不等式的证明测试题及答案
不等式的证明
班级 ＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） １．若a >0, b >0,则)11)((b
a b a ++ 的最小值是 （ ）
A ．2
B ．22
C ．24
D ．4
2．分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的
（ ）
A ．必要条件
B ．充分条件
C ．充要条件
D ．必要或充分条件
3．设a 、b 为正数，且a + b ≤4，则下列各式中正确的一个是
（ ）
A ．
111<+b
a B ．
111≥+b
a C ．
21
1<+b a D ．21
1≥+b
a 4．已知a 、
b 均大于1，且log a C ·log b C=4，则下列各式中，一定正确的是
（ ）
A ．a c ≥b
B ．a b ≥c
C ．bc ≥a
D ．a b ≤c
5．设a =2，b=37-，26-=
c ，则a 、b 、c 间的大小关系是
（ ）
A ．a >b>c
B ．b>a >c
C ．b>c>a
D ．a >c>b 6．已知a 、b 、m 为正实数，则不等式
b
a
m b m a >++
（ ）
A ．当a < b 时成立
B ．当a > b 时成立
C ．是否成立与m 无关
D ．一定成立
7．设x 为实数，P=e x +e -x ，Q=(sin x +cos x )2，则P 、Q 之间的大小关系是
（ ）
A ．P ≥Q
B ．P ≤Q
C ．P>Q
D ． P b 且a + b <0，则下列不等式成立的是
（ ）
A ．
1>b
a B ．
1≥b
a C ．
1 a D ． 1≤b a 9．设a 、 b 为正实数，P=a a b b ，Ｑ=a b b a ，则P 、Q 的大小关系是 （ ） A ．P ≥Q B ．P ≤Q C ．P=Q D ．不能确定 10．甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时 间以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，若m ≠n ，则甲、乙两人到达指定地点的情况是 （ ） A ．甲先到 B ．乙先到 C ．甲乙同时到 D ．不能确定 二、填空题 11．若实数,,x y z 满足23()x y z a a ++=为常数，则2 2 2 x y z ++的最小值为 12．函数2 12 ()3(0)f x x x x =+ >的最小值为_____________。 13．使不等式a 2>b 2，1>b a ，lg(a － b )>0， 2a >2b-1同时成立的a 、b 、1的大小关系是 ． 14．建造一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分 别为120元和80元，则水池的最低总造价为 元． 三、解答题 15．（1）若a 、b 、c 都是正数，且a +b+c=1， 求证： (1–a )(1–b)(1–c)≥8a bc ． （2）已知实数,,a b c 满足a b c >>，且有2 2 2 1,1a b c a b c ++=++= 求证：413 a b <+< 16．设2 1 log log 21,0,1,0+>≠>t t t a a a a 与试比较的大小．（12分） 17．(1)3 a b c ++≥ (2)已知a ，b ，c 都是正数，且a ，b ，c 成等比数列，求证：2 222)(c b a c b a +->++ 18．(1)已知x 2 = a 2 + b 2 ，y 2 = c 2 + d 2 ，且所有字母均为正，求证：xy ≥ac + bd ． (2) 已知,,x y z R ∈，且2228,24x y z x y z ++=++= 求证：444 3,3,3333 x y z ≤≤≤≤≤≤ 19．设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm 2 ，画面的宽与高的比为λ（λ<1），画面的上 下各留8cm 空白，左、右各留5cm 空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？ 20．数列{x n }由下列条件确定：N n x a x x a x n n n ∈+= >=+),(21,011． （Ⅰ）证明：对n ≥2，总有x n ≥a ； （Ⅱ）证明：对n ≥2，总有x n ≥1+n x ． 参考答案 一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．214 a 12．9 13．a >b>1 14．1760 三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．（12分） [证明]：因为a 、b 、c 都是正数，且a +b+c=1， 所以(1–a )(1–b)(1–c)=(b+c)( a +c)( a +b)≥2 bc ·2ac ·2ab =8a bc ． 16．（12分） [解析 ]： t t t t a a a 21log log 2 1log +=-+ t t t 21,0≥+> （当且仅当t=1时时等号成立） 121≥+∴ t t （1） 当t=1时，t t a a log 2 1 log =+ （2） 当1≠t 时， 121>+t t ， 若t t t t a a a a log 2 12 1log ,021log ,1>+>+>则 若t t t t a a a a log 2 121log ,021log ,10<+<+<<则 17．（12分） [证明]：左－右=2（ab +bc －ac ） ∵a ，b ，c 成等比数列， ac b =2 又∵a ，b ，c 都是正数，所以ac b = <0≤c a c a +<+2 ∴b c a >+ ∴0)(2)(2)(22>-+=-+=-+b c a b b bc ab ac bc ab ∴2222)(c b a c b a +->++ 18．（12分） [证法一]：（分析法）∵a , b , c , d , x , y 都是正数 ∴要证：xy ≥ac + bd 只需证：(xy )2≥(ac + bd )2 即：(a 2 + b 2)(c 2 + d 2)≥a 2c 2 + b 2d 2 + 2abcd 展开得：a 2c 2 + b 2d 2 + a 2d 2 + b 2c 2≥a 2c 2 + b 2d 2 + 2abcd 即：a 2d 2 + b 2c 2≥2abcd 由基本不等式，显然成立 ∴xy ≥ac + bd [证法二]：（综合法）xy =222222222222d b d a c b c a d c b a +++= ++ ≥bd ac bd ac d b abcd c a +=+=++22222)(2 [证法三]：（三角代换法） ∵x 2 = a 2 + b 2，∴不妨设a = x sin , b = x cos y 2 = c 2 + d 2 c = y sin , d = y cos ∴ac + bd = xy sin sin + xy cos cos = xy cos( )≤xy 19．（14分） [解析]：设画面高为x cm ，宽为λx cm 则λx 2=4840． 设纸张面积为S ，有 S=（x +16）(λx +10) =λ x 2+(16λ+10) x +160, S=5000+44).5(10λ λ+ 当8 .)185 (85,5 取得最小值时即S <== λλ λ 此时，高：,884840cm x ==λ 宽：,558885cm x =⨯=λ 答：画面高为88cm ，宽为55cm 时，能使所用纸张面积最小． 20．（14分） （I ）证明：由,01 >=a x 及),(2 11n n n x a x x +=+可归纳证明0>n x （没有证明过程不扣分） 从而有).()(211 N a a x a x x a x x n n n n n ∈=⋅≥+= + 所以，当a x n ≥≥,2时成立. （II ）证法一：当)(21,0,21n n n n x a x x a x n += >≥≥+因为时 所以,021)(212 1≤-⋅=-+=-+n n n n n n n x x a x x a x x x 故当.,21成立时+≥≥n n x x n 证法二：当)(2 1,0,21n n n x a x x a x n +=>≥≥+因为时 所以1 22)(21222221 =+≤+=+=+n n n n n n n n n n x x x a x x x a x x x 故当成立时1,2+≥≥n n x x n . 2．证明： 2222222(111)()()a b c a b c ++++≥++ 2222 ()39 a b c a b c ++++∴≥ 3 a b c ++≥ 4．证明：2222()() 1,2 a b a b a b c ab c c +-++=-= =- ,a b ∴是方程2 2 (1)0x c x c c --+-=的两个不等实根， 则22 (1)4()0c c c =--->，得1 13 c - << 而2 ()()()0 c a c b c a b c a b --=-++> 即2 2 (1)0c c c c c --+->，得2 0,3 c c <>或 所以103c - <<，即413 a b <+< 5．证明：显然2222()() 8,8202 x y x y x y z xy z z +-++=-= =-+ ,x y ∴是方程2 2 (8)8200t z x z z --+-+=的两个实根， 由0≥得443z ≤≤，同理可得443y ≤≤，4 43 x ≤≤ 微积分中不等式的证明方法讨论 不等式的证明题经常出现在考研题中，虽然题目各种各样，但方法无非以下几种： 1.利用函数的单调性证明不等式 若在),(b a 上总有0)(>'x f ，则)(x f 在),(b a 单调增加；若在),(b a 上总有0)(<'x f ，则)(x f 在),(b a 单调减少。 注：考研题的难点是，构造恰当的辅助函数，有时需要两次利用函数的单调性证明不等式，有时需要对),(b a 进行分割，分别在小区间上讨论。 例１：证明：当0a b π<<<时， sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++. 【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明. 【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<， 则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=. 又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，（0,s i n 0x x x π<<>时）， 故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是()()0f b f a >=，即 sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++. 【评注】 证明数值不等式一般需构造辅助函数，辅助函数一般通过移项，使不等式一端为“0”，另一端即为所作辅助函数()f x ，然后求导验证()f x 的增减性，并求出区间端点的函数值（或极限值）。 例2：设2e b a e <<<, 证明)(4ln ln 2 22a b e a b ->-. 【分析】即证a e a b e b 2 222 4ln 4ln ->- 证明： 设x e x x 224ln )(-=?，则 24ln 2)(e x x x -='?， 2ln 12)(x x x -=''?, 所以当x>e 时，,0)(<''x ? 故)(x ?'单调减少，从而当2 e x e <<时， 证明不等式的基本方法 一、选择题 1．设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( ) A ．s ≥t B ．s >t C ．s ≤t D ．s 不等式的证明训练题及解答 一、选择题 (1)若l o g a b 为整数,且l o g a b 1>l o g a b l o g b a 2,那么下列四个结论①b 1>b >a 2 ②l o g a b +l o g b a =0 ③02且|x 2|>2 B |x 1+x 2|>4 C |x 1+x 2|<4 D |x 1|=4且|x 2|=1 (3)若x ,y ∈R + ,且x ≠y ,则下列四个数中最小的一个是（ ） A )11( 2y x + B y x + (4)若x >0,y >0,且y x +≤a y x +成立,则a 的最小值是（ ） A 2 2 C 2 D 2 (5)已知a ,b ∈R + ,则下列各式中成立的是（ ） A cos 2θ·lg a +sin 2θ·lg b 不等式的证明 班级 ＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） １．若a >0, b >0,则)11)((b a b a ++ 的最小值是 （ ） A ．2 B ．22 C ．24 D ．4 2．分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的 （ ） A ．必要条件 B ．充分条件 C ．充要条件 D ．必要或充分条件 3．设a 、b 为正数，且a + b ≤4，则下列各式中正确的一个是 （ ） A ． 111<+b a B ． 111≥+b a C ． 21 1<+b a D ．21 1≥+b a 4．已知a 、 b 均大于1，且log a C ·log b C=4，则下列各式中，一定正确的是 （ ） A ．a c ≥b B ．a b ≥c C ．bc ≥a D ．a b ≤c 5．设a =2，b=37-，26-= c ，则a 、b 、c 间的大小关系是 （ ） A ．a >b>c B ．b>a >c C ．b>c>a D ．a >c>b 6．已知a 、b 、m 为正实数，则不等式 b a m b m a >++ （ ） A ．当a < b 时成立 B ．当a > b 时成立 C ．是否成立与m 无关 D ．一定成立 7．设x 为实数，P=e x +e -x ，Q=(sin x +cos x )2，则P 、Q 之间的大小关系是 （ ） A ．P ≥Q B ．P ≤Q C ．P>Q D ． P 高中不等式证明练习题及参考答案 高中不等式证明练习题及参考答案 不等式证明是可以作文练习题经常出现的，这类的练习题是的呢?下面就是店铺给大家整理的不等式证明练习题内容，希望大家喜欢。不等式证明练习题解答 (1/a+2/b+4/c)*1 =(1/a+2/b+4/c)*(a+b+c) 展开，得 =1+2a/b+4a/c+b/a+2+4b/c+c/a+2c/b+4 =7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b 基本不等式，得 >=19>=18用柯西不等式：(a+b+c)(1/a + 2/b + 4/c)≥(1+√2+2)^2=(3+√2)^2 =11+6√2≥18 楼上的，用基本不等式要考虑等号时候成立，而且如果你的式子里7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b直接用基本不等式得出的并不是≥18设ab=x,bc=y,ca=z 则原不等式等价于： x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx <=>2(x^2+y^2+z^2)>=2(xy+yz+zx) <=>(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)>=0 <=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0 含有绝对值的不等式练习。1.实数x的不等式|x-|7|x+1|成立的前提条件是：x7x+7, -1-7x-7, x>-2，因此有：-20的解，∵a<0，不等式变形为x2+x-<0，它与不等式x2+x+<0比较系数得：a=-4,b=-9. 函数y=arcsinx的定义域是 [-1, 1] ，值域是，函数y=arccosx的定义域是 [-1, 1] ，值域是[0, π] ，函数y=arctgx的定义域是 R ，值域是 .，函数y=arcctgx的定义域是 R ，值域是(0, π) .直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。函 高三数学不等式证明试题答案及解析 1.已知均为正数，证明：． 【答案】证明见解析. 【解析】不等式是对称式，特别是本题中不等式成立的条件是，因此我们可以用基本不等式，注意对称式的应用，如，对应的有，，这样可得 ①，同样方法可得，因此有 ②，①②相加，再应用基本不等式就可证明本题不等式了. 因为a，b，c均为正数， 由均值不等式得a2＋b2≥2ab， b2＋c2≥2bc， c2＋a2≥2ac． 所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac．同理， 故a2＋b2＋c2＋≥ab＋bc＋ac＋≥6． 所以原不等式成立． 10分 【考点】不等式的证明. 2. [2014·保定模拟]若P＝－，Q＝－，a≥0，则P、Q的大小关系是 ________． 【答案】P>Q 【解析】分析法，要证P>Q，需证＋>＋， 平方可得>， 即证a2＋6a＋8>a2＋6a，即8>0， 显然成立，∴P>Q. 3.已知a,b均为正数，且a+b=1,证明： （1） （2） 【答案】见解析 【解析】（1） 因为a+b=1,所以，a-1=-b,b-1=-a,故 =,当且仅当a=b时等号成立。 （2） = = 当且仅当a=b时等号成立。 4.在中，不等式成立；在凸四边形ABCD中， 不等式成立；在凸五边形ABCDE中，不等式成立，，依此类推，在凸n边形中，不等式__ ___成立. 【答案】 【解析】我们可以利用归纳推理的方法得到不等式，从而得出结论．【考点】归纳推理. 5.已知a,b,x,y均为正数且>,x>y. 求证:>. 【答案】见解析 【解析】证明：∵-=, 又>且a,b均为正数, ∴b>a>0.又x>y>0, ∴bx>ay.∴>0, 即>. 6.若a,b,c为不全相等的正数,求证:lg+lg+lg>lga+lgb+lgc. 【答案】见解析 【解析】证明：由a,b,c为正数,得lg≥lg;lg≥lg;lg≥lg. 而a,b,c不全相等, 所以lg+lg+lg>lg+lg+lg="lg" (abc)=lga+lgb+lgc. 即lg+lg+lg>lga+lgb+lgc. 7.已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋2≥6，并确定a，b，c为何值时， 等号成立． 【答案】见解析 【解析】法一：因为a、b、c均为正数，由平均值不等式得 a2＋b2＋c2≥3(abc)，① ≥3(abc)－，② 所以2≥9(abc)－. 故a2＋b2＋c2＋2≥3(abc)＋9(abc)－. 又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6 ，③ 所以原不等式成立． 当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立． 当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立． 即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立． 法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac， 所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.① 同理≥，② 故a2＋b2＋c2＋2≥ab＋bc＋ac＋3＋3＋3≥6.③ 所以原不等式成立， 当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立． 即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立． 最新高中数学奥数11 不等式的口明 口后 1.00口 (1)方程x-y' =105的正整数解有( ). (A)—□①)二口(O 三口(D)四口 (2)在0, 1, 2, , 5051个整数中,能同口被 2.3. 4整除的有( (A)3 个(B)4 个(C)5 个(D)6 个 2.填空口 (1)的个位数分口口及 22) 口足不31686, 72000 等式10WA10的整数A的个数是Elx的 (3)已知整数y被7除余数5,那么y被7除口余数口 (4)求出任何一口口足方程x-51y口的自然数解x和y 3.求三个正整数x、y、z□足 号 1 4 5 4.在数列4. S. 17. 77, 97, 106. 12 5. 238中相口若干个数之和是3的倍数.而不是9的倍数的数口共有多少口？ 51号号5的』数解的整数解. 6.求口”888822?2+77773333 可被37整除. 件—74 7.求口足条件 的整数x, y的所有可能的口 x-xy+y （2）基本不等式有各种口式 如（ 等.但共本口特征不等式两口的次 如果、.加Q ，都是整数，并且PM p>L q>l, □求p+q 的口. 口后口答案 1. D. C. 2. (1)9 及 1. (2)9. (3)4. (4)原方程可口形口 x=(7y+l)+2y(y-7), 令 y=7 可得 x=50. .故y4.若y=4, Dz=20.若y=5, z=10.若y=6, z 无整数 解.若x=3, 口似可以确定3syW4,产3或% z 都不能是整数. 4 .可仿例2解. 5 .分析：左口 ：口直接用基本不等式口然不行，考察到不等式的口称性.可用口口 口述：（1）利用基本不等式口,除了本口的口 口外，一般口 口掌握添口、口用等技巧 可在不等式两 再如口(a 1) (b i)(a c) (b c) * 256abc (a, b, c o)o,可口口使用基本不 8.已知直角：角形的两宜角口口分□口 厘米、m 厘米，斜口厘米，且1, m n 均口正整数. 1口口数.口明：2（I+m+n ）是完全平方数. 9.如果p 、q 、 3.不妨口x sys z, Dx ° 5,故x3.又有* 故x22.若x=2. 口 老x203号 故y6.又有 略解:a 2ab» 同理b? Qv 2bc, c 2ca ： ..式相加再除以 2即窗口. 同 口加上 专题70 不等式的证明、柯西不等式与均值不等式 1．（广西桂林市，贺州市，崇左市2019年高三下学期3月联合调研考试数学理）选修4-5：不等式选讲 设函数2 2 ()|||2|(,)f x x a x b a b R =-++∈. （1）若1a =，0b =，求()2f x ≥的解集； （2）若()f x 的最小值为8，求2+a b 的最大值. 【答案】（1）1 3(,][,)22 x ∈-∞-⋃+∞；（2 ）【解析】 （1）因为1a =，0b =，所以()1f x x x =-+， 当0x <时，1 122x x x --≥⇒≤- ，∴12 x ≤-. 当01x ≤<时，12x x x φ-+≥⇒∈； 当1x ≥时，3122 x x x -+≥⇒≥ ，∴32x ≥. 综上所述：][13,,22x ⎛ ⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ . （2）∵2 2 2 2 2 2 2228x a x b x a x b a b -++≥---=+=， 又根据柯西不等式知 2a b +≤=a b =时取等号）， 故2+a b 的最大值为2．（天津市耀华中学2019届高三第二次校模拟考试数学理）已知数列{}n a 的前n 项和是( )* n S n N ∈，1 1 a =且11 02 n n n S S a -⋅+ = （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式 （Ⅱ）求证：对任意的*n N ∈ ，不等式 231 11 1 111n S S S +⋅ >--- 【答案】（Ⅰ）()()2,2 21231,1n n n n a n -⎧ ≥⎪--=⎨⎪=⎩ ；（Ⅱ）见解析. 【解析】 （Ⅰ）∵11a =且1102n n n S S a -⋅+ =，即()()111 022 n n n n S S S S n --⋅+-=≥ 112n n n n S S S S --⋅=-两边同除以1n n S S -⋅得1 11 2n n S S -= - ∴数列1n S ⎧⎫ ⎨ ⎬⎩⎭ 是以1为首项，以2为公差的等差数列． ∴ ()1 12121n n n S =+-=-，∴121 n S n =-， 当1n =时，11a = 当2n ≥时，()()() 1112 212112123n n n a S S n n n n --=-= -=----- ∴()()2,2 21231,1n n n n a n -⎧ ≥⎪--=⎨⎪=⎩ ． （Ⅱ） 1121 12n n S n ++=- 设数列{}n c 的前n 项积为n T = ，则)12n n n T c n T -==≥ 经检验1n =时也成立 要证不等式 231 11 1 111n S S S +⋅ >-- - 只需证不等式 212n n +> 两边平方即为22 4411 4n n n n n +++>即证2244144n n n n ++>+，显然成立． 3．（山东省威海市2019届高三二模考试数学理）已知正实数, a b 满足2 a b +=. (Ⅰ) (Ⅱ) 若对任意正实数,a b ，不等式|1||3|x x ab +--≥恒成立，求实数x 的取值范围. 高二数学同步测试—不等式的证明 班级：姓名： 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．四个不相等的正数a,b,c,d成等差数列，则（）A．B．C．D． 2．综合法证明不等式中所说的“由因导果”是指寻求使不等式成立的（）A．必要条件B．充分条件C．充要条件D．必要或充分条件 3．在①，②③， 其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3 4．下列函数中最小值是2的是（）A．B． C．D． 5．设，则x，y的大小是（） A. B．C．D．与m，n的取值有关6．已知a、b、m是正实数，则不等式（）A．当a> b时成立B．当a< b时成立 C．是否成立与m有关D．一定成立 7．如果正数满足，那么（） Ａ．，且等号成立时的取值唯一 Ｂ．，且等号成立时的取值唯一 Ｃ．，且等号成立时的取值不唯一 Ｄ．，且等号成立时的取值不唯一 8．在中，a,b,c分别是所对应的边，，则的取值范围是（） A．（1,2）B．C．D． 9．定义，其中是△内一点，、、分别是△、△、△的面积，已知△中，，，，则的最小值是（） A．8 B．9 C．16 D．18 10．设的最值情况是（） A．有最大值2，最小值B．有最大值2，最小值0 C．有最大值10，最小值D．最值不存在 一、 二、填空题 11．若a、b、c、d∈R，且有，，则a bcd的取值范围是_______． 12．若，则函数的最小值是________. 13．若的大小关系是________________________． 14．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以公里／小时的速度匀速直达灾区，已知某市到灾区公路线长400公里，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于公里，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是________________小时．（车身长不计） 15．实数_________，y=_________． 不等式证明练习（含答案） 【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟. 一、选择题（每小题6分，共42分） 1.设0＜x ＜1，则a=x 2,b=1+x,c= x -11 中最大的一个是（ ） A.a B.b C.c D.不能确定 答案：C 解析：因0＜x ＜1,故 1-x 2＞0,即1+x ＜ x -11,b ＜c,又1+x-x 2=(2 2-x )2+21＞0,故a ＜b,即最大的是C. 2.(2010北京东城区一模，4)已知a ＜0,b ＜-1,则下列不等式成立的是（ ） A.a ＞b a ＞2b a B.2b a ＞b a ＞a C.b a ＞2b a ＞a D.b a ＞a ＞2b a 答案：C 解析：∵a ＜0,b ＜-1,则 b a ＞0, b ＜-1.则b 2＞1. ∴21b ＜1.又∵a ＜0,∴0＞2b a ＞a. ∴b a ＞2b a ＞a.故选C. 3.设a ＞b ＞0，则下列关系式成立的是（ ） A.a a b b ＞2 )(b a ab + B.a a b b ＜2) (b a ab + C.a a b b =2 )(b a ab + D.a a b b 与2 ) (b a ab +的大小不确定 答案：A 解析：a a b b ÷2 ) (b a ab +=2 )(b a b a -,因a ＞ b ＞0,故ab ＞1,a-b ＞0,2 ) (b a b a -＞1. 4.设a,b ∈R +，且ab-a-b ≥1，则有（ ） A.a+b ≥2(2+1) B.a+b ≤2+1 C.a+b ＜2+1 D.a+b ＞2(2+1) 答案：A 解析：由ab ≥1+a+b ⇒(2 b a +)2 ≥1+a+b,将a+b 看作一整体即可. 5.若0＜x ＜ 2 π ,设a=2-xsinx,b=cos 2x,则下式正确的是( ) A.a ≥b B.a=b C.a ＜b D.a ＞b 答案：D 证明不等式练习(一) 参考答案 一、选择题 1. 设,,a b c R +∈,则111 ,,a b c b c a +++( ) A.都不大于2 B.都不小于2 C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2 [解]D. 2. 已知1230a a a >>>,则()()2 111,2,3i a x i -<=使都成立的x 的取值范围是( ) A.110, a ⎛ ⎫ ⎪⎝ ⎭ B.120,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.310,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.320,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ [解]B. 3. 已知函数()2x f x =,若a b <,记 ()()1,22a b P Q f a f b R f +⎛⎫ = = +=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ ,则 ( ) A.R P Q << B.P Q R << C.Q P R <= D.P R Q =< [解]()()20,20a b f a f b =>=> ,且a b < ,()()1 2 f a f b <+⎡⎤⎣⎦. 而 22 2,22a b a b a b P R f +++⎛⎫===== ⎪⎝⎭ ,所以P R Q =<.选D. 4. 设,,,,,a b c d m n 均为正实数 ,p q ==则( ) A.p q ≤ B.p q ≥ C.p q < D.p q > [解]A. 5. 若,,,a b c d 是正数,且满足4a b c d +++=.用M 表示,,,a b c a b d a c d b c d ++++++++中的最大者,则M 的最小值为( ) A.4 B.3 C.2 D.5 [解]B. 6. 给出下列不等式:①()232x x x R +>∈;②()553223,a b a b a b a b R +>+∈;③()2221a b a b +≥--; ④()210x x x R -+>∈.其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解]C. 7. 已知12,R R 是阻值不同的两个电阻,现分别按甲和乙两种方法连接,相应的总阻值分别为 ,A B R R ,则A R 与B R 的大小关系是( ) A.A B R R > B.A B R R = C.A B R R < D.不确定 [解]A. 8. 某汽车运输公司买一批豪华大客车投入运营，据市场分析，每辆车运营的总利润y （单位：10万元）与运营年数( )x x N *∈为二次函数关系（如图所示），则要使每辆客车的年运营平均利润 §3.6 利用导数证明不等式 题型一 将不等式转化为函数的最值问题 例1 已知函数g (x )＝x 3＋ax 2. (1)若函数g (x )在[1,3]上为单调函数，求a 的取值范围； (2)已知a >－1，x >0，求证：g (x )>x 2ln x . (1)解 由题意知，函数g (x )＝x 3＋ax 2， 则g ′(x )＝3x 2＋2ax ， 若g (x )在[1,3]上单调递增， 则g ′(x )＝3x 2＋2ax ≥0在[1,3]上恒成立， 则a ≥－32； 若g (x )在[1,3]上单调递减， 则g ′(x )＝3x 2＋2ax ≤0在[1,3]上恒成立， 则a ≤－92 .所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－92∪⎣⎡⎭⎫－32，＋∞. (2)证明 由题意得，要证g (x )>x 2ln x ，x >0， 即证x 3＋ax 2>x 2ln x ，即证x ＋a >ln x ， 令u (x )＝x ＋a －ln x ，x >0， 可得u ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，x >0， 当0 基本不等式精选练习题答案 基本不等式是初中数学中的重要内容，掌握它对于有关不等式的学习和应用都十分重要。本文就给出一些基本不等式的精选练 习题及参考答案，以帮助读者更好地理解和应用基本不等式。 题目一：对于任意正整数 n，证明 1＋1/2²＋1/3²＋……＋1/n²＞1＋1/2＋1/3＋……＋1/n。 解题思路：利用级数收敛性来证明，由于调和级数收敛，它的平方收敛，而级数 1＋1/2²＋1/3²＋……＋1/n²大于等于级数 1＋1/2＋1/3＋……＋1/n，即可得证。 题目二：对于任意三个正实数 a，b，c，证明 3(a^2＋b^2＋c^2)＞(a＋b＋c)²。 解题思路：将不等式中的左边展开，可以得到 3(a^2＋b^2＋c^2)＞a²＋b²＋c²＋2(ab＋bc＋ca)，再次进行变形可以得到 2(a^2＋b^2＋c^2- ab＋bc＋ca)＞0，由此可以看出原不等式成立。 题目三：对于任意正实数 a，b，c，证明 a/b＋b/c＋c/a≥3。 解题思路：将不等式中的左边按照“平均数大于等于中间数”原理进行拆分，可以得到 a/b＋b/c＋c/a≥3(abc)^(1/3)/(abc)^(2/3)，即可得证。 题目四：对于任意正实数 a，b，c，证明 a^2/b＋b^2/c＋ c^2/a≥a＋b＋c。 解题思路：将不等式左边的分子进行展开，可以得到 a^3c＋ b^3a＋c^3b≥a^2bc＋ab^2c＋abc^2，两边同时减去 a^2bc＋ab^2c＋abc^2 可以得到 a^3c＋b^3a＋c^3b-a^2bc-ab^2c-abc^2≥0，又根据爱德华·魏尔斯不等式 (a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2≥0 可以得到 a^3c＋b^3a＋c^3b-a^2bc-ab^2c-abc^2≥(a-b)²(b-c)²(c-a)²≥0，即可得证。 以上是四道基本不等式的精选练习题及其解答，希望能够给初学者提供一些参考。当然，除此之外还有许多有意思的基本不等式，读者可以进一步拓展和深化这个话题。 不等式的证明测试题 •相关推荐 不等式的证明测试题 不等式的证明测试题 不等式的证明测试题 .(B)必要而不充分条件.(C)充分且必要条件.(D)既不充分又不必要条件.11.若实数m。，l。z，满足m+n一a，z+y一b(a≠6).则优z+ny 的最大值为()(A).(B).‘(c)√.(D).12.设n个实数，z'..·，z的算术平均数是;，a是不等于;的任意实数，并记P一;)+(z一;)+…+(z一;)，q=l一口)+2一口)+…+(z.一n)则一定有()(A)P=q.(B)Pq.(D)P≥q.三、解答题l3.已知函数厂)一~/1+z(z∈R).求证：l厂(4)一厂(6)l≤la—b1.14.已知z>0，y>0，z+2y一1，求证：+÷≥3+2.15.若z为任意实数，求证：一÷≤≠7≤÷.16.(1)证明下面的命题：一次函数厂(z)=志z+h(志≠0)，若研<，厂(m)>0，厂(，1)>0则对于任意的z∈(，，l，，1)，都有f)>0.(2)试用上面的`结论证明下面的命题：若a，b，c均为实数，且lal<1，lbl<1，<1，则口6++ca>一1.17.若不等式;『+;『++…+{>对一切自然数n(n≠0)成立，求自然数n的最大值.18·设厂(z)是定义在[一1，1-1上的奇函数，g)的图象与厂)的图象关于直线z一1对称，而当z∈[2，3]时，譬(z)一一z。+4z+c(c为常数)(1)求厂)的表达式.(2)对于任意z。，z2∈ro，1]，且≠z2，求证：lf(x2)一f(x)l<2lz2一z。 1.(3)对于任意z，z2∈[0，1]，且z≠z2，求证：If(x2)一f(x1)l<1.答案与提示：一、1.÷. 2.ab>9. 3.(1，~/2]. 4.A<1. 5.z≤一2或z≥3. 6.4. 7.①④.二、 8.C. 9.A.10.C.11.B.12.B.三、13.1干一√Tlz—la—blz=2[(1+ab)一~/(1+a)(1+b)]一2[(1+ab)一(1+ab)+—6)]≤0当且仅当a—b时，取等号.14.略.15·证明：设}7，则yx一z+0①由z为任意实数，所以①中△≥0，即(一1)一43，≥o，≤1得一1≤≤丢，...一1≤≤1.16.(1)略;(2)提示：原不等式等价于(6+c)a++1>0，构造函数f)一(6+c)x+be+1，z∈(一1，1).17.a的最大值为25..……f—z，z∈[一1.0]D.L1]一;(2)当z∈[0.1]时.1f(x)一f(x。)l=lzl—z}l—l(z2一 基本不等式的证明训练题 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. 已知x >54，则函数y ＝4x ＋1 4x －5的最小值为________． 【答案】7 【解析】y ＝4x ＋14x －5＝(4x －5)＋1 4x －5＋5≥2＋5＝7. 当且仅当4x －5＝14x －5 ，即x ＝3 2时取等号． 2. 已知函数f (x )＝x ＋p x －1(p 为常数且p >0)，若f (x )在区间(1，＋∞)上的最小值为4，则 实数p 的值为________． 【答案】9 4 【解析】∵ x >1，∴ x －1>0， ∴ f (x )＝x ＋ p x －1＝(x －1)＋p x －1 ＋1≥2（x －1）p x －1 ＋1＝2p ＋1. 又f (x )在区间(1，＋∞)上的最小值为4， ∴ 2p ＋1＝4，解得p ＝9 4 . 3. 若函数f (x )＝x ＋1 x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________． 【答案】3 【解析】∵ x ＞2， ∴ f (x )＝x ＋ 1x －2＝(x －2)＋1x －2 ＋2≥2（x －2）1 x －2 ＋2＝4， 当且仅当x －2＝1 x －2 ，即x ＝3时取等号． 4. 已知x >0，y >0，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________． 【答案】3 【解析】x 3＋y 4 ＝1≥2 x 3·y 4 ，即xy ≤3， 当且仅当x 3＝y 4，且x 3＋y 4＝1，即x ＝3 2 ，y ＝2时等号成立． 5. 已知x >0，y >0，若2y x ＋8x y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________． 【答案】(－4，2) 【解析】因为x >0，y >0， 高中数学联赛不等式专题练习（带答案详解） 一、解答题 1．已知a ，b 为正数，且a b 2 112a b a b +>>>+ . 【答案】证明见解析 【分析】 如图所示，可先构造Rt ABC △，再构造Rt BCD ，最后，作Rt Rt BC D BCD '△≌△，由图形直观得AB BC BD BE >>>，即得证. 【详解】 =可先构造Rt ABC △，使得2a b BC += ，2 a b AC -=，如图所示. 此时，AB =再以2 a b BC += 为斜边，2a b CD -=为直角边构造Rt BCD ，则 BD ===最后，作Rt Rt BC D BCD '△≌△， 过点D 作DE BC ⊥'交BC '于点E ，由2 BD BE BC =⋅' 得22 112BD BE BC a b ==='+ ， 由图形直观得AB BC BD BE >>>， 2 11 2 a b a b + >>> + . 2．已知：0 a>，0 b>，1 a b +=. 2 ≤. 【答案】证明见解析. 【分析】 构造一个直角三角形， 图所示） cos)2 αα +≤,即得证. 【详解】 证明：为了使得条件1 a b +=与待证式的中间部分在形式上接近一些，我们将该条件作如下变形： 11 2 22 a b ⎛⎫⎛⎫ +++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ ，进而有 22 2 +=.① .显然，这个直角三角形的三边长之间的关系是符合①的，从而满足条件1 a b +=. 由图所示，根据定理“三角形任意两边之和大于第三边” ，而有不等式 . 至于这个双联不等式的右边部分，也可由图，并根据直角三角形的边角关系知 α α =. cos)2 4 π ααα⎛⎫ +=+≤ ⎪ ⎝⎭ ∴ 2 ≤成立. 3．设x，y，0 z> 1 =， 不等式的证明及著名不等式知识梳理及典型练习题(含答案) 不等式的证明及著名不等式 一、知识梳理 1．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)定理 如果a ，b ，c 均为正数，那么a ＋b ＋c 3____3 abc ，当且仅当________ 时，等号成立． 即三个正数的算术平均________它们的几何平均． (2)基本不等式的推广 对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均________它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ____n a 1a 2…a n ，当且仅当______________时，等号成立． 2．柯西不等式 一、二维形式的柯西不等式 二维形式的柯西不等式的变式: .,,,,, )( 1等号成立时当且仅当则都是实数若二维形式的柯西不等式定理bc ad d c b a =22222) ())((bd ac d c b a +≥++bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1(bd ac d c b a +≥+⋅+2 222)2 ( .,,,,, )( 2等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当是两个向量设柯西不等式的向量形式定理βαββαk k =≤. ,:1221等号成立时当且仅当式得二维形式的柯西不等平面向量坐标代入b a b a ，=2 22112 2212221)()()(b a b a b b a a +≥++式：得三维形式的柯西不等将空间向量的坐标代入，2332211232221232221)()()(b a b a b a b b b a a a ++≥++++.)3,2,1(,,,,等号成立时使得或存在一个数即共线时当且仅当 ，i kb a k i i ===ββα2 21221222221212211)()(R,y ,x ,y , )( 3y y x x y x y x x -+-≥+++∈那么设二维形式的三角不等式定理 导数与不等式的证明 1.【2021湖南文科】已知函数f （x ）= x e x 2 1x 1+-. （Ⅰ）求f （x ）的单调区间； （Ⅱ）证明：当f （x 1）=f （x 2）(x 1≠x 2)时，x 1+x 2＜0. 【解析】 (Ⅰ) .) 123)12)1()1)11()('2 22 222x x x xe x x e x x e x x f x x x ++--⋅=+⋅--+⋅-+-=（（（ ; )(,0)(']0-02422单调递增时，，（当x f y x f x =>∞∈∴<⋅-=∆ 单调递减）时，，当)(,0)('0[x f y x f x =≤∞+∈. 因此，）上单调递减，上单调递增；在，在（∞+∈∞=0[]0-)(x x f y 。 （Ⅱ）由(Ⅰ)知，只需要证明：当x>0时f(x) < f(-x)即可。 ]1)1[(11111)()(22 22x e x x e e x x e x x x f x f x x x x ---+=++-+-=----。 1)21()('0,1)1()(22--=⇒>---=x x e x x g x x e x x g 令。 ,04)21()('1)21()(222<-=-=⇒--=x x x xe e x x h e x x h 令 0)0()(0)(=<⇒∞+=⇒h x h x h y ）上单调递减，在（ 0 )0()(0)(=<⇒∞+=⇒g x g x g y ）上单调递减，在（ .000]1)1[(122 ==∞+---+=⇒-y x x e x x e y x x 时）上单调递减，但，在（ )()(0)()(x f x f x f x f -<⇒<--⇒ .0)()(212121<+≠=x x x x x f x f 时，且所以，当（证毕）高等数学不等式的证明试题及答案
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