ),(22y x ，而 M 是AB 的中点，则M 点的坐标为(212x x + , 212y y +) 二、反比例函数1、反比例函数的概念：一般地，函数xk y =（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。
中考数学复习 查补重难点 反比例函数与一次函数的综合运用(原卷版)
查补重难点03反比例函数与一次函数的综合运用考点一：反比例函数与一次函数综合反比例函数与一次函数进行综合考查的题型是江苏历年中考数学对于函数考查的重点内容，那么关于反比例函数与一次函数的综合专题当中，我们主要涉及到函数共存问题，交点和不等式（比大小）问题、最值问题以及与几何综合压轴类的题型。
无论是哪一类型的题型，在综合的考察过程当中都是对于反比例函数与一次函数的图像和性质有充分的了解，借助数形结合思想、方程思想、化归思想等。
通过函数的图像来得到我们所需要的求解问题。
在这过程当中，如果对于这两类函数没有全面的了解，那么在解题过程当中就要花费大家很多的时间而导致其解题效率的降低，那么在解决这三大类型的提醒过程当中，该如何利用这些函数的性质来进行解题，该专题可供大家在备考阶段能够进行专项的突破。
题型1.反比例函数和一次函数图像共存问题函数图象共存问题是一次函数和反比例函数当中含有共同的参数，根据分类讨论的形式，由函数的图像特点来判定符合两个函数参数的图形。
解决这类型的题不仅是反比例函数和一次函数进行综合考查，连同二次函数在内的题型进行考查也是比较常见的，所以解决这类型的问题时，我们先要根据一次函数或反比例函数中参数的共性，通过分别进行讨论的形式逐一进行排除，最终确定满足要求的函数图像。
．B ．．．变式1.（2023年湖北省襄阳市中考数学真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数y kx =k x的图象可能是（）．B ．C ．D ．变式2.（2022·广西·中考真题）已知反比例函数(0)b y b x=≠的图象如图所示，则一次函数()0y cx a c =-≠和二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．题型2.反比例函数和一次函数的交点问题一次函数图像与反比例函数相关问题，牵扯到的知识点比较多，如求它们的函数解析式，或是通过两者的图像相交，需要考生结合两个函数解析式转化成一元二次方程，从而求得交点坐标等。
中考专题--一次函数、正比例与反比例函数-带答案
2009中考专题复习— 一次函数考点解读考点扫描：1. 理解一次函数和正比例函数的概念，理解它们的意义.2. 会画正比例和一次函数的图象，能够根据图象求特定的x 对应的函数值.3. 理解待定系数法，会用待定系数法求正比例和一次函数的解析式.4. 理解一次函数和正比例函数的图象和性质，理解它们在在实际应用中的意义.能用一次函数解决生产、生活中的实际问题.试题特点：一次函数是初中函数的重点内容之一，也是中考重点考查部分，分析近年来中考试卷，这部分内容出现在各种题形中，试题难度低、中、高档题都可能出现 题量约占总题量的10%左右命题趋势：据近几年中考对这部分的考查可以看到：一是能否准确把握概念，能否准确的从图象上读取相关信息，二是能否把握一次函数的性质及利用性质解决问题，三是能否与其它知识结合，利用数形结合和方程思想解决综合类问题.一次函数常与反比例函数和二次函数的结合作为压卷题.复习建议：把握一次函数的图象和性质，建立数形结合的意识，注意与反比例函数、二次函数的结合，加强配套练习，提高应变能力.考点一：一次函数的概念.例题.（2007泸州市）某市出租车计费标准如下：行驶路程不超过3千米时，收费8元；行驶路程超过3千米的部分，按每千米1.60元计费。
（1）求出租车收费y （元）与行驶路程x （千米）之间的函数关系式；（2）若某人一次乘出租车时，付出了车费14.40元，求他这次乘坐了多少千米的路程？思路点拨：一次函数是形如)0(≠+=k b k b kx y 为常数，的函数，特别的当0=b 时函数为)0(≠=k kx y ，叫正比例函数.解析：（1）x 千米中前3米收费8元，超过3米部分)3(-x 米每千米1.60元，所以)3(6.18-+=x y ，即2.36.1+=x y . （2）当40.14=y 时，40.142.36.1=+x ，解得7=x ，他乘坐了7千米的路程.规律总结：一次函数的解析式主要的确定k 和b.在应用问题中常建立等式与列方程的思路相似.[针对训练]：1.（2008泸州市）如图，在平面直角坐标系中，点P (),x y 是第一象限直线6y x =-+上的点，点A ()5,0，O 是坐标原点，△PAO 的面积为s⑴求s 与x 的函数关系式⑵当10x =时，求POA tan ∠的值2.（2006四川 遂宁市）有一种笔记本原售价为每8元,本打九折、9～16本打八五折、17～25本打八折、超过25本打七五折.乙商场用如下办法促销:购买本数(本) 1～ 5 6～10 11～12 超过20 每本价格(元)7.607.206.406.00①.请仿照乙商场的促销列表,列出甲商场促销笔记本的购买本数与本价格的对照表②.某学校有A 、B 两个班都需要买这种笔记本,A 班需要8本,B 班需要15本,问他们到哪家商场购买花钱较少?③设某班需要购买这种笔记本本数为x 且9 ≤x ≤40,总花费为y 元,从最省钱的角度出发,写出y 与x 的函数关系式.考点二 一次函数的图象例题.（2007巴中市）函数(0)y kx k k =+≠在直角坐标系中的图象可能是（ ）思路点拨：一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象是一条直线，图象位置由k,b 确定，0>k 直线要经过一、三象限，0<k 直线必经过二、四象限，0>b 直线与y 轴的交点在正半轴上，0<b 直线与y 轴的交点在负半轴上.解析：函数(0)y kx k k =+≠中k 正负是不能确定的，但0>k ，所以直线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，排除答案A 、C ，又因为0≠k ，所以直线不经过原点，排除 D ，所以选B .规律总结：对于不确定一次函数的图象，要对k,b 进行分类讨论，排除干扰选项，选出正确答案. [针对训练]：1.(2008福建省福州市)一次函数21y x =-的图象大致是（ ）2.（2008上海市）在平面直角坐标系中，直线1y x =+经过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限考点三 一次函数的性质.OxyOxyOxyyxOB ．Ｄ．警钟提醒：一次函数)0(≠+=k b kx y 与x,y 轴的交点很重要！例题.(2007广安市)如图，直线l 上有一动点P （x, y ），则y 随x 的增大而_____________。
一次函数、正比例函数、反比例函数
1、正比例函数一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.正比例函数的图像经过（0,0 ）和（1,k）的一条直线2、一次函数一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次（x的指数是1）函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以正比例函数是特殊的一次函数.一次函数的图象经过（0，b）和两点的一条直线3、直线y=kx＋b的图象和性质与k、b的关系如下表所示：b>0 b<0 b=0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限k>0图象从左到右上升，y随x的增大而增大经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限k<0图象从左到右下降，y随x的增大而减小5、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.6、直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2的位置关系当k1≠k2时，l1与l2相交，交点是(0，b）7、反比例函数（1）定义：一般地，形如x k y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。
xk y =还可以写成kx y =1- 8、反比例函数的图像是双曲线轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）9、反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线xk y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。
10、反比例函数性质如下表：k 的取值图像所在象限 函数的增减性 o k >一、三象限 在每个象限内，y 值随x 的增大而减小 o k <二、四象限 在每个象限内，y 值随x 的增大而增大练习 （1）若函数y=(k ＋1)x ＋k 2－1是正比例函数，则k 的值为（ ）A ．0B ．1C ．±1D ．－1（3）当m=_______时，函数是一次函数.（4）.函数y =ax +b 与y =bx +a 的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ）（5）一次函数 y=(6-3m)x ＋(2n －4)不经过第三象限，则m 、n 的范围是__________。
第14课正比例反比例一次函数
第14课正比例反比例一次函数一、正比例关系的一次函数正比例关系是指两个变量之间的关系成比例关系，即一个变量的增加或减少导致另一个变量以相同的比例增加或减少。
正比例关系可以用一次函数进行表示。
假设变量x和变量y之间存在正比例关系，那么可以表示为：y=kx，其中k是比例系数，表示y和x之间的比例关系。
以实例来说明：例1：家庭的水费与用水量成正比，当用水量为10立方米时，水费为50元，如果用水量增加到20立方米，求此时的水费。
解：由题目可知，水费与用水量成正比。
设水费为y，用水量为x，则有y=kx。
当x=10时，y=50，可以得到一个方程：50=k*10，解得k=5、所以此时的比例系数为5、用水量增加到20立方米时，此时的水费为y=5*20=100元。
例2：商品的单价是50元/件，如果购买3件该商品，需要支付多少钱？解：由题目可知，商品的单价与购买数量成正比。
设购买数量为x，支付金额为y，则有y=kx。
购买3件商品时，此时的单价是50元/件，可以得到一个方程：3*k=50，解得k=50/3、所以此时的比例系数为50/3、购买3件商品需要支付的金额为y=(50/3)*3=50元。
对于正比例关系的一次函数，我们可以根据已知的条件，求解未知的变量的值。
二、反比例关系的一次函数反比例关系是指两个变量之间的关系成反比例关系，即一个变量的增加或减少导致另一个变量以相反的比例增加或减少。
反比例关系可以用一次函数进行表示。
假设变量y和x之间存在反比例关系，那么可以表示为：y=k/x，其中k是比例系数，表示y和x之间的反比例关系。
以实例来说明：例3：工人的工作效率与完成工作所需时间成反比，一些工人需要10小时完成一项工作，那么如果他的工作效率提高到原来的2倍，他只需要多长时间完成同样的工作？解：由题目可知，工作效率与完成工作所需时间成反比。
设工作效率为y，完成工作所需时间为x，则有y=k/x。
当x=10时，y=1，可以得到一个方程：1=k/10，解得k=10。
中考数学专题复习《一次函数与反比例函数综合》知识点梳理及典例讲解课件
＝ x－3的图象与x轴交于点B，∴
点B的坐标为
（ 2 ， 0 ） .∴ AB ＝ （ − ） ＋（ − ） ＝
.∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC＝ ，
AB∥CD.∴
＝
.
S△ABE＝S△ABC＝ BC·AH＝ ×
（1） 求k，m的值.
解：（1）
将A（m，2）代入y＝ ，得2m＝6，∴
m
＝3.∴ 点A（3，2）.将（3，2）代入y＝kx，得2＝
3k，∴
k＝ .
（2） 在图中画出正比例函数y＝kx的图象，并根据图象，写出正比例函
数值大于反比例函数值时x的取值范围.
解：（2） 画出正比例函数y＝kx的图象如图所示.正
A.
B.
C.
D.
考点二
典例2
函数图象的交点坐标
（2023·滁州定远模拟）已知正比例函数y＝ax与反比例函数y＝
的图象交于点A（m，n），则这两个函数图象的另一个交点为（ D ）
A. （b，a）
B. （－a，b）
C. （m，－n）
D. （－m，－n）
典例3
6
（2023·安徽模拟）若函数y＝ 与y＝x＋1的图象交于点A（a，
比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围是－3
＜x＜0或x＞3.
典例7图答案
典例8 （2023·天长三模）如图，一次函数y＝ax＋b（a，b为常数，且
a≠0）的图象分别交x轴、y轴于A，B两点，交反比例函数y＝ （k≠0，
3
x＜0）的图象于第三象限的点C，且AB＝AC，△AOB的面积为 .