梯形专题培优训练
培优专题7菱形、矩形、正方形和梯形含答案
培优专题7-菱形、矩形、正方形和梯形(含答案)菱形、矩形、正方形和梯形菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的性质外，各自都有相应的特性，如菱形四边相等、对角线互相垂直，且平分对角；矩形四个角都是直角且对角线相等；正方形是最特殊的平行四边形，它具有菱形和矩形的所有特性，可以说是菱形、矩形的完美结合体，也是最基本的正多边形之一．梯形是现实生活中比较常见的图形之一，也是考查平行四边形和直角三角形非常好的载体，因此在中考数学测试和初中数学竞赛中这些特殊的四边形都是考查的重要内容．例1 如果将长方形纸片ABCD，沿EF折叠，如图，延长C′E交AD于H，连结GH，那么EF与GH互相垂直平分吗？分析要说明EF与GH互相垂直平分，只须说明四边形FGEH是菱形即可．解：∵FH`∥GE，FG∥EH，∴四边形FGEH为平行四边形，由题意知：△GEF≌△HFE．∴FG=FH，EG=EH．∴四边形GEHF为菱形．∴EF、GH互相垂直平分．练习11．如图1，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，•∠BAE=18°，则∠CEF= 18°(1) (2) (3)2．如图2，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，四边形BEFD是菱形，若正方形的边长为6，则菱形的面积为 363．如图3，ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AFEC•恰是一个菱形，•则∠EAB=________．3．连结BD交AC于点O，作EM⊥AC于点M．设正方形边长为a，则AC=BD=AE=2a又∵AC∥BF，BO⊥AC，EM⊥AC，∴BO=EM=12BD=22a．在Rt△AEM中，AE=2a，EM=22a．∴∠CAE=30°．则∠EAB=15°．例2 矩形一边长为5，另一边长小于4，将矩形折起来，使两对角顶点重合，•如图，若折痕EF长为6，求另一边长．分析关键弄清“折痕”特点，即在对角线的中垂线上．此问题转化为就矩形ABCD中，已知AD=5，过对角线AC的中点O作AC的垂线EF，分别交AD于F，BC于E，若EF=6，求AB的长的问题．解：设AB=x，BE=y，连结AE．则AE=CE=5-y．在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即x2+y2=（5-y）2．得y=22510x-，AE=5-y=22510x+．又在Rt△AOE中，AO=12AC=2252x+，EO=12EF=62．代入AE2=AO2+OE2得，（22510x+）2=（2252x+）2+（62）2．即x4+25x2-150=0．解之得，x2=5，x2=-30（舍去）∴x=5．练习21．如图4，矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将A、C重合，使纸片折叠压平，•设折痕为EF，试确定重叠部分的△AEF的面积是7516cm2(4) (5)2．如图5所示，把一张长方形的纸条ABCD沿对角线BD将△BCD折成△BDF，DF•交AB于E，若已知AE=2cm，∠BDC=30°，求纸条的长和宽各是纸条长为6cm，宽为23cm．3．如图，折叠正方形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，使AD=2，求AG．3．作GM⊥BD，垂足为M．由题意可知∠ADG=GDM，则△ADG≌△MDG．∴DM=DA=2． AC=GM又易知：GM=BM．而BM=BD-DM=22-2=2（2-1），∴AG=BM=2（2-1）例3 如图，E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的一点，AM⊥EF，•垂足为M，AM=AB，则有EF=BE+DF，为什么？分析要说明EF=BE+DF，只需说明BE=EM，DF=FM即可，而连结AE、AF．只要能说明△ABE ≌△AME，△ADF≌△AMF即可．理由：连结AE、AF．由AB=AM，AB⊥BC，AM⊥EF，AE公用，∴△ABE≌△AME．∴BE=ME．同理可得，△ADF≌△AMF．∴DF=MF．∴EF=ME+MF=BE+DF．练习31．如图6，点A 在线段BG 上，四边形ABCD 与DEFG 都是正方形，•其边长分别为3cm 和5cm ，则△CDE 的面积为__6c m 2______c m 2．(6) (7)2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．•如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，•那么正方形⑤的面积为__36______．3．如图，P 为正方形ABCD 内一点，PA=PB=10，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积？解：过P 作EF ⊥AB 于F 交DC 于E ．设PF=x ，则EF=10+x ，BF=12（10+x ）．由PB 2=PF 2+BF 2．可得：102=x 2+14（x+10）2．故x=6．S 正方形ABCD =162=256．例4 如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠C=30°，求AD ：BC 的值． 分析 添加辅助线，使等腰梯形ABCD•的问题转化为平行四边形和等腰三角形的问题． 解：过D 作DF ∥AB 交BC 于F ，过D 作DE ⊥BC 于E ，则四边形ABFD 为平行四边形． 设AD=a ，则AD=BF=a ． ∵BD 平分∠ABC ， ∴AD=AB=DF=DC=a ．在Rt △DEC 中，∠C=30°，∵DE=2a，EC=32a ．又∵EC=DF=32a，∴BC=BF+EF+EC=a+32a+32a=（1+3）a．∴AD：BC=a：（1+3）a=（3-1）：2练习41．用长为1、4、4、5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于_______．2．用一块面积为900cm2的等腰梯形彩纸做风筝，为牢固起见，•用竹条做梯形的对角线，对角线恰好互相垂直，那么梯形对角线至少需______cm．3．如图，一块直角梯形的钢板，两底长分别是4cm、•10cm，•且有一个内角为60°，问是否能将铁板任意翻转，使从一个直径为8.7cm的圆洞中穿过？1．63或10．2．302．3．过D作DE⊥BC于E，则BE=4，EC=6，由∠C=60°，知CD=2EC=12，DE=3EC=63，由于BC>8.7，DE>8.7，故这两个方向不能穿过圆洞．过B作BF⊥CD，有CF=12BC=5．得BF=53=75<75.69=8.7．故沿CD方向可穿过圆洞．例5 如图，在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE•⊥BD，PE⊥AC，E、F分别是垂足，求PE+PF的长．分析连结PO，则PE、PF可分别看作是OD、OA边上的高，而OA=OD，故只需求出△AOP、△DOP的面积即可．解：连结OP．由矩形ABCD，AD=12，AB=5．∴AC=BD=2OA=2OB=13．∴OA=OD=6．5．而S矩形=12×5=60．∴S△AOD=14×60=15．∴S△AOP +S△DOP =15．即12×OA×PF+12×OD×PE=15．∴12×6.5×（PE+PF）=15．∴PE+PF=60 13．练习51．如图8，等腰梯形ABCD中，上底AD=2，下底BC=8，M是腰AB的中点，若MD⊥CD，•则梯形的面积为_521_______．(8) (9)2．如图9，已知正方形ABCD的面积为35平方厘米，E、F分别为边AB、BC上的点．AF、CE相交于G，并且△ABF的面积为14平方厘米，△BCE的面积为5平方厘米，•那么四边形BEGF的面积是__42027cm2（面积法）______．3．如图，在ABCD中，在AD、CD上各取一点E、F，使AF=CE，AF与CE相交于P，•则PB 平分∠APC．连结BF、BE．过B作BM⊥AF于M，BN⊥CE于N．则有S△ABF=S△BCE=12S ABCD．即12×AF×BM=12×CE×BN．∵AF=CE∴BM=BN∴点B在∠APC的平分线上．即PB平分∠APC．练习5-1的详解：方法一：过D作DQ⊥BC于Q，作CD中点N，连结MN，交DQ于S MN为梯形ABCD中位线，∴MN=5,MN‖BC∴MS为梯形ABQD中位线∴MS=7/2,S为DQ中点，∵DQ⊥BC,MN‖BC，∴DQ⊥MN设DS=SQ=a，则MS²+DS²=MD²，则MD²=49/4 + a²，SN为△DQC中位线∴SN=3/2∴DN²=9/4 +a²∵MD⊥CD∴MD²+DN²=MN²∴49/4 + a²+ 9/4 +a²=25解得a=√21 /2，DQ=√21，S=1/2(2+8)*√21=5√21方法二：延长DM，BC交于点N。
2022年中考复习《梯形》专项练习附答案
梯形1、〔2021•宁波〕如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=，BC=4，连结BD，∠BAD的平分线交BD 于点E，且AE∥CD，那么AD的长为〔〕考点：梯形；等腰三角形的判定与性质．分析：延长AE交BC于F，根据角平分线的定义可得∠BAF=∠DAF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DAF=∠AFB，然后求出∠BAF=∠AFB，再根据等角对等边求出AB=BF，然后求出FC，根据两组对边平行的四边形是平行四边形得到四边形AFCD是平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等解答．解答：解：延长AE交BC于F，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF=∠DAF，∵AE∥CD，∴∠DAF=∠AFB，∴∠BAF=∠AFB，∴AB=BF，∵AB=，BC=4，∴CF=4﹣=，∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∴AD=CF=．应选B．点评：此题考查了梯形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，梯形的问题，关键在于准确作出辅助线．2、〔2021•十堰〕如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，那么下底BC 的长为〔〕A．8B．9C．10 D．11考点：等腰梯形的性质；等边三角形的判定与性质．分析：首先构造直角三角形，进而根据等腰梯形的性质得出∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5，求出BF即可．解答：解：过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DE⊥BC于点E，∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，∴∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5，∴cos60°===，解得：BF=1.5，故EC=1.5，∴BC=1.5+1.5+5=8．应选：A．点评：此题主要考查了等腰梯形的性质以及解直角三角形等知识，根据得出BF=EC的长是解题关键．3、〔2021•荆门〕如右图所示，等腰梯形ABCD，AD∥BC，假设动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影局部的面积为S，BP为x，那么S关于x的函数图象大致是〔〕A ．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：分三段考虑，①当直线l经过BA段时，②直线l经过AD段时，③直线l经过DC段时，分别观察出面积变化的情况，然后结合选项即可得出答案．解解：①当直线l经过BA段时，阴影局部的面积越来越大，并且增大的速度越来越答： 快；②直线l 经过DC 段时，阴影局部的面积越来越大，并且增大的速度保持不变； ③直线l 经过DC 段时，阴影局部的面积越来越大，并且增大的速度越来越小； 结合选项可得，A 选项的图象符合． 应选A ． 点评： 此题考查了动点问题的函数图象，类似此类问题，有时候并不需要真正解出函数解析式，只要我们能判断面积增大的快慢就能选出答案．4、〔2021年广州市〕如图5，四边形ABCD 是梯形，AD∥BC ，CA 是BCD ∠的平分线，且,4,6,AB AC AB AD ⊥==那么tan B =〔 〕A 23B 22 C114 D 554分析：先判断DA=DC ，过点D 作DE ∥AB ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，由等腰三角形的性质，可得点F 是AC 中点，继而可得EF 是△CAB 的中位线，继而得出EF 、DF 的长度，在Rt △ADF 中求出AF ，然后得出AC ，tanB 的值即可计算． 解：∵CA 是∠BCD 的平分线，∴∠DCA=∠ACB ，又∵AD ∥BC ，∴∠ACB=∠CAD ，∴∠DAC=∠DCA ，∴DA=DC ， 过点D 作DE ∥AB ，交AC 于点F ，交BC 于点E ， ∵AB ⊥AC ，∴DE ⊥AC 〔等腰三角形三线合一的性质〕， ∴点F 是AC 中点，∴AF=CF ，∴EF 是△CAB 的中位线，∴EF=AB=2，∵==1，∴EF=DF=2， 在Rt △ADF 中，AF==4，那么AC=2AF=8，tanB===2．应选B ．点评：此题考查了梯形的知识、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，解答此题的关键是作出辅助线，判断点F 是AC 中点，难度较大．5、(2021年南京)如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =DC ，AC 与BD 相交于点P 。
梯形精编培优综合训练
1、过梯形一底的两端作梯形的高，把梯形转化成一个矩形和两个直角梯形。
例题1、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD交AC于O，证明：CO=CD。
2、过梯形作对角线的平行线，构造平行四边形、等腰三角形或直角三角形。
例题2、如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，AD+BC=10，DE⊥BC于E，求DE的长。
3、延长梯形一腰的中点与一底的断电的连线，与另一底的延长线相交，把梯形转化为三角形。
例题3、如图，直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD于A，DE=EC=BC，求证：∠AEC=3∠DAE。
4、过梯形一底上的中点作两腰的平行线，把梯形转化成两个平行四边形和一个三角形。
例题4、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD<BC，E、F分别为AD，BC的中点，且EF⊥BC，求证：∠B=∠C。
四、梯形性质与判别的运用。
例题1、如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=DC, ∠D=120°，对角线AC平分∠BCD，且梯形的周长为20，求AC的长以及梯形的面积S。
例题2、如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AC与BD交于O，且AC⊥BD，AC=4，BD=3.4，求梯形的面积。
五、提高练习A、填空题1、一直角梯形两腰比为1:2.则它的锐角为_________°。
2、在直角梯形ABCD中，DC//AB，∠BAD=90°，，CD=10，∠C=90°，则AB=____。
3、在梯形ABCD中，AD//BC, ∠B=30°，∠BCD=120°，AD=2，CA平分∠BCD，则∠D=_____°，BC=______。
4、如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD,且AC⊥BD,AF是梯形的高，梯形的面积是49cm2，则AF=__________。
5、如图，梯形ABCD中，AB/DC，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系为__________。
第22章 专题05 几何思想之梯形必考点专练(学生版)-【考点培优尖
编者小k 君小注：本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题05 几何思想之梯形必考点专练（学生版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．（2021·上海宝山·八年级期末）下列四边形中，对角线相等且互相平分的是（ ）A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．等腰梯形2．（2021·上海奉贤·八年级期末）如果一个四边形四个内角的度数之比是1：2：2：3，那么这个四边形是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形3．（2019·上海·八年级月考）梯形ABCD 中AB∥CD ，∥ADC ＋∥BCD ＝90°，以AD 、AB 、BC 为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S 1⋅S 2⋅S 3，且S 1+S 3=4S 2，则CD ＝（ ）A ．2.5AB B ．3ABC ．3.5ABD ．4AB4．（2018·上海市西南模范中学八年级期中）下列命题中，假命题是（ ）A ．两腰相等的梯形是等腰梯形B ．对角线相等的梯形是等腰梯形C ．两个底角相等的梯形是等腰梯形D ．平行于等腰三角形底边的直线截两腰所得的四边形是等腰梯形5．（2019·上海闵行·八年级期末）下列事件中，确定事件是（ ）A ．向量BC 与向量CD 是平行向量B 40=有实数根；C ．直线()20y ax a =+≠与直线23y x =+相交D ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形6．（2020·上海松江·八年级期末）如图，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，AB DC =，AB DC =，//DE AB 交BC 于点E ．下列判断正确的是（ ）A ．向量AB 和向量DC 是相等向量B ．向量AD 和向量CB 相反向量C ．向量AD 和向量CE 是平行向量 D ．向量AB 与向量DE 的和向量是零向量7．（2020·上海徐汇·八年级期末）下列命题中：∥有两个内角相等的梯形是等腰梯形； ∥顺次联结矩形的各边中点所成四边形是菱形；∥两条对角线相等的梯形是等腰梯形； ∥对角线互相平分且相等的四边形是矩形．其中真命题有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．（2021·上海浦东新·八年级期末）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD DC CB ==，AC BC ⊥，那么下列结论不正确的是（ ）A ．2AC CD =B ．60ABC ∠=︒ C ．CBD DBA ∠=∠ D ．BD AD ⊥9．（2021·上海闵行·八年级期末）我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比．如果一个腰长为5的等腰梯形，底差等于6，面积为24，那么这个等腰梯形的纵横比等于（ ）A ．54B ．56C ．23D ．3510．（2021·上海市蒙山中学八年级期中）我们定义：对角线相等的四边形叫做等对角线四边形．如图：在ABC 中，AB AC =，D E 、分别在边AB AC 、上，添加下面什么条件是无法证明四边形BCED 是等对角线四边形（ ）A ．//DE BCB ．,CD AB BE AC ⊥⊥C ．OD OE =D ．,BE CD 是ABC ∠和ACB ∠角平分线二、填空题11．（2019·上海·上外附中八年级月考）如图，等腰梯形ABCD 的一条对角线AC 平分BCD ∠，且与腰AB 垂直，已知腰长为2，则梯形ABCD 的面积为__________12．（2020·上海松江·八年级期末）如果一个梯形的上底长为2cm ，中位线长是5cm ，那么这个梯形下底长为__________cm ．13．（2021·上海黄浦·八年级期末）如图，平行四边形ABCD 中，∥B ＝60°，AB ＝8cm ，AD ＝10cm ，点P 在边BC 上从B 向C 运动，点Q 在边DA 上从D 向A 运动，如果P ，Q 运动的速度都为每秒1cm ，那么当运动时间t ＝_____秒时，四边形ABPQ 是直角梯形．14．（2021·上海静安·八年级期末）在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∥B ＝∥C ＝30°，AD 的长为3，高AH___．15．（2021·上海浦东新·八年级期末）在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90A ∠=︒，3AB =，6CD =，则D ∠的度数是________．16．（2021·上海普陀·八年级期末）已知等腰梯形一个底角是60︒，它的两底分别是6和10,那么它的腰长是__________．17．（2021·上海·上外附中八年级期末）如图，等腰梯形ABCD 中，AB //DC ，∥A ＝60°，AD ＝DC ＝CB ＝10，点E 、F 分别在AD 、BC 上，且AE ＝4，BF ＝x ，设四边形DEFC 的面积为y ，则y 关于x 的函数关系式是 ___．（无需写出定义域）18．（2021·上海闵行·八年级期末）如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，AB CD =，对角线AC BD ⊥，如果高8DE cm =，那么等腰梯形ABCD 的中位线的长为_______cm ．19．（2019·上海·上外附中八年级月考）等腰梯形的腰长为5，对角线互相垂直且交点为对角线的三等分点，则梯形的周长为__________20．（2019·上海·上外附中八年级月考）如图，正方形ABCD 中，E 为边BC 中点，折叠正方形使得点A 与点E 重合，折痕为MN ，设梯形ADMN 面积为1S ，梯形BNMC 面积为2S ，则12S S =_________三、解答题21．（2021·上海嘉定·八年级期末）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，BA AD DC ==，点M 在边CB 的延长线上，点N 在边BC 上．（1）如果MB AD ，求证：AM AC =； （2）如果2ANB ACB ，求证：四边形ADCN 是菱形．22．（2021·上海徐汇·八年级期末）如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、G 分别是AB 、CD 的中点，点F 在边BC 上，且1()2BF AD BC =+． （1）求证：四边形AEFG 是平行四边形；（2）若四边形AEFG 是矩形，求证：AG 平分∥F AD ．23．（2021·上海松江·八年级期末）如图，己知等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，E 、F 分别是两腰的中点，联结AF ，过点F 作//FG AB ，交BC 于点G ，联结EG ．（1）求证：四边形AEGF 是平行四边形；（2）当2GFC EGB ∠=∠时，求证：四边形AEGF 是矩形．24．（2021·上海青浦·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线4y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 在线段AB 上，且3CB CA =．（1）求点C 的坐标；（2）在坐标平面内是否存在点Q ，使得以A 、C 、O 、Q 为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．25．（2021·上海普陀·八年级期末）如图，在梯形ABCD中，∠=︒===，点P从点B开始沿BC向终点C以每秒3cm的速ABC AD BC AB BC CD90,//,12cm,27cm,15cm度移动，点Q从点D开始沿DA向终点A以每秒2cm的速度移动，设运动时间为t秒，连接PQ．（1）线段AD的长度是cm；（2）当t=秒时，四边形ABPQ是矩形；，运动过程中，当t取何值时，线段PQ与CD相等？（3）在点P Q（4）连接PD，当PCD是等腰三角形时，直接写出t的值．26．（2019·上海市七宝中学八年级月考）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，BC＝10，对角线AC、BD相交于点O，且AC∥BD，设AD＝x，∥AOB的面积为y．（1）求∥DBC的度数；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）如图1，设点P、Q分别是边BC、AB的中点，分别联结OP，OQ，PQ．如果∥OPQ是等腰三角形，求AD的长．BC=．点O是27．（2019·上海市娄山中学八年级月考）如图，在Rt ABC中，90B∠=，2∠=，60ACBAC的中点，过点O的直线l与从AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB于点D，过点Ｃ作CE AB交直线l于点Ｅ，设直线l的旋转角为α．//（1）当四边形EDBC是等腰梯形时，则α=_______，此时AD=________；（2）当四边形EDBC是直角梯形时，则α=_________，此时AD=_________；（3）当α为几度时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．28．（2019·上海闵行·八年级期末）梯形ABCD 中，AD BC ∥，4=AD ，10BC =，60ABC ∠=︒，M 、N 在BC 上，AN 平分BAD ∠，DM 平分ADC ∠，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，AN 和DM 分别与EF 交于G 和H ，AN 和DM 交于点P ．（1）求证：12HF CD =； （2）当点P 在四边形EBCF 内部时，设EG x =，HF y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当1GH =时，求EG 的长．29．（2021·上海崇明·八年级期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线122y x =-+分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，直线1y kx =-的图像与y 轴交于点C ，与已知直线交于点D ，点D 的横坐标是2（1）求直线1y kx =-的解析式；（2）将直线1y kx =-的图像向上或向下平移，交直线122y x =-+于点E ，设平移所得函数图像的截距为b ，如果交点E 始终落在线段AB 上，求b 的取值范围．（3）在x 轴上是否存在点P ，使点P 与点A 、B 、C 构成的四边形为梯形，如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．30．（2021·上海黄浦·八年级期末）在梯形ABCD 中，//,90,45,4,7AD BC B C AB BC ∠=︒∠=︒==，点,E F 分别在边AB CD 、上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧， 90,EPF PE PF ∠=︒=，射线EP FP 、与边BC 分别相交于点M N 、，设,AE x MN y ==． （1）求边AD 的长；（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求y 关于x 的函数解析式； （3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．。
梯形经典题型(培优提高)
梯形知识归纳1、梯形的有关概念：梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
直角梯形：一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
2、等腰梯形的性质以及应用：等腰梯形是轴对称图形，对称轴是连接两底中点的直线。
等腰梯形同一底上的两个内角相等，两条对角线相等。
3、等腰梯形的判别方法：定义判定，即“两腰相等的梯形是等腰梯形”。
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
4、梯形问题常见辅助线做法（见例题）5、三角形和梯形的中位线定理：（1）三角形的中位线________于第三边且等于第三边的_______．（2）梯形的中位线_______于两底且等于两底和的_______．6、梯形的面积：如图所示，S梯形ABCD=12（AB+CD）·DE=________（用L表示中位线，h表示高）．在该梯形中，面积相等的三角形有：_____________；_____________；_____________．例题讲解在解（证）有关梯形的问题时，常常要添作辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形问题。
一、平移1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。
例1：如图，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。
2、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。
例2：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。
3、平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中。
例3：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，BD=15cm，AC=20cm，高AE=12cm，求梯形ABCD的面积。
【变式1】已知梯形ABCD的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_____________【变式2】在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，若AD=2，BC=8，BD=6.求：（1）对角线AC的长；（2）梯形ABCD的面积.二、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。
《平行四边形和梯形》专项培优
《平行四边形和梯形》专项培优
专项一数垂线的组数
例1.数一数，图中有几组互相垂直的线段（点A、C之间的所有线段看作一条）
1.数一数，长方体框架上有几组垂直的线段。
说明数的方法。
2.数一数，图中有几组互相垂直的线段写出这些互相垂直的线段。
（点A、C之间，点A、D 之间，点B、C之间的所有线段看作一条）
专项二图形的拼组
例2.平行四边形相邻两边分别长2厘米和1厘米，用这样的平行四边形拼图（如图），拼成的这个图形的周长是多少如果用100个这样的平行四边形这样拼，最后大的平行四边形的周长是多少
3.下面是三个完全一样的平行四边形，都剪去阴影部分，剩下图形的周长哪个最长
4.如图所示，底边上的中点和一个顶点的连线，把一个等腰梯形分割成一个平行四边形和一个等腰三角形，若平行四边形的周长是18厘米，等腰三角形的周长是14厘米，等腰梯形的周长是多少
参考答案：
例1.图中有6组互相垂直的线段
1. 24组每个顶点有3组，8个顶点。
2.图中有8组互相垂直的线段，分别是线段AB与线段BC，线段BC与线段CD，线段CD与线段DA，线段DA与线段AB，线段BC与线段GF，线段AD与线段NE，线段BG与线段AC，线段DN与线段AC。
例2. 2×7＝14（厘米）（14＋1）×2＝30（厘米）
100×2＝200（厘米）（200＋1）×2＝402（厘米
3.图③的周长最长。
提示：剪后，图①左右两条边的长度和没变，上下两条边的长度和减少；图②与原图的周长相等，图③比原图的周长增加了。
4.三角形的底：18－14＝4（厘米）等腰梯形的周长：18＋4＝22（厘米）。
梯形中的中点问题专题培优
梯形中的中点问题专题培优简介本文将探讨关于梯形中的中点问题，并提供专题培优的方法和技巧。
中点问题的定义梯形中的中点问题是指在一个梯形中，如何找到两个非对角线线段的交点，也就是梯形的中点。
这个问题在几何学中有很多应用，特别是在计算梯形的面积和解决几何问题时。
解决方法方法一：使用梯形的性质根据梯形的性质，我们知道梯形的对角线中点连接成一条线段并且相互垂直。
因此，我们可以使用这一性质来找到梯形的中点。
具体步骤如下：1. 找出梯形的对角线，并计算它们的中点坐标；2. 连接两个中点，得到一条垂直于对角线的线段；3. 找到这条垂直线段与另外两条非对角线的交点，即为梯形的中点。
方法二：使用坐标几何另一种解决梯形中点问题的方法是使用坐标几何。
具体步骤如下：1. 假设梯形的四个顶点的坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，D(x4, y4)；2. 计算梯形AC和BD的中点坐标：AC的中点为E((x1+x3)/2, (y1+y3)/2)，BD的中点为F((x2+x4)/2, (y2+y4)/2)；3. 连接中点E和F，得到一条线段，它同时也是梯形的对角线；4. 找到这条线段与另外两条非对角线的交点，即为梯形的中点。
专题培优为了更好地解决梯形中点问题，以下是一些专题培优的建议：1. 掌握和理解梯形的性质，特别是梯形的对角线和垂直性质；2. 熟练掌握坐标几何的计算方法，包括中点和斜率的计算；3. 多进行练和实践，通过解决各种梯形中点问题来提高自己的能力；4. 参考相关教材和网上资源，研究其他解决梯形中点问题的方法和技巧。
结论本文介绍了关于梯形中的中点问题的定义，以及两种解决方法：使用梯形的性质和使用坐标几何。
此外，还提供了一些专题培优的建议，以帮助读者更好地掌握和解决梯形中点问题。
在实践中，读者可以根据具体情况选择合适的方法和技巧，提高自己解决几何问题的能力。
2013—2014学年度初三数学培优班练习卷(因动点产生的梯形问题)
2013—2014学年度初三数学培优班练习卷（因动点产生的梯形问题）班级 座号 姓名一、选择题.1、如图1所示，梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=，BC=4，连结BD ，∠BAD 的平分线交BD 于点E ，且AE∥CD， 则AD 的长为（ ）2、如图2所示，在直角梯形ABCD 中AB ∥CD ，∠B=90°．动点P 从点B 出发，沿梯形的边由BCDA 运动， 设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，把y 看作x 的函数，函数图象如图2所示， △ABC 的面积为（ ） A ．10B ．16C ．18D ．323、如图3所示，直角梯形AOCD 的边OC 在x 轴上，O 为坐标原点，CD 垂直于x 轴，D （5，4），AD=2．若动点E 、F 同时从点O 出发，E 点沿折线OA→AD→DC 运动，到达C 点时停止；F 点沿OC 运动，到达C 点是停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度．设E 运动秒x 时，△EOF 的面积为y （平方单位），则y 关于x 的函数图象大致为【 】A ．B ．C ．D ．4、如图4所示，动点P 从直角梯形ABCD 的直角顶点B 出发，沿B ⇒C ⇒D ⇒A 的顺序运动，得到以点P 移动的路程x 为自变量，△ABP 面积y 为函数的图象，如图2，则梯形ABCD 的面积是（ ） A ．104 B ．120C ．80D ．1125、如图5所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，CA 是BCD ∠的平分线，且,4,6,AB AC AB AD ⊥== 则tan B =（ ）A 、、、114 D6、如图6所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC=4，DE⊥BC于点E，且E是BC中点；动点P从点E出发沿路径ED→DA→AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；设点P的运动时间为t秒，△PBC的面积为S，则下列能反映S与t的函数关系的图象是【】A． B． C． D．7、如图7所示，在等腰梯形ABCD中，∠B=60°，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则梯形ABCD的周长是（）A．14 B．23 C．27 D．388、如图8所示，直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AB=4，AD=DC=2，设点N是DC边的中点，点M是梯形ABCD内或边界上的一个动点，则的最大值是（）A．4 B．6 C．8 D．109、如图9所示，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=90°，AB=28cm，DC=24cm，AD=4cm，点M从点D出发，以1cm/s的速度向点C运动，点N从点B同时出发，以2cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．则四边形ADMN的面积y（cm2）与两动点运动的时间t（s）的函数图象大致是（）A． B． C． D．10、如图10所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°．动点P从点B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y．把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则A 到BD的距离为（）11、直角梯形ABCD，如图11所示，动点P从B点出发，由B→C→D→A沿边运动，设动点P运动的路程为x，△ABP面积为f（x），已知f（x）图象如图2，则△ABC面积为（）A．10 B．16 C．20 D．3212、如图12所示，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD运动至点D停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△BCD的面积是（）A．3 B．4 C．5 D．613、如图13所示，在直角梯形ABCD，∠B=90°，DC∥AB，动点P从B点出发，由B--C--D--A沿边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果关于x的函数y的图象如图2，则△ABC的面积为（）A．10 B．16 C．18 D．3214、如图14所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥DC于点C，AB=2，CD=3，∠D=45°，动点P从D点出发，沿DC以每秒1个单位长度的速度移动，到C点停止．过P点作PQ垂直于直线 AD，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒，△DPQ与直角梯形ABCD重叠部分的面积为S，下列图象中，能表示S与t的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．15、如图15所示，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，则α+β的取值范围是（）二、填空题.1、如图16所示，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =DC ，AC 与BD 相交于点P 。
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梯形专题培优训练
一．选择题
1．如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AD=DC=4，BC=8，点N在BC上，CN=2，E是AB中点，在AC上找一点M使EM+MN的值最小，此时其最小值一定等于（）
A．6B．8C．4D．4
2．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC，BE⊥CD，AD=3，AB=5，则BC的长为（）
A．6B．7C．8D．9
3．如图，菱形ABCD由6个腰长为2，且全等的等腰梯形镶嵌而成，则线段AC的长为（）
A．3B．6C．D．
4．直角梯形的中位线为a，一腰长为b，这个腰与底边所成的角为30°，则它的面积为（）
A．a b B．
ab C．
ab
D．
ab
5．如图．梯形ABCD中，AD∥BC、AB=CD，AC丄BD于点O，∠BAC=60°，若BC=，则此梯形的面积为（）
A．2B．1+C．D．2+
6．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，设AD=a，BC=b，则四边形AEFD的周长是（）
A．3a+b B．2（a+b）C．2b+a D．4a+b
7．活动课上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm2，则两条对角线所用的竹条至少需要（）
A．30cm B．60cm C．45cm D．90cm
8．已知一个梯形的4条边的长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积等于（）
A．4B．6C．8D．
二．填空题
9．等腰梯形的对角线所夹锐角为60°，如图所示，若梯形上下底之和为2，则该梯形的高为_________．
10．如图把直角梯形ABCD沿射线AD方向平移到梯形EFGH，DC=10，WG=2，CW=3，则阴影部分面积为
_________．
11．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠BAC=90°，AB=2，CD=，E是BC的中点，则DE的长为_________．
12．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，CD=5，AB=11，点M、N分别为AB、CD的中点，则线段MN=_________．
13．如图，∠AOB=45°，过OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11，的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为S1，S2，S3，S4，…，观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积S10= _________．
14．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一动点，那么PC+PD的最小值为_________．
15．①如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，对角线AC⊥BD，垂足为O．若CD=3，AB=5，则AC的长为_________．
②如图2，在等腰梯形ABCD中，AC⊥BD，AC=6cm，则等腰梯形ABCD的面积为_________cm2．
③如图3，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AD=4，BC=8，则AE+EF等于_________．
16．如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是_________．
三．解答题
17．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=65°，∠C=25°，AD=2，BC=8，AB=3，求梯形ABCD的面积．
18．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．
19．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，DE⊥BC于点E，且DE=1，AD=4，∠B=45°．
（1）直接写出BC的长；
（2）直线AB以每秒0.5个单位的速度向右平移，交AD于点P，交BC于点Q，则当直线AB的移动时间为多少秒，形成的四边形ABQP恰好为菱形？（结果精确到0.01秒）；
（3）AB移动方向、速度如同第（2）题，移动时间为t秒，求经过t秒，AB扫过梯形ABCD的面积S．（用含t 的代数式表示，直接写出答案即可）
20．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点．
（1）求证：△MDC是等边三角形；
（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值？如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．
21．已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC 于F．
（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．
（2）求证：ED=BE+FC．
22．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=10cm，CD=4cm，点P从点A出发，以1.5cm/秒的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发，以1cm/秒的速度沿CD向终点D运动（P、Q两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止），设P、Q同时出发并运动了t秒：
（1）当点Q运动到点D时，PQ把梯形分成两个特殊图形是_________、_________；
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，当四边形DEPQ是矩形时，求t的值；
（3）探索：是否存在这样的t值，使四边形PBCQ的面积是四边形APQD面积的2倍？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
．
23．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P从A点开始沿AD边向D 以3cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点以1cm/s的速度运动，点P、Q分别从A、C同时出发，设运动时间为t（s）．（1）当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．①当t为何值时，以CD、PQ为两边，以梯形的底（AD或BC）的一部分（或全部）为第三边能构成一个三角形？②当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（2）若点P从点A开始沿射线AD运动，当点Q到达点B时，点P也随之停止运动．当t为何值时，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形？。