概率论课件第二讲

第一节 集合代数和σ -代数
定理1.1.10 设，是由Ω的一些子集组成的非空集合类， 且
1. 若为λ -系, 是π -系，则：σ () 2. 若为单调类, 是集代数，则： σ ()
证明1：由于 ，是包含的λ -系
则也包含所生成的最小λ -系λ ()，即λ () 而是π -系，由定理1.1.9：λ ()= σ ()
推广情形：设 R(n) x1, x2 , xn : xi R(1) , i 1,2, 为 n n维实 (n) 数空间，考虑由 的一些子集组成的集合类： R



n 1 , ai : ai R , i 1,2,n i 1
证明：第一部分：根据单调类的定义，只需证明：
若An Æ ，n 1,2,且An ，有
（可适当讲解）
A Æ
n n 1

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第一节 集合代数和σ -代数
第二部分：欲证λ-系+ π-系σ-代数 根据定理1.1.5：集代数+单调类σ-代数 所以只须证明为集代数即可。 由λ-系的定义，只须说明：
Ω=Aλ() ）
若B,C λA且B C，有B\C λA
（ 由B,C λA， 有B,Cλ() ，且对任意 取定的Aλ()，有A B,A Cλ() ； 然而A B A C ，必有(A C)\ (A B) λ() 即(A C)\ (A B) =A (C\B) λ()，即C\B λA
若A，B Æ，有A B Æ，则称Æ为 系。
（π-系是一个比集代数还要弱的概念）
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第一节 集合代数和σ -代数
定义1.1.7 设是由Ω的一些子集组成的非空集合类，若 满足：
1. Ω ； 2. 若 A,B ，AB，有B\A ；
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第一节 集合代数和σ -代数
不妨分三步加以说明：
1、μ A 是单调类 2、μ A 是包含A的最小的单调类 下面主要分析 μA为何是单调类，见 P4，请自学
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第一节 集合代数和σ -代数
简单回顾上一讲的内容： 1. 集代数、σ -代数、单调类、 ()、μ()的定义 2. 它们之间的关系
第二节 测度与概率
若集函数为有限可加且只取非负值，则称为有限可加
测度； 若集函数为σ -可加且只取非负值，则称为测度，用μ或 ν表示； 具有性质 Ω 且ν(Ω)=1 的测度，称为概率测度或概率， 用P表示。 一般情况下取为集代数或σ -代数，下面讨论集函数 与测度的性质。
( )
()是一σ -代数。
由于集代数+ 单调类 σ -代数 ，所以只须证明它是 集代数即可
1.
2的证明如下
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，有A \ B 2. 若A，B
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第一节 集合代数和σ -代数

3. 若An Æ ，n 1,2,且An ，有 则称为λ-系。
A Æ
n n 1
由以上定义可知： σ-代数一定是λ-系。 定理1.1.7 若是λ-系，则它是单调类；若既是λ-系， 又是π-系，则它是σ-代数。
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第一节 集合代数和σ -代数
1. Ω ； 2. 若 A,B ，A-B ；
而A-B=A-(AB) ABA 因此： A-B
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第一节 集合代数和σ -代数
定理1.1.8 设是由Ω的一些子集组成的非空集合类，则存 在唯一的λ -系0，满足：
1. 0； 2. 对包含的任一λ-系，有0
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第二节 测度与概率

i 1,2, , Ai A j i j , 且 Ai ，有： 若 Ai ，
i 1

Ai Ai i 1 i 1

则称在 上具有σ -可加性，即完全可加性，也称为 上的σ -可加集函数或广义测度。
特别地，若A，而是π -系，有：
A B λ ()，则B λA ，则λA 一般地，若Aλ ()，则AλB
由1.1.2的对称性，有BλA，则λA )
3. λA是包含的最小的λ-系，即λA =λ ()
（只需证明λA λ ()即可，由λA 的构造，显然）
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1. 2. 3.
（1.1.2）
下面只需证明对每一个Aλ ()， 说明λA =λ () λA 为λ-系 λA是包含的λ-系 λA是包含的最小的λ-系，即λA =λ ()
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1. 欲证λA 为λ-系 Ω λA （显然， Ωλ()，对任意取定的Aλ()，A
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第二节 测度与概率

若对每一A ， (A) 取有限值，则称为 上的有限集函数；若对每一A ，存在一集
合序列{An} ，使：
A
A ， A , n 1,2,
n n n 1
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则称为上的σ-可加集函数。
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第一节 集合代数和σ -代数
定义1.1.3 称定理1.1.3中的0是包含的最小σ -代数，或
者是由生成的σ -代数，记为σ ()。 例1.1.2 设 A ，且
σ -代数为 A, A, , 。 三、Borel域
(1) R 设 ，考虑由
称0为包含的最小λ-系，记为λ()
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第一节 集合代数和σ -代数
定理1.1.9 若是π -系，则： λ ()=σ () 证明：由于σ -代数一定是λ -系，则σ (）λ (） 根据定理1.1.7 λ-系+ π-系σ-代数 只需说明λ ()为π -系，即对有限交运算封闭。 与定理1.1.6类似，对任意的Aλ ()，构造辅助集合类 λA={B：Bλ()，AB λ()}
证明：对任意的 ( )A ，令辅助集合类 A B : B ， \ B, B \ A
若能证明对每一个
()，有：
A
即对差运算封闭，则得证。
A ，所以只需证 A 显然，
证明：若 An
，令Bn Ak
k 1
因是集代数，故 Bn
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，又Bn ，则 Bn
n 1
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第一节 集合代数和σ -代数
定理1.1.6 若是集代数，则： σ ()= 因此只须证明 证明：σ -代数一定是单调类，则σ () ()


{A}的最小 A , A，则包含
()为 为(1) ，并称(1) 中的元素为一维的Borel集。
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, a : a R1，称σ

) 的一些子集组成的集合类： R (1

(1) R 上的Borel域，记
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第一节 集合代数和σ -代数
则：σ ()
证明2：略，见P6。
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第一节 集合代数和σ -代数
五、乘积空间和乘机σ -代数
自学，略
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第二节 测度与概率
一、测度及其性质
首先引入集函数、广义测度和测度的概念。 定义1.2.1 设是由Ω的一些子集组成的非空集合类，若对 每一个A ，有一实数或者∞与之对应，记为(A) 且至少有一A ，使其取有限值，称(A) 是定义在上 的集函数。 （集函数和普通的函数差别为定义域为集合类）。
σ -代数（可列可加） 集代数（有限可加）
σ -代数 单调类 集代数+单调类 σ -代数 μ()、 () 是存在且唯一的 是集代数，μ() = ()
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第一节 集合代数和σ -代数
有时验证某集合类是否为包含某集代数的单调类也比 较困难，因此再引入λ-系、π-系的概念，借助于λ-系、π系来判断某一集代数是否为单调类，从而进一步判断这 个集合类是否为σ -代数，以保证该σ -代数中的每一个 集合都是随机事件，那么该σ -代数即为概率函数的定义 域。 定义1.1.6 设由Ω的一些子集组成的非空集合类，若：
第一节 集合代数和σ -代数
二、包含某一集合类的最小σ -代数
是由Ω的一些子集组成的非空集合类，那么至 少存在一个σ -代数包含 。为什么？ 由于 是一个 σ -代数，且 。 是否存在最小的σ -代数？若存在，是否唯一？
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第一节 集合代数和σ -代数
定理1.1.3 设Ω是任一非空集合， C是由Ω的一些子集组成的 非空集合类，则存在唯一的σ -代数F0，满足： 1. C F0 ； 2. 对包含的任一σ -代数，有F0
证明：构造F* F A为所有包含的σ -代数的交。下面说明 这样构成的 *即为包含的最小的σ -代数， *= 0 由构造性可知它不仅存在而且唯一。 由于σ -代数的交仍为σ -代数，所以*为包含的σ 代数。 由构造，则可知其最小性。