梯形中的中点问题专题培优

梯形中的中点问题专题培优
简介
本文将探讨关于梯形中的中点问题，并提供专题培优的方法和
技巧。

中点问题的定义
梯形中的中点问题是指在一个梯形中，如何找到两个非对角线
线段的交点，也就是梯形的中点。

这个问题在几何学中有很多应用，特别是在计算梯形的面积和解决几何问题时。

解决方法
方法一：使用梯形的性质
根据梯形的性质，我们知道梯形的对角线中点连接成一条线段
并且相互垂直。

因此，我们可以使用这一性质来找到梯形的中点。

具体步骤如下：
1. 找出梯形的对角线，并计算它们的中点坐标；
2. 连接两个中点，得到一条垂直于对角线的线段；
3. 找到这条垂直线段与另外两条非对角线的交点，即为梯形的
中点。

方法二：使用坐标几何
另一种解决梯形中点问题的方法是使用坐标几何。

具体步骤如下：
1. 假设梯形的四个顶点的坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，
C(x3, y3)，D(x4, y4)；
2. 计算梯形AC和BD的中点坐标：AC的中点为E((x1+x3)/2, (y1+y3)/2)，BD的中点为F((x2+x4)/2, (y2+y4)/2)；
3. 连接中点E和F，得到一条线段，它同时也是梯形的对角线；
4. 找到这条线段与另外两条非对角线的交点，即为梯形的中点。

专题培优
为了更好地解决梯形中点问题，以下是一些专题培优的建议：
1. 掌握和理解梯形的性质，特别是梯形的对角线和垂直性质；
2. 熟练掌握坐标几何的计算方法，包括中点和斜率的计算；
3. 多进行练和实践，通过解决各种梯形中点问题来提高自己的
能力；
4. 参考相关教材和网上资源，研究其他解决梯形中点问题的方
法和技巧。

结论
本文介绍了关于梯形中的中点问题的定义，以及两种解决方法：使用梯形的性质和使用坐标几何。

此外，还提供了一些专题培优的
建议，以帮助读者更好地掌握和解决梯形中点问题。

在实践中，读
者可以根据具体情况选择合适的方法和技巧，提高自己解决几何问
题的能力。

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二次函数综合(动点)问题——梯形存在问题培优教案(横版)

。
练一练：已知 A（0，5）和 B（－2，3），则线段 AB 的中点坐标是 (4)如图：PG∥X 轴，QG∥Y 轴，P 点的横坐标为为，则线段 PG= （三）求三角形的面积：（1）直接用面积公式计算；（2）割补法；（3）铅垂高法；如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的 “水平宽” （a），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高” （h）．我们可得出一种计算 1 三角形面积的新方法：S△ABC= ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。 2 A 铅垂高
教学过程
一、课堂导入
如图，已知平面直角坐标系上的三点坐标分别为 A（2，3）、B（-3，-2），C（7，0），现要在 y 轴上找到一点 D，使得这四个点构成的四边形是梯形，那么点 D 的坐标_______________________________.
问题：这是我们在平面直角坐标系那章学习的内容，如果我们将二次函数容纳其中，在抛物线上求作一点，使得四边形是梯形并求出该点坐标时,又该如何解答呢？如果是存在两个动点又该如何解答？
二次函数综合（动点）问题——梯形存在问题
适用学科适用区域
初中数学全国新课标
适用年级
初中三年级
课时时长（分钟） 60 分钟
1、二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质
知识点
2、梯形性质 3、梯形模型探究
一、知识与技能教学目标
1、掌握二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质； 2、掌握梯形的性质； 3、会对梯形模型进行探究，分类讨论不同的情况。
二、过程与方法
1、首先要掌握二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质，因为梯形存在问题是在二次函数

中考数学专题训练专题一几何题型中点M型试题

卜人入州八九几市潮王学校专题一中点M型根本条件：①∠PMQ＝∠B＝∠C；②M是BC的中点根本结论：①△EMF∽△EBM∽△MCF.②EM平分∠BEF，FM平分∠EFC.③EM2＝EB·EF，FM2＝FC·EF.常见特例：特例一：条件：①等边△ABC；②∠MPN＝60°，③P是BC的中点。

特例二：条件：①等腰直角△ABC，AC＝BC，∠C＝90°；②∠EDF＝45°；③点D是AB的中点。

特例三：条件：①AB ＝AC；②∠BAC＝120°，∠EDF＝30°，③D是BC的中点。

特例四：条件：①矩形ABCD；②∠GEF＝90°，③E是AB的中点。

特例五：条件：①直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°；②E是AD的中点；③∠BEC＝90°。

稳固练习：1.：梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，E为AB的中点，假设AD＝2，BC＝4，∠CED＝90°，那么CD长为。

2.如图，在正方形ABCD中，点E、F在边BC、CD上，假设AE＝2，EF＝1，AF＝5，那么正方形的边长为。

3.：等边△ABC中，AB＝8，点D为AB的中点，点M为BC上一动点，以DM为一边，在点B异侧作等边△DMN。

DN交AC于点F，当∠DAN＝90°时，那么FN的长为。

4.如图，以矩形OABC的邻边OA、OC分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，F为线段OA上的一点，将△COF沿直线CF翻折，点O落在AB的中点E处，且OC＝6.（1）求直线EF的解析式；（2）将直线EF绕点F逆时针旋转90°，得到直线m，直线m交y轴于点D，求点D的坐标。

1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D为BC边的中点，BE⊥AC于E，DF⊥AB于F.(1)当00＜α＜900，〔如图1〕，求证：AE＋2BF＝AB；(2)当900＜α＜1800，〔如图2〕，那么AE、BF、AB之间的数量关系；(3)在〔1〕的条件下，过点D作DG∥AB，交AC于G，且DF＝GE＝3时〔如图3〕，求BF的值。

模型36中点四边形模型和梯形中位线定理(原卷版)

模型介绍中点四边形模型（1）任意四边形四条边的中点依次连接得到的四边形一定是平行四边形. （2）矩形四条边中点连线所得到的四边形为菱形.（3）菱形四条边中点连线所得到的四边形为矩形.梯形中位线定理（1）中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．（2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．（3）梯形面积与中位线的关系：梯形中位线的2倍乘高再除以2就等于梯形的面积，即梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高（4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线．考点一：中点四边形问题【例1】．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，AD＝4，BC＝5，则四边形EFGH的周长是．➢变式训练【变式11】．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7B．9C．11D．13【变式12】．如图，在四边形ABCD中，AC＝8，BD＝6，且AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2＝．例题精讲考点二：梯形的中位线定理【例2】．如图，在▱ABCD中，BC＝4m，E为AD的中点，F、G分别为BE、CD的中点，则FG＝m．➢变式训练【变式21】．如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF＝3，则梯形ABCD的周长为（）A．9B．10.5C．12D．15【变式22】．在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，若AC＝5，BD＝12，中位线长为，△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则＝．1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BD为对角线，中位线EF交BD于O点，若FO﹣EO＝3，则BC﹣AD 等于（）A．4B．6C．8D．102．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝5，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，连接EG，HF，相交于点O，则EG2+FH2的值为（）A．25B．30C．35D．403．在如图所示的梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝11，①中A1B1是连接两腰中点的线段，易知A1B1＝8，②中A1B1，A2B2是连接两腰三等分点且平行于底边的线段，可求出A1B1+A2B2的值…，照此规律下去，③中A1B1，A2B2，…A10B10是连接两腰十一等分点且平行于底边的线段，则A1B1+A2B2+…+A10B10的值为（）A．50B．80C．96D．1004．如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形A nB n∁n D n．下列结论正确的是（）①四边形A4B4C4D4是菱形；②四边形A3B3C3D3是矩形；③四边形A7B7C7D7周长为；④四边形A n B n∁n D n面积为．A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④5．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若AD＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为．6．如图，等腰梯形的一条对角线与下底的夹角为45°，中位线长为8，则梯形的面积为．7．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF与对角线AC，BD交于M，N两点，若EF＝18cm，MN ＝8cm，则AB的长等于cm．8．如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB＝CD，下列结论：①EG⊥FH；②四边形EFGH是矩形；③HF平分∠EHG；④EG＝；⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的是．9．如图，在四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点，且对角线AC⊥BD，AC：BD＝4：3，AC+BD＝28，则MQ：QP＝，四边形MNPQ的面积是．10．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝3，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2＝．11．由四边形四条边的中点组成的四边形叫做原四边形的中点四边形．如图，四边形ABCD是矩形，取矩形ABCD四条边的中点得到中点四边形A1B1C1D1，再取四边形A1B1C1D1四条边的中点得到中点四边形A2B2C2D2，…，按此规律继续下去，若矩形ABCD的面积为1，则得到的中点四边形A n B n∁n D n的面积为．12．如图，梯形中ABCD中，∠DBC＝30°，，，EF为梯形的中位线．求梯形的面积及EF的长．13．如图：在梯形ABCD中，CD∥AB，点F在AB上．CF＝BF，且CE⊥BC交AD于E，连接EF．已知EF⊥CE，（1）若CF＝10，CE＝8，求BC的长．（2）若点E是AD的中点，求证：AF+DC＝BF．14．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH是菱形；（2）若AC＝8，求EG2+FH2的值．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，OA＝4，OC＝2，点D、E、F、G分别为边OA、AB、BC、CO的中点，连结DE、EF、FG、GD．（1）若点C在y轴的正半轴上，当点B的坐标为（4，2）时，判断四边形DEFG的形状，并说明理由．（2）若点C在第一象限运动，且四边形DEFG为菱形时，求四边形OABC对角线OB长度的取值范围．（3）若在点C运动过程中，四边形DEFG始终为正方形，当点C从x轴负半轴经过y轴正半轴，运动至x轴正半轴时，直接写出点B的运动路径长．16．已知：在△ABC中，AB＝10．（1）如图（1）所示，若点D，E分别是AC，CB的中点，则DE的长为；（2）如图（2）所示，若点A1，A2把AC三等分，B1，B2把BC三等分，则A1B1+A2B2＝；（3）如图（3）所示，若点A1，A2，…A10把AC边十一等分，B1，B2，…，B10把BC边十一等分，分别交BC边于点B1，B2，…，B10．根据你发现的规律，写出A1B1+A2B2+…+A10B10的结果为．17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝a，BC＝b．若E1、F1分别是AB、DC的中点，则E1F1＝（AD+BC）＝（a+b）；若E2，F2分别是E1B，F1C的中点，则E2F2＝（E1F1+BC）＝[（a+b）+b]＝（a+3b）；当E3，F3分别是E2B，F2C的中点，则E3F3＝（E2F2+BC）＝（a+7b）；若E n F n分别是E n﹣1，F n﹣1的中点，根据上述规律猜想E n F n＝．（n≥1，n为整数）18．请阅读下面知识：梯形中位线的定义：梯形两腰中点的连线，叫做梯形的中位线．如图，E，F是梯形ABCD两腰AB，CD 的中点，则EF是梯形的中位线梯形中位线与两底长度的关系：梯形中位线长度等于两底长的和的一半如图：EF＝（AD+BC）利用上面的知识，完成下面题目的解答已知：直线l与抛物线M交于点A，B 两点，抛物线M的对称轴为y轴，过点A，B作x轴的垂线段，垂足分别为D，C，已知A（﹣1，3），B （）（1）求梯形ABCD中位线的长度；（2）求抛物线M的解析式；（3）把抛物线M向下平移k个单位，得抛物线M1（抛物线M1的顶点保持在x轴的上方），与直线l的交点为A1，B1，同样作x轴的垂线段，垂足为D1，C1，问此时梯形A1B1C1D1的中位线的长度（设为h）与原来相比是否发生变化？若不变，说明理由．若有改变，求出h与k的函数关系式．19．让我们一起来探索平面直角坐标系中平行四边形的顶点的坐标之间的关系．第一步：数轴上两点连线的中点表示的数．自己画一个数轴，如果点A、B分别表示﹣2、4，则线段AB 的中点M表示的数是．再试几个，我们发现：数轴上连接两点的线段的中点所表示的数是这两点所表示数的平均数．第二步；平面直角坐标系中两点连线的中点的坐标（如图①）为便于探索，我们在第一象限内取两点A （x1，y1），B（x2，y2），取线段AB的中点M，分别作A、B到x轴的垂线段AE、BF，取EF的中点N，则MN是梯形AEFB的中位线，故MN⊥x轴，利用第一步的结论及梯形中位线的性质，我们可以得到点M的坐标是（，）（用x1，y1，x2，y2表示），AEFB是矩形时也可以．我们的结论是：平面直角坐标系中连接两点的线段的中点的横（纵）坐标等于这两点的横（纵）坐标的平均数．第三步：平面直角坐标系中平行四边形的顶点坐标之间的关系（如图②）在平面直角坐标系中画一个平行四边形ABCD，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则其对角线交点Q的坐标可以表示为Q（，），也可以表示为Q（，），经过比较，我们可以分别得出关于x1，x2，x3，x4及，y1，y2，y3，y4的两个等式是和．我们的结论是：平面直角坐标系中平行四边形的对角顶点的横（纵）坐标的．。

三角形梯形的中位线(精典例题+跟踪训练+参考答案)

三角形、梯形的中位线（精典例题+跟踪训练+参考答案）三角形、梯形的中位线精典例题+跟踪训练+参考答案知识考点：掌握三角形、梯形的中位线定理，并会用它们进行有关的论证和计算。

精典例题：【例1】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，M是腰AB的中点，且AD＋BC＝DC。

求证：MD⊥MC。

分析：遇到腰上中点的问题构造梯形中位线可证明，也可以因为腰上有中点，延长DM 与CB的延长线交于E点进行证明。

ADACDQPMNEDMCGFBCB例1图 AB例2图问题图【例2】如图，△ABC的三边长分别为AB＝14，BC＝16，AC＝26，P为∠A的平分线AD上一点，且BP⊥AD，M为BC的中点，求PM的长。

分析：∠A的平分线与BP边上的垂线互相重合，通过作辅助线延长BP交AC于点Q，由△ABP≌△AQP知AB＝AQ＝14，又知M是BC的中点，所以PM是△BQC的中位线，于是本题得以解决。

答案：PM＝6 探索与创新：【问题一】 E、F为凸四边形ABCD的一组对边AD、BC的中点，若EF＝四边形？请说明理由。

分析与结论：如图，利用三角形和梯形的中位线定理，连结AC，取AC的中点G，连EG、FG，则EG∥FG∥1(AB?CD)，问：ABCD为什么21CD，211AB，∴EG＋FG＝(AB?CD)，即EG＋FG＝EF，则G点在EF上，EF∥CD，EF∥AB，故AB∥CD。

22（1）若AD∥BC，则凸四边形ABCD为平行四边形；（2）若AD不平行于BC，则凸四边形ABCD为梯形。

评注：利用中位线构造出11CD、AB，其关键是连AC，并取其中点G。

22跟踪训练：一、填空题：1、三角形各边长为5、9、12，则连结各边中点所构成的三角形的周长是。

2、一个等腰梯形的周长为100cm，如果它的中位线与腰长相等，它的高为20cm，那么这个梯形的面积是。

3、若梯形中位线被它的两条对角线分成三等分，则梯形的两底之比为。

4、直角梯形的中位线长为a，一腰长为b，且此腰与底所成的角为600，则这个梯形的面积为。

初中数学培优专题学习专题22 关于中点的联想

（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH是等腰直角三角形；
（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）
(2009年河北省中考试题)
12．在六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA，AB＋DE＝BC＋EF，A1，B1，D1，E1分别是边AB，BC，DE，EF的中点，A1D1＝B1E1．求证：∠CDE＝∠AFE．
求证：CD＝2EC．(宁波市竞赛试题)
解题思路：图形中有两个中点E，B，联想到与中点相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明，关键是恰当添加辅助线．
【例4】如图1，P是线段AB上一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使∠APC＝∠BPD，PC＝PA，PD＝PB，连接CD，点E，F，G，H分别是AC，AB，BD，CD的中点，顺次连接E，F，G，H．
2．如图，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF＝2，ED＝3，GC＝4，则△ABC的周长为_______________．(重庆市竞赛试题)
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E是AC的中点，若BC＝16，DE＝5，则AD＝______________．（南京市中考试题）
(1)延长MP交CN于点E(如图2)．
①求证：△BPM≌△CPE；
②求证：PM＝PN．
(2)若直线a绕点A旋转到如图3的位置时，点B，P在直线a的同侧，其他条件不变，此时PM＝PN还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3) )若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其他条件不变．请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM＝PN是否成立．不必说明理由．（沈阳市中考试题）

第22章专题05 几何思想之梯形必考点专练(学生版)-【考点培优尖

编者小k 君小注：本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。

思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。

专题05 几何思想之梯形必考点专练（学生版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．（2021·上海宝山·八年级期末）下列四边形中，对角线相等且互相平分的是（）A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．等腰梯形2．（2021·上海奉贤·八年级期末）如果一个四边形四个内角的度数之比是1：2：2：3，那么这个四边形是（）A ．平行四边形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形3．（2019·上海·八年级月考）梯形ABCD 中AB∥CD ，∥ADC ＋∥BCD ＝90°，以AD 、AB 、BC 为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S 1⋅S 2⋅S 3，且S 1+S 3=4S 2，则CD ＝（）A ．2.5AB B ．3ABC ．3.5ABD ．4AB4．（2018·上海市西南模范中学八年级期中）下列命题中，假命题是（）A ．两腰相等的梯形是等腰梯形B ．对角线相等的梯形是等腰梯形C ．两个底角相等的梯形是等腰梯形D ．平行于等腰三角形底边的直线截两腰所得的四边形是等腰梯形5．（2019·上海闵行·八年级期末）下列事件中，确定事件是（）A ．向量BC 与向量CD 是平行向量B 40=有实数根；C ．直线()20y ax a =+≠与直线23y x =+相交D ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形6．（2020·上海松江·八年级期末）如图，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，AB DC =，AB DC =，//DE AB 交BC 于点E ．下列判断正确的是（）A ．向量AB 和向量DC 是相等向量B ．向量AD 和向量CB 相反向量C ．向量AD 和向量CE 是平行向量 D ．向量AB 与向量DE 的和向量是零向量7．（2020·上海徐汇·八年级期末）下列命题中：∥有两个内角相等的梯形是等腰梯形； ∥顺次联结矩形的各边中点所成四边形是菱形；∥两条对角线相等的梯形是等腰梯形； ∥对角线互相平分且相等的四边形是矩形．其中真命题有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．（2021·上海浦东新·八年级期末）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD DC CB ==，AC BC ⊥，那么下列结论不正确的是（）A ．2AC CD =B ．60ABC ∠=︒ C ．CBD DBA ∠=∠ D ．BD AD ⊥9．（2021·上海闵行·八年级期末）我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比．如果一个腰长为5的等腰梯形，底差等于6，面积为24，那么这个等腰梯形的纵横比等于（）A ．54B ．56C ．23D ．3510．（2021·上海市蒙山中学八年级期中）我们定义：对角线相等的四边形叫做等对角线四边形．如图：在ABC 中，AB AC =，D E 、分别在边AB AC 、上，添加下面什么条件是无法证明四边形BCED 是等对角线四边形（）A ．//DE BCB ．,CD AB BE AC ⊥⊥C ．OD OE =D ．,BE CD 是ABC ∠和ACB ∠角平分线二、填空题11．（2019·上海·上外附中八年级月考）如图，等腰梯形ABCD 的一条对角线AC 平分BCD ∠，且与腰AB 垂直，已知腰长为2，则梯形ABCD 的面积为__________12．（2020·上海松江·八年级期末）如果一个梯形的上底长为2cm ，中位线长是5cm ，那么这个梯形下底长为__________cm ．13．（2021·上海黄浦·八年级期末）如图，平行四边形ABCD 中，∥B ＝60°，AB ＝8cm ，AD ＝10cm ，点P 在边BC 上从B 向C 运动，点Q 在边DA 上从D 向A 运动，如果P ，Q 运动的速度都为每秒1cm ，那么当运动时间t ＝_____秒时，四边形ABPQ 是直角梯形．14．（2021·上海静安·八年级期末）在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∥B ＝∥C ＝30°，AD 的长为3，高AH___．15．（2021·上海浦东新·八年级期末）在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90A ∠=︒，3AB =，6CD =，则D ∠的度数是________．16．（2021·上海普陀·八年级期末）已知等腰梯形一个底角是60︒，它的两底分别是6和10,那么它的腰长是__________．17．（2021·上海·上外附中八年级期末）如图，等腰梯形ABCD 中，AB //DC ，∥A ＝60°，AD ＝DC ＝CB ＝10，点E 、F 分别在AD 、BC 上，且AE ＝4，BF ＝x ，设四边形DEFC 的面积为y ，则y 关于x 的函数关系式是 ___．（无需写出定义域）18．（2021·上海闵行·八年级期末）如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，AB CD =，对角线AC BD ⊥，如果高8DE cm =，那么等腰梯形ABCD 的中位线的长为_______cm ．19．（2019·上海·上外附中八年级月考）等腰梯形的腰长为5，对角线互相垂直且交点为对角线的三等分点，则梯形的周长为__________20．（2019·上海·上外附中八年级月考）如图，正方形ABCD 中，E 为边BC 中点，折叠正方形使得点A 与点E 重合，折痕为MN ，设梯形ADMN 面积为1S ，梯形BNMC 面积为2S ，则12S S =_________三、解答题21．（2021·上海嘉定·八年级期末）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，BA AD DC ==，点M 在边CB 的延长线上，点N 在边BC 上．（1）如果MB AD ，求证：AM AC =；（2）如果2ANB ACB ，求证：四边形ADCN 是菱形．22．（2021·上海徐汇·八年级期末）如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、G 分别是AB 、CD 的中点，点F 在边BC 上，且1()2BF AD BC =+．（1）求证：四边形AEFG 是平行四边形；（2）若四边形AEFG 是矩形，求证：AG 平分∥F AD ．23．（2021·上海松江·八年级期末）如图，己知等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，E 、F 分别是两腰的中点，联结AF ，过点F 作//FG AB ，交BC 于点G ，联结EG ．（1）求证：四边形AEGF 是平行四边形；（2）当2GFC EGB ∠=∠时，求证：四边形AEGF 是矩形．24．（2021·上海青浦·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线4y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 在线段AB 上，且3CB CA =．（1）求点C 的坐标；（2）在坐标平面内是否存在点Q ，使得以A 、C 、O 、Q 为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．25．（2021·上海普陀·八年级期末）如图，在梯形ABCD中，∠=︒===，点P从点B开始沿BC向终点C以每秒3cm的速ABC AD BC AB BC CD90,//,12cm,27cm,15cm度移动，点Q从点D开始沿DA向终点A以每秒2cm的速度移动，设运动时间为t秒，连接PQ．（1）线段AD的长度是cm；（2）当t=秒时，四边形ABPQ是矩形；，运动过程中，当t取何值时，线段PQ与CD相等？（3）在点P Q（4）连接PD，当PCD是等腰三角形时，直接写出t的值．26．（2019·上海市七宝中学八年级月考）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，BC＝10，对角线AC、BD相交于点O，且AC∥BD，设AD＝x，∥AOB的面积为y．（1）求∥DBC的度数；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）如图1，设点P、Q分别是边BC、AB的中点，分别联结OP，OQ，PQ．如果∥OPQ是等腰三角形，求AD的长．BC=．点O是27．（2019·上海市娄山中学八年级月考）如图，在Rt ABC中，90B∠=，2∠=，60ACBAC的中点，过点O的直线l与从AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB于点D，过点Ｃ作CE AB交直线l于点Ｅ，设直线l的旋转角为α．//（1）当四边形EDBC是等腰梯形时，则α=_______，此时AD=________；（2）当四边形EDBC是直角梯形时，则α=_________，此时AD=_________；（3）当α为几度时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．28．（2019·上海闵行·八年级期末）梯形ABCD 中，AD BC ∥，4=AD ，10BC =，60ABC ∠=︒，M 、N 在BC 上，AN 平分BAD ∠，DM 平分ADC ∠，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，AN 和DM 分别与EF 交于G 和H ，AN 和DM 交于点P ．（1）求证：12HF CD =；（2）当点P 在四边形EBCF 内部时，设EG x =，HF y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当1GH =时，求EG 的长．29．（2021·上海崇明·八年级期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线122y x =-+分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，直线1y kx =-的图像与y 轴交于点C ，与已知直线交于点D ，点D 的横坐标是2（1）求直线1y kx =-的解析式；（2）将直线1y kx =-的图像向上或向下平移，交直线122y x =-+于点E ，设平移所得函数图像的截距为b ，如果交点E 始终落在线段AB 上，求b 的取值范围．（3）在x 轴上是否存在点P ，使点P 与点A 、B 、C 构成的四边形为梯形，如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．30．（2021·上海黄浦·八年级期末）在梯形ABCD 中，//,90,45,4,7AD BC B C AB BC ∠=︒∠=︒==，点,E F 分别在边AB CD 、上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧， 90,EPF PE PF ∠=︒=，射线EP FP 、与边BC 分别相交于点M N 、，设,AE x MN y ==．（1）求边AD 的长；（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求y 关于x 的函数解析式；（3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．。

第8课时：梯形的性质与判定培优

梯形的性质与判定教学目标：①梯形的性质与判定；②梯形的面积；③梯形中常见的辅助线的做法；④梯形与全等变换；⑤梯形中线段与角度的计算；⑥梯形与操作探究；教学过程：一、梯形中常见的辅助线的做法：例：如图，在梯形ABCD 中，A D ∥BC ，AB=DC ，AE ⊥BC ，求证：BE=21（BC-AD ）练习：1、如图，在梯形ABCD 中，A D ∥BC,AD=6，AB=7，BC=8，求CD 的取值范围。

A B C DE AB C D EAB CDE AB C DEABCD EF F A B D C E A B D C A B DCEF GFG FA BD CE A BDC EA BDC E ABDCEA B C D EA B C D2、如图，在直角梯形ABCD 中，∠B=∠C=90°，M 为BC 上的一点，MA=MD,且∠AMB=75°, ∠DMC=45°，求证：AB=BC3、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 分别是CD 、AB 的中点，∠A+∠B=90°求证：MN=21(AB-CD)4、如图，梯形ABCD 中，AM 、BM 分别平分∠DAB 、∠CBA ，交点M 在CD 上，求证：M 为CD 中点。

（注意变式习题）二、梯形与面积：例：如图，在梯形ABCD 中，A D ∥BC,E 是CD 的中点，EF ⊥AB 于F 点，AB=6，EF=5，求梯形ABCD 的面积。

解析：梯形的面积问题有以下几种解决途径：①直接法：S 梯形=21h(a+b)；②S 梯形=中位线高；③若梯形对角线垂直，S 梯形=21对角线乘积； ④过腰中点，转化为同面积的三角形；⑤过腰中点，转化为同面积的平行四边形；此题可以转化为等面积的三角形，平行四边形，直角梯形练习：1、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=DC=3，AB=4，BC=8，求梯形ABCD 的面积。

梯形及中位线(习题及答案)

梯形及中位线（习题）➢ 例题示范例 1：如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，且 AC ⊥ BD ，AF 是梯形的高．若梯形 ABCD 的面积为 49，则高 AF 的长为．【思路分析】 ①读题标注：②梳理思路：由 AC ⊥BD ，考虑平移一条对角线，所以过点 D 作 DE ∥AC ，交BC 的延长线于点 E ，则四边形 ACED 是平行四边形．因为△ABD 与△CDE 等底等高，所以S △ABD = S △CDE ，则等腰梯形 ABCD 的面积可转为△BDE 的面积．在等腰梯形 ABCD 中，AC =BD ，所以 DE =BD ，即△BDE 是等腰直角三角形．过点 D 作 DG ⊥BC 于点 G ，则 AF =DG ，所以S △BDE= 1 BE ⋅ DG = 1 ⨯ 2DG ⋅ DG = DG 2 = 49 ， 2 2则 AF =DG =7．例 2：如图，DE 是△ABC 的中位线，FG 是梯形 BCED 的中位线，若 DE =4cm ，则 FG 的长为．【思路分析】 ①读题标注：②梳理思路：因为 DE 是△ABC 的中位线，DE =4 cm ，所以 BC =8 cm ．因为 FG 是梯形 BCED 的中位线，所以 FG = BC + DE= 6 cm ．2【过程书写】∵DE 是△ABC 的中位线，DE =4， ∴BC =8．∵FG 是梯形 BCED 的中位线，∴FG =BC + DE = 8 + 4 = 6 ，1例3：如图，在四边形ABCD 中，E，F，G，H 分别为AD，BD，BC，AC 的中点．要使四边形EFGH 是菱形，则应满足的条件是（）A．AC⊥BD B．AC=BDC．AB=CD D．AD=BC【思路分析】题目中出现多个中点，考虑中点四边形．EF 是△ABD 的中位线，EF∥AB，EF =1AB ；2HG 是△ABC 的中位线，HG∥AB，HG =1AB ；2所以EF∥HG，EF=HG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形EFGH 是平行四边形.当AB=CD 时，EF=EH，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形EFGH 是菱形．故选C．➢巩固练习1.如图，在矩形ABCD 中，E，F，G，H 分别为边AB，BC，CD，AD 的中点．若AB=2，AD=4，则图中阴影部分的面积为（）A．8 B．6C．4 D．32.下列图形：①等边三角形；②矩形；③等腰梯形；④直角梯形；⑤角；⑥圆．其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个3.下列美丽的图案，是中心对称图形的是（）A.B ．C．D．4.下列正多边形：①正六边形；②正五边形；③正方形；④正三角形．其中能够铺满地面的正多边形有（）A．1 种B．2 种C．3 种D．4 种5.已知等腰梯形的上底为6cm，下底为8cm，高为腰长为．cm，则其6.若直角梯形的一腰长为18cm，这条腰和一个底所成的角是30°，则其另一条腰长为．7.在直角梯形ABCD 中，AB∥CD，AD⊥CD 于点D．若AB=1，AD=2，CD=4，则BC 的长为．8.如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°．若AD=2，BC=5，则CD 的长为．第8 题图第9 题图9.如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，若AC⊥BD，AC=6cm，BD=8cm，则该梯形的面积为．10.如图，A，B 两点被池塘隔开，在A，B 外选一点C，连接AC，BC，并分别找出AC 和BC 的中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B 两点间的距离为．311.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D，E 分别是AC，AB 的中点．若DE=3，CE=5，则AC 的长为．第11 题图第12 题图12.如图，在△ABC 中，AB=AC=9cm，AD⊥BC，M 为AD 的中点，直线CM 交AB 于点E，F 为CE 的中点，连接DF，则DF 的长为．13.如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E，F 分别是AB，CD 的中点．若AD=BC=8，EF=7.6，则△PEF 的周长为．第13 题图第14 题图14.如图，DE 是△ABC 的中位线，FG 是梯形BCED 的中位线，若BC=10cm，则FG 的长为．15.若梯形中位线的长是梯形高的2 倍，且梯形的面积为18cm2，则这个梯形的高为（）A．6 cm B．6cm C．3 cm D．3cm 2216.顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．如图，四边形EFGH 为中点四边形，当AC=BD 时，四边形EFGH 是形；当AC⊥BD 时，四边形EFGH 是形；当四边形EFGH 是正方形时，AC 与BD 满足的关系是．由此可见，中点四边形的形状与外围四边形的对角线有关．➢思考小结1. 对于梯形，我们的处理方式往往是通过做辅助线，把它转化为平行四边形或者是特殊的三角形进行处理．请添加合适的辅助线，将以下梯形转化为平行四边形或特殊三角形．【参考答案】➢ 巩固练习1. C2. B3. B4. C5. 2 cm6. 9 cm7. 138. 39. 24 cm210. 40 m11. 812. 3 cm13. 15.614.15cm 215. D16.菱，矩，AC=BD 且AC⊥BD ➢思考小结1. 略。

中点培优

A B C第1题D E · · OG ·F x y 中点培优1．如图，已知在直角梯形AOBC 中，AC ∥OB ，CB ⊥OB ，OB ＝18，BC ＝12，AC ＝9，对角线OC 、AB 交于点D ，点E 、F 、G 分别是CD 、BD 、BC 的中点．以O 为原点，直线O为x 轴建立平面直角坐标系，则G 、E 、D 、F 四个点中与点A 在同一反比例函数图象上的是（）A ．点G B ．点E C ．点D D ．点F2．如图1，Rt △ABC ≌Rt △EDF ，∠ACB =∠F =90°，∠A =∠E =30°．△EDF 绕着边AB 的中点D 旋转， DE ，DF 分别交线段．．AC 于点M ，K ．（1）观察： ①如图2、图3，当∠CDF =0° 或60°时， AM +CK _______MK (填“>”，“<”或“=”)．②如图4，当∠CDF =30° 时，AM +CK ___MK (只填“>”或“<”)．（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF ＜60°时，AM +CK _______MK ，证明你所得到的结论．（3）如果222AM CK MK =+，请直接写出∠CDF 的度数和AMMK 的值．3．如图, 在ABC ∆中, D 是BC 边上的一点, E 是AD 的中点, 过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F , 且BD AF =, 连接BF .(1) 求证: D 是BC 的中点;(2) 如果AC AB =, 试判断四边形AFBD 的形状, 并证明你的结论.图1图2图3（第2题）(M )E KDCA BF M EKDCABF MEK D C ABF 图 4LM EDC AB(F ,K )4. 如图，在菱形ABCD 中，AB=2cm ，∠BAD=60°，E 为CD 边中点，点P 从点A 开始沿AC 方向以每秒23cm 的速度运动，同时，点Q 从点D 出发沿DB 方向以每秒1cm 的速度运动，当点P 到达点C 时，P ，Q 同时停止运动，设运动的时间为x 秒（1）当点P 在线段AO 上运动时. ①请用含x 的代数式表示OP 的长度； ②若记四边形PBEQ 的面积为y ，求y 关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）显然，当x=0时，四边形PBEQ 即梯形ABED ，请问，当P 在线段AC 的其他位置时，以P ，B ，E ，Q 为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的x 的值；若不能，请说明理由.5、如图1、在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，□ABCD 的顶点A 的坐标为（－2，0），点D 的坐标为（0，32），点B 在x 轴的正半轴上，点E 为线段AD 的中点，过点E 的直线l 与x 轴交于点F ，与射线DC 交于点G 。