浙江专版2020届高考数学一轮复习单元检测十计数原理单元检测含解析

单元检测十计数原理(时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．3个单位从4名大学毕业生中选聘工作人员，若每个单位至少选聘1人(4名大学毕业生不一定都能被选聘上)，则不同的选聘方法的种数为( )A．60B．36C．24D．42答案 A解析当4名大学毕业生都被选聘上时，则有C24A33＝6×6＝36(种)不同的选聘方法；当4名大学毕业生有3名被选聘上时，则有A34＝24(种)不同的选聘方法．由分类加法计数原理，可得不同的选聘方法种数为36＋24＝60，故选A.2．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字，且大于3000的四位数，则这样的四位数有( ) A．250个B．249个C．48个D．24个答案 C解析先考虑四位数的首位，当排数字4,3时，其他三个数位上可从剩余的4个数中任选3个进行全排列，得到的四位数都满足题设条件，因此依据分类加法计数原理，可得满足题设条件的四位数共有A34＋A34＝2A34＝2×4×3×2＝48(个)，故选C.3．有四支足球队进行单循环比赛(每两队比赛一场)，每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各1分．比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则比赛中可能出现的最少的平局场数是( )A．0B．1C．2D．3答案 B解析四支队得分总和最多为3×6＝18，若没有平局，又没有全胜的队，则四支队的得分只可能有6,3,0三种选择，必有两队得分相同，与四队得分各不相同矛盾，所以最少平局场数是1，如四队得分为7,6,3,1时符合题意，故选B.4．某班上午有5节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各1节课，要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学不排在第一节课，则不同的排课法的种数是( ) A．16B．24C．8D．12答案 A解析根据题意分3步进行分析：①要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有A22＝2(种)情况；②将这个整体与英语全排列，有A22＝2(种)情况，排好后，有3个空位；③数学课不排在第一节，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方法有2×2＝4(种)，则不同的排课法的种数是2×2×4＝16，故选A.5．某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告，2个不同的两会宣传片，1个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且两会宣传片与公益广告不能连续播放，2个两会宣传片也不能连续播放，则不同的播放方式的种数是( )A．48B．98C．108D．120答案 C解析首选排列3个商业广告，有A33种结果，再在3个商业广告形成的4个空中排入另外3个广告，注意最后一个位置的特殊性，共有C13A23种结果，故不同的播放方式的种数为A33C13A23＝108.6．C03＋C14＋C25＋C36＋…＋C1720的值为( )A．C321B．C320C．C420D．C421答案 D解析C03＋C14＋C25＋C36＋…＋C1720＝C04＋C14＋C25＋C36＋…＋C1720＝C15＋C25＋C36＋…＋C1720＝C26＋C36＋…＋C1720＝…＝C1721＝C421，故选D.7．在(1＋x－x2)10的展开式中，x3的系数为( )A．10B．30C．45D．210答案 B解析(1＋x－x2)10表示10个1＋x－x2相乘，x3的组成可分为3个x或1个x2,1个x组成，故展开式中x3的系数为C310＋(－1)·C110·C19＝120－90＝30，故选B.8．某班班会准备从包含甲、乙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人至少有1人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言的顺序不能相邻，那么不同发言顺序的种数为( ) A．720B．520C．600D．360答案 C解析分两种情况讨论：若甲、乙2人只有1人参加，有C12C35A44＝480(种)情况；若甲、乙2人都参加且发言的顺序不相邻，有C22C25A22A23＝120(种)情况，则不同发言顺序的种数为480＋120＝600.9．设集合A＝{(x1，x2，x3，x4)|x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4}，那么集合A中满足条件“x21＋x22＋x23＋x24≤4”的元素个数为( )A．60B．65C．80D．81答案 D解析由题意可得x21＋x22＋x23＋x24≤4成立，需要分五种情况讨论：①当x 21＋x 22＋x 23＋x 24＝0时，只有1种情况，即x 1＝x 2＝x 3＝x 4＝0； ②当x 21＋x 22＋x 23＋x 24＝1时，即x 1＝±1，x 2＝x 3＝x 4＝0，有2C 14＝8种； ③当x 21＋x 22＋x 23＋x 24＝2时，即x 1＝±1，x 2＝±1，x 3＝x 4＝0，有4C 24＝24种； ④当x 21＋x 22＋x 23＋x 24＝3时，即x 1＝±1，x 2＝±1，x 3＝±1，x 4＝0，有8C 34＝32种； ⑤当x 21＋x 22＋x 23＋x 24＝4时，即x 1＝±1，x 2＝±1，x 3＝±1，x 4＝±1，有16种， 综合以上五种情况，则总共有81种，故选D.10．已知关于x 的等式x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4＝(x ＋1)4＋b 1(x ＋1)3＋b 2(x ＋1)2＋b 3(x ＋1)＋b 4，定义映射f ：(a 1，a 2，a 3，a 4)→(b 1，b 2，b 3，b 4)，则f (4,3,2,1)等于( )A ．(1,2,3,4)B ．(0,3,4,0)C ．(0，－3,4，－1)D ．(－1,0,2，－2)答案 C解析 因为x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4＝[(x ＋1)－1]4＋a 1[(x ＋1)－1]3＋a 2[(x ＋1)－1]2＋a 3[(x ＋1)－1]＋a 4，所以f (4,3,2,1)＝[(x ＋1)－1]4＋4[(x ＋1)－1]3＋3[(x ＋1)－1]2＋2[(x＋1)－1]＋1，所以b 1＝C 14(－1)＋4C 03＝0，b 2＝C 24(－1)2＋4C 13(－1)＋3C 02＝－3，b 3＝C 34(－1)3＋4C 23(－1)2＋3C 12(－1)＋2＝4，b 4＝C 44(－1)4＋4C 33(－1)3＋3C 22(－1)2＋2(－1)＋1＝－1，故选C.第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11．若C 2n A 22＝42，则n ！3！(n －3)！＝________.答案 35 解析 由n (n －1)2×2＝42，解得n ＝7，所以n ！3！(n －3)！＝7！3！4！＝35.12．(2018·嘉兴市期末测试)已知(1－x )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，则x 2项的二项式系数是________；|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝________. 答案 15 64解析 二项式(1－x )6的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 6(－x )k ＝(－1)k C k 6x k ，令k ＝2得x 2项的二项式系数为C 26＝15.由二项展开式的通项公式得x 的奇数次幂的项的系数小于零，偶数次幂的项的系数大于零， 则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＋|a 6|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6，则在(1－x )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6中，令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6＝[1－(－1)]6＝64.13．(2018·浙江名校联盟联考)已知⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式中含32x 的项的系数为30，则实数a＝________，展开式的第3项是________． 答案 －6 36012x解析 ⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式的通项 T k ＋1＝C k5(x )5－k·⎝⎛⎭⎪⎫－a x k ＝(－a )k C k 552k x -，当52－k ＝32时，k ＝1.∴(－a )1C 15＝－5a ＝30，∴a ＝－6. 第3项为T 3＝C 25(x )5－2⎝⎛⎭⎪⎫－－6x 2＝C 256212x ＝36012x .14．(2019·台州市期末质量评估)若(x 2－2x －3)n的展开式中所有项的系数之和为256，则n ＝________，含x 2项的系数是________．(用数字作答) 答案 4 108解析 令x ＝1，则有(－4)n＝256，解得n ＝4， 所以(x 2－2x －3)n ＝(x 2－2x －3)4＝(x －3)4(x ＋1)4，所以x 2项的系数是C 24(－3)2＋C 24×(－3)4＋C 34×(－3)3×C 34＝108.15．(2018·绍兴市嵊州高考适应性考试)已知多项式(x ＋b )5＝(x －1)5＋a 1(x －1)4＋a 2(x －1)3＋a 3(x －1)2＋a 4(x －1)－32，则b ＝________，a 2＝________. 答案 －3 40解析 设x ＝1，则(1＋b )5＝－32，解得b ＝－3； 因为(x ＋b )5＝(x －3)5＝[(x －1)－2]5， 所以a 2＝C 25·(－2)2＝40.16．(2018·丽水、衢州、湖州三地质检)现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4人．从中选出4人负责“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语翻译，共有________种不同的选法． 答案 60解析 不选只会俄语的，有C 03·C 24C 22A 22·A 22＝6种选法；选1名只会俄语的，有(C 13·C 14)·C 23＝36种选法；选2名只会俄语的，有C 23·C 24＝18种选法，所以共有60种不同的选法． 17．有6张卡片分别写有数字1,1,1,2,3,4，从中任取3张，可排出不同的三位数的个数是________．(用数字作答) 答案 34解析 当取出的3张卡片中不含写有数字1的卡片时，只有1种取法，可构成A 33个不同的三位数；当取出的3张卡片中，含1张写有数字1的卡片时，有C 23种取法，可构成C 23A 33个不同的三位数；当取出的3张卡片中，含2张写有数字1的卡片时，有C 13种取法，可构成C 13A 33A 22个不同的三位数；当取出的3张卡片都为写有数字1的卡片时，有1种取法，只能构成1个三位数．综上所述，构成的不同的三位数共有A33＋C 23A 33＋C 13A 33A 22＋1＝34(个)．三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(14分)有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，共有多少种不同的排法？ 解 ∵前排中间3个座位不能坐， ∴实际可坐的位置前排8个，后排12个．(1)两人一个前排，一个后排，方法数为C 18·C 112·A 22； (2)两人均在后排左右不相邻，方法数为A 212－A 22·A 111＝A 211； (3)两人均在前排，又分两类：①两人一左一右，方法数为C 14·C 14·A 22； ②两人同左或同右，方法数为2(A 24－A 13·A 22)．综上，不同的排法种数为C 18·C 112·A 22＋A 211＋C 14·C 14·A 22＋2(A 24－A 13·A 22)＝346.19．(15分)已知m ，n ∈N *，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 的展开式中x 的系数为19，求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数．解 由题设知，m ＋n ＝19.又m ，n ∈N *，∴1≤m ≤18， ∴x 2的系数为C 2m ＋C 2n ＝12(m 2－m )＋12(n 2－n )＝m 2－19m ＋171.∴当m ＝9或10时，x 2的系数取最小值81，此时x 7的系数为C 79＋C 710＝156.20．(15分)某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多)，要在如图所示的6个点A ，B ，C ，A 1，B 1，C 1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，求每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法的种数．解 第一步，在点A 1，B 1，C 1上安装灯泡，A 1有4种方法，B 1有3种方法，C 1有2种方法，则共有4×3×2＝24(种)方法．第二步，从A ，B ，C 中选一个点安装第4种颜色的灯泡，有3种方法． 第三步，再给剩余的两个点安装灯泡，有3种方法．由分步乘法计数原理可得，安装方法共有4×3×2×3×3＝216(种)．21．(15分)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n 的展开式的各项系数之和等于⎝⎛⎭⎪⎫43b －15b 5的展开式中的常数项，求：(1)展开式的二项式系数和； (2)展开式中a －1项的二项式系数． 解 依题意，令a ＝1，得⎝⎛⎭⎪⎫3a －3a n 展开式中各项系数和为(3－1)n ＝2n，⎝⎛⎭⎪⎫43b －15b 5展开式中的通项为T k ＋1＝C k5(43b )5－k⎝⎛⎭⎪⎫－15b k ＝(－1)k C k 545－k·25k-·1056k b -.若T k ＋1为常数项，则10－5k6＝0，即k ＝2，故常数项为T 3＝(－1)2C 25·43·5－1＝27， 于是有2n＝27，得n ＝7. (1)⎝⎛⎭⎪⎫3a －3a n展开式的二项式系数和为2n ＝27＝128. (2)⎝⎛⎭⎪⎫3a －3a 7的通项为T k ＋1＝C k 7⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 7－k ·(－3a )k＝C k 7(－1)k ·37－k·5216k a-，令5k －216＝－1，得k ＝3，∴所求a －1项的二项式系数为C 37＝35.22．(15分)已知a ，b ，c ∈{－2,0,1,2,3}，且a ，b ，c 互不相同，则对于方程ay ＝b 2x 2＋c 所表示的曲线中不同的抛物线共有多少条？解 将方程ay ＝b 2x 2＋c 变形可得x 2＝ab 2y －c b2，若表示抛物线，则a ≠0且b ≠0，所以分b ＝－2,1,2,3四种情况：①当b ＝－2时，⎩⎪⎨⎪⎧ 若a ＝1，则c ＝0，2，3，若a ＝2，则c ＝0，1，3，若a ＝3，则c ＝0，1，2，当a b 2＝14时，c b 2＝0，12，34； 当a b 2＝12时，c b 2＝0，14，34； 当a b 2＝34时，c b 2＝0，14，12. ②当b ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧ 若a ＝－2，则c ＝0，1，3，若a ＝1，则c ＝－2，0，3，若a ＝3，则c ＝－2，0，1，当a b 2＝－12时，c b 2＝0，14，34； 当a b 2＝14时，c b 2＝－12，0，34； 当a b 2＝34时，c b 2＝－12，0，14. ③当b ＝1时，⎩⎪⎨⎪⎧ 若a ＝－2，则c ＝0，2，3，若a ＝2，则c ＝0，－2，3，若a ＝3，则c ＝0，－2，2.④当b ＝3时，⎩⎪⎨⎪⎧若a ＝－2，则c ＝0，1，2，若a ＝1，则c ＝－2，0，2，若a ＝2，则c ＝－2，0，1.由于b ＝－2或b ＝2时，b 2＝4，①与②中有4条重复的抛物线，所以方程ay ＝b 2x 2＋c 所表示的曲线中不同的抛物线共有9×2－4＋9×2＝32(条)．。