高考定积分应用常见题型大全(含答案)
高考定积分应用常见题型大全（含答案） 一．选择题（共21小题） 1．（2012?福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（） ．C D． 23 ．C D． 3．设f（x）=，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为（） ．C D． 4．定积分的值为（） ． 5．如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（） C D． 6．=（） 7．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，4]，且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）所围成的面积是（）
8．∫01e x dx与∫01e x dx相比有关系式（） x x dx x dx x dx 9．若a=，b=，则a与b的关系是（） 10．的值是（） ．C D．11．若f（x）=（e为自然对数的底数），则=（） ． +e2﹣e +e C ﹣e2+e D 12．已知f（x）=2﹣|x|，则（） 2 14．积分=（） ．C 15．已知函数的图象与x轴所围成图形的面积为（）
C D 3 ．C D． 18．图中，阴影部分的面积是（） 19．如图中阴影部分的面积是（） ．C D． 20．曲线与坐标轴围成的面积是（） ．C D． 21．如图，点P（3a，a）是反比例函y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（） y=
高考定积分应用常见题型大全（含答案） 参考答案与试题解析 一．选择题（共21小题） 1．（2012?福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（） ．C D． y= y=﹣﹣， 取自阴影部分的概率为= 23 ．C D． ═， 3．设f（x）=，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为（）
(完整版)§定积分的应用习题与答案
第六章 定积分的应用 （A ） 1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）2 2 1x y =与822=+y x （两部分都要计算） 2）x y 1 =与直线x y =及2=x 3）x e y =，x e y -=与直线1=x 4）θρcos 2a = 5）t a x 3 cos =，t a y 3 sin = １、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的 面积 ２、求对数螺线θ ρae =()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积
３、求由曲线x y sin =和它在2 π= x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 ４、由3 x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体 的体积 ５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形 的立体体积 ６、计算曲线()x y -=33 3 上对应于31≤≤x 的一段弧的长度 ７、计算星形线t a x 3 cos =，t a y 3 sin =的全长 ８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→ F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ）
成正比，即：kS =→ F （k 是比例常数），如果把弹簧内原长拉伸6cm ， 计算所作的功 ９、一物体按规律3 ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0 =x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功 １０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？ １１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边与 水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力 １２、 设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处 有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力 (B) 1、设由抛物线()022 >=p px y 与直线p y x 2 3 = + 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积
高中数学第四章定积分3定积分的简单应用教材习题点拨北师大版选修2-2
高中数学 第四章 定积分 3 定积分的简单应用教材习题点拨 北师 大版选修2-2 练习(P 85) 1.解:(1)定积分?01e x dx 中,被积函数为y=e x . 被积函数的一个原函数为y=e x , 由牛顿—莱布尼茨公式可得?01e x dx=e x |1 =e 1-e 0=e-1. (2)定积分?ππ2 cosxdx 中,被积函数为y=cosx. 被积函数的一个原函数为y=sinx, 由牛顿—莱布尼茨公式可得?π π 2cosxdx=sinx |2ππ=sinπ-sin 2 π=-1. (3)定积分?01x 3dx 中,被积函数为y=x 3 . 被积函数的一个原函数为y=4 1x 4, 由牛顿—莱布尼茨公式可得?01x 3dx=41x 4|10=41×14-41×04=4 1. 2.解:(1)导函数为y′=(x 2)′=2x,?012xdx=x 2|1 =12-02=1; (2)导函数为y′=(x 2+5)′=2x,?012xdx=(x 2+5)|10=(12+5)-(02 +5)=1; (3)导函数为y′=(x 2-π)′=2x,?0 12xdx=(x 2-π)|10=(12-π)-(02-π)=1; (4)导函数为y′=(x 2-a)′=2x,?012xdx=(x 2-a)|10=(12-a)-(02 -a)=1. 3.解:(1)定积分?01 (x 3-1)dx 中,被积函数为y=x 3-1. 被积函数的一个原函数为y=4 1x 4-x,
由牛顿—莱布尼茨公式可得?01(x 3-1)dx=(41x 4-x)|10=(41×14-1)-(41×04-0)= 4 3-. (2)定积分?24x 1dx 中,被积函数为y=x 1. 被积函数的一个原函数为y=ln|x|, 由牛顿—莱布尼兹公式可得?24x 1dx=ln|x||42=ln4-ln2=ln2. (3)定积分?4 0π x 2cos 1dx 中,被积函数为y=x 2cos 1. 被积函数的一个原函数为y=tanx, 由牛顿—莱布尼茨公式可得 ?40π0x 2cos 1dx=tanx |40π=tan 4π-tan0=1. 习题42(P 85) 1.解:?01x e 21dx=21x e 21|10=2121e -21e 0=2121e -21. 2.解:?01f(x)dx=11+x |10=111+101+-=-2 1. 3.解:?0 πf(x)dx=sinxcosx |0π=sinπcosπ-sin0cos0=0. 4.解:(1)(sinx)′=cosx,(sinx+2)′=cosx,(sinx+c)′=cosx. (2)?2 0πcosxdx=sinx |20π=sin 2 π-sin0=1. 5.解:(1)f(x)=1+2x 的一个原函数是F(x)=x+x 2,所以f(x)=1+2x 在区间[0,1]上的定积分为 ?01f(x)dx=?01(1+2x)dx=(x+x 2) |1 =(1+12)-(0+02)=2. (2)f(x)=3sinx+cosx 的一个原函数是F(x)=-3cosx+sinx,所以f(x)=3sinx+cosx 在区间[0,1]上的定积分为?01f(x)dx=?01(3sinx+cosx)dx=(-3cosx+sinx)|1 0=(-3cos1+sin1)-(-3cos0+sin0) =-3cos1+sin1+3. 6.解:(1)函数y=2x-7的一个原函数为F(x)=x 2-7x, 所以?01(2x-7)dx=(x 2-7x)|10=(12-7×1)-(02 -7×0)=-6.
定积分在高考中的常见题型
定积分在高考中的常见题型解法 贵州省印江一中（555200） 王代鸿 定积分作为导数的后续课程，与导数运算互为逆运算,也是微积 分基本概念之一，同时为大学数学分析打下基础。从高考题中来看，定积分是高考命题的一种新方向，在高考复习中要求学生了解定积分的定义，几何意义，掌握解决问题的方法。 一、利用微积分基本定理求定积分 1、微积分基本定理：一般地，如果)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，并且)()(x f x F ='，那么?-=b a b F a F dx X f )()()(.这个结论叫做微积分基本 定理（又叫牛顿-莱布尼兹公式）。 2、例题讲义 例1、计算?+e dx x x 1)21( 解：因为 x x x x 21 )ln 2+='+（ 所以?+e dx x x 1)21(=22212)11(ln )(ln |ln e e e x x e =+-+=+）（ 【解题关键】：计算?b a dx X f )(的关键是找到满足)()(x f x F ='的函数 )(x F 。 跟踪训练：1计算?+2 0)cos (π dx x e x 二、利用定积分的几何意义求定积分。 1、定积分的几何意义 ：设函数y=f(x)在 []b a ,上y=f(x)非负、连续，由直线x=a,x=b,
y=0及曲线y=f(x) 所围成的曲边梯形面积 S=?b a dx X f )( 2、例题讲义： 例2、求由曲线12+=x y ，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积S 等于=___________ 解： 联立方程组 （如图所示） ? ??-=+=11x y x y 解得???==34y x S =BCD OBCE AOB S S S 曲边梯形曲边梯形++? =dx x x dx x )1(11112 14210--++++????）（）（ = 412231023|)22 132(|)3221x x x x x +-+++（ =3 8 【解题关键】：将曲边梯形进行分割成几个容易求面积的图形，再求 面积和 例3、求dx x ?+402)2-4（ 的值 解：令)0()2(42≥+-=y x y 则有)0()2(42 2≥+-=y x y 及）（）（04222≥=++y y x 右图所以π22 1)2-1402==+?A S dx x 圆（ 【解题关键】：将被积函数转化为熟悉的曲线方程，利用曲线图形的 特点求其定积分。
高考定积分练习题
高考定积分应用常见题型大全含答案 一．选择题共21小题 1．2012福建如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率 C A．B．C．D． 解答：解：根据题意,正方形OABC的面积为1×1=1, 而阴影部分由函数y=x与y=围成,其面积为∫01﹣xdx=﹣|01=, 则正方形OABC中任取一点P,点P 取自阴影部分的概率为=； 2．2010山东由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积为 A A．B．C．D． 解答：解：由题意得,两曲线的交点坐标是1,1,0,0故积分区间是0,1 所求封闭图形的面积为∫01x2﹣x3dx═, 3．设fx=,函数图象与x轴围成封闭区域的面积为A．B．C．D． 解答：根据定积分,得所围成的封闭区域的面积S=故选C 4．定积分的值为 A．B．3+ln2 C．3﹣ln2 D．6+ln2 解答：解：=x2+lnx|12=22+ln2﹣12+ln1=3+ln2 故选B．5．如图所示,曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图阴影部分,其面积是 A．1B．C．D．
解答：解：联立得, 解得或, 设曲线与直线围成的面积为S, 则S=∫01﹣x2dx=故选：C 6．= A．πB．2C．﹣πD．4 解答：解：∵ x2++sinx′=x+cosx, ∴x+cosxdx = x2+sinx =2．故答案为：B 7．若a=,b=,则a与b的关系是 A．a＜b B．a＞b C．a=b D．a+b=0 解答：解：∵a==﹣cosx=﹣cos2﹣﹣cos=﹣cos2≈﹣°=°, b==sinx=sin1﹣sin0=sin1≈°, ∴b＞a．故选A． 8．的值是 A．B．C．D． 解答：解；积分所表示的几何意义是以1,0为圆心,1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x2在第一象限的部分坐标轴围成的面积, 故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和直线x=1围成
典型例题：定积分的简单应用
定积分的简单应用 定积分是高中新增的数学的内容，是高等数学的基础。它在初等数学中有着广泛的应用。下面举例说明如下，供同学们学习时参考。 一．求函数表达式 例1设)(x f 连续，且⎰+=1 )(2)(dt t f x x f ，求)(x f 解：记 ⎰=1 0)(dt t f a ，则a x x f 2)(+= 两端积分得：⎰⎰+= +=1 1 221 )2()(a dx a x dx x f a a 221+= ， 21 -=a 1)(-=∴x x f 。 二、计算平面图形的面积 例2计算正弦曲线y=sin 在[0,]上与轴所围成的平面 图形的面积。 解： 。 例3求曲线22)2(,-==x y x y 与x 轴围成的平面图形的面积
解：如图，由⎪⎩⎪⎨⎧-==,)2(,22 x y x y 得两曲线交点（1，1） 取x 为积分变量，]2,0[∈x , 所求面积 3 2 3 )2(3d )2(d 2 1 31 032 12 1 02= -+ =-+=⎰⎰x x x x x x A 三、平行截面面积为已知的立体体积 例4曲线()1522=-+y x 绕x 轴旋转一周，求旋转体的体积。 解：⎰--+=1 1222)15(dx x V π，⎰--=1 1221)15(dx x V π 12V V V -=⎰--+=1 1 22)15(dx x π⎰----1 1 22)15(x π 211 2102 20120ππ ππ=⋅ =-=⎰ -dx x 四、求旋转体的体积 例5求底圆半径为r ，高为h 的圆锥体的体积。 解：建立如右图坐标系，则圆锥体可看成是由直线 ,x h r y =h x =及x 轴所围成三角形绕x 轴旋转一 周而成，故圆锥体体积 h r x h r x x h r V h h 20 03 222π3 1 3πd )(π=⋅ ==⎰ 五、求函数利润问题 例6 O x y 2 2)2(-=x y 2x y = x y O ),(r h 2 15x y -+=2 15x y --=
高考数学新课标定积分应用例题习题及详解
图3 定积分应用 1、直角坐标系下平面图形面积的计算 ①连续曲线()(()0),y f x f x x a x b = ≥==及及x 轴所围成的平面图形面 积为()b a A f x dx =⎰ ②设平面图形由上下两条曲线y f 上(x )及y f 下(x )及左右两条 直线x a 及x b 所围成 则面积元素为[f 上(x ) f 下(x )]dx 于是平面图形的面积为： dx x f x f S b a ⎰-=)]()([下上 ③连续曲线()(()0),x y y c y d φφ=≥==及y 及y 轴所围成的平面图形面 积为()d c A y dy φ=⎰ ④由方程1()x y φ=及2()x y φ=以及,y c y d ==所围成的平面图形面积 为12[()()]d c A y y dy φφ=-⎰ 12()φφ> 例１ 计算两条抛物线2x y =及2y x =所围成的面积． 解 求解面积问题，一般需要先画一草图（图3），我们要求的是阴影部分的面积．需要先找出交点坐标以便确定积分限，为 此解方程组：⎩ ⎨⎧==22 y x x y 得交点(0,0)和(1,1)．选取x 为积分变量，则积分区间为]1,0[， 根据公式(1) ，所求的面积为 一般 地，求解面积问题的步骤为： (1) 作草图，求曲线的交点， 确定积分变量和积分限． (2) 写出积分公式． (3) 计算定积分． 例2 计算抛物线y 2 2x 及直线 y x 4所围成的图形的面积 解 (1)画图
(2)确定在y 轴上的投影区间: [2 4] (3)确定左右曲线4 )( ,2 1)(2+==y y y y 右左ϕϕ (4)计算积分 例3 求在区间[2 1,2 ]上连续曲线 y=ln x ,x 轴及二直线 x =2 1, 及x = 2所围成平面区域（如图2）的面积 。 解：已知在[2 1,2 ]上，ln x ≤ 0 ; 在 区间 [ 1 , 2 ]上，ln x ≥0 ,则此区域的面积为： A = dx x ⎰2 2 1 ln = dx x ⎰-22 1ln + dx x ⎰2 1 ln 例4 求抛物线 y 2 =x 及x-2y-3=0所围成的平面图形（图 3）的面积 A 。 解： 该平面图形如图所示.先求出抛物线及直线的交点P(1 ,-1)及Q （9,3）.用x=1把图形分为左、右两部分，应用公式（1）分别求的它们的面积为： 所以3 32 21= +=A A A . 本题也可把抛物线方程和直线方程改写成: x=y 2 =g 1(y), x=2y+3=)(2y g 2(y), y ∈[-1 ,3].
高考数学人教版理科 定积分与微积分基本定理习题 含解析
课时作业18 定积分与微积分基本定理 一、选择题 1．定积分⎠⎛0 1(3x ＋e x )d x 的值为( D ) A ．e ＋1 B ．e C ．e －1 2 D ．e ＋1 2 解析：⎠⎛ 1(3x ＋e x )d x ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫32x 2＋e x |10 ＝32＋e －1＝e ＋1 2. 2．若f (x )＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ x 3＋sin x ，－1≤x ≤1， 3，1c >b B ．b >a >c C ．a >b >c D ．c >b >a 解析：依题意得，a ＝2 －1 3 ，b ＝3－12 ，c ＝－14cos x|π 0＝12 ，所以a 6 ＝2－2 ＝14，b 6＝3－3＝127，c 6 ＝(12)6＝164，则a >b >c .选C. 4．若⎠⎛0 1(x 2＋mx )d x ＝0，则实数m 的值为( B )
A ．－13 B ．－23 C ．－1 D ．－2 解析：由题意知0(x 2＋mx )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33＋mx 22|10＝13＋m 2 ＝0，解得m ＝ －2 3. 5．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( C ) A.10 3 B ．4 C.16 3 D ．6 解析：作出曲线y ＝x 和直线y ＝x －2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝x －2 得交点A (4,2)． 因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛0 4 [x －(x －2)]d x ＝⎠⎛0 4 (x －x ＋2)d x
高数定积分例题及详解(一)
高数定积分例题及详解(一) 高数定积分例题及详解 1. 问题描述 假设有一个曲线y = f(x)，我们想要求解由该曲线与x 轴所围成的面积。那么我们可以使用定积分来解决这个问题。 2. 定积分的含义 定积分是微积分中的一个重要概念，它表示曲线与坐标轴之间的 面积。我们可以用∫f b a (x )dx 来表示一个函数f(x)在[a, b]区间上的定 积分。 3. 定积分的计算方法 计算定积分的一种常用方法是使用原函数的不定积分。假设F(x)是f(x)的一个原函数，那么根据牛顿-莱布尼兹公式，我们可以得到∫f b a (x )dx =F (b )−F (a )。 4. 例题1 假设有一个函数f(x) = x^2，在区间[0, 3]上求该函数与x 轴所围成的面积。 解答： 首先，我们可以计算出函数f(x)的原函数F(x) = 1/3x^3。 然后，根据牛顿-莱布尼兹公式，我们可以得到∫x 230dx =13x 3|03。 代
入数值后，我们得到∫x 230dx =13(33−03)=273=9。 因此，函数f(x) 在区间[0, 3]上与x 轴所围成的面积为9。 5. 例题2 假设有一个函数f(x) = 2x ，在区间[0, 5]上求该函数与x 轴所 围成的面积。 解答： 首先，我们可以计算出函数f(x)的原函数F(x) = x^2。 然后，根据牛顿-莱布尼兹公式，我们可以得到∫25 xdx =x 2|05。 代入数值后，我们得到∫250xdx =52−02=25。 因此，函数f(x)在区间[0, 5]上与x 轴所围成的面积为25。 6. 总结 定积分是一种求解曲线与坐标轴之间面积的方法。通过计算函数 的原函数值，我们可以轻松地求解定积分。在实际问题中，定积分可以帮助我们计算曲线的面积、质量、总和等。掌握了定积分的计算方法，我们可以更好地理解函数与曲线之间的关系。 7. 例题3 假设有一个函数f(x) = sin(x)，在区间[0, π/2]上求该函数与 x 轴所围成的面积。 解答： 由于函数sin(x)在[0, π/2]上是一个正函数，且随着x 的增大而增大，因此与x 轴所围成的面积可以直接通过定积分来计算。 我们可以得到∫s π/20in (x )dx =−cos (x )|0π/2 。
高三数学积分试题答案及解析
高三数学积分试题答案及解析 1.如图是函数在一个周期内的图象，则阴影部分的面积是（） A．B．C．D． 【答案】Ｂ 【解析】由已知函数的周期为，知图中阴影的最右的端点坐标为，故阴 影部分的面积 ，故选Ｂ． 【考点】定积分． 2.A、B两地相距1千米，B、C两地相距3千米，甲从A地出发，经过B前往C地，乙同时从 B地出发，前往C地．甲、乙的速度关于时间的关系式分别为和（单位：千米/小时）．甲、乙从起点到终点的过程中，给出下列描述： ①出发后1小时，甲还没追上乙②出发后1小时，甲乙相距最远 ③甲追上乙后，又被乙追上，乙先到达C地④甲追上乙后，先到达C地 其中正确的是．（请填上所有描述正确的序号） 【答案】④ 【解析】经过小时，甲乙走过的路程分别为，， 令，，所以甲先到达； 令，设… 【考点】积分的运算. 3.[2014·豫北联考]计算定积分dx＝________. 【答案】π 【解析】dx表示圆x2＋y2＝22与x＝0，x＝2，y＝0围成的图形的面积．根据定积分的 几何意义，得dx＝π. 4.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（） A．B． C．D．
【答案】 【解析】由图可知阴影部分面积由几何概型可知概率为. 选. 【考点】定积分的应用，几何概型. 5.直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（）A．B．2C．D． 【答案】C 【解析】抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）， ∵直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直， ∴直线l的方程为y=1， 由，可得交点的横坐标分别为﹣2，2． ∴直线l与抛物线围成的封闭图形面积为=（ x﹣）|=． 故选C． 6.由直线与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（） A．B．1C．D． 【答案】D 【解析】由定积分可求得阴影部分的面积为 S=cosxdx==﹣（﹣）=， 所以围成的封闭图形的面积是． 故选D． 7.已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为（）
2021版高中数学必做黄金100题30定积分求值及求曲边多边形的面积【理】题(解析版)
第30题 定积分求值及求曲边多边形的面积【理】 【答案】 40 3 ． 【解析】解法一：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图， 所求面积为图中阴影部分的面积． 解方程组4, 2y x y x =-⎧⎪⎨ =⎪⎩ 得直线4y x =-与曲线2y x = 交点的坐标为()8,4． 直线4y x =-与x 轴的交点为()4,0．因此，所求图形的面积为 ()()4 88 120 444 8 8 332 22 4 4 2d 2d 4d 22 22 1404.3 3 23S S S x x x x x x x x x ⎡⎤ =+=+--⎢⎥⎣⎦ =+ - -=⎰⎰⎰
【2015年高考陕西理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为． 【答案】1.2 【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：【命题意图】这类题主要考查定积分几何意义与运算能力．定积分的几何意义体现数形结合的典型示范，既考查微积分的基本思想又考查了学生的作图、识图能力以及运算能力． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易． 【学科素养】数学运算、直观想象
原始的最大流量是()1 1010222162⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方 程为2 2x py =（0p >），因为该抛物线过点()5,2，所以 2225p ⨯=，解得254p = ，所以2252x y =，即2 225 y x =， 所 以当前最 大流量是 ()()5 3235 35 522222225525525757575x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡ ⎤-=-=⨯-⨯-⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是 16 1.2403 =． 考点一 相关术语： 对于定积分 ()d b a f x x ⎰ （1）,:a b 称为积分上下限，其中a b ≥； （2）()f x ：称为被积函数； （3）d x ：称为微分符号，当被积函数含参数时，微分符号可以体现函数的自变量是哪个，例如： ()2 b a x tx dx +⎰中的被积函数为()2 f x x tx =+，而 ()2 b a x tx dt +⎰的被积函数为()2f t xt x =+． 考点二 ()b a f x dx ⎰定积分 的几何意义： 表示函数()f x 与x 轴，,x a x b ==围成的面积（x 轴上方部分为正，x 轴下方部分为负）和，所以只有当()f x 图像在[],a b 完全位于x 轴上方时， ()b a f x dx ⎰ 才表示面积．()b a f x dx ⎰可表示数()f x 与x 轴，,x a x b ==围成的面积的总和，但是在求定积分时，需要拆掉绝对值分段求解
高三数学积分试题答案及解析
高三数学积分试题答案及解析 1.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为 （） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】由题意知，这是一个几何概型概率的计算问题.正方形的面积为，阴影部分的面积为 ，故选． 【考点】1.定积分的应用；2.几何概型. 2.如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______. 【答案】 【解析】由对数函数与指数函数的对称性,可得两块阴影部分的面积相同. .所以落到阴影部分的概率为. 【考点】1.几何概型.2.定积分. 3.二项式()的展开式的第二项的系数为，则的值为( ) A．B．C．或D．或 【答案】A 【解析】∵展开式的第二项的系数为，∴，∴，∵，∴，当时，. 【考点】二项式定理、积分的运算. 4. [2013·江西高考]若S 1＝，S 2 ＝，S 3 ＝，则S 1 ，S 2 ，S 3 的大小关系为() A．S 1
【答案】B 【解析】S 1 ＝＝x3＝， S 2 ＝＝lnx＝ln2， S 3 ＝＝e x＝e2－e＝e(e－1)>e>， 所以S 2第05章_定积分及其应用习题详解.docx
第五章定积分及其应用 习题5—1 1.如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值： (1) £(2) LR2一、2血； (3) j* cosxdx; (4) j^Jx|dx. 解：若x G ［a, b\时，/(x) > 0, /(x)dx几何上表示由曲线y = /(x),直线i =。，x = b及尤轴所围成平面图形的面积.若x G \a,b］时，/(x)<0,则，/(x)dx在几何上表示由曲线y = /(x),直线x = a,x = b及x轴所围平面图形面积的负值. (1)［产& = (-A) + A = 0 ； (2)^R2-x2dx = A2=； (3) | cos xdx —+ (——+ (—— ) = 0； (4)£|x|d.r = 2A6 =2-|-l-l = l. 2.设物体以速度v = 2t + l作直线运动，用定积分表示时间f从0到5该物体移动的路程S . 解：s =「(2r + l)dz. J o 3.用定积分的定义计算定积分f cdx,其中c为一定常数. Ja 解：任取分a = x Q4.利用定积分定义计算\x2dx.
高中数学人教A版选修2-2学案：第一章 1.7 定积分的简单应用含解析
定积分的简单应用 预习课本P56～59，思考并完成下列问题 (1)利用定积分求平面图形的面积时，需要知道哪些条件？ (2)两条曲线相交围成的平面图形能否用定积分求其面积？ [新知初探] 1．定积分与平面图形面积的关系 (1)已知函数f (x )在[a ，b ]上是连续函数，由直线y ＝0，x ＝a ，x ＝b 与曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积为S . f (x )的符号 平面图形的面积与定积分的关系 f (x )≥0 S ＝⎠⎛a b f (x )d x f (x )<0 S ＝－⎠⎛a b f (x )d x (2)一般地，如图，如果在公共的积分区间[a ，b ]上有f (x )>g (x )，那么直线x ＝a ，x ＝b 与曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积为S ＝⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x . [点睛] 对于不规则平面图形面积的处理原则 定积分只能用于求曲边梯形的面积，对于非规则的曲边梯形，一般要将其分割或补形为规则的曲边梯形，再利用定积分的和与差求面积．对于分割或补形中的多边形的面积，可直接利用相关面积公式求解． 2．变速直线运动的路程 做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s ＝⎠⎛a b v (t )d t .
3．力做功 (1)恒力做功：一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s ，则力F 所做的功为W ＝Fs . (2)变力做功：如果物体在变力F (x )的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a 数学选修2-2定积分的简单应用练习题含答案
数学选修2-2定积分的简单应用练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 1. 曲线y=sin x与x轴在区间[0, 2π]上所围成阴影部分的面积为（） A.−4 B.−2 C.2 D.4 2. 由直线x=0，x=2，y=0和抛物线x=√1−y所围成的平面图形绕x轴旋转所得几何体的体积为（） A.46 15π B.4 3 π C.16 15 π D.8 3 π 3. 由直线x=1，x=2，y=0与抛物线y=x2所围成的曲边梯形的面积为（） A.1 3 B.5 3 C.7 3 D.11 3 4. 由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=1所围成的平面图形的面积为（） A.5 6 B.1 C.5 3 D.2 5. 曲线y=x2和y2=x所围成的平面图形绕x轴旋转一周后，所形成的旋转体的体积为（） A.3π 10B.π 2 C.π 5 D.7π 10 6. 函数y=sin x，y=cos x在区间(π 4，5π 4 )内围成图形的面积为（） A.√2 B.2√2 C.3√2 D.4√2 7. 一物体在力F(x)=3+e2x(x的单位：m，F的单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x=0处运动到x=1处，力F(x)所做的功为（） A.(3+e2)J B.(3+1 2e2)J C.(5 2 +1 2 e2)J D.(2+e2)J 8. 由曲线y=√x，y=x−2及x轴所围成的封闭图形的面积是() A.4 B.10 3C.16 3 D.15 4
9. 下列表示图中f(x)在区间[a, b]上的图象与x 轴围成的面积总和的式子中，正确的是 （ ） A.∫f b a (x)dx B.|∫f b a (x)dx| C.∫f c 1a (x)dx +∫f c 2c 1 (x)dx +∫f c c 2 (x)dx D.∫f c 1a (x)dx −∫f c 2c 1 (x)dx +∫f c c2(x)dx 10. 直线y =x 与曲线y =√x 3 围成的平面图形的面积是．（ ） A.1 4 B.2 C.1 D.1 2 11. 设函数f(x)=ax 2+c(a ≠0)，若∫f 1 0(x)dx =f(x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． 12. y =cos x 与直线x =0，x =π及x 轴围成平面区域面积为________． 13. 由曲线y =|x|，y =−|x|，x =2，x =−2合成的封闭图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V ，则V =________． 14. 两曲线x −y =0，y =x 2−2x 所围成的图形的面积是________． 15. 由曲线y =x 2和直线x =0，x =1，以及y =0所围成的图形面积是________． 16. 若在平面直角坐标系xOy 中将直线y =x 2与直线x =1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周 得到一个圆锥，则该圆锥的体积V 圆锥=∫π10(x 2)2dx =π12x 3|10 =π 12据此类比：将曲线 y =x 2与直线y =9所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的体积V =________．
