3.3三角函数的图象和性质
三角函数的图像及性质
三角函数的图像及性质三角函数是数学中重要的一类函数，它们在几何、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
本文将探讨三角函数的图像及其性质，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数（Sine Function）正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，表示为sin(x)，其中x为自变量，表示角度。
正弦函数的图像是一条连续的曲线，其值在-1到1之间变化。
当自变量x为0时，正弦函数的值为0，而当自变量为90度或π/2时，正弦函数的值达到最大值1。
正弦函数的图像是一条周期性的波形曲线，每个周期的长度为360度或2π。
在图像上，正弦函数的曲线在自变量为0、180度、360度等处穿过x轴，并在自变量为90度、270度等处达到最大值或最小值。
余弦函数（Cosine Function）余弦函数是三角函数中另一个重要的函数，表示为cos(x)。
余弦函数的图像也是一条连续的曲线，其值同样在-1到1之间变化。
当自变量x为0时，余弦函数的值为1，而当自变量为90度或π/2时，余弦函数的值为0。
余弦函数的图像也是一条周期性的波形曲线，每个周期的长度同样为360度或2π。
在图像上，余弦函数的曲线在自变量为90度、270度等处穿过x轴，并在自变量为0、180度、360度等处达到最大值或最小值。
正切函数（Tangent Function）正切函数是三角函数中最复杂的函数，表示为tan(x)。
正切函数的图像是一条连续的曲线，其值可以取任意实数。
正切函数的图像在自变量为0度时，函数值为0，而在自变量为90度或π/2时，正切函数的值趋近于无穷大。
正切函数的图像也是周期性的，每个周期的长度为180度或π。
在图像上，正切函数的曲线在自变量为0度、180度、360度等处穿过x轴，并在自变量为45度、225度等处达到最大值或最小值。
三角函数的性质除了图像外，三角函数还具有一些重要的性质。
1. 周期性：正弦函数、余弦函数和正切函数都是周期性的，周期分别为360度或2π、360度或2π、180度或π。
常见三角函数图像总结
常见三角函数图像总结
一、正弦函数的图像特征
正弦函数是最常见的三角函数之一，其图像特征如下：
•周期性：正弦函数的周期为$2\\pi$，即在$[0, 2\\pi]$区间上完整呈现一个周期。
•奇函数性质：正弦函数关于原点对称，即f(f)=−f(−f)。
•取值范围：正弦函数的值域在[−1,1]之间。
二、余弦函数的图像特征
余弦函数是另一种常见的三角函数，其图像特征如下：
•周期性：余弦函数的周期也为$2\\pi$，与正弦函数一样。
•偶函数性质：余弦函数关于f轴对称，即f(f)= f(−f)。
•取值范围：余弦函数的值域同样在[−1,1]之间。
三、正切函数的图像特征
正切函数是三角函数中的另一个重要函数，其图像特征包括：
•周期性：正切函数的周期为$\\pi$，在$[0, \\pi]$区间内完成一个周期。
•奇函数性质：正切函数也是一个奇函数，即f(f)=−f(−f)。
•渐进性质：正切函数在其定义域内无限多个渐近线。
四、三角函数的图像变换
除了原始的正弦、余弦和正切函数外，这些函数还可以通
过图像的平移、伸缩和反转等方式进行变换。
其中：
•平移变换：将函数图像沿f轴或f轴平移。
•伸缩变换：改变函数图像的振幅、频率或其它参数。
•反转变换：关于f轴或f轴进行反转，改变函数图像的对称性。
综上所述，三角函数的图像总结包括正弦函数、余弦函数
和正切函数的特征，以及它们的基本变换。
深入了解这些函数的图像特性对于理解三角函数在数学和物理中的应用具有重要意义。
高中数学 第三章 三角函数 3.3 三角函数的图像与性质 3.3.1 正弦函数、余弦函数的图象与性质
3.3.1 正弦函数、余弦函数的图象与性质(二)[学习目标] 1.掌握y ＝sin x 与y ＝cos x 的定义域，值域，最值、单调性、奇偶性等性质，并能解决相关问题.2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．[知识链接]1．观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？答 正弦函数y ＝sin x 的图象关于原点对称，余弦函数y ＝cos x 的图象关于y 轴对称． 2．上述对称性反映出正弦、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？ 答 正弦函数是R 上的奇函数，余弦函数是R 上的偶函数．根据诱导公式得，sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x 均对一切x ∈R 恒成立．3．观察正弦曲线和余弦曲线，正弦、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？答 正弦、余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1. [预习导引]正弦函数、余弦函数的性质(下表中k ∈Z )： 函数 y ＝sin x y ＝cos x图象定义域 R R 值域 [－1,1][－1,1]对称轴x ＝k π＋π2x ＝k π对称中心 (k π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 奇偶性 奇函数偶函数单调递增⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π[]－π＋2k π，2k π 单调递减⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π []2k π，π＋2k π最值在x ＝π2＋2k π时，y max ＝1；在x ＝－π2在x ＝2k π时，y max ＝1；在x ＝π＋2k π要点一 求正弦、余弦函数的单调区间例1 求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间． 解 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z .因为z 是x 的一次函数，所以要求y ＝－2sin z 的递增区间， 即求sin z 的递减区间，即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z )．∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )．规律方法 用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．再将最终结果写成区间形式．跟踪演练1 求下列函数的单调递增区间：(1)y ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ；(2)y ＝log 12cos x .解 (1)y ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.令u ＝x －π6，则根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是y ＝sin u 的单调递减区间，即2k π＋π2≤u ≤2k π＋32π(k ∈Z )，亦即2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )．亦即2k π＋23π≤x ≤2k π＋53π(k ∈Z )，故函数y ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋23π，2k π＋53π(k ∈Z )．(2)由cos x >0，得2k π－π2<x <2k π＋π2，k ∈Z .∵0＜12<1，∴函数y ＝log 12cos x 的单调递增区间即为u ＝cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )的递减区间，∴2k π≤x <2k π＋π2，k ∈Z .故函数y ＝log 12cos x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2(k ∈Z )． 要点二 正弦、余弦函数的单调性的应用例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10；(2)sin196°与cos156°；(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 解 (1)∵－π2<－π10<－π18<π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.(2)sin196°＝sin(180°＋16°)＝－sin16°， cos156°＝cos(180°－24°)＝－cos24°＝－sin66°， ∵0°<16°<66°<90°，∴sin16°<sin66°； 从而－sin16°>－sin66°，即sin196°>cos156°.(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos 235π＝cos(4π＋35π)＝cos 35π， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4.∵0<π4<35π<π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 35π<co s π4，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 规律方法 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小． 跟踪演练2 比较下列各组数的大小．(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π； (2)cos870°与sin980°.解 (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫16π＋π3＝sin π3，∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6<sin π3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π<sin 493π. (2)cos870°＝cos(720°＋150°)＝cos150°，sin980°＝sin(720°＋260°)＝sin260°＝sin(90°＋170°)＝cos170°， ∵0°<150°<170°<180°，∴cos150°>cos170°，即cos870°>sin980°. 要点三 求正弦、余弦函数的最值(值域)例3 (1)求函数y ＝3－2sin x 取得最大值、最小值时的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值；(2)求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的值域．解 (1)∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，y 取得最大值5，相应的自变量x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y 取得最小值1，相应的自变量x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋π2，k ∈Z .(2)令t ＝sin x ，y ＝f (t )，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴12≤sin x ≤1，即12≤t ≤1. ∴y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－1，∴1≤y ≤72，∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，72.规律方法 (1)形如y ＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b )的函数的最值或值域问题，利用正弦、余弦函数的有界性(－1≤sin x ，cos x ≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x 的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．(2)求解形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (或y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c )，x ∈D 的函数的值域或最值时，通过换元，令t ＝sin x (或cos x )，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t ＝sin x (或cos x )的有界性．跟踪演练3 已知0≤x ≤π2，求函数y ＝cos 2x －2a cos x 的最大值M (a )与最小值m (a )．解 设cos x ＝t ， ∵0≤x ≤π2，∴0≤t ≤1.∵y ＝t 2－2at ＝(t －a )2－a 2，∴当a <0时，M (a )＝1－2a ，m (a )＝0； 当0≤a ≤12时，M (a )＝1－2a ，m (a )＝－a 2；当12<a <1时，M (a )＝0，m (a )＝－a 2； 当a ≥1时，M (a )＝0，m (a )＝1－2a . 综上，M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ， a ≤12，0，a >12，m (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧0， a <0，－a 2，0≤a <1，1－2a ，a ≥1.要点四 三角函数的奇偶性 例4 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2；(2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )； (3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x .解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ，f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x ＞0，1＋sin x ＞0，得－1＜sin x ＜1.解得定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .∴f (x )的定义域关于原点对称． 又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x ) ∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )] ＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1， ∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z .∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．规律方法 判断函数奇偶性，要先判断函数的定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的前提条件，然后再判断f (－x )与f (x )之间的关系． 跟踪演练4 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2·sin x ；(2)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1. 解 (1)f (x )＝sin2x ＋x 2sin x ，又∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－2x )＋(－x )2sin(－x )＝ －sin2x －x 2sin x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，2cos x －1≥0，得cos x ＝12.∴f (x )＝0，x ＝2k π±π3，k ∈Z .∴f (x )既是奇函数又是偶函数.1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的一个递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B ．[－π，0]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23π，23πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，23π答案 D解析 由π2≤x ＋π6≤32π解得π3≤x ≤43π.故选D.2．下列不等式中成立的是( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10 B ．sin3>sin2 C ．sin 75π>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π D ．sin2>cos1 答案 D解析 ∵sin2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2，且0<2－π2<1<π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2>cos1，即sin2>cos1.故选D.3．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1答案 B解析 ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤23π.∴cos 23π≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤cos π6，∴－12≤y ≤32.故选B. 4．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b 答案 C解析 ∵a ＝sin33°，b ＝cos55°＝sin35°，c ＝tan35°＝sin35°cos35°，又0<cos35°<1，∴c >b >a .1.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法是：把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2 (k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋32π (k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断． 3．求三角函数值域或最值的常用求法：将y 表示成以sin x (或cos x )为元的复合函数再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围．一、基础达标1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( ) A ．sin α>sin β B ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定答案 D3．函数y ＝2sin 2x ＋2cos x －3的最大值是( ) A ．－1B ．1 C ．－12D ．－5答案 C解析 由题意，得y ＝2sin 2x ＋2cos x －3＝2(1－cos 2x )＋2cos x －3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－12.∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝12时，函数有最大值－12.4．对于下列四个命题：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10； ②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π4＞cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4； ③sin138°<sin143°；④tan40°＞sin40°. 其中正确命题的序号是( ) A ．①③B．①④ C ．②③D ．②④答案 B5．关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)有以下命题：①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；②不存在φ，使f (x )既是奇函数，又是偶函数；③存在φ，使f (x )是奇函数；④对任意的φ，f (x )都不是偶函数．其中正确命题的序号是________． 答案 ②③解析 易知②③成立，令φ＝π2，f (x )＝cos x 是偶函数，①④都不成立．6．若|x |≤π4，则函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是________．答案 12－22解析 由cos 2x ＝1－sin 2x ，故f (x )＝1－sin 2x ＋sin x ，令sin x ＝t ，由|x |≤π4，由图象知t ∈[－22，22]，故函数化为y ＝－t 2＋t ＋1＝－(t －12)2＋54，当t ＝－22时，y min ＝12－22. 7．求下列函数的单调增区间． (1)y ＝1－sin x2；(2)y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2.解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )． (2)y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.要求原函数的增区间，即求函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的减区间，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3>0.∴2k π≤x 2－π3<2k π＋π2(k ∈Z )．整理得4k π＋23π≤x <4k π＋53π(k ∈Z )．所以函数y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫4k π＋23π，4k π＋53π(k ∈Z )．二、能力提升 8．函数y ＝2sin x的单调增区间是( )A ．[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )B ．[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z ) C ．[2k π－π，2k π](k ∈Z )D ．[2k π，2k π＋π](k ∈Z )答案 A解析 函数y ＝2x 为增函数，因此求函数y ＝2sin x 的单调增区间即求函数y ＝sin x 的单调增区间9．M ，N 是曲线y ＝πsin x 与曲线y ＝πcos x 的两个不同的交点，则|MN |的最小值为( )A ．πB.2πC.3πD ．2π 答案 C解析 在同一坐标系中画出函数y ＝πsin x 与y ＝πcos x 的图象，如图所示，则|MN |的最小值为|PQ |.又P (π4，2π2)，Q (5π4，－2π2)， 故|PQ |＝π4－5π42＋2π2＋2π22＝3π.10．sin1，sin2，sin3按从小到大排列的顺序为__________________．答案 sin3<sin1<sin2解析 ∵1<π2<2<3<π， sin(π－2)＝sin2，sin(π－3)＝sin3.y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin1<sin(π－2)，即sin3<sin1<sin2.11．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上是增函数，求ω的取值范围．解 由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )， 得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω. ∴f (x )的单调递增区间是[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω]，k ∈Z . 根据题意，得[－π3，π4]⊆[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω]． 从而有⎩⎪⎨⎪⎧ －2π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32. 故ω的取值范围是(0，32]． 12．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋52π；(2)f (x )＝2sin x －1；(3)f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )． 解 (1)函数定义域为R ，且f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋52π＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x ，显然有f (－x )＝f (x )恒成立．∴函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋52π为偶函数． (2)由2sin x －1＞0，即sin x ＞12，得函数定义域为⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π6，2k π＋56π(k ∈Z )，此定义域在x 轴上表示的区间不关于原点对称．∴该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数．(3)函数定义域为R . f (－x )＝lg(－sin x ＋1＋sin 2x )＝lg 1sin x ＋1＋sin 2x＝－lg ()sin x ＋1＋sin 2x ＝－f (x )，∴函数f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )为奇函数．三、探究与创新 13．设函数y ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤28π5，a ，若该函数是单调函数，求实数a 的最大值． 解 由2k π≤12x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )得4k π－23π≤x ≤4k π＋43π(k ∈Z )． ∴函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－23π，4k π＋43π(k ∈Z )， 同理函数的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π(k ∈Z )． 令285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－23π，4k π＋43π， 即1615≤k ≤4730，又k ∈Z ，∴k 不存在． 令285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π，得k ＝1. ∴285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π， 这表明y ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤28π5，22π3上是减函数，∴a 的最大值是22π3.。
三角函数的图像和性质讲解(定义域,值域,周期,单调性等)
三角函数的图象与性质教学目标：1、掌握正、余弦函数的定义域和值域；2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念，会求它们的周期，会判断它们的奇偶性；3、能正确求出正、余弦函数的单调区间教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数的单调性知识要点：1、定义域：函数sin y x =及cos y x =的定义域都是(),-∞+∞，即实数集R2、值域：函数sin y x =，x R ∈及cos y x =，x R ∈的值域都是[]1,1-理解：（1）在单位圆中，正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的，所以sin 1x ≤，cos 1x ≤，即1sin 1x -≤≤，1cos 1-≤≤。
（2）函数sin y x =在2,()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1，当22x k ππ=-，()k Z ∈时，y 取最小值-1；函数cos y x =在2x k π=，()k Z ∈时，y 取最大值1，当2x k ππ=+，()k Z ∈时，y 取最小值-1。
正弦函数s i n y x =，x R ∈和余弦函数cos y x =，x R ∈是周期函数，2k π(0)k Z k ∈≠且都是它们的周期，最小正周期是2π。
4、奇偶性正弦函数sin y x =，x R ∈是奇函数，余弦函数cos y x =，x R ∈是偶函数。
理解：（1）由诱导公式()sin sin x x -=-，cos()cos x x -=可知以上结论成立；（2）反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称。
5、单调性（1）由正弦曲线可以看出：当x 由2π-增大到2π时，曲线逐渐上升，sin x 由-1增大到1；当x 由2π增大到32π时，曲线逐渐下降，sin x 由1减至-1，由正弦函数的周期性知道：①正弦函数sin y x =在每一个闭区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从-1增大到1，是增函数； ②在每一个闭区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从1减小到-1，是减函数。
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数是数学中的重要概念，它们的图像和性质对于初中数学学习者来说是必须掌握的内容。
在本文中，我将详细介绍三角函数的图像与性质，并给出一些例子和说明，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这些知识。
一、正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像是一条连续的曲线，呈现出周期性变化。
正弦函数的性质包括：1. 周期性：正弦函数的周期是2π，即在每个2π的区间内，正弦函数的图像重复出现。
2. 幅度：正弦函数的幅度表示波峰和波谷的最大差值，通常记为A。
幅度越大，波峰和波谷的差值越大。
3. 对称性：正弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = -f(-x)。
4. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即f(x) = -f(x)。
举例说明：假设有一条正弦函数的图像，周期为2π，幅度为1。
在区间[0, 2π]内，正弦函数的图像先从0逐渐上升到1，然后下降到0，再下降到-1，最后又上升到0。
这样的周期性变化会一直重复下去。
根据正弦函数的性质，可以得出该图像关于y轴对称，且是奇函数。
二、余弦函数的图像与性质余弦函数也是一种常见的三角函数，它的图像和正弦函数有些相似，但也有一些不同之处。
余弦函数的性质包括：1. 周期性：余弦函数的周期也是2π，与正弦函数相同。
2. 幅度：余弦函数的幅度也表示波峰和波谷的最大差值，通常记为A。
与正弦函数不同的是，余弦函数的幅度表示波峰和波谷的绝对值最大差值。
3. 对称性：余弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = f(-x)。
4. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即f(x) = f(x)。
举例说明：假设有一条余弦函数的图像，周期为2π，幅度为1。
在区间[0, 2π]内，余弦函数的图像先从1逐渐下降到0，然后下降到-1，再上升到0，最后又上升到1。
这样的周期性变化会一直重复下去。
根据余弦函数的性质，可以得出该图像关于y轴对称，且是偶函数。
三、正切函数的图像与性质正切函数是三角函数中的另一种重要函数，它的图像与正弦函数和余弦函数有很大的不同。
三角函数的图像和性质
(ω>0)的最小正周期为π，则函数 ( π B．关于直线x＝ 对称 8 π D．关于点8 ，0对称 )
π 2π 解析：∵f(x)＝sin ωx＋4 的最小正周期为π，∴ ω ＝π，ω＝2， π π π 3π ∴f(x)＝sin 2x＋4 ．当x＝ 时，2x＋ ＝ ，∴A、C错误；当x 4 4 4
[即时应用] 求函数 y＝cos x＋sin
2
π x|x|≤ 4的最大值与最小值．
π 2 2 解：令 t＝sin x，∵|x|≤ ，∴t∈－ ， ． 4 2 2
∴y＝－t
2
1 2 5 ＋t＋1＝－t－2 ＋ ， 4
1－ 2 1 5 2 ∴当 t＝ 时，ymax＝ ，当 t＝－ 时，ymin＝ ． 2 4 2 2 ∴函数 y＝cos x＋sin
2．求三角函数单调区间的 2 种方法 (1)代换法： 就是将比较复杂的三角函数含自变量的代 数式整体当作一个角 u(或 t)，利用基本三角函数的单调性 列不等式求解． (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象 求它的单调区间．
[演练冲关] π 1．最小正周期为π且图象关于直线x＝ 对称的函数是( 3
π π B，因为sin2×3－6 ＝sin
π ＝1，所以选B． 2
答案：B
2．函数
π y＝cos4－2x的单调减区间为____________． π π y＝cos4－2x＝cos2x－4 得
解析：由
π 2kπ≤2x－ ≤2kπ＋π(k∈Z)， 4 π 5π 解得 kπ＋ ≤x≤kπ＋ (k∈Z)． 8 8
π π π π 3 在 3，2 上单调递减知， ＝ ，∴ω＝ ． 2ω 3 2
第二节三角函数的图像、性质及其变换
（4）等价转化，数形结合等数学思想方法.
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点
评
高考对三角函数的图象和性质一向是考查的重点，在 复习过程中要注意与三角函数的化简、求值等基础知识， 以及三角函数的恒等变形等结合起来，还要注意与代数、
几何、向量的综合联系．复习的重点是正、余弦函数的图 象变换及其应用，掌握它们的性质，其中单调性又是本节
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由“参”定“形”，由“形”定 “参”
题解 ①由于函数
y f ( x) 的周期为 ，故函数的两个
相邻的零点相距的半个周期，即使由 f ( x1 ) f ( x2 ) 0，
x x 得 1 2 是 的整数倍，故①为假命题。 2
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由“参”定“形”，由“形”定 “参”
一次函数或二次函数在闭区间 t [1,1] 上的最值问 题，或引入辅助角 ，或采用“不等式”法，或“数形 结合”等基本类型处理．
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点
评
4．对函数 y＝Asin(ωx＋)＋k (A＞0, ω＞0, ≠0, k≠0)，
其图象的基本变换是个难点，各种变换的实质要熟练
掌握，不能单从形式上简单判断．
5．“五点法”是三角函数作简图的有力武器，要熟练掌握．
最基本的三角函数图象的形状和位置特征，要准确掌 握，它是利用数形结合思想解决三角函数问题的关键．
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点
评
6．主要题型：求三角函数的定义域、值域、周期，判断
奇偶性，求单调区间，利用单调性比较大小，图象的
平移和伸缩，图象的对称轴和对称中心，利用图象解 题，根据图象求解析式.
三角函数的图像性质
x
－2π
-3π/2
-π
-π/2
0
y=sinx
0
1
0
-1
0
答案
余弦线的函数图象
余弦函数的图像的画法？ 推导 Y=cos(x) =cos(-x) =sin[π/2-(-x)] =sin(π/2+x) 结论 y=cosx,x∈R 与y=sin(x ＋π/2)是同 一函数。将y=sinx的图象向左平移 π/2个单位就得到y=cosx的图象。
•在X轴上取一点O1，做单位圆。 •把单位圆平均分成12分，作出对应的正弦线。 •把各条正弦线平移到各个对应角处。 •用光滑曲线连接各个点，从而形成正弦函数曲线 y=sin(x) (0≤x≤2π)。
单位圆
函数图象
正弦函数的图象
y=sin(x) x∈R
结论：终边相同的角有相同的函数值 所以y=sin(x) x∈[2kπ,2(k+1)π) k∈Z且K≠0 的图象与y=sin(x) x∈[0,2π)的图像的形状完全一样，只是 位置不同。所以只要将y=sin(x) x ∈[0,2π)的图象向左右平行移动，就可 以得到正弦函数y=sin(x) x ∈R的图象。 正弦函数的图象叫做正弦曲线。
复习
正弦线 y 1
P(x,y)
o α M 1 x
-1
角a的顶点为原点， 始边为X轴的正半 轴，终边交单位圆 于P(x,y),其正弦线 为MP,取y 轴正半轴 方向为正，MP方向 确定了a的符号， MP的长度取定了a 的正弦值的大小！ 演示
-1
பைடு நூலகம் 正弦函数的图象
y=sin(x) x∈[0,2π]
在单位圆中，正弦线把角和角的正弦值联系起 来，从而角和正弦函数值之间形成一一对应关系， 我们下面利用正弦线画出正弦函数的图象！ 作法：
三角函数的性质和图像
三角函数的性质和图像
三角函数的性质与其连续变化的图像形状之间息息相关，为我们解释物理世界中复杂物理关系提供了重要依据。
五个小标题，相关内容
三角函数的性质和图形
1、定义
三角函数是用变量对正n角形的三种角度和相应角的大小而表达的关系式，主要包括正弦函数sinH，余弦函数 cosH和正切函数 tanH。
2、几何性质：
三角函数在几何中有一些性质，例如正弦函数SinH，余弦函数CosH 和正切函数tanH全部符合三角形的特性，其中的SinH和CosH的图像是三角形的内切圆，而tanH的图像是三角形的外切圆。
3、参数性质：
任意线性变换，三角函数的图像也被重新变换，只要保持原来变量关
系，图像也保持类型不变。
4、增减性质：
在某种范围内，正弦函数SinH和余弦函数CosH都是增函数，正切函数TanH是减函数。
5、图像特点：
三角函数的图像大体上是正弦曲线，在Π/2位置有拐点，有半波长形状，在此基础上可以通过变换做出不同的图形。
3.3三角函数的图像与性质
典 例
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π 2 2
π )(x∈R),下面 )(x∈R),下面 2
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1 函数y= 的定义域为（ 2.函数y= cos x − 的定义域为（ 2 (A)［ (A)［- π , π ］
）
考 情
·考 题·典 例 Nhomakorabea·
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函数 y＝Atan(ωx＋φ)的周期为 T ＝ 2. 三角函数的图象和性质 三角函数 图象 定义域 值域 [－1，1] 和最值 周期 奇偶性 对称性 最大值：1 R y＝sinx
π ． |ω|
y＝cosx
y＝tanx
R [－1，1] 最大值：1 最小值：－1 2π 偶函数 π 2 关于 x＝kπ(k∈Z)对 称
题型 2 例2
三角函数的图象变换 x π 为了得到函数 y＝2sin 3＋ 6 (x∈R)的图象，只需把函数 y＝2sinx(x∈R)的图象
上所有的点经过怎样的变换得到？
备选变式（教师专享） x π x π 已知函数 f(x)＝2 3·sin 2＋ 4 cos 2＋ 4 －sin(x＋π)． (1) 求 f(x)的最小正周期； π (2) 若将 f(x)的图象向右平移 个单位，得到函数 g(x)的图象，求函数 g(x)在区间[0， 6 π]上的最大值和最小值．
题型 1
依据三角函数的图象求解析式
例 1 (2013· 南京三模)已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则 ω＝ ________．
变式训练 已知函数 y＝As in(ωx＋φ)(A＞0， ω＞0， |φ|＜ π )的部分图象如图所示， 则 ω＝________． 2
第三章
三角函数、三角恒等变换及解三角形第 3 课时
三角函数的图象和性质
考情分析 ① 知道三角函数 y＝Asin(ωx＋φ)，y＝ Acos(ωx＋φ)的周期为 T ＝ 2π . | ω|
考点新知
② 能根据图象理解正弦函数、 余弦函数在[0， 2π]，正切函数在 － π π ， 上的性质(如单 2 2 调性、最大值和最小值、图象与 x 轴的交点 等). ③ 会画出 y＝Asin(ωx＋φ)的简图，能由正弦 曲线 y＝sinx 通过平移、伸缩变换得到 y＝ Asin(ωx＋φ)的图象．
题cos2x)，b＝(sinx，－ 3)，f(x)＝a·b. (1) 求 f(x)的振幅、周期，并画出它在一个周期内的图象； (2) 说明它可以由函数 y＝sinx 的图象经过怎样的变换得到．
备选变式（教师专享） π π 3 已知 f(x)＝cos(ωx＋φ)ω>0，－ <φ<0的最小正周期为 π，且 f ＝ . 4 2 2 (1) 求 ω 和 φ 的值； (2) 在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0，π]上的图象； (3) 若 f(x)> 2 ，求 x 的取值范围． 2
变式训练 已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中 A＞0，ω＞0，0＜φ＜ 2π 上一个最低点为 M ，－2. 3 (1) 求 f(x)的解析式； (2) 当 x∈0， π 时，求 f(x)的最值． 12 π )的周期为π，且图象 2
.
π 1. (2013· 贵州文)函数 y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ≤π)的图象向右平移 个单位后， 与函数 2 y＝sin2x＋
范围是________． 4. (2013· 苏北四市期末)已知角 φ 的终边经过点 P(1，－1)，点 A(x1 ，y1 )、B(x2 ，y2 )是函
π 数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象上的任意两点．若|f(x1 )－f(x2)|＝2 时，|x1 －x2 |的最小值为 ， 3 π 则 f ＝________． 2
在(kπ－
π ，kπ＋ 2
π )(k∈Z)上单调递增 2
3. “五点法”作图 “五点法”作图原理：在确定正弦函数 y＝sinx 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作 π 3π 用的五个点是(0，0)、 2，1、(π，0)、 2 ，－1、 (2π，0)． 余弦函数呢？ 4. 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的特征 若函数 y＝Asin(ωx＋φ) (A＞0，ω＞0，x∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则 A 叫 做振幅，T ＝ 2π 1 叫做周期，f＝ 叫做频率，ωx＋φ 叫做相位，φ叫做初相． ω T
错误 !
最小值：－1 2π 奇函数 关于 x＝kπ＋ (k∈Z)对称 π ，2kπ＋ 2
R 无最值 π 奇函数
kπ 对称中心是 ，0 2
(k∈Z)
在[2kπ－ 单调 区间
π ](k∈Z) 上单调递 2 π 增在[2kπ－ ，2kπ 2 ＋ π ](k∈Z)上单调递 2 减
[2kπ＋π，2kπ＋2 π](k∈Z)单调递增 [2kπ，2kπ＋ π](k∈Z)单调递减
π 1. 已知函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ)(A>0 ，ω >0 ， 0< φ < π ) 的两个相邻最值点为 ，2 、 6
2π，－2，则这个函数的解析式为________． 3
π . 4 (1) 求函数 y＝f(x)的最小正周期及单调递增区间； 2. (2014· 泰州期末)已知函数 f(x)＝2sin2x＋ π 6 (2) 若 f x ＝－ ，求 f(x0 )的值． 0－ 8 5
① 了解三角函数的周期性. ② 能画出 y＝sinx， y＝cosx， y＝tanx 的图象， 并能根据图象理解正弦函数、余弦函数在[0， 2π]，正切函数在－
π π ， 上的性质. 2 2
③ 了解三角函数 y＝Asin(ωx＋φ)的实际意 义及其参数 A、ω 、φ 对函数图象变化的影响.
x π 1. (必修 4P25 练习 2 改编)函数 f(x)＝ 3sin － ，x∈R 的最小正周期为________． 2 4 2. (必修 4P39 第 2 题改编)将函数 y＝sinx 的图象上所有的点向右平行移动 π 个单位长 10
π 2π上是增函数，求 ω 的取值范围； (2) 已知常数 ω＞0，若 y＝f(ωx)在区间－ ， 2 3
π 2 (3) 设集合 A＝x ≤x≤ π，B＝{x||f(x)－m|＜2}，若 A 6 3
B，求实数 m 的取值范围．
1. 求形如 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的单调区间时，只需把 ωx＋φ 看作一个整体代入 y＝sinx 的相应单调区间内即可，注意先把 ω 化为正数．求 y＝Acos(ωx＋φ)和 y＝Atan(ωx＋φ)的单 调区间类似． 2. 求函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式，常用的解题方法是待定系数法，由 最高(低)点的纵坐标确定 A，由周期确定 ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由条件 求得 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式一般不唯一，只有限定 φ 的取值范围，才能得 出唯一解． 3. 由 y＝sinx 的图象变换到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象， 两种变换的区别： 先相位变换再周 期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量 |φ| 是 (ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对 x 而言，即 x 本身加减多少值， ω 而不是依赖于 ωx 加减多少值．
π 的图象重合，则 φ＝________． 3 π π <φ< )的部分图象如图所示， 2 2
2. (2013· 上海一模)若函数 f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0，－ 则 f(0)＝________．
3. (2013· 新课标)已知 ω>0，函数 f(x)＝sinωx＋
π π 在 ，π上单调递减，则ω的取值 4 2
题型 4
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用 π )的周 2
例 4 (2013· 苏州期末)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中 A＞0，ω＞0，0＜φ＜ 2π 期为π，且图象上有一个最低点为 M 3 ，－3. (1) 求 f(x)的解析式； (2) 求函数 y＝f(x)＋f x＋ π 的最大值及对应 x 的值． 4
4. (必修 4P32 练习 6 改编)函数 y＝cos 2x－
π 的单调递增区间是________． 4
π 2π 5. (必修 4P32 第 5 题改编)函数 y＝2sinx 6 ≤x≤ 3 的值域是________．
1. 周期函数的定义 周期函数的概念：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当 x 取定义 域内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，则称 y＝f(x)为周期函数；函数 y＝Asin(ωx＋φ) 和 y＝Acos(ωx＋φ)的周期均为 T ＝ 2π ； |ω|
π π 3. 已知 a＞0，函数 f(x)＝－2asin 2x＋6＋2a＋b，当 x∈0， 2 时，－5≤f(x)≤1. (1) 求常数 a、b 的值； π (2) 设 g(x)＝fx＋ 且 lgg(x)＞0，求 g(x)的单调区间． 2
4. 设 a＝sin2
π＋2x ，cosx＋sinx，b＝(4sinx，cosx－sinx)，f(x)＝a· b. 4 (1) 求函数 f(x)的解析式；
度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变) ，所得图象的函数解析式是 ____________________． 3. (必修 4P45 第 9 题改编)如图， 它表示电流 I＝Asin(ωt＋φ)(A>0， ω>0)在一个周期内的 图象，则 I＝Asin(ωt＋φ)的解析式为________________．