2022-2023学年甘肃省兰州市第五十八中学(兰炼一中)高三上学期第一次模拟考试数学(文科)试卷2

兰州市第五十八中学（兰炼一中）2022-2023学年度第一次模拟考试数学试卷（文科）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集U ＝{x ∈Z |0<x <8}，集合M ＝{2，3，5}，N ＝{x |x 2－8x ＋12＝0}，则集合{1，4，7}为( )A ．M ∩(?U N )B ．?U (M ∩N )C ．?U (M ∪N )D ．(?U M )∩N2． 若i 是虚数单位，则复数2＋3i 1＋i的实部与虚部之积为( )A ．－54B ．54C ．54i D ．－54i3． 直线l 1：ax ＋2y －1＝0与l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2＝0平行，则a ＝( )A ．－1B ．2C ．－1或2D ．0或14． 已知m ，n 是直线，α是平面，且m ∥α，则下列结论中正确的是( )A ．?n ?α，都有m ∥nB ．?n ?α，使m ⊥nC ．?n ∥m ，都有n ∥αD ．?n ⊥α，使m ∥n 5．cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°等于( )A ．－32B ．22C ．12D ．16．关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，x ＋y －4≤0表示的平面区域的面积为( )A ．3B ．52C ．2D ．327． 已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2a 6＝4，且a 4＋2a 7＝52，则S 5＝( )A ．29B ．30C ．31D ．328． 如图所示，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且BD ＝3DC .若AD →＝λAB →＋μAC →，则λμ＝( )A ．12 B ．13C ．2D ．239．已知函数f (x )＝2sin(πx ＋1)，若对于任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( )A ．2B ．1C ．4D ．1210.《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”,将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马P-ABCD 中,侧棱PD ⊥底面ABCD ,从A ,B ,C ,D 四点中任取三点和顶点P 所形成的四面体中,任取两个四面体,则其中一个四面体为鳖臑的概率为( ) A.14B.23C.35D.31011． 已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)右焦点为F 1，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，抛物线y 2＝－16x 的焦点为F ，若△ABF 为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫1＋132，＋∞B ．(13，＋∞)C ．(1,3)D ．⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋13212.已知函数f (x )=e x+x 22-ln x 的极值点为x 1,函数h (x )=lnx 2x的最大值为x 2,则( )A.x 1>x 2B.xB 2>x 1C.x 1≥x 2D.xD 2≥x 1第II 卷（非选择题）二、填空题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上．）13．已知直线y ＝x 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是 ．14． 已知向量a ，b 满足|a |＝5，|a －b |＝6，|a ＋b |＝4，则向量b 在向量a 上的投影为 ． 15.某企业三个分厂生产同一种电子产品,三个分厂产量分布如图所示,现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试,则第一分厂应抽取的件数为 ;由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分 16．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝ ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17(12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率． 18(12分)已知边长为2的正方形ABCD 与菱形ABEF 所在平面互相垂直，M 为BC 中点．(1)求证：EM ∥平面ADF ；(2)若∠ABE ＝60°，求四面体M -ACE 的体积．19．(12分)已知各项都为正数的数列{a n }满足a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n .(1)证明：数列{a n ＋a n ＋1}为等比数列； (2)若a 1＝12，a 2＝32，求{a n }的通项公式．20．(12分)椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线AB 的斜率为3，求△ABF 2的面积． 21(12分)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＞0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22 (10分) 在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =−1+√22x ,x =−2+√22x(t 为参数),以该直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ+4cos θ-ρ=0. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程; (2)求直线l 被曲线C 截得的弦长是多少?[选修4-5：不等式]23.(10分) 已知f (x )=|x+1|-|ax-1|. (1)当a=1时,求不等式f (x )>1的解集;(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立,求a 的取值范围.答案及解析1．已知全集U ＝{x ∈Z |0<x <8}，集合M ＝{2，3，5}，N ＝{x |x 2－8x ＋12＝0}，则集合{1，4，7}为( C )A ．M ∩(?U N )B ．?U (M ∩N )C ．?U (M ∪N )D ．(?U M )∩N[解析] 由已知得U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，N ＝{2，6}，M ∩(?U N )＝{2，3，5}∩{1，3，4，5，7}＝{3，5}，M ∩N ＝{2}，?U (M ∩N )＝{1，3，4，5，6，7}，M ∪N ＝{2，3，5，6}，?U (M ∪N )＝{1，4，7}，(?U M )∩N ＝{1，4，6，7}∩{2，6}＝{6}，故选C.2． 若i 是虚数单位，则复数2＋3i1＋i的实部与虚部之积为( B )A ．－54B ．54C ．54i D ．－54i[解析] 因为2＋3i 1＋i ＝（2＋3i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝52＋12i ，所以实部为52，虚部为12，实部与虚部之积为54.故选B .3． 直线l 1：ax ＋2y －1＝0与l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2＝0平行，则a ＝( B )A ．－1B ．2C ．－1或2D ．0或1[解析] l 1∥l 2?⎩⎪⎨⎪⎧a ?a －1?－2＝0a 3≠－1，解得a ＝2.故选B.4． 已知m ，n 是直线，α是平面，且m ∥α，则下列结论中正确的是( B )A ．?n ?α，都有m ∥nB ．?n ?α，使m ⊥nC ．?n ∥m ，都有n ∥αD ．?n ⊥α，使m ∥n[解析] 由m ，n 是直线，α是平面，且m ∥α，得：对于A ，?n ?α，则m ，n 平行或异面，故A 不正确；对于B ，?n ?α，使m ⊥n ，故B 正确；对于C ，?n ∥m ，则n ∥α或n ?α，故C 不正确；对于D ，若n ⊥α，因为m ∥α，所以m ⊥n ，故D 不正确，故选B. 5．cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°等于( C )A ．－32B ．22C ．12D ．1[解析] 原式＝sin 5°＋32sin 25°cos 25°＝sin ?30°－25°?＋32sin 25°cos 25°＝12cos 25°cos 25°＝12.6．关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，x ＋y －4≤0表示的平面区域的面积为( C )A ．3B ．52C ．2D ．32[解析] 平面区域为一个直角三角形ABC ，其中A (3，1)，B (2，0)，C (1，3)，所以面积为12|AB |·|AC |＝12×2×8＝2，故选C . 7.已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2a 6＝4，且a 4＋2a 7＝52，则S 5＝( C )A ．29B ．30C ．31D ．32[解析] 本题考查等比数列性质及基本量的运算．∵a 2a 6＝a 24＝4，且a n >0，∴a 4＝2.又a 4＋2a 7＝52，∴a 7＝14.设{a n }的公比为q ，则a 7a 4＝q 3＝18，q ＝12，∴a n ＝a 4⎝⎛⎭⎫12n －4＝25－n ，∴S 5＝16＋8＋4＋2＋1＝31.9． 如图所示，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且BD ＝3DC .若AD →＝λAB →＋μAC →，则λμ＝( B )A ．12 B ．13C ．2D ．23[解析] 本题考查向量的线性运算.AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →，所以λ＝14，μ＝34，从而求得λμ＝13，故选B . 9．已知函数f (x )＝2sin(πx ＋1)，若对于任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( )A ．2B ．1C ．4D ．12[解析] 对任意的x ∈R ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立， 所以f (x 1)＝f (x )min ＝－2，f (x 2)＝f (x )max ＝2， 所以|x 1－x 2|min ＝T2，又f (x )＝2sin(πx ＋1)的周期T ＝2ππ＝2，所以|x 1－x 2|min ＝1，故选B.10《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”,将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马P-ABCD 中,侧棱PD ⊥底面ABCD ,从A ,B ,C ,D 四点中任取三点和顶点P 所形成的四面体中,任取两个四面体,则其中一个四面体为鳖臑的概率为( B ) A.14B.23C.35D.310[解析]从A ,B ,C ,D 四点中任取三点和顶点P 所形成的4个四面体为P-ABC ,P-ABD ,P-ACD ,P-BCD ,其中四面体P-ABD ,P-BCD 为鳖臑.在4个四面体中任取2个有6种情况,其中一个四面体为鳖臑的情况有4种,则其中一个四面体为鳖臑的概率P=46=23.故选B .11已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)右焦点为F 1，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，抛物线y 2＝－16x 的焦点为F ，若△ABF 为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是( D )A ．⎝⎛⎭⎪⎫1＋132，＋∞B ．(13，＋∞)C ．(1,3)D ．⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋132[解析] 在双曲线x 24－y 2b 2＝1中，当x ＝c 时，y ＝±b 22，取A ⎝⎛⎭⎫c ，b 22.因为△ABF 是锐角三角形，所以∠AFF 1<π4，则tan ∠AFF 1＝b 224＋c <tan π4＝1，即b 2<8＋2c .因为双曲线x 24－y 2b 2＝1中a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝c 2－4，所以c 2－4<8＋2c ，解得1－13<c <1＋13，所以1－132<c a <1＋132.因为e ＝ca >1，则1<e <1＋132，所以双曲线的离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋132.故选D.12.已知函数f (x )=e x +x 22-ln x 的极值点为x 1,函数h (x )=lnx 2x的最大值为x 2,则(A )A.x 1>x 2B.xB 2>x 1C.x 1≥x 2D.xD 2≥x 1 解析 f'(x )=e x +x-1x在(0,+∞)上单调递增,且f'12=e 12−32>0,f'14=e 14−154<0,所以x 1∈14,12,e x 1+x 1-1x 1=0.由h'(x )=1-lnx2x 2,可得h (x )max =h (e)=12e ,即x 2=12e <14.所以x 1>x 2.13．已知直线y ＝x 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是 [－1，2) ．[解析] 画出函数图象，如图所示．由图可知，当m ＝－1时，直线y ＝x 与函数图象恰好有3个公共点，当m ＝2时，直线y ＝x 与函数图象只有2个公共点，故m 的取值范围是[－1，2).10． 已知向量a ，b 满足|a |＝5，|a －b |＝6，|a ＋b |＝4，则向量b 在向量a 上的投影为 －1 ．[解析]∵向量a，b满足|a|＝5，|a－b|＝6，|a＋b|＝4.∴|a－b|2＝25＋b2－2a·b＝36，|a＋b|2＝25＋b2＋2a·b＝16.∴a·b＝－5，|b|＝1，∴向量b在向量a上的投影为|b|·cos a，b＝|b|·a·b|a||b|＝a·b|a|＝－55＝－1.15.某企业三个分厂生产同一种电子产品,三个分厂产量分布如图所示,现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试,则第一分厂应抽取的件数为50;由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分[解析]第一分厂应抽取的件数为100×50%=50;该产品的平均使用寿命为1020×0.5+980×0.2+1030×0.3=1015(小时).16．数列{a n}的前n项积为n2，那么当n≥2时，a n＝n2（n－1）2．[解析]设数列{a n}的前n项积为T n，则T n＝n2，当n≥2时，a n＝T nT n－1＝n2（n－1）2.17某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．[解析](1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个．所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个，则所求事件的概率为P＝315＝1 5.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个．包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，则所求事件的概率为P＝29.18已知边长为2的正方形ABCD与菱形ABEF所在平面互相垂直，M为BC中点．(1)求证：EM∥平面ADF；(2)若∠ABE＝60°，求四面体M-ACE的体积．[解析](1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC∥AD.∵BC?平面ADF，AD?平面ADF，∴BC∥平面ADF.∵四边形ABEF是菱形，∴BE∥AF.∵BE?平面ADF，AF?平面ADF，∴BE∥平面ADF.∵BC∥平面ADF，BE∥平面ADF，BC∩BE＝B，∴平面BCE∥平面ADF.∵EM?平面BCE，∴EM∥平面ADF.(2)取AB 中点P ，连接PE .∵在菱形ABEF 中，∠ABE ＝60°， ∴△AEB 为正三角形，∴EP ⊥AB . ∵AB ＝2，∴EP ＝ 3.∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ， ∴EP ⊥平面ABCD ， ∴EP 为四面体E -ACM 的高． ∴V M -ACE ＝V E -ACM ＝13S △ACM ·EP ＝13×12×1×2×3＝33.19．(12分)已知各项都为正数的数列{a n }满足a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n .(1)证明：数列{a n ＋a n ＋1}为等比数列； (2)若a 1＝12，a 2＝32，求{a n }的通项公式．[解析] (1)∵a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ， ∴a n ＋2＋a n ＋1＝3(a n ＋1＋a n )． 又∵a n >0，∴a n ＋2＋a n ＋1a n ＋1＋a n ＝3，∴数列{a n ＋1＋a n }为等比数列．(2)由(1)得，a n ＋a n ＋1＝(a 1＋a 2)×3n －1＝2×3n －1 ① ∴a n ＋1＋a n ＋2＝2×3n②②－①得a n ＋2－a n ＝4×3n －1 当n 为奇数时， a 3－a 1＝4×30 a 5－a 3＝4×32a 7－a 5＝4×34……a n －a n －2＝4×3n －3相加得a n －a 1＝4×(30＋32＋34＋…＋3n －3)＝4×30－3n －3×321－32＝3n －1－12， ∴a n ＝12×3n －1. 当n 为偶数时由a n ＋a n ＋1＝2×3n －1得a n ＝2×3n －1－a n ＋1＝2×3n －1－12×3n ＝12×3n －1. 综上所述a n ＝12×3n －1. 20．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线AB 的斜率为3，求△ABF 2的面积．[解析] (1)由题意知，4a ＝8，所以a ＝2，又e ＝12，所以c a ＝12，c ＝1， 所以b 2＝22－1＝3，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝3(x ＋1)，由⎩⎨⎧ y ＝3?x ＋1?，x 24＋y 23＝1，得5x 2＋8x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－85，所以y 1＝3，y 2＝－335.所以S △ABF 2＝c ·|y 1－y 2|＝1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋335＝835. 21已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＞0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．[解析] (1)f ′(x )＝1x －a (x ＞0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a ＞0，即函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a ＞0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ，当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＝1－ax x ＞0；当x ＞1a 时，f ′(x )＝1－ax x ＜0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ， 单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞. 综上可知，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ， 单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞. (2)①当0＜1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .②当1a ≥2，即0＜a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .③当1＜1a ＜2，即12＜a ＜1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上是减函数． 又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，所以当12＜a ＜ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a ＜1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a .综上可知，当0＜a ＜ln 2时，函数f (x )的最小值是f (1)＝－a ；当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .22在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =−1+√22x ,x =−2+√22x(t 为参数),以该直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ+4cos θ-ρ=0. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)求直线l 被曲线C 截得的弦长是多少?[解析]:(1)将{x =−1+√22x ,x =−2+√22x消去参数t ,得直线l 的普通方程为x-y-1=0.∵曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ+4cos θ-ρ=0,即ρ2cos 2θ+4ρcos θ-ρ2=0,∴曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x.(2)联立{x 2=4x ,x -x -1=0,得x 2-6x+1=0,Δ=36-4=32>0,设直线l 与抛物线C 交于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=6,x 1x 2=1,故直线l 被曲线C 截得的弦长为|AB|=√(1+x 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=√(1+1)×(36-4)=8.23.已知f (x )=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f (x )>1的解集;(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立,求a 的取值范围.[解析](1)当a=1时,f (x )=|x+1|-|x-1|,即f (x )={-2,x ≤−1,2x ,-1<x <1,2,x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为{x |x >12}.(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;若a>0,则|ax-1|<1的解集为{x|0<x<2x },所以2x≥1,故0<a≤2.综上,a的取值范围为(0,2].。