2020高考数学刷题首选卷单元质量测试(三)三角函数、解三角形与平面向量理(含解析)
2020高考数学刷题首秧第三章三角函数解三角形与平面向量考点测试26平面向量基本定理及坐标表示文含解析.pdf
考点测试26 平面向量基本定理及坐标表示高考概览本考点是高考常考知识点，常考题型为选择题和填空题，分值5分，中、低等难度考纲研读1．了解平面向量基本定理及其意义2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件一、基础小题1．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－4，m )，若a ＝－b ，则m ＝( )12A ．－2 B ．2 C ．－ D ．1212答案 A解析 由向量的坐标运算可得1＝－m ，解得m ＝－2．故选A ．122．设向量e 1，e 2为平面内所有向量的一组基底，且向量a ＝3e 1－4e 2与b ＝6e 1＋k e 2不能作为一组基底，则实数k 的值为( )A ．8B ．－8C ．4D ．－4答案 B解析 由a 与b 不能作为一组基底，则a 与b 必共线，故＝，即k ＝－8．故选B ．36－4k 3．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量同方向的单位向量为( )AB →A ．，－B ．，－35454535C ．－，D ．－，35454535答案 A解析 因为＝(3，－4)，所以与其同方向的单位向量e ＝＝(3，－4)＝，－AB →AB →|AB → |153545．故选A ．4．若向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，c ＝0，，则c 可用向量a ，b 表示为( )52A ．a ＋b B ．－a －b 1212C ．a ＋b D ．a －b 32123212答案 A解析 设c ＝x a ＋y b ，则0，＝(2x －y ，x ＋2y )，所以Error!解得Error!则c ＝a ＋b ．故5212选A ．5．已知平行四边形ABCD 中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则AD → AB →的坐标为( )CO →A ．－，5B ．，51212C ．，－5 D ．－，－51212答案 D解析 ＝＋＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．AC → AB → AD →∴＝＝，5．∴＝－，－5．故选D ．OC → 12AC → 12CO →126．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)答案 D解析 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．故选D ．7．已知点A (1，－2)，若向量与向量a ＝(2,3)同向，且||＝，则点B 的坐标AB → AB →13为( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(3,1)D ．(3，－1)答案 C解析 设＝(x ，y )，则＝k a (k >0)，即Error!由||＝得k ＝1，故＝＋＝(1，AB → AB → AB → 13OB → OA → AB →－2)＋(2,3)＝(3,1)．故选C ．8．已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k )，当A ，B ，C 三点共线时，实数kOA → OB → OC →的值为( )A ．3B ．11C ．－2D ．－2或11答案 D解析 因为＝－＝(4－k ，－7)，＝－＝(6，k －5)，且∥，所以(4－AB → OB → OA → BC → OC → OB → AB → BC →k )(k －5)－6×(－7)＝0，解得k ＝－2或11．故选D ．9．已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ，则λμ＝AC → AD → AB → AC → AB → AD →( )A ．－3B ．3C ．－4D ．4答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则＝(2，－2)，＝(1,2)，＝(1,0)，AC → AB → AD →由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即Error!解得Error!所以λμ＝－3．故选A ．10．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，＝，＝，若＝λ1＋λ2AD → 12AB → BE → 23BC → DE → AB → AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 12解析 ∵＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，∴λ1＝－，λ2＝，DE → DB → BE → 12AB → 23BC → 12AB → 23AC → AB →16AB → 23AC → 1623∴λ1＋λ2＝．1211．如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹OA → OB → OC → OA → OB → OA → OC →角为30°，且||＝||＝1，||＝2．若＝λ＋μ(λ，μ∈R )，则λ＋μ的OA → OB → OC → 3OC → OA → OB →值为________．答案 6解析 以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，B ，C (3，)．(－12，32)3由＝λ＋μ，OC → OA → OB →得Error!解得Error!所以λ＋μ＝6．二、高考小题12．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．8答案 D解析 由题可得a ＋b ＝(4，m －2)，又(a ＋b )⊥b ，∴4×3－2×(m －2)＝0，∴m ＝8．故选D ．13．(2015·湖南高考)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC ．若点P 的坐标为(2,0)，则|＋＋|的最大值为( )PA → PB → PC →A ．6B ．7C ．8D ．9答案 B解析 解法一：由圆周角定理及AB ⊥BC ，知AC 为圆的直径，故＋＝2＝(－4,0)(OPA → PC → PO →为坐标原点)．设B (cos α，sin α)，∴＝(cos α－2，sin α)，PB →∴＋＋＝(cos α－6，sin α)，|＋＋|＝＝PA → PB → PC → PA → PB → PC →(cos α－6)2＋sin 2α≤＝7，当且仅当cos α＝－1时取等号，此时B (－1,0)，故|＋＋37－12cos α37＋12PA → PB →|的最大值为7．故选B ．PC →解法二：同解法一得＋＝2(O 为坐标原点)，又＝＋，∴|＋＋|＝|3PA → PC → PO → PB → PO → OB → PA → PB → PC →＋|≤PO → OB →3||＋||＝3×2＋1＝7，当且仅当与同向时取等号，此时B 点坐标为(－1,0)，PO → OB → PO → OB →故|＋＋|max ＝7．故选B ．PA → PB → PC →14．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________．答案 12解析 由题可得2a ＋b ＝(4,2)，∵c ∥(2a ＋b )，c ＝(1，λ)，∴4λ－2＝0，即λ＝．1215．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．答案 12解析 由于a ，b 不平行，所以可以以a ，b 作为一组基底，于是λa ＋b 与a ＋2b 平行等价于＝，即λ＝．λ1121216．(2015·江苏高考)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．答案 －3解析 由a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，可得m a ＋n b ＝(2m ，m )＋(n ，－2n )＝(2m ＋n ，m －2n )，由已知可得Error!解得Error!故m －n ＝－3．17．(2017·江苏高考)如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1,1，，OA → OB → OC → 2OA→与的夹角为α，且tan α＝7，与的夹角为45°．若＝m ＋n (m ，n ∈R )，则m ＋n ＝OC → OB → OC →OC → OA → OB →________．答案 3解析 解法一：∵tan α＝7，α∈[0，π]，∴cos α＝，sin α＝．2107210∵与的夹角为α，∴＝．OA → OC →210OA → ·OC → |OA → ||OC →|∵＝m ＋n ，||＝||＝1，||＝，OC → OA → OB → OA → OB → OC →2∴＝． ①210m ＋nOA → ·OB →2又∵与的夹角为45°，OB → OC →∴＝＝． ②22OB → ·OC → |OB → ||OC →|mOA → ·OB →＋n 2又cos ∠AOB ＝cos(45°＋α)＝cos αcos45°－sin αsin45°＝×－×＝－21022721022，35∴·＝||||cos ∠AOB ＝－，OA → OB → OA → OB →35将其代入①②得m －n ＝，－m ＋n ＝1，351535两式相加得m ＋n ＝，所以m ＋n ＝3．252565解法二：过C 作CM ∥OB ，CN ∥OA ，分别交线段OA ，OB 的延长线于点M ，N ，则＝m ，＝n ，由正弦定理得OM → OA → ON → OB →＝＝，∵||＝，|OM → |sin45°|OC → |sin (135°－α)|ON → |sin αOC →2由解法一，知sin α＝，cos α＝，7210210∴||＝＝＝，OM →2sin45°sin (135°－α)1sin (45°＋α)54||＝＝＝．ON →2sin αsin (135°－α)2×7210sin (45°＋α)74又＝m ＋n ＝＋，||＝|O |＝1，OC → OA →OB → OM → ON → OA → B →∴m ＝，n ＝，∴m ＋n ＝3．5474解法三：如图，设O ＝m ，D ＝n ，则在△ODC 中有OD ＝m ，DC ＝n ，OC ＝，∠OCD ＝D → OA → C → OB →245°，由tan α＝7，得cos α＝，210又由余弦定理知Error!即Error!①＋②得4－2n －m ＝0，即m ＝10－5n ，代入①得12n 2－49n ＋49＝0，解得n ＝或n ＝2574，当n ＝时，m ＝10－5×＝－<0(不符合题意，舍去)，当n ＝时，m ＝10－5×＝，73737353747454故m ＋n ＝＋＝3．5474三、模拟小题18．(2018·长春质检二)已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,0)，则|a ＋2b |＝( )A ．3 B ．3 C ．2 D ．522答案 A解析 a ＋2b ＝(1，－3)＋2·(－2,0)＝(－3，－3)，所以|a ＋2b |＝＝3(－3)2＋(－3)2，故选A ．219．(2018·吉林白城模拟)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则＝( )mnA ．B ．2C ．－D ．－21212答案 C解析 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n ，3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得＝，所以＝－，故选C ．2m －n 43m ＋2n －1m n 1220．(2018·山东潍坊一模)若M 是△ABC 内一点，且满足＋＝4，则△ABM 与△ACMBA → BC → BM →的面积之比为( )A ．B ．C ．D ．2121314答案 A解析 设AC 的中点为D ，则＋＝2，于是2＝4，从而＝2，即M 为BD 的BA → BC → BD → BD → BM → BD → BM →中点，于是＝＝＝．S△ABM S△ACM S △ABM 2S △AMD BM 2MD 1221．(2018·河北衡水中学2月调研)一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，若＝2，＝3，＝λ－μ(λ，μ∈R )，AB → AE → AD → AF → AM → AB → AC →则μ－λ＝( )52A ．－B ．1C ．D ．－31232答案 A解析 ＝λ－μ＝λ－μ(＋)＝(λ－μ)－μ＝2(λ－μ)－3μAM → AB → AC → AB → AB → AD → AB → AD → AE →，因为E ，M ，F 三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，AF →∴μ－λ＝－，故选A ．521222．(2018·湖南四大名校联考)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若＝a ，＝b ，则＝( )AC → BD → AF →A ．a ＋bB ．a ＋b 14121214C ．a ＋b D ．a ＋b 23131223答案 C解析 解法一：如题图，根据题意，得＝＋＝(a －b )，＝＋＝(a ＋AB → 12AC → 12DB → 12AD → 12AC → 12BD → 12b )．∵E 是线段OD 的中点，DF ∥AB ，∴＝＝，∴D ＝A ＝(a －b )，∴A ＝A ＋DDF AB DE EB 13F → 13B → 16F → D → ＝(a ＋b )＋(a －b )＝a ＋b ．故选C ．F → 12162313解法二：如题图，根据题意，得＝＋＝(a －b )，＝＋＝(a ＋b )．令AB → 12AC → 12DB → 12AD → 12AC → 12BD → 12＝t ，则＝t (＋)＝t ＋＝a ＋b ．由＝＋，令＝s ，又＝(a ＋b )，AF → AE → AF → AB → BE → AB → 34BD → t 2t 4AF → AD → DF → DF → DC → AD → 12＝a －b ，所以＝a ＋b ，所以Error!解方程组得Error!把s 代入即可得到＝a ＋DF → s 2s 2AF → s ＋121－s 2AF → 23b ．故选C ．1323．(2018·湖北黄石质检)已知点G 是△ABC 的重心，过G 作一条直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且＝x ，＝y ，则的值为( )AM → AB → AN → AC →xy x ＋yA ．B ．C ．2D ．31213答案 B解析 由已知得M ，G ，N 三点共线，∴＝λ＋(1－λ)＝λx ＋(1－λ)y ．∵AG → AM → AN → AB → AC → 点G 是△ABC 的重心，∴＝×(＋)＝(＋)，AG → 2312AB → AC →13AB →AC → ∴Error!即Error!得＋＝1，即＋＝3，通分变形得，＝3，∴＝．故选B ．13x 13y 1x 1y x ＋y xy xy x ＋y 1324．(2018·合肥质检三)已知向量＝(2,0)，＝(0,2)，＝t ，t ∈R ，则当||OA → OB → AC → AB → OC →最小时，t ＝________．答案 12解析 由＝t 知A ，B ，C 三点共线，即动点C 在直线AB 上．从而当OC ⊥AB 时，||AC → AB → OC →最小，易得|O |＝|O |，此时|A |＝|A |，则t ＝．A →B →C → 12B →1225．(2018·太原3月模拟)在正方形ABCD 中，已知M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若＝λAC →＋μ，则实数λ＋μ＝________．AM → AN →答案 43解析 解法一：如图，因为M ，N 分别是BC ，CD 的中点，所以＝＋，＝＋AM → 12AB → 12AC → AN → 12AD → 12，所以＋＝(＋)＋＝＋＝，所以＝＋，而＝λ＋μ，AC → AM → AN → 12AB → AD → AC → 12AC → AC → 32AC → AC → 23AM → 23AN → AC → AM → AN →所以λ＝，μ＝，λ＋μ＝．232343解法二：如图，以A 为原点，分别以AB ，AD 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系．设正方形ABCD 边长为1，则A (0,0)，C (1，1)，M 1，，N ，1．所以＝(1,1)，AM ＝1，1212AC →，＝，1，所以λ＋μ＝λ＋μ，λ＋μ＝，所以Error!所以Error!λ＋μ＝．12AN → 12AM → AN → 1212AC →43一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2018·皖南八校模拟)如图，∠AOB ＝，动点A 1，A 2与B 1，B 2分别在射线OA ，OB 上，π3且线段A 1A 2的长为1，线段B 1B 2的长为2，点M ，N 分别是线段A 1B 1，A 2B 2的中点．(1)用向量与表示向量；A 1A 2→B 1B 2→ MN →(2)求向量的模．MN →解 (1)＝＋＋，＝＋＋，两式相加，并注意到点M ，N 分别是MN → MA 1→ A 1A 2→ A 2N → MN → MB 1→ B 1B 2→ B 2N →线段A 1B 1，A 2B 2的中点，得＝(＋)．MN → 12A 1A 2→ B 1B 2→(2)由已知可得向量与的模分别为1与2，夹角为，所以·＝1，A 1A 2→ B 1B 2→ π3A 1A 2→ B 1B 2→ 由＝(＋)MN → 12A 1A 2→ B 1B 2→得||＝＝MN → 14(A 1A 2→ ＋B 1B 2→ )2＝．12A 1A 2→ 2＋B 1B 2→ 2＋2A 1A 2→ ·B 1B 2→722．(2018·湖北荆门调研)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1,0)和点B (－1,0)，||＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点．OC →(1)若x ＝，设点D 为线段OA 上的动点，求|＋|的最小值；3π4OC → OD →(2)若x ∈，向量m ＝，n ＝(1－cos x ，sin x －2cos x )，求m ·n 的最小值及对应[0，π2]BC →的x 值．解 (1)设D (t,0)(0≤t ≤1)，由题易知C ，(－22，22)所以＋＝，OC → OD →(－22＋t ，22)所以|＋|2＝－t ＋t 2＋＝t 2－t ＋1＝2＋(0≤t ≤1)，OC → OD →122122(t －22)12所以当t ＝时，|＋|2的最小值为，22OC → OD →12则|＋|的最小值为．OC → OD →22(2)由题意得C (cos x ，sin x )，m ＝＝(cos x ＋1，sin x )，BC →则m ·n ＝1－cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x＝1－cos2x －sin2x ＝1－sin ．2(2x ＋π4)因为x ∈，所以≤2x ＋≤，[0，π2]π4π45π4所以当2x ＋＝，即x ＝时，π4π2π8sin 取得最大值1，(2x ＋π4)所以m ·n 的最小值为1－，此时x ＝．2π8。
2020高考数学刷题首秧第三章三角函数解三角形与平面向量考点测试23正弦定理和余弦定理文含解析
考点测试23 正弦定理和余弦定理高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题和解答题，分值5分、12分，中、低等难度考纲研读掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题一、基础小题1．在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝，BC ＝，那么A 等于( )32A ．135° B ．105° C ．45° D ．75°答案 C解析 由正弦定理知＝，即＝，所以sin A ＝，又由题知BC sin A AB sin C 2sin A 3sin60°220°<A <120°，所以A ＝45°．故选C ．2．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则＝( )sin Csin B A ． B ． C ． D ．85585335答案 C解析 在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC cos A ，代入得49＝25＋AC 2＋5AC ，解得AC ＝3或AC ＝－8(舍去)，所以＝＝，故选C ．sin C sin B AB AC 533．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，则角B 3的值为( )A ．B ．π3π6C ．或 D ．或π32π3π65π6答案 C解析 由余弦定理，知a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，所以由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac 可得32ac cos B ·＝ac ，所以sin B ＝，所以B ＝或，故选C ．sin B cos B 332π32π34．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形 D ．不能确定答案 C解析 由正弦定理得a 2＋b 2<c 2，所以cos C ＝<0，所以C 是钝角，故△ABC 是a 2＋b 2－c 22ab钝角三角形．故选C ．5．已知△ABC 中，cos A ＝，cos B ＝，BC ＝4，则△ABC 的面积为( )3545A ．6 B ．12 C ．5 D ．10答案 A解析 因为cos A ＝，cos B ＝，所以sin A ＝，sin B ＝，则由正弦定理得＝，35454535BC sin A ACsin B 所以AC ＝＝3，则由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，即32＝AB 2＋42－8×BC ·sin Bsin AAB ，解得AB ＝5，所以△ABC 是以AC ，BC 为直角边的直角三角形，所以其面积为×3×4＝6，4512故选A ．6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a ∶b ∶c ＝6∶4∶3，则＝sin2Asin B ＋sin C( )A ．－B ．C ．－D ．－11141271124712答案 A解析 不妨设a ＝6，b ＝4，c ＝3，由余弦定理可得cos A ＝＝－，则b 2＋c 2－a 22bc 1124＝＝＝＝－，故选A ．sin2A sin B ＋sin C 2sin A cos A sin B ＋sin C 2a cos Ab ＋c12×－11244＋311147．在△ABC 中，“sin A <sin B ”是“A <B ”的( )A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 根据正弦定理，“sin A <sin B ”等价于“a <b ”，根据“大边对大角”，得“a <b ”等价于“A <B ”．故选C ．8．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是( )A ．b ＝10，A ＝45°，C ＝60° B ．a ＝6，c ＝5，B ＝60°C ．a ＝14，b ＝16，A ＝45° D ．a ＝7，b ＝5，A ＝60°答案 C解析 由条件解三角形，其中有两解的是已知两边及其一边的对角．C 中，sin B ＝b sin A a＝＝<1，b >a ，B >A ，角B 有两个解，故选C ．16×sin45°14427二、高考小题9．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos ＝，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )C255A ．4 B ． C ． D ．2230295答案 A解析 因为cos C ＝2cos 2－1＝2×2－1＝－，所以AB 2＝BC 2＋AC 2－2BC ×AC cos C ＝1C 25535＋25－2×1×5×－＝32，∴AB ＝4．故选A ．35210．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 的面积为，则C ＝( )a 2＋b 2－c 24A ．B ．C ．D ．π2π3π4π6答案 C解析 由题可知S △ABC ＝ab sin C ＝，所以a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ．由余弦定理12a 2＋b 2－c 24得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，所以sin C ＝cos C ．∵C ∈(0，π)，∴C ＝，故选C ．π411．(2017·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A 答案 A解析 解法一：因为sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，所以sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )，所以sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin B ，即cos C (2sin B －sin A )＝0，所以cos C ＝0或2sin B ＝sin A ，即C ＝90°或2b ＝a ，又△ABC 为锐角三角形，所以0°＜C ＜90°，故2b ＝a ．故选A ．解法二：由正弦定理和余弦定理得b 1＋＝2a ·＋c ·，a 2＋b 2－c 2ab a 2＋b 2－c 22ab b 2＋c 2－a 22bc所以2b 21＋＝a 2＋3b 2－c 2，a 2＋b 2－c 2ab即(a 2＋b 2－c 2)＝a 2＋b 2－c 2，即(a 2＋b 2－c 2)－1＝0，所以a 2＋b 2＝c 2或2b ＝a ，2b a 2ba又△ABC 为锐角三角形，所以a 2＋b 2＞c 2，故2b ＝a ．故选A ．12．(2018·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝，b ＝2，A ＝760°，则sin B ＝________，c ＝________．答案 3217解析 由＝得sin B ＝sin A ＝，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c 2－2c －3＝0，asin Absin Bb a 217解得c ＝3(舍去负值)．13．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．答案 233解析 根据题意，结合正弦定理可得sin B sin C ＋sin C ·sin B ＝4sin A sin B sin C ，即sin A ＝，结合余弦定理可得2bc cos A ＝8，所以A 为锐角，且cos A ＝，从而求得bc ＝，1232833所以△ABC 的面积为S ＝bc sin A ＝××＝．121283312233三、模拟小题14．(2018·广东广雅中学、江西南昌二中联考)已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若3b cos C ＝c (1－3cos B )，则sin C ∶sin A ＝( )A ．2∶3B ．4∶3C ．3∶1D ．3∶2答案 C解析 由正弦定理得3sin B cos C ＝sin C －3sin C cos B ，3sin(B ＋C )＝sin C ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＋C ＝π－A ，所以3sin A ＝sin C ，所以sin C ∶sin A ＝3∶1，故选C ．15．(2018·合肥质检)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若sin(C －A )＝sin B ，且b ＝4，则c 2－a 2＝( )12A ．10B ．8C ．7D ．4答案 B解析 依题意，有sin C cos A －cos C sin A ＝sin B ，由正弦定理得c cos A －a cos C ＝b ；再1212由余弦定理可得c ·－a ·＝b ，将b ＝4代入整理，得c 2－a 2＝8，故b 2＋c 2－a 22bc b 2＋a 2－c 22ab 12选B ．16．(2018·珠海摸底)在△ABC 中，已知角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，C ＝60°，a ＝4b ，c ＝，则△ABC 的面积为________．13答案 3解析 根据余弦定理，有a 2＋b 2－2ab cos C ＝c 2，即16b 2＋b 2－8b 2×＝13，所以b 2＝1，12解得b ＝1，所以a ＝4，所以S △ABC ＝ab sin C ＝×4×1×＝．121232317．(2018·贵阳期末)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＝b cos A ，a 3＝4，若△ABC 的面积为4，则b ＋c ＝________．3答案 8解析 由a sin B ＝b cos A 得＝，再由正弦定理＝，所以＝3bsin Ba3cos Absin Basin Aasin A，即tan A ＝，又A 为△ABC 的内角，所以A ＝．由△ABC 的面积为S ＝bc sin A ＝a3cos A3π312bc ×＝4，得bc ＝16．再由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2＝32，所以b ＋c ＝12323＝＝＝8．(b ＋c )2b 2＋c 2＋2bc 32＋2×1618．(2018·长春质检)已知△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若其面积S ＝b 2sin A ，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，AD ＝，a ＝，则b ＝________．2333答案 1解析 由S ＝bc sin A ＝b 2sin A ，可知c ＝2b ，由角平分线定理可知，＝＝＝12BD CD AB AC cb 2．又BD ＋CD ＝a ＝，所以BD ＝，CD ＝．在△ABD 中，因为BD ＝AD ＝，AB ＝c ＝2b ，323333233所以cos ∠ABD ＝＝b ，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABD ，12AB BD32所以b 2＝4b 2＋3－4b cos ∠ABD ＝3＋4b 2－6b 2，解得b ＝1．3一、高考大题1．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5．(1)求cos ∠ADB ；(2)若DC ＝2，求BC ．2解 (1)在△ABD 中，由正弦定理，得＝．BDsin AABsin ∠ADB由题设知，＝，所以sin ∠ADB ＝．5sin45°2sin ∠ADB 25由题设知，∠ADB <90°，所以cos ∠ADB ＝＝．1－225235(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝．25在△BCD 中，由余弦定理，得BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ×DC cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×2×＝25，所以BC ＝5．2252．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知△ABC 的面积为．a 23sin A(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．解 (1)由题设得ac sin B ＝，即c sin B ＝．12a 23sin A 12a3sin A 由正弦定理得sin C sin B ＝．12sin A3sin A 故sin B sin C ＝．23(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－，12即cos(B ＋C )＝－，所以B ＋C ＝，故A ＝．122π3π3由题设得bc sin A ＝，即bc ＝8．12a 23sin A 由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9，得b ＋c ＝．33故△ABC 的周长为3＋．333．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c ．(1)求C ；(2)若c ＝，△ABC 的面积为，求△ABC 的周长．7332解 (1)由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，2cos C sin(A ＋B )＝sin C ．故2sin C cos C ＝sin C ．因sin C ≠0，可得cos C ＝，因为C ∈(0，π)，所以C ＝．12π3(2)由已知，得ab sin C ＝．12332又C ＝，所以ab ＝6．π3由已知及余弦定理，得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7．故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25，a ＋b ＝5．所以△ABC 的周长为5＋．7二、模拟大题4．(2018·深圳4月调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知B 为锐角，且a cos B ＋b sin B ＝c ．(1)求C 的大小；(2)若B ＝，延长线段AB 至点D ，使得CD ＝，且△ACD 的面积为，求线段BD π33334的长度．解 (1)由已知及正弦定理可得sin A cos B ＋sin 2B ＝sin C ．因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以sin 2B ＝cos A sin B ．因为B ∈0，，所以sin B >0，所以sin B ＝cos A ，π2即cos－B ＝cos A ．π2因为A ∈(0，π)，－B ∈0，，π2π2所以－B ＝A ，即A ＋B ＝，所以C ＝．π2π2π2(2)设BD ＝m ，CB ＝n ．因为B ＝，C ＝，π3π2所以A ＝，∠DBC ＝，且AC ＝n ，AB ＝2n ，AD ＝2n ＋m ．所以S △ACD ＝AC ·AD ·sin A ＝π62π3312×n ×(2n ＋m )×＝，即n (2n ＋m )＝3 ①，12312334在△BCD 中，由余弦定理得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD cos ∠DBC ，即m 2＋n 2＋mn ＝3 ②，联立①②解得m ＝n ＝1，即BD ＝1．5．(2018·长沙统考)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a 2＝c (a －c )＋b 2．(1)求角B 的大小；(2)设m ＝2a －c ，若b ＝，求m 的取值范围．3解 (1)因为a 2＝c (a －c )＋b 2，所以a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以cos B ＝＝．a 2＋c 2－b 22ac 12又因为0<B <π，所以B ＝．π3(2)由正弦定理得＝＝＝＝2，asin Acsin Cbsin B3sinπ3所以a ＝2sin A ，c ＝2sin C ．所以m ＝2a －c ＝4sin A －2sin C ＝4sin A －2sin－A 2π3＝4sin A －2×cos A ＋sin A 3212＝3sin A －cos A3＝2×sin A －cos A 33212＝2sin A －．3π6因为A ，C 都为锐角，则0<A <，且0<C ＝－A <，所以<A <，所以0<A －<，π22π3π2π6π2π6π3所以0<sin A －<，所以0<m <3．π6326．(2018·福建4月质检)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C －3c sin B ＝a ．3(1)求角B 的大小；(2)若a ＝3，b ＝7，D 为边AC 上一点，且sin ∠BDC ＝，求BD ．33解 (1)由正弦定理及b cos C －c sin B ＝a ，33得sin B cos C －sin C sin B ＝sin A ，33所以sin B cos C －sin C sin B ＝sin(B ＋C )，33所以sin B cos C －sin C sin B ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，333即－sin C sin B ＝cos B sin C ．3因为sin C ≠0，所以－sin B ＝cos B ，所以tan B ＝－．33又B ∈(0，π)，解得B ＝．2π3(2)解法一：在△ABC 中，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，且a ＝3，b ＝7，所以72＝32＋c 2－2×3c ×－，解得c ＝5．12在△ABC 中，由正弦定理＝，得＝，b sin B c sin C 7325sin C解得sin C ＝．5314在△BCD 中，由正弦定理＝，BDsin C asin ∠BDC 得＝，解得BD ＝．BD53143334514解法二：在△ABC 中，由正弦定理＝，a sin A b sin B 及a ＝3，b ＝7，得sin A ＝．3314又因为B ＝，所以0<A <，所以cos A ＝，2π3π31314则sin C ＝sin(A ＋B )＝sincos A ＋cos sin A 2π32π3＝×－×＝．3213141233145314在△BCD 中，由正弦定理＝，BDsin C asin ∠BDC 得＝，解得BD ＝．BD 53143334514。
2020年高考文科数学【省市好题精选(3月)】分类解析：三角函数及解三角形、平面向量、数列
2020年高考文科数学【省市好题精选（3月）】分类解析考点04 三角函数及解三角形P1考点05 平面向量P13考点06 数列P19考点04 三角函数及解三角形1.【山东省六地市部分学校2020年3月2日线上考试高三数学试题】泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为30°，则“泉标”的高度为（）A．50m B．100m C．120m D．150m【答案】A【解析】根据题意，画出图形为：所以AB＝100，∠BAC＝60°，∠DBC＝30°，设DC＝x，所以AC＝x，BC=√3x，在△ABC中，利用余弦定理的应用，(√3x)2=x2+1002−2×x×100×12，解得x＝50．故选A．2.【安徽省六安市第一中学2020届高三下学期自测卷（一）线下考试数学（文）试题】已知α∈（0，π2），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（）A．15B．√55C．√33D．2√55【答案】B【解析】∵2sin2α＝cos2α+1，∴可得：4sinαcosα＝2cos2α，∵α∈（0，π2），sinα＞0，cosα＞0，∴cosα＝2sinα，∵sin2α+cos2α＝sin2α+（2sinα）2＝5sin2α＝1，∴解得：sinα=√55．故选：B．3.【安徽省六安市第一中学2020届高三下学期自测卷（一）线下考试数学（文）试题】函数f（x）＝sin2（x+π4）﹣sin2（x−π4）是（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的偶函数D．周期为2π的奇函数【答案】A【解析】f（x）＝sin2[π2+（x−π4）]﹣sin2（x−π4）＝cos2（x−π4）﹣sin2（x−π4）＝cos（2x−π2）＝sin2x，∵ω＝2，∴T＝π，由正弦函数为奇函数，得到f（x）为奇函数，则f（x）为周期是π的奇函数．故选：A．4.【安徽省六安市第一中学2020届高三下学期自测卷（一）线下考试数学（文）试题】当x∈[0，π2]时，函数f(x)=sin2x−2√3sin(π4−x)sin(π4+x)的值域是（）A．[−√3，√3]B．[−1，√3]C．[−√3，2]D．[﹣1，2] 【答案】C【解析】由题意得f(x)=sin2x−2√3sin(π4−x)cos(π4−x)=sin2x−√3sin(π2−2x)=sin2x−√3cos2x=2sin(2x−π3)，当x∈[0，π2]时，2x−π3∈[−π3，2π3]，则当x＝0时，f（x）取最小值为−√3，所以值域为[−√3，2]，故选：C．5.【安徽省六安市第一中学2020届高三下学期自测卷（一）线下考试数学（文）试题】若x1=π4，x2=3π4是函数f（x）＝sinωx（ω＞0）两个相邻的极值点，则ω＝（）A．2 B．32C．1 D．12【答案】A【解析】∵x1=π4，x2=3π4是函数f（x）＝sinωx（ω＞0）两个相邻的极值点，∴T＝2（3π4−π4）=π=2πω∴ω＝2，故选：A．6.【安徽省六安市第一中学2020届高三下学期自测卷（一）线下考试数学（文）试题】已知在△ABC中，AB=2√3，sinA=2√23，tanC=√55，则BC＝（）A．8√3B．8 C．4√3D．4 【答案】B【解析】∵AB=2√3，sinA=2√23，tanC=√55=sinCcosC，∴可得cos C=√5sin C，∵sin2C+cos2C＝1，可得（√5sin C）2+sin2C＝1，解得sin C=√66，∴由正弦定理ABsinC =BCsinA，可得BC=AB⋅sinAsinC=2√3×2√23√66=8．故选：B．7.【安徽省六安市第一中学2020届高三下学期自测卷（一）线下考试数学（文）试题】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin B+2sin A cos C＝0，则当cos B取最小值时，ca=（）A．√2B．√3C．2 D．√33【答案】B【解析】∵sin B+2sin A cos C＝0，∴由正弦定理及余弦定理得：b+2a•a 2+b2−c22ab=0，可得：a2+2b2﹣c2＝0，又cos B=a 2+c2−b22ac=3a2+c24ac=3a4c+c4a≥√32，当且仅当3a4c=c4a，即ca=√3时取等号．故选：B．8.【安徽省六安市第一中学2020届高三下学期自测卷（一）线下考试数学（文）试题】已知函数f（x）＝2sinωx cosωx cosφ+（2cos2ωx﹣1）sinφ，ω≠0，φ∈(0，π2)，若f(π3−x)=f(x)，f(π2ω)+f(π)=0，则φ。
2020高考数学第三章三角函数、解三角形与平面向量考点测试25平面向量的概念及线性运算文(含解析)
测试 25平面向量的观点及线性运算高考概览高考在本考点的常考题型为选择题和填空题，分值5分，中、低等难度考纲研读1．认识向量的实质背景2．理解平面向量的观点，理解两个向量相等的含义3．理解向量的几何表示4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6．认识向量线性运算的性质及其几何意义一、基础小题1．以下等式：①0－a＝－a；②－ ( －a) ＝a；③a＋ ( －a) ＝ 0；④a＋ 0＝a；⑤a－b＝a＋(－b) ．正确的个数是 () A．2B．3 C．4 D．5答案 D分析由零向量和相反向量的性质知①②③④⑤均正确．2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量 k ()A．共线 B ．不共线C．共线且同向 D ．不必定共线答案D分析如 m∥0，0∥ k，但 k 与 m可能共线也可能不共线，应选D．→→→3．如图，正六边形ABCDEF中， BA＋ CD＋ EF＝()A． 0→B．BE→C．AD→D．CF 答案D分析→→→→→ → →BA＋ CD＋ EF＝ BA＋ AF＋ CB＝ CF．应选D．4．以下命题正确的选项是()A．若 | a| ＝ | b| ，则a＝±b B ．若 | a|>| b| ，则a>bC．若a∥b，则a＝b D ．若 | a| ＝ 0，则a＝ 0答案D分析对于 A，当 | a| ＝ | b| ，即向量a，b的模相等时，方向不确立，故a＝± b 不必定建立；对于 B，向量的模能够比较大小，但向量不能够比较大小， B 不正确； C 明显不正确．故选 D．5．对于平面向量，以下说法正确的选项是()A．零向量是独一没有方向的向量B．平面内的单位向量是独一的C．方向相反的向量是共线向量，共线向量不必定是方向相反的向量D．共线向量就是相等向量答案C分析对于 A，零向量是有方向的，其方向是随意的，故 A 不正确；对于B，单位向量的模为 1，其方向能够是随意方向，故B不正确；对于C，方向相反的向量必定是共线向量，共线向量不必定是方向相反的向量，故 C 正确；对于D，由共线向量和相等向量的定义可知D不正确，应选C．6．已知m，n∈R，a，b是向量，有以下命题：①m( a－ b)＝ ma－ mb；② ( m－n) a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若 ma＝ na，则 m＝ n．此中正确的选项是 ()A．①②③ B ．①③④ C ．②③④ D ．①②答案D分析由数乘向量的运算律知，数乘向量对数和向量都有分派律，因此①②正确；当m＝0 时，a，b不必定相等，当a＝0时， m， n 未必相等，因此③④错误．应选D．7．已知向量a＝e＋ 2e，b＝ 2e－e ，则 a＋2b 与2a－ b()1212A．必定共线B．必定不共线C．当且仅当e1与 e2共线时共线D．当且仅当e1＝ e2时共线答案C分析由a ＋2 ＝5e1,2－＝5 2 可知，当且仅当 1 与e2 共线时，两向量共线．应选C．b a b e e8．给出以下命题：①两个拥有公共终点的向量，必定是共线向量；② λ a＝0(λ为实数)，则λ必为零；③ λ，μ 为实数，若λa＝μ b，则a与b共线．此中错误的命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3答案D分析①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点；②错误，当a＝0时，无论λ为什么值，λa＝0；③错误，当λ＝μ ＝0时，λ a＝μb＝0，此时 a 与 b 能够是随意愿量．错误的命题有 3 个，应选 D．9．已知向量a ，b是两个不共线的向量，若向量＝ 4 ＋b与n＝－λb共线，则实数m a aλ的值为 ()11A．－4 B ．－4 C ．4 D ．4答案B分析由于向量 a， b 是两个不共线的向量，因此若向量m＝4a＋ b 与 n＝ a－λ b 共线，1则 4×( －λ ) ＝1×1，解得λ＝－4，应选B．→→10．已知a， b 是不共线的向量，AB＝λ a＋ b，AC＝ a＋μ b，λ ，μ ∈R，则A，B， C 三点共线的充要条件为()A．λ＋μ＝ 2 B ．λ －μ＝ 1C．λμ＝－ 1 D ．λ μ＝ 1答案D分析∵ ，，三点共线，∴→ ∥→，A B C AB AC→→设 AB＝ mAC(m≠0)，则λ a＋b＝ m( a＋μ b)，λ＝ m，∴∴ λμ＝ 1，应选 D．1＝μ，m11．已知点M是△ABC的边BC的中点，点E→→→在边 AC上，且 EC＝2AE，则 EM＝()1→ 1→ 1→ 1→A ． 2AC ＋ 3AB B ．2AC ＋ 6AB1→ 1→ 1→ 3→C ． 6AC ＋ 2ABD ．6AC ＋ 2AB答案C分析如图，∵→→ → → → 2→ 1→ 2→ 1→ → 1→ 1→EC ＝ 2AE ，∴ EM ＝ EC ＋ CM ＝3AC ＋ 2CB ＝3AC ＋ 2( AB － AC ) ＝2AB ＋ 6AC ．故选 C ．→ → → →12．已知在四边形ABCD 中， O 是四边形 ABCD 内一点， OA ＝ a ，OB ＝ b ，OC ＝ c ， OD ＝ a －b ＋c ，则四边形 ABCD 的形状为 ()A ．梯形B ．正方形C ．平行四边形D ．菱形答案 C分析→→ → → → → → ，所由于 OD ＝ a －b ＋ c ，因此 AD ＝ c －b ，又 BC ＝ c －b ，因此 AD ∥ BC 且 | AD | ＝| BC | 以四边形 ABCD 是平行四边形．应选 C ．二、高考小题→→)13．(2015 ·全国卷Ⅰ ) 设 D 为△ ABC 所在平面内一点， BC ＝ 3CD ，则 (→1→ 4→→1→ 4→A ． AD ＝－ 3AB ＋ 3AC B ． AD ＝ 3AB － 3ACC ．→＝4→＋ 1→D ．→＝4→－1→AD3AB 3ACAD 3AB 3AC答案A→→→→→→→4→→4→→1→4→分析AD ＝ AB ＋ BD ＝ AB ＋ BC ＋ CD ＝ AB ＋ 3BC ＝ AB ＋ 3( AC － AB ) ＝－ 3AB ＋ 3AC ．应选 A ．→)14．(2018 ·全国卷Ⅰ ) 在△ ABC 中，AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB ＝(3→1→1→3→A ． 4AB － 4AC B ．4AB － 4AC3→1→1→3→C ． 4AB ＋ 4ACD ．4AB ＋ 4AC 答案A→→→→1→→1→→3→1→分析依据向量的运算法例，可得EB＝ AB－ AE＝AB－2AD＝ AB－4( AB＋AC)＝4AB－4AC，应选 A．→→15．(2015 ·安徽高考 ) △ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b知足AB＝2a，AC ＝2a＋b，则以下结论正确的选项是 ()A． | b| ＝ 1 B ．a⊥b→C．a·b＝ 1 D ． (4 a＋b) ⊥BC答案D→→1→→→ →分析∵ AB＝2a，AC＝ 2a＋b，∴a＝2AB，b＝AC－AB＝BC，∵△ABC是边长为 2 的等边1→→→→ →→三角形，∴ | b| ＝ 2，a·b＝2AB·BC＝－ 1，故a，b不垂直， 4a＋b＝2AB＋BC＝AB＋AC，故→→→→→(4 a＋b) ·BC＝ ( AB＋AC)· BC＝－2＋2＝0，∴(4 a＋ b)⊥ BC，应选D．16．(2015 ·北京高考 ) 在△中，点，N 知足→＝ 2→，→＝→．若→＝→＋→，ABC M AM MC BN NC MN xAB yAC 则 x＝________； y＝________．11答案－26分析→→→→2→→1→2→→1→→1→ 1如图在△ ABC中，MN＝ MA＋ AB＋ BN＝－3AC＋ AB＋2BC＝－3AC＋ AB＋2( AC－AB)＝2AB－6→11AC．∴ x＝2， y＝－6．三、模拟小题→→→17．(2018 ·河北张家口月考) 如图，在正六边形ABCDEF中， BA＋ CD＋ FB＝()A． 0→B．BE→C．AD→D．CF答案A→→→→→→→→分析在正六边形 ABCDEF中，CD∥ AF，CD＝AF，因此 BA＋ CD＋FB＝ BA＋AF＋ FB＝BA＋ AB ＝0，应选 A．18．(2018 ·邯郸摸底 ) 如图，在△ABC中，已知D为边BC的中点，E，F，G挨次为线段AD从上至下的→ →→3 个四平分点，若AB＋AC＝ 4AP，则 ()A．点P 与图中的点D重合B．点P 与图中的点 E 重合C．点P 与图中的点 F 重合D．点P 与图中的点G重合答案C分析由平行四边形法例知→ →→→ →→→→→→AB＋ AC＝2AD，又由 AB＋AC＝4AP知2AD＝4AP，即 AD＝2AP，因此 P 为 AD的中点，即点P 与点 F 重合．应选C．→→→19．(2018 ·怀化一模 ) 已知向量a，b 不共线，向量 AB＝ a＋3b，BC＝5a＋3b，CD＝－3a ＋3b，则 ()A．A，B，C三点共线B ．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线D ．B，C，D三点共线答案B分析→ → → → → →B ，由于 BD ＝ BC ＋ CD ＝ 2a ＋ 6b ＝ 2( a ＋ 3b ) ＝ 2AB ，因此 BD ，AB 共线，又有公共点 因此 ， ， D 三点共线．应选 B ．A B20．(2018 ·河南中原名校联考 ) 如图，在直角梯形ABCD 中， AB ＝ 2AD ＝ 2DC ，E 为 BC边上一点， → ＝ 3 → ， F 为 的中点，则 →＝()BC E C AE BF2→ 1→1→2→A ． 3AB － 3AD B ．3AB － 3AD2→ 1→ 1→ 2→C ．－AB ＋ AD D ．－AB ＋ AD 333 3答案C→ →→ →1→分析BF ＝ BA ＋ AF ＝ BA ＋ 2AE→1→1→→＝－ AB ＋ 2AD ＋ 2AB ＋ CE→1→ 1→1→＝－ AB ＋ 2AD ＋ 2AB ＋ 3CB→ 1→ 1→ 1→→ →＝－ AB ＋ 2AD ＋ 4AB ＋ 6( CD ＋ DA ＋ AB )2→1→＝－ 3AB ＋ 3AD ．应选21．(2018 ·深圳模拟则 λ ＋ μ＝ ()4 5 A ． B ．33C ．→ → →) 如下图， 正方形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，若 AC ＝ λ AM ＋μ BD ，15 C ．8 D ．2答案 B→→→→→→ →→ 1→ → →分析由于 AC ＝ λAM ＋ μ BD ＝ λ ( AB ＋ BM ) ＋ μ ( BA ＋AD ) ＝ λ AB ＋2AD ＋ μ( － AB ＋AD ) ＝→1→ → → →λ － μ＝ 1，λ － μ(AB ＋，且 AC ＝AB ＋ AD ，因此1)2λ ＋ μAD2λ ＋μ ＝ 1，4得λ ＝ 3，51因此 λ ＋ μ＝ ，应选 B ．3μ ＝ 3，22．(2018 ·福建高三4 月质检 ) 威严漂亮的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个特别优美的几何图形，且与黄金切割有着亲密的联系：在如下图的正五角星中，以 A ， B ， C ， D ，E 为极点的多边形为正五边形，且PT 5－ 1 ＝．以下关系中正确AT2的是( )→ →5＋1→→ →5＋ 1→A ． BP － TS ＝RS B ．CQ ＋ TP ＝2 TS2→ →5－1→→ →5－ 1→C ． ES － AP ＝BQ D ．AT ＋ BQ ＝2 CR2答案A→→→→ →→ 分析RS由题意得， BP － TS ＝TE － TS ＝ SE ＝5－ 12 ＝5＋1→，因此 A 正确； →＋→ ＝→＋→ ＝ →2 RS CQ TP PATPTA＝5＋ 1→ → → → → → 2 ST ，因此 B 错误； ES － AP ＝RC － QC ＝ RQ＝5－ 1→→ → → →2QB ，因此 C 错误； AT ＋ BQ ＝SD ＋ RD ，5－1→→→→ →→5－1→→D 错误．故2CR ＝ RS ＝RD －SD ，若 AT ＋ BQ ＝CR ，则SD ＝ 0，不切合题意，因此2选 A ．→ →→ → →23．(2018 ·银川一模 ) 设点 P 是△ ABC 所在平面内一点，且 BC ＋ BA ＝ 2BP ，则 PC ＋PA ＝________．答案分析 → → →P → → 由于 BC ＋BA ＝ 2BP ，由平行四边形法例知，点 为 AC 的中点，故 PC ＋PA ＝ 0． 24．(2018 ·衡阳模拟 ) 在如下图的方格纸中， 向量 ， ， 的起点和终点均在格点 ( 小a b c正方形极点 ) 上，若 c 与 xa ＋ yb ( x ， y 为非零实数 ) 共线，则x的值为 ________．y6 答案5分析设 e 1， e 2 分别为水平方向 ( 向右 ) 与竖直方向 ( 向上 ) 的单位向量，则向量c ＝e 1－2e 2，a ＝ 2e 1＋e 2，b ＝－ 2e 1－ 2e 2，由 c 与 xa ＋ yb 共线，得 c ＝ λ ( xa ＋yb ) ，因此 e 1－ 2e 2＝ 2λ ( x32λ x －y ＝ 1，x ＝λ ，x6－y ) e 1＋ λ ( x － 2y ) e 2，因此 λ x － 2y ＝－ 2，因此y ＝5 则 y 的值为 5．，2λ一、高考大题本考点在近三年高考取未波及本题型．二、模拟大题1．(2018 ·山东莱芜模拟 ) 如图，已知△ OCB 中， B ， C 对于点 A 对称， OD ∶ DB ＝2∶ 1，→ →DC 和 OA 交于点 E ，设 OA ＝ a ， OB ＝ b ．(1) 用 a 和 b→ →表示向量 OC ， DC ；(2) 若 →＝ λ → ，务实数 λ 的值．OE OA解(1) 由题意知，A是的中点，且 → ＝ 2→ ，BCOD 3OB由平行四边形法例，得 → →→OB ＋ OC ＝ 2OA ． ∴ →＝2→－ → ＝2－ ，OC OA OB a b∴ → ＝→－→＝(2 － )－ 2 ＝2 － 5 ．DC OC ODa b 3ba 3b(2) ∵→∥→， →＝→ － → ＝ (2 a － ) －λ ＝ (2 －λ ) a － ，EC DC EC OC OEbab→ ＝ 2 －5 ，∴2－λ ＝ － 1，∴ λ ＝4．DC a3b255－ 312．(2018 ·河南安阳模拟) 如下图，在△ABC 中，在AC 上取一点N ，使得 AN ＝3AC ，11 在 AB 上取一点M ，使得AM ＝ 3AB ，在BN 的延伸线上取点P ，使得NP ＝ 2BN ，在CM 的延伸线→→ → →上取点 Q ，使得 MQ ＝ λCM 时， AP ＝ QA ，试确立 λ 的值．→→→1→→ 1→→ 1→→→→1→ → 解 ∵AP ＝ NP － NA ＝ 2( BN －CN ) ＝2( BN ＋NC ) ＝ 2BC ，QA ＝ MA － MQ ＝ 2BM ＋ λ MC ．→→ 1→ → 1→又∵ AP ＝ QA ，∴ 2BM ＋ λ MC ＝2BC ，→ 1→ 1即 λMC ＝ 2MC ，∴ λ ＝ 2．。
浙江专版2020届高考数学一轮复习单元检测五三角函数解三角形单元检测含解析
单元检测五 三角函数、解三角形(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列命题中正确的是( ) A ．终边在x 轴正半轴上的角是零角 B ．三角形的内角必是第一、二象限内的角 C ．不相等的角的终边一定不相同D ．若β＝α＋k ·360°(k ∈Z )，则角α与β的终边相同 答案 D解析 对于A ，因为终边在x 轴正半轴上的角可以表示为α＝2k π(k ∈Z )，A 错误；对于B ，直角也可为三角形的内角，但不在第一、二象限内，B 错误；对于C ，例如30°≠－330°，但其终边相同，C 错误，故选D.2．已知角θ的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，则sin 2θ2的值为( )A.110B.15C.45D.910 答案 C解析 因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45在角θ的终边上， 所以cos θ＝－35，则sin 2θ2＝1－cos θ2＝45，故选C.3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2α等于( ) A.79B ．－79C ．±79D ．－29 答案 B解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2α ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α－1＝2×19－1＝－79.4．设a ＝tan35°，b ＝cos55°，c ＝sin23°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b答案 A解析 由题可知b ＝cos55°＝sin35°，因为sin35°>sin23°，所以b >c ，利用三角函数线比较tan35°和sin35°，易知tan35°>sin35°，所以a >b .综上，a >b >c ，故选A. 5．若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)是偶函数，则θ的最小正实数值是( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 B解析 f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π6.因为f (x )为偶函数，所以当x ＝0时，2x ＋θ＋π6＝θ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得θ＝k π＋π3(k ∈Z )．当k ＝0时，θ取得最小正实数值π3，故选B.6．若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (x )等于( )A.12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋π8B.12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π8C.12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －π8D.12sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π8答案 C解析 由题图知，函数f (x )的最小正周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫9π2－π2＝8π，A ＝12，所以ω＝2π8π＝14， f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋φ，由点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0在函数f (x )的图象上，可知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋φ＝0，又0<|φ|<π2，所以φ＝－π8，所以f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －π8.7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c,2b sin B ＝(2a ＋c )sin A ＋(2c ＋a )sin C ．则角B 的大小为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 C解析 由正弦定理得2b 2＝(2a ＋c )a ＋(2c ＋a )c ，化简得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12，又B ∈(0，π)，解得B ＝2π3，故选C. 8．已知函数f (x )＝3sin2x －2cos 2x ，将f (x )的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变，再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数g (x )的图象，若g (x 1)·g (x 2)＝－4，则|x 1－x 2|的值可能为( ) A.π3B.π4C.π2D ．π 答案 C解析 由题意得f (x )＝3sin2x －cos2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫6x －π6，故函数g (x )的最小正周期T ＝2π6＝π3.由g (x 1)·g (x 2)＝－4，知g (x 1)与g (x 2)的值一个为2，另一个为－2，故|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪T 2＋kT ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π6＋k π3(k ∈Z )．当k ＝1时，|x 1－x 2|＝π2，故选C.9．在△ABC 中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ，c 2sin A cos A ＋a 2sin C cos C ＝4sin B ，cos B ＝74，已知D 是AC 上一点，且S △BCD ＝23，则ADAC等于( ) A.59B.49C.23D.13 答案 A解析 设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ，则由c 2sin A ·cos A ＋a 2sin C cos C ＝4sin B ， 得k 2sin A sin C (sin C ·cos A ＋sin A cos C )＝4sin B ， 即k 2sin A sin C sin(C ＋A )＝4sin B ， 所以k 2sin A sin C ＝4，即ac ＝4. 又cos B ＝74，所以sin B ＝34， 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝32，所以AD AC ＝S △ABD S △ABC ＝1－S △BCD S △ABC ＝59，故选A.10．已知f (x )＝2sin ωx cos 2⎝⎛⎭⎪⎫ωx 2－π4－sin 2ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，5π6上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，35B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，35C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，35 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 B解析 f (x )＝sin ωx (1＋sin ωx )－sin 2ωx ＝sin ωx ，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω是含原点的单调递增区间，因为函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，5π6上是增函数，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，5π6⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω，所以⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－2π3，5π6≤π2ω，解得ω≤35.又ω>0，所以0<ω≤35.因为函数f (x )在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，所以π2ω≤π<5π2ω，解得12≤ω<52.综上ω的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，35，故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11.工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式．高一某班级想用布料制作一面如图所示的扇面，参加元旦晚会．已知此扇面的中心角为π3，外圆半径为60cm ，内圆半径为30cm ，则制作这样一面扇面需要的布料为________cm 2.答案 450π解析 由扇形的面积公式，知制作这样一面扇面需要的布料为12×π3×60×60－12×π3×30×30＝450π(cm 2)．12．(2018·浙江省名校协作体考试)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝3，则tan α＝________，cos2α＝________. 答案 12 35解析 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝3，解得tan α＝12，所以cos2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝35. 13．(2019·衢州模拟)设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则函数f (x )的最小正周期为__________，单调递增区间为________________________． 答案 π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π，k ∈Z解析 函数f (x )的最小正周期为2π2＝π，由2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z 得 x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π，k ∈Z ， 即单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π，k ∈Z .14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若2cos A (b cos C ＋c cos B )＝a ＝13，△ABC 的面积为33，则A ＝________，b ＋c ＝________. 答案π37 解析 方法一 由正弦定理得， 2cos A (sin B cos C ＋sin C cos B )＝sin A ， 所以2cos A sin(B ＋C )＝sin A ， 在△ABC 中，B ＋C ＝π－A ，所以sin(B ＋C )＝sin A >0，所以cos A ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.因为S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ＝33，所以bc ＝12，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ， 所以13＝(b ＋c )2－36，即(b ＋c )2＝49，故b ＋c ＝7. 方法二 过A 作AD ⊥BC 于D ， 在Rt△ADB 中，BD ＝c cos B ， 在Rt△ADC 中，DC ＝b cos C ， 所以BD ＋DC ＝c cos B ＋b cos C ＝a ，代入2cos A (b cos C ＋c cos B )＝a ，化简得cos A ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.因为S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ＝33，所以bc ＝12，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ， 所以13＝(b ＋c )2－36， 即(b ＋c )2＝49，故b ＋c ＝7.15．我国古代数学家秦九韶在《数学九章》系统地总结和发展了高次方程数值解法和一次同余组解法，提出了相当完备的“正负开方术”和“大衍求一术”，代表了当时世界数学的最高水平．其中他还创造使用了“三斜求积术”(给出了三角形三边求三角形面积公式S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋a 2－b 222)，这种方法对现在还具有很大的意义和作用．在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，AC ＝15，D 在AC 上，且BD 平分∠ABC ，则△ABC 面积是________；BD ＝________.答案 8428139解析 方法一 将已知数据代入公式，得S △ABC ＝84. ∵BD 平分∠ABC ，∴AB BC ＝AD CD ＝1314，BD →＝BA →＋AD →＝BA →＋1327AC →＝BA →＋1327(BC →－BA →)＝1427BA →＋1327BC →，cos∠ABC ＝132＋142－1522×13×14＝513， ∴BD →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1427BA →＋1327BC →2＝132×142×2272＋2×142×13×5272＝13×142×36272， ∴BD ＝28139.方法二 ∵cos∠ABC ＝132＋142－1522×13×14＝513，cos∠BAC ＝132＋152－1422×13×15＝3365，cos∠ABD ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12∠ABC ＝1＋5132＝913， ∴sin∠ABC ＝1213，sin∠BAC ＝5665，sin∠ABD ＝413， ∴S △ABC ＝12AB ·BC sin∠ABC ＝84，BD ＝AB sin∠BAC sin∠BDA ＝AB sin∠BAC sin (∠BAC ＋∠ABD )＝AB sin∠BACsin∠BAC cos∠ABD ＋sin∠ABD cos∠BAC＝13×56655665913＋3365413＝28139.16.函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，记∠APB ＝θ，则sin2θ＝________.答案1665解析 由题意知函数y ＝sin(πx ＋φ)的最小正周期为T ＝2ππ＝2，过点P 作PQ 垂直x 轴于点Q (图略)，则tan∠APQ ＝T41＝12，tan∠BPQ ＝34T1＝32，tan θ＝tan(∠APQ ＋∠BPQ )＝8，故sin2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝1665. 17．已知函数f (x )＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－12cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，若存在x 1，x 2，…，x n 满足0≤x 1<x 2<…<x n ≤6π，且|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋…＋|f (x n －1)－f (x n )|＝12(n ≥2，n ∈N *)，则n 的最小值为________．答案 8 解析 f (x )＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝sin x ．由y ＝sin x 的图象知，对x i ，x i ＋1(i ＝1,2,3，…，n )有|f (x i )－f (x i ＋1)|max ＝f (x )max －f (x )min ＝2，则要使n 取得最小值，应尽可能多的使x i (i ＝1,2,3，…，n )取得极值点，所以在区间[0,6π]上，当x i 的值分别为x 1＝0，x 2＝π2，x 3＝3π2，x 4＝5π2，x 5＝7π2，x 6＝9π2，x 7＝11π2，x 8＝6π时，n 取得最小值8.三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(14分)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2.(1)求tan2α的值； (2)求β.解 (1)由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437，∴tan α＝sin αcos α＝437×71＝43，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－(43)2＝－8347. (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2，又cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314. 由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12，∴β＝π3.19．(15分)已知函数f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若对任意x ∈R ，有g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，求函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的值域． 解 (1)f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin2x ＋22cos2x ＋sin 2x ＝12sin2x ＋12cos2x ＋sin 2x ＝12sin2x ＋cos 2x －12＋sin 2x ＝12sin2x ＋1－12＝12sin2x ＋12， 故函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )＝12sin2x ＋12.∵对任意x ∈R ，有g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴g (x )＝12sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋12，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，4π3，则－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴－32×12＋12≤g (x )≤12＋12，即2－34≤g (x )≤1. 故函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－34，1.20．(15分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos2A －cos2B ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A .(1)求角B 的值；(2)若b ＝3，且b ≤a ，求a －c2的取值范围．解 (1)由cos2A －cos2B ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A ，得2sin 2B －2sin 2A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫34cos 2A －14sin 2A ，则sin B ＝32， 因为0<B <π，所以B ＝π3或2π3.(2)因为b ≤a ，所以B ＝π3，由正弦定理a sin A ＝c sin C ＝b sin B ＝332＝2，得a ＝2sin A ，c ＝2sin C .所以a －c 2＝2sin A －sin C ＝2sin A －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A＝32sin A －32cos A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6.又b ≤a ，所以π3≤A <2π3，则π6≤A －π6<π2，所以32≤3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6<3，所以a －c 2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3.21．(15分)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a 2＋b 2＝6ab cos C ，且sin 2C ＝23sin A sin B . (1)求角C 的值；(2)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋cos ωx (ω>0)，且f (x )的图象上两相邻的最高点之间的距离为π，求f (A )的取值范围． 解 (1)因为a 2＋b 2＝6ab cos C ， 由余弦定理知a 2＋b 2＝c 2＋2ab cos C ，所以cos C ＝c 24ab.又sin 2C ＝23sin A sin B ，由正弦定理得c 2＝23ab ，所以cos C ＝c 24ab ＝23ab 4ab ＝32，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3， 则最小正周期T ＝2πω＝π，解得ω＝2， 所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 因为C ＝π6，B ＝5π6－A ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ 0<A <π2，0<5π6－A <π2，解得π3<A <π2， 所以π<2A ＋π3<4π3， 则－32<f (A )<0. 所以f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0. 22．(15分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2sin 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)确定函数f (x )在[0，π]上的单调性；(3)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝32，b ＋c ＝7，△ABC 的面积为23，求边a 的长．解 (1)f (x )＝sin2x cos π6＋cos2x sin π6＋1－cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 解得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6(k ∈Z )， ∴f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z )． 同理f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z ， 故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上为减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π上为增函数．(3)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝32，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，又－π6<A －π6<5π6，∴A ＝π3.∵△ABC 的面积为23，∴12bc sin π3＝23，解得bc ＝8.∵b ＋c ＝7，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc ＝25，∴a ＝5.。
浙江专版2020届高考数学一轮复习单元检测五三角函数解三角形单元检测含解析
单元检测五 三角函数、解三角形(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列命题中正确的是( ) A ．终边在x 轴正半轴上的角是零角 B ．三角形的内角必是第一、二象限内的角 C ．不相等的角的终边一定不相同D ．若β＝α＋k ·360°(k ∈Z )，则角α与β的终边相同 答案 D解析 对于A ，因为终边在x 轴正半轴上的角可以表示为α＝2k π(k ∈Z )，A 错误；对于B ，直角也可为三角形的内角，但不在第一、二象限内，B 错误；对于C ，例如30°≠－330°，但其终边相同，C 错误，故选D.2．已知角θ的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，则sin 2θ2的值为( )A.110B.15C.45D.910 答案 C解析 因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45在角θ的终边上， 所以cos θ＝－35，则sin 2θ2＝1－cos θ2＝45，故选C.3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2α等于( ) A.79B ．－79C ．±79D ．－29 答案 B解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2α ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α－1＝2×19－1＝－79.4．设a ＝tan35°，b ＝cos55°，c ＝sin23°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b答案 A解析 由题可知b ＝cos55°＝sin35°，因为sin35°>sin23°，所以b >c ，利用三角函数线比较tan35°和sin35°，易知tan35°>sin35°，所以a >b .综上，a >b >c ，故选A. 5．若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)是偶函数，则θ的最小正实数值是( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 B解析 f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π6.因为f (x )为偶函数，所以当x ＝0时，2x ＋θ＋π6＝θ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得θ＝k π＋π3(k ∈Z )．当k ＝0时，θ取得最小正实数值π3，故选B.6．若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (x )等于( )A.12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋π8B.12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π8C.12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －π8D.12sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π8答案 C解析 由题图知，函数f (x )的最小正周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫9π2－π2＝8π，A ＝12，所以ω＝2π8π＝14， f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋φ，由点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0在函数f (x )的图象上，可知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋φ＝0，又0<|φ|<π2，所以φ＝－π8，所以f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －π8.7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c,2b sin B ＝(2a ＋c )sin A ＋(2c ＋a )sin C ．则角B 的大小为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 C解析 由正弦定理得2b 2＝(2a ＋c )a ＋(2c ＋a )c ，化简得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12，又B ∈(0，π)，解得B ＝2π3，故选C. 8．已知函数f (x )＝3sin2x －2cos 2x ，将f (x )的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变，再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数g (x )的图象，若g (x 1)·g (x 2)＝－4，则|x 1－x 2|的值可能为( ) A.π3B.π4C.π2D ．π 答案 C解析 由题意得f (x )＝3sin2x －cos2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫6x －π6，故函数g (x )的最小正周期T ＝2π6＝π3.由g (x 1)·g (x 2)＝－4，知g (x 1)与g (x 2)的值一个为2，另一个为－2，故|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪T 2＋kT ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π6＋k π3(k ∈Z )．当k ＝1时，|x 1－x 2|＝π2，故选C.9．在△ABC 中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ，c 2sin A cos A ＋a 2sin C cos C ＝4sin B ，cos B ＝74，已知D 是AC 上一点，且S △BCD ＝23，则ADAC等于( ) A.59B.49C.23D.13 答案 A解析 设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ，则由c 2sin A ·cos A ＋a 2sin C cos C ＝4sin B ， 得k 2sin A sin C (sin C ·cos A ＋sin A cos C )＝4sin B ， 即k 2sin A sin C sin(C ＋A )＝4sin B ， 所以k 2sin A sin C ＝4，即ac ＝4. 又cos B ＝74，所以sin B ＝34， 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝32，所以AD AC ＝S △ABD S △ABC ＝1－S △BCD S △ABC ＝59，故选A.10．已知f (x )＝2sin ωx cos 2⎝⎛⎭⎪⎫ωx 2－π4－sin 2ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，5π6上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，35B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，35C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，35 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 B解析 f (x )＝sin ωx (1＋sin ωx )－sin 2ωx ＝sin ωx ，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω是含原点的单调递增区间，因为函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，5π6上是增函数，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，5π6⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω，所以⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－2π3，5π6≤π2ω，解得ω≤35.又ω>0，所以0<ω≤35.因为函数f (x )在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，所以π2ω≤π<5π2ω，解得12≤ω<52.综上ω的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，35，故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11.工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式．高一某班级想用布料制作一面如图所示的扇面，参加元旦晚会．已知此扇面的中心角为π3，外圆半径为60cm ，内圆半径为30cm ，则制作这样一面扇面需要的布料为________cm 2.答案 450π解析 由扇形的面积公式，知制作这样一面扇面需要的布料为12×π3×60×60－12×π3×30×30＝450π(cm 2)．12．(2018·浙江省名校协作体考试)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝3，则tan α＝________，cos2α＝________. 答案 12 35解析 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝3，解得tan α＝12，所以cos2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝35. 13．(2019·衢州模拟)设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则函数f (x )的最小正周期为__________，单调递增区间为________________________． 答案 π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π，k ∈Z解析 函数f (x )的最小正周期为2π2＝π，由2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z 得 x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π，k ∈Z ， 即单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π，k ∈Z .14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若2cos A (b cos C ＋c cos B )＝a ＝13，△ABC 的面积为33，则A ＝________，b ＋c ＝________. 答案π37 解析 方法一 由正弦定理得， 2cos A (sin B cos C ＋sin C cos B )＝sin A ， 所以2cos A sin(B ＋C )＝sin A ， 在△ABC 中，B ＋C ＝π－A ，所以sin(B ＋C )＝sin A >0，所以cos A ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.因为S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ＝33，所以bc ＝12，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ， 所以13＝(b ＋c )2－36，即(b ＋c )2＝49，故b ＋c ＝7. 方法二 过A 作AD ⊥BC 于D ， 在Rt△ADB 中，BD ＝c cos B ， 在Rt△ADC 中，DC ＝b cos C ， 所以BD ＋DC ＝c cos B ＋b cos C ＝a ，代入2cos A (b cos C ＋c cos B )＝a ，化简得cos A ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.因为S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ＝33，所以bc ＝12，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ， 所以13＝(b ＋c )2－36， 即(b ＋c )2＝49，故b ＋c ＝7.15．我国古代数学家秦九韶在《数学九章》系统地总结和发展了高次方程数值解法和一次同余组解法，提出了相当完备的“正负开方术”和“大衍求一术”，代表了当时世界数学的最高水平．其中他还创造使用了“三斜求积术”(给出了三角形三边求三角形面积公式S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋a 2－b 222)，这种方法对现在还具有很大的意义和作用．在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，AC ＝15，D 在AC 上，且BD 平分∠ABC ，则△ABC 面积是________；BD ＝________.答案 8428139解析 方法一 将已知数据代入公式，得S △ABC ＝84. ∵BD 平分∠ABC ，∴AB BC ＝AD CD ＝1314，BD →＝BA →＋AD →＝BA →＋1327AC →＝BA →＋1327(BC →－BA →)＝1427BA →＋1327BC →，cos∠ABC ＝132＋142－1522×13×14＝513， ∴BD →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1427BA →＋1327BC →2＝132×142×2272＋2×142×13×5272＝13×142×36272， ∴BD ＝28139.方法二 ∵cos∠ABC ＝132＋142－1522×13×14＝513，cos∠BAC ＝132＋152－1422×13×15＝3365，cos∠ABD ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12∠ABC ＝1＋5132＝913， ∴sin∠ABC ＝1213，sin∠BAC ＝5665，sin∠ABD ＝413， ∴S △ABC ＝12AB ·BC sin∠ABC ＝84，BD ＝AB sin∠BAC sin∠BDA ＝AB sin∠BAC sin (∠BAC ＋∠ABD )＝AB sin∠BACsin∠BAC cos∠ABD ＋sin∠ABD cos∠BAC＝13×56655665913＋3365413＝28139.16.函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，记∠APB ＝θ，则sin2θ＝________.答案1665解析 由题意知函数y ＝sin(πx ＋φ)的最小正周期为T ＝2ππ＝2，过点P 作PQ 垂直x 轴于点Q (图略)，则tan∠APQ ＝T41＝12，tan∠BPQ ＝34T1＝32，tan θ＝tan(∠APQ ＋∠BPQ )＝8，故sin2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝1665. 17．已知函数f (x )＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－12cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，若存在x 1，x 2，…，x n 满足0≤x 1<x 2<…<x n ≤6π，且|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋…＋|f (x n －1)－f (x n )|＝12(n ≥2，n ∈N *)，则n 的最小值为________．答案 8 解析 f (x )＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝sin x ．由y ＝sin x 的图象知，对x i ，x i ＋1(i ＝1,2,3，…，n )有|f (x i )－f (x i ＋1)|max ＝f (x )max －f (x )min ＝2，则要使n 取得最小值，应尽可能多的使x i (i ＝1,2,3，…，n )取得极值点，所以在区间[0,6π]上，当x i 的值分别为x 1＝0，x 2＝π2，x 3＝3π2，x 4＝5π2，x 5＝7π2，x 6＝9π2，x 7＝11π2，x 8＝6π时，n 取得最小值8.三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(14分)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2.(1)求tan2α的值； (2)求β.解 (1)由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437，∴tan α＝sin αcos α＝437×71＝43，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－(43)2＝－8347. (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2，又cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314. 由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12，∴β＝π3.19．(15分)已知函数f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若对任意x ∈R ，有g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，求函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的值域． 解 (1)f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin2x ＋22cos2x ＋sin 2x ＝12sin2x ＋12cos2x ＋sin 2x ＝12sin2x ＋cos 2x －12＋sin 2x ＝12sin2x ＋1－12＝12sin2x ＋12， 故函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )＝12sin2x ＋12.∵对任意x ∈R ，有g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴g (x )＝12sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋12，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，4π3，则－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴－32×12＋12≤g (x )≤12＋12，即2－34≤g (x )≤1. 故函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－34，1.20．(15分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos2A －cos2B ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A .(1)求角B 的值；(2)若b ＝3，且b ≤a ，求a －c2的取值范围．解 (1)由cos2A －cos2B ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A ，得2sin 2B －2sin 2A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫34cos 2A －14sin 2A ，则sin B ＝32， 因为0<B <π，所以B ＝π3或2π3.(2)因为b ≤a ，所以B ＝π3，由正弦定理a sin A ＝c sin C ＝b sin B ＝332＝2，得a ＝2sin A ，c ＝2sin C .所以a －c 2＝2sin A －sin C ＝2sin A －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A＝32sin A －32cos A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6.又b ≤a ，所以π3≤A <2π3，则π6≤A －π6<π2，所以32≤3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6<3，所以a －c 2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3.21．(15分)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a 2＋b 2＝6ab cos C ，且sin 2C ＝23sin A sin B . (1)求角C 的值；(2)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋cos ωx (ω>0)，且f (x )的图象上两相邻的最高点之间的距离为π，求f (A )的取值范围． 解 (1)因为a 2＋b 2＝6ab cos C ， 由余弦定理知a 2＋b 2＝c 2＋2ab cos C ，所以cos C ＝c 24ab.又sin 2C ＝23sin A sin B ，由正弦定理得c 2＝23ab ，所以cos C ＝c 24ab ＝23ab 4ab ＝32，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3， 则最小正周期T ＝2πω＝π，解得ω＝2， 所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 因为C ＝π6，B ＝5π6－A ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ 0<A <π2，0<5π6－A <π2，解得π3<A <π2， 所以π<2A ＋π3<4π3， 则－32<f (A )<0. 所以f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0. 22．(15分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2sin 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)确定函数f (x )在[0，π]上的单调性；(3)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝32，b ＋c ＝7，△ABC 的面积为23，求边a 的长．解 (1)f (x )＝sin2x cos π6＋cos2x sin π6＋1－cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 解得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6(k ∈Z )， ∴f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z )． 同理f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z ， 故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上为减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π上为增函数．(3)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝32，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，又－π6<A －π6<5π6，∴A ＝π3.∵△ABC 的面积为23，∴12bc sin π3＝23，解得bc ＝8.∵b ＋c ＝7，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc ＝25，∴a ＝5.。
2020年山东新高考三角函数和解三角形精选模拟试题(含解析)
专题6 三角函数与解三角形1.近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主.2.高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．预测2020年将突出考查恒等变换与三角函数图象和性质的结合、恒等变换与正弦定理和余弦定理的结合.一、单选题1．（2020届山东省高考模拟）若()sin 753α︒+=，则()cos 302α︒-=（ ） A ．49B ．49-C ．59D ．59-2．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）设(0,),(0,22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则（ ） A ．32παβ-=B ．32παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=3．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）直线:20l x y e -+=的倾斜角为α，则()sin sin 2ααπ⎛⎫π-+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．25-B ．15-C ．15D ．254．（2020·2020届山东省烟台市高三模拟）刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到sin 2o 的近似值为（ ）A ．π90B ．π180C ．π270D ．π3605．（2020·山东高三模拟）设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点，则ω的取值范围为（ ） A ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1229,510⎛⎤⎥⎝⎦ C ．1229,510⎛⎫⎪⎝⎭ D ．1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 6．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题:“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4.在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（ ） A ．415B ．158C ．154D ．1207．（2020·山东高三下学期开学）函数2()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ） A ．4π B ．2πC ．2π D ．π8．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知角α的终边经过点P(00sin 47,cos 47)，则sin(013α-)=A ．12B 3C ．12-D ．3 9．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ） A ．4x π=B ．3x π=C ．56x π=D ．1912x π=10．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A 处测得“泉标”顶端的仰角为45︒，沿点A 向北偏东30︒前进100 m 到达点B ，在点B 处测得“泉标”顶端的仰角为30︒，则“泉标”的高度为（ ） A ．50 m B ．100 mC ．120 mD ．150 m二、多选题11．（2020届山东省高考模拟）已知函数sin ,4()cos ,4x x f x x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 不是周期函数B ．()f x 奇函数C ．()f x 的图象关于直线4x π=对称D ．()f x 在52x π=处取得最大值12．（2020届山东省烟台市高三模拟）在ABC V 中，D 在线段AB 上，且5,3AD BD ==若52,cos CB CD CDB =∠=，则（ ） A ．3sin 10CDB ∠=B ．ABC V 的面积为8 C ．ABC V 的周长为85+D ．ABC V 为钝角三角形13．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知函数()()()2sin 20f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是( ) A ．56πϕ= B ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心 C ．()2fϕ=-D ．6x π=-是()f x 图象的一条对称轴14．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）已知向量(()2sin 3,cos ,cos m x n x x ==u r r，函数()231f x m n =⋅+u r r，下列命题，说法正确的选项是（ ）A ．2()6f x f x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭B ．6f x π⎛⎫-⎪⎝⎭的图像关于4x π=对称C ．若1202x x π<<<，则12()()f x f x <D ．若123,,,32x x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则123()()()f x f x f x +>15．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）要得到cos 2y x =的图象1C ,只要将sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象2C 怎样变化得到( ) A ．将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向左平移12π个单位B ．将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向右平移1112π个单位 C ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512π个单位 D ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向左平移12π个单位16．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ） A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3πD ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 17．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知函数f （x ）＝|sinx ||cosx |，则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）的图象关于直线2x π=对称B ．f （x ）的周期为2π C ．（π，0）是f （x ）的一个对称中心 D ．f （x ）在区间42，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增18．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）将函数()213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列关于函数()g x 的说法正确的是（ ）A ，图象关于直线12x π=对称B ．图象关于y 轴对称C ．最小正周期为πD ．图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 19．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知函数2()sin 22sin 1f x x x =-+，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）. A ．函数()f x 的最小正周期是2π B ．函数()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 C ．函数()f x 的图象关于直线8x π=对称:D ．函数()f x 的图象可由函数2y x =的图象向左平移4π个单位得到 20．（2020届山东省青岛市高三上期末）要得到cos 2y x =的图象1C ,只要将sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象2C 怎样变化得到( ) A ．将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向左平移12π个单位B ．将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向右平移1112π个单位C ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512π个单位 D ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向左平移12π个单位21．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）已知函数()()()2sin 20f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是( ) A ．56πϕ= B ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心 C ．()2fϕ=-D ．6x π=-是()f x 图象的一条对称轴22．（2020届山东省泰安市肥城市一模）设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x ( ) A ．是偶函数B ．在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．最大值为2 D ．其图像关于直线2x π=对称23．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）关于函数()3sin 21()3f x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，下列命题正确的是（ ）A ．由()()121f x f x ==可得12x x -是π的整数倍B ．()y f x =的表达式可改写成5()3cos 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C ．()y f x =的图象关于点3,14π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()y f x =的图象关于直线12x π=-对称三、填空题24．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .若sin sin b A a C =，1c =，则b =__，ABC ∆面积的最大值为___.25．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）已知函数(),()f x x g x x ωω=，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图像的交点，且不共线.①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为___________；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，则ω的最小值为__________.26．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （e +x ）＝f （e ﹣x ），且f （0）＝0，当x ∈（0，e ]时，f （x ）＝lnx 已知方程122f x sin x eπ=（）在区间[﹣e ，3e ]上所有的实数根之和为3ea ，将函数2314g x sin x π=+（）的图象向右平移a 个单位长度，得到函数h （x ）的图象，，则h （7）＝_____.四、解答题27．（2020·山东高三模拟）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知c =sin 2C =. （1）若1a =，求sin A ； （2）求ABC V 的面积S 的最大值.28．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知函数221()cos sin ,(0,)2f x x x x p =-+?． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC V 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC V 的面积． 29．（2020届山东省高考模拟） 在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC V 的面积为S ，()2223163c S b a +=-.（1）求tan B 的值；（2）若42S =，10a =，求b 的值．30．（2020届山东省菏泽一中高三2cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；③sin sin2A Cb A += 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________________，b =4a c +=，求ABC ∆的面积.31．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）在①()2223163c S b a +=-；②5cos 45b C c a +=，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC V 的面积为S ，已知________． （1）求tan B 的值；（2）若42,S =10a =，求b 的值．32．（2020届山东省泰安市肥城市一模）已知函数4()cos f x x =-42sin cos sin x x x -（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值及取最小值时的x 的集合. 33．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22233423b c bc a +-=. （1）求sin A ； （2）若3sin 2sin c A a B =，ABC ∆的面积为2，求ABC ∆的周长34．（2020届山东省淄博市高三二模）已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足3sin cos 0A A +=.有三个条件：①1a =；②3b =；③34ABC S ∆=.其中三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题： （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD ∆的面积.35．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，sin 1cos sin 2cos A AB B+=- （1）求证：2a b c =+； （2）若4cos 5A =，6ABC S =V ，求a 的值． 36．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知分别在射线（不含端点）上运动，，在中，角所对的边分别是.（Ⅰ）若依次成等差数列，且公差为2．求的值； （Ⅱ）若，，试用表示的周长，并求周长的最大值37．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知函数()2123sin cos 2cos f x x x x m =--+在R 上的最大值为3.（1）求m 的值及函数()f x 的单调递增区间;（2）若锐角ABC ∆中角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，且()0f A =，求b c的取值范围.38．（2020届山东省济宁市高三3月月考）现给出两个条件：①232cos c b a B -=，②()23cos 3cos b c A a C -=，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：（选出一种可行的条件解答，若两个都选，则按第一个解答计分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边( ).（1）求A ；（2）若31a =-，求ABC ∆面积的最大值.39．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）在平面四边形ABCD 中，ABD ∆中边BD 所对的角为A ，BCD ∆中边BD 所对的角为C ，已知2AB BC CD ===，23AD =.（13cos A C -是否是定值，若是定值请求出；若不是请说明理由；（2）记ABD ∆与BCD ∆的面积分别为1S 和2S ，求出2212S S +的最大值.40．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）现在给出三个条件：①a ＝2；②B 4π=；③c 3=.试从中选出两个条件，补充在下面的问题中，使其能够确定△ABC ，并以此为依据，求△ABC 的面积.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足233b c cosA acosC =（），求△ABC 的面积（选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分）41．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin sin 3b A a B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）求角B 的大小；（2）求ca的取值范围 42．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）如图，在四边形ABCD 中，645,105,,2,32ADB BAD AD BC AC ∠=︒∠=︒===（1）求cos ABC ∠的值；（2）若记ABC α∠=，求sin 23πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 43．（2020·山东高三下学期开学）在①cos 2320B B +=，②2cos 2b C a c =-，③3sin b a A=三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若_____，且a ，b ，c 成等差数列，则ABC ∆是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．一、单选题1．（2020届山东省高考模拟）若()sin 753α︒+=，则()cos 302α︒-=（ ） A ．49B ．49-C ．59D ．59-【答案】D 【解析】令75αθ︒+=，则75αθ︒=- 由()sin 75α︒+=sin θ= ()()cos 302cos 30275θα︒︒︒---⎡⎤=⎣⎦()()2cos 1802cos 212sin θθθ︒=-=-=--251239⎡⎤⎛⎫⎢⎥=--⨯=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 故选D ．2．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）设(0,),(0,22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则（ ） A ．32παβ-=B ．32παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=【答案】C 【解析】由已知得，sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，去分母得，sin cos cos cos sin αβααβ=+，所以 sin cos cos sin cos ,sin()cos sin()2παβαβααβαα-=-==-，又因为22ππαβ-<-<，022ππα<-<，所以2παβα-=-，即22παβ-=，选C3．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）直线:20l x y e -+=的倾斜角为α，则()sin sin 2ααπ⎛⎫π-+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．25-B ．15-C ．15D ．25【答案】D 【解析】由已知得tan 2α=， 则()2222sin cos tan 22sin sin sin cos 2sin cos tan 1215ααααααααααπ⎛⎫π-+===== ⎪+++⎝⎭. 故选：D.4．（2020·2020届山东省烟台市高三模拟）刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到sin 2o 的近似值为（ ）A ．π90B ．π180C ．π270D ．π360【答案】A 【解析】由割圆术可知当n 变得很大时,这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,设圆的半径为r ,每个等腰三角形的顶角为360n︒, 所以每个等腰三角形的面积为21360sin2r n ︒, 所以圆的面积为221360sin2r n r n π︒=⋅,即3602sin n n π︒=, 所以当180n =时,可得3602sin sin 218018090ππ︒=︒==, 故选:A5．（2020·山东高三模拟）设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点，则ω的取值范围为（ ）A ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1229,510⎛⎤⎥⎝⎦C ．1229,510⎛⎫⎪⎝⎭D ．1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】当[0,2]x πÎ时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ∵()f x 在[]0,2π上有且仅有5个零点， ∴5265ππωππ≤+<，∴1229510ω≤<. 故选:A.6．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题:“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4.在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（ ） A ．415B ．158C ．154D ．120【答案】C 【解析】由题意，根据给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4， 再由扇形的弧长公式，可得扇形的圆心角301584l r α===（弧度），故选C. 7．（2020·山东高三下学期开学）函数2()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ） A ．4π B ．2πC ．2π D ．π【答案】D 【解析】因为22cos 211213()cos cos 232232x f x x x πππ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+==++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以最小正周期为π.故选：D8．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知角α的终边经过点P(00sin 47,cos 47)，则sin(013α-)=A ．12BC ．12-D． 【答案】A 【解析】由题意可得三角函数的定义可知：22cos 47sin cos 47sin 47cos 47α==+o o o o ，22sin 47cos sin 47sin 47cos 47α==+o oo o，则： ()()sin 13sin cos13cos sin13cos 47cos13sin 47sin131cos 4713cos 60.2ααα-=-=-=+==o o o o o o o o o o本题选择A 选项.9．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ） A ．4x π=B ．3x π=C ．56x π=D ．1912x π=【答案】D 【解析】函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则函数2()4sin 33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，经过平移后得到函数解析式为2244sin 4sin 36339y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由24()392x k k πππ+=+∈Z ， 得3()212x k k ππ=+∈Z ，当1k =时，1912x π=. 故选D.10．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A 处测得“泉标”顶端的仰角为45︒，沿点A 向北偏东30︒前进100 m 到达点B ，在点B 处测得“泉标”顶端的仰角为30︒，则“泉标”的高度为（ ）A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m【答案】A 【解析】如图,CD 为“泉标”高度,设高为h 米，由题意,CD ⊥平面ABD ,100AB =米,60BAD ︒∠=，,4530CAD CBD ︒∠=∠=o．在CBD V 中,BD 3h =,在CAD V中,AD h =, 在ABD △中,3,BD h AD h ==，,100AB =，60BAD ︒∠=,由余弦定理可得223100002100cos 60(50)(100)0h h h h h ︒=+-⨯∴-+=， 解得50h =或100h =- (舍去), 故选：B. 二、多选题11．（2020届山东省高考模拟）已知函数sin ,4()cos ,4x x f x x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 不是周期函数B ．()f x 奇函数C ．()f x 的图象关于直线4x π=对称D ．()f x 在52x π=处取得最大值 【答案】AC 【解析】作出函数()f x 的图象如图：则由图象知函数()f x 不是周期函数，故A 正确； 不是奇函数，故B 错误，若0x >，2()cos()cos cos sin sin (cos sin )4444f x x x x x x ππππ+=+=-=-，2()sin()sin cos cos sin (cos sin )44442f x x x x x x ππππ-=-=-=-， 此时()()44f x f x ππ+=-，若0x …，2()sin()sin cos cos sin (cos sin )4444f x x x x x x ππππ+=+=+=+，2()cos()cos cos sin sin (cos sin )44442f x x x x x x ππππ-=-=+=+，此时()()44f x f x ππ+=-， 综上恒有()()44f x f x ππ+=-，即图象关于直线4x π=对称，故C 正确，()f x 在52x π=处55()()cos022f x f ππ===不是最大值，故D 错误， 故选：A C ．12．（2020届山东省烟台市高三模拟）在ABC V 中，D 在线段AB 上，且5,3AD BD ==若52,cos CB CD CDB =∠=，则（ ） A ．3sin 10CDB ∠=B ．ABC V 的面积为8 C ．ABC V 的周长为85+D ．ABC V 为钝角三角形【答案】BCD 【解析】 因为5cos CDB ∠=,所以225sin 1cos CDB CDB ∠=-∠=,故A 错误； 设CD a =,则2BC a =,在BCD V 中,2222cos BC CD BD BC CD CDB =+-⋅⋅∠,解得5a =,所以1125sin 35322DBC S BD CD CDB =⋅⋅∠=⨯=V ,所以3583ABC DBC S S +==V V ,故B 正确；因为ADC CDB π∠=-∠,所以()cos cos cos 5ADC CDB CDB π∠=-∠=-∠=,在ADC V 中,2222cos AC AD CD AD DC ADC =+-⋅⋅∠,解得AC =所以()358ABC C AB AC BC =++=++=+V 故C 正确；因为8AB =为最大边,所以2223cos 025BC AC AB C BC AC +-==-<⋅,即C ∠为钝角,所以ABC V 为钝角三角形,故D 正确. 故选:BCD13．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知函数()()()2sin 20f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是( ) A ．56πϕ= B ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心 C ．()2fϕ=-D ．6x π=-是()f x 图象的一条对称轴【答案】ABD 【解析】由题意，()()2sin 2f x x ϕ=+向右平移6π， 得2sin 22sin 263y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin 23y x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭Q 的图象关于y 轴对称，所以32k ππϕπ-=+，k Z ∈6k k Z πϕπ5∴=+∈，，又0ϕπ<< 506k πϕ∴==，即()52sin 26x x f π⎛⎫+⎝=⎪⎭50221266f ff πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，， 则,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，6x π=-是()f x 图象的一条对称轴而()2fϕ=，则C 错，A,B,D 正确故选：ABD14．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）已知向量(()2sin ,cos ,cos m x n x x ==u r r，函数()21f x m n =⋅+u r r，下列命题，说法正确的选项是（ ）A ．2()6f x f x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭B ．6f x π⎛⎫-⎪⎝⎭的图像关于4x π=对称C ．若1202x x π<<<，则12()()f x f x <D ．若123,,,32x x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则123()()()f x f x f x +>【答案】BD 【解析】函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，A ：当0x =时，166f x f ππ⎛⎫⎛⎫-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2201f x f -=-=+A 错； B ：()2sin 216f x x π⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，当4x π=时，对应的函数值取得最小值为1-，所以B 正确；C ：0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，23x π-2,33ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ，所以函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭不单调，故C 错；D ：因为,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以23x π-()2,1,333f x ππ⎡⎤⎤∈∴∈⎢⎥⎦⎣⎦，，又)213>，即2()()min max f x f x >()()()123123,,,32x x x f x f x f x ππ⎡⎤∈+>⎢⎥⎣⎦，恒成立，故D 对；故选：BD.15．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）要得到cos 2y x =的图象1C ,只要将sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象2C 怎样变化得到( ) A ．将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向左平移12π个单位B ．将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向右平移1112π个单位 C ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512π个单位 D ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向左平移12π个单位【答案】ABC 【解析】对于A ，将sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象2C 沿x 轴方向向左平移12π个单位，可得sin 2sin 2cos21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象1C ，故选项A 正确；对于B ，将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向右平移1112π个单位也可得到， 113sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象1C ，故选项B 正确； 对于C ，先作2C 关于x 轴对称，得到sin 23y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭的图象3C ，再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512π个单位，得到5sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象1C ，故选项C 正确； 对于D ，先作2C 关于x 轴对称，得到sin 23y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭的图象3C ，再将图象3C 沿x 轴方向向左平移12π个单位，得到的sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象，故选项D 不正确． 故选：ABC ．16．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ） A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3πD ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 【答案】AC 【解析】因为直线4x π=是()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的对称轴,所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈,则()4k k Z πϕπ=-+∈,当0k =时,4πϕ=-,则()sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭, 对于选项A,sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,因为()sin 3sin3x x -=-,所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数,故A 正确； 对于选项B,()232242k x k k Z πππππ-+<-<+∈,即()21212343k kx k Z ππππ-+<<+∈,当0k =时,()f x 在,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当单调递增,故B 错误； 对于选项C,若()()122f x f x -=,则12x x -最小为半个周期,即21323ππ⨯=,故C 正确；对于选项D,函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度,即()sin 3sin 3sin 344x x x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,故D错误 故选：AC17．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知函数f （x ）＝|sinx ||cosx |，则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）的图象关于直线2x π=对称B ．f （x ）的周期为2πC ．（π，0）是f （x ）的一个对称中心D ．f （x ）在区间42，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】AB 【解析】因为函数f （x ）＝|sinx ||cosx |＝|sinxcosx |12=|sin 2x |， 画出函数图象，如图所示；由图可知，f （x ）的对称轴是x 4k π=，k ∈Z ； 所以x 2π=是f （x ）图象的一条对称轴， A 正确；f （x ）的最小正周期是2π，所以B 正确； f （x ）是偶函数，没有对称中心，C 错误； 由图可知，f （x ）12=|sin 2x |在区间42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调减函数，D 错误. 故选：AB.18．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）将函数()3213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列关于函数()g x 的说法正确的是（ ）A ，图象关于直线12x π=对称B ．图象关于y 轴对称C ．最小正周期为πD ．图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】BCD 【解析】将函数()213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度，得到()21212133y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++-=+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数()g x x =的图象，对于函数()g x 于当12x π=时，()32g x =-，不是最值，故()g x 的图象不关于直线12x π=对称，故A 错误； 由于该函数为偶函数，故它的图象关于y 轴对称，故B 正确； 它的最小正周期为22ππ=，故C 正确； 当4x π=时，()0g x =，故函数()g x 的图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 正确. 故选：BCD19．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知函数2()sin 22sin 1f x x x =-+，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）. A ．函数()f x 的最小正周期是2π B ．函数()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 C ．函数()f x 的图象关于直线8x π=对称:D ．函数()f x 的图象可由函数2y x =的图象向左平移4π个单位得到 【答案】BC 【解析】2()sin 22sin 1sin 2cos 224f x x x x x x π⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭A 选项，因为2ω=，则()f x 的最小正周期T π=，结论错误；B 选项，当5,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,422x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，结论正确；C 选项，因为8f π⎛⎫=⎪⎝⎭()f x 的最大值，则()f x 的图象关于直线8x π=对称，结论正确；D 选项，设()2g x x =n ，则()222442g x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n ，结论错误．故选：BC ．20．（2020届山东省青岛市高三上期末）要得到cos 2y x =的图象1C ,只要将sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象2C 怎样变化得到( ) A ．将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向左平移12π个单位 B ．将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向右平移1112π个单位 C ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512π个单位 D ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向左平移12π个单位【答案】ABC 【解析】对于A ，将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象2C 沿x 轴方向向左平移12π个单位，可得sin 2sin 2cos21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象1C ，故选项A 正确；对于B ，将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向右平移1112π个单位也可得到， 113sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象1C ，故选项B 正确； 对于C ，先作2C 关于x 轴对称，得到sin 23y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭的图象3C ，再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512π个单位，得到5sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象1C ，故选项C 正确； 对于D ，先作2C 关于x 轴对称，得到sin 23y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭的图象3C ，再将图象3C 沿x 轴方向向左平移12π个单位，得到的sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象，故选项D 不正确． 故选：ABC ．21．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）已知函数()()()2sin 20f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是( ) A ．56πϕ= B ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心 C ．()2fϕ=-D ．6x π=-是()f x 图象的一条对称轴【答案】ABD 【解析】由题意，()()2sin 2f x x ϕ=+向右平移6π， 得2sin 22sin 263y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin 23y x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭Q 的图象关于y 轴对称，所以32k ππϕπ-=+，k Z ∈6k k Z πϕπ5∴=+∈，，又0ϕπ<< 506k πϕ∴==， 即()52sin 26x x f π⎛⎫+⎝=⎪⎭50221266f ff πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，， 则,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，6x π=-是()f x 图象的一条对称轴而()2fϕ=，则C 错，A,B,D 正确故选：ABD22．（2020届山东省泰安市肥城市一模）设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x ( ) A ．是偶函数B ．在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．最大值为2 D ．其图像关于直线2x π=对称【答案】ABD 【解析】()sin 2cos 2224444f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.选项A ：()2))()f x x x f x -=-==，它是偶函数，本说法正确；选项B ：0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,x π∈，因此()f x 是单调递减，本说法正确；选项C ：()2f x x =，本说法不正确；选项D ：当2x π=时，()22f x π=⨯=因此当2x π=时，函数有最小值，因此函数图象关于2x π=对称，本说法正确. 故选：ABD23．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）关于函数()3sin 21()3f x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，下列命题正确的是（ ）A ．由()()121f x f x ==可得12x x -是π的整数倍B ．()y f x =的表达式可改写成5()3cos 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C ．()y f x =的图象关于点3,14π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()y f x =的图象关于直线12x π=-对称【答案】BD 【解析】函数()3sin 21()3f x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭， 周期22T ππ==， 对于A ：当16x π=，223x π=时，满足()()121f x f x ==，但是不满足12x x -是π的整数倍，故A 错误；对于B ：由诱导公式，53sin 213cos 213cos 213623x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎡⎤⎢⎝⎥⎭⎣⎦⎭，故B 正确； 对于C ：令34x π=，可得33153213144322f sin πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+=⨯--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 错误； 对于D ：当12x π=-时，可得3sin 113121263f πππ⎛⎫⎛⎫-=--+=-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x 的图象关于直线12x π=-对称；故选：BD . 三、填空题24．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .若sin sin b A a C =，1c =，则b =__，ABC ∆面积的最大值为___.【答案】112【解析】因为sin sin b A a C =，所以由正弦定理可得ba ac =，所以1b c ==;所以111S 222ABC bcsinA sinA ∆==≤，当1sinA =，即90A =︒时，三角形面积最大. 故答案为(1). 1 (2). 1225．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）已知函数()2sin ,()2cos f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图像的交点，且不共线.①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为___________；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，则ω的最小值为__________.【答案】2π 2π【解析】函数()2sin ,()2cos f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图象的交点， 当1ω=时，()2sin ,()2cos f x x g x x ωω==．所以函数的交点间的距离为一个周期2π，高为22 222⋅+⋅=． 所以：()121122ABC S ππ∆⋅⋅+＝＝． 如图所示：①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为2π；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则22222222πω⎫⎪⎪⎭⋅＝， 解得ω的最小值为 2π． 故答案为：2π， 2π．26．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （e +x ）＝f （e ﹣x ），且f （0）＝0，当x ∈（0，e ]时，f （x ）＝lnx 已知方程122f x sin x eπ=（）在区间[﹣e ，3e ]上所有的实数根之和为3ea ，将函数2314g x sin x π=+（）的图象向右平移a 个单位长度，得到函数h （x ）的图象，，则h （7）＝_____.【答案】33104+ 【解析】因为f （e +x ）＝f （e ﹣x ），所以f （x ）关于x ＝e 对称，又因为偶函数f （x ）， 所以f （x ）的周期为2e .当x ∈（0，e ]时，f （x ）＝lnx ，于是可作出函数f （x ）在[﹣e ，3e ]上的图象如图所示， 方程1()22f x sin x e π=的实数根是函数y ＝f （x ）与函数122y sin x eπ=的交点的横坐标， 由图象的对称性可知，两个函数在[﹣e ，3e ]上有4个交点，且4个交点的横坐标之和为4e ，所以4e ＝3ea ，故a 43=， 因为235()314222g x sin x cos x ππ=+=-+， 所以345325()()()22322232h x cos x cos x πππ=--+=--+， 故3253310(7)232h sin π+=+=. 故答案为：3310+.四、解答题27．（2020·山东高三模拟）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知42c =25sin 25C =. （1）若1a =，求sin A ； （2）求ABC V 的面积S 的最大值.【答案】（1）sin A =（2）4 【解析】（1）∵23cos 12sin25C C =-=-，∴4sin 5C =，由正弦定理sin sin a c A C =得sin sin a C A c ==（2）由（1）知3cos 5C =-，2222266162cos 2555c b a b a C b a ba ab ba ba =+-⋅⋅=++≥+=， 所以16325ba ≥，10ba ≥，114sin 104225S ba C =≤⨯⨯=， 当且仅当a b =时，ABC V 的面积S 有最大值4.28．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知函数221()cos sin ,(0,)2f x x x x p =-+?． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC V 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC V 的面积．【答案】（1）,2p p 轹÷ê÷÷êøë；（2 【解析】（1）依题意()()2211()cos sin cos 20,π22f x x x x x =-+=+?，由2ππ22πk x k -≤≤得πππ2k x k -≤≤，令1k =得ππ2x ≤≤.所以()f x 的单调递增区间,2p p 轹÷ê÷÷êøë. （2）由于a b <，所以A 为锐角，即π0,02π2A A <<<<.由()0f A =，得11cos 20,cos 222A A +==-，所以2ππ2,33A A ==. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，2560c c -+=，解得2c =或3c =.当2c =时，222cos 02a c b B ac +-==<，则B 为钝角，与已知三角形ABC 为锐角三角形矛盾.所以3c =.所以三角形ABC 的面积为11sin 5322bc A =⨯⨯=29．（2020届山东省高考模拟） 在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC V 的面积为S ，()2223163c S b a +=-.（1）求tan B 的值；（2）若42S =，10a =，求b 的值．【答案】（1）34；（2）b =【解析】（1）在ABC V 中， 由三角形面积公式得，1sin 2S ac B =， 由余弦定理得，222cos 2c a b B ac +-=，Q ()2223163c S b a +=-， ∴()222316S c a b =+-， 整理可得()22233sin cos 84c a b B B ac+-==， 又()0,B π∈，∴sin 0B >，故cos 0B >，∴sin 3tan cos 4B B B ==. （2）由（1）得3tan 4B =， Q ()0,B π∈, ∴3sin 5B =， Q 42S =，10a =， ∴113sin 10342225S ac B c c ==⨯⋅==， 解得14c =，Q ()2223163c S b a +=-，∴b ===.30．（2020届山东省菏泽一中高三2cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；③sin sin2A Cb A += 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________________，b =4a c +=，求ABC ∆的面积.【解析】在横线上填写cos )sin b C a c B -=”.cos sin )sin sin B C A C B -=. 由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，得sin sin sin B C C B =. 由0C π<<，得sin 0C ≠.所以sin B B =.又cos 0B ≠（若cos 0B =，则sin 0,B =22sin cos 0B B +=这与22sin cos 1B B +=矛盾），所以tan B =又0B π<<，得23B π=.由余弦定理及b =得22222cos3a c ac π=+-， 即212()a c ac =+-.将4a c +=代入，解得4ac =.所以1sin 2ABC S ac B =△142=⨯=在横线上填写“22cos a c b C +=”. 解：由22cos a c b C +=及正弦定理，得2sin sin 2sin cos A C B C ++=.又sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+， 所以有2cos sin sin 0B C C +=.因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠. 从而有1cos 2B =-.又(0,)B π∈， 所以23B π=由余弦定理及b =得22222cos3a c ac π=+- 即212()a c ac =+-.将4a c +=代入， 解得4ac =.所以11sin 422ABC S ac B ==⨯=V在横线上填写“sin sin2A Cb A +=”解：由正弦定理，得sin sin sin 2BB A A π-=.由0A π<<，得sin A θ≠，所以sin 2B B =由二倍角公式，得2sincos 222B B B =.由022B π<<，得cos 02B ≠，所以sin 22B =. 所以23B π=，即23B π=.由余弦定理及b =得22222cos3a c ac π=+-. 即212()a c ac =+-.将4a c +=代入， 解得4ac =.所以1sin 2ABC S ac B =△1422=⨯⨯=31．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）在①()2223163c S b a +=-；②5cos 45b C c a +=，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC V 的面积为S ，已知________． （1）求tan B 的值；（2）若42,S =10a =，求b 的值．【答案】（1）34；（2） 【解析】（1）选择条件①．()2223163c S b a +=-，所以()2221316sin 32⨯+=-c ac B b a ， 整理得：()2228sin 3ac B a c b=+-．即2224sin 32a c b B ac+-=⋅. 整理可得3cos 4sin B B =，又sin 0B >．所以cos 0B >，所以sin 3tan cos 4B B B ==. 选择条件②．因为5cos 45bC c a +=，由正弦定理得，5sin cos 4sin 5sin B C C A +=，5sin cos 4sin 5sin()B C C B C +=+，即sin (45cos )0C B -=， 在ABC V 中，sin 0C ≠，所以cos 45B =，3sin 5B ==，所以3tan 4B =. （2）由3tan 4B =，得3sin 5B =，又42,S =10a =，则113acsin 1042225S B c ==⨯⨯=，解得14c =.将42,S =10,a =14c =代入()222261636c S c a =++-中，得()2222614164231410b ⨯=⨯++-，解得b =32．（2020届山东省泰安市肥城市一模）已知函数4()cos f x x =-42sin cos sin x x x -（1）求()f x 的单调递增区间；。
第2020年高考数学(文科)复习 三单元 三角函数、解三角形 作业答案
7.A[解析]∵3sinα+cosα=0,∴tanα=- ,又∵sin2α+cos2α=1,∴ = = = .
8.C[解析]∵f(2018)=asin(2018π+α)+bcos(2018π+β)=asinα+bcosβ=-1,∴f(2019)=asin(2019π+α)+bcos(2019π+β)=-(asinα+bcosβ)=1.
13.20°,140°,260°[解析]∵β=k·360°+60°,k∈Z,∴ =k·120°+20°,k∈Z.又 ∈[0°,360°),∴0°≤k·120°+20°<360°,k∈Z,∴- ≤k< ,k∈Z,∴k=0,1,2.此时 分别为20°,140°,260°.故在[0°,360°)内,与角 的终边相同的角为20°,140°,260°.
16.B[解析]由2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z得kπ- ≤x≤kπ+ ,则f(x)在 - , , , 上单调递增,因此 解得 ≤x0≤ ,故选B.
课时作业(十九)
1.D[解析]由函数图像的平移性质可知,函数g(x)=f x- =sinπ x- =sin πx- =-cosπx.
2.B[解析]由题图可知f =2sin ω- =2,即sin ω- =1,则 ω- = +2kπ,k∈Z,得ω=2+6k,k∈Z,又ω>0,故ω的值可以为2.
3.C[解析]因为 = ,所以应将y=sin 2x- 的图像向左平移 个单位长度,故选C.
4.2+ [解析]由图知A=2, =6-2=4,∴T=8,则ω= = .∵2sin ×2+φ =2,∴ +φ= +2kπ(k∈Z),则φ=2kπ(k∈Z),∴f(x)=2sin x,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(18)=2f(1)+2f(2)+…+2f(8)+f(17)+f(18)=f(17)+f(18)=f(1)+f(2)=2+ .
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单元质量测试(三)时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．函数f (x )＝1－2sin 2x2的最小正周期为( )A ．2πB ．πC ．π2 D ．4π答案 A解析 f (x )＝1－2sin 2x2＝cos x ，最小正周期T ＝2π，故选A ．2．已知sin θ<0，tan θ>0，则1－sin 2θ化简的结果为( ) A ．cos θ B ．－cos θ C ．±cos θ D ．以上都不对 答案 B解析 由已知可判断出θ是第三象限角，所以1－sin 2θ＝|cos θ|＝－cos θ．故选B ．3．(2018·福建4月质检)已知向量AB →＝(1，1)，AC →＝(2，3)，则下列向量与BC →垂直的是( )A ．a ＝(3，6)B ．b ＝(8，－6)C ．c ＝(6，8)D ．d ＝(－6，3) 答案 D解析 BC →＝AC →－AB →＝(1，2)，因为(1，2)·(－6，3)＝1×(－6)＋2×3＝0．故选D ． 4．(2018·长沙统考)已知a ，b 为单位向量，且a ⊥(a ＋2b )，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B．60° C．120° D．150° 答案 C解析 由题意，a ·(a ＋2b )＝a 2＋2a ·b ＝|a |2＋2|a ||b |·cos〈a ，b 〉＝1＋2cos 〈a ，b 〉＝0，所以cos 〈a ，b 〉＝－12，又0°≤〈a ，b 〉≤180°，所以〈a ，b 〉＝120°．故选C ．5．(2018·长春调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos C －2c cos B ＝a ，且B ＝2C ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形答案 B解析 ∵2b cos C －2c cos B ＝a ，∴2sin B cos C －2sin C cos B ＝sin A ＝sin(B ＋C )，即sin B cos C ＝3cos B sin C ，∴tan B ＝3tan C ，又B ＝2C ，∴2tan C 1－tan 2C ＝3tan C ，得tan C ＝33，C ＝π6，B ＝2C ＝π3，A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．故选B ．6．(2018·广东广州调研)如图所示，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为( )A ．911B ．511C ．311D ．211 答案 B解析 因为N ，P ，B 三点共线，所以AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1⇒m ＝511．故选B ． 7．(2018·湖南长郡中学调研)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b sin2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则a b等于( )A ．2B ．3C ． 2D ． 3 答案 A解析 由2b sin2A ＝a sin B ，得4b sin A cos A ＝a sin B ，由正弦定理得4sin B sin A cos A ＝sin A sin B ，∵sin A ≠0，且sin B ≠0，∴cos A ＝14，由余弦定理，得a 2＝b 2＋4b 2－b 2，∴a 2＝4b 2，∴a b＝2．故选A ．8．(2018·江西九校联考)已知5sin2α＝6cos α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α2＝( )A ．－23B ．13C ．35D ．23答案 B解析 由题意知10sin αcos α＝6cos α，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝35，cos α＝45，tan α2＝sin α2cos α2＝2sin 2α22sin α2cosα2＝1－cos αsin α＝1－4535＝13．9．(2018·东北三省四市二联)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)|φ|＜π2的图象向右平移π12个单位，所得到的图象关于y 轴对称，则函数f (x )在0，π2上的最小值为( )A ．32 B ．12 C ．－12 D ．－32答案 D解析 f (x )＝sin(2x ＋φ)向右平移π12个单位得到函数g (x )＝sin2x －π12＋φ＝sin2x －π6＋φ，此函数图象关于y 轴对称，即函数g (x )为偶函数，则－π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，由|φ|＜π2，可得φ＝－π3，所以f (x )＝sin2x －π3，因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以f (x )的最小值为sin －π3＝－32．故选D ． 10．(2018·湖北宜昌二模)已知△ABC 中，∠A ＝120°，且AB ＝3，AC ＝4，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为( )A ．2215B ．103C ．6D ．127 答案 A解析 因为AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，所以有AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AB →·AC →＝(λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋AC →2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos120°－9λ＋16＝0，解得λ＝2215，故选A ．11．(2018·湖南长沙长郡中学摸底)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且其图象向左平移π3个单位长度后得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点π12，0对称D ．关于点5π12，0对称答案 C解析 由题意T ＝2πω＝π，得ω＝2，把g (x )＝cos2x 的图象向右平移π3个单位长度得f (x )＝cos2x －π3＝cos2x －2π3＝sin π2－2x ＋2π3＝sin －2x ＋7π6＝sin2x －π6的图象，f π12＝0，f 5π12＝32，因此函数f (x )的图象关于点π12，0对称．故选C ．12．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2C ． 5D ．2 答案 A解析 分别以CB ，CD 所在的直线为x 轴、y 轴建立直角坐标系，则A (2，1)，B (2，0)，D (0，1)．∵点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上， ∴可设P25cos θ，25sin θ．则AB →＝(0，－1)，AD →＝(－2，0)， AP →＝25cos θ－2，25sin θ－1．又AP →＝λAB →＋μAD →， ∴λ＝－25sin θ＋1，μ＝－15cos θ＋1，∴λ＋μ＝2－25sin θ－15cos θ＝2－sin(θ＋φ)，其中tan φ＝12，∴(λ＋μ)max ＝3．故选A ．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2018·合肥质检一)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝3，则a在b 方向上的投影等于________．答案 －12解析 依题意，有|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×2cos 〈a ，b 〉＋4＝3，解得cos 〈a ，b 〉＝－12，则a 在b 方向上的投影等于|a |cos 〈a ，b 〉＝－12．14．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________．答案 75° 解析 由正弦定理得3sin60°＝6sin B ，∴sin B ＝22．又∵c ＞b ，∴B ＝45°，∴A ＝75°．15．(2018·河北石家庄质检)已知AB →与AC →的夹角为90°，|AB →|＝2，|AC →|＝1，AM →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，且AM →·BC →＝0，则λμ的值为________．答案 14解析根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，B (0，2)，C (1，0)，所以AB →＝(0，2)，AC →＝(1，0)，BC →＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y )，所以AM →·BC →＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，即x ＝2y ，又AM →＝λAB →＋μAC →，即(x ，y )＝λ(0，2)＋μ(1，0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝12y x ＝14．16．(2018·广州调研)如图所示，某炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面C 处和D 处，已知CD ＝6000 m ，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面B 处时测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°，则炮兵阵地到目标的距离是________ m ．(结果保留根号)答案 100042解析 在△ACD 中，∵∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°， ∴∠CAD ＝60°，由正弦定理可得AD sin45°＝CDsin60°，∴AD ＝6000×2232＝20006(m)．在△BCD 中，由正弦定理得BD sin30°＝CDsin135°，∴BD ＝12×600022＝30002(m)，在Rt △ABD 中，由勾股定理可得AB 2＝BD 2＋AD 2， ∴AB ＝(30002)2＋(20006)2＝100042(m)．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55．(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255．故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋22×55＝－1010． (2)由(1)知sin2α＝2sin αcos α ＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45， cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎪⎫552＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310．18．(2018·浙江温州统考)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12sin ωx ＋32cos ωx (ω>0)的最小正周期为π．(1)求ω的值，并在下面提供的直角坐标系中画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象；(2)函数y ＝f (x )的图象可由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到？ 解 (1)函数可化为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，因为T ＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3． 列表如下：画出图象如图所示：(2)将函数y ＝sin x (x ∈R )图象上的所有点向左平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )的图象，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，可得函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的图象．19．(2018·河南洛阳二模)(本小题满分12分)如图，已知扇形的圆心角∠AOB ＝2π3，半径为42，若点C 是AB 上的一动点(不与点A ，B 重合)．(1)若弦BC ＝4(3－1)，求BC 的长； (2)求四边形OACB 面积的最大值．解 (1)在△OBC 中，BC ＝4(3－1)，OB ＝OC ＝42，所以由余弦定理得cos ∠BOC ＝OB 2＋OC 2－BC 22OB ·OC ＝32，所以∠BOC ＝π6，于是BC 的长为π6×42＝22π3．(2)设∠AOC ＝θ，θ∈0，2π3，则∠BOC ＝2π3－θ，S 四边形OACB ＝S △AOC ＋S △BOC＝12×42×42sin θ＋12×42×42sin 2π3－θ＝24sin θ＋83cos θ＝163sin θ＋π6，由于θ∈0，2π3，所以θ＋π6∈π6，5π6，当θ＝π3时，四边形OACB 的面积取得最大值163．20．(2018·河南濮阳三模)(本小题满分12分)△ABC 内接于半径为R 的圆，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且2R (sin 2B －sin 2A )＝(b －c )sin C ，c ＝3．(1)求角A 的大小；(2)若AD 是BC 边上的中线，AD ＝192，求△ABC 的面积． 解 (1)因为2R (sin 2B －sin 2A )＝(b －c )sin C ，所以2R sinB sin B －2R sin A sin A ＝(b －c )sin C ，所以b sin B －a sin A ＝b sin C －c sin C ， 即b 2－a 2＝bc －c 2，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，A ＝60°．(2)以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABEC ， 在△ABE 中，∠ABE ＝120°，AE ＝19， 由余弦定理得AE 2＝AB 2＋BE 2－2AB ·BE cos120°， 即19＝9＋BE 2－2×3×BE ×－12，解得BE ＝2(负值舍去)，所以AC ＝2． 故S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC＝12×3×2×32＝332． 21．(2018·荆门调研)(本小题满分12分)已知向量m ＝(3sin x ，cos x )，n ＝(－cos x ，3cos x )，f (x )＝m ·n －32． (1)求函数f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝a 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围．解 (1)f (x )＝m ·n －32＝－3sin x cos x ＋3cos 2x －32＝－32sin2x ＋32(1＋cos2x )－32＝－32sin2x ＋32cos2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6．当2x ＋5π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π－π6，k ∈Z 时，函数f (x )取得最大值3．(2)由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋5π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，11π6．而函数g (x )＝3sin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，3π2上单调递减，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，11π6上单调递增．又g ⎝⎛⎭⎪⎫11π6＝－32，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＝－3，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝32．结合图象(如图)，所以方程f (x )＝a 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的实数根时，a ∈⎝⎛⎦⎥⎤－3，－32．22．(2018·广东茂名二模)(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A ＝2sin C ，2b ＝3c ．(1)求cos C ；(2)若∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且△ABC 的面积为3154，求BD 的长． 解 (1)∵sin A ＝2sin C ，∴a ＝2c ．于是，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(2c )2＋32c 2－c 22×2c ×32c＝78．(2)由(1)知cos C ＝78，∴sin C ＝158．∵S △ABC ＝12·2c ·32c ·158＝3154，∴c 2＝4，c ＝2，则a ＝4，b ＝3． ∵BD 为∠ABC 的平分线， ∴a c ＝CD AD＝2，∴CD ＝2AD ． 又CD ＋AD ＝3，∴CD ＝2，AD ＝1．在△BCD中，由余弦定理可得BD2＝42＋22－2×4×2×78＝6，∴BD＝6．。