第二章2《概率论与数理统计教程》ppt课件
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概率论与数理统计ppt课件
04
理解基本概念和原理
做大量练习题，培养解题能力
05
06
阅读相关书籍和论文，拓宽知识面
02
概率论基础
概率的基本概念
试验
一个具有有限个或无限个 可能结果的随机试验。
事件
试验中的某些结果的总称 。
概率
衡量事件发生可能性的数 值，通常表示为0到1之间 的实数。
必然事件
概率等于1的事件。
不可能事件
概率等于0的事件。
01 点估计
用样本统计量估计总体参数，如用样本均值估计 总体均值。
02 区间估计
给出总体参数的估计区间，如95%置信区间。
03 估计量的性质
无偏性、有效性和一致性。
假设检验
假设检验的基本思想
先假设总体参数具有某种 特性，然后通过样本信息 来判断这个假设是否合理 。
双侧检验
当需要判断两个假设是否 相等时，如总体均值是否 等于某个值。
连续型随机变量
取值无限的随机变 量。
方差
衡量随机变量取值 分散程度的数值。
03
数理统计基础
总体与样本
总体
研究对象的全体。
抽样方法
简单随机抽样、分层抽样、系统抽样等。
样本
从总体中随机抽取的一部分个体，用于估 计和推断总体的特性。
样本大小
样本中包含的个体数量，需要根据研究目 的和资源来确定。
参数估计
单因素方差分析
单因素方差分析的定义
单因素方差分析是方差分析的一种形式，它只涉及一个实验因素。通过对不同组的均值进行比 较，可以确定这个因素对实验结果的影响是否显著。
单因素方差分析的步骤
单因素方差分析通常包括以下步骤：首先，对实验数据进行分组；其次，计算每组的均值；接 着，计算总的均值和总的变异性；然后，计算组间变异性和组内变异性；最后，通过比较这两 种变异，得出因素的显著性。
第二章2《概率论与数理统计教程》PPT课件
4 -5
联合概率函数的性质
1) p(xi , yj ) 0,
2) p(xi , yj )1;
ij
3) P(X,Y)D p(xi , yj ); (xi ,yj )D
若二维随机r.v.的联合概率函数 p(xi , yj )知道，则 联合概率分布函数为
F(xy, )p(i,xyj) xix yjy
4 -6
y
注：若将二维随机变量（X，Y） 看作是平面上的随机点的坐标，
（x，y）
则分布函数在点（x，y）处的函 数值，就是随机点（X，Y）落在 如图所示的以点（x，y）为顶点 而位于该点左下方的无穷矩形区 域4内- 3的概率
O
x
联合分布函数的性质
1) 0F(x,y)1
2）F（x，y）分别是变量x，y的单调不减函数； 3）对任意x，y，有
例1. 将一枚均匀的硬币抛掷4次, X表示正面向上的 次数, Y表示反面朝上次数, 求(X,Y)的联合概率分布.
例2. 设随机变量Y~U（0，1），令
0, |Y|1 0, |Y|2 X1 1, |Y|1,X2 1, |Y|2
求（X1，X2）的联合概率分布。 例3. 二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:
XY 0 1
-1 0.05 0.1
0
0.1 0.2
4-7 1
a 0.2
2
求:(1)常数a的取值;
0.1
(2)P(X≥0,Y≤1);
0.1
0.05 (3) P(X≤1,Y≤1)
二维连续随机变量的联合概率密度
定义:
P (xX x x ,y Y y y)
f(x ,y)lim
y x 0 0
x y
若此极限存在，则称此极限为二维连续随 机变量（X，Y）的联合概率密度。
联合概率函数的性质
1) p(xi , yj ) 0,
2) p(xi , yj )1;
ij
3) P(X,Y)D p(xi , yj ); (xi ,yj )D
若二维随机r.v.的联合概率函数 p(xi , yj )知道，则 联合概率分布函数为
F(xy, )p(i,xyj) xix yjy
4 -6
y
注：若将二维随机变量（X，Y） 看作是平面上的随机点的坐标，
（x，y）
则分布函数在点（x，y）处的函 数值，就是随机点（X，Y）落在 如图所示的以点（x，y）为顶点 而位于该点左下方的无穷矩形区 域4内- 3的概率
O
x
联合分布函数的性质
1) 0F(x,y)1
2）F（x，y）分别是变量x，y的单调不减函数； 3）对任意x，y，有
例1. 将一枚均匀的硬币抛掷4次, X表示正面向上的 次数, Y表示反面朝上次数, 求(X,Y)的联合概率分布.
例2. 设随机变量Y~U（0，1），令
0, |Y|1 0, |Y|2 X1 1, |Y|1,X2 1, |Y|2
求（X1，X2）的联合概率分布。 例3. 二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:
XY 0 1
-1 0.05 0.1
0
0.1 0.2
4-7 1
a 0.2
2
求:(1)常数a的取值;
0.1
(2)P(X≥0,Y≤1);
0.1
0.05 (3) P(X≤1,Y≤1)
二维连续随机变量的联合概率密度
定义:
P (xX x x ,y Y y y)
f(x ,y)lim
y x 0 0
x y
若此极限存在，则称此极限为二维连续随 机变量（X，Y）的联合概率密度。
概率论与数理统计课件第2章
X0
1
pk 03.5
0.25
4
625
0.0625
X的分布函数为
2 0.125
0
x0
0.5
0 x1
F
(
x)
0.75 0.875
1 x 2 2 x3
0.9375 3 x 4
Байду номын сангаас
1
x4
0.0
分布函数 是累计概率
例3 有人对随机变量X的分布列表述如下:
X -1
0 12 3
P
a 0.16
a2 2a 0.3
第2章 随机变量及其分布
2.1 随机变量及其分布函数 2.2 离散型随机变量及其分布律 2.3 几种常见的离散型分布 2.4 连续型随机变量及其密度函数 2.5 正态分布 2.6 随机变量函数及其分布
2.1 随机变量及其分布函数
一、随机变量 二、随机变量的分布函数
信息管理学院 徐晔
一、随机变量
例
包含出现1点
包含出现1,2点
包含出现1,2,3点
包含出现1,2,3,4 点 包含出现1,2,3,4,5 点包含出现1,2,3,4,5,6 点
分布函数的性质
F(x) P(X x), （ x ）
(1) F x 在 , 上是一个不减函数 ,
即对 x1 , x2 , 且 x1 x2 ,都有 F x1 F x2 ;
样本点
1， 4， 5 2， 3， 4 2， 3， 5 2， 4， 5 3， 4， 5
黑球数 X
1 2 2 1 1
由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应
着变量 X 的一个确定的取值，因此变量 X 是样本空
间Ω上的函数：
概率论与数理统计完整ppt课件
化学
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
概率论与数理统计第2章ppt课件
1 3x
0
1
2
3X
处的离跳散跃型高随度机恰变为量P{的X=分x布i}.函数为跳跃函数，在xi
§4. 连续型随机变量的概率密度
1. 定义：对于随机变量X的分布函F(x)， 如果存在非负函数f(x),使对于任意实数x有：
F(x)xf(t)dt
则称X为连续型随机变量；称f(x)为X的概率 密度函数。简称密度函数。
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21
例4. 3个人抓阄数。
解：X的概率分布: P{X=1}=1/3
P{X=2}=2/3×1/2=1/3
P{X=3}=2/3×1/2×1/1=1/3
X的分布函数:
Y
0 x <1
1
1/3 1 x <2
2/ 3
F(x)=
2/3 2 x <3 1/ 3
则：P{X=k} Cnk pnkqnnk 其中：qn=1－pn
(令＝μV; pn=μ△V＝μV/n= /n)：
考虑当 n ＋时
P{X=k} =nl imCnkpnkqnnk
limn! ()k(1)nk
nl n i m k1 k !!n(nn (n n k1)) !n (n n kn 1)k((11 n))kn
k
k!
k=0、1、2、3、……
n
Poissn定理：n为正整数，pn=/n， >0。 则对任一非负整数k有：
nl im Cnkpnkqnnk
k
k!
其中：＝ npn.
例3. 某人打靶命中率为0.001, 重复射击 5000次，求至少命中2次的概率。
解：设X为至命中次数。
P(X2) =1－P(X<2) =1－P(X=0)－P(X=1)
概率论与数理统计--第二章PPT课件
由概率的可列可加性得X的分布函数为
F(x) pk xk x
分布函数F(x)在x xk , 其跳跃值为pk P{X
对k 所1,有2,满足处x有k 跳 x跃的，k求和。
xk }
第26页/共57页
第四节 连续型随机变量及其概率密度
定义 对于随机变量X的分布函数F(x),如果存在非 负函数f (x)，使对于任意实数有
售量服从参数为 10的泊松分布．为了以95%以上的
概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商 品多少件？ 解 设商店每月销售该种商品X件，月底的进货量为n件，
按题意要求为 PX n 0.95
由X服附从录的泊1松0的分泊布松表分知布k，140 1则k0！k有e1k0n01k00！k.9e1160 6
可以用泊松分布作近似，即
n
k
pk
1
p
nk
np k
k!
enp , k
0,1, 2,
.
例 4 为保证设备正常工作，需要配备一些维修工.如果各台设备
发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是 0.01.
试求在以下情况下，求设备发生故障而不能及时修理的概率.
(1) 一名维修工负责 20 台设备.
于是PX I P(B) Pw X (w) I.
随机变量的取值随试验的结果而定，而试验的各个 结果出现有一定的概率，因而随机变量的取值有一 定的概率.
按照随机变量可能取值的情况，可以把它们分为两 类：离散型随机变量和非离散型随机变量，而非离 散型随机变量中最重要的是连续型随机变量.因此， 本章主要研究离散型及连续型随机变量.
x
x
4. F(x 0) F(x) 即F(x)是右连续的
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F(x) pk xk x
分布函数F(x)在x xk , 其跳跃值为pk P{X
对k 所1,有2,满足处x有k 跳 x跃的，k求和。
xk }
第26页/共57页
第四节 连续型随机变量及其概率密度
定义 对于随机变量X的分布函数F(x),如果存在非 负函数f (x)，使对于任意实数有
售量服从参数为 10的泊松分布．为了以95%以上的
概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商 品多少件？ 解 设商店每月销售该种商品X件，月底的进货量为n件，
按题意要求为 PX n 0.95
由X服附从录的泊1松0的分泊布松表分知布k，140 1则k0！k有e1k0n01k00！k.9e1160 6
可以用泊松分布作近似，即
n
k
pk
1
p
nk
np k
k!
enp , k
0,1, 2,
.
例 4 为保证设备正常工作，需要配备一些维修工.如果各台设备
发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是 0.01.
试求在以下情况下，求设备发生故障而不能及时修理的概率.
(1) 一名维修工负责 20 台设备.
于是PX I P(B) Pw X (w) I.
随机变量的取值随试验的结果而定，而试验的各个 结果出现有一定的概率，因而随机变量的取值有一 定的概率.
按照随机变量可能取值的情况，可以把它们分为两 类：离散型随机变量和非离散型随机变量，而非离 散型随机变量中最重要的是连续型随机变量.因此， 本章主要研究离散型及连续型随机变量.
x
x
4. F(x 0) F(x) 即F(x)是右连续的
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《概率论与数理统计》课件 概率学与数理统计 第二章
作为某一个离散型随机变量的分布律。
为了直观地表达分布律,我们还可以作类似图2-1的分布律图。
图2-1
图2-1中 xi 处垂直于 x 轴的线段高度为 pi，它表示 X 取 xi 的概 率值。
例2.1 一盒中装有编号为1，2，3，4，5的五个球,现从中任意取三 个球，求所抽出三个球的中间号码 X 的概率分布。
Pa X b PX b PX a Fb 0 Fa
Pa X b PX a Pa<X b
Fa Fa 0 Fb Fa
Fb Fa 0
随机变量的分类:
1. 离散型随机变量：随机变量只取数轴上的有限个或可列个点。 2. 连续型随机变量：随机变量的可能取值充满数轴上的一个或 若干区间。 3. 奇异型随机变量：既不是离散型随机变量，也不是连续型随 机变量。在理论上很有价值，而实际问题中很少有应用。
解 以 p 表示每盏灯禁止汽车通过的概率，显然 X 的可能取值
为0，1，2，3，4，易知 X 的分布律为
表2-3
或写成
P X k 1 pk p，k 0，1，2，3 P X 4 1 p4
将 p 0.4， p 0.6 代入上式，所得结果如表2-4所示。
表2-4
二、常用离散型随机变量的分布
1
PX 2 1 PX 2 1 PX k k 0
1 0.9995000 50.9994999
≈1 50 e5 5e5 0! 1!
查表可得 P X 2 1 0.00674 0.03369 0.95957
例2.6 某人进行射击，设每次射击的命中率为，独立射击400次， 试求至少击中两次的概率。
记作 X 0 -1 分布。写成分布律表形式见表2-5。
表2-5
对于一个随机试验，若它的样本空间只包含两个元素，
北京工业大学《概率论与数理统计》课件 第2章 连续性随机变量
2.3.3 常见的连续型随机变量的概率密度函数
△ 均匀分布 △ 指数分布 △ 正态分布
1. 均匀分布 (Uniform) 若随机变量 X 的概率密度为
则称 X 服从区间[a, b]上的均匀分布，记作 X ～U[a, b]。(注: 有时也记作X～U(a, b) )
若X ～ U[a, b]，则对于满足 a≤c≤d≤b 的 c 和 d，总有
例2.3.4 假设某地区成年男性的身高(单位: cm) X～N(170,7.692), 求该地区成年男性的身 高超过175 cm的概率。
解 根据假设X～N(170 ,7.692), μ=170， a=175, σ= 7.69。由(2.3.15) 式的后一式，得
小结
本讲首先介绍连续型随机变量、直方图、 概率密度函数及其性质；然后介绍三种常用的 连续型随机变量：均匀分布，指数分布和正态 分布；给出了三种分布应用的例子。
概率密度曲线可用来准确地刻画 X 的概率 分布情况。
2.3. 2 概率密度函数 定义2.3.1 若存在非负可积函数 f(x), 使
随机变量X落入任意区间(a, b]的概率
则称 X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密 度函数，简称概率密度或密度。
对概率密度的进一步解释： 若 x 是 f(x) 的连续点，则有
且 f (μ+c) ≤ f (μ)， f (μ-c)≤ f (μ). 故 f(x)以 x=μ为对称轴，并在 x =μ处达到最大 值
对
当 x→ ∞时，f(x) → 0。 这说明：曲线 f(x) 向左右伸展时，越来越贴 近 x 轴。即 f (x) 以 x 轴为渐近线。
对
可以证明： x =μσ
为 y = f (x) 曲线的两个拐点的横坐标。
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课 堂 练 习
例 1.设二维 r.v.(X,Y)具有概率密度 Ae-(2 xy ), x 0, y 0, f(x,y) 0, 其它 , 求 : (1)常数 A; (2)分布函数 F(x,y); (3)概率 P{Y X}.
4 - 10
§2.10 二维随机变量的边缘分布
一. 二维离散随机变量的 边缘分布 二. 边缘分布函数
第二章2《概率 论与数理统计教 程》
4-1
二维随机变量的概念
定义:
设 E 是一随机试验，{ }是其样本空间.设
X X ( ), Y Y ( ) ( )
是定义在 上的随机变量，则由它们构成的一个向量 （X，Y）称为二维随机向量或二维随机变量 注:
4-2
二维r.v. (X, Y)的性质不仅与X和Y有关, 而且还 依赖于这两个r.v.的相互关系.
x xy y i j
p(xi , yj ) 知道，则
F (x, y) p(x ,y i j)
4-6
例1. 将一枚均匀的硬币抛掷4次, X表示正面向上的 次数, Y表示反面朝上次数, 求(X,Y)的联合概率分布.
例2. 设随机变量Y~U（0，1），令
0 ,| Y | 1 0 ,| Y | 2 X , X 1 2 1 , | Y | 1 1 , | Y | 2
二维随机变量的分布函数
定义:
设（X，Y）是二维随机变量，对于任意实数x，y，称
F ( x , y ) P ( X x , Y y )
为二维随机变量（X，Y）的分布函数，或称为二维随机 y 变量（X，Y）的联合分布函数. 注：若将二维随机变量（X，Y） 看作是平面上的随机点的坐标， 则分布函数在点（x，y）处的函 数值，就是随机点（X，Y）落在 如图所示的以点（x，y）为顶点 而位于该点左下方的无穷矩形区 4-3 域内的概率
求（X1，X2）的联合概率分布。
例3. 二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:
X
-1 0
4-7
Y
0 0.05 0.1
1 0.1 0.2
2 0.1 0.1
求:(1)常数a的取值;
(2)P(X≥0,Y≤1);
(3) P(X≤1,Y≤1)
1
a
0.2
0.05
二维连续随机变量的联合概率密度
定义:
P ( x X x x , y Y y y ) f ( x , y ) lim x 0 x y y 0
F ( x ), F ( y ) 分别称为二维随机变量（X，Y）关于 X Y
2 F ( x, y ) f ( x, y ) ; x y
4 ) F ( x ,y ) u , v ) dudv ; f(
x
y
5 )设 G 是 xoy 平面上的 ,随 一 机 个 (X, Y) 点 区 落域
4-9
G
在 G 内的概 : 率 P{(X, 为 ) G} Y f(x, y)dxdy
p p p
i. 1. 2.
x x x
1 2
p 21 p 22 L p 2 j L p i1 p i 2 L p ij L
i
p.j
4 - 13
p p . 1 p .2L .j L
二、边缘分布函数
定义:
二维随机变量（X，Y）作为一 个整体，具有联合分布 函数，但由于X，Y 都是随机变量，因而也有分布函数
p ( x ) P { X x } p ( x , y ) X i i i j
j
Y的边缘概率函数为
p ( y ) P { Y y } p ( x , y ) Y j j i j
4 - 12
i
Y X
y yj p 1 y 2 . i.
p 11 p 12 L p 1 j L
为离散型 r.v. (X, Y)的联合概率函数 .
4-5
联合概率函数的性质
1) 2) 3 ) p(x i , yj ) 0, p(x , y )1;
i j i j
P (X,Y)D
(x D i , yj )
p(x , y );
i j
若二维随机r.v.的联合概率函数 联合概率分布函数为
（x，y）
O
x
联合分布函数的性质
1)
0 F ( x ,y ) 1
2）F（x，y）分别是变量x，y的单调不减函数； 3）对任意x，y，有
F ( , y ) 0F ( x , ) 0 F ( , ) 0F ( , ) 1
有 x , y y 4）对于任意的实数 x 1 2 1 2
P ( x X x , y Y y ) 1 2 1 2
F ( x , y ) F ( x , y ) F ( x , y ) F ( x , y ) 2 2 1 2 2 1 1 1
4-4
二维离散随机变量的概率分布
1. 若二维 r.v. (X,Y)的所有可能取值是有限 对 或可列多对则称 (X, Y)为离散型 r.v. 2. 记P(X x i , Y y j ) p(x i , y j ) i, j 1 , 2 , 3 ,L 则称P(X x i , Y y j ) p(x i , y j ) i, j 1 , 2 , 3, L
三. 边缘分布与联合分布 的关系 四. 二维连续随机变量的 边缘缘 概率函数
设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 则X的边缘概率函数为
P { X x , Y y ) p ( x , y ) ( i , j 1 , 2 , L ) i j i j
若此极限存在，则称此极限为二维连续随 机变量（X，Y）的联合概率密度。
4-8
二维连续随机变量联合概率 密度函数的性质
1 )f ( x, y ) 0;
2 ) ( x, y ) dxdy F ( , ) 1 ; f
3 )若 f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 点连 ,则 续有